3．1.1 & 3.1.2 随机现象 事件与基本事件空间
预习课本P91～94，思考并完成以下问题
(1)必然现象和随机现象是如何定义的？
(2)事件分为哪三类？
(3)基本事件和基本事件空间是如何定义？
1．随机现象与随机事件
(1)必然现象与随机现象：
现象
条件
特征
必然现象
在一定
条件下
必然发生某种结果的现象
随机现象
多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现
(2)事件：
①不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果．
②必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果．
③随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．
2．基本事件与基本事件空间
(1)基本事件：试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描绘的随机事件．
(2)基本事件空间：
①定义：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．
②表示：基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．
1．下列现象是必然现象的是( )
A．一天中进入某超市的顾客人数
B．一顾客在超市中购买的商品数
C．一颗麦穗上长着的麦粒数
D．早晨太阳从东方升起
答案：D
2．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天．
其中，是随机事件的是( )
A．①② B．②③
C．③① D．②
解析：选B ①为必然事件；②③为随机事件．
3．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：选D 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
4．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为________．
答案：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)
必然现象、随机现象
[典例] 判断下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)将三个小球全部放入两个盒子中，其中有一个盒子里有一个以上的球；
(2)一个射击运动员每次射击命中的环数；
(3)三角形的内角和为180°；
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向．
[解] (1)三个小球全部放入两个盒子，其中有一个盒子里有一个以上的球，这个结果一定发生，故为必然现象；
(2)射击运动员每次射击命中的环数可能为1环，2环等，因此是随机现象；
(3)三角形的内角和一定是180°，是确定的，故为必然现象；
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向与a的取值有关，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，故在a≠0的条件下开口可能向上也可能向下，故是随机现象．
判断是必然现象还是随机现象关键点是看给定条件下的结果是否一定发生，若一定发生，则为必然现象，若不确定，则其为随机现象，即随机现象事先难以预料，而必然现象事先就能知道结果．
[活学活用]
判断下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)在一个装有1个白球，9个黄球的不透明袋子中，任意摸出两球，至少有一个黄球；
(2)一个不透明的袋子中装有5个白球，2个黑球，3个红球，大小形状完全相同，搅拌均匀后，从中任取一球为红球．
解：(1)袋中装有1个白球、9个黄球，从中任取2个，一定至少有一个黄球，故是必然现象．
(2)袋中有5个白球，2个黑球，3个红球，从中任取一个，可能是白球，可能是黑球，也可能是红球，故是随机现象.
事件类型的判断
[典例] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[活学活用]
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.
基本事件与基本事件空间
[典例] 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
[解] (1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1, 3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)基本事件的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；
“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包括以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
确定基本事件空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件；
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
[活学活用]
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出基本事件空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
[层级一 学业水平达标]
1．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件．
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
解析：选C 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．
3．写出下列试验的基本事件空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}
4．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验基本事件的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件．
解：(1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.
(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2,0)，(2,1)}．
[层级二 应试能力达标]
1．下面事件：①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选D 三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边．
2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
解析：选C 若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．
3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：选C “点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数，故选C.
4．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．
5．下列给出五个事件：
①某地2月3日下雪；
②函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．
答案：③⑤ ④ ①②
6．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的基本事件数为________．
解析：从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．
答案：4
7．设集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}，a，b∈A，设直线3x＋4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相切为事件M，用(a，b)表示每一个基本事件，则事件M所包含的基本事件为___________．
解析：A＝{－2，－1,0,1,2}，
由直线与圆相切知，＝1，
所以3a＋4b＝±5，依次取a＝－2，－1,0,1,2，验证知，
只有满足等式．
答案：(－1,2)，(1，－2)
8．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个基本事件．
(1)请写出所有的基本事件．
(2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个基本事件？
解：(1)先后抛掷两次正四面体的基本事件：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
共16个基本事件．
(2)用A表示满足条件“为整数”的事件，
则A包含的基本事件有：
(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个基本事件．
9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的基本事件空间Ω；
(2)写出事件A、事件B包含的基本事件；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
课件24张PPT。3．1.3 频率与概率
预习课本P95～97，思考并完成以下问题
(1)什么叫事件A的概率？其范围是什么？
(2)频率和概率有何关系？
1．概率的统计定义
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率．记作P(A)，范围0≤P(A)≤1.
2．频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
1．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的( )
A．频率为 B．概率为
C．频率为12 D．概率接近
答案：A
2．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为( )
A．1 B.
C. D．0
答案：B
3．某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中一定有1件是不合格的，这种认识是________的(填“合理”或“不合理”)．
答案：不合理
概率的定义
[典例] 解释下列概率的含义．
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[解] (1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[活学活用]
1．下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
解析：选D 一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：选D 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
利用频率与概率的关系求概率
[典例] 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500,900)
[900,1 100)
[1 100,1 300)
频数
48
121
208
频率
[1 300,1 500)
[1 500,1 700)
[1 700,1 900)
[1 900，＋∞)
223
193
165
42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[解] (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
随机事件概率的理解及求法
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
(2)求法：通过公式fn(A)＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
[活学活用]
国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
解：(1)如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
[层级一 学业水平达标]
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.
2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( )
A．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖
B．这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元
C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001
D．以上说法都不正确
解析：选C 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元．
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：P＝＝0.03.
答案：0.03
4．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
129
121
击中飞碟的频率
(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
解：(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820,0.793,0.806,0.807.
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
[层级二 应试能力达标]
1．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生 D．事件A发生的可能性很大
解析：选B 不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．
2．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是说明了对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．
3．下列说法正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，必有0
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
解析：选C A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确．故选C.
4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
解析：选B 由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
5．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
6．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
解析：由频率的定义可知用电量超过指标的频率为＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
答案：0.4
7．投掷硬币的结果如下表：
投掷硬币的次数
200
500
c
正面向上的次数
102
b
404
正面向上的频率
a
0.482
0.505
则a＝________，b＝________，c＝________.
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为________．
解析：a＝＝0.51，b＝500×0.482＝241；
c＝＝800.
易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5.
答案：0.51 241 800 0.5
8．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000 个鱼卵能孵化8 513 尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000 个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5 000 尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)
解：(1)这种鱼卵的孵化概率P＝＝0.851 3.
(2)30 000个鱼卵大约能孵化
30 000×＝25 539(尾)鱼苗．
(3)设大概需备x个鱼卵，由题意知＝.
所以x＝≈5 900(个)．
所以大概需备5 900个鱼卵．
9．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为：＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
所以估计袋中红球接近15个．
课件20张PPT。3．1.4 概率的加法公式
预习课本P98～99，思考并完成以下问题
(1)什么是互斥事件？什么叫对立事件？
(2)什么是事件的并(或和)?
(3)互斥事件的概率加法公式是什么？
1．事件的关系
事件
定义
图形表示
互斥事件
在同一试验中，不可能同时发生的两个事件A与B叫做互斥事件
事件的并
一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生或 A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)，记作C＝A∪B
互为对立事件
在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作
2.互斥事件的概率加法公式
(1)若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)若是A的对立事件，则P()＝1－P(A)．
(3)若A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率是( )
A．0.99 B．0.98
C．0.97 D．0.96
答案：D
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
解析：选A 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.
3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( )
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
答案：A
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．
答案：0.8
互斥事件与对立事件的判断
[典例] 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B.
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝?；
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.
[活学活用]
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
互斥事件与对立事件的概率公式的应用
[典例] 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
[解] 设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
求复杂事件概率的注意事项
(1)正难则反是良策．
(2)用互斥事件的概率和进行求解时一定要将事件分拆为若干互斥的事件，不能重复和遗漏．
(3)采用对立事件求概率时，一定要找准对立事件，否则容易出现错误．
[活学活用]
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解：法一：(1)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
法二：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝，A2＝，
A3＝，A4＝，则P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法三：(利用对立事件求概率)
(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
[层级一 学业水平达标]
1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
解析：选D 由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是( )
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
解析：选B 从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B.
4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
解：记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C，“响第四声时被接”为事件D.“响前四声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得，
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
即电话在响前四声内被接的概率是0.9.
[层级二 应试能力达标]
1．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件
C.与一定互斥 D.与一定不互斥
解析：选B 用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件，故选B.
2．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为( )
A．67% B．85%
C．48% D．15%
解析：选A O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.
3．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
解析：选B 对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．
4．把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析：选C “甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件但不对立．
5．一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出不是红球的概率为________．
解析：设A＝{摸出红球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出黑球}，则A，B，C两两互斥，A与为对立事件，
因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.58，P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.62，
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝0.42，P(B)＝0.38，P(A)＝0.20，所以P()＝1－P(A)＝1－0.20＝0.80.
答案：0.80
6．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，军火库爆炸的概率为________．
解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
答案：0.225
7．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
8．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概 率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)求至多2人排队等候的概率；
(2)求至少2人排队等候的概率．
解：记在窗口等候的人数是0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率为
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)“至少2人排队等候”的对立事件是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26.
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.
9．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
课件23张PPT。3．2.1 & 3.2.2 古典概型 概率的一般加法公式(选学)
预习课本P102～107，思考并完成以下问题
(1)古典概型的特征是什么？
(2)古典概型的概率计算公式是什么？
1．古典概型的概念
(1)定义：如果一个概率模型满足：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件发生的可能性是均等的．
那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率
P(A)＝.
2．概率的一般加法公式(选学)
(1)事件A与B的交(或积)：
由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．
(2)概率的一般加法公式：
设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
2．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为和
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D．1
解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
4．两个骰子的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有两个实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C (b，c)共有36个结果，方程有解，则Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，满足条件的数记为(b2,4c)，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P＝.
基本事件的计数问题
[典例] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求这个试验的基本事件的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
[答案] C
(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的基本事件的总数是8；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
基本事件的三个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
[活学活用]
将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
解：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个基本事件．
(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).
简单的古典概型的概率计算
[典例] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．
∴取出的两个球1个是白球，1个是红球的概率为
P(B)＝.
求解古典概型的概率“四步”法
[活学活用]
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝＝.
古典概型的综合应用
[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．
[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．
a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位
a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位
由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.
对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法．
[活学活用]
把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组解的情况，解答下列各题：
(1)求方程组只有一个解的概率；
(2)求方程组只有正数解的概率．
解：若第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b记为有序数值组(a，b)，则所有可能出现的结果有：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，
共36种．
由方程组可得
(1)若方程组只有一个解，则b≠2a，满足b＝2a的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b≠2a的有36－3＝33个．
其概率为：P1＝＝.
(2)方程组只有正数解，需满足b－2a≠0且
分两种情况：当2a＞b时，得
当2a＜b时，得
易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P2＝.
[层级一 学业水平达标]
1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为＝，故选D.
2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P＝＝.
3．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a，b)．记“这些基本事件中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.
4．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为.
5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：
序号
分组(分数段)
频数(人数)
频率
1
[0,60)
a
0.1
2
[60,75)
15
0.3
3
[75,90)
25
b
4
[90,100]
c
d
合计
50
1
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．
解：(1)a＝50×0.1＝5，b＝＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.
(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.
事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．
所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝.
[层级二 应试能力达标]
1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P＝＝.故选B.
2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率( )
A．颜色全同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有3种，其概率为＝；无红球的情况有8种，其概率为，故选B.
3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝＝.故选C.
4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.
5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．
解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－＝.
答案：
6．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：
(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝.
答案：
7．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．
解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．
当直线与圆有公共点时，可得≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为.
答案：
8．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．
设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．
设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝＝0.48.
9．(山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
课件35张PPT。3．3.1 & 3.3.2 几何概型 随机数的含义与应用
预习课本P109～114，思考并完成以下问题
(1)什么是几何概型？
(2)几何概型的概率计算公式是什么？
(3)随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？
1．几何概型
(1)定义：事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
(2)计算公式：
P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
2．随机数
(1)含义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．
(2)产生
①在函数型计算器上，每次按 键都会产生一个0～1之间的随机数．
②Scilab中用rand( )函数来产生0～1的均匀随机数．如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand( )*(b－a)＋a得到．
1．用随机模拟方法得到的频率( )
A．大于概率 B．小于概率
C．等于概率 D．是概率的近似值
答案：D
2．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝.
3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是，则小狗图案的面积是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得＝，得S1＝.故选D.
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为＝.
答案：
与长度有关的几何概型
[典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
答案：
(2)解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝＝＝，
即该乘客等车时间超过10 min的概率是.
1．解几何概型概率问题的一般步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；
(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；
(4)利用概率公式计算．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
[活学活用]
一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)法一：P＝＝＝＝.
法二：P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
与面积和体积有关的几何概型
[典例] (1)(福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析] (1)依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.
(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝.
[答案] (1)B (2)
1．与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
2．与体积有关的几何概型概率的求法
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[活学活用]
1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝πR3＝π.则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝.
2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
随机模拟法的应用
[典例] 利用随机模拟法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
[解] 设事件A＝“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1 用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1S2 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P(A)＝.所以＝.所以S＝.即为阴影部分面积的近似值．
利用随机模拟法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；
(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝；
(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，则已知图形面积的近似值为S′.
[活学活用]
取一根长度为3 cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 cm的概率有多大？
解：设事件A＝“剪得两段的长都不小于1 cm”．
S1 用记数器n记录做了多少次试验，用记数器m记录其中有多少个数出现在1～2之间(即得两段的长都不小于1 cm)，首先置n＝0，m＝0；
S2 用变换rand( )*3，产生0～3之间的均匀随机数x；
S3 判断剪得两段是否长度都大于1 cm，即是否满足1≤x≤2，若是，则记数器m的值增加1，即m＝m＋1，若不是，m的值不变；
S4 表示随机试验次数的记数器n的值加1，即n＝n＋1；如果还需试验，则返回S2，继续执行，否则程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．
[层级一 学业水平达标]
1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的＝，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为，故选C.
2.如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C S矩形＝ab，S梯形＝b＝ab.
故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝.
3．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为________．
解析：欲使f(x)＝log2x≥0，
则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，
从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.
答案：
4．已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC解析：由VP-ABC答案：
[层级二 应试能力达标]
1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.
2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C △ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为.
3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D．1－
解析：选D S扇形＝×π×22＝π，
S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2，
∴P＝＝1－.
4．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2＜1”，则P(A)为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选A 如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆x2＋y2＝1内的点一一对应，所以P(A)＝.
5．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．
解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，
又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝.
答案：
6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，
则P(A)＝＝0.005.
答案：0.005
7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．
P＝＝π.
答案：π
8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)＝＝0.01.
即“射中黄心”的概率是0.01.
9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
故所求概率为P＝＝.
课件30张PPT。3.4
概率在决策中的应用
[典例] 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：
男
女
总计
赞成
18
9
27
反对
12
25
37
不发表看法
20
16
36
总计
50
50
100
随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？
[解] 用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝0.73，因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
概率在决策问题中的应用
(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
[活学活用]
某食品公司因新产品上市拟举办促销活动以促进销量，方法是买一份糖果摸一次彩．公司准备了一些黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同，另有一个棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)．该公司拟按1%的中奖率设置大奖，其余99%则为小奖，大奖的奖品价值400元，小奖的奖品价值2元．请你按公司的要求设计一个摸彩方案．
解：可以提出如下2个方案(答案不唯一)．
(方案1)在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球．顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖．
(方案2)在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个黄球中大奖，否则中小奖.
概率在整体估计中的应用
[典例] 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物．
[解] 设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P(A)＝.第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈＝，故≈，解得x≈12 000.
所以，保护区内约有12 000只该种动物．
利用频率与概率的关系求未知量的步骤
(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为.
(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为.
(3)用频率近似等于概率，建立等式≈.
(4)求得n≈.
[活学活用]
若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋能孵化出多少只小鸡．
解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P(A)＝①
设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，
则P(A)≈，②
由①②得≈，解得m≈16 000.所以20 000个鸡蛋大约能孵化出小鸡16 000只．
[层级一 学业水平达标]
1．若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8 000件产品中的次品件数为( )
A．7 840 B．160
C．16 D．784
解析：选B 在8 000件产品中，合格品约有8 000×98%＝7 840件，故次品约有8 000－7 840＝160(件)．
2．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积为( )
A. B.
C. D．无法计算
解析：选B 在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P＝＝，又因为S正方形＝4，所以S阴影＝，故选B.
3．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从__________箱中取出的．
解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可知，这一白球从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．
答案：甲
4．为了检测山上某个森林内松鼠的数量，可以使用以下方法：先从山上捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，尾巴上有记号的松鼠共5只，试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量．
解：假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从山上任捕一只，设事件A为“带有记号的松鼠”，则由古典概型可知
P(A)＝.①
第二次从山上捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A发生的频数m＝5，由此知
P(A)≈＝，②
由①②可得≈，所以n≈1 000.
所以，森林内约有松鼠1 000只．
[层级二 应试能力达标]
1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是( )
A．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨
B．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨
C．可能北京和上海都没有降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
解析：选D 因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．
2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )
A．3.33% B．53%
C．5% D．26%
解析：选A 应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占≈3.33%.
3．乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为各路电车先停靠的概率都等于，所以乘客等候的电车首先停靠的概率为＋＝.
4．某人手表停了，他打开电视机想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表，则他等待不超过一刻钟的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由于电视机每隔1小时显示整点一次，并且在0～60之间任何一个时刻显示整点是等可能的，所以在哪个时间显示整点的概率只与该时间段的长度有关．而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，这是一个与时间长度有关的几何概型，P＝＝.
5．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________.
石块的面
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
解析：第四面落在桌面上的概率为P＝＝0.13.
答案：0.13
6．地球上的山地、水和平原面积比约为3∶6∶1，那么太空的一块陨石恰好落在平原上的概率为________．
解析：因为平原所占比例为＝，所以陨石恰好落在平原上的概率为.
答案：
7．在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，在该三角形内任取一点，则该点到直角顶点A的距离不大于1的概率为________．
解析：由已知可得S△ABC＝×2×2＝2，该三角形内到点A距离不大于1的点构成扇形面积S1＝，所以P＝＝.
答案：
8.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解：(1)可以选择B，猜“不是4的整数倍数”或C，猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，“是大于4的数”的概率为＝0.6，它们都超过了0.5，故乙获胜的机会大．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性．
9．小红家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小红一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始进晚餐．
(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪种可能性更大些？
(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
解：(1)晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大些．
(2)如图所示，试验的所有可能结果与图中区域D(右上方小正方形)内的所有点一一对应，晚报在晚餐开始之前送到等价于晚报到达时间y<晚餐开始时间x，该事件的结果对应图中的阴影部分(区域d)．试验为几何概型．右上方小正方形的面积设为1，则d的面积为，于是所求事件的概率为.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中随机事件的个数为( )
①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已经有一个女儿，第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾，是不可能事件．故选C.
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是红球
B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析：选D A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.
3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝＝.
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥O-ABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设正方体的体积为V，则四棱锥O-ABCD的体积为，所求概率为＝.
5．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为＝.
6．从的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 符合要求的是?，，，，，，，共8个，而集合共有子集25＝32个，∴P＝.
7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x2＋y2＝17内部的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 点P(m，n)的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P在圆x2＋y2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为.
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为＝.故选D.
9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为.
10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P(A)＝＝.
11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.
12．设一元二次方程x2＋Bx＋C＝0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B2－4C≥0，显然B≠1.当B＝2时，C＝1(1种)；当B＝3时，C＝1,2(2种)；当B＝4时，C＝1,2,3,4(4种)；当B＝5时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B＝6时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．
解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知≈，即≈，解得π≈3.104.
答案：3.104
14．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.
答案：
15．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________．
解析：连接AC交弧DE于点F，∠BAC＝30°，
P＝＝.
答案：
16．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧长为2，点B落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为.
答案：
三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：
抽取件数n
50
100
200
500
600
700
800
次品件数m
0
2
12
27
27
35
40
次品率
(1)求次品出现的频率；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？
解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.
(2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.
(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 053.
∴至少需进货1 053件衬衣．
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.
从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为.
(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.
21．(本小题满分12分)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝.
因为事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝.事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
22.(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝，
所以样本中包含三个地区的个数数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
课件13张PPT。