【问题】五、如何运用二次函数解决利润问题？
难易度：★★★★★
关键词：解决利润问题
答案：
根据题意找到题中的等量关系，列出二次函数，再结合题意讨论最值。
【举一反三】
典例：某商场购进一批单价为20元的商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？最大利润是多少？
思路引导：先确定等量关系为：总利润=每件商品的利润×销售量，再讨论最大值得出结果。
标准答案：解：设销售单价为x（x≥30）元，销售利润为y元，由题意得:
y=（x-20）=-20x2+1400x-20000=-20（x-35）2+4500
a＜0说明图像开口向下，函数有最大值。
当销售单价x=35元时，最大利润y=4500元。
【问题】三、如何运用二次函数解决经济问题？
难易度：★★★★★
关键词：最值
答案：
与经济相关的问题是中考的热点题型，要先确定实际问题的变量之间关系，再求最值，从而解决了实际问题。
【举一反三】
典题：（成都 中考）大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办一个装饰品商店，该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=-2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q（元／件）与销售时间x(天)之间有如下关系：Q1=x+30(l≤x≤20，且x为整数)，后10天的销售价格Q2（元／件）与销售时间x(天)之间有如下关系：Q2=45(21≤x≤30，且x为整数)。
（1) 试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间．x（天）之间的函数关系式．
（2) 请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润，
（注：销售利润=销售收入一购进成本）
思路导引：根据销售利润=销售收入一购进成本，得R1 =P（Q1-20），R2 = P(Q2–20)，可得函数关系式，再分别算出最大利润，比较得出结果。
标准答案：解：(1)根据题意，得R1 =P（Q1-20）=（2x+80）［（x+30）-20］=-x2 +20x+800（1≤x≤20，且x为整数）.R2 = P(Q2–20) = ( -2x+80)(45-20)=-50x+2 000
（21≤x≤30，且x为整数）．
(2)在l≤x≤20，且x为整数时，因为R1=-(x-10)2+900，所以当x=10时，R1的最大值为900.在21≤x≤30，且x为整数时，因为在R2= - 50x+2 000中，R2的值随x值的增大而减小，所以当x=21时，R2的最大值是950.因为950＞900，所以当x=21时，即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元。
实际问题与二次函数
课标解读
一、课标要求?
实际问题与二次函数一节包括一个问题、三个探究，都是用二次函数的图象和性质解决实际问题．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对实际问题与二次函数一节相关的内容没有提出具体的教学要求，但可以参照对21．3实际问题与一元二次方程和22．1二次函数的图象和性质的要求，得到本小节的教学要求：
1．能根据具体问题中的数量关系和变化规律列出二次函数，体会二次函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．
2．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得到二次函数图象的顶点坐标，并能解决简单实际问题，体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决问题的能力．
二、课标解读
函数是描述现实世界中变化规律的数学模型．某些问题中的数量关系可以用函数表示．本节在九年级上册已经介绍二次函数的概念、图象和性质的基础上，运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题．
1．体现模型思想
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义．这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识．突出建立数学模型的思想，也是新课标的理念的体现．
对于某些实际问题，如果其中两个变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决．这一过程体现了模型思想．
例如，在日常生产、生活中，常常会遇到求什么条件下可以使面积最大、距离最短、花费最省、利润最大等最值问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．用22．3节中的探究1和探究2举例说明此类问题的解决过程．
此外，在函数的讨论之后安排的修建喷水池时确定水管长度的问题，在22．3节中安排的探究3（水位问题），也是运用二次函数解决实际问题的例子．
每一节都是以实际问题引入，这样安排力图加强二次函数与实际生活的联系，使所学知识得到应用，更好地体现模型思想．
2．数形结合思想贯穿始终
数形结合地研究函数贯穿二次函数讨论的始终．22．3节中，关于二次函数的最大值或最小值的结论也是通过确定函数图象的最高点或最低点获得的．
在22．3节中，开头的问题涉及求函数的最大值．从所给函数的图象可以看出，图象开口向下，当自变量取顶点的横坐标时，函数值最大．由此引出直接根据函数解析式求二次函数的最大（小）值的结论，即若，当时，二次函数有最大（小）值．
?
得出此结论后，就可以直接运用它求二次函数的最大（小）值．接下来，通过最大面积、最大利润、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．
在第22．3节后，教科书安排了一个阅读与思考“推测滑行距离与滑行时间的关系”．根据实际问题得到有关数据，数形结合地求出表示变量间关系的函数，这属于建立模拟函数描述实际问题，更好地体现了数形结合思想．
3．加强对实际问题的分析
运用二次函数解决实际问题时，用二次函数表示问题中变量之间的关系是重要一环．要加强对实际问题的分析．例如，在22．3节的探究1中，用总长一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边长的变化而变化．场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积，所以，要用矩形一边长表示它的邻边长，从而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式．教学中，加强对实际问题的分析，有助于学生顺利解决实际问题．还应注意能根据具体问题的实际意义，求出自变量的取值范围．
4．重视思维能力和创新意识的培养
学习数学的价值主要体现在发展学习者的思维能力上．创新精神和能力是科学不断发展和社会不断进步的动力．建议教师加强对探究式学习的研讨，在教学中引导学生积极进行自主探索，体验研究的过程，教师不能包办代替，而是要多加点拨、引导和鼓励，充分发挥学生的主观能动性．教师要帮助学生形成更大的发展潜力，特别是思维品质的健全发展，从而有利于更大限度地实现数学教学的育人价值．
课件3张PPT。何时面积最大 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.MN（1）设矩形的一边AB=xcm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的最大值是多少？xcmbcm解：（1）设AD=b cm，MD=(30-b)cm，又有题意可知△MDC∽△MAN，得：（1）设矩形的一边AB=xcm，那么AD边的长度如何表示？代入数据，得：解得：MN（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的最大值是多少？课件5张PPT。P(1， y)y=3.75>4-2 能通过P(x，2)x>1 能通过P(2，y)y=3>4-2 能通过P(x，2)x>2 能通过课件2张PPT。如图：某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接而成，其中一段拱形栅栏（图中AOB）为抛物线的一部分，拱形栅栏的跨径AB之间按相同的间距（0.2m）用5根立柱加固，拱高OC为0.6m.(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据以上数据，求出抛物线y=ax2对应的函数表达式；(2)计算一段拱形栅栏所需5根立柱的总长度.解：(1)由题意可知抛物线经过点(0.6，0.6)
则0.6=0.36a
a=0.6
所以抛物线的函数表达式为y=0.6x2.(2)由(1)可知5根栅栏的长度分别为
0.504，0.576，0.6，0.576，0.504
所以5根立柱的总长度为：
0.504+0.576+0.6+0.576+0.504=2.22m.课件4张PPT。心理学家发现，通常情况下，学生对知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间xmin之间满足函数关系
，
y的值越大，表示接受能力越强.
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
解：观察函数关系式可知该函数是一条开口向下的抛物线，所以当x在对称轴左侧时，y逐步递增，当x在对称轴右侧时，y逐步下降.
该函数的对称轴是x=13，所以，当 时，学生的接受能力逐步增强；当 时，学生的接受能力逐步降低. （2）第10min时，学生的接受能力是多少？ 解：当x=10时，
y=-0.1×102+2.6×10+43
=59
即当x=10min时，学生的接受能力是59. （3）第几分时，学生的接受能力最强？ 解：当x=13时，函数y到达顶点，
即 ymax=-0.1×132+2.6×13+43
=59.9
即当x=13min时，学生的接受能力最强为59.9. 课件2张PPT。如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平米.
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积. （3） ∵墙的可用长度为8米∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6∴当x=4m时，S最大值=32 平方米.解： （1） ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为(24-4x)米 ∴ S=x(24-4x)=-4x2＋24x (0则 y=60-x2 -(10-x)(6-x)=-2x2 + 16x(0 y=[800-10(x-30)]·x
=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250∴当x=55时，y最大=30250答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元.【问题】一、自变量x为全体实数时，如何求函数的最值？
难易度：★★★★
关键词：最值
答案：
求函数y=ax2+bx+c的最大值，可用配方法将函数化成y=a（x+）2+，再根据a的取值得出最值，也可以直接求出-，的值。
【举一反三】
典题：求二次函数y=x2-3x+1的最小值。
思路导引：a＞0，开口向上，直接利用顶点坐标确定y的最小值。
标准答案：解：当x=-=时，y最小==-。
课件3张PPT。 某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.问：多种多少棵橙子树，可使橙子总产量最多？还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树”
的问题吗？y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.O5101520x/棵60000601006020060300604006050060600y/个当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加； 当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.O5101520x/棵60000601006020060300604006050060600y/个(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？增种6～14棵，都可以使橙子的总产量在60400个以上.课件1张PPT。（1）如果设矩形的一边AD=xcm，那么AB边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的最大值是多少？如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.bcmxcm课件2张PPT。某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：假设销售单价为x(x≥30)元，销售利润为y元，则
y =(x-20) [400-20(x-30)]
=-20x2+1400x-20000
=-20(x-35)2+4500
∴当x=35时，y有最大值为4500.
35-30=5（元）答：单价为35元时，才能在半月内获得最大利润4500元.0333544204500xy
