2018年泰安中考数学总复习专题一：探索规律问题

聚焦泰安
类型一 数式规律
这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．
(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝ ．
【分析】 首先计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4的值，然后总结规律，根据规律得出结论，进而求出a399＋a400的值．
1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是__________．
2．(2017·黄石)观察下列等式：＝1－＝，＋＝1－＋－＝，＋＋＝1－＋－＋－＝，…，请按上述规律，写出第n个式子的计算结果(n为正整数)_______________.(写出最简计算结果即可)
类型二 图形规律
这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．
(2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为(　　)
A．64 B．77 C．80 D．85
【分析】 观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．
3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )
A．84株 B．88株 C．92株 D．121株
4．(2017·绵阳)如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋…＋的值为( )
A. B. C. D.
类型三 点的坐标规律
这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．
(2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017的横坐标是 ．
【分析】 利用直线的表达式及等边三角形的性质计算出A1，A2，A3，A4的横坐标，得出规律，写出A2 017的横坐标即可．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 018的坐标是( )
A．(22 017，22 017) B．(22 018，22 018)
C．(22 017，22 018) D．(22 018，22 017)
6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn－1Bn的顶点Bn的横坐标为_________.
参考答案
【聚焦泰安】
【例1】 ∵a1＋a2＝1＋3＝4＝22，a2＋a3＝3＋6＝9＝32，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，…，∴an＋an＋1＝(n＋1)2.∴a399＋a400＝4002＝160 000.故答案为160 000.
变式训练 1. 　2.
【例2】 通过观察，得到小圆圈的个数分别是：
第①个图形：3＋12＝＋12＝4；
第②个图形：6＋22＝＋22＝10；
第③个图形：10＋32＝＋32＝19；
第④个图形：15＋42＝＋42＝31；
…
所以第n个图形：＋n2.
当n＝7时，图中小圆圈的个数为＋72＝85.故选D.
变式训练 3.B　4.C
【例3】 由直线l：y＝x－与x轴交于点B1，可得B1(1，0)，D(0，－)，
∴OB1＝1，∠OB1D＝30°.
如图，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝OB1＝，
即A1的横坐标为＝.
由题可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，
∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，∴A1B2＝2A1B1＝2.
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝A1B2＝1，
即A2的横坐标为＋1＝＝.
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝A2B3＝2，
即A3的横坐标为＋1＋2＝＝.
同理可得，A4的横坐标为＋1＋2＋4＝＝，
由此可得，An的横坐标为，
∴点A2 017的横坐标为.故答案为.
变式训练 5.A　6.2n＋1－2