2017_2018学年高中数学全一册教学案（打包17套）新人教A版必修3

1．1.1　算法的概念
(1)利用加减消元法求解一般的二元一次方程组的步骤有哪些？
　

(2)在数学中算法是如何定义的？
　

(3)算法的特征是什么？
　

(4)解决一类问题的算法是唯一的吗？是不是任何一个算法都有明确的结果？
　

　
1．算法的概念
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．算法的特征
(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果．
(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．
(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．
(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．
(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求解一类问题的算法是唯一的(　　)
(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题(　　)
(3)算法执行后一定产生确定的结果(　　)
解析：由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对．
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．下列叙述不能称为算法的是(　　)
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海
B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1
C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22
D．解方程x2－2x＋1＝0
解析：选D　选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．
3．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．
第一步，出家门．
第二步，________________.
第三步，坐火车去北京．
答案：打车去火车站
算法概念的理解
[典例]　下列说法正确的是(　　)
A．算法就是某个问题的解题过程
B．算法执行后可以产生不同的结果
C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同
D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施
[解析]　选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．
[答案]　B
算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
[活学活用]
有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：
第一步，检验6＝3＋3.
第二步，检验8＝3＋5.
第三步，检验10＝5＋5.
……
利用计算机一直进行下去！
请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？
解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.
算法的设计
[典例]　写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．
[解]　法一：第一步，计算1＋2得到3.
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.
第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.
第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.
第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.
法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.
第二步，计算3×7.
设计具体问题的算法的一般步骤
(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
[活学活用]
1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．
第一步，求1×3得结果3.
第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.
第三步，_________________________________________________________________.
第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.
第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．
解析：依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”．
答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105
2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
解：法一：第一步，移项得x2－2x＝3.①
第二步，①式两边同时加1，并配方得(x－1)2＝4.②
第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③
第四步，解③式得x1＝3，x2＝－1.
法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.
第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝，得x1＝3，x2＝－1.
[层级一　学业水平达标]
1．下列关于算法的说法中正确的个数有(　　)
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x2－x＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1　　　　　　　 　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x2－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.
2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：(　　)
①计算c＝；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．其中正确的顺序是(　　)
A．①②③ B．②③①
C．①③② D．②①③
解析：选D　明确各步骤间的关系即可知D选项正确．
3．下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；
③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；
④3x＞x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
能称为算法的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　根据算法的含义和特征知：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x＞x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．
4．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是(　　)
A．用“二分法”求方程x2－3＝0的近似解(精确度0.01)
B．解方程组
C．求半径为2的球的体积
D．求S＝1＋2＋3＋…的值
解析：选D　对于D，S＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．
[层级二　应试能力达标]
1．一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增，若第一年的产量为a，“计算第n年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是(　　)
A．y＝an0.18 B．y＝a(1＋18%)n
C．y＝a(1＋18%)n－1 D．y＝n(1＋18%)n
解析：选C　根据已知条件可以得出满足题意的函数解析式为y＝a(1＋18%)n－1.
2．如下算法：
第一步，输入x的值．
第二步，若x≥0，则y＝x.
第三步，否则，y＝x2.
第四步，输出y的值．
若输出的y值为9，则x的值是(　　)
A．3 B．－3
C．3或－3 D．－3或9
解析：选D　根据题意可知，此为分段函数
y＝的算法，
当x≥0时，x＝9；
当x＜0时，x2＝9，所以x＝－3.
综上所述，x的值是－3或9.
3．对于算法：
第一步，输入n.
第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．
第三步，依次从2到(n－1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则结束算法．
第四步，输出n.
满足条件的n是(　　)
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．约数
解析：选A　此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．
4．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．从下列选项中选出最好的一种算法(　　)
A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播
B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播
C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播
D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶
解析：选C　因为A选项共用时间36 min，B选项共用时间31 min，C选项共用时间23 min，D选项的算法步骤不符合常理，故选C.
5．以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整．
第一步，①②两式相加得3x＋9＝0.　　③
第二步，由③式可得________. ④
第三步，将④式代入①式，得y＝0.
第四步，输出方程组的解________．
解析：由3x＋9＝0，得x＝－3，即④处应填x＝－3；把x＝－3代入2x－y＋6＝0，得y＝0，即方程组的解为
答案：x＝－3　
6．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步，输入A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，__________________________.
第三步，__________________________.
第四步，输出计算的结果．
解析：应先计算总分D＝A＋B＋C，然后再计算平均成绩E＝.
答案：计算总分D＝A＋B＋C　计算平均成绩E＝
7．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步骤是________(填序号)．
①配方得(x－2)2＝1；
②移项得x2－4x＝－3；
③解得x＝1或x＝3；
④开方得x－2＝±1.
解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．
答案：②①④③
8．对任意三个整数a，b，c，写出求最大数的算法．
解：算法如下：
第一步，令max＝a.
第二步，比较max与b的大小，若b>max，则令max＝b；否则，执行第三步．
第三步，比较max与c的大小，若c>max，则令max＝c；否则，执行第四步．
第四步，max就是a，b，c中的最大数．
9．已知直线l1：3x－y＋12＝0和直线l2：3x＋2y－6＝0，设计一个算法，求l1和l2及y轴所围成的三角形的面积．
解：算法如下：
第一步，解方程组得l1，l2的交点为P(－2，6)．
第二步，在方程3x－y＋12＝0中，令x＝0，得y＝12，从而得到l1与y轴的交点为A(0,12)．
第三步，在方程3x＋2y－6＝0中，令x＝0，得y＝3，从而得到l2与y轴的交点为B(0,3)．
第四步，求出△ABP的边长AB＝12－3＝9.
第五步，求出△ABP的边AB上的高h＝2.
第六步，根据三角形的面积公式计算S＝·AB·h＝×9×2＝9.
第七步，输出S.
第一课时　程序框图、顺序结构
(1)程序框图的图形符号有哪些？各自的名称和作用是什么？
　


(2)算法的基本逻辑结构有哪些？
　

(3)顺序结构是怎样定义的？
　

1．程序框图
(1)定义：
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
(2)表示：
在程序框图中，算法的一个步骤通常用一个或几个程序框的组合来表示；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．
(3)常见的程序框及其功能：
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
2．顺序结构
概念
图示
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个程序框图都必须有起止框(　　)
(2)输入框只能放在输出框之前(　　)
(3)判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号(　　)
解析：(1)正确，任何程序都必须有开始和结束，从而必须有起止框；(2)错误，输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置；(3)正确，判断框只有一个进入点，但一般有两个退出点，其他程序框只有一个进入点和一个退出点．
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．下列图形中表示处理框的是(　　)
解析：选B　由处理框的定义知选B.
3．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可以分别写在不同的(　　)
A．处理框内　　　　　　　 B．判断框内
C．输入、输出框内 D．起、止框内
解析：选A　处理框表示的意义为赋值、执行计算语句、结果的传送，故选A，其他选项皆不正确．
4．阅读如图所示的程序框图，输入a1＝3，a2＝4，则输出的结果是(　　)
A．12 B．7
C．34 D．43
解析：选A　b＝a1·a2＝3×4＝12.故选A.
对程序框的认识和理解
[典例]　(1)下列说法正确的是(　　)
A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C．输入框只能紧接在起始框之后
D．长方形框是执行框，可用来对变量赋值，也可用来计算
(2)任何一个算法都离不开的基本结构是(　　)
A．顺序结构　　　　　　　 B．条件分支结构
C．输出结构 D．三个都是
[解析]　(1)程序框是由通用图形符号构成，并且有特殊含义，A不正确；菱形框是判断框，只能用来判断，所以B不正确；输入框可用在算法中任何需要输入的位置，所以C也不正确；由程序框的功能可知D项正确．
(2)顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构．故选A.
[答案]　(1)D　(2)A
程序框图的理解
框图符合标准化，框内语言简练化，框间流程方向化．从上到下，从左到右，勿颠倒．起止框不可少，判断框一口进，两口出．顺序结构处处有．
[活学活用]
在程序框图中，表示判断框的图形符号的是(　　)
解析：选C　四个选项中的程序框依次为处理框，输入、输出框，判断框和起止框．
用顺序结构表示算法
[典例]　求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积，为该问题设计算法，并画出程序框图．
[解]　算法一：第一步，a＝4，c＝5.
第二步，计算R＝a.
第三步，计算h＝ ，S1＝a2.
第四步，计算V＝S1h.
第五步，计算h′＝
第六步，计算S＝2ah′.
第七步，输出S，V.
程序框图如图所示：
算法二：第一步，a＝4，c＝5.
第二步，S＝2a .
第三步，V＝a2.
第四步，输出S，V.
程序框图如图所示：
应用顺序结构表示算法的步骤
(1)认真审题，理清题意，明确解决方法；
(2)明确解题步骤；
(3)数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量；
(4)用程序框图表示算法过程．
[活学活用]
已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计一个解决该问题的算法，并画出相应的程序框图．
解：算法如下：
第一步，输入R，h.
第二步，计算V＝πR2h.
第三步，输出V.
程序框图如图所示：
顺序结构的读图问题
[典例]　阅读如图所示的程序框图，回答下面的问题：
(1)框图①中x＝4的含义是什么？
(2)框图②中y1＝x3＋2x＋3的含义是什么？
(3)框图④中y2＝x3＋2x＋3的含义是什么？
[解]　(1)框图①的含义是初始化变量，令x＝4.
(2)框图②中y1＝x3＋2x＋3的含义：该框图是在执行①的前提下，即当x＝4时，计算x3＋2x＋3的值，并令y1等于这个值．
(3)框图④中y2＝x3＋2x＋3的含义：该图框是在执行③的前提下，即当x＝－2时，计算x3＋2x＋3的值，并令y2等于这个值．
对顺序结构程序框图的识读，首先弄明白程序框图中各程序框的功能，然后按流程线指引的方向从上到下(或从左到右)依次判断即可．
[活学活用]
1．根据如图所示的程序框图，若输入m的值是3，则输出的y的值是________．
解析：若输入m的值是3，则p＝8，y＝8＋5＝13，故输出y的值为13.
答案：13
2．已知在平面直角坐标系中有一个圆心在坐标原点，半径为c的圆，(a，b)为任一点，则如图所示的程序框图表示的算法的作用是________．
解析：∵x＝表示点(a，b)到原点(0,0)的距离，∴该算法的功能是计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差．
答案：计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差
[层级一　学业水平达标]
1．下列关于程序框图的说法正确的是(　　)
A．一个程序框图包括表示相应操作的框、带箭头的流程线和必要的文字说明
B．输入、输出框只能各有一个
C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观
D．在程序框图中，必须包含判断框
解析：选A　输入、输出框可以放在算法中任何需要输入、输出的位置，所以不一定各有一个，因此B选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要就是直观、形象，容易理解，在步骤表达上简单了许多，所以C选项是错误的；显然D选项是错误．
2．在顺序结构中，一定不含有的程序框是(　　)
A．终端框　　　　　　　　 B．输入、输出框
C．处理框 D．判断框
解析：选D　顺序结构中没有判断框．
3．阅读程序框图：
若输出结果为15，则①处的执行框内应填的是________．
解析：先确定①处的执行框是给x赋值，然后倒着推，b＝15时，2a－3＝15，a＝9，当a＝9时，2x＋1＝9，x＝3.
答案：x＝3
4．根据所给的程序框图，如图所示，输出的结果是________．
解析：由X＝Y，得X＝2；由Y＝X，得Y＝2；由Z＝Y，得Z＝2.
答案：2
[层级二　应试能力达标]
1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构和循环结构，下列说法正确的是(　　)
A．一个算法只含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构
D．一个算法可以同时含有上述三种逻辑结构
解析：选D　一个算法中含有哪种逻辑结构，主要看解决什么样的问题及解决问题的方法，顺序结构、条件结构和循环结构这三种逻辑结构在一个算法中可以同时出现．
2．如图所示的程序框图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C　因为输出的结果为7，所以b＝7，又b＝，所以原b＝14，即a1＋a2＝14.又a1＝3，所以a2＝11.
3．下列是流程图中的一部分，表示恰当的是(　　)
解析：选A　B选项应该用处理框而非输入、输出框，C选项应该用输入、输出框而不是处理框，D选项应该在出口处标明“是”和“否”．
4．阅读如图所示的程序框图，若输入x＝3，则输出y的值为(　　)
A．33 B．34
C．40 D．45
解析：选B　x＝3，a＝2×32－1＝17，b＝a－15＝2，y＝ab＝17×2＝34，则输出y的值为34.
5．如图的程序框图表示的算法的运行结果是________．
解析：p＝9，
∴S＝＝6.
答案：6
6．已知点P(x0，y0)，直线l：x＋2y－3＝0，求点P到直线l的距离的一个算法程序框图如图所示，则在①处应填________．
解析：应填上点到直线的距离公式．
答案：d＝
7．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填______________________．
解析：根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框.
答案：
8．利用梯形的面积公式计算上底为4，下底为6，面积为15的梯形的高．请设计出该问题的算法及程序框图．
解：根据梯形的面积公式S＝(a＋b)h，得h＝，其中a是上底，b是下底，h是高，S是面积，只要令a＝4，b＝6，S＝15，代入公式即可．
算法如下：
第一步，输入梯形的两底a，b与面积S的值．
第二步，计算h＝.
第三步，输出h.
该算法的程序框图如图所示：
9．如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面问题．
(1)该程序框图解决的是一个什么问题？
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？
(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？
解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，
即f(0)＝f(4)．
因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，
所以－16＋4m＝0，
所以m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.
则f(3)＝－32＋4×3＝3，
所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.
(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，f(x)最大值＝4，
所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.
第二课时　条件结构
(1)什么是条件结构？
　

(2)条件结构有几种形式？
　

　　　　
1．条件结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理上述过程的结构就是条件结构．
2．条件结构的程序框图的两种形式及特征
名称
形式一
形式二
结构
形式
特征
两个步骤A，B根据条件选择一个执行
根据条件是否成立选择是否执行步骤A
1．下列关于条件结构的说法中正确的是(　　)
A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口
B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一
C．条件结构中的两条路径可以同时执行
D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的
解析：选B　条件结构只能执行判断框中的两条路径之一．
2．下列问题的算法宜用条件结构表示的是(　　)
A．求点P(－1,3)到直线3x－2y＋1＝0的距离
B．由直角三角形的两条直角边求斜边
C．解不等式ax＋b>0(a≠0)
D．计算100个数的平均数
解析：选C　A、B、D只需顺序结构即可．
3．根据如图所示的程序框图，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则(　　)
A．框1中填“是”，框2中填“否”
B．框1中填“否”，框2中填“是”
C．框1中填“是”，框2中可填可不填
D．框2中填“否”，框1中可填可不填
解析：选A　成绩不低于60分时输出“及格”，即x≥60时满足条件，故框1填“是”，框2填“否”．
4．如图所给的程序框图描述的算法的运行结果是(　　)
A．－5　　　　　　　　　 B．5
C．－1 D．－2
解析：选A　∵x＝－1<0，
∴y＝3×(－1)－2＝－5.
与条件结构有关的读图问题
[典例]　(1)如图所示的程序框图，其功能是(　　)
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b中的最大值
D．求a，b中的最小值
(2)对任意非零实数a，b，若a?b的运算原理如程序框图所示，则3?2＝________.
[解析]　(1)取a＝1，b＝2知，该程序框图输出b＝2，因此是求a，b中的最大值．
(2)由于a＝3，b＝2，
则a≤b不成立，
则输出＝＝2.
[答案]　(1)C　(2)2
条件结构读图的策略
(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能．
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．
[活学活用]
1．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是(　　)
A．求a，b，c三数中的最大数
B．求a，b，c三数中的最小数
C．将a，b，c按小到大排列
D．将a，b，c按从大到小排列
解析：选B　经判断框中a>b处理后a是a，b中的较小者，经判断框a>c处理后，a是a，c中的较小者，结果输出a，即a是a，b，c中的最小数．
2．如图，函数f(x)＝2x，g(x)＝x2，若输入的x值为3，则输出的h(x)的值为________．
解析：由框图可知，当x＝3时，f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9，∴f(3)＜g(3)，∴h(3)＝g(3)＝9，故输出的值为9.
答案：9
条件结构的算法与框图的设计
　　[典例]　已知函数y＝设计一个算法的程序框图，计算输入x的值，输出y的值．
[解]　根据题意，其自然语言算法如下：
第一步，输入x.
第二步，判断x>0是否成立，若是，则输出y＝，结束算法；若不是，则判断x<0是否成立，若是，则输出y＝，结束算法；若不是，也结束算法．
程序框图如图所示：
设计条件结构框图的思路
(1)先设计算法，再把算法步骤转化为框图的形式．
(2)凡是先根据条件作出判断，再决定进行哪一个步骤的问题，在画算法框图时，都必须引入判断框，采用条件结构．
(3)在画出条件结构的框图后，可通过检查各条件分支与已知描述情况是否对应来判断所画框图是否正确．
[活学活用]
设计程序框图，输入x的值，求函数y＝的值．
解：算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，判断x的大小．若x≥0，则y＝x2；
否则，y＝－x2.
第三步，输出y的值．
程序框图如图：
条件结构的实际应用
[典例]　为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收每立方米0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x立方米，应缴纳水费y元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图．
[解]　y与x之间的函数关系式为
y＝
算法设计如下：
第一步，输入每月用水量x(x≥0)．
第二步，判断输入的x是否超过7，若x>7，则应缴纳水费y＝1.9x－4.9；否则应缴纳水费y＝1.2x.
第三步，输出应缴水费y.
程序框图如图所示：
设计程序框图解决实际问题的步骤
(1)读懂题意，分析已知与未知的关系；
(2)概括题意写出表达式；
(3)设计算法步骤；
(4)根据算法步骤画出程序框图．
[活学活用]
某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．
解：设费用用y(元)表示，人数用x表示，
则y＝
算法如下：
第一步，输入x.
第二步，若x≤3，则y＝5；否则执行第三步．
第三步，y＝5＋1.2(x－3)．
第四步，输出y.
程序框图如图所示：
[层级一　学业水平达标]
1．如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是(　　)
A．顺序结构　　　　　　　　 B．条件结构
C．判断结构 D．以上都不对
解析：选B　此逻辑结构是条件结构．
2．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的相反数．
②求面积为6的正方形的周长．
③求三个数a，b，c中的最大数．
④求函数f(x)＝的函数值．
其中不需要用条件结构来描述其算法的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B　语句①不需要对x进行判断，所以不需要用条件结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语句④为分段函数，需要判断x的取值范围，所以需要用到条件结构来描述算法．
3．一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为8时，输入的x的值为________．
解析：由y＝x2－1＝8，得x＝±3<5，而由y＝2x2＋2＝8，得x＝±<5，不合题意，故输入的x的值为3或－3.
答案：±3
4．如图所示的程序框图，输入x＝2，则输出的结果是________．
解析：通过程序框图可知本题是求函数y＝的函数值，根据x＝2可知y＝＝2.
答案：2
[层级二　应试能力达标]
1．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入x的值与输出y的值相等，则这样的x的值的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　当x≤2时，y＝x2＝x，解得x1＝0，x2＝1；当25时，y＝＝x，解得x＝±1(舍去)，故x的值可以为0,1,3.
2．程序框图如图所示，若输出的y＝0，那么输入的x为(　　)
A．－3,0 B．－3，－5
C．0，－5 D．－3,0，－5
解析：选A　由框图知，当x＝－3,0时，输出的y值均为0.
3.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝ln x＋2x－6
D．f(x)＝x3＋x
解析：选D　由框图可知，当输入的函数f(x)为奇函数且存在零点时，才可输出f(x)，由选项可知，仅f(x)＝x3＋x同时满足这两个条件，故选D.
4．已知函数y＝图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图①处应为(　　)
A．x<2?
B．x>2?
C．x≠2?
D．x＝2?
解析：选A　框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故①应为x<2？，故选A.
5.已知函数f(x)＝|x－3|，以下程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．
解析：由f(x)＝|x－3|＝及程序框图知，①处可填x<3？，②处应填y＝x－3.
答案：x<3？　y＝x－3
6．如图所示的算法功能是________．
解析：根据条件结构的定义，
当a≥b时，输出a－b；
当a＜b时，输出b－a.
故输出|b－a|.
答案：计算|b－a|
7．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c＝其中ω(单位：kg)为行李的质量．设计程序框图，输入行李质量，计算费用c(单位：元)．
解：程序框图如下：
8．用程序框图表示解方程ax＋b＝0(a，b为常数)的算法．
解：算法设计如下：
第一步，输入a，b的值．
第二步，判断a＝0是否成立，若成立，则执行第三步；若不成立，则令x＝－，输出x，结束算法．
第三步，判断b＝0是否成立，若成立，则输出“方程的解为R”，结束算法；若不成立，则输出“无解”，结束算法．
程序框图为：
第二课时　条件结构
(1)什么是条件结构？
　

(2)条件结构有几种形式？
　

　　　　
1．条件结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理上述过程的结构就是条件结构．
2．条件结构的程序框图的两种形式及特征
名称
形式一
形式二
结构
形式
特征
两个步骤A，B根据条件选择一个执行
根据条件是否成立选择是否执行步骤A
1．下列关于条件结构的说法中正确的是(　　)
A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口
B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一
C．条件结构中的两条路径可以同时执行
D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的
解析：选B　条件结构只能执行判断框中的两条路径之一．
2．下列问题的算法宜用条件结构表示的是(　　)
A．求点P(－1,3)到直线3x－2y＋1＝0的距离
B．由直角三角形的两条直角边求斜边
C．解不等式ax＋b>0(a≠0)
D．计算100个数的平均数
解析：选C　A、B、D只需顺序结构即可．
3．根据如图所示的程序框图，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则(　　)
A．框1中填“是”，框2中填“否”
B．框1中填“否”，框2中填“是”
C．框1中填“是”，框2中可填可不填
D．框2中填“否”，框1中可填可不填
解析：选A　成绩不低于60分时输出“及格”，即x≥60时满足条件，故框1填“是”，框2填“否”．
4．如图所给的程序框图描述的算法的运行结果是(　　)
A．－5　　　　　　　　　 B．5
C．－1 D．－2
解析：选A　∵x＝－1<0，
∴y＝3×(－1)－2＝－5.
与条件结构有关的读图问题
[典例]　(1)如图所示的程序框图，其功能是(　　)
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b中的最大值
D．求a，b中的最小值
(2)对任意非零实数a，b，若a?b的运算原理如程序框图所示，则3?2＝________.
[解析]　(1)取a＝1，b＝2知，该程序框图输出b＝2，因此是求a，b中的最大值．
(2)由于a＝3，b＝2，
则a≤b不成立，
则输出＝＝2.
[答案]　(1)C　(2)2
条件结构读图的策略
(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能．
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．
[活学活用]
1．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是(　　)
A．求a，b，c三数中的最大数
B．求a，b，c三数中的最小数
C．将a，b，c按小到大排列
D．将a，b，c按从大到小排列
解析：选B　经判断框中a>b处理后a是a，b中的较小者，经判断框a>c处理后，a是a，c中的较小者，结果输出a，即a是a，b，c中的最小数．
2．如图，函数f(x)＝2x，g(x)＝x2，若输入的x值为3，则输出的h(x)的值为________．
解析：由框图可知，当x＝3时，f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9，∴f(3)＜g(3)，∴h(3)＝g(3)＝9，故输出的值为9.
答案：9
条件结构的算法与框图的设计
　　[典例]　已知函数y＝设计一个算法的程序框图，计算输入x的值，输出y的值．
[解]　根据题意，其自然语言算法如下：
第一步，输入x.
第二步，判断x>0是否成立，若是，则输出y＝，结束算法；若不是，则判断x<0是否成立，若是，则输出y＝，结束算法；若不是，也结束算法．
程序框图如图所示：
设计条件结构框图的思路
(1)先设计算法，再把算法步骤转化为框图的形式．
(2)凡是先根据条件作出判断，再决定进行哪一个步骤的问题，在画算法框图时，都必须引入判断框，采用条件结构．
(3)在画出条件结构的框图后，可通过检查各条件分支与已知描述情况是否对应来判断所画框图是否正确．
[活学活用]
设计程序框图，输入x的值，求函数y＝的值．
解：算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，判断x的大小．若x≥0，则y＝x2；
否则，y＝－x2.
第三步，输出y的值．
程序框图如图：
条件结构的实际应用
[典例]　为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收每立方米0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x立方米，应缴纳水费y元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图．
[解]　y与x之间的函数关系式为
y＝
算法设计如下：
第一步，输入每月用水量x(x≥0)．
第二步，判断输入的x是否超过7，若x>7，则应缴纳水费y＝1.9x－4.9；否则应缴纳水费y＝1.2x.
第三步，输出应缴水费y.
程序框图如图所示：
设计程序框图解决实际问题的步骤
(1)读懂题意，分析已知与未知的关系；
(2)概括题意写出表达式；
(3)设计算法步骤；
(4)根据算法步骤画出程序框图．
[活学活用]
某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．
解：设费用用y(元)表示，人数用x表示，
则y＝
算法如下：
第一步，输入x.
第二步，若x≤3，则y＝5；否则执行第三步．
第三步，y＝5＋1.2(x－3)．
第四步，输出y.
程序框图如图所示：
[层级一　学业水平达标]
1．如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是(　　)
A．顺序结构　　　　　　　　 B．条件结构
C．判断结构 D．以上都不对
解析：选B　此逻辑结构是条件结构．
2．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的相反数．
②求面积为6的正方形的周长．
③求三个数a，b，c中的最大数．
④求函数f(x)＝的函数值．
其中不需要用条件结构来描述其算法的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B　语句①不需要对x进行判断，所以不需要用条件结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语句④为分段函数，需要判断x的取值范围，所以需要用到条件结构来描述算法．
3．一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为8时，输入的x的值为________．
解析：由y＝x2－1＝8，得x＝±3<5，而由y＝2x2＋2＝8，得x＝±<5，不合题意，故输入的x的值为3或－3.
答案：±3
4．如图所示的程序框图，输入x＝2，则输出的结果是________．
解析：通过程序框图可知本题是求函数y＝的函数值，根据x＝2可知y＝＝2.
答案：2
[层级二　应试能力达标]
1．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入x的值与输出y的值相等，则这样的x的值的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　当x≤2时，y＝x2＝x，解得x1＝0，x2＝1；当25时，y＝＝x，解得x＝±1(舍去)，故x的值可以为0,1,3.
2．程序框图如图所示，若输出的y＝0，那么输入的x为(　　)
A．－3,0 B．－3，－5
C．0，－5 D．－3,0，－5
解析：选A　由框图知，当x＝－3,0时，输出的y值均为0.
3.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝ln x＋2x－6
D．f(x)＝x3＋x
解析：选D　由框图可知，当输入的函数f(x)为奇函数且存在零点时，才可输出f(x)，由选项可知，仅f(x)＝x3＋x同时满足这两个条件，故选D.
4．已知函数y＝图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图①处应为(　　)
A．x<2?
B．x>2?
C．x≠2?
D．x＝2?
解析：选A　框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故①应为x<2？，故选A.
5.已知函数f(x)＝|x－3|，以下程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．
解析：由f(x)＝|x－3|＝及程序框图知，①处可填x<3？，②处应填y＝x－3.
答案：x<3？　y＝x－3
6．如图所示的算法功能是________．
解析：根据条件结构的定义，
当a≥b时，输出a－b；
当a＜b时，输出b－a.
故输出|b－a|.
答案：计算|b－a|
7．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c＝其中ω(单位：kg)为行李的质量．设计程序框图，输入行李质量，计算费用c(单位：元)．
解：程序框图如下：
8．用程序框图表示解方程ax＋b＝0(a，b为常数)的算法．
解：算法设计如下：
第一步，输入a，b的值．
第二步，判断a＝0是否成立，若成立，则执行第三步；若不成立，则令x＝－，输出x，结束算法．
第三步，判断b＝0是否成立，若成立，则输出“方程的解为R”，结束算法；若不成立，则输出“无解”，结束算法．
程序框图为：
第三课时　循环结构
(1)常见的循环结构有几类？分别是什么？
　

(2)当型循环结构与直到型循环结构能否相互转化？
　

　　　
1．循环结构的概念及相关内容
(1)循环结构：按照一定的条件反复执行某些步骤的结构．
(2)循环体：反复执行的步骤．
[点睛]　
(1)循环结构中必须包含条件结构，以保证在适当时候终止循环．
(2)循环结构内不存在无终止的循环，即死循环．
2．循环结构的分类及特征
名称
直到型循环
当型循环
结构
特征
先执行循环体，后判断条件，若条件不满足，则执行循环体，否则终止循环
先判断条件，若条件满足，则执行循环体，否则终止循环
[点睛]　两种循环结构的区别和联系
类型
特征
何时终止循环
循环体执行次数
联系
直到型
先执行，后判断
条件满足时
至少执行一次
可以相互转化，条件互补　
当型
先判断，后执行
条件不满足时
可能一次也不执行
1．在如图所示的程序框图中，输出S的值为(　　)
A．11　　　　　　　　　　 B．12
C．13 D．15
解析：选B　由框图知S＝3＋4＋5＝12.
　　
第1题图　　　　　第2题图
2．程序框图如图所示，其输出结果是(　　)
A．110 B．118
C．127 D．132
解析：选C　由题图可知，a的值依次为1,3,7,15,31,63,127，因为127>100，所以输出a＝127.
3．如图所示的程序框图运行后，输出的结果为________．
解析：由题意知，s＝1×5×4＝20.
答案：20
4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框①中应填入的是________．
解析：由框图知，＝＋＋＋…＋＝1－，∴n＝5，运行5次．
∴判断框中应为“i≤5？”．
答案：5
含循环结构程序框图的设计
[典例]　设计一个计算1×3×5×…×99的算法，画出程序框图．
[解]　算法如下：
第一步，令i＝1，S＝1.
第二步，S＝S×i.
第三步，i＝i＋2.
第四步，判断i>99是否成立，若成立，则输出S；否则执行第二步．
程序框图如图所示：
利用循环结构解决问题的“三个确定”
(1)确定循环变量及初始值，弄清循环变量表示的意义、取值范围及变化规律．
(2)确定循环体的功能，根据实际情况确定采用哪种循环结构．
(3)确定循环结构的终止条件，弄清不等号的方向及是否含有等号．
[活学活用]
如图是求的值的程序框图，则判断框中应填入的为________．
解析：i＝1时，得到A＝，
共需加5次，
故i≤5.
答案：5
利用循环结构求满足条件的最值问题
[典例]　设计一个程序框图，求满足1＋2＋3＋…＋n>2 016的最小正整数n.
[解]　程序框图如图所示：
求满足条件的最值问题的实质及注意事项
(1)实质：利用计算机的快速运算功能，对所有满足条件的变量逐一测试，直到产生第一个不满足条件的值时结束循环．
(2)注意事项：
①要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．
②要注意要统计的数出现的次数与循环次数的区别．
③要特别注意判断框中循环变量的取值限止，是“＞”“＜”还是“≥”“≤”，它们的意义是不同的．
[活学活用]
某程序框图如图所示，则该程序的算法功能是________．
解析：由程序框图可知，输出的i是满足1×3×5×7×…×n＞50 000的最小正整数n.
答案：求满足1×3×5×7×…×n＞50 000的最小正整数n
循环结构的实际应用
[典例]　(1)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，根据如图所示的程序框图，若其中4位居民的月均用水量(单位：吨)分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s为________．
(2)某商场第一年销售计算机5 000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达40 000台？画出解决此问题的程序框图．
[解析]　(1)第一步，s1＝s1＋x1＝0＋1＝1，s＝1，i＝2；
第二步，s1＝s1＋x2＝1＋1.5＝2.5，s＝，i＝3；
第三步，s1＝s1＋x3＝2.5＋1.5＝4，s＝，i＝4；
第四步，s1＝s1＋x4＝4＋2＝6，
s＝×6＝，i＝5，不满足i≤4，输出s＝.
答案：
(2)解：程序框图如图所示：
利用循环结构解决应用问题的方法
[活学活用]
某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框中应填________，输出的S＝________.
解析：由题意知该程序框图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数，故图中判断框应填i≤6？，输出的S＝a1＋a2＋…＋a6.
答案：6　a1＋a2＋…＋a6
[层级一　学业水平达标]
1．下列框图是循环结构的是(　　)
A．①②　　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．②④
解析：选C　由循环结构的特点知③④是循环结构，其中①是顺序结构，②是条件结构．
2．以下说法不正确的是(　　)
A．顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构
B．循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含条件结构
C．循环结构中不一定包含条件结构
D．用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解
解析：选C　循环结构中一定包含条件结构．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填(　　)
A．3 B．4
C．5 D．12
解析：选A　按照程序框图依次执行：初始a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出b的值，故判断框中的条件应为“a≤3？”．
4.如图所示的程序框图输出的结果是________．
解析：该程序框图的执行过程是：
x＝3，y＝1，x＝3≤6成立，
y＝1×3＝3，x＝3＋1＝4；
x＝4≤6成立，y＝3×4＝12，
x＝4＋1＝5；
x＝5≤6成立，y＝12×5＝60，
x＝5＋1＝6；
x＝6≤6成立，y＝60×6＝360，x＝6＋1＝7；
x＝7≤6不成立，
输出y＝360.
答案：360
[层级二　应试能力达标]
1．(全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C　运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
2．(湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　第一次循环：S＝，i＝2；
第二次循环：S＝＋，i＝3；
第三次循环：S＝＋＋，i＝4，
满足循环条件，结束循环．
故输出S＝＋＋＝1－＋－＋－＝.
3．如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是(　　)
A．k≥6? B．k≥7?
C．k≥8? D．k≥9?
解析：选C　S＝10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7≥8判断条件为“否”时跳出循环，输出S，故选C.
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)
A．3 B．－6
C．10 D．－15
解析：选C　第一次循环：i＝1，S＝－1，i＝2；第二次循环：S＝－1＋4＝3，i＝3；第三次循环：S＝3－9＝－6，i＝4；第四次循环：S＝－6＋16＝10，i＝5；第五次循环条件不成立，输出S＝10.
5．执行如图所示的程序框图，若输出i的值为2，则输入x的最大值是________．
解析：由题意，可知
解得即8答案：22
6．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
解析：当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.
答案：13
7．如图所示，执行程序框图，输出结果是________．
解析：第一次循环：s＝，n＝4；
第二次循环：s＝＋＝，n＝6；
第三次循环：s＝＋＝，n＝8<8不成立，退出循环，输出结果为.
答案：
8．画出计算1＋＋＋…＋的值的程序框图．
解：程序框图如图所示：
9．以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60，画出求80分以上的同学的平均分的程序框图．
解：程序框图如图所示．
1．2.1　输入语句、输出语句和赋值语句
(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式、功能、要求分别是什么？
　

(2)赋值语句中的赋值号与数学中的等号有什么区别？
　

　　　　
三种算法语句的格式及功能
名称
格式
功能
输入语句
INPUT　“提示内容”；变量，其中“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息
把程序中新输入的值赋给变量
输出语句
PRINT__“提示内容”；表达式
在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式所代表的值赋给变量．一般先计算“＝”右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量
[点睛]　
(1)在代数中A＝B与B＝A是等效的两个等式，而在赋值语句中则是两个不同的赋值过程，如A＝B是将B的值赋给变量A，而B＝A是将A的值赋给变量B.
(2)“＝”右边可以是常量、变量或算式，如X＝6，A＝B，当表达式为一个算式时，如C＝X＋Y，是指先计算X＋Y的值，再把该值赋给C，所以赋值语句具有计算功能．
(3)“＝”左边必须是变量，而不能是表达式、常量．如：15＝a，x＋y＝c都是错误的．
(4)一个语句只能给一个变量赋值，不能对几个变量连续赋值，但可以辗转赋值，如A＝B＝10是不正确的，但可以写成：A＝10，B＝A，赋值后，A的值是10，B的值也是10.
(5)可给一个变量多次赋值，但只保留最后一次所赋的值．如：A＝5，B＝3，A＝A＋B，执行后A的值为8.
1．下列赋值语句中错误的是(　　)
A．N＝N＋1　　　　　　　 B．K＝K*K
C．C＝A(B＋D) D．C＝A/B
解析：选C　C中赋值号“＝”右边的乘号不能省略，应为“C＝A*(B＋D)”．
2．下列给出的输入、输出语句正确的是(　　)
①输入语句：INPUT a，b，c，d，e；②输入语句：INPUT X＝1；③输出语句：PRINT A＝4；④输出语句：PRINT 10,3]
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选D　②，③中对变量赋值是错误的．
3．下列给出的赋值语句正确的是(　　)
A．6＝N B．A＝－A
C．5＋c＝a D．x2－9＝(x＋3)(x－3)
解析：选B　按照赋值语句的要求，变量的值不能赋给常量，所以A错；左边只能是变量，不能是表达式，C错；不能进行代数式的演算，D错；B的意义是将－A的值赋给A，故B正确．
4．下列程序的运行结果是________．
解析：∵A＝1，B＝3，∴A＝A＋B＝4，B＝B*A＝3×4＝12，故输出结果为4,12.
答案：4,12
输入语句和输出语句
[典例]　(1)利用输入语句可以给多个变量赋值，下面能实现这一功能的语句是(　　)
A．INPUT“A，B，C”a，b，c
B．INPUT“A，B，C”；a，b，c
C．INPUT a，b，c；“A，B，C”
D．PRINT“A，B，C”；a，b，c
(2)编写一个程序，给定圆的半径，求圆的周长和面积，要求输入圆的半径r的值，输出圆的周长L和面积S.
[解析]　(1)提示内容与输入内容之间要用“；”隔开，故A错；提示内容在前，输入内容在后，故C错；输入语句用“INPUT”而非“PRINT”，故D错．
答案：B
(2)解：程序如下：
利用输入、输出语句编程应注意的问题
(1)输入语句没有计算功能，只能输入常量；而输出语句有计算功能，可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．
(2)“提示内容”和变量之间用分号隔开，若输入(出)多个数，各数之间应用逗号隔开，“提示内容”可以省略．
(3)程序中运算符号要规范，输出语句不能输出一个等式，这是易错点．
[活学活用]
下列程序若输出的结果为3，则输入的x值可能是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－3
C．－1 D．1或－3
解析：选D　根据条件可知，x2＋2x＝3，解得x＝1或－3，所以答案为D.
赋值语句
[典例]　读如下两个程序，完成下列问题．
程序(1)：
程序(2)：
(1)程序(1)的运行结果为________．
(2)若程序(1)，(2)运行结果相同，则程序(2)输入的值为________．
[解析]　赋值语句给变量赋值时，变量的值总是最后一次所赋的值，故程序(1)中x的值最后为6.要使程序(2)中y的值为6，即x2＋6＝6，故x＝0.即输入的x的值为0.
[答案]　(1)6　(2)0
1．赋值语句的3种常见形式
(1)赋予变量常数值，如a＝1.
(2)赋予变量其他变量或表达式的值，如b＝a，b＝2a＋1.
(3)变量自身的值在原值上加常数或变量，如i＝i＋1，i＝i＋S.
2．根据程序求输出结果的2个注意点
(1)根据给出的算法语句写结果，应抓住输入、输出语句和赋值语句的特点，按语句的计算、赋值功能依次执行．
(2)注意在算法语言中常见运算符号的书写方式，明确它们的运算规则：先乘除，后加减；乘幂优先于乘除；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先．
[活学活用]
阅读下列程序，并指出当a＝3，b＝－5时的计算结果：
(1)　　　　　 　　　　(2)
　　　　
输出结果：(1)a＝________，b＝________；
(2)a＝________，b＝________.
解析：在程序(1)中，将a＋b＝－2的值赋给X，将a－b＝8的值赋给Y，然后将(X＋Y)/2的值3赋给a，将(X－Y)/2的值－5赋给b；在程序(2)中，将a＋b＝－2的值赋给a，将a－b＝3的值赋给b(注意，此时a的值为－2)，然后将(a－b)/2的值－2.5赋给a，将(a＋b)/2的值0.25赋给b(注意，此时a的值为－2.5)．
答案：(1)3　－5　(2)－2.5　0.25
算法语句与程序框图的转换
[典例]　读下面的程序，根据程序画出程序框图．
[解]　程序框图如图所示：
算法语句与程序框图的关系
(1)顺序结构的程序框图利用输入语句、输出语句和赋值语句即可完成．其中输入、输出框对应输入语句和输出语句，执行框对应赋值语句．
(2)由程序画程序框图是上述过程的逆过程，只需把输入语句、输出语句与输入、输出框对应转化，将赋值语句与执行框对应转化即可．
[活学活用]
根据如图所示的程序框图，写出相应的程序．
解：程序为：
[层级一　学业水平达标]
1．下列关于“赋值语句”的叙述正确的是(　　)
A．3.6＝x是赋值语句
B．利用赋值语句可以进行代数式的化简
C．赋值语句中的“＝”与数学中的“＝”意义相同
D．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值
解析：选D　A项错，赋值语句左边只能是变量，不能是表达式，也不能是常数；B项错，赋值语句不可以进行代数式的化简，如y＝x2－1＝(x－1)(x＋1)，在赋值语句里化简不可能实现；C项错，赋值语句中的“＝”与数学中的“＝”意义不相同，如在数学中x＝x＋1是错误的，而在赋值语句中x＝x＋1是有意义的；D项正确．
2．下列语句中，正确的个数是(　　)
①输入语句：INPUT　a＋2；
②赋值语句：x＝x－5；
③输出语句：PRINT　M＝2.
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选B　输入语句只能给变量赋值，不能给表达式a＋2赋值，所以①错误；②中x＝x－5表示变量x减去5后再将值赋给x，即完成x＝x－5后，x比原来的值小5，所以②正确；输出语句不能输出赋值语句，所以③错误．
3．下列语句中，能实现将两个数A＝9，B＝15交换，使得A＝15，B＝9的一组是(　　)
A　　　　 B　　　　C　　　 　D
解析：选D　要交换两个变量的值，需先将一个变量的值赋给一个中间变量以实现交换．
4．下列程序执行后结果为3，则输入的x值为________．
解析：由题意得x2＋2＝3，解方程得x＝1或x＝－1.
答案：±1
[层级二　应试能力达标]
1．下列程序的运行结果是(　　)
A．3 B．6
C．10 D．20
解析：选C　由于a＝2，b＝3，c＝4，
运行程序可得，
a＝b＝3，b＝a＋c＝7，c＝b＋a＝10，
a＝＝＝10.故选C.
2．如图所示，如果下面程序中输入的r＝，f(r)是用来求圆内接正方形边长a的一个函数，则输出的结果为(　　)

A．4 B．6.28
C．2.28 D．3.14
解析：选C　由程序可知，S1表示的是半径为r的圆的面积；S2表示的是边长为a的正方形的面积，由图可知该正方形是圆的内接正方形，所以其边长a＝r；S表示圆的面积与正方形的面积之差，即图中阴影部分的面积S＝S1－S2.
由已知r＝，故a＝r＝2，
所以S1＝3.14×()2＝6.28，S2＝a2＝22＝4，
故S＝S1－S2＝6.28－4＝2.28.
3．“x=5*6”“x=x+2”是某程序中先后相邻的两个语句，那么下列说法正确的是(　　)?
①x=5*6的意思是x=5×6=30,此式与代数运算中的式子是一样的；?
②x=5*6是将数值30赋给“x”;
③x=5*6可以写成5*6=x;
④语句x=x+2在执行时“=”右边“x”的值是30，左边的值是32.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：选B　赋值号与等号意义不一样，故①错误；赋值语句中左边是变量，右边是表达式，所以②正确，③错误；x＝x＋2的意思就是将前面x的值加上2赋给x，故④也正确．
4．执行下列算法语句后的结果(xMODy表示整数x除以整数y的余数)为(　　)
(运行时从键盘上输入16和5)
A．A＝80，B＝1，C＝401
B．A＝80，B＝3，C＝403
C．A＝80，B＝3.2，C＝403.2
D．A＝80，B＝3.2，C＝404
解析：选A　第一句输入x＝16，y＝5，
第二句A＝16×5＝80，
第三句B取16除以5的余数，∴B＝1，
第三句C＝80×5＋1＝401，故选A.
5．下列给变量赋值的语句中，①5＝a，②a＋2＝a，③a＝b＝4，④a＝2].
解析：①错，因为赋值语句的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边表达式的值赋给赋值号左边的变量；②错，赋值语句左边是一个变量，而不是代数式；③错，因为赋值语句不能把一个值同时赋给两个变量；④项正确．
答案：④
6．下列语句执行完后，A，B的值各为________．
解析：A＝2，B＝2×2，即B＝4，
A＝A＋B，即A＝2＋4＝6，
B＝A＋B，即B＝6＋4＝10.
答案：6,10
7．读如下两个程序完成下列问题．
程序Ⅰ　　　　 　程序Ⅱ
　　　
(1)程序Ⅰ的运行结果为________；
(2)若程序Ⅱ与程序Ⅰ运行结果相同，则程序Ⅱ输入的值为________．
解析：(1)Ⅰ中，x＝x＋2＝2，
x＝x＋3＝2＋3＝5，故输出x的值是5.
(2)Ⅱ的功能是求y＝x2＋6x＋10的函数值，
由题意Ⅱ中y＝5，∴x2＋6x＋10＝5，即x＝－1或－5.
输入的值为－1或－5.
答案：(1)5　(2)－1或－5
8．已知函数f(x)＝x2＋3x＋1，编写一个程序来计算f(4)的值．
解：程序如下：
9．某代销点出售《无线电》《计算机》《看世界》三种杂志，它们的定价分别为1.20元、1.55元、2.00元，编写一个程序，求输入杂志的订购数后，立即输出所付金额．
解：程序如下：
1.2.2　条件语句
(1)条件语句的格式、功能分别是什么？
　


(2)程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在怎样的对应关系？
　


(3)条件语句中的两种形式有什么区别与联系？
　


　
1．条件语句的一般格式及功能
类别
单支
双支
条件结构框图
条件语句
IF　条件　THEN
语句体
END IF
IF　条件　THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
语句功能
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END_IF之后的语句
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2
2．两种条件语句的区别与联系
IF－THEN语句
IF－THEN－ELSE语句
区别
该条件语句中只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体
该条件语句含有两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足时执行另一个语句体
联系
①IF－THEN语句实质上是IF－THEN－ELSE语句的简化，也就是在条件语句中，当不符合条件且不进行任何处理时，把语句体2省略不写．
②两种语句首先都是先对条件进行判断，然后才执行相应的语句体，执行完语句体后程序都交汇于一点完成条件语句
1. 下列关于IF语句的叙述正确的是(　　)
A．IF语句中必须有ELSE和END IF
B．IF语句中可以没有END IF
C．IF语句中可以没有ELSE，但必须以END IF结束
D．IF语句中可以没有END IF，但必须有ELSE
解析：选C　IF语句中的IF和END IF是成对出现的，但是ELSE可以没有，即满足条件执行，否则跳过IF语句．故选C.
2．条件语句的一般形式为：IF A THEN B ELSE C，其中B表示的是(　　)
A．满足条件时执行的内容
B．条件语句
C．条件
D．不满足条件时，执行的内容
解析：选A　IF A THEN B ELSE C表示如果条件A成立，则执行B步骤，否则执行C步骤．
3．给出以下四个问题，①输入一个数x，输出它的绝对值．②求表面积为6的正方体的体积．③求三个数a，b，c中的最小数．④求函数f(x)＝的函数值．
其中需要用条件语句来描述其算法的有________．
解析：②直接用顺序结构即可，不需用条件语句；而①需要判断这个数的正负；③需要判断这三个数的大小；④是分段函数求值问题，故需用到条件语句．
答案：①③④
4．写出下列程序的运行结果．
若a＝4，则b＝________；若a＝－4，则b＝________.
解析：分析程序可知，上述程序是一个分段函数的程序，即b＝
所以当a＝4时，b＝42＋3×4＋1＝29；
当a＝－4时，b＝0.5×(－4)＝－2.
答案：29　－2
条件语句与条件结构
[典例]　(1)根据下面的程序，填写程序框图．
①________，②________，③________.
　　
(2)根据下面的程序框图，写出程序．
[解析]　(1)根据条件语句可知该语句为求分段函数
y＝的值．
所以三个空中分别填的内容为：
①x≥？，②y＝2x－5，③y＝5－2x.
答案：(1)①x≥？　②y＝2x－5　③y＝5－2x
(2)解：程序如下：
条件语句与条件结构的转化
(1)根据条件结构写条件语句：
①首先选择语句格式．当判断语句的两个出口语句都要执行时，采用“IF－THEN－ELSE”语句，当判断语句的两个出口语句只有一个要执行时，采用“IF－THEN”语句．
②然后确定条件和语句体．条件即为判断框内的条件，放在IF后．判断框中“是”后的执行框中的内容，是THEN后的语句体1，“否”后的执行框中(如果有的话)的内容，是ELSE后的语句体2.
③最后应注意所用程序符合书写格式．
(2)如果是由条件语句画条件结构，可相应变化．
[活学活用]
求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则①处应填________．
解析：如果x＜4，则y＝4－x＋1＝5－x，
故①处应填y＝5－x.
答案：y＝5－x
条件语句的简单应用
[典例]　(1)阅读下面的程序，若分别输入0,1,4,8,9,10，则输出的结果是(　　)
A．0,8　　　　　　　　 B．4,8
C．0,4,8 D．0,1,4,8,9,10
(2)若输入8，则下列程序执行后输出的结果是________．

[解析]　(1)算法的功能是输入一个数，判断其是否能被4整除，若能，则输出该数．在输入的数中，能被4整除的有0,4,8.
(2)本题中的程序实际上解决的是求分段函数c＝在t＝8时的函数值的问题．因为t＝8>3，所以c＝0.2＋0.1×(8－3)＝0.7.
[答案]　(1)C　(2)0.7
解决根据条件语句写出运行结果的思路
根据程序写运行结果，首先观察所给语句是IF－THEN－END IF型条件语句还是IF－THEN－ELSE－END IF型条件语句，再看输入的值是否符合条件，进而执行相应的步骤，也可转化为数学式子，再代入求值．
[活学活用]
下列算法语句，若输入x为60时，则输出y的值为(　　)
A．25　　　　　　　　　 B．30
C．31 D．61
解析：选C　因为60>50，所以y＝25＋0.6×(60－50)＝31.
条件语句的叠加和嵌套
[典例]　设计一个程序，输入学生的成绩S，根据该成绩的不同值进行以下输出：若S<60，则输出“不及格”；若60≤S≤90，则输出“及格”；若S>90，则输出“优秀”．
[解]　程序如下：
使用条件语句嵌套应关注两点
(1)适用范围：适用于判断条件多于一个时．此时，若重复应用条件语句，书写程序繁琐，可用条件语句的嵌套．
(2)分清层次：编写条件时，要注意IF和END IF的配对，常常利用文字的缩进来表示嵌套的层次，以便于程序的阅读与理解．嵌套可以多于2个．
[活学活用]
已知分段函数y＝编写程序，输入自变量x的值，输出其相应的函数值．
解：程序为：
[层级一　学业水平达标]
1．对于程序：
若输入a＝4，则输出的结果为(　　)
A．11　　　　　　　　　　　 B．－11
C．11或－11 D．4
解析：选B　∵a＝4>0，∴a＝2×4＋3＝11，b＝－a＝－11.
2．阅读下面程序：
若输入x＝5，则输出结果x为(　　)
A．－5　　　　　　　　　 B．5
C．0 D．不确定
解析：选B　当x≥0时，不符合条件，执行END IF之后的语句，直接输出x的值，即5.
3．下面程序的算法功能是：判断任意输入的数x是不是正数，若是，则输出它的平方值；若不是，则输出它的相反数．
则横线处填入的条件应该是________．
解析：条件成立时，执行y＝－x；条件不成立时，执行y＝x*x.由程序的算法功能，知条件应为x<＝0.
答案：x<＝0
4．运行程序：
在两次运行中分别输入8,4和2,4，则两次运行程序的输出结果分别为________．
解析：对A，B的情况进行区分，当输入8,4的时候，A＞B，所以C＝＝4；当输入2,4时，A＞B不成立，所以选择执行C＝＝2.
答案：4　2
[层级二　应试能力达标]
1．阅读下列程序：
如果输入x＝－2，则输出结果为(　　)
A．2 B．－12
C．10 D．－4
解析：选D　输入x＝－2，则x＜0，执行“y＝7]
2．阅读下列程序：
如果输入的t∈[－1,3]，则输出的S∈(　　)
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析：选A　该程序语句的功能是求分段函数S＝的值．所以当－1≤t<1时，S＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时，S＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，此时3≤S≤4.
综上，可得输出的S∈[－3,4]．
3．阅读下面的程序：
程序运行的结果是(　　)
A．3 B．3,4
C．3,4,5 D．3,4,5,6
解析：选D　本题主要考查了条件语句的叠加，程序执行条件语句的叠加的过程中对于所有的条件都要进行判断，依次验证每一个条件，直到结束．在本题中共出现四次条件判断，每一个条件都成立，故输出结果为3,4,5,6.
4．给出如图所示的程序：
执行该程序时，若输入的x为3，则输出的y值是(　　)
A．3 B．6
C．9 D．27
解析：选B　x＝3时，条件x＞3不成立，执行y＝2]
5．读如图所示的判断输入的任意整数x的奇偶性的程序，并填空．
解析：由题意知此程序是判断输入的数x的奇偶性，可以用此数除以2取余数，若余数为0，则为偶数，否则(余数不为零)，则为奇数．
答案：m＝0
6．如图给出的是用条件语句编写的程序，该程序的功能是求函数________的函数值．
解析：由程序可知，当x<3时，y＝2x；当x>3时，y＝x2＋1；当x＝3时，y＝2.故y＝
答案：y＝
7．读程序，完成下列问题：
(1)若执行程序时，没有执行语句y＝x＋1，则输入的x的取值范围是________．
(2)若执行结果为3，则执行的赋值语句是________，
输入的x的值是________．
解析：(1)不执行y＝x＋1语句，
说明不满足条件x≥1，故有x<1.
所以输入的x的取值范围是(－∞，1)．
(2)当x<1时，y<2×1＋1＝3，
只有x＋1＝3，x＝2.
答案：(1)(－∞，1)　(2)y＝x＋1　2
8．某城市出租车公司规定在城区内搭乘出租车的收费标准为：不超过3公里收7元，超过3公里的里程每公里收1.5元，另每车次超过3公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．请画出计算出租车费用的程序框图，并写出程序．
解：设x为出租车行驶的公里数，y为收取的费用，则y＝即y＝
程序框图如图所示：
其程序如下：
9．某地电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3 min，则收取通话费0.22元；如果通话时间超过3 min，则超过部分按每分钟0.1元收取通话费，不足1 min按1 min计．设通话时间为t(min)，通话费用为y(元)，编写一个计算通话费用的程序，并画出程序框图．
解：y是关于t的分段函数，关系式为
y＝
[t－3]表示取t－3的整数部分．
程序如下：
程序框图如图所示．
1．2.3　循环语句
(1)循环语句的一般格式和功能是什么？
　


(2)编写程序时，什么情况下使用循环语句？
　


(3)两种循环语句的区别和联系有哪些？
　


　　　　
1．循环语句的格式、功能
名称
直到型
当型
程序结构框图
格式
DO
循环体
LOOP_UNTIL　条件
WHILE　条件
　循环体
WEND
执行步骤
先执行一次DO和UNTIL之间的循环体，再判断UNTIL后的条件是否符合，如果不符合，继续执行循环体，然后再检查上述条件，如果仍不符合，再次执行循环体直到某一次条件符合为止．这时不再执行循环体，跳出循环体执行UNTIL语句之后的语句
先判断条件的真假，如果条件符合，则执行WHILE和WEND之间的循环体，然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止，这时不再执行循环体，跳出循环体，执行WEND之后的语句
2.两种循环语句的区别
执行的顺序不同
执行UNTIL语句时，先执行循环体，再判断条件，直到条件满足；执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，直到条件不满足
条件的内容不同
UNTIL语句中的条件是循环结束的条件，满足此条件时，执行循环体后面的语句，不满足时执行循环体；WHILE语句中的条件是执行循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，否则执行循环体后面的语句
循环体的执行次数不同
由于UNTIL语句是先执行循环体再判断条件，因此，任何一个UNTIL语句中，循环体至少要执行一次，直到条件满足；而WHILE语句是先判断条件，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环体
[点睛]　两种循环语句的联系
两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，只是表达形式不同．一般地，WHILE语句和UNTIL语句可以相互转化．
1．关于循环语句的说法不正确的是(　　)
A．算法中的循环结构由WHILE语句来实现
B．循环语句中有直到型语句和当型语句，即UNTIL语句和WHILE语句
C．一般来说UNTIL语句和WHILE语句可以互相转换
D．算法中的循环结构由循环语句来实现
解析：选A　算法中的循环结构由循环语句来实现，循环语句包括UNTIL语句和WHILE语句两种不同的格式，且一般情况下这两种语句可以相互转换．所以选项A是错误的，其余都正确．
2．对于下面一个程序：
运行后输出的结果为________．
解析：执行过程如下：M＝5，N＝0，
当N＝0＜15时，N＝0＋5＝5，M＝5－1＝4；
当N＝5＜15时，N＝5＋4＝9，M＝4－1＝3；
当N＝9＜15时，N＝9＋3＝12，M＝3－1＝2；
当N＝12＜15时，N＝12＋2＝14，M＝2－1＝1；
当N＝14＜15时，N＝14＋1＝15，M＝1－1＝0，
当N＝15时不小于15，终止循环，最后输出M的值为0.
答案：0

UNTIL语句的应用
[典例]　(1)下面为一个求1,2,3，…，20的平均数的程序，在横线上应填充的语句为(　　)
A．i＞20　　　　　　　　 B．i＜20
C．i＞＝20 D．i＜＝20
(2)如图程序执行后输出的结果是________．
[解析]　(1)由题意知横线处应填i>20.
(2)i＝11时，s＝1×11＝11；
i＝10时，s＝11×10＝110；
i＝9时，s＝110×9＝990；
i＝8时，i<9成立，输出s的值为990.
[答案]　(1)A　(2)990
1．UNTIL语句的适用类型
直到型循环又称“后测试”循环，也就是我们所讲的“先执行后测试”，“先循环后判断”．
2．使用UNTIL语句应注意两点
(1)DO语句只是循环的开始标记，遇到DO语句，程序只是记住这个标记，其他什么也不做，接着执行后面的循环体，在执行一次循环体后，再检查LOOP UNTIL语句中的条件是否成立，如果不成立，就重复执行循环体，直到条件符合时退出循环．
(2)在循环体内，应注意务必有相应的语句使“条件”改变，保证能终止循环，否则循环将无休止地进行下去．　　　　
[活学活用]
设计算法求＋＋＋…＋的值．要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序．
解：这是一个累加求和问题，共1 008项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．程序框图如图所示：
程序如下：
WHILE语句的应用
[典例]　(1)下列程序运行后输出的结果为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．3
C．5 D．7
(2)给出的30个数，1,2,4,7,11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3…依次类推，要求计算这30个数的和，写出程序．
[解析]　(1)该程序的执行过程是i＝1，i＝1＜5，是；
i＝1＋2＝3，i＝3＜5，是；
i＝3＋2＝5；i＝5＜5，否．
所以输出i的值为5.
答案：C
(2)解：程序如下：
1．WHILE语句的适用类型
当型循环也叫“前测试”循环，也就是我们所讲的“先测试后执行”“先判断后执行”．
2．使用WHILE语句应注意五点
(1)当型循环以WHILE开头，以WEND作为结束标志．WEND是WHILE END的缩写，表示“WHILE循环到此结束”．
(2)一般来讲，WHILE语句与UNTIL语句可以相互转化．
(3)执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，然后再判断条件，再执行循环体，反复执行，直至条件不满足．
(4)WHILE语句中的条件是指循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，不满足时，则执行循环结构后面的语句．
(5)WHILE语句由于先判断条件，再执行循环体，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环结构．
[活学活用]
读程序，回答下列问题：
(1)若输入n＝3，则输出的结果为________．
(2)此程序对应的计算式子是__________________．
(3)程序中的循环语句对应________型循环结构．
解析：(1)输入n＝3，当i＝1时，S＝0＋＝；
当i＝2时，S＝＋＝；
当i＝3时，S＝＋＝，结束循环，此时输出S＝.
(2)此程序是用于计算＋＋…＋的值．
(3)这是WHILE语句，对应的是当型循环结构．
答案：(1)　(2)＋＋…＋　(3)当
循环语句的综合应用
[典例]　(1)已知有如下两段程序：程序1运行的结果为________，程序2运行的结果为________．
　
程序1　　　　　　　　程序2
(2)编写程序，计算函数f(x)＝x2－3x＋5，当x＝1,2,3，…，20时的函数值．
[解析]　(1)程序1是计数变量i＝21开始，不满足i≤20，终止循环，累加变量sum＝0，这个程序计算的结果：sum＝0；程序2计数变量i＝21，开始进入循环，sum＝0＋21＝21，i＝i＋1＝21＋1＝22，i>20，循环终止，此时，累加变量sum＝21，这个程序计算的结果：sum＝21.
答案：0　21
(2)解：程序如下：
用循环语句编写程序的要点
(1)循环语句的作用：循环语句主要用于循环结构，在需要处理反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题时，常常要用到循环语句．
(2)用循环语句编写程序的“三要素”
①循环语句中的变量一般需要进行一定的初始化操作；
②循环语句在循环的过程中需要有“结束”的机会；
③在循环中要有改变循环条件成立的因素．
(3)注意事项
①解决具体问题构造循环语句的算法时，要尽可能少地引入循环变量，否则较多的变量会使设计程序比较繁杂，并且较多的变量会使计算机占用大量的系统资源，导致系统缓慢．
②WHILE循环与UNTIL循环一般可以相互转化．
[活学活用]
写出计算12＋32＋52＋…＋992的程序．
解：法一：用WHILE语句编写程序如下：
法二：用UNTIL语句编写程序如下：
[层级一　学业水平达标]
1．下列问题，设计程序求解时，要用到循环语句的有(　　)
①输入每个同学的数学成绩，求全班同学的平均分；
②求分段函数的函数值；
③求连续100个自然数的平方和；
④输入100个数，从中找出最大的数；
A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　求分段函数的函数值用条件语句，其余三个均需用循环语句解决．
2．如图程序运行的结果是(　　)
A．210,11 B．200,9
C．210,9 D．200,11
解析：选D　因为x＝100，i＝1，所以x＝110，i＝2；x＝120，i＝3；x＝130，i＝4；x＝140，i＝5；x＝150，i＝6；x＝160，i＝7；x＝170，i＝8；x＝180，i＝9；x＝190，i＝10；x＝200，i＝11.输出x的值为200，i的值为11.
3．下面的程序运行后输出的结果是________．
解析：每循环一次，
x与i均增加1，
直到i>5时为止，
所以输出的结果为6.
答案：6
4．如图所示的程序运行后，输出的值为________．
解析：由程序知i2≥2 000时，
i的最小值为45，
又把i－1＝44的值赋给i，
∴i＝44.
答案：44
[层级二　应试能力达标]
1．以下程序(　　)
A．输出结果是1 B．能执行一次
C．能执行10次 D．是“死循环”，有语法错误
解析：选D　从循环语句的格式看，这个循环语句是直到型循环语句，那么当满足条件x＞10时，终止循环体，但是第一次执行循环体后x＝1，由于x＝1＞10不成立，则再次执行循环体，执行完成后x＝1，则这样无限循环下去，是一个“死循环”，有语法错误，循环终止的条件永远不能满足．
2．下面两个程序最后输出的“S”分别等于(　　)

A．都是17 B．都是21
C．21,17 D．14,21
解析：选C　第一个程序中，i＝7时执行循环体i＝i＋2，此时i为9，S＝2×9＋3＝21.结束循环．第二个程序中，i＝7时，S＝2×7＋3＝17.然后，执行i＝i＋2，此时i＝9，结束循环．
3．如下所示的程序，若最终输出的结果为，则在程序中①处应填入的语句为(　　)
A．i>＝8 B．i>＝7
C．i<7 D．i<8
解析：选B　因为n＝2，i＝1，
第1次循环：S＝0＋＝，n＝4，i＝2；
第2次循环：S＝＋＝，n＝8，i＝3；
第3次循环：S＝＋＝，n＝16，i＝4；
第4次循环：S＝＋＝，n＝32，i＝5；
第5次循环：S＝＋＝，n＝64，i＝6；
第6次循环：S＝＋＝，n＝128，i＝7.此时输出的S＝，故填i>＝7.
4．如图所示的程序段：
执行完毕后，a的值为(　　)
A．99 B．100
C．101 D．102
解析：选B　当a<100时执行循环体，a＝99时，a＝a＋1，则a＝100.
5．下面程序运行后输出的结果为________．
解析：执行第一次后，S＝5，N＝4，执行第二次后，S＝9，N＝3，…，执行第五次后，S＝15，N＝0，跳出循环，输出N＝0.
答案：0
6．执行下面的程序，如果输入N＝4，那么输出的S＝________.
解析：第一次循环，T＝1，S＝1，k＝2；第二次循环，T＝，S＝1＋，k＝3；第三次循环，T＝，S＝1＋＋，k＝4；第四次循环，T＝，S＝1＋＋＋，k＝5，此时满足条件，输出S.
答案：1＋＋＋
7．给出一个算法的程序框图(如图所示)．
(1)说明该程序的功能．
(2)请用WHILE型循环语句写出程序．
解：(1)该程序的功能是求1＋＋＋…＋的值．
(2)程序如下：
8．某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给他开了一些消炎药，并叮嘱他每天早晚8时各服用一片药片．现知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.设计一个程序，求他第n次服药后体内此药的残留量，并画出程序框图．
解：算法分析：第一次服药后体内此药的残留量：V1＝220；
第二次服药后体内此药的残留量：V2＝V1×0.4＋220；
第三次服药后体内此药的残留量：V3＝V2×0.4＋220；
…；
第n次服药后体内此药的残留量：Vn＝Vn－1×0.4＋220.
故可用循环语句求解．
程序框图如图：
程序如图：
1.3　
(1)如何求a，b，c的最大公约数？
　

　
(2)如何求两个数的最小公倍数？
　

　　　　
1．辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
(2)辗转相除法的算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
2．更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
(2)其基本过程是：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
[点睛]　
辗转相除法与更相减损术的区别与联系
两种方法
辗转相除法
更相减损术
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算特点
步骤较少，运算复杂
步骤较多，运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法，都是递归过程
3．秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法．
1．用更相减损术求98与63的最大公约数时，需做减法的次数为(　　)
A．4　　 　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
解析：选C　(98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共进行6次减法．
2．用“辗转相除法”求得168与486的最大公约数是(　　)
A．3 B．4
C．6 D．16
解析：选C　486＝168×2＋150,168＝150×1＋18,150＝18×8＋6,18＝3×6，故168与486的最大公约数为6.
3．有关辗转相除法下列说法正确的是(　　)
A．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至rC．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r(0≤rD．以上说法皆错
解析：选C　辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法，故A错，而C中0≤r4．已知多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A　∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝－.
求最大公约数
[典例]　求228与1 995的最大公约数．
[解]　法一：(辗转相除法)1 995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57，
所以228与1 995的最大公约数为57.
法二：(更相减损术)1 995－228＝1 767,1 767－228＝1 539，
1 539－228＝1 311,1 311－228＝1 083，
1 083－228＝855,855－228＝627，
627－228＝399,399－228＝171，
228－171＝57,171－57＝114，
114－57＝57.
所以228与1 995的最大公约数为57.
辗转相除法计算次数少，步骤简捷，更相减损术计算次数多，步骤复杂，但是更相减损术每一步的计算都是减法，比做除法运算要简单一些，一般当数较小时可以考虑用更相减损术，当数较大时可以考虑用辗转相除法．
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1 515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为(　　)
A．4,15　　　　　　　　　 B．5,14
C．5,13 D．4,12
解析：选B　辗转相除法：1 515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术：1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225，225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105，105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公约数为15，且需计算14次.
秦九韶算法的应用
[典例]　用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解]　根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当x＝2时，多项式的值为1 397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写．
(2)计算应由内向外依次计算．
(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
[活学活用]
用秦九韶算法写出当x＝3时，f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
解：因为f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，
v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，
所以f(3)＝391.
进位制
[典例]　(1)把二进制数101 101(2)化为十进制数为________．
(2)将十进制数458转化为四进制数为________．
(3)比较85(9)和210(6)的大小．
[解析]　(1)101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101 101(2)转化为十进制的数为45.
(2)
所以458＝13 022(4)．
答案：(1)45　(2)13 022(4)
(3)解：因为85(9)＝5＋8×9＝77，
210(6)＝0＋1×6＋2×62＝78，
而78>77，所以210(6)>85(9)．
十进制数转化为其他进制数的方法步骤
[活学活用]
(1)将101 111 011(2)转化为十进制的数；
(2)将235(7)转化为十进制的数；
(3)将137(10)转化为六进制的数；
(4)将53(8)转化为二进制的数．
解：(1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10)．
(2)235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)．
(3)
∴137(10)＝345(6)．
(4)53(8)＝5×81＋3×80＝43(10)．
∴53(8)＝101 011(2)．
[层级一　学业水平达标]
1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法运算的次数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　294＝84×3＋42,84＝42×2，故需要做2次除法运算．
2．三位四进制数中的最大数等于十进制数的(　　)
A．63 B．83
C．189 D．252
解析：选A　三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)＝3×42＋3×41＋3＝63.
3．把389化为四进制数，则该数的末位是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　由389＝4×97＋1,97＝4×24＋1,24＝4×6＋0,6＝4×1＋2,1＝4×0＋1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1.
4．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是(　　)
A．4 B．12
C．16 D．8
解析：选A　根据更相减损术的方法判断．
[层级二　应试能力达标]
1．4 830与3 289的最大公约数为(　　)
A．23　　　　　　　　　　 B．35
C．11 D．13
解析：选A　4 830＝1×3 289＋1 541；
3 289＝2×1 541＋207；
1 541＝7×207＋92；
207＝2×92＋23；92＝4×23；
∴23是4 830与3 289的最大公约数．
2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为(　　)
A．4 B．3
C．5 D．6
解析：选B　120＝72×1＋48，
72＝48×1＋24，
48＝24×2.
3．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
4．下列各数，化为十进制后，最大的为(　　)
A．101 010(2) B．111(5)
C．32(8) D．54(6)
解析：选A　101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.
故转化为十进制后，最大的是101 010(2)．
5.阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
解析：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f(x)＝(…((anx＋an －1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
答案：an－k
6．三进制数2 012(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.
解析：
2 012(3)＝2×33＋0×32＋1×31＋2×30＝59.
三进制数2 012(3)化为六进制数为135(6)，∴a＋b＋c＝9.
答案：9
7．三位七进制数表示的最大的十进制数是________．
解析：最大的三位七进制数表示的十进制数最大，最大的三位七进制数为666(7)，则666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝342.
答案：342
8．10x1(2)＝y02(3)，求数字x，y的值．
解：∵10x1(2)＝1×20＋x×21＋0×22＋1×23＝9＋2x，
y02(3)＝2×30＋y×32＝9y＋2，∴9＋2x＝9y＋2且x∈，y∈，所以x＝1，y＝1.
9．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．
解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关于赋值语句的说法错误的是(　　)
A．赋值语句先计算出赋值号右边的表达式的值
B．赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式
C．赋值语句是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量
D．在算法语句中，赋值语句是最基本的语句
解析：选B　赋值语句的一般格式是：变量名＝表达式，其作用是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量，故B错误．
2．阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是(　　)
A．该框图只含有顺序结构、条件结构
B．该框图只含有顺序结构、循环结构
C．该框图只含有条件结构、循环结构
D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构
解析：选D　阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件结构，故选D.
3．求下列函数的函数值时，其程序框图中需要用到条件结构的是(　　)
A．f(x)＝－2x2＋x　 　　　 B．f(x)＝－2x－5
C．f(x)＝ D．f(x)＝1－5x
解析：选C　只有选项C中函数f(x)是分段函数，需分类讨论x的取值范围，要用条件结构来设计程序框图，A、B、D项均不需要用条件结构，故选C.
4．如果输入A＝2 015，B＝2 016，则下面一段程序的输出结果是(　　)
A．2 016,2 015 B．2 015,2 015
C．2 015,2 016 D．2 016,2 016
解析：选D　输入A＝2 015，B＝2 016后，经过两个赋值语句，使得A，B中的值都为2 016.故选D.
5．运行如图所示的程序，其结果为(　　)
A．192 B．3 840
C．384 D．1 920
解析：选C　程序的功能为计算8×6×4×2的值，易知为384，故选C.
6．若运行如图所示的程序，最后输出y的值是7，那么应该输入的t的值可以为(　　)
A．－3 B．3
C．3或－ 3 D．3或－3或5
解析：选D　程序中的函数为一个分段函数y＝若输出7，则或解得t的值为3或－3或5，故选D.
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B　第一次运行：S＝0＋(－1)1×1＝－1<3；第二次运行：n＝2，S＝－1＋(－1)2×2＝1<3；第三次运行：n＝3，S＝1＋(－1)3×3＝－2<3；第四次运行：n＝4，S＝－2＋(－1)4×4＝2<3；第五次运行：n＝5，S＝2＋(－1)5×5＝－3<3；第六次运行：n＝6，S＝－3＋(－1)6×6＝3，满足S≥3.故输出n的值为6，故选B.
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“①”处应填写的是(　　)
A．n＝n－1 B．n＝n－2
C．n＝n＋1 D．n＝n＋2
解析：选C　因为起始n＝1，输出的n＝4，所以排除A、B.若“①”处填n＝n＋1.则S＝＝－1，n＝2，判断－1≠2，继续循环；S＝＝，n＝3，判断≠2，继续循环；S＝＝2，n＝4，判断2＝2，则输出n的值为4，故选C.
9．执行如图所示的程序框图，若输出S＝，则输入整数n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．8或9
解析：选D　在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S＝，i＝4；执行第二次循环后，S＝，i＝6；执行第三次循环后，S＝，i＝8；执行第四次循环后，S＝，i＝10.若n＝8或n＝9，此时10≤n不成立，退出循环，输出S＝，因此n＝8或n＝9，故选D.
10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是(　　)
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
解析：选A　由f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1可以得知答案选A.
11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，当x＝－4时，v4的值为(　　)
A．－57 B．124
C．－845 D．220
解析：选D　依据秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57×(－4)＋(－8)＝220，故选D.
12．下列各数中最小的数为(　　)
A．101 011(2) B．1 210(3)
C．110(8) D．68(12)
解析：选A　101 011(2)＝1×25＋1×23＋1×2＋1＝43,1 210(3)＝1×33＋2×32＋1×3＝48,110(8)＝1×82＋1×8＝72,68(12)＝6×12＋8＝80，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图程序中，要求从键盘输入n，求1＋2＋3＋…＋n的和，则横线上缺的程序项是①________，②________.
解析：程序应先输入一个n的值，
确定要计算前多少项的和，
②处应确定计数变量i满足的条件，
即确定终止条件．
答案：n　i<＝n
14．执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为，那么判断框中实数a的取值范围是________．
解析：当1≤a<2时，输出的S值为＝；
当2≤a<3时，输出的S值为＝；
当3≤a<4时，输出的S值为＝；…；
当2 015≤a<2 016时，
输出的S值为.
答案：[2 015,2 016)
15．如图是计算1＋2＋＋3＋＋…＋2 014＋的值的程序框图．图中空白的判断框应填________，处理框应填________．
解析：读懂程序框图后，即可知判断框内要填“i≤2 014？”或“i<2 015？”，处理框内要填“S＝S＋i＋”．
答案：i≤2 014？(或i<2 015？)　S＝S＋i＋
16．用更相减损术求36与134的最大公约数时，第一步应为________________________．
解析：∵36与134都是偶数，
∴第一步应为：先除以2，得到18与67.
答案：先除以2，得到18与67
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出用辗转相除法求下列两组数的最大公约数的过程：
(1)8 251与6 105；
(2)6 731与2 809.
解：(1)8 251＝6 105×1＋2 146；
6 105＝2 146×2＋1 813；
2 146＝1 813×1＋333；
1 813＝333×5＋148；
333＝148×2＋37；
148＝37×4.
∴最后的除数37就是8 251和6 105的最大公约数．
(2)6 731＝2 809×2＋1 113；
2 809＝1 113×2＋583；
1 113＝583×1＋530；
583＝530×1＋53；
530＝53×10.
∴6 731与2 809的最大公约数为53.
18．(本小题满分12分)写出下面程序运行的过程，并写出运行结果．
解：运行过程如下：
i＝1，S＝0时，执行S＝0＋1＝1，i＝2；
由于S＝1≤20，因此继续执行S＝1＋2＝3，i＝3；
由于S＝3≤20，因此继续执行S＝3＋3＝6，i＝4；
由于S＝6≤20，因此继续执行S＝6＋4＝10，i＝5；
由于S＝10≤20，因此继续执行S＝10＋5＝15，i＝6；
由于S＝15≤20，因此继续执行S＝15＋6＝21，i＝7；
这时S＝21>20，结束循环，执行WEND后面的语句，因此程序的运行结果为7.
19．(本小题满分12分)用秦九韶算法求f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6当x＝2时的值．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值．
v0＝3，
v1＝v0×2＋8＝3×2＋8＝14，
v2＝v1×2－3＝14×2－3＝25，
v3＝v2×2＋5＝25×2＋5＝55，
v4＝v3×2＋12＝55×2＋12＝122，
v5＝v4×2－6＝122×2－6＝238，
所以当x＝2时，多项式的f(x)值为238.
20.(本小题满分12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式并画出程序框图．
解：函数关系式为
y＝
程序框图如图所示：
21．(本小题满分12分)用二分法求f(x)＝x2－2(x>0)近似零点的程序框图如下图所示．
(1)请在图中判断框内填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；
(2)根据程序框图写出程序．
解：(1)判断框内应填循环终止的条件：|a－b|(2)根据框图，设计程序如下：
22．(本小题满分12分)某商场第一年销售计算机6 000台，如果以后每年销售比上一年增加12%，那么从第一年起，大约经过几年可使总销量达到150 000台？画出解决此问题的程序框图，并写出程序．
解：程序框图如图所示：
程序如下：
3．1.1& 3.1.2　随机事件的概率　概率的意义
(1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念分别是什么？
　


(2)必然事件与随机事件有何区别？
　


　　　　
1．随机事件、必然事件、不可能事件
事件
确定事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件
2.频数与频率
(1)前提：对于给定的随机事件A，在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现．
(2)频数：指的是n次试验中事件A出现的次数nA.
频率：指的是事件A出现的比例fn(A)＝.
3．概率
(1)定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
(2)范围：[0,1]．
(3)意义：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．
4．对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯(其中8个正品；2个次品)中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天．
其中，是随机事件的是(　　)
A．①②　　　B．②③　　　C．③④　　　D．②④
解析：选D　①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件．
2．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是(　　)
A．不可能事件　　　　　　 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
解析：选D　掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
3．“某彩票的中奖概率为”意味着(　　)
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
解析：选D　概率是描述事件发生的可能性大小．
4．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指(　　)
A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
解析：选D　概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．
事件的分类
[典例]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[活学活用]
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.
利用频率与概率的关系求概率
[典例]　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500,900)
[900,1 100)
[1 100,1 300)
频数
48
121
208
频率
[1 300,1 500)
[1 500,1 700)
[1 700,1 900)
[1 900，＋∞)
223
193
165
42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[解]　(1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
随机事件概率的理解及求法
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
(2)求法：通过公式fn(A)＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
[活学活用]
国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
解：(1)如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
概率含义的理解
[典例]　(1)下列说法正确的是(　　)
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
(2)某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(　　)
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
[解析]　(1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
(2)合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
[答案]　(1)D　(2)D
从三个方面理解概率的意义
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[活学活用]
如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解对吗？
解：这种理解不正确．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律性，即“正面向上”“反面向上”的可能性都是.连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于.
概率的应用
[典例]　(1)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(　　)
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
(2)某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
①如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
②为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
[解析]　(1)落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．
答案：A
(2)解：①为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
②为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
1．极大似然法的应用
在“风险与决策”中经常会遇到统计中的极大似然法：如果我们面临的是从多个可以选择的答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．
2．概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．
[活学活用]
为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾， 查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．
解：设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，
设事件A＝{带有记号的鱼}，易知P(A)＝，①
第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义可知P(A)＝，②
由①②两式，得＝，
解得n＝25 000.
所以估计水库中约有鱼25 000尾．
[层级一　学业水平达标]
1．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是(　　)
A．必然事件　　　　　　　 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
解析：选C　若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为(　　)
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
解析：选C　25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．
3．事件A发生的概率接近于0，则(　　)
A．事件A不可能发生　　 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生 D．事件A发生的可能性很大
解析：选B　不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．
4．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话(　　)
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B　把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是说明了对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．
[层级二　应试能力达标]
1．下面事件：①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选D　三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边．
2．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为(　　)
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
解析：选D　正面朝下的频率为1－0.49＝0.51，次数为0.51×100＝51次．
3．聊城市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而聊城市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？(　　)
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
解析：选B　由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，由极大似然法可知认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
4．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.
5．下列给出五个事件：
①某地2月3日下雪；
②函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．
答案：③⑤　④　①②
6．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：P＝＝0.03.
答案：0.03
7．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
8．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少条鱼苗？
(3)要孵化5 000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)?
解：(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，
把它近似作为孵化的概率．
(2)设能孵化x条鱼苗，则＝0.851 3.
所以x＝25 539，
即30 000个鱼卵大约能孵化25 539条鱼苗．
(3)设大约需准备y个鱼卵，
则＝0.851 3，
所以y≈5 900，
即大约需准备5 900个鱼卵．
9．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为：＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
所以估计袋中红球接近15个．
3．1.3　概率的基本性质
(1)事件B包含事件A的含义是什么？
　

(2)什么叫做两个事件的相等？
　

(3)什么叫和事件？什么是积事件？
　

(4)什么是互斥事件？什么叫对立事件？
　

(5)概率的基本性质是什么？
　

　　　
1．事件的关系与运算
(1)事件的关系：
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
相等关系
A?B且B?A
A＝B
事件互斥
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝?
事件对立
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?
且A∪B＝U
(2)事件的运算：
定义
表示法
图示
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A?B　　　　　　　　 B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
解析：选B　由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．
2．设A，B为两个事件，且P(A)＝0.3，则P(B)＝0.7时，两事件的关系是(　　)
A．A与B互斥 B．A与B对立
C．A?B D．A不包含B
解析：选B　∵P(A)＋P(B)＝1，∴当A与B对立时，结论成立．
3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
解析：选A　依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．
答案：0.8
事件间关系的判断
[典例]　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[活学活用]
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
事件的运算
[典例]　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解]　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
[活学活用]
在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
互斥事件与对立事件的概率公式的应用
[典例]　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
[解]　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
[活学活用]
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解：法一：(1)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
法二：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝，A2＝，
A3＝，A4＝，则P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法三：(利用对立事件求概率)
(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
[层级一　学业水平达标]
1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是(　　)
A．A与C互斥　　　　　　　 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
解析：选D　由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　)
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
解析：选B　从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B.
4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
解析：摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
答案：0.3
[层级二　应试能力达标]
1．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)
A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件
C.与一定互斥 D.与一定不互斥
解析：选B　用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件，故选B.
2．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为(　　)
A．67% B．85%
C．48% D．15%
解析：选A　O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.
3．下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　)
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
解析：选B　对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．
4．把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是(　　)
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析：选C　“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件但不对立．
5．一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出不是红球的概率为________．
解析：设A＝{摸出红球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出黑球}，则A，B，C两两互斥，A与为对立事件，
因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.58，P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.62，
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝0.42，P(B)＝0.38，P(A)＝0.20，所以P()＝1－P(A)＝1－0.20＝0.80.
答案：0.80
6．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，军火库爆炸的概率为________．
解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
答案：0.225
7．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
8．在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球的概率为0.3，求所取出的2个球中至少有1个红球的概率．
解：记事件A表示“取出的2个球中至少有1个红球”，事件B表示“取出的2个球全是白球”，则事件A与事件B互为对立事件，而事件B发生的概率为P(B)＝0.3，所以事件A发生的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－0.3＝0.7.
9．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
3．2.1& 3.2.2 古典概型(整数值)随机数(random numbers)的产生
(1)什么是基本事件？基本事件有什么特点？
　


(2)满足什么条件的概率模型是古典概型？
　

(3)古典概型的概率计算公式是什么？
　

(4)整数随机数是如何产生的？
　

　
　
1．基本事件及古典概型的特点
特点
基本事件
古典概型
任何两个基本事件是互斥的
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
每个基本事件出现的可能性相等
2．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝.
3．随机数的产生的过程
(1)标号：把n个大小，形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n；
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
1．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④　　　　　　　　　 B．①③④
C．①④ D．③④
解析：选B　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
2．下列试验是古典概型的是(　　)
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为和
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C　A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．1
解析：选C　从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
4．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
101　111　010　101　010
100　100　011　111　110
000　011　010　001　111
011　100　000　101　101
据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为(　　)
A．0.30　　　　　　　　 B．0.35
C．0.40 D．0.65
解析：选B　抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有010,010,100,100,010,001,100，共有7组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为＝0.35，故选B.
基本事件的计数问题
[典例]　(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为(　　)
A．2　　　　　　　　 B．3
C．4 D．6
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求这个试验的基本事件的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
[解析]　(1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
答案：C
(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的基本事件的总数是8；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
基本事件的三个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
[活学活用]
将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
解：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个基本事件．
(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).
简单的古典概型的概率计算
[典例]　袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
[解]　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．
∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为
P(B)＝.
求解古典概型的概率“四步”法
[活学活用]
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝＝.
古典概型的综合应用
[典例]　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解]　(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝.
因为事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝.事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
[活学活用]
一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：(1,2)，(1,3)，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
利用随机模拟法估计概率
[典例]　已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569
683　431　257　393　027　556　488　730　113
537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)
A．0.35　　　　　　　　 B．0.25
C．0.20 D．0.15
[解析]　由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为＝＝0.25.故选B.
[答案]　B
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[活学活用]
种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．
解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：
69801　66097　77124　22961　74235　31516
29747　24945　57558　65258　74130　23224
37445　44344　33315　27120　21782　58555
61017　45241　44134　92201　70362　83005
94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.
[层级一　学业水平达标]
1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为＝，故选D.
2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P＝＝.
3．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a，b)．记“这些基本事件中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.
4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907　966　191　925　271　932　812　458
569　683　631　257　393　027　556　488
730　113　137　989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为.
5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：
序号
分组(分数段)
频数(人数)
频率
1
[0,60)
a
0.1
2
[60,75)
15
0.3
3
[75,90)
25
b
4
[90,100]
c
d
合计
50
1
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．
解：(1)a＝50×0.1＝5，b＝＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.
(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.
事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．
所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝.
[层级二　应试能力达标]
1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P＝＝.故选B.
2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率(　　)
A．颜色全同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
解析：选B　有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有3种，其概率为＝；无红球的情况有8种，其概率为，故选B.
3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝＝.故选C.
4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.
5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．
解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－＝.
答案：
6．从甲，乙，丙，丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲，乙为男生，丙，丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是________．
解析：基本事件有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个，故至少一名女生当选的概率为P＝1－＝.
答案：
7．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．
解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．
当直线与圆有公共点时，可得≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为.
答案：
8．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．
设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．
设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝＝0.48.
9．(山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
3．3.1& 3.3.2　几何概型　均匀随机数的产生
(1)什么是几何概型？
　

(2)几何概型的两大特点是什么？
　

(3)几何概型的概率计算公式是什么？
　

(4)均匀随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？
　

　　　　
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果有无限多个．
(2)每个结果出现的可能性相等．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：
P(A)＝.
4．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”．
5．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
1.一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B．10
C．15 D．20
解析：选A　阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为＝，飞镖落在阴影内的次数约为30×＝5.
2．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选B　因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝.
3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是，则小狗图案的面积是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得＝，得S1＝.故选D.
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为＝.
答案：
与长度有关的几何概型
[典例]　(1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率．
[解析]　(1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
答案：
(2)解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝＝＝，
即该乘客等车时间超过10 min的概率是.
1．解几何概型概率问题的一般步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；
(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；
(4)利用概率公式计算．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.　
[活学活用]
一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)法一：P＝＝＝＝.
法二：P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
与面积和体积有关的几何概型
[典例]　(1)(福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析]　(1)依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.
(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝.
[答案]　(1)B　(2)
1．与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
2．与体积有关的几何概型概率的求法
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[活学活用]
1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝πR3＝π.则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝.
2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
用随机模拟估计面积型的几何概型
[典例]　解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m、2 m、5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
[解]　设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．
(3)统计满足－8(4)计算频率fn(A)＝即为所求概率的近似值．
用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．
[活学活用]
现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．
解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；
(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，
b＝2(b1－0.5)；
(3)数出满足不等式b＜2a－，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈.
可以发现，试验次数越多，概率P越接近.
[层级一　学业水平达标]
1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的＝，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为，故选C.
2.如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　S矩形＝ab，S梯形＝b＝ab.
故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝.
3．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为________．
解析：欲使f(x)＝log2x≥0，
则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，
从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.
答案：
4．已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC解析：由VP-ABC答案：
[层级二　应试能力达标]
1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝＝，故选A.
2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　△ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为.
3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为(　　)
A. B.
C. D．1－
解析：选D　S扇形＝×π×22＝π，
S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2，
∴P＝＝1－.
4.如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P＝＝.故选C.
5．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．
解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，
又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝.
答案：
6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，
则P(A)＝＝0.005.
答案：0.005
7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．
P＝＝π.
答案：π
8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)＝＝0.01.
即“射中黄心”的概率是0.01.
9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
故所求概率为P＝＝.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中随机事件的个数为(　　)
①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已经有一个女儿，第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾，是不可能事件．故选C.
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．至少有一个黑球与都是红球
B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析：选D　A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.
3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝＝.
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥O-ABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设正方体的体积为V，则四棱锥O-ABCD的体积为，所求概率为＝.
5．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为＝.
6．从的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　符合要求的是?，，，，，，，共8个，而集合共有子集25＝32个，∴P＝.
7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x2＋y2＝17内部的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　点P(m，n)的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P在圆x2＋y2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为.
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为＝.故选D.
9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为.
10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P(A)＝＝.
11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.
12．设一元二次方程x2＋Bx＋C＝0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B2－4C≥0，显然B≠1.当B＝2时，C＝1(1种)；当B＝3时，C＝1,2(2种)；当B＝4时，C＝1,2,3,4(4种)；当B＝5时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B＝6时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．
解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知≈，即≈，解得π≈3.104.
答案：3.104
14．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.
答案：
15．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________．
解析：连接AC交弧DE于点F，∠BAC＝30°，
P＝＝.
答案：
16．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧长为2，点B落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为.
答案：
三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：
抽取件数n
50
100
200
500
600
700
800
次品件数m
0
2
12
27
27
35
40
次品率
(1)求次品出现的频率；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？
解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.
(2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.
(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 053.
∴至少需进货1 053件衬衣．
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.
从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为.
(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.
21．(本小题满分12分)一条笔直街道上的A，B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C，D，路灯次序为A，C，D，B，求A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率．
解：设A与C之间的距离为x米，B与D之间的距离为y米，(x，y)可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，(x，y)的所有可能结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|00，y>0}，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)．而“A与C，B与D之间的距离都不小于40米”(记为事件M)的所有可能结果构成的区域为M＝{(x，y)|x≥40，y≥40，(x，y)∈Ω}，即图中的阴影部分．
由几何概型的概率计算公式得P(M)＝＝.故A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率为.
22.(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝，
所以样本中包含三个地区的个数数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
1.3　
(1)如何求a，b，c的最大公约数？
　

　
(2)如何求两个数的最小公倍数？
　

　　　　
1．辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
(2)辗转相除法的算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
2．更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
(2)其基本过程是：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
[点睛]　
辗转相除法与更相减损术的区别与联系
两种方法
辗转相除法
更相减损术
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算特点
步骤较少，运算复杂
步骤较多，运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法，都是递归过程
3．秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法．
1．用更相减损术求98与63的最大公约数时，需做减法的次数为(　　)
A．4　　 　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
解析：选C　(98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共进行6次减法．
2．用“辗转相除法”求得168与486的最大公约数是(　　)
A．3 B．4
C．6 D．16
解析：选C　486＝168×2＋150,168＝150×1＋18,150＝18×8＋6,18＝3×6，故168与486的最大公约数为6.
3．有关辗转相除法下列说法正确的是(　　)
A．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至rC．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r(0≤rD．以上说法皆错
解析：选C　辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法，故A错，而C中0≤r4．已知多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A　∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝－.
求最大公约数
[典例]　求228与1 995的最大公约数．
[解]　法一：(辗转相除法)1 995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57，
所以228与1 995的最大公约数为57.
法二：(更相减损术)1 995－228＝1 767,1 767－228＝1 539，
1 539－228＝1 311,1 311－228＝1 083，
1 083－228＝855,855－228＝627，
627－228＝399,399－228＝171，
228－171＝57,171－57＝114，
114－57＝57.
所以228与1 995的最大公约数为57.
辗转相除法计算次数少，步骤简捷，更相减损术计算次数多，步骤复杂，但是更相减损术每一步的计算都是减法，比做除法运算要简单一些，一般当数较小时可以考虑用更相减损术，当数较大时可以考虑用辗转相除法．
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1 515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为(　　)
A．4,15　　　　　　　　　 B．5,14
C．5,13 D．4,12
解析：选B　辗转相除法：1 515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术：1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225，225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105，105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公约数为15，且需计算14次.
秦九韶算法的应用
[典例]　用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解]　根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当x＝2时，多项式的值为1 397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写．
(2)计算应由内向外依次计算．
(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
[活学活用]
用秦九韶算法写出当x＝3时，f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
解：因为f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，
v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，
所以f(3)＝391.
进位制
[典例]　(1)把二进制数101 101(2)化为十进制数为________．
(2)将十进制数458转化为四进制数为________．
(3)比较85(9)和210(6)的大小．
[解析]　(1)101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101 101(2)转化为十进制的数为45.
(2)
所以458＝13 022(4)．
答案：(1)45　(2)13 022(4)
(3)解：因为85(9)＝5＋8×9＝77，
210(6)＝0＋1×6＋2×62＝78，
而78>77，所以210(6)>85(9)．
十进制数转化为其他进制数的方法步骤
[活学活用]
(1)将101 111 011(2)转化为十进制的数；
(2)将235(7)转化为十进制的数；
(3)将137(10)转化为六进制的数；
(4)将53(8)转化为二进制的数．
解：(1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10)．
(2)235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)．
(3)
∴137(10)＝345(6)．
(4)53(8)＝5×81＋3×80＝43(10)．
∴53(8)＝101 011(2)．
[层级一　学业水平达标]
1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法运算的次数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　294＝84×3＋42,84＝42×2，故需要做2次除法运算．
2．三位四进制数中的最大数等于十进制数的(　　)
A．63 B．83
C．189 D．252
解析：选A　三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)＝3×42＋3×41＋3＝63.
3．把389化为四进制数，则该数的末位是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　由389＝4×97＋1,97＝4×24＋1,24＝4×6＋0,6＝4×1＋2,1＝4×0＋1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1.
4．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是(　　)
A．4 B．12
C．16 D．8
解析：选A　根据更相减损术的方法判断．
[层级二　应试能力达标]
1．4 830与3 289的最大公约数为(　　)
A．23　　　　　　　　　　 B．35
C．11 D．13
解析：选A　4 830＝1×3 289＋1 541；
3 289＝2×1 541＋207；
1 541＝7×207＋92；
207＝2×92＋23；92＝4×23；
∴23是4 830与3 289的最大公约数．
2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为(　　)
A．4 B．3
C．5 D．6
解析：选B　120＝72×1＋48，
72＝48×1＋24，
48＝24×2.
3．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
4．下列各数，化为十进制后，最大的为(　　)
A．101 010(2) B．111(5)
C．32(8) D．54(6)
解析：选A　101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.
故转化为十进制后，最大的是101 010(2)．
5.阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
解析：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f(x)＝(…((anx＋an －1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
答案：an－k
6．三进制数2 012(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.
解析：
2 012(3)＝2×33＋0×32＋1×31＋2×30＝59.
三进制数2 012(3)化为六进制数为135(6)，∴a＋b＋c＝9.
答案：9
7．三位七进制数表示的最大的十进制数是________．
解析：最大的三位七进制数表示的十进制数最大，最大的三位七进制数为666(7)，则666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝342.
答案：342
8．10x1(2)＝y02(3)，求数字x，y的值．
解：∵10x1(2)＝1×20＋x×21＋0×22＋1×23＝9＋2x，
y02(3)＝2×30＋y×32＝9y＋2，∴9＋2x＝9y＋2且x∈，y∈，所以x＝1，y＝1.
9．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．
解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关于赋值语句的说法错误的是(　　)
A．赋值语句先计算出赋值号右边的表达式的值
B．赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式
C．赋值语句是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量
D．在算法语句中，赋值语句是最基本的语句
解析：选B　赋值语句的一般格式是：变量名＝表达式，其作用是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量，故B错误．
2．阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是(　　)
A．该框图只含有顺序结构、条件结构
B．该框图只含有顺序结构、循环结构
C．该框图只含有条件结构、循环结构
D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构
解析：选D　阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件结构，故选D.
3．求下列函数的函数值时，其程序框图中需要用到条件结构的是(　　)
A．f(x)＝－2x2＋x　 　　　 B．f(x)＝－2x－5
C．f(x)＝ D．f(x)＝1－5x
解析：选C　只有选项C中函数f(x)是分段函数，需分类讨论x的取值范围，要用条件结构来设计程序框图，A、B、D项均不需要用条件结构，故选C.
4．如果输入A＝2 015，B＝2 016，则下面一段程序的输出结果是(　　)
A．2 016,2 015 B．2 015,2 015
C．2 015,2 016 D．2 016,2 016
解析：选D　输入A＝2 015，B＝2 016后，经过两个赋值语句，使得A，B中的值都为2 016.故选D.
5．运行如图所示的程序，其结果为(　　)
A．192 B．3 840
C．384 D．1 920
解析：选C　程序的功能为计算8×6×4×2的值，易知为384，故选C.
6．若运行如图所示的程序，最后输出y的值是7，那么应该输入的t的值可以为(　　)
A．－3 B．3
C．3或－ 3 D．3或－3或5
解析：选D　程序中的函数为一个分段函数y＝若输出7，则或解得t的值为3或－3或5，故选D.
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B　第一次运行：S＝0＋(－1)1×1＝－1<3；第二次运行：n＝2，S＝－1＋(－1)2×2＝1<3；第三次运行：n＝3，S＝1＋(－1)3×3＝－2<3；第四次运行：n＝4，S＝－2＋(－1)4×4＝2<3；第五次运行：n＝5，S＝2＋(－1)5×5＝－3<3；第六次运行：n＝6，S＝－3＋(－1)6×6＝3，满足S≥3.故输出n的值为6，故选B.
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“①”处应填写的是(　　)
A．n＝n－1 B．n＝n－2
C．n＝n＋1 D．n＝n＋2
解析：选C　因为起始n＝1，输出的n＝4，所以排除A、B.若“①”处填n＝n＋1.则S＝＝－1，n＝2，判断－1≠2，继续循环；S＝＝，n＝3，判断≠2，继续循环；S＝＝2，n＝4，判断2＝2，则输出n的值为4，故选C.
9．执行如图所示的程序框图，若输出S＝，则输入整数n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．8或9
解析：选D　在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S＝，i＝4；执行第二次循环后，S＝，i＝6；执行第三次循环后，S＝，i＝8；执行第四次循环后，S＝，i＝10.若n＝8或n＝9，此时10≤n不成立，退出循环，输出S＝，因此n＝8或n＝9，故选D.
10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是(　　)
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
解析：选A　由f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1可以得知答案选A.
11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，当x＝－4时，v4的值为(　　)
A．－57 B．124
C．－845 D．220
解析：选D　依据秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57×(－4)＋(－8)＝220，故选D.
12．下列各数中最小的数为(　　)
A．101 011(2) B．1 210(3)
C．110(8) D．68(12)
解析：选A　101 011(2)＝1×25＋1×23＋1×2＋1＝43,1 210(3)＝1×33＋2×32＋1×3＝48,110(8)＝1×82＋1×8＝72,68(12)＝6×12＋8＝80，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图程序中，要求从键盘输入n，求1＋2＋3＋…＋n的和，则横线上缺的程序项是①________，②________.
解析：程序应先输入一个n的值，
确定要计算前多少项的和，
②处应确定计数变量i满足的条件，
即确定终止条件．
答案：n　i<＝n
14．执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为，那么判断框中实数a的取值范围是________．
解析：当1≤a<2时，输出的S值为＝；
当2≤a<3时，输出的S值为＝；
当3≤a<4时，输出的S值为＝；…；
当2 015≤a<2 016时，
输出的S值为.
答案：[2 015,2 016)
15．如图是计算1＋2＋＋3＋＋…＋2 014＋的值的程序框图．图中空白的判断框应填________，处理框应填________．
解析：读懂程序框图后，即可知判断框内要填“i≤2 014？”或“i<2 015？”，处理框内要填“S＝S＋i＋”．
答案：i≤2 014？(或i<2 015？)　S＝S＋i＋
16．用更相减损术求36与134的最大公约数时，第一步应为________________________．
解析：∵36与134都是偶数，
∴第一步应为：先除以2，得到18与67.
答案：先除以2，得到18与67
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出用辗转相除法求下列两组数的最大公约数的过程：
(1)8 251与6 105；
(2)6 731与2 809.
解：(1)8 251＝6 105×1＋2 146；
6 105＝2 146×2＋1 813；
2 146＝1 813×1＋333；
1 813＝333×5＋148；
333＝148×2＋37；
148＝37×4.
∴最后的除数37就是8 251和6 105的最大公约数．
(2)6 731＝2 809×2＋1 113；
2 809＝1 113×2＋583；
1 113＝583×1＋530；
583＝530×1＋53；
530＝53×10.
∴6 731与2 809的最大公约数为53.
18．(本小题满分12分)写出下面程序运行的过程，并写出运行结果．
解：运行过程如下：
i＝1，S＝0时，执行S＝0＋1＝1，i＝2；
由于S＝1≤20，因此继续执行S＝1＋2＝3，i＝3；
由于S＝3≤20，因此继续执行S＝3＋3＝6，i＝4；
由于S＝6≤20，因此继续执行S＝6＋4＝10，i＝5；
由于S＝10≤20，因此继续执行S＝10＋5＝15，i＝6；
由于S＝15≤20，因此继续执行S＝15＋6＝21，i＝7；
这时S＝21>20，结束循环，执行WEND后面的语句，因此程序的运行结果为7.
19．(本小题满分12分)用秦九韶算法求f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6当x＝2时的值．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值．
v0＝3，
v1＝v0×2＋8＝3×2＋8＝14，
v2＝v1×2－3＝14×2－3＝25，
v3＝v2×2＋5＝25×2＋5＝55，
v4＝v3×2＋12＝55×2＋12＝122，
v5＝v4×2－6＝122×2－6＝238，
所以当x＝2时，多项式的f(x)值为238.
20.(本小题满分12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式并画出程序框图．
解：函数关系式为
y＝
程序框图如图所示：
21．(本小题满分12分)用二分法求f(x)＝x2－2(x>0)近似零点的程序框图如下图所示．
(1)请在图中判断框内填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；
(2)根据程序框图写出程序．
解：(1)判断框内应填循环终止的条件：|a－b|(2)根据框图，设计程序如下：
22．(本小题满分12分)某商场第一年销售计算机6 000台，如果以后每年销售比上一年增加12%，那么从第一年起，大约经过几年可使总销量达到150 000台？画出解决此问题的程序框图，并写出程序．
解：程序框图如图所示：
程序如下：
2．1.2& 2.1.3　系统抽样　分层抽样
(1)系统抽样适用于怎样的总体？
　

(2)分层抽样有何特点？
　

(3)分层抽样的步骤是什么？
　

(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是否相同？
　

　　　　
1．系统抽样的概念
要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．
2．系统抽样的特点
(1)系统抽样适用于总体容量较大，且分布均衡(即个体间无明显的差异)的情况；
(2)系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就把总体分成多少组，每组中取一个；
(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是.
[点睛]　系统抽样需注意的问题
(1)如果总体中个体数N正好被样本容量n整除，则每个个体被入样的可能性是，若N不能被n整除，需要随机剔除m个个体，m＝N－n·（这里表示不超过的最大整数），此时每个个体入样的可能性仍是，而不是.
(2)剔除个体后需要对剩余的个体重新进行编号．
(3)剔除个体及第一段抽样都用简单随机抽样．
3．分层抽样的概念
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.
4．分层抽样的适用条件
分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
5．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别
类别
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
各自特点
从总体中逐个抽取
将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
将总体分成几层，分层进行抽取
相互联系
在起始部分采用简单随机抽样
在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
适用范围
总体中的个体数较少
总体中的个体数较多
总体由存在明显差异的几部分组成
共同点
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样　
1．在10 000个有机会中奖的号码(编号为0 000～9 999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的(　　)
A．抽签法　　　　　　　　 B．系统抽样法
C．随机数表法 D．其他抽样方法
解析：选B　由题意，中奖号码分别为0 068,0 168,0 268，…，9 968.显然这是将10 000个中奖号码平均分成100组，从第一组号码中抽取出0 068号，其余号码是在此基础上加上100的整数倍得到的，可见，这是用的系统抽样法．
2．某地区为了了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽的居民家庭进行调查，这种抽样是(　　)
A．简单随机抽样　　　　　　 B．系统抽样
C．分层抽样 D．分类抽样
解析：选C　由于居民按行业可分为不同的几类，符合分层抽样的特点．
3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
解析：选D　抽样比例为＝，故各层中依次抽取的人数为160×＝8(人)，320×＝16(人)，200×＝10(人)，120×＝6(人)．故选D.
4．某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员有(　　)
A．3人 B．4人
C．7人 D．12人
解析：选B　由＝，设管理人员x人，则＝，得x＝4.
系统抽样的概念
[典例]　(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(　　)
A．抽签法　　　　　　　　 B．随机数法
C．系统抽样法 D．以上都不对
(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.
[解析]　(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．
(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40.
[答案]　(1)C　(2)40
系统抽样的判断方法
(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体．
(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样．
(3)最后看是否等距抽样．
[活学活用]
某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了(　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．放回抽样法
解析：选C　此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点.
系统抽样的设计
[典例]　(1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每16人抽取一人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．
(2)某装订厂平均每小时大约装订图书360册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．
[解析]　(1)因为采用系统抽样方法，每16人抽取一人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，所以在第k组抽到的是7＋16(k－1)，所以从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.
答案：39
(2)解：第一步：把这些图书分成40个组，由于＝9，所以每个小组有9册书；
第二步：对这些图书进行编号，编号分别为0,1，…，359；
第三步：从第一组(编号为0,1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书．比如说，其编号为k；
第四步：按顺序抽取编号分别为下面的数字的图书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．
系统抽样的4个步骤
(1)编号(在保证编号的随机性的前提下，可以直接利用个体所带有的号码)．
(2)分段(确定分段间隔k，注意剔除部分个体时要保证剔除的随机性和客观性)．
(3)确定起始个体编号l(在第1段采用简单随机抽样来确定)．
(4)按照事先确定的规则抽取样本(通常是将l加上k，得到第2个个体编号l＋k，再将l＋k加上k，得到第3个个体编号l＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本)．
[活学活用]
某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：(1)先把这253名学生编号000,001，…，252；
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这3个号对应的学生；
(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；
(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；
(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.
分层抽样的概念
[典例]　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)
A．系统抽样法　　　　　　　 B．简单随机抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽个体数量相同
[解析]　(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
[答案]　(1)C　(2)C
1．使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
2．使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[活学活用]
下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析：选B　A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.
分层抽样的应用
[典例]　某网站针对“2016年法定节假日调体安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案
支持B方案
支持C方案
35岁以下的人数
200
400
800
35岁以上
(含35岁)的人数
100
100
400
(1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
(2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
[解]　(1)由题意得
＝，
解得n＝40.
(2)35岁以下的人数为×400＝4，
35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1.
分层抽样的步骤
(1)计算样本容量与总体的个体数之比．
(2)将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．
(3)用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体．
(4)将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．
[活学活用]
一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本．
[层级一　学业水平达标]
1．某机构为了了解参加某次公务员考试的12 612名考生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为200的样本，那么从总体中随机剔除个体的数目是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．12
C．612 D．2 612
解析：选B　因为12 612＝200×63＋12，系统抽样时分为200组，每组63名，所以从总体中随机剔除个体的数目是12.
2．下列抽样不是系统抽样的是(　　)
A．体育老师让同学们随机站好，然后按1～5报数，并规定报2的同学向前一步走
B．为了调查“地沟油事件”，质检人员从传送带上每隔五分钟抽一桶油进行检验
C．五一期间麦当劳的工作人员在门口发放50份优惠券
D．《唐山大地震》试映会上，影院经理通知每排(每排人数相等)28号观众留下来座谈
解析：选C　C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的规则入样，所以不是系统抽样．
3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为(　　)
A．7,5,8　　　　　　　　　 B．9,5,6
C．7,5,9 D．8,5,7
解析：选B　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9(人)，25×＝5(人)，20－9－5＝6(人)．
4．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有________个．
解析：这三种抽样都是不放回抽样．
答案：3
[层级二　应试能力达标]
1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是(　　)
A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
解析：选C　A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数法；D总体容量很小，适宜用抽签法．
2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况，若用系统抽样方法，则抽样间隔和随机剔除的个数分别为(　　)
A．3,2 B．2,3
C．2,30 D．30,2
解析：选A　∵92＝30×3＋2，
∴剔除2个个体，间隔为3.
3．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为(　　)
A．60 B．80
C．120 D．180
解析：选C　11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为.
∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，
∴从四个年龄段回收的问卷总数为＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为：x＝900－120－180－240＝360(份)．
∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120(份)，故选C.
4．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
解析：选B　甲社区驾驶员的抽样比例为＝，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为＝，由＝，得N＝808.
5．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，若t＝7，则在第8组中抽取的号码应该是________．
解析：∵k＝8，t＝7，t＋k＝15，
∴在第8组中抽取的号码是75.
答案：75
6．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
解析：20个小球分4组，每组5个．
(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4球编号平均值为＝9.5.
(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4球编号平均值为＝10.5.
答案：(1)9.5　(2)10.5
7．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求得样本容量为________．
解析：总体容量N＝36.
当样本容量为n时，系统抽样间隔为∈N*，所以n是36的约数；
分层抽样的抽样比为，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为，，，所以n应是6的倍数，所以n＝6或12或18或36.
当样本容量为n＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为∈N*，所以n只能是6.
答案：6
8．某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
女生
487
x
y
男生
513
560
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.18.
(1)问高二年级有多少名女生？
(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？
解：(1)由＝0.18，得x＝540，
所以高二年级有540名女生．
(2)高三年级人数为：
y＋z＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900.
∴×300＝90，故应在高三年级抽取90名学生．
9．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，
则有＝47.5%，＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15.
2．2.1　用样本的频率分布估计总体分布
(1)如何作频率分布表？
　

(2)绘制频率分布直方图时，应如何确定组距与组数？
　

(3)频率分布直方图有什么特点？
　

(4)茎叶图有什么特点？
　

　　　　
1．频率分布直方图的画法
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：
随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．
3．四种图表的区别与联系
名称
区别
频率分布表
从数量上比较准确地反映样本的频率分布规律
频率分布直方图
反映样本的频率分布情况
频率分布折线图
直观地反映了数据的变化趋势
总体密度曲线
虽客观存在，但要准确画出难度较大，只能用样本频率分布估计．样本容量越大，估计越准确
4.茎叶图的概念
茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．茎叶图可用来分析单组数据，也可以对两组数据进行比较．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况．
1．下列关于茎叶图的叙述正确的是(　　)
A．将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面
B．茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较
C．茎叶图更不能表示三位数以上的数据
D．画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出
解析：选A　由茎叶图的概念易知选A.
2．某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为：
[0,80)，2人；[80,90)，6人；[90,100)，4人；[100,110)，10人；[110,120)，12人；[120,130)，5人；[130,140)，4人；[140,150]，2人．那么分数在[100,130)中的频数以及频率分别为(　　)
A．27,0.56　　　　　　　 B．20,0.56
C．27,0.60 D．13,0.29
解析：选C　由[100,130)中的人数为10＋12＋5＝27，得频数为27，频率为＝0.60.
3．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知(　　)
A．甲运动员的成绩好于乙运动员
B．乙运动员的成绩好于甲运动员
C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D．甲运动员的最低得分为0分
解析：选A　由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30～50分，且高分较多．而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩．
4．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
解析：60×(0.015＋0.025)×10＝24.
答案：24
列频率分布表、画频率分布直方图
　
[典例]　抽查100袋洗衣粉，测量它们的净重如下(单位：g)
494 498 493 505 496 492 485 483 508 511
495 494 483 485 511 493 505 488 501 491
493 509 509 512 484 509 510 495 497 498
504 498 483 510 503 497 502 511 497 500
493 509 510 493 491 497 515 503 515 518
510 514 509 499 493 499 509 492 505 489
494 501 509 498 502 500 508 491 509 509
499 495 493 509 496 509 505 499 486 491
492 496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 496 501 510 496 487 511 501 496
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画频率分布直方图及频率分布折线图；
(3)估计净重在494.5～506.5 g之间的频率．
[解]　(1)在样本数据中，最大值是518，最小值是483，所以极差为35，取组距为4，由于＝8，故要分成9组，使分点比数据多一位小数，且把第1组的起点稍微减小一点，得分组如下：
[482.5,486.5)，[486.5,490.5)，[490.5,494.5)，…，[514.5,518.5]．
列出频率分布表如下：
分组
频数
频率
频率/组距
[482.5,486.5)
8
0.08
0.02
[486.5,490.5)
3
0.03
0.007 5
[490.5,494.5)
17
0.17
0.042 5
[494.5,498.5)
21
0.21
0.052 5
[498.5,502.5)
14
0.14
0.035
[502.5,506.5)
9
0.09
0.022 5
[506.5,510.5)
19
0.19
0.047 5
[510.5,514.5)
6
0.06
0.015
[514.5,518.5]
3
0.03
0.007 5
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图：
(3)净重在494.5～506.5 g之间的频率为0.21＋0.14＋0.09＝0.44.
绘制频率分布直方图应注意的2个问题
(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“频率/组距”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为一个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推．
(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.　
[活学活用]
考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 160 168 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
解：(1)最低身高151，最高身高180，它们的极差为180－151＝29.
确定组距为3，组数为10，列表如下：
分组
频数
频率
[150.5,153.5)
1
0.025
[153.5,156.5)
1
0.025
[156.5,159.5)
4
0.1
[159.5,162.5)
5
0.125
[162.5,165.5)
8
0.2
[165.5,168.5)
11
0.275
[168.5,171.5)
6
0.15
[171.5,174.5)
2
0.05
[174.5,177.5)
1
0.025
[177.5,180.5]
1
0.025
合计
40
1
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
频率分布直方图的应用
[典例]　为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
[解]　(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：
＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为×100%＝88%.
解决与频率分布直方图有关问题的关系式
(1)×组距＝频率．
(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
[活学活用]
(湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3　(2)6 000
茎 叶 图
[典例]　甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图所示(单位：分)，则甲班、乙班的最高成绩分别是________，从图中看，________班的平均成绩较高.
[解析]　由茎叶图知甲班的最高成绩为96分，乙班的最高成绩为92分，再根据茎叶图的分布特点知，乙班的成绩分布集中在下面，故乙班的平均成绩较高．
[答案]　96,92　乙
(1)绘制茎叶图关键是分清茎和叶．一般地说，当数据是两位数时，十位上的数字为“茎”，个位上的数字为“叶”；如果是小数，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”．解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶．
(2)应用茎叶图对两组数据进行比较时，要从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较．
(3)茎叶图只适用于样本数据较少的情况．
[活学活用]
如图是2016年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有(　　)
A．a1＞a2　　　　　 B．a2＞a1
C．a1＝a2 D．a1，a2的大小与m的值有关
解析：选B　根据茎叶图可知，
去掉一个最高分和一个最低分后，
甲的平均分为a1＝80＋＝84，
乙的平均分为a2＝80＋＝85，
故a2＞a1.
[层级一　学业水平达标]
1．已知样本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,11,12,9,10,11,10，那么频率为0.2的范围是(　　)
A．5.5～7.5　　　　　　　　 B．7.5～9.5
C．9.5～11.5 D．11.5～13.5
解析：选D　共20个数据，频率为0.2，在此范围内的数据有4个，只有在11.5～13.5范围内有4个数据：13,12,12,12，故选D.
2.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图．据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为(　　)
A．100 B．160
C．200 D．280
解析：选B　由茎叶图可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为×8＝160.
3．某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a(a为整数)即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是________．
解析：由已知可以判断a∈(130,140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20.解得a≈133.
答案：133
4.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________．
解析：设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得89×5＝83＋83＋87＋x＋99，所以x＝93，故污损的数字是3.
答案：3
[层级二　应试能力达标]
1．为了解某地区高一学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图(如图所示)．
可得这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数是(　　)
A．20　　　　　　　　　　　 B．30
C．40 D．50
解析：选C　由频率分布直方图易得到体重在[56.5，64.5)的学生的频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，那么学生的人数为100×0.4＝40，故选C.
2．下列关于茎叶图的叙述正确的是(　　)
A．茎叶图可以展示未分组的原始数据，它与频率分布表以及频率分布直方图的处理方式不同
B．对于重复的数据，只算一个
C．茎叶图中的叶是“茎”十进制的上一级单位
D．制作茎叶图的程序是：第一步：画出茎；第二步：画出叶；第三步：将“叶子”任意排列
解析：选A　由茎叶图的概念知A正确，故选A.
3．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是(　　)
A．25 B．30
C．50 D．75
解析：选A　抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500.依题意知抽样比是＝，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×＝25.
4．某工厂对一批元件进行抽样检测．经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是(　　)
A．80% B．90%
C．20% D．85.5%
解析：选A　由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%.
5．某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有________户．
解析：根据频率分布直方图得该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有10 000×0.012×10＝1 200(户)．
答案：1 200
6．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为________．
解析：设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.
答案：40
7．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有________人．
解析：由图知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60 000×0.125＝7 500(人)．
答案：7 500
8．某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
甲得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，大多集中在80～100之间，中位数是98分．甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，多集中在70～90之间，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段．因此，乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
9．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
解：(1)依题意知第三组的频率为＝，又因为第三组的频数为12，∴本次活动的参评作品数为＝60(件)．
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×＝18(件)．
(3)第四组的获奖率是＝，
第六组上交的作品数量为60×＝3(件)．
∴第六组的获奖率为＝，显然第六组的获奖率较高．
2．2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)如何根据样本数据的频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？
　


(2)如何理解众数、中位数、平均数与极端数据的关系？
　

(3)平均数向我们提供了样本数据的重要信息，平均数会使我们作出对总体的片面判断吗？
　

(4)方差、标准差有什么区别与联系？
　

1．众数、中位数、平均数的概念
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
2．三种数字特征的比较
名称
优点
缺点
众数
①体现了样本数据的最大集中点；
②容易计算
①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；
②无法客观地反映总体的特征
中位数
①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；
②容易计算，便于利用中间数据的信息
对极端值不敏感
平均数
代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
3.标准差、方差的概念与计算公式
(1)标准差：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ .
(2)方差：
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
[点睛]　
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
1．下列说法不正确的是(　　)
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
解析：选D　标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．
2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　　 B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解析：选D　将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数a＝(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，
中位数b＝15，众数c＝17，
显然a＜b＜c，选D.
3．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为(　　)
A．减少计算量
B．避免故障
C．剔除异常值
D．活跃赛场气氛
解析：选C　因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．
4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
解析：由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：2
众数、中位数、平均数的计算
[典例]　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
[解]　(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为6岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
[活学活用]
(广东高考)已知样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
解析：由条件知＝＝5，则所求均值0＝＝＝2＋1＝2×5＋1＝11.
答案：11
标准差(方差)的计算及应用
[典例]　甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
[解]　(1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2.
(3)甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s，说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
计算标准差的5步骤
(1)求出样本数据的平均数.
(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)．
(3)求出xi－(i＝1,2，…，n)的平方值．
(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．
(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．
[活学活用]
从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42；
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40.
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
解：(1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)
＝×310＝31(cm)．
所以甲<乙．
即乙种玉米苗长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，
s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1 288＝128.8(cm2)．
所以s即甲种玉米苗长得齐.
数字特征的综合应用
[典例]　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
[解]　(1)由题图知众数为＝75.
(2)由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；
②表示样本数据所占频率的等分线
平均数
①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；
②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
[活学活用]
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
解析：(1)在[55,75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13　(2)62.5　(3)64
[层级一　学业水平达标]
1．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是(　　)
A．63　　　　　　　 B．64
C．65 D．66
解析：选A　甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36＋27＝63.
2．下列说法中，不正确的是(　　)
A．数据2,4,6,8的中位数是4,6
B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
解析：选A　数据2,4,6,8的中位数为＝5，显然A是错误的，B、C、D都是正确的．故选A.
3．已知一组数据，现将每个数据都加上m，则新的一组数据的平均数与原来一组数的平均数相比(　　)
A．扩大到m倍　　　　　　 B．增加m倍
C．数值不变 D．增加m
解析：选D　设原来一组数据为x1，x2，…，xn，平均数，那么加上m后得到的一组新数据为x1＋m，x2＋m，…，xn＋m，其平均数′＝m＋＝m＋.故答案为D.
4．如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为(　　)
A．46 B．36
C．56 D．60
解析：选A　根据题中统计图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数为＝46.
5．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
解：(1)由图可知众数为65，
∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
故平均成绩约为67.
[层级二　应试能力达标]
1.如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是(　　)
A．56分
B．57分
C．58分
D．59分
解析：选B　易得甲得分的中位数是32，乙得分的中位数是25，其和为32＋25＝57.
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　)
A．9.4,0.484 B．9.4,0.016
C．9.5,0.04 D．9.5,0.016
解析：选D　＝＝9.5，
s2＝(0.12×4＋0.22)＝0.016.
3．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)
A.A＞B，sA＞sB B.A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB D.A＜B，sA＜sB
解析：选B　由图易得A＜B，又A波动性大，B波动性小，所以sA＞sB.
4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)
A．me＝m0＝ B．me＝m0＜
C．me＜m0＜ D．m0＜me＜
解析：选D　由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me＝＝5.5.又众数为m0＝5，
平均值＝(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝，
∴m0＜me＜.
5．五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
解析：由＝3，得a＝5；
由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s＝.
答案：5　
6．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间
(分钟)
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝________.
解析：＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.
答案：9.5
7．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
解析：(1)＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.
(2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，
所以s＝2.
答案：(1)7　(2)2
8．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解：(1)频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为：
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为：
s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
9．(广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2.
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，
所以所有样本数据的编号为4n－2(n＝1,2，…，9)，
其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由均值公式知：＝＝40，
由方差公式知：s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.
(3)因为s2＝，s＝，
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，
即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为×100%≈63.89%.
2.3　
(1)函数关系与相关关系的区别与联系是什么？
　


(2)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？
　


(3)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？



1．相关关系
如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．
2．散点图
将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．
3．正相关和负相关
(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．
(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
[点睛]　对正相关和负相关的理解
(1)正相关
随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多．
(2)负相关
随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就越短．
4．回归直线方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程．
(3)回归方程的推导过程：
①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．
②设所求回归方程为＝x＋，其中，是待定参数．
③由最小二乘法得
其中：是回归方程的斜率，是截距．
1．下列命题正确的是(　　)
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
A．①③④　　　　　　　　　 B．②③④
C．③④⑤ D．②④⑤
解析：选C　①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确．
2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：选C　由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．
3．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为________kg.
解析：把x＝80代入回归方程可得其预测值＝5×80＋250＝650(kg)．
答案：650
4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为______________________．
解析：由题意可知＝＝5，
＝＝50.
即样本中心为(5,50)．
设回归直线方程为＝6.5x＋，
∵回归直线过样本中心(，)，
∴50＝6.5×5＋，即＝17.5，
∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5
答案：＝6.5x＋17.5
相关关系的判断
[典例]　(1)下列关系中，属于相关关系的是________(填序号)．
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③出租车费与行驶的里程；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄x(岁)
1
2
3
4
5
6
身高y(cm)
78
87
98
108
115
120
①画出散点图；
②判断y与x是否具有线性相关关系．
[解析]　(1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
答案：②④
(2)解：
①散点图如图所示．
②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．
(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．
[活学活用]
如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号)．
解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
答案：①④
求回归方程
[典例]　(1)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3　　　　 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
(2)一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
①画出散点图；
②如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
③在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析]　(1)依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．
答案：A
(2)解：①散点图如图所示：
②近似直线如图所示：
③由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．
求回归直线方程的步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出)．
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi.
(4)计算，，，iyi.
(5)代入公式计算，，公式为
(6)写出回归直线方程＝x＋.
[活学活用]
已知变量x，y有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．
解：(1)散点图如图所示．
(2)＝＝，
＝＝，
iyi＝1＋6＋12＋20＝39.
＝1＋4＋9＋16＝30，
＝＝，
＝－×＝0，
所以＝x为所求的回归直线方程.
利用线性回归方程对总体进行估计
[典例]　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
[解]　(1)散点图如图：
(2)＝＝4.5，＝＝3.5，
iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
所以＝
＝＝0.7，
＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
所以所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)当x＝100时，＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，
90－70.35＝19.65(吨标准煤)．即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤．
只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．
[活学活用]
(重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
解：(1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
6
7
8
10
1
4
9
16
25
5
12
21
32
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
－n2＝55－5×32＝10，
iyi－n＝120－5×3×7.2＝12，
从而＝＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
[层级一　学业水平达标]
1．下列变量具有相关关系的是(　　)
A．人的体重与视力
B．圆心角的大小与所对的圆弧长
C．收入水平与购买能力
D．人的年龄与体重
解析：选C　B为确定性关系；A，D不具有相关关系，故选C.
2．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为
A.＝1.5x＋2
B.＝－1.5x＋2
C.＝1.5x－2
D.＝－1.5x－2
解析：选B　设回归方程为＝x＋，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以<0，>0，因此方程可能为＝－1.5x＋2.
3.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是(　　)
A．直线l过点(，)
B．回归直线必通过散点图中的多个点
C．直线l的斜率必在(0,1)
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
解析：选A　A是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B错误；回归直线的斜率不确定，故C错误；分布在l两侧的样本点的个数不一定相同，故D错误．
4．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数(　　)
A．不能小于0　　　　　　　 B．不能大于0
C．不能等于0 D．只能小于0
解析：选C　当＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但能大于0，也能小于0.
5．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：iyi＝117.7，＝406)
解：依题意可计算得：
＝6，＝1.83，2＝36， ＝10.98，
又∵iyi＝117.7，＝406，
∴＝≈0.17，
＝－＝0.81，∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的回归方程为＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．
可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
[层级二　应试能力达标]
1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是(　　)
A．确定性关系 B．相关关系
C．函数关系 D．无任何关系
解析：选B　每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．
2．农民工月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为＝50＋80x，下列判断正确的是(　　)
A．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高130元
D．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
解析：选B　由回归直线方程＝50＋80x知，x每增加1，y增加80，但要注意x的单位是千元，y的单位是元．
3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为(　　)
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析：选C　计算得，＝＝176，＝＝176，根据回归直线经过样本中心(，)检验知，C符合．
4．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A.>b′，>a′ B.>b′，C.a′ D.解析：选C　由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，a′＝0－2×1＝－2.
求，时，iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm，她的体重应该在________ kg左右．
解析：用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
答案：69.96
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
92
82
80
80
78
68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋，则＝________.
解析：＝＝，
＝＝80，
由回归方程过样本中心点(，)
得80＝－4×＋.
即＝80＋4×＝106.
答案：106
7．对某台机器购置后的运行年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知x，y具备线性相关关系，回归方程为＝10.47－1.3x，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．
解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y＝0时，令10.47－1.3x＝0，解得x≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．
答案：8
8．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为＝9.5＋0.006 2x，
(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数；
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
解：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2，则
1－2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2)
＝0.006 2×1 000≈6，
即船员平均相差6人．
(2)当x＝192时，＝9.5＋0.006 2×192≈11，
当x＝3 246时，＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.
即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人．
9．某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如下表：
每天销售服装件数x(件)
3
4
5
6
7
8
9
该周内所获纯利y(元)
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的，求回归直线方程；
(3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
(提示：＝280，＝45 309，iyi＝3 487)
解：(1)＝＝6，
＝≈79.86.
(2)∵＝≈4.75，
＝79.86－4.75×6＝51.36，
∴纯利与每天销售件数x之间的回归直线方程为＝51.36＋4.75x.
(3)当＝200时，200＝4.75x＋51.36，所以x≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列三个抽样：①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②在某公司的50名工人中，依次抽取工号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的10名工人进行健康检查；③某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒进行质量检查．则应采用的抽样方法依次为(　　)
A．简单随机抽样；分层抽样；系统抽样
B．分层抽样；简单随机抽样；系统抽样
C．分层抽样；系统抽样；简单随机抽样
D．系统抽样；分层抽样；简单随机抽样
解析：选C　①中商店的规模不同，所以应利用分层抽样；②中抽取的学号具有等距性，所以应是系统抽样；③中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样．故选C.
2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是(　　)
A．09,14,19,24　　　　　　 B．16,28,40,52
C．10,16,22,28 D．08,12,16,20
解析：选B　分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B正确．
3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为(　　)
A．193 B．192
C．191 D．190
解析：选B　1 000×＝80，求得n＝192.
4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
解析：选A　由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B，D.又因为销售价格x＞0，则C中销售量全小于0，不符合题意，故选A.
5．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是(　　)
A．2－3 B．2－3＋1
C．4－9 D．4－9＋1
解析：选B　设zi＝2xi－3yi＋1(i＝1,2，…，n)，
则＝(z1＋z2＋…＋zn)＝(x1＋x2＋…＋xn)－(y1＋y2＋…＋yn)＋＝2－3＋1.
6．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)　2　[15.5,19.5)　4　[19.5,23.5)　9
[23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11　[31.5,35.5)　12
[35.5,39.5)　7　[39.5,43.5)　3
则总体中大于或等于31.5的数据所占比例约为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本个数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占＝.
7．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
解析：选C　∵得85分的人数最多为4人，
∴众数为85，中位数为85，
平均数为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.
8．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，结果制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为(　　)
A．1 B．1.8
C．2.4 D．3
解析：选B　＝1.8.
9．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为＝－0.7x＋a，则a的值为(　　)
A．5.25 B．5
C．2.5 D．3.5
解析：选A　线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a＝5.25.
10.如图是在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,1.2 D．85,4
解析：选C　去掉一个最高分95，去掉一个最低分77，平均数为80＋(5＋3＋6＋5＋6)＝85，方差为[(85－85)2＋(85－83)2＋(85－86)2＋(85－85)2＋(85－86)2]＝1.2，因此选C.
11．如果数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是(　　)
A.和s2 B．3和9s2
C．3＋2和9s2 D．3＋2和12s2＋4
解析：选C　3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2.
12．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是(　　)
A．x＝9
B．y＝8
C．乙的成绩的中位数为26
D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差
解析：选B　因为甲的成绩的极差为31，所以其最高成绩为39，所以x＝9；因为乙的成绩的平均值为24，所以y＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6；由茎叶图知乙的成绩的中位数为26；对比甲、乙的成绩分布发现，乙的成绩比较集中，故其方差较小．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
解析：由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×＝10，则x＋y＝20；又方差为2，∴[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×＝2，得x2＋y2＝208,2xy＝192，∴|x－y|＝＝＝4.
答案：4
14．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解析：抽取的男运动员的人数为×48＝12.
答案：12
15．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，________，________，________.
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76
63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.
答案：331　455　068　047　447
16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．
解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
∴a＝0.030.
设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，
则＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.
故从[140,150]的学生中选取的人数为×18＝3.
答案：0.030　3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取，应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？
解：从50名学生中抽取，即抽取5人，采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．
18.(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示．
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
解：(1)样本均值为＝＝22.
(2)由(1)知样本中优秀工人所占比例为＝，故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人．
19．(本小题满分12分)2016年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外出务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让返乡过年的摩托车驾乘人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍询问，询问结果如图所示：
(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四川籍的应抽取几人？
解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样法．
(2)从题图可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)；
四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)．
设四川籍的驾驶人员应抽取x人，依题意得＝，解得x＝2，即四川籍的应抽取2人．
20．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：
甲：102,101,99,98,103,98,99；
乙：110,115,90,85,75,115,110.
(1)这种抽样方法是哪一种方法？
(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？
解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样．
(2)甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，
乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，
s＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43，
s＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57，
∴s＜s，故甲车间产品比较稳定．
21．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
[10,15)
10
0.25
[15,20)
25
n
[20,25)
m
p
[25,30]
2
0.05
合计
M
1
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．
解：(1)由分组[10,15)的频数是10，
频率是0.25知，
＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，
所以10＋25＋m＋2＝40，解得m＝3.
故p＝＝0.075.
因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，
所以a＝＝0.125.
(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.
22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又－102＝720－10×82＝80，
iyi－10＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，
＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7千元．