经历动态过程 还原思维历程
引言：抛砖方能引玉，与大家交流，目的是想偷各位高手们的绝招，为我的课堂教学服务，解救自己，造福学子。群内高手们绝招太多，或许用起来时根本就想不起来应该用哪一招，所以成此拙作，就是想诱发大家的课堂教学回忆，激发思考，求同存异，为动点几何教与学共支招，造福更多的师生。
运动几何问题以平移、旋转、翻折等图形变换方式呈现，代数、几何核心知识联袂，动静有序，充满创意，凝聚着命题者的智慧与心血。受时间等因素的影响，批阅或评讲时，过于迷信答案，或受参考答案先入为主的制约，就会考虑不周而出错，或者不能揭示思考过程，从而错失提升学生解决问题能力的良机。笔者以平常我们为学生选择的8个练习作业的立意、评讲及解答为例，从点动、线动、面动三个类型，剖析动态类几何教学现状，探讨如何动态几何教学引入时机、如何引导学生揭示解答动态几何问题等策略，还原思维历程，提升学生解决问题的能力，抛砖引玉。
1当前动态几何教学现状
1.1学生因素
由于学生基础知识不均衡，思维水平参差不齐，思考问题方式及层次差异，加上学习缺少毅力，大约有七成学生是惧怕动态类几何题，他们感觉无法下笔，对这类题一般是放弃。但事实表明，如果我们早介入，早指导，早训练，相当多的学生还是能接受的。
1.2教师因素
动态几何问题，作为教师，两个方面有待改进。一是担心，二是指导不得法。担心过早介入，会影响整体学生学习积极性，让学生有畏难情绪，从而影响学习效果，所以总是在放在九年级用专题复习，收效甚微。就题讲题、用而不研，课堂内重结论、轻视学生基本活动经验的做法很普遍，导致学生不能发现、提出问题；缺少对基本思想方法的归纳，无法提升学生分析、解决问题的能力；不能形成系统的模型思想。考试时很难实现整体水平提高、及格到优分、优分更优的蜕变。
案例1:如图（1），已知AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC
（1）若△ABC中，∠B﹤90°,D为BC上的一点，点E在△ABC的外部，求证：AD=AB。
（2）若△ABC中，∠B﹥90°，D在CB延长线上，点E在△ABC的下方，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请在图（2）中画出图形，并加以证明；若不成立，请说明理由。
试题立意解读：本题是在学生学习了全等三角形四个判定方法后，选配的一道习题。题目意图很明显，以等腰三角形和“X”型基本图形为背景，借助全等变换，全面提升学生推理论证能力。对八年级学生来说，有一定的训练价值，为学生掌握动态几何问题解题策略早布局，是一道难得的好题。
参考答案剖析
笔者百度了下，发现网上呈现的解答都和参考答案完全一致，现摘录如下：
解：（1）因为∠EAC+∠E+∠AFE=∠AFE+∠CFD+∠C，而?∠EAC=∠EDC，∠AFE=∠CFD，?所以∠C=∠E ，又因为∠BAD=∠EAC，所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，从而∠BAC=∠DAE，? 而AC=AE，? 所以△BAC≌△DAE，?所以AB=AD。
（2）如图（图6）， 如图（图6），AE与DC交于F，因为∠EAC+∠C+∠AFC=∠DFE+∠EFD+∠E，而?∠EAC=∠EDC，∠AFC=∠DFE，?所以∠C=∠E ，?因为∠BAD=∠EAC，所以∠BAD－∠EAB=∠EAC－∠EAB，?从而∠BAC=∠DAE，而已知AC=AE，所以△BAC≌△DAE，得到AB=AD。
对于第（2）小题，略加思索，依照条件，画出了不同于上述答案的图形。笔者在图（1）的基础上，把AE绕A顺时针旋转，由于AC=AE，发现此时E与C正好重合，如图（3）但此时，显然与点E在△ABC的下方这个条件不符，应该舍去。再继续旋转便得到图（4），显然符合题意；继续旋转，得到E正好落在AB的延长线上得到图（5），也符合题意；继续旋转，便得到图（6），得到和参考答案一样的解答图。至此，难免产生了两点疑问，一是同题同解图却不同，那些符合题意的图形，是不是会有不同于参考答案提供的结论或推理过程呢？换句话说，参考答案或许掩盖了解决这类问题的思维历程；二是依照答案那样解答和评讲，能否诠释命题者的意图，学生是否就能获得解决这类问题的方法和经验呢？也就是说，评析时，如何引导学生感受线段AE的运动过程呢？
经过仔细解答，发现各类参考答案并没有出错，只是考虑问题不全面，以偏概全，从数学角度看，解答不严谨，分类不全面。解决一个问题，常会从特殊到一般，找到解决问题的办法后，对这个问题进行系统研究。对照上述图例，在排除图（3）这种情况后，对第（2）问可对AE位置分成三种情形：一是AE落在∠BAC内部；二是AE落在∠BAC边AB的延长线上；三是AE落在∠BAC外部。可进行以下全面的解答：
如图（4）,AE与DC交于F，因为∠EAC+∠C+∠AFC=∠DFE+∠EFD+∠E，而?∠EAC=∠EDC，∠AFC=∠DFE，?所以∠C=∠E ，?因为∠BAD=∠EAC，所以∠BAD+∠EAB=∠EAC+∠EAB，从而∠BAC=∠DAE，?而已知AC=AE，所以△BAC≌△DAE，得到AB=AD。
如图（5），继续旋转，得到E正好落在AB的延长线上，而∠EAC=∠EDC=∠BAD，又∠EAC+∠C+∠AFC=∠DFE+∠EFD+∠E，而?∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE，?所以∠C=∠E ，已知AC=AE，所以△BAC≌△DAE，得到AB=AD。
如图（6），AE与DC交于F，因为∠EAC+∠C+∠AFC=∠DFE+∠EFD+∠E，而?∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE，?所以∠C=∠E ，?因为∠BAD=∠EAC，所以∠BAD－∠EAB=∠EAC－∠EAB，?从而∠BAC=∠DAE，而已知AC=AE，所以△BAC≌△DAE，得到AB=AD。
2、动态几何教学策略
解决运动几何关键是抓住运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系。如何找出这些关系，必要的一步就是引导学生认真分析运动过程，画出各种情形下的静态图形，通过画图让学生经历探索的过程，发现图形性质及图形变化，并合情推理，掌握数学建模方法，提升学生获取信息和处理信息的能力。
2.1动态几何教学基本设想
2.1.1从早布局破局
七年级借助数轴和线段和差，设计动点问题，包括单点及双动点运动，消除对几何运动问题的恐惧心理；八年级借助角平分线及全等变换，渗透线动、面动等问题，帮助学生建立解决动点问题的兴趣；九年级再分专题，研究中考题，进行点、线、面等动点问题专题训练，提升和优化学生处理动点问题的基本策略。
案例2：已知数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，B在原点的右边，从A走到B要经过32个单位长度。
（1）求A、B两点所对应的数。
（2）若点C也是数轴上的点，C到B得距离是C到原点的距离的3倍，求C对应的数。
（3）已知M从A向右出发，速度为每秒一个单位长度，同时N从B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设NO的中点为P，PO-AM的值是否变化？若不变求其值。
试题立意解读：（长江学案七上１２页）。本题以数轴这个核心知识点，渗透方程思想。由于刚上七年级的学生，思维能力有限，初次接触这类动态问题，感觉还是比较困难，这时需要教师主动引导他们画出相应的静态图，从而找出解决问题的办法，养成方程（函数）模型解决这类问题的思考习惯。
（1）A、B两点所对应的数分别为：-8,24.
（2）若点C也是数轴上的点,点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍,求点C对应的数，设C点为x,则|x-24|=3|x|，所以x-24=3x,x=-12，2.x-24=-3x,x=6，C对应的数为：-12或6.
（3）设运行时间为t,则M点的坐标为：-8+t，N点的坐标为：24+2t，P点的坐标为：（24+2t）/2=12+t，|AM|=-8+t-(-8)=t，|PO|=12+t，PO—AM=12+t-t=12，即值不变=12.
案例3：如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm,
点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发.
(1)当P在线段AB上且PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；
(2)若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？
(3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求 的值.
试题立意解读：2014-2015江苏泰州靖江七上期未试题，从题中我们可以看出点P及Q是运动的，当PA=2PB时，实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA=40,PB=20.由速度公式就可求出它的运动时间，正好是点Q的运动时间，点Ｑ运动到时的位置恰好是线段AB的三等分点，要注意三等分点是二个点，因此要分两种情况，分别是时，时，由此可求出它的速度。
对于第二小问，要分P，Q相向而行和相背而行，同样可求解。
对于第三小问，F是固定的，由于P的运动，导致E成为一个单动点问题。弄清Ｐ的运动状况决定解题成败。七年级学生，思维有一定局限性，用画板动态演示动态问题，直观但忽视学生能力培养。怎么办？评讲时，就必须引导学生视作一个静态图形，还是回到读题，引导学生读懂过程，画出直观图，让动态问题相对静止，找出临界点，分清情况，比老师告诉他们这是分类、方程思想来求解，有效得多。评讲时，关键就是以A、B、C、F为临界点，特殊引路，方法自然而然得出，从而得出五种运动过程，P与A重合、P在AF之间，P与F重合，P在BF之间， P与B重合，显然比用画板演示，更能培养思维能力，形成思考问题有效方式，更为重要的是学生学会了解动态问题的方法和策略。
解：(1)当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60,可求得：
PA=40，OP=60，故点P运动时间为60秒.
若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为：50÷60=（cm/s）；
若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为：30÷60=（cm/s）.
(2)设运动时间为t秒，则：
①在P、Q相遇前有：90-（t+3t）=70，解得t=5秒；
②在P、Q相遇后：当点Q运动到O点是停止运动时，点Q最多运动了30秒，而点P继续40秒时，P、Q相距70cm，所以t=70秒，
∴经过5秒或70秒时，P、Q相距70cm .
(3)设OP=xcm，点P在线段AB上，20≦x≦80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，
EF=OF-OE=(OA+)-OE=(20+30)-=50-，∴.
案例4：已知：CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．?
若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：?
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90，则BE____CF；EF____|BE-AF|（填“>”，“<”或“＝”）
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
如图3，若直线CD经过 的外部，∠α=∠BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．?
试题立意解读：2012江苏昆山市八上期未试题，是对三角形全等知识考查。试题借助一线三等角这一基本图形，如果有边等用全等，无过等可考虑相似，以这种基本图形命制的习题可以很好地训练学生思维，提升学生的解题能力。教学中发现，包括网络上的评讲，思路和答案都很不错，但个人感觉这些答案提供的分类标准不是很好，如果这样评讲，部分学生还是不能抓住本质，画不出图形，导致理解不透。在校内，通过集体备课研讨后，大家一致认为最好的办法就是化归到点动问题一样的评讲策略，即特殊探路：由于这里的直线CD是运动的，那么射线CD经过∠BCA的内部时，有没有特殊位置？如果有，此时图形是怎样？学生会很快地找出当射线CD与角∠BCA的平分线重合时，此时E、F重合这一特殊情形，自然就会以直线CD为标准进行运动图形情形分类，得出E、F在射线CD相对位置关系，这比各类答案提供的分E在F的左边，E在F的右边这样分类是否要自然合理些，学生是否好接受些？更重要的是把解决点动问题的策略借用到线动问题，或许是对张景中院士提出的 “一种方法解很多题，要好过很多方法解一个题”的理念最好的实践。
2.1.2经历动态过程
案例5:长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．
（1）求点B的坐标；
（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1:4两部分，求点P的坐标；
（3）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM＝∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
试题立意解读：2012-2013学年武汉市江汉区七下期中考试试题。双角平分线问题，是一个典型的基本图形，也是各地教师作为培养学生解决动态几何问题的选题背景，本质上是线动问题。过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1:4两部分，对这句话,如何理解是解决本题关键。请注意，Ｂ点是不动点，这样一来，问题可转化为案例４一样，找出长方形OABC内一条特殊的线段，是不是OB，此时，我想，找到了特殊，学生才会走向一般，从而得出BP在OB下方与边OC交于点P及BP在OB上方与边OC交于点P这两种情形，再借助方程来求解。对于第三问，是动点问题，只要画出符合题意的静态图形，就能获解。
解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA＝5，OB＝3，且点B在第三象限，
∴B（－5，－3）.
（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知： ×AB×AP＝×OA×OC，
即×3×AP＝×5×3，∴AP＝2
∵OA＝5，∴OP＝3，∴P（－3,0）
若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知： ×BC×PC＝×OA×OC，
即×5×PC＝×5×3，∴PC＝
∵OC＝3，∴OP＝，∴P（0,）.
综上所述，点P的坐标为（－3,0）或（0,）
（3）延长BC至点F，
∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC.
∴∠CBM＝∠AMB，∠AMC＝∠MCF.
∵∠CBM＝∠CMB，∴∠MCF＝2∠CMB.
过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC＝∠MCD.
又CD平分∠MCN，∴∠NCM＝2∠EMC.
∴∠D＝∠BME＝∠CMB－∠EMC，
∠CNM＝∠NCF＝∠MCF－∠NCM＝2∠MCF－2∠NCM＝2∠D，
∴.
案例6：在矩形ABCD中，，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．
（1）如图1，当DH=DA时，
①填空：∠HGA= 度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；
（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．
试题立意解读：（2014?湖北宜昌）：借助翻折这种几何变换方式，以一点运动为载体，探求比值问题．借助本题，帮助学生有效复习矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，训练学生几何直观、观察猜想、操作探究、推理验证等基本能力，学会根据题意做出辅助线，构造直角三角形这种基本几何模型进行求解的基本解题技能．本题范点有：
一是重视基础知识和基本解题技能．求∠HGA时，可根据矩形的性质和DH=DA得出∠HAE=45°，再根据HA=HG，得出∠HAE=∠HGA=45°；这样组织复习，面向全体学生，有效地复习了三角形内角和、等边对等角、直角三角形两锐角互余等基础知识．
二是关注学生学习活动经验．此题是单点运动问题，解答方法是找准临界点，分别画出各个时刻的图形，将图形由“动”变“静”， 各个击破，设法分别求解．学生只有亲历画图过程，发现G是运动的临界点，得出分类标准是E在线段AG、线段GB上运动两种情况，才能求a的最小值．通过观察图形的变化情况，在变化中找到不变的性质，这种求解过程是学生自主学习的过程，也是获得解决数学“动点”探究题的基本经验的过程．
三是彰显数形结合、方程建模与参数思想在解题过程中的灵活运用．过点H作HQ⊥AB于Q，得出四边形DAQH为矩形，设出两个参数AD=x，GB=y，由折叠的性质、特殊角的三角函数值等基础知识，利用方程、函数得到+2y=4y，y=这两个模型，由化归思想得AB=，求出a=．
解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°，
∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°，∴∠HAE=45°，
∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°；故答案为：45°；
②分两种情况讨论：
第一种情况：如图1，当E在线段AG上运动时
∵∠HAG=∠HGA=45°；∴∠AHG=90°，
由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°，∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，
即∠AHE+∠FHE=45°，∴∠AHE=22.5°，此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2；
第二种情况：如图4，当E在线段GB上运动时
∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH，∴∠AEH=∠FEH=22.5°，
∵EF∥HG，∴∠GHE=∠FEH=22.5°，∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，此时，当B与E重合时，a的值最小．
（2）设DH=DA=x，则AH=CH=x，在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得： AG=AH=2x，∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH， ∴∠AEH=∠GHE，∴GH=GE=x，∴AB=AE=2x+x，∴a的最小值是=2+；
（2）如图5：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，∴四边形DAQH为矩形，∴AD=HQ，
设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=60°，
在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4y，
在Rt△HQE中，EQ=，∴QG=QE+EG=+2y，
∵HA=HG，HQ⊥AB，∴AQ=GQ=+2y，∴AE=AQ+QE=+2y，
由折叠可知：AE=EF，∴+2y =4y，∴y=，
∴AB=2AQ+GB=2（+2y）+y=x，∴a=。
2.1.3还原思维历程
立足学生已有的知识和解题经验，以特殊图形运动为抓手，从引导学生读题，型清运动过程入手，考虑极端，分清临界点，画出相应的静态图形，从特殊情况猜测答案，探求一般情况下解决问题的方法。探讨运动问题解题策略．在注重基础的同时，也让学生感悟运动观点、方程、函数、分类、数形结合、转化、等基本的数学思想方法．
案例7：已知， OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
（1）如图：若C为∠AOB内一点，探究∠MON与∠AOB 的数量关系；
（2）若C为∠AOB外一点，且C不在OA、OB的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠MON 与∠AOB 的数量关系.
试题立意解读：北京西城区2014年秋七上期未试题。试题以双角平分线为背景，突出角平分线定义、角的和差、分类思想、方程思想等内容考查，由于Ｃ点是动点，从而导致OM和ON也随之运动，因而学生想画出正确的运动图形，是很困难的。借助几何画板，能直观显示，但学生理解起来也比较吃力，他们解答时是不会想到的。然而，就是这一道题，我们在指导学生时，由于方法不对，错失了动态几何较普适的解法，从而人为地增加了学生思维的难度。集体研究后，我们改进了讲法，依照特殊引路思路，再读且C不在OA、OB的反向延长线上，那万一在呢？学生很快发现Ｃ会落在四个区域，从而进行了合理分类，理解起来也很容易。在不使用画板情况下，引导得法，让学生经历了化运动问题静态过程，为方程模型求解过程的奠基，再现思路历程，既注重了基础知识，又兼顾能力发展，能很好地落实“人人都能获得良好的数学教育”的理念。
案例8：半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上。
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点。
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是（ ）
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围。
试题立意解读：面动类（2013?湖北宜昌）立足正方形和圆，以面动为载体，探求解法最优化．抓住AD与圆相切、过E点、过O点、直到BC与OF重合四个临界点，在静态图形中猜测扇形MON的面积的变化，以相似三角形为抓手建立方程模型求解．其实，建立方程模型方式并不是唯一的，由射影定理，得=OA?OB，得OA（2+OA）=4，解得OA=；也可以从三角函数入手：在Rt△OAE中，cos∠EOA=，在Rt△EOB中，cos∠EOB=，可得，同样解得OA=。通过解法多样性的探讨，学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，充分理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，积累最优解法的经验，充分实现“不同的人在数学上得到不同的发展”基本理念
解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；
②如图18，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，
∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，
∴△EOA∽△BOE，∴，∴=OA?OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=，∵OA＞0，∴OA=；
（2）设∠MON=n°，，
S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，最小，如图19，过O点作OK⊥MN于K，
∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK=，
∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，
∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，
当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，（cm）
当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，=，∴。
2.2 教学动态几何基本策略
2.2.1依托教材，着眼学生
个人一直自以为，动点问题，起始于字母示数，发展于线段和差，拓展于基本几何图形，升化于三大几何变换，数形联袂，动静结合。这类题，知识多点，图形多变，方法多面，思维多层，解答多样，无论于学生应考分数，还是用其临界定位分析特殊化思维方式，提升自己生活质量，都有其应有的教学价值，因而受各地中考命题者青睐。从七年级数轴一点运动启蒙，到双线段平移，消化双中点及双角平分线模型，慢慢滴灌渗透，到八九年级借助旋转平移等进一步做专题式深化分类、数形结合、方程与函数等思想方法。训练时，有意把静态几何题到动态问题改编，临界定位肢解转化为基本图，发现经典并适度拓展等；解答时，坚持临界定位肢解图形，设元有力，转化有道。
2.2.2优先观察，特殊探路
动态几何特点：问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系。利用几何直观，找到临界点，从特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置为切入点，为解决问题探究基本思路。解题过程中需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动变化的全过程，关注特殊点、临界点，特殊探路，合理分类，获取解决问题的办法。
对于点动型，可引导学生从关注特殊点、临界点出发，案例3正是以A、B、C、F为临界点，特殊引路，方法自然而然得出，从而得出五种运动过程，P与A重合、P在AF之间，P与F重合，P在BF之间， P与B重合，获取各类运动相应静态图。案例6正是发现G是运动的临界点，得出分类标准是E在线段AG、线段GB上运动两种情况，才能求a的最小值。
对于线动类，可借助数轴定位分析或引导学生采用“消点法”[1]思路，观察线段可能经过的特殊位置，获取思路。案例1中正是关注AE落在∠BAC的位置关系，找出AE与AB与AC所在直线重合这两个临界点；关注当AE在∠BAC内部与外部之间运动时，AE在∠BAC可能与AB，AC重合这两种位置关系；从而引导学生从这两种特殊图形入手，分别画出上述五种符合条件的图形，化静为动，在每种运动情况下对应的图形中去探求运动中的不变量、不变关系或特殊关系，从而获得动中取静、静中建模的解题经验[2]。案例4学生会很快地找出当射线CD与角∠BCA的平分线重合时，此时E,F重合这一特殊情形，自然就会以直线CD为标准进行运动图形情形分类；案例5正是从OB，案例7从OA、OB的反向延长线上等特殊出发，获得了解决办法。
对于面动型，可以引导学生化归到点动、线动型来寻求特殊点及临界点，案例8就是引导学生抓住AD与圆相切、过E点、过O点、直到BC与OF重合四个临界点，在静态图形中猜测扇形MON的面积的变化，以相似三角形为抓手建立方程模型求解．
2.2.3直观猜想，适度技术
运动问题以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。能全面考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。 往往由各种不同的简单、最基本的图形组合而成，把要解决的问题作为化归对象，把基本的图形作为化归目标，将复杂的图形化归为基本图形，再用图形性质就可以求解[3]。确定好分类标准，画出各种图形是解题必要的一步。问题是，在不使用几何画板演示的情况下，如何画出各种运动情形对应的图形？
其实，学生是有办法的，有的学生能很好地运用作图工具，这当然很好。万一学生不通过思考，只画出其中一种运动的对应图形，这时，怎么办？分析条件，特别是一些特殊条件，会对猜想在起到意想不到的效果。注意题中AE=AC,作图习惯好的学生可能会利用手中的圆规，以Ａ为圆心，AC为半径画弧，从而找出符合条件的E点的轨迹，画出正确的图形；也有的学生兴许在在⊿ABC的下方胡乱点出E点，从而画出符合条件的一种情形，进行了不全面的解答；诚然，课堂中，几何画板在解决运动型几何问题有着很大的优越性，是师生们常用的武器。但很多时候，由于几何画板课件演示时机不当，导致形象直观代替了逻辑推理，学生根本没有形成解决这类问题较为系统的方法，甚至于当没有几何画板支撑下，有少数学生不小心恰好把E点在BC和AC延长线组成的区域，从而错误地作不出同时符合∠BAD=∠EAC=∠EDC条件的图形，造成解答困难，针对这种情形，解决办法是有的，但不宜全班评讲：此时设AE交BC延长线于M连CE，设AE交BC延长线于M连CE，从而有∠ABC﹥900 ,则∠ACB﹤900,∠ACM﹥900，而∠ACE=∠ACM+∠MCE，从而∠ACE﹥900，得到∠AEC﹤900,则AC﹤AE,这与AC=AE矛盾，这种情形不成立，从而引导学生在向着AC方向移动，求得解决。虽然大家都知道，几何画板演示是在思考之后进行验证，但很多时候，由于时机等，几何画板无形中替代了思考，正如画出E点在BC和AC延长线组成的区域时，几何画板是无法演示的，而此时进行合理说明，是需要付出很大的思维代价的。因此，正确使用几何画板进行动态几何问题教学，仍是一个值得研究的课题。
2.2.4建立模型，计算说明
近几年考查探究运动中的特殊图形的性质，探究特殊角或其三角函数、线段长或面积的最值为主。解决时，引导学生通过分析，经历图形动态过程，从特殊出发，考虑极端，合理分类，重现各种运动情况下对应的静态图形；再用模型思想化归到熟悉的几何模型或代数模型，从多变的图形中呈现不变的关系，充分发挥几何直观的重要作用，用动态眼光去分析[4]，找准动态图形的临界点，从特殊出发，最后通过规范求解完成整个题目的推理、计算．通过解法多样性的探讨，学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，充分理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，积累最优解法的经验，用规范书写表达还原解答的思维历程。
结语：教之道贵在引，学之道贵在悟。动态几何问题教学，个人觉得关键是从思考习惯、方法上在引导学生去悟，然后让学生形成自己解决问题的策略。通过解决，有助于培养学生综合解题能力，深化数学知识理解，丰富学生解题营养，提升思维品质。思考习惯是引导学生从题设到结论，从内容到图形，从直观到隐蔽，捕捉题干中的重要结点，辨识图形中的分界点，发现合理的解题要点，架设由题设条件通往终极目标的桥梁，从而迅速把握解题策略。题目承载思想，解答藏匿智慧，评讲展现风范。教无定法，引导有法，只要我们教师怀揣“教育为学生终身发展奠基”的思想，互不保守，相互交流，以“学”定“教”，借讲助导，借研优教，基于学生最近发展区去还原思维过程真相，引导学生真实经历动态过程，还原思维历程，就一定会寻找到通性通法，探索出解决动态几何问题方法自然生成的轨迹。
参考文献：
[１]何勇波，用“消点法”求双动点线段（和）的最值[J].中小学数学：初中版，2015（6）：38-39
[２]谭 俊，化动为静 妙解动态类问题[J].数学课程实践与探索，2011(1)：24-27.
[３]奚喜兵，谋定而后动：几何动点问题解决策略[J].中学数学：初中版，2015（5）：79-81.
[４]张韦强，探究“一对一”图形的多变性与不变性 [J].中学数学教学参考：中旬，2013(10):41-43.
2105年10月幽谷记录整理，成此反思，敬请斧正，诚谢！
课件17张PPT。经历动态过程 还原思维历程－－初中动态几何教学策略初探分享一个小故事感悟：其实生活何尝不是这样,有时需要你有几分定力,需要你“咬定青山不放松”、“为伊消得人憔悴”的坚守与执著;有时需要你及时调整航向,需要你具备“条条大路通罗马”的灵活与变通能力;有时需要你对眼前的进退、取舍作出理智的选择,需要你有“天涯何处无芳草”的从容与自信——一个华丽的转身,你会欣然发现上帝为你开启着另一扇成功的大门。
三只蚂蚁 一只蚂蚁来到石头下,它急急忙忙地往上攀爬。这块石头对它来说既陡峭又光滑,蚂蚁爬到一半就掉下来了,于是再爬,便又再掉,爬而又掉,但终于爬过了那块石头; 另一只蚂蚁则不然,它绕过石头,走向了它的目的地;第三只小蚂蚁到来,望石而回转,也找到了丰富的食源。
收获：必要的坚持,灵活的变通,适时的放弃,这就是生活的辩证法,事业成功的法宝,也是人生的智慧。以静制动，静观动态中不变的本质，不失解决问题的一种策略。引言 运动几何问题以平移、旋转、翻折等图形变换方式呈现，代数、几何核心知识联袂，动静有序，充满创意，凝聚着命题者的智慧与心血。 受时间等因素的影响，批阅或评讲时，过于迷信答案，或受参考答案先入为主的制约，就会考虑不周而出错，或者不能揭示思考过程，从而错失提升学生解决问题能力的良机。 以平常我们为学生选择的8个练习作业的立意、评讲及解答为例，从点动、线动、面动三个类型，剖析动态类几何教学现状，探讨如何引导学生揭示解答动态几何问题的策略，还原思维历程，提升学生解决问题的能力，抛砖引玉。1 当前动态几何教学现状1.1学生因素基础知识不均衡 、思维水平 、思考问题方式 、学习毅力 1.2教师因素担心有余 、指导不得法 方法缺少归纳，能力无法提升；模型思想不成系统。 案例1:如图（1）已知AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC
（1）若△ABC中，∠B﹤90°,D为BC上的一点，点E在△ABC的外部，求证：AD=AB。
（2）若△ABC中，∠B﹥90°，D在射线CB上，点E在△ABC的下方，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请在图（2）中画出图形，并加以证明；若不成立，请说明理由。
（1）因为∠EAC+∠E+∠AFE=∠AFE+∠CFD+∠C，而?∠EAC=∠EDC，∠AFE=∠CFD，?所以∠C=∠E ，又因为∠BAD=∠EAC，
所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，从而∠BAC=∠DAE，? 而AC=AE，?
所以△BAC≌△DAE，?所以AB=AD。
（2）如图（图6）AE与DC交于F，因为∠EAC+∠C+∠AFC=∠DFE+∠EFD+∠E，而?∠EAC=∠EDC，∠AFC=∠DFE，?所以∠C=∠E ，?因为∠BAD=∠EAC，
所以∠BAD－∠EAB=∠EAC－∠EAB，?从而∠BAC=∠DAE，而已知AC=AE，
所以△BAC≌△DAE，得到AB=AD。如何评讲？
按答案评讲有哪些问题？两点疑问：
一是同题同解图却不同，那些符合题意的图形，是不是会有不同于参考答案提供的结论或推理过程呢？ 二是依照答案那样解答和评讲，能否诠释命题者的意图，学生是否就能获得解决这类问题的方法和经验呢？ 对第（2）问,可引导学生对AE位置分成三种情形：一是AE落在∠BAC内部；二是AE落在∠BAC边AB的延长线上；三是AE落在∠BAC外部。 从特殊到一般 2、动态几何教学策略2.1动态几何教学基本设想
2.1.1从早布局破局七年级借助数轴和线段和差，设计单点及双动点运动，消除恐惧；
八年级借助角平分线及全等变换，渗透线动、面动，建立信心；
九年级分专题训练，分析改编中考题，提升和优化解题策略案例2：已知数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，B在原点的右边，从A走到B要经过32个单位长度。
（1）求A、B两点所对应的数。
（2）若点C也是数轴上的点，C到B得距离是C到原点的距离的3倍，求C对应的数。
（3）已知M从A向右出发，速度为每秒一个单位长度，同时N从B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设NO的中点为P，PO-AM的值是否变化？若不变求其值。 试题立意解读：（长江学案七上１２页）。本题以数轴这个核心知识点，渗透方程思想。试题立意解读：2014-2015江苏泰州靖江七上期未试题，特殊点，分类讨论，方程思想对于第三小问，弄清Ｐ的运动状况决定解题成败。画出直观图，找出临界点，分清情况，评讲时，关键就是以A、B、C、F为临界点，特殊引路，方法自然而然得出，从而得出五种运动过程，P与A重合、P在AF之间，P与F重合，P在BF之间， P与B重合。怎么讲？案例4：已知：CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．?
若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：?
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90，则BE____CF；EF____|BE-AF|（填“>”，“<”或“＝”）
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
如图3，若直线CD经过 的外部，∠α=∠BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．?特
殊
探
路2.1.2经历动态过程试题立意解读：2012-2013学年武汉市江汉区七下期中考试试题。双角平分线 找出长方形OABC内一条特殊的线段，是不是OB？案例6：在矩形ABCD中，AB:AD= a ，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．（1）如图1，当DH=DA时，
①填空：∠HGA= 度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；
（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．试题立意解读：
一是重视基础知识和基本解题技能．
二是关注学生学习活动经验．亲历画图过程，发现G是运动的临界点，得出分类标准是E在线段AG、线段GB上运动两种情况，才能求a的最小值．
三是彰显数形结合、方程建模与参数思想2.1.3还原思维历程案例7：已知， OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.（1）如图：若C为∠AOB内一点，探究∠MON与∠AOB 的数量关系；（2）若C为∠AOB外一点，且C不在OA、OB的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠MON 与∠AOB 的数量关系.抓手：运动过程起点：考虑极端，分清临界点 突破：画图，从特殊猜测 试题立意解读：北京西城区2014年秋七上期未试题。试题以双角平分线为背景，突出角平分线定义、角的和差、分类思想、方程思想等内容考查，由于Ｃ点是动点，从而导致OM和ON也随之运动，因而学生想画出正确的运动图形，是很困难的。 依照特殊引路思路，再读且C不在OA、OB的反向延长线上，那万一在呢？案例8：半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上。
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点。
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是（ ）
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围。试题立意解读：面动类，立足正方形和圆，以面动为载体，探求解法最优化．抓住AD与圆相切、过E点、过O点、直到BC与OF重合四个临界点，在静态图形中猜测扇形MON的面积的变化，以相似三角形为抓手建立方程模型求解．运动观点、方程、函数、分类、数形结合、转化 2.2 教学动态几何基本策略2.2.1优先观察，特殊探路点动类，关注特殊点、临界点出发，案例3正是以A、B、C、F为临界点，特殊引路，方法自然而然得出，从而得出五种运动过程，P与A重合、P在AF之间，P与F重合，P在BF之间， P与B重合，获取各类运动相应静态图。案例6正是发现G是运动的临界点，得出分类标准是E在线段AG、线段GB上运动两种情况，求a的最小值。线动类， “消点法” ，观察线段可能经过的特殊位置，获取思路。
案例1正是关注AE落在∠BAC的位置关系，找出AE与AB与AC所在直线重合这两个临界点；案例4很快地找出当射线CD与角∠BCA的平分线重合时，此时E,F重合这一特殊情形，直线CD为标准进行运动图形情形分类；案例5正是从OB,案例7从OA、OB的反向延长线上等特殊出发面动类，“数轴定位分析法” ，化归到点动、线动型来寻求特殊点及临界点，以不变应万变。案例8就是引导学生抓住AD与圆相切、过E点、过O点、直到BC与OF重合四个临界点，2.2.2直观猜想，慎用画板合理使用作图工具，在变化中找到不变的性质，揭示本质。 万一学生只画出其中一种运动的对应图形，这时，怎么办？学生胡乱画图，怎么办？形象直观代替了逻辑推理，怎么办？当没有几何画板支撑下，怎么办？设AE交BC延长线于M连CE，从而有∠ABC﹥900 ,则∠ACＢ﹤900,∠ACM﹥900，而∠ACE=∠ACM+∠MCE，从而∠ACE﹥900，得到∠AEC﹤900,则AC﹤AE,这与AC=AE矛盾，这种情形不成立，从而引导学生在向着AC方向移动，从而画出各种符合条件的对应图形2.2.3建立模型，计算说明结语：教之道贵在引，学之道贵在悟。动态几何问题的教学，个人觉得关键是从思考习惯、方法上在引导学生去悟，然后让学生形成自己解决问题的策略。通过解决问题，有助于培养学生综合解题能力，深化数学知识理解，丰富学生解题营养，提升思维品质。思考习惯是引导学生从题设到结论，从内容到图形，从直观到隐蔽，捕捉题干中的重要结点，辨识图形中的分界点，发现合理的解题要点，架设由题设条件通往终极目标的桥梁，从而迅速把握解题策略。
题目承载思想，解答藏匿智慧，评讲展现风范。教无定法，引导有法，只要我们教师怀揣“教育为学生终身发展奠基”的思想，互不保守，相互交流，以“学”定“教”，借讲助导，借研优教，基于学生最近发展区去还原思维过程真相，引导学生真实经历动态过程，还原思维历程，就一定会寻找到通性通法，探索出解决动态几何问题方法自然生成的轨迹。 不畏浮云遮望眼，着眼静态抓不变，养成特殊探路的思考习惯吧！感谢各位同仁参与分享衷心垦求大家的批评指正！谢谢！
