2018年泰安中考数学总复习专题四：函数压轴题

聚焦泰安
类型一 动点函数图象问题
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判别图象的变化．
(2016·济南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M，N，E分别是AB，AD，CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3.点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB－BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND－DC－CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t s，则S与t之间的函数关系的大致图象为(　　)
【分析】 由点Q从点N出发，沿折线ND－DC－CE向点E运动，确定出点Q分别在ND，DC，CE运动时对应的t的取值范围，再根据t所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．
1．(2016·烟台)如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条相互垂直的直径，点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动．设AP＝x，sin∠APB＝y，那么y与x之间的关系图象大致是( )
2．(2016·莱芜)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点M从点B出发以3 cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达点A停止运动；另一动点N同时从点B出发，以1 cm/s的速度沿着BA向点A运动，到达点A停止运动．设点M的运动时间为x(s)，△AMN的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )
类型二 二次函数综合题
二次函数的综合题是中考数学的必考问题，一般作为压轴题出现，常与动点、存在点、相似等相结合，难度较大，是考生失分的重灾区．为攻克二次函数的压轴题，我们把二次函数大题拆分，逐步讲解，大题小做，稳拿分．
1．二次函数动点问题
(2017·泰安)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为(　　)
A．19 cm2 B．16 cm2
C．15 cm2 D．12 cm2
【分析】 首先利用勾股定理可得出AC的长，再设运动时间为t(0≤t≤4)，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值．
3．(2017·新疆)如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为___ s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是______cm2.
4．(2016·德州)已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．
(1)求这个抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
2．二次函数存在点问题
(2017·苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于Α，Β两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
(3)如图2，动点Ρ在线段OB上，过点Ρ作x轴的垂线，分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段ΝQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】 (1)由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB＝OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线表达式可求得c的值；(2)可设F(0，m)，则可表示出F′的坐标，由B，E的坐标可求得直线BE的表达式，把F′坐标代入直线BE表达式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；(3)设点P坐标为(n，0)，可表示出PA，PB，PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q，R，N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
5．(2016·日照)如图1，抛物线y＝－[(x－2)2＋n]与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求m，n的值；
(2)如图2，点M，P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM，PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形、△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．二次函数相似问题
(2017·日照)如图，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M(4，0)，N(0，3)两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.
(1)求线段CD的长及顶点P的坐标；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】 (1)由勾股定理可求得MN的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得P点坐标；(2)可设抛物线的表达式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线表达式；(3)由抛物线表达式可求得A，B的坐标，由S四边形OPMN＝8S△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．
二次函数相似问题常与动点、存在点相结合，利用动点或存在点的坐标表示出与相似三角形有关的线段长，要注意边的对应有多种可能，对每一种情况都要具体分析讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例列出方程，通过解方程求得结果，还要考虑求出的结果是否符合题意及实际情况．
6．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点，且AB⊥BC.
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
【聚焦泰安】
【例1】 如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，
当0≤t≤2时，点Q在线段ND上．
∵AB∥CD，∠B＝90°，∴四边形BCDF是矩形，
∴DF＝BC＝4，
∴AF＝＝3，
∴DC＝BF＝2，
∴AQ＝AN＋NQ＝3＋t，AP＝AM＋MP＝1＋t.
∵QG∥DF，∴△AQG∽△ADF，
∴＝，即＝，∴QG＝(3＋t)，
∴S＝AP·QG＝×(1＋t)×(3＋t)＝t2＋t＋，且当t＝2时，点Q恰好运动到点D，S＝6；
当2＜t≤4时，点Q在线段DC上，
∴S＝AP·BC＝×(1＋t)×4＝2t＋2；
当4＜t≤5时，点P，Q均在BC上运动，BP＝CQ＝t－4，
∴PQ＝BC－BP－CQ＝12－2t，
∴S＝AB·PQ＝×5×(12－2t)＝－5t＋30，且当t＝5时，点Q运动到点E后停止运动，此时S＝5.
综上所述，S＝
由函数关系式，S与t之间的函数关系的大致图象为C或D.
∵t＝2时，S＝6；t＝5时，S＝5，6＞5，
∴S与t之间的函数关系的大致图象为D.故选D.
变式训练 1.C　2.A
【例2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝10 cm，BC＝8 cm，
∴AC＝＝6 cm.
设运动时间为t(0≤t≤4)，
则PC＝(6－t)cm，CQ＝2t cm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC－S△CPQ＝AC·BC－PC·CQ＝×6×8－(6－t)×2t＝t2－6t＋24＝(t－3)2＋15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15.故选C.
变式训练3.3　18
4．解：(1)解方程x2＋4x＋3＝0得x1＝－1，x2＝－3.
∵m，n是方程x2＋4x＋3＝0的两根，且|m|＜|n|，
∴m＝－1，n＝－3.
把点A(－1，0)，B(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，
得
解得
∴这个抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)由B(0，－3)，C(3，0)，得直线BC的表达式为y＝x－3.
∴设点P的坐标为(t，t－3)．
∵PM⊥x轴，点M在抛物线上，
∴点M的坐标为(t，t2－2t－3)．
如图，过点Q作QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形．
∵PQ＝，∴QF＝1.
如图，当点P在点M上方时，即0＜t＜3.
PM＝(t－3)－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，
∴S＝PM·QF＝(－t2＋3t)＝－t2＋t.
如图，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3.
PM＝(t2－2t－3)－(t－3)＝t2－3t，
∴S＝PM·QF＝(t2－3t)＝t2－t.
综上所述，S＝
【例3】 (1)∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为直线l：x＝1.
∴－＝1，∴b＝－2.
∵OB＝OC，C(0，c)，∴B点的坐标为(－c，0)，
∵点B在抛物线上，
∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3.
(2)设点F的坐标为(0，m)．
∵对称轴为直线l：x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为(2，m)．
∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.
∵点F在BE上，
∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)．
(3)存在点Q满足题意．
设点P坐标为(n，0)，
则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.
如图，作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN＝S△APM，
∴(n＋1)(3－n)＝(－n2＋2n＋3)·QR，∴QR＝1.
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N点的坐标为(n，n2－2n－3)．在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，
∴n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(，－)．
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2，
∴n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(，－)．
综上所述，满足题意的点Q的坐标为(，－)和(，－)．
变式训练
5．解：(1)∵抛物线的对称轴是x＝2，
∴m－2＋2m＋3＝4，解得m＝1，
∴A(－1，0), B(5，0)．
把A(－1，0)代入抛物线表达式，
得－(9＋n)＝0，解得n＝－9，
∴m＝1，n＝－9.
(2)假设点P存在，设点P(x0，0)(0①当点P为△PMB的直角顶点时，CM＝MP.
∵MP∥OC，∴＝，＝，
∴MP＝(5－x0)，CM＝x0.
则(5－x0)＝x0，解得x0＝，
∴P(，0)．
②当点M为△PMB的直角顶点时，则 CM＝MP.
∵△PMB∽△COB，∴＝＝，
∴PM＝(5－x0)，BM＝(5－x0)，
∴CM＝－(5－x0)＝.
则(5－x0)＝，解得x0＝，∴P(，0)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(，0)或(，0)．
【例4】 (1)∵O，M，N三点都在⊙C上，
且∠MON＝90°，
∴MN为⊙C的直径，点C为MN的中点．
∵M(4，0)，N(0，3)，∴C(2，1.5)，
MN＝＝5，
∴CP＝2.5，∴CD＝1.5，顶点P的坐标为(2，－1)．
(2)∵抛物线的顶点坐标为P(2，－1)，
∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2－1.
又∵抛物线过点N(0，3)，∴3＝4a－1，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3.
(3)由题意得：
S四边形OPMN＝S△OMN＋S△OPM＝×4×3＋×4×1＝8.
∵S四边形OPMN＝8S△QAB，∴S△QAB＝1.
当y＝0时，x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A(1，0)，B(3，0)．
设Q(x，y)，则S△QAB＝|AB|·|y|＝|y|＝1.
∵△OBN为等腰直角三角形，且△QAB∽△OBN，
∴△QAB也应为等腰直角三角形．
当y＝1时，结合图形易知，△QAB一定不是直角三角形，不合题意；
当y＝－1时，点Q的坐标为(2，－1)，
此时QA＝QB＝，AB＝2，
∴△QAB为等腰直角三角形，符合题意．
综上可知，存在点Q(2，－1)，使得S四边形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立．
变式训练
6．解：(1)∵顶点A的坐标为(1，1)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋1.
∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1，
即y＝－x2＋2x.
令y＝－x2＋2x＝x－2，解得x＝2或x＝－1.
当x＝2时，y＝2－2＝0，即B(2，0)．
当x＝－1时，y＝－1－2＝－3，即C(－1，－3)．
(2)假设存在满足条件的点N，
设N(x，0)，则M (x，－x2＋2x)，
∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|.
由A(1，1)，B(2，0)，C(－1，－3)，
得AB＝，BC＝3.
∵AB⊥BC，MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC＝∠MNO＝90°，
∴当△MNO∽△ABC时，有＝，
即＝ ，
整理得|x|·|－x＋2|＝|x|.
当x＝0时，M，O，N不能构成三角形，故x≠0.
∴|－x＋2|＝，解得x＝或x＝.
此时点N的坐标为(，0)或(，0)．
当△ONM∽△ABC时，有＝，
即＝，
整理得|x|·|－x＋2|＝3|x|.
∵x≠0，∴|－x＋2|＝3，解得x＝5或x＝－1.
此时点N的坐标为(－1，0)或(5，0)．
综上所述，存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(－1，0)或(5，0)．