正比例的意义和图像
教学目标：
1．使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。
2．让学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。
3．让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。
教学重点：结合实际情境认识成正比例量的特点，加深对正比例量的理解。
教学难点：能跟据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。
课前准备：课件。
教学过程：
一、导入
1、选择条件，提出问题。
①甲地到乙地的路程是240千米；②铅笔每枝0.3元；
③买2枝铅笔；④一辆汽车从甲地到乙地需要3小时。
A．叙述选择条件提问题。B。提问：为什么不选择①和②两个条件提问题？
C．小结：数量之间又联系，才能提出相应的问题。
2、说出下列每组数量之间的关系：
①速度 时间 路程 ②单价 数量 总价 ③工作效率 工作时间 工作总量
④总产量 总面积 单位面积产量 ⑤总重量 总体积 单位体积重量
小结：每组中数量之间有联系，能组成关系式，可以说成是相关联的。
二、理解相关联的量的变化
1、感受相关联的量。
①出示例1路程与时间的表格。
时间/小时 1 2 3 4 5 6 ……
路程/千米 80 160 240 320 400 480 ……
②表中列出了哪两种量？观察表格，它们是怎样变化的？
③小结：路程和时间是相关联的量，时间扩大，路程扩大；时间缩小，路程缩小，扩大或缩小的倍数相同。
2、练习：下面每张表的两种量是相关联的量吗？相关联时一种量变化，另一种量是怎样变化的？
①
数量/枝 1 2 3 4 5 6 ……
总价/元 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 ……
② 一周天气变化统计
日期/周 一 二 三 四 五 六 日
天气状况 晴 阴 晴 晴 多云 多云 阴
③ 学生一天饮用水情况统计
饮用量 1.5 2 2.5 3 3.5 4
剩余量 4.5 4 3.5 3 2.5 2
④ 某班48名学生如何分组进行分析
组数 2 3 4 8 6 12 16 24
每组人数 24 16 12 6 8 4 3 2
三、探索成正比例的量
过渡：我们已经理解了什么是两种相关联的量，下面我们具体研究两种相关联的量的变化规律1.继续出示例1的表格。
2.问题：①表中的两种量相关联吗？
②这两种量的变化有什么规律？学生自由发言。（有的学生可能发现一种量扩大到原来的几倍，另一种量也随着扩大到原来的几倍；有的学生可能会发现一种量缩小到原来的几分之几，另一种量也随着缩小到原来的几分之几。这里相机提问：扩大或缩小的数值是一样吗？）
③根据交流情况，教师进一步引导：请写出几组对应的路程和时间的比，求出比值，（根据学生回答相机板书对应式子）
④提问：观察这些比值，你发现了什么？这个比值80表示什么？（速度）你能用一个式子来表示上面的规律吗？根据学生回答，板书： ＝速度（一定）。说明：速度保持不变，我们就说速度一定。速度一定是否意味着路程、时间同时扩大或缩小，而且倍数一样？
2. 讲述：通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有三点发现：第一点路程和时间是两种相关联的量，第二点是时间变化，路程也随着变化；第三点路程和对应的时间的比的比值一定（也就是速度一定）。具备了这三个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例；行驶的路程和时间成正比例的量。（板书：路程和时间成正比例，路程和时间是成正比例的量）
结论中的这两句话的意思是紧密相联的。“成正比例”和“是成正比例的量”都是对两种量关系的表述形式。就如同某两个人是同学关系，或互称同学一样。
3．谈话：这就是这节课我们所学习的正比例。（板书课题）
4. 请阅读课本第56页的一段文字，各自默读三遍，边读边画。
提问：你能读懂吗？
在这题中，哪个量和哪个量是成正比例的量？同桌互相说一说为什么时间和路程是成正比例的量，并在全班交流。
5.简要小结：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果它们的比值（商）一定，它们就成正比例。
四、教学“试一试”
1．出示“试一试”，学生自由读题。
2．要求学生根据已知条件把表格填写完整。
3．学生根据表中数据，先尝试独立完成表格。下面的四个问题，先独立思考，然后和同桌交流。
4．全班交流：总价和数量是相关联的量， ＝单价（一定），总价和数量成正比例。
5．让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系。
五、用含有字母的式子表示正比例关系。
1．比较例题和“试一试”的相同点。
提问：观察上面的两个例子，它们有什么相同的地方呢？
① 都有两种相关联的量；
② 两种相关联的量相对应的两个数量的比值总是一定的；
③ 两种量都成正比例。
2．谈话：如果用字母y和x分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？
根据学生的回答，板书：
＝k（一定）
谈话：这是正比例关系式表达式，对这个式子要这样理解：y 和x表示两种相关联的量，y比x的比值k一定，我们就说y和x成正比例。
六、寻找生活中的正比例关系。
1.生活中具有相似规律的现象吗？
2.以数学书作为标准，书的本数与书得厚度有此规律吗？
七、全课总结。
提问：通过这节课的学习，你有什么收获？
课件48张PPT。 正比例的意义及图像SJ 六年级下册 六 正比例和反比例已知路程和时间，怎样求速度？速度 = 路程÷时间已知总价和数量，怎样求单价？单价 = 总价÷数量已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？工作效率 = 工作总量÷工作时间课后作业探索新知当堂检测
课堂小结1.正比例的意义
2.正比例关系的判断方法
3.正比例图像1一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：观察表中数据，你有什么发现？行驶的路程随着时间的变化而变化。行驶的时间越长，形式的路程越多；时间越短······80÷1＝80,160÷2＝80······行驶的速度不变。你能写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？比值80，表示什么？80802403803204我们可以用下面的式子表示这几个量之间的关系：＝速度（一定）路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应的时间的比的比值总是一定（也就是速度一定）时，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例关系的量。购买一种铅笔的数量和总价如下表：（1）填写上表，说说总价是随着那个量的变化而变化的。1.622.4答：总价是随着数量的变化而变化的。（2）写出几组相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。（3）这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价、数量之间的关系吗？答：这个比值表示铅笔的单价。＝单价（4）铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？答：铅笔的总价和数量成正比例，因为它们的比值是一定的。如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示他们的比值，正比例关系可以用下面的式子表示：生活中还有哪些成正比例的量？你能举例说一说吗？1.张师傅生产零件的情况如下：（1）写出几组相对应的生产零件数量和时间的比，比较比值的大小。＝25， ＝25， ＝25＝25， ＝25 ······比值相等（2）生产临建的数量和时间成正比例吗？为什么？＝每小时生产零件数量（一定）答：生产零件的数量和时间成正比例，因为他们的比值是一定的。2.做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表：做的套数和用人的米数成正比例吗？为什么？＝2.2， ＝2.2， ＝2.2＝2.2， ＝2.2 ······＝一套衣服用布的米数（一定）答：做的套数和用布的米数成正比例因为它们的比值是一定的。2例1表中的各组数据，可以用下图中的点表示。（1）图中的点A表示1小时行80千米，点B表示5小时行400千米。其他各点呢？答：点C表示2小时行160千米；点D表示3小时行240千米；点E表示4小时行320千米；点F表示6小时行480千米；点G表示7小时行560千米。（2）连接图中各点，你有什么发现？答：图中各点都在一条直线上。（3）根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？行驶440千米需要多少小时？答：这辆汽车行驶2.5小时行驶200千米，行驶440千米需要5.5小时。小玲用计算机打字的数量和所用的时间如下表：（1）小玲打字的数量和所用的时间成正比例吗？为什么？＝50， ＝50， ＝50＝50， ＝50 ······＝每分钟打字的数量（一定）（2）在下图中描出打字数量和时间所对应的点，在按顺序连接起来。（3）根据图像判断，小玲5分钟可以打多少个字？打750个字需要多少分钟？答：小玲5分钟可以打250个字，打750个字需要15分钟。1．填空。
(1)为提高自身的阅读能力，学生们积极订阅书刊，认真阅读。某书店销售《小学生天地》的份数和总价如下表。①表中( )和( )是相关联的量。( )增加，( )也随着增加。总价份数份数总价②总价与份数这两个相关联的量中相应的两个数的比值是( )的，这个比值实际上是( )。
③因为总价与份数的比值一定，所以表中的这两种量叫作成( )的量。
(2)路程与时间的比值是( )，当这个比值一定时，( )和( )成( )比例关系。一定单价正比例速度路程时间正2．判断。(对的画“√”，错的画“×”)
(1)长方形的长一定，宽和面积成正比例关系。 ( )
(2)正方形的面积与边长成正比例关系。 ( )
(3)比的前项一定，比的后项和比值成正比例关系。 ( )
(4)x÷y＝4，x和y成正比例关系。 ( )√√××3．选择。(将正确答案的字母填在括号里)
(1)下列各组中的两种量不成正比例关系的是( )。
A．人的身高和年龄
B．y＝5x，y和x
C．工作效率一定，工作总量和工作时间
D．圆的周长与直径A(2)甲数的 与乙数的 相等(甲数、乙数均不为0)，甲数与乙数( )。
A．成正比例关系 B．不成正比例关系
C．无法判断A4．判断下面各题中的两种量是否成正比例关系。
(1)三角形的底一定，面积和高。
?
?(2)成活率一定，栽树的棵数和成活的棵数。成正比例 成正比例(3)圆的面积和它的半径。不成正比例5．下面是6位同学家4月份的用电情况。(1)根据表中的数据找规律，把上表填写完整。15.9516.517.6(2)表中变化的量有几种？它们的变化规律是什么？
?
?
(3)写出表中已知的相关联的两种量的比值，并说说比值表示什么？两种，电费随着用电量增加而增加。0.55 比值表示每千瓦时的电费。(4)表中的两种相关联的量成正比例关系吗？为什么？成正比例关系，因为电费和用电量的比值一定。6．购买《英汉词典》的本数与总价的情况如下表。(1)把上面的表格填写完整。
(2)根据表中数据，在下图中描出购买《英汉词典》的总价和数量所对应的点，再把这些点依次连起来。53.789.5125.3(3)购买《典中点》的总价和数量成正比例关系吗？为什么？答案略成，因为 ＝单价(一定)。1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。
2.正比例关系的判断方法：首先判断这两种量是不是相关联的量。再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定，比值一定，则这两种相关联的量成正比例，反之，则不成正比例。归纳总结：3.正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。归纳总结：1.六年级各班订阅《趣味数学》杂志的情况如下表：订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例吗？为什么？成正比例。因为180 ：6＝30,240 ：8＝30，360 ：12＝30，300 ：10＝30,270 ：9＝30，订阅《趣味数学》的总价和数量的比的比值是一定的，所以它们成正比例。2.先分别按2:1、3:1和4:1的比画出正方形放大后的图形，再填写下表。481216149161cm1cm正方形的周长与边长成正比例。因为4 ：1＝4，8 ：2＝4，12 ：3＝4，16 ：4＝4，正方形的周长与边长的比的比值是一定的，所以它们成正比例。面积与边长不成正比例。3.小军和家人周末骑车去森林动物园游玩。下面的图像表示他们骑车行的路程和时间的关系。（1）他们骑车行的路程和时间成正比例吗？为什么？（2）利用图像估计，他们20分钟大约行多少千米？行10千米大约要用多少分钟？他们20分钟大约行5千米，行10千米大约要用38分钟。4.一种彩带每米售价5元，购买2米、3米······各需要多少元？（1）把下表填写完整。（2）根据表中的数据，在下图中描出彩带总价和长度所对应的点，再按顺序连接起来。10152025（3）购买彩带的总价和长度成正比例吗？你是根据什么判断的？（4）根据图像判断，购买3.5米彩带需要多少元？成正比例。我是根据购买彩带的总价和长度的比的比值是一定的判断的。根据图像可知，购买3.5米彩带需要17.5元。5.一根弹簧挂上物体后长度会伸长，物体的质量与伸长的长度如下：（1）在图中描出物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再按顺序连接起来。（2）物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例吗？为什么？（3）根据图像判断，如果挂上质量是5千克的物体，弹簧应伸长多少厘米？要使弹簧伸长4厘米，应挂上多少千克的物体？成正比例。因为2 ：0.5＝4，4 ：1＝4，6 ：1.5＝4，8 ：2＝4，10 ：2.5＝4……物体的质量与弹簧伸长的长度的比的比值是一定的，所以它们成正比例。弹簧应伸长1.25 cm。应挂上16 kg的物体。7．在梯形中，面积和哪种量成正比例关系？
辨析：不能准确找出成正比例关系的两种相关联的量①当高一定时，面积和梯形上、下底的和成正比例关系。 ②当上底和下底的和一定时，面积和高成正比例关系。作 业
请完成“应用提升练”和“思维拓展练”习题
1.正确判断正方体中的两种量是否成正比例关系
2.利用正比例图像解决问题
8．下表中关于正方体的一些数量，哪两种量成正比例关系？说明理由。
正方体的表面积和底面积成正比例关系，因为表面积÷底面积＝6。
正方体的质量与体积成正比例关系，因为质量÷体积＝每立方厘米的质量(一定)。9．甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图。
(1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成什么比例关系？乙车呢？
因为 ＝速度(一定)，所以甲车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系。同理，乙车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系。(2)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距多少千米？甲车速度： ＝90(千米/时)
乙车速度： ＝60(千米/时)
(90＋60)×5＝750(千米)
答：A、B两地相距750千米。10．购买甲、乙两种练习本的数量和总价变化情况如下图所示。
(1)两种练习本各买5本，分别需要多少元？
?
(2)从图上看，哪种练习本便宜些？
?从图上可以看出，甲种练习本的单价是2元，乙种练习本的单价是1元。
甲种练习本：2×5＝10(元)
乙种练习本：1×5＝5(元)
答：两种练习本各买5本，分别需要10元和5元。
从图上看，数量相同的情况下，乙种练习本的总价少一些，所以乙种练习本便宜些。 Thank you!
