2.2.1 平方差公式同步练习
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2.2.1 平方差公式同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 平方差公式:(a＋b)(a－b)＝a２－b２,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 ．
2. 理解平方差公式:(a＋b)(a－ b)＝a ２－b ２．其中a,b既可以是具体的数字,也可以是单项 式或多项式
3.平方差公式的特点:在两个多项式中,有一部分完全相同,另一部分只差符号不同,则可以平 方差公式,乘积等于用完全相同那部分的平方减去另一部分的平方．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．已知，则的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
2．计算：（2a+3b）(2a-3b)=（ ）
A. 4a2+9b2 B.2a2 +3b2 C. 2a2 -3b2 D. 4a +3b
3．若， ，则a－b的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4．下列两个多项式相乘，不能运用公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算的是（ ）
A. (-m-n)(m+n) B. (-m+n)(m+n) C. (-m+n)(-m-n) D. (m-n)(n+m)
5．设x+y+z=6，x+y-z=7，则 （x+y）-z的值是（ ）
A. 13 B. 42 C. 1 D. 30
6．设， ，则与的关系为( )
A. B. C. D.
7．如图，从边长为（a＋4）cm的正方纸片中剪去一个边长为（a＋1）cm的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
9．计算（a﹣2）（a+2）=____________．
10．（2017贵州省六盘水市）计算：2017×1983=______．
11．已知：，m+2n=5，则m-2n=__________．
12．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2的位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_____.
13．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算 ．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
______________.
三、解答题
14．如图，郑某把一块边长为a m的正方形的土地租给李某种植，他对李某说：“我把你这块地的一边减少5 m，另一边增加5 m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”.李某一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了.同学们，你们觉得李某有没有吃亏？请说明理由.
15．计算：
(1) ； (2)
(3) 999.8×1000.2 (用简便方法计算)
16．先化简再求值：(x+2y)(x-2y)-2y(x-2y)，其中x=-1,y=.
17．已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h.
(1)用a 、h的代数式表示该长方体的体积与表面积.
(2)当a=3，h=时，求相应长方体的体积与表面积.
(3)在(2)的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由.
18．乘法公式的探究及应用.
探究问题
图1是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图2.
（1） （2）
（1）图1中长方形纸条的面积可表示为_______（写成多项式乘法的形式）.
（2）拼成的图2阴影部分的面积可表示为________（写成两数平方差的形式）.
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：____.
结论运用
（4）运用所得的公式计算：
=________； =________.
拓展运用：
（5）计算：
19．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)28是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)根据上面的提示，判断2 012是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由；
(4)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？
参考答案
1．D
【解析】∵，
∴=.
故选D.
2．A
【解析】（2a+3b）(2a-3b)= 4a2+9b2.
故选A.
3．B
【解析】∵， ，
∴由a2 b2=(a+b)(a b)得到： =（a-b），
∴a－b=.
故选：B.
4．A
【解析】A、（-m-n）（m+n）= -（m+n）2= -m2-2mn-n2，本选项符合题意；B、（-m+n）（m+n）=n2-m2，本选项不合题意；C、（-m+n）（-m-n）=m2-n2，本选项不合题意；D、（m-n）（n+m）=m2-n2，本选项不合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．B
【解析】解：（x+y）2-z2=（x+y+z）（x+y-z）=42．故选B．
6．B
【解析】
=
=
=1
=
=
=
=1，P=Q,故选B.
7．D
【解析】解：长方形的面积为：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选D．
点睛：此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方公式进行计算，要熟记公式．
8．C
【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a2 b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a b)，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2 b2=(a+b)(a b).
故选：C.
点睛：此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的即等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式.
9．．
【解析】试题分析：（a﹣2）（a+2）=，故答案为： ．
10．3999711．
【解析】试题分析：原式=（2000+17）（2000﹣17）=20002﹣172=4000000﹣289=3999711．故答案为：3999711．
11．.
【解析】,
(m-2n)(m+2n)=16,
m+2n=5，
m-2n=.
12．（a+b）（a-b）=a2-b2
【解析】由图可知，两个图象面积相等，（a+b）（a-b）=a2-b2.
13．
【解析】原式=×（3-1）
==
==，
故答案为： .
【点睛】本题考查了利用平方差公式简化运算，解题的关键是要掌握此类算式的特征.
14．李某吃亏了，理由见解析.
【解析】试题分析：计算阴影部分面积和原正方形面积作比较.
试题解析：
解：李某吃亏了.理由如下：
∵（a+5）（a-5）=a2-25＜a2，
∴李某少种了25 m2地，李某吃亏了.
15．(1) 2a－1;(2) 6a8;（3）999999.96.
【解析】试题分析：（1）先计算单项式乘多项式和利用平方差公式计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可；
（2）分别计算同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，然后合并同类项即可；
（3）将999.8写成1000－0.2，1000.2写成1000＋0.2，然后利用平方差公式计算即可．
试题解析：
（1）原式＝2a－a2＋a2－1
＝2a－1；
（2）原式＝a8＋a8＋4a8
＝6a8 ；
（3）原式＝（1000－0.2)(1000＋0.2）
＝10002－0.22
＝999999.96．
16．2
【解析】
当时，
17．(1) 体积=4ah；表面积=8a+8ah ；(2)体积是18，表面积是84；(3)18-x＜18，体积缩小了.
【解析】试题分析：（1）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；
（2）把a，h代入（1）的关系式进行计算；
（3）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；
试题解析：解：（1）长方体体积=2a×2a×h=4a2h，长方体表面积=2×2a×2a+4×2ah=8a2+8ah；
（2）当a=3，h=时，长方体体积=4×32×=18；长方体表面积=8×32+8×3×=84．
（3）当长增加x，宽减少x时，长方体体积=×（6+x）（6-x）= ＜18，故长方体体积减小了．
点睛：本题考查了代数式求值，列代数式和平方差公式．熟记长方体的体积与面积公式是解题的关键．
18．（1）（a+b）·（a-b）；（2）a2-b2；（3）（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）4x2-y2， ；（5）
【解析】试题分析：（1）（2）（3）利用面积证明了平方差公式.
(4)应用完全平方公式.
(5)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果.
试题解析：
解：（1）图14-5（1）是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图14-5（2），长方形的长为a+b，宽为a-b，所以图14-5（1）中长方形纸条的面积可表示为（a+b）·（a-b）.
（2）图14-5（2）中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，那么图14-5（2）中阴影部分的面积为a2-b2.
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到的乘法公式为（a+b）（a-b）=a2-b2.
（4）（2x+y）（2x-y）=（2x）2-y2=4x2-y2，
19．(1)是．(2)是．(3)是．(4)不是．
【解析】试题分析：
（1）解方程28=(2n+2)2-(2n)2，看n是不是整数；
（2）计算(2k＋2)2－(2k)2的结果是不是4的倍数；
（3）根据(3)中的规律求解；
（4）比较两个连续偶数平方差与两个连续奇数的平方差(取正数)的形式.
(1)是．∵28＝82－62，∴28是神秘数．
(2)是．∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4＝4(2k＋1)，
故两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．
(3)是，∵2 012＝4×503，故2k＋1＝503，k＝251.
∴这两个数为2k＋2＝504，2k＝502，
即2 012＝5042－5022.
(4)不是．
∵两个连续奇数的平方差可表示为(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k＝4·2k(k为正整数)，
∴两个连续奇数的平方差是4的偶数倍．
点睛：本题主要考查了整式的混合运算和阅读理解的能力，一般偶数表示为2k(k为整数)，奇数表示为2k+1(k为整数)，两个连续偶数表示为2k，2k+2(k为偶数)，解题的关键是理解“神秘数”的构成.
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2.2.1 平方差公式同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 平方差公式:(a＋b)(a－b)＝a２－b２,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 ．
2. 理解平方差公式:(a＋b)(a－ b)＝a ２－b ２．其中a,b既可以是具体的数字,也可以是单项 式或多项式
3.平方差公式的特点:在两个多项式中,有一部分完全相同,另一部分只差符号不同,则可以平 方差公式,乘积等于用完全相同那部分的平方减去另一部分的平方．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．已知，则的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
2．计算：（2a+3b）(2a-3b)=（ ）
A. 4a2+9b2 B.2a2 +3b2 C. 2a2 -3b2 D. 4a +3b
3．若， ，则a－b的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4．下列两个多项式相乘，不能运用公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算的是（ ）
A. (-m-n)(m+n) B. (-m+n)(m+n) C. (-m+n)(-m-n) D. (m-n)(n+m)
5．设x+y+z=6，x+y-z=7，则 （x+y）-z的值是（ ）
A. 13 B. 42 C. 1 D. 30
6．设， ，则与的关系为( )
A. B. C. D.
7．如图，从边长为（a＋4）cm的正方纸片中剪去一个边长为（a＋1）cm的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
9．计算（a﹣2）（a+2）=____________．
10．（2017贵州省六盘水市）计算：2017×1983=______．
11．已知：，m+2n=5，则m-2n=__________．
12．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2的位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_____.
13．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算 ．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
______________.
三、解答题
14．如图，郑某把一块边长为a m的正方形的土地租给李某种植，他对李某说：“我把你这块地的一边减少5 m，另一边增加5 m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”.李某一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了.同学们，你们觉得李某有没有吃亏？请说明理由.
15．计算：
(1) ； (2)
(3) 999.8×1000.2 (用简便方法计算)
16．先化简再求值：(x+2y)(x-2y)-2y(x-2y)，其中x=-1,y=.
17．已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h.
(1)用a 、h的代数式表示该长方体的体积与表面积.
(2)当a=3，h=时，求相应长方体的体积与表面积.
(3)在(2)的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由.
18．乘法公式的探究及应用.
探究问题
图1是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图2.
（1） （2）
（1）图1中长方形纸条的面积可表示为_______（写成多项式乘法的形式）.
（2）拼成的图2阴影部分的面积可表示为________（写成两数平方差的形式）.
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：____.
结论运用
（4）运用所得的公式计算：
=________； =________.
拓展运用：
（5）计算：
19．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)28是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)根据上面的提示，判断2 012是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由；
(4)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？
参考答案
1．D
【解析】∵，
∴=.
故选D.
2．A
【解析】（2a+3b）(2a-3b)= 4a2+9b2.
故选A.
3．B
【解析】∵， ，
∴由a2 b2=(a+b)(a b)得到： =（a-b），
∴a－b=.
故选：B.
4．A
【解析】A、（-m-n）（m+n）= -（m+n）2= -m2-2mn-n2，本选项符合题意；B、（-m+n）（m+n）=n2-m2，本选项不合题意；C、（-m+n）（-m-n）=m2-n2，本选项不合题意；D、（m-n）（n+m）=m2-n2，本选项不合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．B
【解析】解：（x+y）2-z2=（x+y+z）（x+y-z）=42．故选B．
6．B
【解析】
=
=
=1
=
=
=
=1，P=Q,故选B.
7．D
【解析】解：长方形的面积为：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选D．
点睛：此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方公式进行计算，要熟记公式．
8．C
【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a2 b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a b)，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2 b2=(a+b)(a b).
故选：C.
点睛：此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的即等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式.
9．．
【解析】试题分析：（a﹣2）（a+2）=，故答案为： ．
10．3999711．
【解析】试题分析：原式=（2000+17）（2000﹣17）=20002﹣172=4000000﹣289=3999711．故答案为：3999711．
11．.
【解析】,
(m-2n)(m+2n)=16,
m+2n=5，
m-2n=.
12．（a+b）（a-b）=a2-b2
【解析】由图可知，两个图象面积相等，（a+b）（a-b）=a2-b2.
13．
【解析】原式=×（3-1）
==
==，
故答案为： .
【点睛】本题考查了利用平方差公式简化运算，解题的关键是要掌握此类算式的特征.
14．李某吃亏了，理由见解析.
【解析】试题分析：计算阴影部分面积和原正方形面积作比较.
试题解析：
解：李某吃亏了.理由如下：
∵（a+5）（a-5）=a2-25＜a2，
∴李某少种了25 m2地，李某吃亏了.
15．(1) 2a－1;(2) 6a8;（3）999999.96.
【解析】试题分析：（1）先计算单项式乘多项式和利用平方差公式计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可；
（2）分别计算同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，然后合并同类项即可；
（3）将999.8写成1000－0.2，1000.2写成1000＋0.2，然后利用平方差公式计算即可．
试题解析：
（1）原式＝2a－a2＋a2－1
＝2a－1；
（2）原式＝a8＋a8＋4a8
＝6a8 ；
（3）原式＝（1000－0.2)(1000＋0.2）
＝10002－0.22
＝999999.96．
16．2
【解析】
当时，
17．(1) 体积=4ah；表面积=8a+8ah ；(2)体积是18，表面积是84；(3)18-x＜18，体积缩小了.
【解析】试题分析：（1）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；
（2）把a，h代入（1）的关系式进行计算；
（3）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；
试题解析：解：（1）长方体体积=2a×2a×h=4a2h，长方体表面积=2×2a×2a+4×2ah=8a2+8ah；
（2）当a=3，h=时，长方体体积=4×32×=18；长方体表面积=8×32+8×3×=84．
（3）当长增加x，宽减少x时，长方体体积=×（6+x）（6-x）= ＜18，故长方体体积减小了．
点睛：本题考查了代数式求值，列代数式和平方差公式．熟记长方体的体积与面积公式是解题的关键．
18．（1）（a+b）·（a-b）；（2）a2-b2；（3）（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）4x2-y2， ；（5）
【解析】试题分析：（1）（2）（3）利用面积证明了平方差公式.
(4)应用完全平方公式.
(5)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果.
试题解析：
解：（1）图14-5（1）是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图14-5（2），长方形的长为a+b，宽为a-b，所以图14-5（1）中长方形纸条的面积可表示为（a+b）·（a-b）.
（2）图14-5（2）中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，那么图14-5（2）中阴影部分的面积为a2-b2.
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到的乘法公式为（a+b）（a-b）=a2-b2.
（4）（2x+y）（2x-y）=（2x）2-y2=4x2-y2，
19．(1)是．(2)是．(3)是．(4)不是．
【解析】试题分析：
（1）解方程28=(2n+2)2-(2n)2，看n是不是整数；
（2）计算(2k＋2)2－(2k)2的结果是不是4的倍数；
（3）根据(3)中的规律求解；
（4）比较两个连续偶数平方差与两个连续奇数的平方差(取正数)的形式.
(1)是．∵28＝82－62，∴28是神秘数．
(2)是．∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4＝4(2k＋1)，
故两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．
(3)是，∵2 012＝4×503，故2k＋1＝503，k＝251.
∴这两个数为2k＋2＝504，2k＝502，
即2 012＝5042－5022.
(4)不是．
∵两个连续奇数的平方差可表示为(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k＝4·2k(k为正整数)，
∴两个连续奇数的平方差是4的偶数倍．
点睛：本题主要考查了整式的混合运算和阅读理解的能力，一般偶数表示为2k(k为整数)，奇数表示为2k+1(k为整数)，两个连续偶数表示为2k，2k+2(k为偶数)，解题的关键是理解“神秘数”的构成.
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)