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【新北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章《因式分解》B（学生版）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一.选择题：（每小题3分，共36分）
1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1=x（x﹣1）﹣1 B．a2﹣ab=a（a﹣b）
C．x2﹣1=x（x﹣） D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4
2．y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则k的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．4
3．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ）
A．ax﹣bx=x（a﹣b） B．x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
4．下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）
A．x2﹣y2 B．x2+x C．x2﹣y D．x2+2xy+y2
5．把（x﹣a）3﹣（a﹣x）2分解因式的结果为（ ）
A．（x﹣a）2（x﹣a+1） B．（x﹣a）2（x﹣a﹣1）
C．（x﹣a）2（x+a） D．（a﹣x）2（x﹣a﹣1）21·世纪*教育网
6．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
7．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣299 D．299
8．将 3a2m﹣6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：①3am（a﹣2n+1）②3a（am+2mn﹣1）③3a（am﹣2mn） ④3a（am﹣2mn+1），其中，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（ ）
A．2（x+y）2 B．2（x﹣y）2 C．2（x+y）（x﹣y） D．2（y+x）（y﹣x）
11．要使二次三项式x2﹣5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
12．已知a为实数，且a3+a2﹣a+2=0，则（a+1）8+（a+1）9+（a+1）10的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
二．填空题：（每小题3分，共12分）
13．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是 （填上序号）．www-2-1-cnjy-com
14．多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数）可以分解因式，则n能取的值共有 种．
15．分解因式：x2y﹣xy2= ．
16．分解因式：x2﹣3x﹣4= ．
三．解答题：（共52分）
17．将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
18．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
19．已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣，求a2b﹣ab2的值．
20．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
21．阅读材料，解决问题：
材料1：在研究数的整除时发现：能被5、25、125、625整除的数的特征是：分别看这个数的末一位、末两位、末三位、末四位即可，推广成一条结论；末n位能被5n整除的数，本身必能被5n整除，反过来，末n位不能被5n整除的数，本身也不可能被5n整除，例如判断992250能否被25、625整除时，可按下列步骤计算：21世纪教育网版权所有
∵25=52，50÷25=2为整数，∴992250能被25整除
∵625=54，2250÷625=3.6不为整数，∴992250不能被625整除
材料2：用奇偶位差法判断一个数能否被11这个数整除时，可把这个数的奇位上的数字与偶位上的竖直分别加起来，再求它们的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，则原数能被11整除，反之则不能21cnjy.com
（1）若这个三位数能被11整除，则m= ；在该三位数末尾加上和为8的两个数字，让其成为一个五位数，该五位数仍能被11整除，求这个五位数21·cn·jy·com
（2）若这个六位数，千位数字是个位数字的2倍，且这个数既能被125整除，又能被11整除，求这个数．www.21-cn-jy.com
22．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
23．材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．21教育网
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+722·1·c·n·j·y
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．【来源：21·世纪·教育·网】
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【新北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章《因式分解》B（解析版）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一.选择题：（每小题3分，共36分）
1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1=x（x﹣1）﹣1 B．a2﹣ab=a（a﹣b）
C．x2﹣1=x（x﹣） D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式积的形式，判断即可．
【解答】解：从左到右的变形属于因式分解的是a2﹣ab=a（a﹣b），
故选B
2．y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则k的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．4
【分析】观察已给的多项式，可变形为可以利用分组分解法，前三项可以用完全平方公式分解，根据式子的特点就可以确定k的值．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：原式=﹣（4x2+y2﹣4xy+k）=﹣[（2x﹣y）2+k]
显然根据平方差公式的特点，两个平方项要异号才能继续分解
又由y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，可知第二个数是1
则k=﹣1．
故选B．
3．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ）
A．ax﹣bx=x（a﹣b） B．x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A、是提取公因式，故A是；
B、十字相乘法，故B是；
C、把一个多项式转化成几个整式积，故C是；
D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D不是；
故选：D．
4．下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）
A．x2﹣y2 B．x2+x C．x2﹣y D．x2+2xy+y2
【分析】找出多项式有公因式的即可．
【解答】解：x2+x=x（x+1）．
故选B．
5．把（x﹣a）3﹣（a﹣x）2分解因式的结果为（ ）
A．（x﹣a）2（x﹣a+1） B．（x﹣a）2（x﹣a﹣1）
C．（x﹣a）2（x+a） D．（a﹣x）2（x﹣a﹣1）
【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式=（x﹣a）3﹣（x﹣a）2=（x﹣a）2（x﹣a﹣1），
故选B
6．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
=b（x﹣3）（b+1）．
故选B．
7．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣299 D．299
【分析】根据提公因式法，可得负数的奇数次幂，根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．
【解答】解：原式=（﹣2）99[（﹣2）+1]=﹣（﹣2）99=299，
故选：D．
8．将 3a2m﹣6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：
①3am（a﹣2n+1）②3a（am+2mn﹣1）③3a（am﹣2mn） ④3a（am﹣2mn+1）
其中，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】原式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：原式=3a（am﹣2mn+1），
故选D
9．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．
【解答】解：设12可分成m n，则p=m+n（m，n同号），
∵m=±1，±2，±3，
n=±12，±6，±4，
∴p=±13，±8，±7，共6个值．
故选C．
10．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（ ）
A．2（x+y）2 B．2（x﹣y）2 C．2（x+y）（x﹣y） D．2（y+x）（y﹣x）
【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y），
股癣：C．
11．要使二次三项式x2﹣5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
【分析】根据十字相乘法的操作进行判断求解．
【解答】解：二次三项式x2﹣5x+p能分解则必须有：25﹣4p≥0，即p≤，整数范围内能进行因式分解，www.21-cn-jy.com
因而只要把p能分解成两个整数相乘，且和是﹣5，这样的数有无数组，因而整数p的取值可以有无数个．
故选D．
12．已知a为实数，且a3+a2﹣a+2=0，则（a+1）8+（a+1）9+（a+1）10的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【分析】首先对a3+a2﹣a+2=0进行因式分解，转化为（a+2）（a2﹣a+1）=0，因而可得a+2=0或a2﹣a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵a3+a2﹣a+2=0，
（a3+1）+（a2﹣a+1）=0，
（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）=0，
（a+1+1）（a2﹣a+1）=0
（a+2）（a2﹣a+1）=0
∴a+2=0或a2﹣a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=﹣1，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010=1﹣1+1=1．
②当a2﹣a+1=0，因为a是实数，而△=1﹣4=﹣3＜0，所以a无解．
故选D．
二．填空题（每小题3分，共12分）
13．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是 ②③④⑤⑥ （填上序号）．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mn+n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
14．多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数）可以分解因式，则n能取的值共有 5 种．
【分析】依据平方差公式进行判断即可．
【解答】解：当n=0时，a2﹣9bn=a2﹣9=（a+3）（a﹣3）；
当n=2时，a2﹣9b2=a+3b）（a﹣3b）；
当n=4时，a2﹣9b4=（a+3b2）（a﹣3b2）；
当n=6时，a2﹣9b6=（a+3b3）（a﹣3b3）；
当n=8时，a2﹣9b8=（a+3b4）（a﹣3b4）．
故答案为：5．
15．分解因式：x2y﹣xy2= xy（x﹣y） ．
【分析】找到公因式xy，直接提取可得．
【解答】解：原式=xy（x﹣y）．
16．分解因式：x2﹣3x﹣4= （x+1）（x﹣4） ．
【分析】因为﹣4=1×（﹣4），1+（﹣4）=﹣3，所以x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）．
【解答】解：x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）．
三．解答题（共52分）
17．将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式﹣3m，进而利用十字相乘法分解因式得出答案；
（3）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
（4）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
=﹣3m（a2﹣4a+3）
=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
=4x2﹣12xy+9y2，
=（2x﹣3y）2；
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3
=（a+2b）2+2（a+2b）+1，
=（a+2b+1）2．
18．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
【分析】设另一个因式为x+a，根据多项式乘以多项式法则得出（x+3）（x+a）=x2+（3+a）x+3a，即可求出a、m．21世纪教育网版权所有
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则（x+3）（x+a）=x2+（3+a）x+3a，
∵x2﹣4x+m=（x+3）（x+a），
∴3+a=﹣4，3a=m，
∴a=﹣7，m=﹣21，
即另一个因式为x﹣7，m=﹣21．
19．已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣，求a2b﹣ab2的值．
【分析】首先把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b），
∴ab（a﹣b）=（﹣2015）×（﹣）=2016．
20．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．21教育网
【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
21．阅读材料，解决问题：
材料1：在研究数的整除时发现：能被5、25、125、625整除的数的特征是：分别看这个数的末一位、末两位、末三位、末四位即可，推广成一条结论；末n位能被5n整除的数，本身必能被5n整除，反过来，末n位不能被5n整除的数，本身也不可能被5n整除，例如判断992250能否被25、625整除时，可按下列步骤计算：21cnjy.com
∵25=52，50÷25=2为整数，∴992250能被25整除
∵625=54，2250÷625=3.6不为整数，∴992250不能被625整除
材料2：用奇偶位差法判断一个数能否被11这个数整除时，可把这个数的奇位上的数字与偶位上的竖直分别加起来，再求它们的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，则原数能被11整除，反之则不能21·cn·jy·com
（1）若这个三位数能被11整除，则m= 8 ；在该三位数末尾加上和为8的两个数字，让其成为一个五位数，该五位数仍能被11整除，求这个五位数【来源：21·世纪·教育·网】
（2）若这个六位数，千位数字是个位数字的2倍，且这个数既能被125整除，又能被11整除，求这个数．2-1-c-n-j-y
【分析】（1）奇数位分别是6和2，偶数为是m，根据题意可知6+2﹣m能被11整除，且m为0至9的数，从而可求出m的值．设该五位数为，由题意可知a+b=8，且设b﹣a=11n，从而求出a、b的值．21*cnjy*com
（2）根据题意可知：b=2e，所以e只能取0或1或2或3或4，由材料一可知：能被125整除，可知=250或500或750，然后分情况求出a、b、c、d、e的值．
【解答】解：（1）奇数位分别是6和2，偶数为是m，
∴由材料可知：6+2﹣m能被11整除，
∵0≤m≤9，且m是正整数，
∴m=8，
设该五位数为，
∴偶数位之和为：2+6+b
奇数位之和为：8+a，
∴根据题意可知：8+b﹣8﹣a=b﹣a能被11整除，
∴设b﹣a=11n，n为整数，
∵a+b=8，
∴，
∴解得：
∵0≤a≤9，0≤b≤9，
∴
∴﹣≤n≤，
∴n=0，
∴a=4，b=4，
∴该数为68244，
（2）由题意可知：b=2e，
∵0≤b≤9，
∴0≤e≤4.5，
∴e=0或1或2或3或4，
∴由材料一可知：能被125整除，
∴=125n，n为正整数，
∴1≤n≤7，
∵e=0或1或2或3或4，
∴n=2或4或6，
∴=250或500或750或000
∵偶数位之和为：5+b+d=5+2e+d
奇数位之和为：a+c+e=a+c+e，
∴|（5+2e+d）﹣（a+c+e）|=|5+e+d﹣a﹣c|能被11整除，
当=250时，
∴c=2，d=5，e=0，b=0，
∴|5+e+d﹣a﹣c|=|8﹣a|，
设|8﹣a|=11m，m为正整数，
∴a=8±11m，
∵0≤a≤9，
∴﹣≤m≤或﹣≤m≤
∴m=0
∴a=8，
∴该数为580250，
同理：当=500时，
该数为500500，
当=750时
该数为530750，
当=000，
该数为550000
综上所述，该数为580250或500500或530750或550000
故答案为：（1）8；
22．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．2·1·c·n·j·y
【解答】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）=2（x2﹣10x+9）=2x2﹣20x+18，
∴a=2，c=18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）=2（x2﹣6x+8）=2x2﹣12x+16，
∴b=﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．
23．材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．21·世纪*教育网
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72【出处：21教育名师】
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．【版权所有：21教育】
【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．
【解答】解：（1）112=112﹣32，40=72﹣32；
（2）若10是“雪松数”，
则可设a2﹣b2=10（a，b均为正整数，且a≠b），
则（a+b）（a﹣b）=10，又∵10=2×5=10×1，
∵a，b均为正整数，
∴a+b＞a﹣b，∴，或，解得：或，
与a，b均为正整数矛盾，
故10不是雪松数；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t=（10m+n）2﹣（10n+m）2=99（m2﹣n2）=99（m+n）（m﹣n），21教育名师原创作品
∴9999（m+n）（m﹣n）=1000a+100b+10b+a=1001a+11b，
整理得，（m+n）（m﹣n）=10a+b+，
∵a，b，m，n均为正整数，
∴a+b=9，
经探究，，符合题意，
∴t的值分别为：2772，5445，
t′的值分别为：8668，8338，
由材料一可知，F（t）的最大值为：862+682=12020．
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