迎春杯中两例构思精妙的绝对值习题（附答案）

迎2018新春，绝对值
――以两例精妙构思的“迎春杯”为例温故“绝对值”
迎春杯范例：
1（第16届迎春杯）：已知y＝|x－a|＋|x＋19|＋|x－a－96|，如果19＜a＜96．a≤x≤96,求y的最大值.【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】：本题关键是通过条件19＜a＜96．a≤x≤96分析（x－a）、（x＋19）、（x－a－96）的符号，然后去掉绝对值符号，转化为一次函数，由一次函数增减性得最值
【解答】解：∵19＜a＜96，a≤x≤96，得到x-a＞0，x+19＞0，x-a-96＜0，
∴y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|=x-a+x+19-（x-a-96）=x+115，
∵k=1＞0，y随x的增大而增大，
∴当自变量x的取值范围是a≤x≤96时，x=96，y有最大值，y的最大值=96+115=211．
所以y的最大值为211．
2（第18届迎春杯）已知(m＋n)2＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．
【分析】：本题关键是通过分析(m＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题转化为(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径.21·世纪*教育网
【解答】解：∵(m＋n)2≥0，|m|≥0
∴(m＋n)2＋|m|≥0，而(m＋n)2＋|m|＝m
∴ m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0
∴m＋n＝0 ①
又∵|2m－n－2|＝0
∴2m－n－2＝0 ②
由①②得m＝，n＝－，∴ mn＝－
变式跟进：
已知，且，求a－b．
【解答】解：∵，，∴+，而 即，∴b＋2018≥0，∴，∴ ，∴a=2b,又因为，所以3b-2018=1或3b-2018=－1，解得a=673或，所以21·cn·jy·com
,求x+y+z
【解答】解：∵
且，
∴，
∴x=－5，y=6，z=2017,所以x+y+z＝2018
若，且，求a+b
【解答】解：∵，∴，
∴，∴都是非负数，
又∵，∴，
∴，∴
已知a,b,c为整数，且，求
【解答】解：a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且为两个非负整数，和为1，所以只能是且，①或且．②21教育网
由①知a-b=0且|c-a|=1，所以a=b，c-a=±1于是|b-c|=|a-c|=|c-a|=1；21cnjy.com
由②知|a-b|=1且c-a=0，所以c=a，于是|b-c|=|b-a|=|a-b|=1．
无论①或②都有|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1，所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2．2·1·c·n·j·y
求满足的非负整数a,b的值
【解答】解：由于a,b为非负整数，所以或，∴或或
6已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式（x-1）和(x+4)整除，
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定的值
【解答】解：因为多项式x3+ax2+bx+c能被多项式（x-1）和(x+4)整除，所以即x=-4，x=1是方程x3+ax2+bx+c=0的解，∴，∴，∴相加消去b得4a+c=1221世纪教育网版权所有
(2)由4a+c=12得代入a+b+c=-1得，∴2a-2b-c＝14
（3）∵c≥a＞1，又,则有<3，∴,∴
又∵a、c是大于1的正整数，∴c=3、4、5、6、7，但，a也是正整数，∴c=4∴a=2，∴=-7www.21-cn-jy.com
故a=2，b=-7，c=4．∴