解直角三角形专题讲座
解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。【来源：21cnj*y.co*m】
1、明确解直角三角形的依据和思路
在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是【出处：21教育名师】
（1）边角之间的关系：
sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝。
（2）两锐角之间的关系：
A＋B＝90°。
（3）三条边之间的关系：
。
以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。21教育名师原创作品
2、解直角三角形的基本类型和方法
我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？
事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：
?
已知条件
解法
一边及
一锐角
直角边a及锐角A
B＝90°－A，b＝a·cotA，
斜边c及锐角A
B＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA
两边
两条直角边a和b
，B＝90°－A，
直角边a和斜边c
，B＝90°－A，
?
例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。
分析一：所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC 中只知一个锐角A＝α，暂不可解。而在Rt△ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手。
解法一：在Rt△ADE中，，且∠A＝α，AE＝1，，
在Rt△ADC中，，
在Rt△ABC中，。
分析二；观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。21世纪教育网版权所有
解法二：同解法一得，，
在Rt△ACD中，，
在Rt△ABC中，。
说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。21教育网
在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形（图3），它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。www.21-cn-jy.com
?
例2、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线。
（1）若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；
（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：tanβ＝2tanα。
（1）分析：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD。而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解。
解：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，
∴AC＝BC ·tanB＝2，
在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，
∴。
（2）分析：α和β分别为Rt△ABC和Rt△ADC中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明tanβ＝2tanα。
证明：在Rt△ABC中，,
在Rt△ADC中，,又∵BC＝2DC, ∴tanβ＝2tanα。
?
例3、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线。
（1）若AB∶BD＝，求∠B；
（2）又若BD＝4，求。
分析：已知AD是∠BAC的平分线，又知两条线段的比AB∶BD＝,应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt△ADC 中，先求出∠DAC即可求得∠B。
解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，,即,
在Rt△ADC中，,∴∠DAC＝30°, ∴∠BAC＝2∠DAC＝60°, ∴∠B＝90°－∠BAC＝30°。【来源：21·世纪·教育·网】
（2）,BD＝4，∴AB＝BD＝4，∵∠B＝30°，∴AC＝AB＝2，又∵BC＝AB·cosB＝6，∴＝BC·AC＝×6×2＝6。
说明：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。21·世纪*教育网
?
例4、如图3，在Rt△ABC中、∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD＝1，求AB。www-2-1-cnjy-com
分析：已知的角度告诉我们，Rt△ABC 和Rt△ADC都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解。
解：在Rt△ADC中，设DC＝x，∵∠ADC＝60°，∴AD＝2x，AC＝x，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45°，BD＝1，∴1＋x＝x，∴x＝，
∴AB＝AC＝x＝。
说明：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程。还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。
?
例5、如图4，在△ABC中、D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC。21*cnjy*com
分析：由数形结合易知，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在△BDC中，且BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形。因此，可以过D作DE⊥BC，拓开思路。由于DE，AF同垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC。【版权所有：21教育】
解：在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理,得：，即BC＝。21*cnjy*com
再由射影定理, 得：，即。
在△BDC中，过D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，
。在Rt△DEC中，，即
，整理得。
说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。
3、解直角三角形在实际问题中的应用
借助解直角三角形解决实际问题，包括度量工件、测量距离、工程技术等许多方面。解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决。
例6、某型号飞机的机翼形状如图5，根据图示尺寸计算AC、BD和AB的长度（保留三个有效数字）。
分析；飞机机翼形状为四边形ABDC，要求其中三条边的长度，一方面应使所求线段成为直角三角形的元素，另一方面，要设法将已知条件与未知量集中在某个三角形中以求解，这就需要恰当地构造直角三角形。
解：过C作CE⊥BA，交BA的延长线于E。
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，CE＝5，∴AC＝CE≈1.414×5＝7.07。
过D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，且与AC交于G，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝30°，DF＝5，∴BD＝2·1·c·n·j·y
，
∴AB＝BF－AF＝BF－FG＝BF－（DF－DG）＝BF－（DF－CD）＝2.885－（5－3.4）≈1.29（米）。
说明：解决实际问题时，计算常有精确度的要求，应注意近似计算的法则和规范表述。
?
例7、某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38°，沿倾斜角为25°的山坡前进800米后，又测得山顶的仰角为62°，求山的高度（精确到0.1米）。
分析：先根据题意画出示意图（如图6），BC为山高，AD为山坡，∠DAC＝25°，因为仰角为视线与水平线的夹角，所以∠BAC＝38°，AD＝800米，∠BDE＝62°，要直接在Rt△ABC中求BC不够条件，必须设法先求出AB，这就需要根据已知条件，构造直角三角形。
解：过D作DF⊥AB于F，在Rt△ADF中，∠DAF＝38°－25°＝13°，
∴AF＝AD·cos∠DAF＝800×0.9744＝779.5，
DF＝AD·sin∠DAF＝800×0.2250＝180.0。
在Rt△BDF中，∵∠DBF＝62°－38°＝24°，
∴BF＝DF·cot∠DBF＝180.0×2.246＝404.3，
∴AB＝AF＋BF＝779.5＋404.3＝1183.8，
在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝1183.8×0.6157＝728.8（米）。
答：山高为728.8米。
说明：在学过解斜三角形以后，解答本题会有更简捷的方法。
说明：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形。21·cn·jy·com
例8、如图7所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°，60°。已知测角仪器高为1.5米，CD＝20米，求铁塔的高。（精确到0.1米）。2-1-c-n-j-y
解：设BG＝x，在Rt△BGF中，∵cot∠BFG＝，∴FG＝BG·cot∠BFG＝x·cot60°＝x，
在Rt△BGE中，EG＝BG·cot∠BEG＝x。
∵EG－FG＝EF，且EF＝CD＝20，∴x－x＝20，解得x＝10，
∴AB＝BG＋AG＝10＋1.5≈18.8（米）
答：铁塔的高约为18.8米。
说明：测量底部不可以达到的物体的高度的解题方法通常是根据两个直角三角形的边长关系列出含有被测物体高度的方程，本题通过EG－FG＝EF，再由直角三角形边角关系式EG＝x·cot30°，FG＝x·cot60°列出方程的，但要注意求得的x不是塔高，塔高应是（x＋1.5）米。测量底部可以达到的物体的高度，通常采用如下模型和公式：如图8，已知CE＝a，CD＝b，∠ACE＝α，则AB＝AE＋b＝a·tanα＋b。21cnjy.com
利用三角函数解决是否有进入危险区域的可能？
答案：
解答这类问题，第一步，根据材料提供的生活背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。第二步，根据所给条件运用三角函数知识正确解答。21世纪教育网版权所有
【举一反三】
利用特殊角的三角函数解三角形
同学们在解三角形时，可以利用特殊角的三角函数求解，比如、、、。一般满足条件：SSS、SAS、ASA、AAS，就可以利用作辅助线互相求解。
1．满足SSS条件，求角
例1 已知：如图，，，，求各内角度数。
解：作，垂足为，设，则
，
，
解得，
，
，
由三角形内角和定理得
答：，，。
2．满足SAS条件，求面积
例2 已知：如图，中，，，求的面积。
解：作，垂足为，
，，
答：
3．满足AAS条件，求边
例3 已知如图，中，，，求和的长。
解：作，垂足为，则，设，则在，
，.在中，
，
由，得
，
答：，
例4 已知如图，中，，，求和的长。
解：作，垂足为。在中，，.在中，
，
，
答：，
从以上解题知道：可解三角形的解题方法是恰当作垂线，使特殊角（、、、）尽量多地含在所作的三角形中，采用特殊角的三角函数易于求解。
如何利用锐角三角函数的解决问题？
难易度：★★★★
关键词：锐角三角函数
答案：
锐角三角函数是直角三角形中边与角的关系，所以可依据tanα=求出斜边为25，再依据锐角三角比的定义求出其它锐角三角比。 21世纪教育网版权所有
【举一反三】
典例：已知：α是锐角，tanα=，则sinα=_____，cosα=_______．
思路导引：一般来讲，解决本题要理解锐角三角函数是直角三角形中边与角的关系，所以可依据tanα=求出斜边为25，再依据锐角三角比的定义求出其它锐角三角比。
标准答案：?
已知两直角边，用那个函数求角A？
答案：
?
用正切
【举一反三】
解直角三角形
教材分析
本节课是在前面学习了锐角三角函数的基础上，通过建立锐角三角函数的直角三角形模型解直角三角形．教学中结合勾股定理和三角形内角和定理，理解直角三角形中各个元素之间的关系，并会利用这些关系解直角三角形；利用全等三角形的有关理论理解解直角三角形的意义． 21教育网
首先，教材从本章引言出发引出解直角三角形的内容，这样的设计意图使学生在解决实际问题中体会：给定直角三角形的若干元素，其余元素可以唯一确定，从而引出解直角三角形的课题与概念．21cnjy.com
教学中通过进行“探究”栏目的活动，使学生体会到：若已知直角三角形的某两个元素（至少有一个是边），这个三角形确定下来，那么就可以利用这两个条件求出其他的元素，这样为最终的结论“已知直角三角形的两个条件（直角除外，其中至少有一个是边），就可以求出这个直角三角形的其他元素”奠定基础．在教学中可以引导学生结合“探究”栏目的活动自己总结，并要引导学生画出图形帮助分析．21·cn·jy·com
另外，例1是已知直角三角形中的两条直角边来解直角三角形；例2是已知直角三角形中的一个锐角和这个锐角的对边来解直角三角形．在学生课堂练习中适当的增加“满足其他条件解直角三角形”的练习，建议也可增加简单的含有特殊角的一般三角形的练习，提高学生的分析和构造解直角三角形的能力．www.21-cn-jy.com
本节课的教学重点是：解直角三角形的意义以及一般方法；教学难点应该是：解直角三角形的可解性的解读与认识．21世纪教育网版权所有
直角三角形有那些关系？
答案：
【举一反三】
解直角三角形用到那些数学思想？
答案：
转化思想，分类思想和数形结合思想等
【举一反三】
解直角三角形
课标要求
解直角三角形 通过引言的具体实例和探究活动，研究“什么是解直角三角形和如何解直角三角形”．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节相关内容提出的教学要求如下：
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单问题．
解直角三角形
课标解读
一、课标要求
通过引言的具体实例和探究活动，研究“什么是解直角三角形和如何解直角三角形”．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节相关内容提出的教学要求如下：
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单问题．
二、课标解读
1．解直角三角形是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“图形与几何”领域的内容，是在学习锐角三角函数的基础上学习解直角三角形的方法．不但体现了三角函数的应用而且进一步完善了直角三角形的有关知识，对有关几何的运算和推理证明提供了有力的工具和建模，在直角三角形中，勾股定理反映了三边之间的关系，三角形内角和反映了三个角之间的关系，而锐角三角函数反映了边角之间的关系，通过本节课的学习，学生理解直角三角形中各个元素之间的关系，并利用这些关系解直角三角形。本节重点研究解直角三角形的意义以及一般方法．21cnjy.com
2．加强知识之间的纵向联系．我们知道“相似形”为锐角三角函数的学习打下了基础，在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论，从直角三角形的可解性和存在性上来说，全等三角形的有关理论对理解本节课有积极的促进作用：在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），那么这个三角形就可以确定下来（满足三角形全等的条件），这样就可以由两个元素求出其余三个元素，从而确立了解直角三角形的概念，因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容，加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．21教育网
3．加强数形结合的教学，利用锐角三角函数解直角三角形，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角的关系，再通过计算、推理等解决问题，加深对直角三角形本质的理解．21世纪教育网版权所有
运用解直角三角形解决的那些实际问题？
答案：
求河宽，山体滑坡，两个景点的距离，乘电梯会有碰头危险，建桥问题和航空问题
等
【举一反三】
解直角三角形
重难点突
一、解直角三角形的概念的理解以及解直角三角形的一般方法
突破建议：
首先组织同学们进行知识回顾引导同学们回忆与本节课相关的知识，如通过回忆以前学过的关于直角三角形中的边边关系，边角关系及角角关系为本节课的学习做铺垫；而后通过课本上关于比萨斜塔倾斜的问题导入，通过把实际问题抽象成数学问题并用数学知识解答（在此过程重点锻炼学生的思维能力），通过解答总结归纳（这要求老师通过言语着重引导学生思考，培养学生的总结归纳能力）本节的解直角三角形的含义：在直角三角形中，由已知的元素求出未知的元素的过程就是解直角三角形．继而与同学们一起探究在直角三角形中给出几个元素能确定一个三角形（其中老师要善于引导学生思考并与同学们一起讨论什么条件下可以确定，什么条件下不能确定三角形），讨论的结果是给出两边或一边一锐角可以确定三角形．然后根据这两种情况精心设计例题1和例题2，先与同学们一起分析解题思路，再与同学们一起完成步骤，让学生在脑海中无形深化本节课所学的知识，并让他们体会到学习带来的乐趣！21世纪教育网版权所有
二、解直角三角形的可解性的解读与认识
突破建议：
1．从本章的引言提出的有关比萨斜塔的问题入手引出解直角三角形的问题，这里让学生体会两件事：第一，实际问题中有许多类似这样的问题，借助锐角三角函数和勾股定理等知识可以解决这样的问题；第二，引导学生采用从“特殊到一般”的方法，自己提出问题，并在探究活动下展开学习．这样不但体现了知识的应用还体现了解直角三角形的必要性．
2．把全等三角形的有关理论与解直角三角形是否可解的问题上的探究计划联系起来．直角三角形全等的判定方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL，这些判定方法不但可以判断多个直角三角形之间的全等关系，而且还能够确定唯一的一个直角三角形，不但保证了直角三角形的可解性并且保证了解的唯一性．在学习三角形全等时，我们知道：两个三角形如果满足“两边及一边的对角对应相等，那么这两个三角形不一定全等”，但在直角三角形的全等知识中是正确的，这样帮助学生理解：在一个直角三角形中除了直角外的两个已知元素中至少有一条是边，这个直角三角形就可以确定下来，进而就可以解直角三角形了．
解直角三角形问题的两个数学模型
? 有一些涉及直角三角形的问题，常常需要通过建立各种数学“模型”来解决，这是一种十分重要的思想方法.现举例说明.【来源：21·世纪·教育·网】
模型1 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，∠B=45°，BD=10，求AC的长.21教育网
说明 此类问题的特征是：具有公共直角的两个直角三角形，并且它们均位于直角边的同侧.
解法1 在△ADC中，由，即，∴
解法2 在△ADC中，设CD=x，则.由BC-CD=BD，得，∴，
推广1 如图2，小山上有一电视塔CD，由地面上一点A，测得塔顶C的仰角为30°，由A向小山前进100米到B点，又测得塔顶C的仰角为60°，已知CD=20米，求小山高度DE.21·cn·jy·com
分析 本题可利用模型1，先求得米，
再求得
想一想：①如果在A、B二处均使用了测量仪，且测量仪高为1.2米时，该怎样求山高？②将此问题改为测河宽CD时，在河一侧岸边设观测点A、B、E，并使CE⊥AE，则求解过程是否完全雷同？ www.21-cn-jy.com
推广2 如图3，有长为100m的大坝斜坡AB，坡角α=45°，现要改造成坡角β=30°，求伸长的坡度DB的长.2·1·c·n·j·y
分析 此题的条件只不过是在模型1中稍加变化而已.
解 在Rt△ABC中求得又在Rt△ADC中，，∴
推广3 如图4，船自西向东航行，在A处测得小岛S在船北偏东60°，船航行10海里到B处，又测得小岛S在船北偏东45°，在小岛S的周围有半径为12海里的暗礁区，如果船不改变航向，继续前进时有无危险，为什么？21·世纪*教育网
分析 由题设可知
∠SAB=30°，∠SBD=45°，则可归结为模型1的问题，求得.
∵SD＞12，∴船不会有危险.
(另外，此问题还可将AB=10改变为船速v=40海里/小时，船自A行驶15分钟后到达B点.)
模型2 如图5，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求AB和BC.
说明 此类问题的特点是：通过作三角形一条边上的高，可将原来的斜三角形化成两个直角三角形来求解.
解 作AD⊥BC于D，则(或AD=ACsin45°).
∴(或)，
BD=ADcot30°=.
∴.
推广1 如图6，在平地上有二幢楼AB及CD相距60米，在A处测得CD底部的俯角为30°，又测得CD顶部的仰角为45°，求CD的高.21世纪教育网版权所有
解 在Rt△ADE中，求得在Rt△ACE中，求得CE=AE=60.
∴
推广2 如图7，厂房屋架为等腰三角形，倾角为30°，跨度AB为15米，求中柱CD和屋面AC的长.
解 在Rt△ACD中，∠A=30°，，
∴
推广3 如图8，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是7米，测得斜坡坡度为1:3.5，求斜坡上相邻两树间的坡面距离.21cnjy.com
解 此问题即在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，tan∠BAC=1:3.5=，求AB.
由于AC=7，故BC=2，由勾股定理便可求得
