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【新北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第五章《分式与分式方程》B（学生版）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一.选择题：（每小题3分，共36分）
1．在代数式，，，a+中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠ B．x＞ C．x＜ D．x≠﹣
3．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
4．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列分式：，，中，最简公分母是（ ）
A．5abc B．5a2b2c2 C．20a2b2c2 D．40a2b2c2
6．化简÷是（ ）
A．m B．﹣m C． D．﹣
7．化简÷的结果是（ ）
A．a2 B． C． D．
8．观察下列等式：
=1﹣，
=﹣，
=﹣，
…=﹣
将以上等式相加得到
+++…+=1﹣．
用上述方法计算：+++…+其结果为（ ）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，那么的值是（ ）
A．正数 B．零 C．负数 D．正、负不能确定
10．若实数满足1＜x＜2，则分式的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
11．若方程=1有增根，则它的增根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1
12．在今年抗震赈灾活动中，小明统计了自己所在的甲、乙两班的捐款情况，得到三个信息：
（1）甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
（2）乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数多；
（3）甲班比乙班多5人，设甲班有x人，根据以上信息列方程得（ ）
A． B．
C．×（1+）= D．
二．填空题：（每小题3分，共36分）
13．若+x=3，则= ．
14．若﹣=，则M= ．
15．“五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程 ．21世纪教育网版权所有
16．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： ．21cnjy.com
三．解答题（共52分）
17．解方程：
①的解x= ．
②的解x= ．
③的解x= ．
④的解x= ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
18．附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
求的值．
19．已知关于x的分式方程+=
（1）若方程的增根为x=1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
20．已知：ax=by=cz=1，求的值．
21．甲、乙两容器内都盛有酒精，甲有v1千克，乙有v2千克．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？
22．甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
23．在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．21教育网
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
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【新北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第五章《分式与分式方程》（解析版）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一.选择题：（每小题3分，共36分）
1．在代数式，，，a+中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【解答】解：在代数式，，，a+中，分式有和，共有2个．
故选A．
2．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠ B．x＞ C．x＜ D．x≠﹣
【分析】根据分式有意义的条件进行选择即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴2x﹣1≠0，
∴x≠，
故选A．
3．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1=0，x+1≠0，
解得：x=1．
故选：A．
4．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简分式的定义对四个分式分别进行判断即可．
【解答】解：A、原式=，所以A选项错误；
B、是最简分式，所以B选项正确；
C、原式=，所以C选项错误；
D、原式=，所以D选项错误．
故选B．
5．下列分式：，，中，最简公分母是（ ）
A．5abc B．5a2b2c2 C．20a2b2c2 D．40a2b2c2
【分析】取各分母系数的最小公倍数20，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：，，中，分母分别是5b2c，4a2b，2ac2，
故最简公分母是：20a2b2c2．
故选C．
6．化简÷是（ ）
A．m B．﹣m C． D．﹣
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣ =﹣m，
故选B．
7．化简÷的结果是（ ）
A．a2 B． C． D．
【分析】先将分子因式分解，再将除法转化为乘法后约分即可．
【解答】解：原式= =，
故选：D．
8．观察下列等式：
=1﹣，
=﹣，
=﹣，
…=﹣
将以上等式相加得到
+++…+=1﹣．
用上述方法计算：+++…+其结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题是规律性题型，基本方法是，将一个分数分为两个分数的差，因为所求式子，每一个分母的两个因数相差2，一个分数分为两个分数时，需要乘以．
【解答】解：由上式可知+++…+=（1﹣）=．故选A．
9．已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，那么的值是（ ）
A．正数 B．零
C．负数 D．正、负不能确定
【分析】解题的关键是知道=，而在公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）里有ab+bc+ac这一部分，利用相等关系，可求出ab+bc+ac的值，再在不等式左右同除以abc的值，从而求的值．21·cn·jy·com
【解答】解：∵a+b+c=0，abc=8，
∴（a+b+c）2=0，且a、b、c都不为0，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）=0，
∴ab+bc+ac=﹣（a2+b2+c2），
又∵a、b、c都不为0，
∴a2+b2+c2＞0，
∴ab+bc+ac＜0，
又∵abc=8＞0，
∴＜0，
∴＜0．
∴的值是负数．
故选C．
10．若实数满足1＜x＜2，则分式的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【分析】根据1＜x＜2，去绝对值符号|x﹣2|=﹣（x﹣2），|x﹣1|=x﹣1，|x|=x，代入化简（约分）即可得到选项．21教育网
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴原式=++，
=﹣1+1+1，
=1，
故选A．
11．若方程=1有增根，则它的增根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，所以增根可能是x=1或﹣1．21cnjy.com
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），
由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．
当x=1时，m=3，
当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，
所以增根只能是x=1．
故选：B．
12．在今年抗震赈灾活动中，小明统计了自己所在的甲、乙两班的捐款情况，得到三个信息：
（1）甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
（2）乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数多；
（3）甲班比乙班多5人，设甲班有x人，根据以上信息列方程得（ ）
A． B．
C．×（1+）= D．
【分析】人数为未知数，有各个班的捐款总数，应根据每个班每人捐款数来列等量关系．关键描述语是：乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数多．等量关系为：甲班平均每人捐款数×（1+）=乙班平均每人捐款数．www.21-cn-jy.com
【解答】解：甲班每人的捐款额为：，乙班每人的捐款额为：．
根据（2）中所给出的信息，方程可列为：×（1+）=．
故选C．
二.填空题：（每小题3分，共36分）
13．若+x=3，则= ．
【分析】将方程+x=3的两边平方，得：=9，∴=7，代入化简后的式子即可．
【解答】解：将方程+x=3的两边平方，
得：=9，
∴=7，
∵x≠0，
∴===．
故答案为．
14．若﹣=，则M= a2 ．
【分析】把方程的左边按同分母相减计算，再与右边的分式进行比较．
【解答】解：由已知得==，
∴M﹣2ab+b2=（a﹣b）2，
∴M=a2．
故答案为a2．
15．“五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程 ﹣=20 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了20元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费﹣实际每人分担的车费=20．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：原有的同学每人分担的车费应该为，而实际每人分担的车费为，方程应该表示为：﹣=20．2-1-c-n-j-y
故答案是：﹣=20．
16．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： = ．【出处：21教育名师】
【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．【版权所有：21教育】
【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．
故答案是：=．
三．解答题（共52分）
17．解方程：
①的解x= 0 ．
②的解x= 1 ．
③的解x= 2 ．
④的解x= 3 ．
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【分析】（1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4，第6个式子的解是x=5．2·1·c·n·j·y
（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n﹣1．21教育名师原创作品
【解答】解：①x=0②x=1③x=2④x=3．
（1）第⑤个方程：解为x=4．
第⑥个方程：解为x=5．
（2）第n个方程：解为x=n﹣1．
方程两边都乘x+1，得n=2n﹣（x+1）．
解得x=n﹣1．
18．附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
求的值．
【分析】先将已知条件化简，可得：（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．将所求代数式中所有y和z都换成x，计算即可．21*cnjy*com
【解答】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，【来源：21cnj*y.co*m】
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
∴==1．
19．已知关于x的分式方程+=
（1）若方程的增根为x=1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【分析】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x=1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1=0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得（m+1）x=﹣5，
（1）∵x=1是分式方程的增根，
∴1+m=﹣5，
解得：m=﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣2或x=1，
当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；
（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
20．已知：ax=by=cz=1，求的值．
【分析】根据题意可得x=，y=，z=，由此可计算出+、+及+的值，从而可得出答案．21·世纪*教育网
【解答】解：根据题意可得x=，y=，z=，
∴+=+=+=1，
同理可得：+=1；+=1，
∴=3．
21．甲、乙两容器内都盛有酒精，甲有v1千克，乙有v2千克．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？
【分析】溶质=溶液×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．
【解答】解：∵甲有v1千克，甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1，
∴甲中的纯酒精的重量为v1×=；
甲中的水的重量为v1×=；
同理可得乙中的纯酒精的重量为，水的重量为，
∴两者混合后所得液体中纯酒精与水之比为：（+）÷（+）=．
22．甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
【分析】首先根据题意，设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款x+20元，然后根据：甲公司的人数×=乙公司的人数，列出方程，求出x的值，即可求出甲、乙两公司人均捐款各多少元．21世纪教育网版权所有
【解答】解：设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款x+20元，
×=
解得：x=80，
经检验，x=80为原方程的根，
80+20=100（元）
答：甲、乙两公司人均捐款分别为80元、100元．
23．在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．21*cnjy*com
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
【分析】（1）等量关系为：甲的工效+乙的工效=甲乙合作的工效．
（2）等量关系为：甲工程队总费用=施工费用+技术员费用；不等关系式为：乙施工费用+技术员费用≤甲工程队总费用．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成建校工程需x天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x．
依题意得：．
解得：x=120．
经检验：x=120是原方程的解．
∴1.5x=180，
答：甲需180天，乙需120天．
（2）甲工程队需总费用为0.8×180+0.01×180=145.8（万元）．
设乙工程队施工时平均每天的费用为m万元．
则：120m+120×0.01≤145.8．
解得：m≤1.205．
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元．
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