2018年泰安中考数学总复习专题二：阅读理解问题

聚焦泰安
类型一 新概念学习型
是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．
(2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝.
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝.
(1)如果一个正整数m是另一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值．
【分析】 (1)对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整数)，找出m的最佳分解，确定出F(m)的值即可；(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可．
1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是__________________________.
2．(2016·荆州)阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M(1，3)的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x＋2，y＝－x＋4.
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝(x－m)2＋n经过B，C两点，顶点D在正方形内部．
(1)直接写出点D(m，n)所有的特征线；
(2)若点D有一条特征线是y＝x＋1，求此抛物线的表达式；
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
类型二 新公式应用型
是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．
(2017·日照)阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝.
例如：求点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离．
解：由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，
∴点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离为
d＝＝.
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1(3，4)到直线y＝－x＋的距离为 ；
问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝－x＋b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
【分析】 (1)根据点到直线的距离公式计算；(2)根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题；(3)求出圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离，求出⊙C上点P到直线3x＋4y＋5＝0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P(A)＝.如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是___________．
4．(2016·随州)如图1，PT与⊙O1相切于点T，PB与⊙O1相交于A，B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2＝PA·PB.请应用以上结论解决下列问题：
如图2，PAB，PCD分别与⊙O2相交于A，B，C，D四点，已知PA＝2，PB＝7，PC＝3，则CD＝_______.
类型三 新方法应用型
是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．
(2017·毕节)观察下列运算过程：
计算：1＋2＋22＋…＋210.
解：设S＝1＋2＋22＋…＋210，①
①×2得2S＝2＋22＋23＋…＋211，②
②－①得S＝211－1.
所以1＋2＋22＋…＋210＝211－1.
运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32 017＝ ．
【分析】 令S＝1＋3＋32＋33＋…＋32 017，然后在等式的两边同时乘3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．
5．(2016·邵阳)尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
求证：a2＋b2＝5c2.
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故＝＝＝，设PF＝m，PE＝n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证．
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
(2)利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2＋MH2的值．
参考答案
【聚焦泰安】
【例1】 (1)证明：对任意一个完全平方数m，
设m＝n2(n为正整数)．
∵|n－n|＝0为最小，
∴n×n是m的最佳分解．
∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝＝1.
(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x.
∵t为“吉祥数”，
∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36，
∴y＝x＋4.
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足条件的“吉祥数”有：15，26，37，48，59.
(3)F(15)＝，F(26)＝，F(37)＝，
F(48)＝＝，F(59)＝，
∵>>>>，
∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是.
变式训练 1.(1，8)或(－3，－2)或(3，2)
2．解：(1)点D(m，n)的特征线是x＝m，y＝n，y＝x＋n－m，y＝－x＋m＋n.
(2)∵点D有一条特征线是y＝x＋1，
∴n－m＝1，∴n＝m＋1.
∵抛物线表达式为y＝(x－m)2＋n，
∴y＝(x－m)2＋m＋1.
∵四边形OABC是正方形，
∴B(2m，2m)，∴(2m－m)2＋n＝2m.
将n＝m＋1代入得到m＝2，n＝3，∴D(2，3)，
∴抛物线表达式为y＝(x－2)2＋3.
(3)如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，
根据题意可得，D(2，3)，
∴OA′＝OA＝4，OM＝2，∴∠A′OM＝60°，
∴∠A′OP＝∠AOP＝30°，∴MN＝＝，
∴抛物线需要向下平移的距离为3－＝.
如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，
∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′(2，3)．
设P(4，c)(c＞0)，
由折叠得PD＝PA，∴＝c，
∴c＝，∴P(4，)，
∴直线OP表达式为y＝x，∴N(2，)，
∴抛物线需要向下平移的距离为3－＝，
即抛物线向下平移或时，其顶点落在OP上．
【例2】 问题1：4
问题2：直线y＝－x＋b整理，得3x＋4y－4b＝0，
故A＝3，B＝4，C＝－4b.
∵⊙C与直线相切，∴点C到直线的距离等于半径，
即＝1，
整理得|10－4b|＝5，解得b＝或b＝.
问题3：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵在3x＋4y＋5＝0中，
A＝3，B＝4，C＝5，
∴圆心C(2，1)到直线AB的距离CD＝＝3，
∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3＋1＝4，最小距离为3－1＝2，
∴S△ABP的最大值为×2×4＝4，最小值为×2×2＝2.
变式训练 3.　4.
【例3】 令S＝1＋3＋32＋33＋…＋32 017，
等式两边同时乘3得3S＝3＋32＋33＋…＋32 018，
两式相减得2S＝32 018－1，∴S＝.
故答案为.
变式训练
5．(1)证明：如图，连接EF，
∵AF，BE分别是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，且EF＝AB＝c，
∴△EPF∽△BPA，∴＝＝＝.
设PF＝m，PE＝n，则AP＝2m，BP＝2n，
在Rt△APE中，AP2＋EP2＝AE2，
即(2m)2＋n2＝()2，①
在Rt△APB中，AP2＋PB2＝AB2，
即(2m)2＋(2n)2＝c2，②
在Rt△BFP中，FD2＋PB2＝BF2，
即(2n)2＋m2＝()2，③
由②得4(m2＋n2)＝c2，即m2＋n2＝，
①＋③化简得5n2＋5m2＝(a2＋b2)，
∴(a2＋b2)＝5m2＋5n2＝5(m2＋n2)＝c2.
∴a2＋b2＝5c2.
(2)解：如图，连接EF，
在菱形ABCD中，BC＝3，∴AC⊥BD，OA＝OC，
OB＝OD，AD綊BC.
又E，F分别为线段AO，DO的中点，
∴＝，＝.
又∵AD∥BC，∴△AEG∽△CEB，△HDF∽△CBF，
∴＝＝，＝＝，
易得G，H为AD的三等分点，
即AG＝GH＝HD，∴＝.
又∵GH∥BC，∴△MGH∽△MBC，
∴＝＝＝，
∴MB＝3GM，MC＝3MH.
又∵EF为△AOD中位线，∴EF綊AD，
∴EF綊BC，
∴在△MBC中，E，F分别为MB，MC的中点．
又∵BF⊥CE，利用题中结论可得MB2＋MC2＝5BC2，
即9MG2＋9MH2＝5×32，
∴MG2＋MH2＝5.