课件12张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.1 二次函数思考:
1.什么是一次函数、反比例函数?3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?一起探究1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.思考并回答:
(1)设灰色瓷砖的总数为y块.
①用含n的代数式表示y,则y= .?
②y与n具有怎样的函数关系?
(2)设白色瓷砖的总数为z块.
①用含n的代数式表示z,则z= .?
②z是n的函数吗?说说理由.y=4n+6,一次函数.z=n2+n-6,z是n的函数. 2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.分析:
(1)设第二季度的产值为y万元,则y= .
设第三季度的产值为z万元,则z= .?
(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?y=80x+80,一次函数.z=80x2+160x+80,z是x的函数.形成概念观察下面两个函数:
z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,思考:
(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?
(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?
(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?
(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.思考:
(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项呢?为什么?
(2)如何判断一个函数是不是二次函数?
(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?
(4)函数
是不是二次函数?(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.大家谈谈1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.例1 (补充)若y=(m+1) 是二次函数,则m的值为 .? 解:∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7.【易错点】 常忽略二次项系数不为0.做一做新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.(1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.
(2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?分析:
全班共有 人,每个人要与 人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手 次,则y与m的函数关系式为 .?[知识拓展] 1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:
(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式.4.当a≠0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.5.在y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数.6.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.解析:选项A,B,D中自变量x的最高指数都是1,是一次函数,只有选项C符合二次函数的定义.故选C.1.下列各式中,y是x的二次函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=-2x+1
C.y=x2+2 D.y=ax(a≠0)C2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 ( )
A.1,-3,5 B.1,3,5
C.5,3,1 D.5,-3,1解析:二次函数中二次项系数为5,一次项系数为-3,常数项为1.故选D.D3.若y=(m+2) 是二次函数,则m的值为 .?解析:根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2.2解析:把t=4代入函数表达式,得s=5×16+2×4=88.故填88米.4.若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为 .?88米5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
(4)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y(台)与x的函数关系式.解:(1)S=6a2,二次函数.
(2)y= ,二次函数.
(3)y=10000+10000×1.98%x=10000+198x,一次函数.
(4)y=30(1+x%)2,二次函数.课件11张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.2 二次函数的图象和性质(第1课时)提问:
1.一次函数、反比例函数的图像分别是什么形状?
2.画函数图像的基本步骤是什么?
3.探究一次函数、反比例函数的性质的基本思路是怎样的?
4.类比探究一次函数、反比例函数性质的思路来研究二次函数的性质,所以我们应该先探究什么内容?(一条直线、双曲线.)(列表、描点、连线.)(先画出一次函数的图像,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.)(先画出二次函数的图像.)画二次函数y=x2的图象(1)列表.(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的曲线连接各点.观察与思考观察二次函数y=x2的图像,回答下列问题:
(1)若将y=x2的图像沿着y轴对折,y轴两侧的部分能够完全重合吗?y=x2的图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?(2)y=x2的图像有最低点吗?如果有,那么最低点的坐标是什么?xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1y=-x2【做一做】 请再画出函数y=-x2的图像.2.在如图所示的直角坐标系中,已画出了y=2x2的图像,请再画出函数y=-2x2的图像.二次函数y=ax2的图像和性质:向上向下y轴y轴原点
(0,0)原点
(0,0)当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小有最低点(0,0).当x=0时,y最小=0有最高点(0,0).当x=0时,y最大=0 二次函数y=ax2的图像是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线,曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.大家谈谈 思考:对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,类比探究一次函数、反比例函数的性质的方法,你能得到二次函数的哪些性质?对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,就二次函数y=ax2回答以下问题:
(1)你能描述图像的形状吗?
(2)图像与x轴有公共点吗?如果有公共点,公共点的坐标是什么?
(3)图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
(4)图像的开口方向和它的最高(或最低)点与a的符号具有怎样的关系?
(5)根据图像,说明y的值随x的值增大而变化的情况.5.抛物线y=ax2中的系数a决定抛物线的开口方向和大小,当|a|越大时,抛物线的开口越小;当|a|越小时,抛物线的开口越大.[知识拓展]1.画函数图像时,一般情况是选点越多,图像越精确,但也要具体问题具体分析.2.抛物线是向两方无限延伸的.3.由于二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,故也称抛物线y=ax2.4.抛物线y=ax2中隐含着一个重要的条件,即a≠0,如抛物线y=(m-1)x2中m≠1.1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y= x2共有的性质是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.都有最高点 D.y随x的增大而增大解析:y=2x2,y= x2的图像开口向上,对称轴是y轴,有最低点,当x>0时,y随x的增大而增大;y=-2x2的图像开口向下,对称轴是y轴,有最高点,当x<0时,y随x的增大而增大.所以三条抛物线共有的性质是对称轴是y轴.故选B.B2.函数y=-6x2图像的顶点坐标是 ,对称轴是 ,
开口向 ,当x= 时,有最 值,是 .?解析:根据抛物线y=ax2的性质可得顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向下,当x=0时,有最大值,是0.(0,0)y轴下0大03.二次函数y=(m-3)x2的图像开口向下,则m的取值范围是 .?解析:根据抛物线y=ax2中,当a<0时二次函数的图像开口向下,得m-3<0,即m<3.故填m<3.m<34.在同一平面直角坐标系中,画出函数y= x2和y=-2x2的图像,并根据图像说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.解:先列表:然后描点、画图,得函数y= x2和y=-2x2的图像,如图所示.抛物线y= x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);抛物线y=-2x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).课件14张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.2 二次函数的图象和性质(第2课时) 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处与池中心的水平距离为3 m,水管应多长?观察与思考 小颖在同一个直角坐标系中,对二次函数y=x2,y=(x-3)2和y=(x+2)2采用如下列表、描点、连线的方式,画出了它们的图像.思考:
1.将下表补充完整:2.从形状上看,二次函数y=(x-3)2,y=(x+2)2的图像与二次函数y=x2的图像的形状和位置有什么关系?(形状相同,位置不同.)3.y=(x-3)2的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?(沿x轴向右平移3个单位长度得到.)4.y=(x+2)2的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?(沿x轴向左平移2个单位长度得到.)5.以上三个函数写成y=a(x-h)2的形式,你能类比函数y=ax2的性质归纳这类函数的性质吗?6.二次函数y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?1.一般地,抛物线y=a(x-h)2有如下性质:向上向下x=hx=h(h,0)(h,0)当xh时,y随x的增大而增大当xh时,y随x的增大而减小有最低点(h,0).当x=h时,y最小=0有最高点(h,0).当x=h时,y最大=0 2.二次函数y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h>0时,向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移|h|个单位长度.一起探究在如图所示的直角坐标系中,已经画出了二次函数y=(x-3)2的图像.(1)请你在该坐标系中再画出二次函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像.(2)请写出函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像的对称轴与顶点坐标.(3)类比前边探究函数图像的方法,函数y=a(x-h)2+k有哪些性质?(4)试着说明函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像可以分别由函数y=x2的图像经过怎样的平移得到?(5)归纳函数y=a(x-h)2+k的图像可以由函数y=ax2的图像作怎样的平移得到?1.二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质:向上向下x=hx=h(h,k)(h,k)当xh时,y随x的增大而增大当xh时,y随x的增大而减小有最低点(h,k).当x=h时,y最小=k有最高点(h,k).当x=h时,y最大=k2.二次函数y=a(x-h)2+k的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h>0时,向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移|h|个单位长度.当k>0时,向上平移k个单位长度;当k<0时,向下平移|k|个单位长度.大家谈谈(1)请说出将二次函数y=-2x2的图像,分别经过怎样的平移,可以得到函数y=-2(x-4)2+6和y=-2 -4的图像.
(2)指出函数y=-2(x-4)2+6和y=-2 -4的图像的对称轴与顶点坐标,并说明是如何确定的.归纳结论:
1.归纳函数y=a(x-h)2+k的图像是由函数y=x2的图像怎样平移得到的?2.完成下列表格:(教材第34页例1)(1)求函数y=- (x+5)2-2的最大(或最小)值.
(2)先将函数y=- x2的图像向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,请写出平移后得到的图像的函数表达式.解:(1)由- <0,知该函数有最大值.
当x=-5时,函数取得最大值,y最大=-2.(2)平移后得到的图像的函数表达式为y=- (x+2)2-3.[知识拓展]1.二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图像和性质综合列表如下:2.二次函数y=a(x-h)2+k的形式叫做二次函数的顶点式,其图像的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.3.把y=ax2的图像向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度,可以得到函数y=a(x-h)2+k的图像,一般依据“左加右减、上加下减”的原则.1.对于二次函数y=(x-2)2+3的图像,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(2,3) D.与x轴有两个交点解析:二次函数的图像开口向上,所以A错误;对称轴为直线x=2,所以B错误;顶点坐标为(2,3),所以C正确;根据函数图像可得,抛物线与x轴没有交点,所以D错误.故选C.C2.将二次函数y=x2的图像向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图像的函数表达式是 ( )
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2-2 D.y=(x+1)2-2解析:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),将该点向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得点的坐标为(1,2),所以所得图像的函数表达式为y=(x-1)2+2.故选A.A3.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数表达式为y=-2(x-h)2+k,则下列结论正确的
是 ( )
A.h>0,k>0 B.h<0,k>0
C.h<0,k<0 D.h>0,k<0解析:抛物线y=-2(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),观察图像得顶点在第一象限,所以h>0,k>0.故选A.A4.抛物线y=-3(x-2)2的开口向 ,对称轴是 .?解析:∵a=-3<0,∴抛物线的开口向下.∵抛物线y=a(x-h)2的对称轴是x=h,∴对称轴是直线x=2.x=2下解析:根据平移的规律可得平移后抛物线的解析为y=-3(x+3)2,平移前后的图像形状相同,平移后抛物线的顶点坐标为(-3,0),所以当x=-3时,y有最大值,是0.5.抛物线y=-3x2向左平移3个单位长度后的表达式为 ,它们的形状 ,当x= 时,y有最 值,是 .?y=-3( x+3)2相同-3大0课件12张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.2 二次函数的图象和性质(第3课时) 在一场足球比赛中,一名球员从球门正前方10米处起脚射门,当球飞行的水平距离为6米时达到最高点,此时球距地面的高度为3米.
(1)如图所示,建立直角坐标系,当球飞行的路线为抛物线时,求此抛物线的表达式;
(2)已知球门高为2.44米,则此球能否射中球门(不计其他情况).共同探究【思考1】(1)你能说出函数y=(x-1)2-2的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性吗?
(2)函数y=(x-1)2-2的图像与函数y=x2的图像有什么关系?
(3)你能将二次函数y=x2-2x-1化成顶点式吗?
(4)不画二次函数的图像,你能直接说出函数y=x2-2x-1的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?【思考2】 (1)对于二次函数y=2x2-4x+6,你能化成顶点式吗?
(2)用同样的方法,将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式.其中， ,做一做【思考1】 你能说出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标和最值吗?二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线,它的对称轴是 .
若a>0 ,则抛物线开口向上,顶点坐标是（ ， ）.当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大;当x=- 时,y取得最小值,且y最小= ;若a<0 ,则抛物线开口向下,顶点坐标是( , ).当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小;当x=- 时,y取得最大值,且y最大= .【思考2】
填写下列表格:(教材第37页例2)求抛物线y=x2+2x-1的对称轴和顶点坐标,并画出它的图像.解:∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2.
∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,-2).(1)列表:(2)在直角坐标系中,描点,连线,即得二次函数y=x2+2x-1的图像,如图所示.(教材第37页例3)根据下列条件,确定抛物线的表达式.
(1)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐标为(-3,5).
(2)抛物线y=ax2+bx-6经过点A(-1,3)和B(2,-6).引导:(1)抛物线y=-2x2+px+q配方化成顶点式为 ,根据顶点坐标为(-3,5)可列方程 ,解得p= ,q= ,代入表达式可得 .?
(2)由点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式可得 ,解得a= ,
b= ,代入表达式可得 .?解:(1)∵y=-2x2+px+q= .∴ , =5,
∴p=-12,q=-13.故该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.(2)点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式,即解得故该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.4.平移法,其步骤如下:
(1)利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,确定其顶点坐标为(h,k);
(2)画出函数y=ax2的图像;
(3)将函数y=ax2的图像平移,使其顶点平移到(h,k)的位置.[知识拓展] 1.由于抛物线是轴对称图形,且对称轴经过抛物线的顶点,所以抛物线上对称点连线的垂直平分线是对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.2.在求一般形式的二次函数的图像的对称轴及顶点坐标时,通常有两种方法:一是先将其配方,化y=ax2+bx+c为y=a(x-h)2+k的形式,;二是直接利用公式求顶点坐标.3.若抛物线与x轴有交点,则最好选取交点进行描点,特别是在画抛物线的草图时,应注意以下五点:开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.1.利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式:
二次函数y=ax2+bx+c配方,得y=课堂小结2.二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法:配方法找到对称轴后对称取点,描点,连线.3.二次函数y=ax2+bx+c的性质:4.待定系数法求函数的表达式.1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式,结果为 ( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2解析:y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.故选D.D解析:因为y=-x2+4x-4=-(x2-4x+4)=-(x-2)2,所以顶点坐标为(2,0),又a=-1<0,所以当x=2时,y有最大值0.故选B.2.抛物线y=-x2+4x-4 的最值是 ( )
A.当x=-2时,y有最大值0
B.当x=2时,y有最大值0
C.当x=-2时,y有最小值0
D.当x=2时,y有最小值0B3.函数y=-x2-4x-3的图像的顶点坐标是 .?解析:因为y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4-4)-3=-(x+2)2+1,所以顶点坐标为(-2,1).故填(-2,1).(-2,1)4.二次函数y=x2+bx+3的图像的对称轴是x=2,则 b= .?解析:由二次函数的图像的对称轴是 =2,解得b=-4.故填-4.-45.已知二次函数y=- x2+x+4.
(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?解:∵(1)y=- x2+x+4=- (x-1)2+ ,
∴抛物线的开口向下,顶点坐标为 ,对称轴是x=1.
(2)当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小.课件9张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根立柱支撑这个拱顶,立柱应取多长?共同探究已知不共线的三点A(1,3),B(2,-2),C(-1,1),怎样确定过这三点的二次函数的表达式呢?共同探究.
1.一次函数y=kx+b中有 个待定系数,需要 个点的坐标代入可以求解.?
2.二次函数y=ax2+bx+c中有 个待定系数,需要 个点的坐标代入可以求解.?
3.已知二次函数的图像经过三点,有三个独立条件,所以可设二次函数表达式为 ;?
4.将三点坐标代入得方程组 ;?
5.解这个方程组得 .?
所以所求的函数表达式为 .?解:设所求的二次函数表达式为y=ax2+bx+c.
将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数中,得解得所求二次函数的表达式为y=-2x2+x+4.(教材第39页例)已知三点A(0, 1),B(1, 0),C(2, 3),求由这三点所确定的二次函数表达式.解:设所求二次函数为y=ax2+bx+c.将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数表达式中,得 解得所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+1.(补充)已知抛物线的顶点坐标为(2,-4),且与y轴交于点(0,3),求这个二次函数表达式.引导:二次函数的顶点式为 ,顶点坐标为 ,?
抛物线顶点为(2,-4)的二次函数表达式可设为 ,?
点(0,3)在抛物线上,所以点的坐标满足函数表达式,所以将点(0,3)代入得 ,
解得 ,所以所求函数表达式为 .?解:设所求二次函数为y=a(x-2)2-4.
由已知得函数图像经过点(0,3),所以4a-4=3.解得a= .
所求二次函数表达式为y= (x-2)2-4,即y= x2-7x+3.1.在直角坐标系中,已知点 ,求由A,B,C三点所确定的二次函数表达式.做一做3.你能解决课前导入中的实际问题吗?2.已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图像过点(0,-3),求此函数表达式.解:由题意,知抛物线的顶点坐标为(20,16),
∴可设抛物线的关系式为y=a(x-20)2+16.∵点B(40,0)在抛物线上,
∴0=a(40-20)2+16,
∴a=- . ∴y=- (x-20)2+16.∵竖立柱的点为(15,0)或(25,0),
∴当x=15时,y=- ×(15-20)2+16=15;
当x=25时,y=- ×(25-20)2+16=15.
∴立柱应取15 m.1.(2016·甘肃中考)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是 ( )
A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+3
C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4解析:在二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中,h=- =1,k= =3.故选B.B2.(2016·河南中考)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 .?解析:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,∴代入得 解得b=2,c=3,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).故填(1,4).(1,4)3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的表达式是 .?解析:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,因为过A,B两点,将(0,-5),(5,0)代入,得 又 =2,解得a=1,b=-4,c=-5,所以所求的表达式为y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5.y=x2-4x-5解: 设此二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4,
∵其图像经过点(-2,-5),
∴a(-2-1)2+4=-5,
∴a=-1,
∴所求的二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.4.已知二次函数的图像的顶点坐标为(1,4),且其图像经过点(-2,-5),求此二次函数的表达式.课件10张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.4 二次函数的应用(第1课时) 如图所示,某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,求该校门的高度是多少.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计) 在平面直角坐标系下的抛物线型问题,我们通过求函数表达式,解决了实际问题,在这个抛物线型实际问题中,没有直角坐标系,我们如何解决呢? (教材第41页例1)如图所示,一名运动员在距离篮圈中心4 m(水平距离)远处跳起投篮,篮球准确落入篮圈.已知篮球运行的路线为抛物线,当篮球运行的水平距离为2.5 m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5 m.如果篮圈中心距离地面3.05 m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米?思考:
1.如何建立平面直角坐标系?
2.在所建立的平面直角坐标系下如何求二次函数表达式?
3.运动员出手的点在所建的平面直角坐标系下的横坐标是多少?
4.你能求出运动员出手的点的纵坐标吗?解:如图所示,建立直角坐标系,篮圈中心为点A (1.5,3.05),篮球在最大高度时的位置为点B(0,3.5).以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴(直线x=0)为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k,即y=ax2+k,而点A,B在这条抛物线上,所以有 解得所以抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.
当x=-2.5时,y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25.
答:篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m.做一做如图所示,某喷灌器AB的喷头高出地面1.35 m,喷出的水流呈抛物线形从高1 m的小树CD上面的点E处飞过,点C距点A 4.4 m,点E在直线CD上,且距点D 0.35 m,水流最后落在距点A 5.4 m远的点F处.喷出的水流最高处距地面多少米?分析：水流最高处到地面的距离即为抛物线顶点到地面的距离.为求抛物线的表达式,小亮和小惠分别建立了如图(1)(2)所示的直角坐标系,并写出了相关点的坐标.(1)(2)(1)请分别按小亮和小惠建立的直角坐标系求这条抛物线的表达式;
(2)根据以上两种表达式,求出水流最高处到地面的距离.解:如图所示,设抛物线的表达式为y=ax2+k,将点(2.2,1.35),(3.2,0)代入可得:解得所以抛物线的表达式为当x=0时,答:水流最高处到地面的距离为 m.追问: 解决与抛物线有关的实际问题的一般方法是什么?(1)当问题中抛物线在平面直角坐标系中时,合理地设出函数表达式,用待定系数法求出函数表达式,根据二次函数图像和性质解决实际问题;(2)当问题中抛物线不在平面直角坐标系中时,常建立适当的平面直角坐标系,根据题意求出抛物线上点的坐标,用待定系数法求出二次函数表达式,再根据二次函数图像和性质解决问题.练习如图所示,某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,求该校门的高度是多少.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计)解:以地面为x轴,大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,则抛物线过(0,0),(8,0),(1,4),(7,4)四点,设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,由题意得到方程组解得∴该抛物线的表达式为y=- x2+ x,顶点坐标为 , ≈9.1.
答:校门的高约为9.1 m.1.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s= v2,一辆车速为100 km/h的汽车,刹车距离是 ( )
A.1 m B.10 m C. 100 m D.200 m解析:汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s= v2,当v=100时,s=100.故选C.C2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,如图所示,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y= (x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是 m.? 解析:由题意得铅球着地的距离即是二次函数的图像与x轴正半轴的交点的横坐标,所以使 (x-4)2+3=0,解得x=10.故填10. 103.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时AB宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的表达式;
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2 m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶?解:(1)设所求抛物线的表达式为y=ax2(a≠0),
由CD=10 m,可设D(5,m),
由AB=20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,则B(10,m-3),
把D,B的坐标分别代入y=ax2得:解得(2)由(1)知m=-1,
∴拱桥顶O到CD的距离为1 m,
∴ =5(小时).
∴再持续5小时到达拱桥顶.课件12张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.4 二次函数的应用(第2课时) 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?(教材第44页例2)用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架,其横档和竖档分别与AD,AB平行.设AB=x m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米?思考:
1.当矩形的宽AB=x m时,如何用包含x的代数式表示矩形的长BC?
2.矩形的面积S与矩形的宽x之间的等量关系是什么?
3.你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式吗?
4.请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式.
5.该二次函数有没有最大值?最大值是多少?此时x的值是多少?解:∵且a= <0,∴当x=3时,S有最大值,且 .
答:当x=3时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为12 m2.利用二次函数解决生活实际中最值问题的一般方法:
1.根据题意找等量关系,列出二次函数的表达式,求出符合题意的自变量的取值范围.
2.在自变量的取值范围内,求出二次函数的最大值或最小值. (教材第44页例3)一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润?(利润、产量和档次是变量,档次是自变量,利润、产量随之发生变化)思考:
题目涉及哪些变量?哪个量是自变量?哪些量随之发生了变化?分析:
设产品的档次为x档,则每件产品的利润y也随之变化.
(1)若产品是第2档次,则产量减少 件,此时产量为 件,每件产品的利润增加 元,此时每件产品的利润为 元,产品总利润为 元.?
(2)若产品是x档,则产品提高了 档,产量减少 件,此时产量为 件,每件产品的利润增加 元,每件产品的利润为 元,产品总利润为 元.?
(3)列出利润w与档次x之间的函数表达式为 .?
(4)将该函数表达式化成顶点式为 .?
(5)当档次x= 时,利润w的最大值为 .?解:设生产第x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则:w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
=(10+2x)(84-4x)
=-8x2+128x+840
=-8(x-8)2+1352.当x=8时,w有最大值,且w最大=1352.
答:该工艺师生产第8档次的产品,可使每天获得的利润最大,最大利润为1352元.利用二次函数求实际问题的最值的一般步骤:
1.认真分析题意,找两个变量之间的等量关系;
2.根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
3.在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.做一做 某种燃气灶的开关旋钮可从0°旋转到90°.为测试开关旋钮在不同角度的燃气用量,在相同条件下,用开关旋钮的5个不同角度分别烧开一壶水,得到下列对应值:(1)若所用燃气量是开关旋钮转过角度的二次函数,求这个二次函数的表达式;
(2)当开关旋钮转过多少度时,烧开一壶水所用燃气量最少?(1)配方法:[知识拓展] 1.求二次函数最值最常用的方法有两种:若a>0,则当x=- 时,y最小值= ;
若a<0,则当x=- 时,y最大值= .(2)公式法:直接利用上述关系式经过配方得出结论.3.数形结合思想在本节课通过二次函数求实际问题中的最值问题中得到了广泛的应用.2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.1.如图所示,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 ( )
A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2解析:设BC=x m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.C2.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°, AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止运动,则△APQ的最大面积是 ( )
A.8 cm2 B.16 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2解析:根据题意得P沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,设运动时间为t s,∴AP=2t,AQ=t,S△APQ=t2,∵0则当x= ,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.?解析:由题意得y=(8-x)x,即y=-x2+8x,∴当 =4时,
y取得最大值.故填4.44.在距离地面2 m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:s=v0t- gt2(其中g是常数,通常取10 m/s2).若v0=10,则该物体在运动过程中最高点距地面 m.?解析:把g=10,v0=10代入s=v0t- gt2,得s=-5t2+10t=-5(t-1)2+5,它是开口向下的一条抛物线,所以最大值为5,此时离地面的高度为5+2=7(m).故填7.75.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件,该店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元.
商品每天的利润y与x的函数关系式是:
y=(10-x-8)(100+100x),
即y=-100x2+100x+200,配方得y=-100 +225.
因为x= 时,满足0≤x≤2,所以当x= 时,函数取得最大值,最大值为225.
所以将这种商品的售价降低 元时,能使销售利润最大.课件8张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.4 二次函数的应用(第3课时) 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.已知商品的进价是40元,你能写出利润y与售价x之间的函数表达式吗?一星期能获得6125元的利润吗?汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,这段距离叫做刹车距离.刹车距离是分析和处理道路交通事故的一个重要因素.有一个道路交通事故案例:甲、乙两车在限速为40 km/h的湿滑弯道上相向而行,待望见对方,同时刹车时已经晚了,两车还是相撞了.事后经现场勘察,测得甲车的刹车距离为12 m,乙车的刹车距离超过10 m,但小于12 m.根据有关资料,在这样的湿滑路面上,甲车的刹车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为s甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车距离s乙(m)与车速x (km/h)之间的关系为s乙= x.(1)甲车刹车前的行驶速度是多少千米/时?甲车是否违章超速?
(2)乙车刹车前的行驶速度在什么范围内?乙车是否违章超速?解:(1)将s甲=12代入s甲=0.1x+0.01x2,得
12=0.1x+0.01x2,(1)甲车刹车前的行驶速度是多少千米/时?甲车是否违章超速?化简,得x2+10x-1200=0,
解得x1=30,x2=-40(舍去).
即甲车刹车前的行驶速度为30 km/h,小于40 km/h,不违章超速.(2)∵10∴10< x<12.
∴40∴乙车刹车前的行驶速度在40 km/h~48 km/h,乙车违章超速.(2)乙车刹车前的行驶速度在什么范围内?乙车是否违章超速?追问:
已知二次函数的某个函数值,如何求解对应的自变量的值?已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y=m,就可利用一元二次方程ax2+bx+c=m确定与它对应的x的值. (教材第47页例4) 如图所示,已知边长为1的正方形ABCD,在BC边上有一动点E,连接AE,作EF⊥AE,交CD边于点F.
(1) CF的长可能等于 吗?
(2)点E在什么位置时,CF的长为 ?解:设BE=x,CF=y.
∵∠BAE=∠CEF,
∴Rt△ABE∽Rt△ECF.(1)∵y最大= ,
∴CF的长不可能等于 .(2)设-x2+x= ,即16x2-16x+3=0.
解得x1= ,x2= .
∴当BE的长为 或 时,
均有CF的长为 .1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,在如图所示的平面直角坐标系中,其函数的关系式为y=- x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为 ( )A.-20 m B.10 m
C.20 m D.-10 m解析:根据题意,把y=-4直接代入表达式y=- x2,即可解得x=±10,所以A(-10,-4),B(10,-4),即可得水面宽度AB为20 m.故选C.C2.如图所示的是某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9 m,AB=36 m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7 m,则DE的长为 m. ?解析:如图所示,以点C为原点建立平面直角坐标系,依题意,得B(18,-9),设抛物线的表达式为y=ax2,将B点坐标代入,得a=- .∴抛物线的表达式为y=- x2,依题意得D,E点纵坐标为y=-16,代入y=- x2,得-16=- x2,解得x=±24.∴D点横坐标为-24,E点横坐标为24,∴DE的长为48 m.故填48.483.如图所示,抛物线的表达式为y=-x2+6x,矩形边AB在x轴上,C,D在抛物线上(第一象限).求矩形周长的最大值.解:设OA=m,把x=m代入抛物线y=-x2+6x中,得AD=-m2+6m,
把y=-m2+6m代入抛物线y=-x2+6x中,得-m2+6m=-x2+6x,
解得x1=m,x2=6-m.
∴C的横坐标是6-m,故AB=6-m-m=6-2m,∴矩形的周长是C=2(-m2+6m)+2(6-2m)=-2m2+8m+12.当m=- =2时,C有最大值,为 =20.
∴矩形周长的最大值为20.课件11张PPT。九年级数学·下 新课标[冀教]第三十章 二次函数30.5 二次函数与一元二次方程的关系思考并回答下列问题:
1.下列方程与函数形式上有何联系?
x2-2x-3=0,y=x2-2x-3
2.方程的根与函数图像有什么关系?(方程左边的式子就是函数表达式中“=”右边的式子)(函数值y=0时x的值,即函数图像与x轴交点的横坐标.)观察与思考如图所示,已知同一直角坐标系中抛物线y=x2+2x-3,y=x2-6x+9,y=x2-4x+6.(6)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间有什么关系?(1)这三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况分别是怎样的?(2)当y=0时,这三条抛物线的表达式对应的方程分别是x2+2x-3=0,x2-6x+9=0,x2-4x+6=0,它们根的情况分别是怎样的?(3)上述三个方程根的情况与它们所对应的三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况具有怎样的关系?(4)抛物线y=ax2+bx+c和x轴的交点有几种情况?由什么决定的? (5)抛物线y=ax2+bx+c和x轴相交(或不相交)的情况与一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况有什么关系?1.填表:2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根.1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根.(教材第51页例)求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1)如图所示,画出二次函数y=x2-2x-6的图像.思考:
观察画出的抛物线,设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2,不妨设x1(1)容易看出:
当x=-2时,y>0;当x=-1时,y<0,且-2当x=-1.5时,y=(-1.5)2-2×(-1.5)-6=-0.75<0;当x=-2时,y>0.在-2当x=-1.75时,y=(-1.75)2-2×(-1.75)-6=0.5625>0;当x=-1.5时,y<0.在-1.75当x=-1.625时,y=(-1.625)2-2×(-1.625)-6=-0.109375<0;当x=-1.75时,y>0.在-1.750(a≠0)的解集即为图像在x轴上方的点所对应的x的值组成的集合;不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集即为图像在x轴下方的点所对应的x的值组成的集合.2.一元二次方程的图像解法体现了数形结合思想,我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系,一元二次方程是二次函数的特殊情况(即y=0时的情况),一方面我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根,另一方面,也可以借助求一元二次方程的根来判断二次函数图像的位置,这样可以使所画的抛物线比较准确.解析:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为方程ax2+bx+c=0根的个数.故选A.1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定A2.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图像如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 ( )
A.无解
B.x=1
C.x=-4
D.x=-1或x=4解析:因为抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(4,0),所以方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.故选D.D解析:由图像可得,x轴下方图像对应的x的取值范围为-1A.x<-1
B.x>3
C.-1D.x<-1或x>3C4. (2016·荆州中考)若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,则a的值为 .?解析:∵二次函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,∴Δ=16-4(a-1)×2a=0,∴a=-1或2.故填-1或2.-1或25.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的表达式;
(2)根据图像,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.解:(1)将点(-1,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c中,得:∴二次函数表达式为y=-x2+2x+3.(2)令y=0,则-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∵抛物线开口向下,∴当-10.
