江苏省扬州市2017~2018学年度第一学期期末调研测试高三数学试题（文）

扬州市2017~2018学年度第一学期期末调研测试试题
高 三 数 学
2018.02
全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．
注意事项：
答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．
第 一 部 分
参考公式：样本数据，，…，的方差，其中．
棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．若集合，，则____▲____．
2．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为____▲____．
3．若数据31，37，33，，35的平均数是34，则这组数据的标准差是____▲____．
4．为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100
名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．
根据此图估计该校2000名男生中体重70~80（kg）的人数为____▲____．
5．运行右边的流程图，输出的结果是____▲____．
6．从2名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为____▲____．
7．若圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为__▲___．
8．若实数，满足，则的取值范围是____▲____．
9．已知各项都是正数的等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则____▲____．
10．在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与圆没有交点，则双曲线离心率的取值范围是____▲____．
11．已知函数，则关于的不等式的解集为____▲____．
12．已知正的边长为2，点为线段中垂线上任意一点，为射线上一点，且满足，则的最大值为____▲____．21世纪教育网版权所有
13．已知函数，若存在实数使得该函数的值域为，则实数的取值范围是____▲____．
14．已知正实数满足，则的最小值为___▲___．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点，
⑴证明：平面；
⑵若平面平面，证明：．
16．（本小题满分14分）
已知在中，，且的面积为9．
⑴求；
⑵当为锐角三角形时，求的值．
17．（本小题满分14分）
如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中分别在射线和上．经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点．设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计．21教育网
⑴试将公路的长度表示为的函数，并写出的取值范围；
⑵试确定的值，使得公路的长度最小，并求出其最小值．
18．（本小题满分16分）
已知椭圆，若椭圆，则称椭圆与椭圆 “相似”．
⑴求经过点，且与椭圆 “相似”的椭圆的方程；
⑵若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭圆于，两点，且，
①若的坐标为，且，求直线的方程；
②若直线的斜率之积为，求实数的值．
19．（本小题满分16分）
已知函数，，R．
⑴若，且函数的图象是函数图象的一条切线，求实数的值；
⑵若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
⑶若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知各项都是正数的数列的前项和为，且，数列满足，．
⑴求数列、的通项公式；
⑵设数列满足，求和；
⑶是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，若不存在，说明理由．
扬州市2017~2018学年度第一学期期末调研测试试题
高 三 数 学 参 考 答 案2018.2
第一部分
1. 2． 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15．证明：⑴在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以，.………2分
在中，分别为的中点，故，所以，.………4分
又平面，平面，
所以平面 .………7分
⑵在平面内，过作于，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， .………11分
又平面，所以，
在直三棱柱中，平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以． .………14分
注：作时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣1分
16．解：⑴因为S△ABC=，又AB=6，BC=5，所以，…2分
又，所以， ………3分
当cosB=时， ………5分
当cosB=时，
所以或 .………7分
注：少一解的扣3分
⑵ 由为锐角三角形得B为锐角，所以AB=6，AC=，BC=5，
所以，
又，所以， ………9分
所以，， ………12分
所以 .………14分
17．解：⑴因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OS⊥MN．
在OSM中，因为OS=1，∠MOS=，所以SM=，
在OSN中，∠NOS=，所以SN=，
所以， .………4分
其中 ..………6分
⑵ 因为，所以，
令，则，
所以， . .………8分
由基本不等式得， ………10分
当且仅当即时取“=” . .………12分
此时，由于，故． . .………13分
答：⑴，其中
⑵当时，长度的最小值为千米 .. .………14分
注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分
18．解：⑴设椭圆的方程为，代入点得，
所以椭圆的方程为 ………3分
⑵因为椭圆的离心率为，故，所以椭圆
又椭圆与椭圆“相似”，且，所以椭圆，
设，
①方法一：由题意得，所以椭圆，将直线，
代入椭圆得，
解得，故，
所以 ………5分
又，即为中点，所以， ………6分
代入椭圆得，
即，即，所以
所以直线的方程为 ………8分
方法二：由题意得，所以椭圆，
设，则，
代入椭圆得，解得，故 ………6分
所以，
所以直线的方程为 ………8分
②方法一： 由题意得，
，即，
，则，解得………12分
所以
则
所以，即，所以 .………16分
方法二：不妨设点在第一象限，设直线，代入椭圆，
解得，则，
直线的斜率之积为，则直线，代入椭圆，
解得，则
，则，解得，
所以
则
所以，
即，即，所以
19．解：（1）由知，的图象直线过点，
设切点坐标为，由得切线方程是
此直线过点，故，解得，
所以 .………3分
（2）由题意得恒成立，
令，则，再令，则，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增，
从而在上有最小值，
所以在上单调递增， ………6分
所以，即 .………8分
注：漏掉等号的扣2分
（3）若，在上单调递增，
故在上总有零点的必要条件是，即，………10分
以下证明当时，在上总有零点。
①若，
由于，，且在上连续
故在上必有零点； ………12分
②若，，
由（2）知在上恒成立，
取，则
由于，，且在上连续
故在上必有零点，
综上得：实数的取值范围是。 .………16分
20. 解：（1） ①， ②，
②-①得：，即
因为是正数数列，所以，即，
所以是等差数列，其中公差为1，
在中，令，得
所以 ……………2分
由得，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，
所以. ……………………5分
注：也可累乘求的通项
（2），裂项得 ……………………7分
所以 ……………………9分
（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，
因为，所以数列从第二项起单调递减，
当时，，
若，则，此时无解；
若，则，因为从第二项起递减，故，所以符合要求………11分
若，则，即，不符合要求，此时无解；
当时，一定有，否则若，则，即，矛盾，
所以，此时，令，则，所以，，
综上得：存在或，，满足要求………………16分