1＆2 周期现象 角的概念的推广
[核心必知]
1．周期现象
在日常生活、生产实践中存在着大量的周期性变化的现象，如观察钱塘江潮的图片可以看到：波浪每隔一段时间会重复出现，这种现象就称为周期现象．
2．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
3．角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
(1)正角：按逆时针方向旋转所形成的角；
(2)负角：按顺时针方向旋转所形成的角；
(3)零角：如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角，记作α＝0°．
4．象限角
为了研究问题方便，常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
5．终边相同的角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
[问题思考]
1．“东升西落照苍穹，影短影长角不同”是周期现象吗？
提示：这里说的自然现象是指：太阳东升西落，昼夜循环．因此是周期现象．
2．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不是的．虽然始边与终边确定了，但旋转的方向和旋转的大小并没有确定，所以角也就不能确定．
?讲一讲
1．下列说法：
①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②{α|α是锐角}?{β|0°≤β<90°}；
③小于90°的角不一定是锐角；
④锐角都是第一象限的角．
其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．
[尝试解答]
选项
正误
原因
①
×
终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立
②
√
α是锐角，即0°<α<90°，故
{α|0°<α<90°}?{β|0°≤β<90°}
③
√
负角和零角都小于90°，但它们都不是锐角
④
√
锐角α满足0°<α<90°，显然是第一象限角
答案：②③④
解决此类问题的关键在于正确理解有关角的概念，还需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真时需要证明，判断命题为假则需举出反例即可．
?练一练
1．下列命题：①第一象限的角一定为正角；②第一象限的角小于第二象限的角；③相等的角终边一定相同；④若90°≤α≤180°，则α是第二象限角．其中正确的是________．
解析：①30°－360°＝－330°是第一象限的角，但它是负角，因此①是错误的；②由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0°～360°间的角，像390°是第一象限角，120°是第二象限角，显然390°>120°，所以②也是错误的；③由于角的顶点是原点，始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，因此③是正确的；④由于90°、180°都不是象限角，因此④是错误的．
答案：③
?讲一讲
2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
[尝试解答] (1)因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°，
而210°的终边在第三象限，
所以－150°是第三象限角；
(2)因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°，
而290°的终边在第四象限，
所以650°是第四象限角；
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，
所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′，
而129°45′的终边在第二象限，
所以－950°15′是第二象限角．
终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要在0°～360°范围内找与它终边相同的角，即把这个角β写成β＝α＋k×360°(0°≤α<360°)(k∈Z)的形式，判断角α是第几象限角即可．
?练一练
2．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，
从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
?讲一讲
3．(1)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合；
(2)写出终边落在x轴上的角的集合．
[尝试解答] (1)根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．
所以，第一象限角的集合：
S＝{β|β＝k×360°＋α，0°<α<90°，k∈Z}，
或S＝{β|k×360°<β
第二象限角的集合：
S＝{β|β＝k×360°＋α，90°<α<180°，k∈Z}，
或S＝{β|k×360°＋90°<β(2)在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°与180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合
S1＝{β|β＝k×360°，k∈Z}，
而所有与180°角终边相同的角构成集合
S2＝{β|β＝k×360°＋180°，k∈Z}，
于是终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝k×360°，k∈Z}∪{β|β＝k×360°＋180°，k∈Z}
＝{β|β＝k×180°，k∈Z}．
终边落在坐标轴上的角不是象限角，称为象限界角．一般地，当角的终边在某具体位置时，先找到终边在此位置的一个角α，再用β＝α＋k×360°表示后写成集合；当终边在某个范围时，先写出终边在边界位置的角，再用不等式表示此范围内的角，最后用集合表示．
?练一练
3．写出下面阴影部分角的集合．
解：由题意S1＝{α|－45°＋k×360°≤α≤45°＋k×360°，k∈Z}，
S2＝{α|135°＋k×360°≤α≤225°＋k×360°，k∈Z}，
S＝S1∪S2
＝{α|－45°＋2k×180°≤α≤45°＋2k×180°，k∈Z}∪
{α|－45°＋(2k＋1)180°≤α≤45°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}
＝{α|n×180°－45°≤α≤n×180°＋45°，n∈Z}．
故阴影部分角的集合为
{α|n×180°－45°≤α≤n×180°＋45°，n∈Z}
如果角α是第二象限的角，那么角的终边落在第几象限？
[解] 法一：∵角α为第二象限的角，
∴90°＋k×360°<α<180°＋k×360°，k∈Z.
∴30°＋k×120°<<60°＋k×120°，k∈Z.
当k＝3n时，有30°＋n×360°<<60°＋n×360°，则角是第一象限的角；
当k＝3n＋1时，有150°＋n×360°<<180°＋n×360°，则角是第二象限的角；
当k＝3n＋2时，有270°＋n×360°<<300°＋n×360°，则角是第四象限的角．
综上可得，角的终边可能落在第一、二、四象限．
法二：如图，在直角坐标系内，先将各象限分成3等份，再从x轴正半轴起，依次标上1，2，3，4.
∵角α是第二象限的角，标号为2的区域所在的象限有第一、二、四象限，
∴角的终边可能落在第一、二、四象限．
1．下列变化是周期现象的是( )
A．地球自转引起的昼夜交替变化
B．某同学每天上学的时间
C．某交通路口每小时通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
解析：选A 由周期现象的特点即周期性变化，可知A正确．
2．与－265°终边相同的角为( )
A．95° B．－95°
C．85° D．－85°
解析：选A －265°＝－360°＋95°，故－265°与95°终边相同．
3．给出下列四个命题：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角，其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D ①②显然正确；又475°＝360°＋115°，－350°＝－360°＋10°，故③④也正确．
4．已知角α、β的终边相同，则α－β的终边在________．
解析：∵α、β的终边相同，∴α＝β＋k×360°(k∈Z)．
∴α－β＝k×360°(k∈Z)．
∴α－β的终边落在x轴的非负半轴上．
答案： x轴的非负半轴上
5．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝________
解析：∵点P(0，－1)在y轴的非正半轴上，在0°～360°内满足条件的角为270°，
∴所有角α的集合为{α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}．
答案： {α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}
6．如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．
解：在题图(1)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角满足45°≤α≤210°，故满足条件的角的集合为
{α|45°＋k×360°≤α≤210°＋k×360°，k∈Z}．
在题图(2)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角满足0°≤α≤45°或315°≤α<360°，
转化为－180°～180°范围内，
终边落在指定区域的角满足－45°≤α≤45°，
故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k× 360°≤α≤45°＋k×360°，k∈Z}．
一、选择题
1．－435°角的终边所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k×360°，k∈Z，当k＝1时，α＝－75°，
∵－75°角为第四象限角，
∴－435°角的终边在第四象限．
2．若α是第二象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选A 法一：取特值α＝120°，则180°－120°＝60°，是第一象限角．
法二：180°－α＝－α＋180°，α是第二象限角，而－α与α关于x轴对称，故－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得－α＋180°，位于第一象限，如下图．
3．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k×360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k×360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k×360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k×360°，k∈Z}
解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，
故与－457°角终边相同的角的集合是
＝.
4．已知α是第四象限角，则是( )
A．第一或第三象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第四象限角
D．第二或第四象限角
解析：选D 如下图，带4的标号在第二、四象限，故是第二或第四象限角．
二、填空题
5．与2 011°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
解析：与2 011°终边相同的角为2 011°＋k×360°，k∈Z.
当k＝－5时，211°为最小正角；
当k＝－6时，－149°为绝对值最小的角．
答案：211° －149°
6．设集合M＝{α|α＝－36°＋k×90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________．
解析：对于M，当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°.
故M∩N＝.
答案：
7．若角α与β的终边互相垂直，则α－β＝________．
解析：∵角α与β的终边互相垂直，
∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．
即α＝β＋90°＋k×360°或α＝β－90°＋k×360°，k∈Z.
∴α－β＝±90°＋k×360°，k∈Z.
答案：±90°＋k×360°，k∈Z
8．终边落在阴影部分的角的集合是________．
解析：在－180°～180°范围内，阴影部分表示－45°≤α≤120°，故所示的角的集合为{α|－45°＋k×360°≤α≤120°＋k×360°，k∈Z}．
答案：
三、解答题
9．已知角α的终边与60°角的终边相同，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°范围内的角．
解：与60°角的终边相同的角的集合为S＝{α|α＝60°＋k×360°，k∈Z}，
当k＝0时，α＝60°；当k＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.所以，集合S在－360°～360°范围内的角为60°，－300°.
10. 如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ，并判定其所在的象限．
解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k×360°，k∈Z，
则θ＝，k∈Z.
∵180°<2θ＋45°<270°，∴67.5°<θ<112.5°，
即67.5°<<112.5°，k∈Z.
∴k＝3，或k＝4.
∴θ＝，或θ＝.
易知0°<<90°，90°<<180°，
故角θ的终边在第一或第二象限．
3 弧度制
[核心必知]
1．度量角的单位制
(1)角度制
规定周角的为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．
(2)弧度制
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．
2．角度与弧度的互化
(1)角度制与弧度制的互化(换算)
180°＝π_rad；
1°＝ rad＝0.017 45 rad；
1 rad＝＝57°18′＝57.30°
(2)特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
225°
270°
315°
360°
弧度
0
π
2π
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角的度数
α为角的弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝|α|r
扇形的面积
S＝
S＝lr＝|α|r2
[问题思考]
1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？
提示：相同．在公式|α|＝中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．
2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？
提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad约为115°.
3．390°可以写成360°＋吗？
提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．
?讲一讲
1．(1)把112°30′化为弧度；(2)－ rad化为度．
[尝试解答] (1)∵1°＝ rad，
∴112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.
(2)∵1 rad＝°，
∴－ rad＝－×°＝－75°.
1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝ rad化为弧度便可．
2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．
?练一练
1．将下列角度与弧度互化．
(1)20°；
(2)；
(3)8 rad
解：(1)20°＝20×＝，
(2)＝×180°＝165°.
(3)8 rad＝8×°≈8×57.30°＝458.40°.
?讲一讲
2．把下列角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．
(1)－； (2)－1 485°.
[尝试解答] (1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为
.
用弧度制表示角的集合时应注意：
(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数；
(2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π)
(3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位．
?练一练
2．(1)用弧度表示终边落在x轴的非正、非负半轴上，y轴的非正、非负半轴上，x轴上，y轴上的角的集合；
(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合．
解：(1)终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为
{β|β＝2kπ＋π，k∈Z}；
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为
{β|β＝2kπ，k∈Z}；
终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为
；
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为
{β|β＝2kπ＋，k∈Z}；
所以，终边落在x轴上的角的集合为{β|β＝kπ，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合为
.
(2)第一象限角为；
第二象限角为；
第三象限角为；
第四象限角为.
?讲一讲
3．(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积．
(2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
[尝试解答] (1)∵α＝30°＝，
∴l＝|α|×r＝×1＝(cm)
S＝|α|×r2＝××12＝(cm2)
故扇形的弧长为 cm，面积为 cm2.
(2)设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，由题意得
消去l并整理得，r2－3r＋2＝0，
解得r＝1或r＝2.
当r＝1时，l＝4，圆心角α＝＝＝4；
当r＝2时，l＝2，
圆心角α＝＝＝1.
故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．
1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．
2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想．
?练一练
3．扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？
解：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，
∵S＝(C－2R)×R＝－R2＋R
＝－(R－)2＋()2，
∴当R＝，即θ＝＝2时，扇形有最大面积.
用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)．
[错解] (1)图①中，S1＝{θ|2kπ＋330°<θ<2kπ＋75°，k∈Z}；
(2)图②中，S2＝{θ|2kπ＋225°<θ<2kπ＋135°，k∈Z}；
(3)图③中，S3＝{θ|2kπ＋30°<θ<2kπ＋90°或2kπ＋210°<θ<2kπ＋270°，k∈Z}．
[错因] 上面解答犯了两个错误：一是角的大小没分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其实写出的集合S1，S2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用．
[正解] (1)图①中以OB为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，
∴所求集合为.
(2)图②中以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－，而135°＝，
∴所求集合为.
(3)图③中，∵30°＝，210°＝，
∴所求集合为∪
，
即∪
.
即.
1．下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度
B．1度的角是圆周的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角
C．根据弧度的定义，180°一定等于π rad
D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关
解析：选D 根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误．
2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵1°＝弧度，
∴1 920°＝1 920× rad＝ rad.
3．－的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D －＝－2π－，因为－是第四象限角，所以－是第四象限角．
4．已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．
解析：由l＝|α|×r，得弧度数为4.
答案：4
5．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm，则扇形的面积是________．
解析：设扇形的弧长为l.
∵72°＝72× rad＝ rad，
∴l＝|α|×r＝×20＝8π(cm)，
∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2)．
答案： 80π cm2
6．(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解：(1)∵－1 480°＝－＝－＝－10π＋，
又0≤<2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
(2)由(1)可知α＝.∵β与α终边相同，
∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0]，令k＝－1，则β＝－，令k＝－2，则β＝－，∴β的值是－，－.
一、选择题
1．下列命题中，真命题是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
解析：选D 由弧度制定义知D正确．
2．α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵－π<－2<－，∴α的终边落在第三象限，故选C.
3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了2周，其弧度数为－(2π×)＝－ rad.
4．设集合A＝，B＝
，则集合A与B之间的关系为( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A∩B＝?
解析：选C 对于集合A，当k＝2n(n∈Z)时，x＝2nπ＋，当k＝2n＋1(n∈Z)时，x＝2nπ＋π－＝2nπ＋
∴A＝B，故选C.
二、填空题
5．在半径为2的圆内，弧长为的圆心角的度数为________．
解析：设所求的角为α，角α＝＝＝60°.
答案：60°
6．终边落在直线y＝x上的角的集合用弧度表示为
S＝________．
解析：S＝∪
＝∪{α|α＝＋(2k＋1)π，k∈Z}＝.
答案：{α|α＝＋nπ，n∈Z}
7．已知θ∈，则角θ的终边所在的象限是________．
解析：当k为偶数时，α＝2nπ＋，终边在第一象限；当k为奇数时，α＝(2n＋1)π－＝2nπ＋π，终边在第二象限．
答案：第一、二象限
8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad，则它的周长为________．
解析：设扇形的弧长为l，半径为r，
则由S＝αr2＝25，得r＝5，l＝αr＝10，
故扇形的周长为20.
答案：20
三、解答题
9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
解：(1)图①中，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；
以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)．
∴阴影部分内的角的集合为
{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)图②中，以OA为终边的角为＋2kπ，k∈Z；
以OB为终边的角为＋2kπ，k∈Z.
不妨设右边阴影部分所表示集合为M1，左边阴影部分所表示集合为M2，
则M1＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}，
M2＝{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
∴阴影部分所表示的集合为：
M1∪M2＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}∪
{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}＝
{α|2kπ<α<＋2kπ或＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
10．如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．
解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t s，
则t×＋t×|－|＝2π，
所以t＝4(s)，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在×4＝的位置，则xc＝－＝－2，yc＝－＝－2，所以C点的坐标为(－2，－2)．
P点走过的弧长为×4＝，
Q点走过的弧长为×4＝.
第1课时 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性
[核心必知]
1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义
(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．
(2)正弦、余弦函数的定义：
如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α．
(3)正弦、余弦函数的定义域，值域：
通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sin_x和y＝cos_x．它们的定义域为R，值域为[－1，1]．
(4)正弦函数、余弦函数值的符号
象限
三角
函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
2.周期性
(1)周期函数
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，
其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系
①sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；
②cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)．
[问题思考]
1．等式sin(30°＋120°)＝sin 30°是否成立？如果这个式子成立，那么能否说明是正弦函数y＝sin x的周期？
提示：根据三角函数的定义sin 150°＝sin 30°＝成立，但不能说是y＝sin x的周期，在周期函数定义中，对每一个x都有f(x＋T)＝f(x)，则T是周期，而等式sin(x＋120°)＝sin x，不是对任意的x成立．如x＝0°时sin 120°≠sin 0°.
2．公式sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z；cos(2kπ＋x)＝cos x，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？
提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．
(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．
?讲一讲
1．已知角α的终边在射线y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦值和余弦值．
[尝试解答] 法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则y＝2x(x＞0)．又因为x2＋y2＝1，
所以于是sin α＝y＝，cos α＝x＝.
法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x＞0)，则
OP＝＝＝|x|，
又因为x＞0，所以OP＝x.
所以sin α＝＝＝；
cos α＝＝＝.
求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法：
(1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义．
(2)利用正、余弦函数定义的推广：若P(x，y)是角α终边上的任意一点，则sin α＝，cos α＝
?练一练
1．[多维思考] 本讲中，把“射线y＝2x(x>0)”改为“直线y＝2x”，求sin α，cos α.
解：设直线y＝2x与单位圆的交点为P(x，y)
则解得P(，)或(－，－)．
当x>0时，P(，)，则sin α＝，cos α＝；
当x<0时，P(－，－)，
则sin α＝－，cos α＝－.
?讲一讲
2．(1)判断符号：sin 340°cos 265°；
(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限．
[尝试解答] (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°<0，cos 265°<0.
∴sin 340°cos 265°>0.
(2)∵sin 2α>0，
∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ<α当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；
当k为奇数时，设k＝(2m＋1)(m∈Z)．
有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．
∴α为第一或第三象限角．
又由cos α<0，可知α为第三象限角．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y轴的右侧时，cos α>0.
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ?练一练
2．已知sin αcos α<0，试写出角α所适合的集合．
解：∵sin αcos α<0.
∴或
∴α是第二或第四象限的角．
∴角α的集合为.
?讲一讲
3．求下列三角函数值．
(1)cos(－1 050°)；
(2)sin；
(3)log2(4sin 1 110°)．
[尝试解答] (1)∵－ 1 050°＝－3×360°＋30°，
∴－1 050°的角与30°的角终边相同．
∴cos(－1 050)°＝cos 30°＝.
(2)∵－＝－4×2π＋，
∴角－与角的终边相同．
∴sin＝sin ＝.
(3)∵sin 1 110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin 30°＝，
∴log24sin 1 110°＝log2＝log22＝1.
利用公式sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．一般步骤是：
(1)把角β写成β＝2kπ＋α(k∈Z)形式；
(2)求出角α的正弦或余弦；
(3)得到角2kπ＋α(k∈Z)的正弦或余弦．
?练一练
3．求下列三角函数值．
(1)sin(－1 020°)；(2)cos.
解：(1)∵－1 020°＝－3×360°＋60°，
∴－1 050°的角与60°的角的终边相同．
∴sin(－1 050°)＝sin 60°＝.
(2)∵－＝－＋＝－3×2π＋，
∴－角的终边和角的终边相同；
∴cos＝cos＝.
已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sin α＋3cos α的值．
[错解一] 取直线上一点(1，－3)，
则sin α＝－3，cos α＝1，
∴2sin α＋3cos α＝2×(－3)＋3×1＝－3.
[错解二] 取直线y＝－3x与单位圆的交点
得sin α＝，cos α＝，
∴2sin α＋3cos α＝－.
[错因] 错解一，犯了两个错误，一是对正、余弦函数的定义理解有误．定义中的(x，y)须是α终边与单位圆的交点坐标，不是任意点。二是α的终边在直线y＝－3x上包括两种情况，在射线y＝－3x(x≥0)上或在射线y＝－3x(x≤0)上，而错解中漏掉了一种情况．
错解二只考虑了y＝－3x(x≥0)时的情形，没考虑y＝－3x(x≤0)时的情况．
[正解] 设α终边与单位圆交点为(x，y)；
则解得或
∴2sin α＋3cos α＝－
或2sin α＋3cos α＝.
1．已知P(1，－5)是终边α上一点，则sin α等于( )
A．1 B．－5 C．－ D.
解析：选C ∵x＝1，y＝－5，
∴r＝，
∴sin α＝＝－.
2．cos 的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D cos ＝cos＝cos ＝.
3．已知θ是第三象限角，则( )
A．sin θ>0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ<0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
解析：选D 由三角函数值在各象限的符号，易知D正确．
4．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________．
解析：f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.
答案：1
5．sin 390°＝________．
解析：∵390°＝360°＋30°，
∴sin 390°＝sin 30°＝.
答案：
6．已知角α的终边经过点P(a，a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦．
解：|OP|＝＝2|a|，
当a>0时，sin α＝＝，cos α＝＝，
当a<0时，sin α＝＝－，cos α＝＝－.
一、选择题
1．如果－315°角的终边过点(2，a)，则a等于( )
A．－2 B．2
C．－ D．±2
解析：选B ∵cos(－315°)＝cos 45°＝，
∴＝，解得a＝±2，
又－315°是第一象限角，
∴a＝2
2．cos 等于( )
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：选B cos ＝cos ＝cos ＝.
3．已知角α的终边过点(x，－6)，若sin α＝－，则x等于 ( )
A. B．－
C．± D．±
解析：选D sin α＝＝－，解得x＝±.
4．设A是第三象限角，且|sin |＝－sin ，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选D ∵A是第三象限角，∴是第二、四象限角．又|sin |＝－sin ≥0，∴sin ≤0，易知为第四象限角．
二、填空题
5．sin (－330°)＝________．
解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin 30°＝.
答案：
6．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是________．
解析：∵cos x＝|cos x|，∴cos x≥0，
∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
答案：{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
7．若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则
sin α＝________，cos α＝________．
解析：
如右图，点P(2m，－3m)(m<0)在第二象限，且r＝－m，故有sin α＝＝＝.
cos α＝＝＝.
答案： －
8．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________．
解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60° cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
答案：1
三、解答题
9．已知f(x＋3)＝－，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且6是它的一个周期．
10．已知cos α<0，sin α<0.
(1)求角α的集合；
(2)判断sin，cos的符号．
解：(1)由cos α<0，sin α<0可知，α的终边落在第三象限．
∴角α的集合为{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}．
(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋<①当为第二象限角时，sin >0，cos<0；
②当为第四象限角时，sin <0，cos>0.
第2课时 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式
[核心必知]
正弦函数、余弦函数的诱导公式
公式(一)
sin(2kπ＋α)＝sin_α，cos(2kπ＋α)＝cos_α(k∈Z)
公式(二)
sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α
公式(三)
sin(2π－α)＝－sin_α，cos(2π－α)＝cos_α
公式(四)
sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α
公式(五)
sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α
公式(六)
sin＝cos_α，cos＝－sin_α
公式(七)
sin＝cos_α，cos＝sin_α
[问题思考]
1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？
提示：公式(一)～(五)中，左、右两边的函数名称相同；公式(六)、(七)中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．
2．公式右边的正、负号有规律吗？
提示：有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．
3．公式(二)反映了三角函数的什么性质？
提示：由sin(－α)＝－sin α知y＝sin x是奇函数；
由cos(－α)＝cos α知y＝cos x是偶函数．
?讲一讲
1．求下列三角函数值．
(1)cos 945°；(2)sin ；
(3)cos；(4)sin.
[尝试解答] (1)cos 945°＝cos(2×360°＋225°)
＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－.
(2)sin ＝sin＝sin ＝sin
＝－sin ＝－.
(3)cos＝cos＝－cos
＝－＝.
(4)sin＝－sin
＝sin ＝.
1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k×±α(k∈Z)的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．
“奇变偶不变”解释如下：α前面加的是k×，当k是奇数时，得α的异名三角函数值；当k是偶数时，得α的同名三角函数值．
“符号看象限”解释如下：由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k×±α(k∈Z)所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．
2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：
记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)．
?练一练
1．求下列各式的值：
(1)sin 495°cos(－675°)；
(2)sincos
解：(1)sin 495°cos(－675°)
＝sin(135°＋360°)cos 675°
＝sin 135°cos 315°
＝sin(180°－45°)cos(360°－45°)
＝sin 45°cos 45°
＝×＝.
(2)sincos
＝－sin cos
＝－sincos
＝－sin cos
＝－sincos
＝－sin sin
＝－×＝－.
?讲一讲
2．(1)已知cos＝m(|m|≤1)，
求cos，sin的值．
(2)已知sin＝－，求cos(5π＋α)的值．
[尝试解答] (1)cos
＝cos
＝－cos＝－m.
sin＝sin
＝cos＝m.
(2)∵sin＝－
∴cos α＝－
∴cos(5π＋α)
＝cos[4π＋(π＋α)]
＝cos(π＋α)
＝－cos α
＝－＝.
解决条件求值问题的常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．
常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
常见的互补关系有：＋θ与－θ；＋θ与－θ，－θ与＋θ等．
?练一练
2. 已知sin＝，求cos的值．
解：∵π－α＝3π＋
∴cos＝cos
＝－cos
又∵＋＝.
∴cos＝－cos
＝－sin＝－.
?讲一讲
3．化简下列各式：
(1).
(2)cos＋cos.
[尝试解答] (1)原式＝
＝－1.
(2)∵＋＝2nπ，
∴原式＝cos＋cos
＝2cos＝2cos.
①当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝2cos
＝－2cos；
②当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝2cos＝2cos.
故原式＝
1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α时，要注意对k的奇偶性进行讨论．
?练一练
3．设k为整数，化简：.
解：法一：当k为偶数时，不妨设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝
＝
＝＝－1；
当k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)，
同理，可得原式＝－1.
法二：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，
[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，
得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)＝sin[(k＋1)π＋α]，
cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]
＝－cos(kπ＋α)，
所以原式＝－1.
若cos θ＝，则＋
的值为________．
[错解] 原式＝＋＝0.
[错因] 混淆了诱导公式，应有sin＝sin)＝－sin－cos θ，sin＝cos θ.
cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ.
[正解] 原式＝＋
＝＋＝.
因为cos θ＝，
所以原式＝＝3.
[答案] 3
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( )
A．sin＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α
C．cos(π＋α)＝cos α D．cos(－α)＝cos α
答案：D
2．cos 的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－.
3．(广东高考)已知sin(＋α)＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C sin(＋α)＝sin[2π＋(＋α)]＝sin(＋α)＝cos α＝.
4．已知cos(π＋α)＝－，则sin＝________．
解析：∵cos(π＋α)＝－，∴cos α＝.
∴sin＝cos α＝.
答案：
5．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________．
解析：∵508°＋212°＝720°
∴cos(212°＋α)＝cos[2×360°－(508°－α)]
＝cos(508°－α)＝.
答案：
6．求sin cos sin 的值．
解：原式＝sin cos(2π＋)sin(4π＋)
＝cos sin
＝cos(π＋)sin
＝×＝××＝.
一、选择题
1．cos 150°的值是( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.
2．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，
∴＝－，∴a＝±.
又∵600°角的终边在第三象限∴a＝－.
3．在△ABC中，下列4个等式恒成立的是( )
①sin(A＋B)＋sin C＝0，②cos(A＋B)＋cos C＝0，
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝0，④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝0
A．①② B．②③ C．③④ D．①②
解析：选B 对于②，cos(A＋B)＋cos C＝cos(180°－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0，成立．对于③，sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(180°－C)]＋sin 2C＝sin(360°－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0，成立．
4．下列三角函数中，与sin数值相同的是( )
①sin ②cos
③sin ④cos
⑤sin，(n∈Z)
A．①② B．①②③ C．②③⑤ D．①③④
解析：选C ①中n为偶数时，sin＝－sin；
②中cos(2nπ＋)＝cos＝sin；
③中sin＝sin ；
④中cos＝－cos＝－sin ；
⑤中sin[(2n＋1)π－]＝sin(π－)＝sin .
故②③⑤正确．
二、填空题
5．sin＝________．
解析：sin＝－sin ＝－sin
＝－sin＝sin ＝.
答案：
6．化简＝________．
解析：原式＝＝－cos α.
答案：－cos α
7．已知sin＝，则cos的值等于________．
解析：∵sin＝，∴sin(－α)＝－，
又∵＋＝，∴cos(＋α)＝cos＝sin＝－.
答案：－.
8．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 011)＝2，则f(2 012)＝________.
解析：∵f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝2，
∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－2.
答案：－2
三、解答题
9．求值：.
解：原式＝
＝
＝
＝
＝－＝－.
10．已知f(α)＝，
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α；
(2)f＝－cos
＝－cos
＝－cos＝－cos＝－.
第1课时 正弦函数的图像
[核心必知]
1．从单位圆看出正弦函数y＝sin x有以下性质
(1)定义域是全体实数；
(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]；
(3)它是周期函数，其周期是2π；
(4)在[0，2π]上的单调性为：在上是增加的；在上是减少的；在上是减少的；在上是增加的．
2．正弦线和正弦函数的图像
(1)正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称线段MP为角α的正弦线．
(2)“五点法”作图
根据正弦曲线的基本形状，描出五个点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像就基本确定了．这种画正弦曲线的方法为“五点法”．
[问题思考]
1．如何利用正弦线画正弦曲线？
提示：其过程可以概括为以下两点：
首先等分单位圆周、等分区间[0，2π]和正弦线的平移，进而得到函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图像．
其次将函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，就得到正弦曲线．
2．“五点法”作图中的五个点分别具有怎样的特征？
提示：这五个点分别是函数图像上的最高点，最低点以及图像与x轴的交点(平衡点)．
3．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像的变化趋势是怎样的？
提示：
其中，平衡点是正弦曲线凹凸方向改变的位置．
最高点和最低点是正弦曲线上升或下降变化趋势改变的位置．
?讲一讲
1．用五点法画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的简图．
[尝试解答] 画图步骤：①列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：，，，，.
③连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，得到函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的简图，如图所示．
用五点法作函数y＝Asin x＋b，(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
画图中一定要找准这五个关键点，这是“五点法”画图的关键所在．
练一练
1．用五点法画出函数y＝－2sin x，x∈[0，2π]的简图．
解：列表，描点得y＝－2sin x，x∈[0，2π]的图像(如图).
x
0
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin x
0
－2
0
2
0
?讲一讲
2．作出y＝sin x的图像，并通过变换作出函数y＝|sinx|的图像．
[尝试解答] 由五点法作图可得y＝sin x(x∈R)的部分图像如图：
y＝|sin x|＝(k∈Z)，
比较y＝sin x可知，当2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z时，两个函数图像重合；当(2k＋1)π≤x≤(2k＋2)π，k∈Z时，两个函数图像关于x轴对称．
∴y＝|sin x|的图像如图：
对于某些函数的图像，如y＝sin x＋1，y＝－sin x，y＝|sin x|，y＝sin|x|等，可通过图像变换，如平移变换、对称变换等画图．
?练一练
2．画出y＝sin x的图像，并通过变换画出函数y＝sin|x|的图像．
解：由五点法可得y＝sin x(x∈R)的部分图像如下图：
当x≥0时，y＝sin|x|＝sin x，易知y＝sin|x|的图像与y＝sin x图像重合，而y＝sin|x|是偶函数，图像关于y轴对称，只需把y＝sin x的图像y轴右边的部分关于y轴对称过去即可得到x<0时，y＝sin|x|的图像，所以y＝sin|x|的图像如图所示．
?讲一讲
3．画出函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图像．
(1)试写出y>－1及y<－1的自变量的取值范围；
(2)判断其函数图像与直线y＝－的交点个数．
[尝试解答]
函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图像如图．
(1)根据图像可知，图像在y＝－1上方的部分y>－1.在y＝－1下方的部分y<－1，所以当x∈(0，π)时，y>－1，当x∈(π，2π)时，y<－1.
(2)画出直线y＝－，得知有两个交点．
通过三角函数的图像，直观解简单的三角不等式，分析交点个数，简捷、明快，体现了数形结合思想的重要应用，而准确作出图像是解答该类问题的关键所在．
?练一练
3．画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，并根据图像写出使sin x≤－成立的x的集合．
解：图像如图，由图可知，
当x＝或x＝时，
y＝－，即sin x＝－，
当≤x≤时sin x≤－.
故使sin x≤－成立的x的集合为.
当a为何值时方程sin x＝a，x∈[0，2π]，a∈R：
(1)只有一个实根？
(2)恰有两个实根？
(3)恰有三个实根？
(4)没有实根？
[巧思] 方程sin x＝a实根的个数就是函数y＝sin x与y＝a的图像交点的个数，因此用数形结合法能快速地解决此问题．
[妙解] 作出直线y＝a与函数y＝sin x(x∈[0，2π])的图像(如图所示)，由图像可知．
(1)当a＝1或－1时，直线与函数图像有一个交点，方程只有一个实根．
(2)当－1(3)当a＝0时，直线与函数图像有三个交点，方程有三个实根．
(4)当a<－1或a>1时，直线与函数图像无交点，方程无实根．
1．y＝－sin x－1的图像的大致形状为( )
答案：A
2．对于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是( )
A．向左右无限伸展
B．与直线y＝1有无数个交点
C．与y轴有1个交点
D．关于y轴对称
答案：D
3．用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，下列不是关键点的是( )
A. B.
C．(π，0) D．(2π，0)
解析：选A y＝sin x，x∈[0，2π]的五个关键点是(0，0)、(，1)、(π，0)、(，－1)、(2π，0)．
4．方程x－sin x＝0，x∈的根的个数为________．
解析：在同一坐标系中作出y＝x与y＝sin x的图像
由图可知，y＝x与y＝sin x的图像只有一个交点(0，0)，故方程x－sin x＝0，x∈的根的个数为1.
答案：1
5．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图像与直线y＝有________个交点．
解析：画出函数y＝1＋sin x和y＝的图像，得知有两个交点．
答案：两
6．用五点法画出函数y＝3－sin x，x∈[0，2π]的图像．
解：(1)列表，如表所示：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示
一、选择题
1．函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图像是( )
解析：选B y＝sin xy＝－sin xy＝1－sin x.
2．下列各组函数图像相同的是( )
A．y＝sin x与y＝sin(x＋π)
B．y＝sin(x－)与y＝sin(－x)
C．y＝sin x与y＝－sin x
D．y＝sin(x＋2π)与y＝sin x
解析：选D ∵sin(x＋2π)＝sin x，
∴y＝sin(x＋2π)与y＝sin x的图像相同．
3．方程x2＝sin x的根的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C
在同一平面直角坐标中画出y＝x2与y＝sin x的图像，由图可知有两个交点．
4．函数y＝－3sin x＋2的最小值为( )
A．2 B．－1
C．－2 D．5
解析：选B 因为sin x的最大值为1，所以y＝－3sin x＋2的最小值为－3＋2＝－1.
二、填空题
5．点(，)在函数f(x)＝asin x的图像上，则f()＝________．
解析：∵＝asin ＝a
∴a＝2，f(x)＝2sin x，
∴f()＝2sin ＝2.
答案：2
6．函数y＝sin |x|，x∈[－π，π]的图像与直线y＝有____个不同的交点．
解析：数形结合知有4个交点．
答案：4
7．若函数y＝sin x(－≤x≤)的图像与直线y＝－围成一个封闭的平面图形，则这个图形的面积是________．
解析：作出图形(如图)
由图形可知，所求面积为＝π.
答案：π
8．在[0，2π]上，满足sin x≥的x的取值范围是________．
解析：如下图，在同一坐标系内作出[0，2π]上y＝sin x和y＝的图像，知满足sin x≥的x的取值范围是.
答案：
三、解答题
9．画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图．
解：步骤：①列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y
－1
1
－1
－3
－1
②描点：在平面直角坐标系中描出(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1)五个点．
③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图所示．
10．求方程lg x＝sin x实根的个数．
解：在同一坐标系内画出y＝lg x，y＝sin x的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数．由图像知方程有三个实根．
第2课时 正弦函数的性质
[核心必知]
正弦函数y＝sin x的性质
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期
T＝2π
单调性
在(k∈Z)上是增加的；
在(k∈Z)上是减少的
最值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1
[问题思考]
1．“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗？为什么？
提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增加而增加的．
2．正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？
提示：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y＝sin x，(x∈R)的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)，有无数条；对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)，有无穷多个．
?讲一讲
1．求函数y＝lg的定义域．
[尝试解答] 要使函数y＝lg有意义，
则sin x－>0，即sin x>.
作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像．
如图，由图像可以得到满足条件的x的集合为
，k∈Z.
∴函数y＝lg的定义域为
，k∈Z.
1．求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须满足：
(1)使三角函数有意义．
(2)分式形式的分母不等于零．
(3)偶次根式的被开方数不小于零．
(4)对数的真数大于0.
2．求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图像直观地求得解集．
?练一练
1．求函数y＝的定义域．
解：要使函数有意义，必须使－3sin x≥0.即sin x≤0，
∴(2k－1)π≤x≤2kπ，k∈Z.
∴函数的定义域为[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z.
?讲一讲
2．求下列函数的值域．
(1)y＝2－sin x；
(2)y＝lg sin x；
(3)y＝sin2x－4sin x＋5，x∈.
[尝试解答] (1)正弦函数y＝sin x的值域为[－1，1]．所以函数y＝2－sin x的值域为[1，3]．
(2)∵0∴y＝lg sin x≤0.
∴函数y＝lgsin x的值域为(－∞，0]．
(3)令t＝sin x，由x∈，得0≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.
当t＝0，即sin x＝0时，最大值为5，
当t＝1，即sin x＝1时，最小值为2.
∴该函数的值域是[2，5]．
1．对于形如f(x)＝asin x＋b的函数的值域可以利用正弦函数图像或有界性直接解决．
2．对于形如f(x)＝Asin2x＋Bsin x＋C的函数，可用配方法求其值域，注意当x有具体限制范围时，需要考虑sin x的范围．
?练一练
2. 求函数y＝a－2sin x(a∈R)取得最大值、最小值时x的集合．
解：当sin x＝1时，y最小，此时x＝＋2kπ，k∈Z，
当sin x＝－1时，y最大，此时x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以，函数y＝a－2sin x取得最大值时x的集合为，
取得最小值时x的集合为.
?讲一讲
3．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)．
[尝试解答] (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
f(－x)＝－(－x)sin(－x)
＝－xsin x＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)由?－1{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
?练一练
3．判断函数y＝的奇偶性．
解：函数应满足1＋sin x≠0，∴函数的定义域为.∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
?讲一讲
4．求下列函数的单调增区间．
(1)y＝2sin(－x)；
(2)y＝a＋bsin x(a，b∈R且b≠0)．
[尝试解答] (1)y＝2sin(－x)＝－2sin x，
∴函数y＝2sin(－x)的递增区间就是函数
u＝2sinx的递减区间．
∴函数y＝2sin(－x)的递增区间为
(k∈Z)．
(2)∵y＝sin x的单调递增区间为
(k∈Z)，减区间为(k∈Z)．
∴当b>0时，y＝a＋bsin x的单调递增区间为
(k∈Z)；
当b<0时，y＝a＋bsin x的单调增区间为
(k∈Z)．
求形如y＝a＋bsin x的函数的单调区间，只需考察y＝sin x的单调区间，当b>0时，y＝a＋bsin x与y＝sin x的单调区间相同，当b<0时，则y＝sin x的单调递增(减)区间是y＝a＋bsin x的递减(增)区间．
?练一练
4．求函数y＝2－sin x的单调区间．
解：∵y＝2－sin x＝，
∴所求函数的单调性与y＝sin x的单调性正好相反．
∴所求函数的单调增区间是，(k∈Z)．单调减区间是，(k∈Z).
求函数y＝sin2x－4sin x－1的值域．
[错解] ∵y＝sin2x－4sin x－1＝(sin x－2)2－5，
∴y≥－5.
∴此函数的值域为[－5，＋∞)．
[错因] 在探讨y＝(sin x－2)2－5的值域时，误认为sin x∈R，而忽略了正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.这也是此类问题的常见错误．
[正解] ∵y＝sin2x－4sin x－1
＝(sin x－2)2－5，
且－1≤sin x≤1
∴当sin x＝－1时，函数的最大值是4.
当sin x＝1时，函数的最小值是－4.
∴此函数的值域为[－4，4]．
1．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像的一条对称轴是( )
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
答案：C
2．函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是( )
A. B．π C. D．2π
答案：D
3．(天津高考)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－ C. D．0
解析：选B 由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
4．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．
解析：f(－x)＝sin2(－x)＋1＝sin2x＋1＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
答案：偶函数
5．设函数y＝sin(x－)取得最大值的x的集合是________．
解析：当且仅当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，y＝sin(x－)取最大值．故x的集合为.
答案： {x|x＝＋2kπ，k∈Z}
6．比较下列各组数的大小．
(1)sin 2 012°和cos 160°；(2)sin 和cos ；
解：(1)sin 2 012°＝sin(360°×5＋212°)＝sin 212°＝sin(180°＋32°)＝－sin 32°.
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵sin 32°－sin 70°，
即sin 2 012°>cos 160°.
(2)cos ＝sin ，又<<＋<，
y＝sin x在上是减少的，
∴sin >sin＝cos ，即sin >cos .
一、选择题
1．函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是( )
A．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的
B．在上是增加的，在和上是减少的
C．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的
D．在∪上是增加的，在上是减少的
解析：选B 由正弦函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的图像，可知它在上是增加的，在和上是减少的．
2．函数y＝|sin x|的最小正周期是( )
A．2π B．π C. D.
解析：选B 画出函数y＝|sin x|的图像，易知函数y＝|sin x|的最小正周期是π.
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，
又∵y＝sin x在上是增加的，
∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选D ∵f(x)的最小正周期为π，
∴f()＝f(－)＝f()＝sin＝.
二、填空题
5．y＝a＋bsin x的最大值是，最小值是－，则a＝________，b＝________．
解析：由得a＝，b＝±1.
答案： ±1
6．函数y＝的定义域是________．
解析：要使有意义，则有1＋sin x≠0.
∴x≠－＋2kπ，k∈Z
答案：{x|x≠－＋2kπ，k∈Z}．
7．函数f(x)＝x3＋sin x＋1，(x∈R)．若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
解析：∵f(a)＝2，∴a3＋sin a＋1＝2.∴a3＋sin a＝1.
∴f(－a)＝(－a)3＋sin (－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0.
答案：0
8．函数f(x)＝3sin x－x的零点个数为________．
解析：由f(x)＝0得sin x＝画出y＝sin x和y＝的图像如右图，可知有3个交点，则f(x)＝3sin x－x有3个零点．
答案：3
三、解答题
9．求函数y＝2sin(x＋)，x∈的值域．
解：∵x∈，∴x＋∈.
则当x＋＝，即x＝时，y最大为2，
当x＋＝即x＝时，y最小为1.
∴函数y＝2sin(x＋)，x∈的值域是[1，2]．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出这个函数的图像；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
解：(1)y＝sin x＋|sin x|
＝
其图像如图所示．
(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为
(k∈Z)．
6 余弦函数的图像与性质
[核心必知]
余弦函数的图像与性质
函数
y＝cos x
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
单调性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
[问题思考]
1．如何由y＝cos x，x∈R的图像得到y＝sin x，x∈R的图像？
提示：只需将y＝cos x，x∈R的图像向右平移个单位即可得到y＝sin x，x∈R的图像，并且方法不唯一．
2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
提示：不是．余弦函数y＝cos x在[0，]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝，cos 390°＝.却有cos 60°3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？
提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x＝kπ(k∈Z)；它的对称中心有无数个，其坐标为(kπ＋，0)(k∈Z)．
?讲一讲
1．画出函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图像．
[尝试解答] 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
y
0
1
2
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来
如图所示：
1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．形如y＝acos x＋b，x∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像．
?练一练
1．用“五点法”画出y＝3＋2cos x(x∈[0，2π])的图像．
解：(1)列表
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos x
5
3
1
3
5
(2)描点，连线，如图所示：
?讲一讲
2．(1)求下列函数的定义域．
①y＝；
②y＝log(2cos x－)．
(2)求函数y＝3－2cos(2x－)，x∈的值域．
[尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有－cos x≥0，
∴cos x≤.可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故所求函数的定义域为
.
②要使函数有意义，则有2cos x－>0，
∴cos x>，故所求定义域为
.
(2)∵≤x≤，
∴0≤2x－≤.
∵y＝cos x在[0，π]上单调递减，
∴－≤cos(2x－)≤1，
∴1≤3－2cos(2x－)≤4，
故函数的值域为[1，4]．
1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．
2．求三角函数的值域，要充分利用sin x和cos x的有界性，对于x有限制范围的，可结合图像求值域．
?练一练
2. 求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最值．
解：y＝3cos2x－4cos x＋1＝3(cos x－)2－.
∵x∈，cos x∈，
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.
?讲一讲
3．(1)判断函数f(x)＝cos(π－x)－xcos(－x)的奇偶性．
(2)求函数y＝cos(－x)的单调减区间．
[尝试解答] (1)∵f(x)＝cos(π－x)－xcos(－x)
＝－cos x－xsin x，
∴f(－x)＝－cos(－x)－(－x)sin(－x)
＝－cos x－xsin x＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)y＝cos(－x)＝cos(x－)，
令2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴函数y＝cos的单调减区间是
k∈Z.
1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f(－x)与f(x)的关系确定奇偶性．
2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．
?练一练
3．比较下列各组值的大小．
(1)cos与cos ；
(2)sin 194°与cos 160°.
解：(1)cos
＝cos
＝cos
＝－cos .
而cos ＝－cos
∵0<<<.
∴cos >cos .
∴cos(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°)
＝－sin 14°＝－cos 76°，
cos 160°＝cos(180°－20°)
＝－cos 20°.
∵0°<20°<76°<90°，
∴cos 20°>cos 76°，
∴－cos 20°<－cos 76°，
∴sin 194°>cos 160°.
函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
[解析] 法一：
作出函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像与直线y＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．
利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，
又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
法二：
利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC的面积(如图(2))．
∵|AC|＝2π，B到AC距离等于4.
∴S平面图形＝S△ABC＝
×2π×4＝4π.
法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD的面积(如图(3))
∵|AB|＝π，|AD|＝4.
∴S平面图形＝S矩形ABCD＝4π.
[答案] D
1．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是( )
A．2，－2 B．1，－3
C．1，－1 D．2，－1
解析：选B ∵－1≤cos x≤1∴－2≤2cos x≤2，
∴－3≤2cos x－1≤1，
∴最大值为1，最小值为－3.
2．函数y＝－cos x在区间[－π，π]上是( )
A．增加的 B．减少的
C．先增加后减少 D．先减少后增加
解析：选D 作出y＝－cos x的图像可得选项D正确．
3．函数y＝sin x和y＝cos x都是减少的区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C 在同一坐标系中作出y＝sin x和y＝cos x的图像，由图像可知在上，y＝sin x和y＝cos x都是减少的．
4．函数y＝的定义域是________．
解析：由1＋cos x≠0得cos x≠－1
∴x≠π＋2kπ，k∈Z
∴ 定义域是.
答案：
5．当x∈[0，2π]时，方程sin x＝cos x的解集是________．
解析：
在同一坐标系内画出y＝sin x和y＝cos x，x∈[0，2π]的图像，如图，可得x＝或x＝.
答案： {，}
6．比较cos与cos的大小．
解：cos＝cos＝cos.
cos＝cos＝cos.
因为0<<<π，
且函数y＝cos x，x∈[0，π]是减少的．
所以cos>cos
即cos一、选择题
1．下列对y＝cos x的图像描述错误的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
答案：C
2．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 作出函数y＝|cos x|的图像如图所示，由图像
可知，A、B都不是单调区间，D是单调增区间，C是单调减区间．
3．函数y＝cos(x＋)，x∈的值域是( )
A．(－，] B.
C. D.
解析：选B ∵0≤x≤，
∴≤x＋≤，
∵y＝cosx在[0，π]上为减函数．
∴－≤cos(x＋)≤.
4．设方程cos 2x＝1的解集为M，方程sin 4x＝0的解集为P，则M与P的关系为( )
A．M?P B．M?P
C．M＝P D．M∩P＝?
解析：选A 由cos 2x＝1得2x＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ(k∈Z)；由sin 4x＝0得4x＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)．
∴M?P.
二、填空题
5．函数y＝xcos x的奇偶性是________．
解析：∵f(－x)＝－x×cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
∴此函数是奇函数．
答案：奇函数
6．比较大小：sin ________cos .
解析：∵sin ＝sin(π－)＝sin ＝sin(－)＝cos ，
0<<<.
∴cos >cos，
即sin >cos .
答案：>
7．方程x2＝cos x的解的个数是________．
解析：在同一坐标系中画出函数y＝cos x与y＝x2的图像(如图)，可知有两个交点．
答案：2
8．函数y＝的值域是________．
解析：∵0<1－cos x≤2.
∴≥.
∴ 函数的值域为.
答案：
三、解答题
9．求函数y＝cos(3x－)的单调减区间．
解：由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得2kπ＋≤3x≤2kπ＋，k∈Z，
∴＋≤x≤＋，k∈Z.
∴单调递减区间是(k∈Z)．
10．求函数y＝cos2x＋cos x＋1的最大、最小值及使y取最值的x的集合．
解：令t＝cos x，则t∈[－1，1]．
∴y＝t2＋t＋1，对称轴t＝－.
①当t＝－，即x∈{x|x＝±π＋2kπ，k∈Z}时，ymin＝.
②当t＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3.
第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
[核心必知]
1．正切函数
(1)定义：如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值.根据函数的定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
(2)与正弦、余弦函数的关系：＝tan_x．
(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．
(4)正切值在各象限内的符号如图．
2．正切线
单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线AT，与角α的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角α的正切线．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在．
3．正切函数的图像和性质
函数
性质
y＝tan x
图像
续表
函数
性质
y＝tan x
定义域
{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期性
最小正周期为T＝π
奇偶性
奇函数
单调性
在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加的
对称性
图像的对称中心(，0)k∈Z
[问题思考]
1．你能描述正切曲线的特征吗？
提示：正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．
2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？
提示：不是．正切函数定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，正切曲线在每一个开区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．
3．函数y＝|tan x|的周期是吗？
提示：不是．y＝|tan x|的周期仍为π.
?讲一讲
1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α.
[尝试解答] 在α的终边上取一点P(a，2a)且a≠0，
则有x＝a，y＝2a，r＝＝|a|.
∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限．
当α在第一象限时，a>0，则r＝a.
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
当α在第三象限时，a<0，则r＝－a.
∴sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝－.
1．若P(x，y)是角α终边上任一点，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，其中r＝.
2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．
?练一练
1．角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－，求tan α的值．
解：由已知可知点P在第二象限，∴b＞0.
∵cos α＝－，∴－＝－，解得b＝3，
tan α＝－.
?讲一讲
2．画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像写出使y≤1的x的集合．
[尝试解答] ∵y＝|tan x|＝
画出其图像，如图所示实线部分．
由图像可知x的集合为{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}．
1．三点两线画图法
“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．
?练一练
2．[多维思考] 根据讲2中函数y＝|tan x|的图像，讨论该函数的性质．
解：(1)定义域：{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}．
(2)值域：[0，＋∞)．
(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π.
(4)奇偶性：图像关于y轴对称，函数是偶函数．
(5)单调性：在每一个区间(－＋kπ，kπ](k∈Z)上是减少的，在每一个区间(k∈Z)上是增加的．
(6)对称性：对称轴x＝，k∈Z.
?讲一讲
3．(1)求函数y＝tan的单调区间．
(2)比较tan与tan的大小．
[尝试解答] (1)∵y＝tan x，在
(k∈Z)上是增加的，∴－＋kπ＜x－＜＋kπ，k∈Z.
∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝tan的单调递增区间是
2kπ，(k∈Z)．
(2)tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan.
又∵函数y＝tan x在(0，)内单调递增，而0<<<，∴tan1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．
2．对于函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x的范围即可．
3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．
?练一练
3．函数f(x)＝tan(2x－)的单调递增区间为________．
解析：由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，
得k×－＜x＜k×＋π(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为(－，＋)(k∈Z)．
答案：(－，＋)(k∈Z)
求函数y＝的定义域．
[错解] 由1－tan x≠0得tan x≠1，
解得x≠kπ＋，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
[错因] 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的x≠kπ＋，k∈Z这一条
件．上面的解法只考虑了1－tan x≠0，而没有考虑x≠kπ＋，k∈Z，因而是错误的．
[正解] 由
得x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为.
1．函数y＝tan(x＋π)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A ∵y＝tan(x＋π)＝tan x.
∴此函数是奇函数．
2．函数y＝tan(x＋)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 由x＋≠kπ＋，k∈Z得，x≠kπ＋，k∈Z，∴函数的定义域为.
3．已知角α的终边上一点P(－2，1)，则tan α＝( )
A. B．2
C．－2 D．－
解析：选D tan α＝＝＝－.
4．函数y＝tan x，x∈的值域是________．
解析：∵函数y＝tan x在上为增加的，
∴0≤tan x≤1.
答案：[0，1]
5．比较大小：tan 2________tan 9.
解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)，
而＜2＜－2π＋9＜π，且y＝tan x在(，π)内是增加的．
∴tan 2＜tan(－2π＋9)，
即tan 2＜tan 9.
答案： ＜
6．利用正切函数的图像作出y＝tan x＋|tan x|的图像，并判断此函数的周期性．
解：∵当x∈(kπ－，kπ]时，y＝tan x≤0，
当x∈(kπ，kπ＋)时，y＝tan x＞0，
∴y＝tan x＋|tan x|＝
图像如图所示．
由y＝tan x＋|tan x|的图像可知，它是周期函数，周期为π.
一、选择题
1．已知θ是第二象限角，则( )
A．tan＞0 B．tan＜0
C．tan≤0 D．tan的符号不确定
解析：选A ∵θ是第二象限角，
∴是第一或第三象限角，
∴tan＞0.
2．函数y＝2tan(2x－)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由2x－≠kπ＋，k∈Z，
解得x≠＋，k∈Z.
3．函数y＝tan(sin x)的值域是( )
A. B.
C．[－tan 1，tan 1] D．[－1，1]
解析：选C ∵－1≤sin x≤1，
∴－<－1≤sin x≤1<.
∵y＝tan x在(－，)上是增加的．
∴y∈[－tan 1，tan 1]．
4．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )
解析：选C f(x)＝
＝
＝
二、填空题
5．若tan x≥－，则x的取值范围是________．
解析：
作出y＝tan x，x∈的图像，如图所示．
令y＝－，得x＝－，
∴在(－，)中满足不等式tan x≥－的x的取值范围为.
由正切函数周期性，可知：
原不等式的解集为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．函数y＝lg(tan x)的单调增区间是________．
解析：函数y＝lg(tan x)有意义，则tan x>0，
∴函数的增区间为(kπ，kπ＋)(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数y＝sin x与y＝tan x的图像在上交点个数是________．
解析：在x∈时，tan x>sin x，x∈时，tan x答案：1
8．已知函数y＝2tan ，则函数的对称中心是________．
解析：y＝2tan＝－2tan .
∵y＝tan x的对称中心为，
∴令x－＝，得x＝kπ＋，k∈Z.
∴y＝2tan的对称中心为，k∈Z.
答案：(k∈Z)
三、解答题
9．已知f(x)＝asin x＋btan x＋1，f(－)＝7，
求f()．
解：设g(x)＝asin x＋btan x，因为sin x与tan x都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即g(－x)＋g(x)＝0，故f(－x)＋f(x)＝g(－x)＋1＋g(x)＋1＝2，又易得f＝f＝f，∵f＋f＝2，且f＝7，
∴f＝f＝－5.
10．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1， ]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1， ]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝－，x∈[－1， ]．
∴当x＝时，f(x)的最小值为－；
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ的图像的对称轴为x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
第2课时 正切函数的诱导公式
[核心必知]
诱导公式
(1)tan(α＋2π)＝tan_α；
(2)tan(－α)＝－tan_α；
(3)tan(2π－α)＝－tan_α；
(4)tan(π－α)＝－tan_α；
(5)tan(π＋α)＝tan_α；
*(6)tan ＝－cot_α；
*(7)tan ＝cot_α．
[问题思考]
1．以上公式中的角α是任意角吗？
提示：是任意角，但α必须使公式两边的函数值有意义．
即公式 (1)～(5)中α≠＋kπ，k∈Z；
(6)，(7)中α≠kπ，k∈Z.
2．以上公式符合正、余弦函数诱导公式的规律“奇变偶不变，符号看象限”吗？
提示：符合．
?讲一讲
1．求下列各式的值
(1)tan；
(2).
[尝试解答] (1)tan ＝－tan
＝－tan＝－tan
＝－tan＝－tan
＝－.
(2)原式＝
＝＝＝2＋.
利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程如下：
?练一练
1．计算：tancos 585°.
解：原式＝－tan cos(360°＋225°)
＝－tan(9π＋)cos 225°
＝tan cos 45°
＝1×＝.
?讲一讲
2．化简
＋.
[尝试解答] 原式＝＋
＝－
＝1－1＝0.
利用诱导公式对三角函数关系式进行化简时要熟练诱导公式，化简的结果要力求简单，分母中一般不含三角函数，能求值的要求值．
?练一练
2. 化简：.
解：原式＝＝1.
?讲一讲
3．已知tan 15°＝2－，求：2tan 1 095°＋tan 975°＋tan(－195°)的值．
[尝试解答] tan 1 095°＝tan(1 080°＋15°)
＝tan 15°＝2－，
tan 975°＝tan(720°＋255°)
＝tan(180°＋75°)＝tan 75°
＝＝＝2＋，
tan(－195°)＝－tan 195°＝－tan 15°＝－(2－)．
∴原式＝2(2－)＋2＋－(2－)＝4.
解答此类问题的基本策略是，一方面准确化简已知条件，另一方面联想所求问题的处理方法，两方面紧密结合，找到解题思路．
?练一练
3．已知sin(π＋α)＝－，求sin(－α)tan(α－5π)的值．
解：由sin(π＋α)＝－，得sin α＝.∴sin(－α)×tan(α－5π)＝－cos α×tan α＝－cos α×＝－sin α＝－.
已知tan(π＋α)＝－，求tan(α－)．
[错解] ∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.
tan(α－)＝－tan(－α)＝－tan
＝－tan(－α)＝－tan α＝.
[错因] 本题错解的原因在于错误的认为tan＝tan α.
[正解] ∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.
tan＝－tan
＝－tan＝－tan(－α)
＝－＝－＝－＝3.
1．tan 等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D tan ＝tan(π－)＝－tan ＝－.
2．下列各式
①tan(π＋α)＝－tan α；②tan(－α)＝－tan α；
③tan(3π＋α)＝－tan α；④tan(－π－α)＝tan α.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选A tan(π＋α)＝tan α，故①错；tan(3π＋α)＝tan α，故③错；tan(－π－α)＝－tan(π＋α)＝－tan α，故④错；只有②正确．
3．已知tan(＋α)＝，则tan(－α)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D tan＝tan＝
－tan＝－.
4．tan 690°＝________．
解析：tan 690°＝tan(720°－30°)＝－tan 30°＝－.
答案： －
5．比较大小：tan ________tan .
解析：∵tan ＝tan(－)＝－tan
tan ＝tan ＝－tan
又∵0<<<
∴tan －tan ，
即tan >tan .
答案： >
6．已知tan(3π－α)＝，
求的值．
解：∵tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝，
∴tan α＝－
原式＝
＝
＝－tan α＝.
一、选择题
1．tan(π－2x)等于( )
A．－sin 2x B．－cos 2x
C．tan 2x D．－tan 2x
答案：D
2．若cot α＝m，则tan＝( )
A．m B．－m
C. D．－
解析：选A tan(－α)＝tan(－α)＝cot α＝m.
3．已知f(tan x)＝cos 3x，且x∈，则f(tan 375°)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°.
由条件可知f(tan 375°)＝f(tan 15°)＝cos(3×15°)＝cos 45°＝.
4．已知角α终边上有一点P(5n，4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A. B.
C．－ D．±
解析：选C 由三角函数定义知tan α＝＝＝.
∴tan(180°－α)＝－tan α＝－.
二、填空题
5．化简＝________．
解析：原式＝＝－1.
答案：－1
6．已知角α的终边上一点P(3a，4a)(a<0)，则tan(90°－α)的值是________．
解析：∵P(3a，4a)(a<0)，
∴tan α＝，sin α＝－，cos α＝－，
∴tan(90°－α)＝＝＝.
答案：
7．sinπ，cos，tanπ从小到大的顺序是________．
解析：cosπ＝－cos＜0，
tanπ＝tanπ＞tan＝1，
而0＜sinπ＜1，
∴从小到大为cosπ答案：cosπ8．已知tan＝－5，则tan＝________．
解析：由tan＝－tan
＝－tan＝－5，得tan＝5.
答案：5
三、解答题
9．求值：.
解：原式＝
＝
＝＝－
10．已知角α终边上一点A的坐标为(，－1)，
求.
解：∵x＝，y＝－1，
∴r＝＝2.∴sin α＝＝－.
原式＝
＝－
＝－＝－sin α＝.
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的画法
[核心必知]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数A、φ、ω的作用
参数
作用
A
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅
φ
φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位
ω
ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率
2.图像的变换
(1)振幅变换
要得到函数y＝Asin x(A>0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0(2)相位变换
要得到函数y＝sin(x＋φ)的图像，只要将函数y＝sin x的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到．
(3)周期变换
要得到函数y＝sin ωx(x∈R)(其中ω>0且ω≠1)的图像，可以把函数y＝sin x上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)即可得到．
(4)平移变换
对于函数y＝sin x＋b的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平行移动|b|个单位长度得到的．
[问题思考]
1．由y＝sin(x＋)的图像如何得到y＝sin x的图像？
提示：因为y＝sin＋]＝sin x，故要得到y＝sin x的图像只需将y＝sin(x＋)的图像向右平行移动个单位长度即可．
2．由函数y＝sin x的图像到y＝sin x的图像怎样变换？
提示：把y＝sin x的图像在纵坐标不变的情况下，横坐标变为原来的3倍，得到y＝sin x的图像．
?讲一讲
1．已知函数y＝3sin，用五点法画出该函数在一个周期上的图像．
[尝试解答] (1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
(2)描点：在直角坐标系中描出点(，0)，(，3)，(，0)，(，－3)，(，0)．
(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．
用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤是：
第一步：列表
x
－
－
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，即得图像．
练一练
1．用“五点法”作出函数y＝2sin的简图．
解：(1)列表：
列表时2x＋取值分别为0，，π，，2π，再求出相应的x值和y值.
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
(2)描点．
(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．
利用函数的周期性，把上面所得到的简图向左、右延伸，得到y＝2sin，x∈R的简图．
?讲一讲
2．说明y＝2sin＋1的图像是由y＝sin x的图像怎样变换而来的？
[尝试解答] 法一：(先伸缩后平移)
y＝sin x的图像y＝2sin x的图像
y＝2sin(2x)的图像y＝2sin的图像向上平移1个单位长度,y＝2sin＋1的图像．
法二：(先平移后伸缩)
y＝sin x的图像y＝2sin xy＝2sin 的图像y＝2sin的图像y＝2sin＋1的图像．
1．利用图像变换的方法画函数的图像，注意左右平移变换：一是平移的方向，可用“左加右减”来总结；二是平移量的确定．找自变量本身的变换量是关键．
2．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，应明确A，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x的变化，向左或向右平移个单位长度．
?练一练
2．(浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
解析：选A 变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
?讲一讲
3．(湖南高考改编)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．求函数f(x)的解析式．
[尝试解答] 由题设图像知，
周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2，
因为点在函数图像上，
所以Asin＝0，
即sin＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0，1)在函数图像上，
所以Asin ＝1，得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
由函数图像求解析式的一般解题方法是：
(1)先根据图像的最高点和最低点，找到振幅，即求A的值；
(2)根据所给关键点确定函数周期，再利用周期公式T＝求出ω的值；
(3)在求初相φ时，确定图像的关键点是第几个是非常重要的，代入x0，使ωx0＋φ等于对应的关键点横坐标的值，如第一关键点对应0，第二关键点对应.
?练一练
3．y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈R)的部分图像如图所示，求函数的解析式．
解：由图像可知，A＝4，＝×＝6－(－2)＝8，
∴ω＝，∴y＝4sin，
又(6，0)在此函数图像上，且为“第一个零点”，
∴＋φ＝0，φ＝－.
所求函数的解析式为y＝4sin.
如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像，由图中条件，写出该函数的解析式．
[解] 法一：(平移法)
由图像知，将y＝2sin x的图像向左平移个单位，就得到本题图像，故所求函数的解析式为
y＝2sin，即y＝2sin.
法二：(单调性法)
由图像可知：T＝3π＝，得ω＝，
因为点(π，0)在递减的那段上，
所以(π＋φ)∈，k∈Z.
由sin(π＋φ)＝0，得π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为|φ|<π，所以φ＝.又A＝2，
所以此函数解析式为y＝2sin.
法三：(起始点法)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的，故只需找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ，
由图像求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝，又因为A＝2，所以此函数的解析式为
y＝2sin.
法四：(最值点法)
由图像可得ω＝，又因为A＝2，将最高点坐标代入y＝2sin，得2sin＝2.
所以 ＋φ＝2kπ＋，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
又－π<φ<π，所以φ＝，
所以此函数的解析式为y＝2sin.
1．函数y＝2sin(2x＋)＋1的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：选B T＝＝π.
2．最大值是，周期是6π，初相是的三角函数的表达式可能是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝2sin
D．y＝sin
解析：选A 由T＝，∴ω＝＝，
∴y＝sin.
3．为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：选D ∵y＝sin＝sin，
∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝sin的图象．
4．把y＝sin x的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍，得________的图像．
解析：将y＝sin x的图像横坐标缩短到原来的倍得y＝sin 3x的图像，纵坐标再缩短为原来的倍得y＝sin 3x的图像．
答案：y＝sin 3x
5．(新课标全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________．
解析：本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位后得到y＝cos的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.
答案：
6．已知f(x)＝1＋sin(2x－)，画出f(x)在x∈上的图像．
解 ∵－≤x≤，∴－π≤2x≤π
∴－π≤2x－≤π
(1)列表如下：
x
－
－
－
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点连线成图，如图所示
一、选择题
1．函数y＝2sin(－2x＋)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋， B．2x－，－
C．2x＋， D．2x＋，
解析：选C ∵y＝2sin(－2x＋)
＝2sin
＝2sin(2x＋)，
∴相位和初相分别为2x＋，.
2．(山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C．0 D．－
解析：选B 把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin ，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.
3．要想得到函数y＝sin x的图像，只需将函数y＝cos 的图像( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A 函数y＝cos 可化为y＝sin[＋]＝sin.要想得到函数y＝sin x的图像，只需将函数y＝sin (x＋)的图像向右平移个单位长度．
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则( )
A．A＝4 B．ω＝1 C．φ＝ D．B＝4
解析：选C 由图像易求得A＝2，B＝2，周期T＝4＝π，即得y＝2sin(2x＋φ)＋2，又x＝时，y＝4，即得sin＝1，对比各选项知C正确．
二、填空题
5．将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是________．
解析：先伸缩后平移，y＝sin的图像→y＝sin的图像→y＝sin的图像，即y＝sin的图像．
答案：y＝sin.
6．将函数y＝sin(x＋)的图像向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________．
解析：将函数y＝sin(x＋)的图像向右平移个单位长度后变为函数y＝sin(x－＋)＝sin(x＋)，再向上平移2个单位长度，即函数解析式为y＝sin(x＋)＋2.
答案：y＝sin(x＋)＋2
7．(天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点(，0)，则ω的最小值是________．
解析：将函数f(x)＝sin ωx的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sin ω(x－)＝sin(ωx－)．又因为函数图像过点(，0)，所以sin(－)＝sin＝0，所以＝kπ，即ω＝2k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2.
答案：2
8．为得到函数y＝cos的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像向________平移________个单位长度．
解析：y＝cos＝sin＝sin 2(x＋)，故将y＝sin 2x的图像向左平移π个单位长度．
答案：左 π
三、解答题
9．图中曲线是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像．
(1)确定该图像对应的f(x)的表达式；
(2)若f(x)＝a，在上有解，求a的取值范围．
解：(1)A＝1，T＝π－＝π，∴ω＝＝2.
可得y＝sin(2x＋φ)，由2×＋φ＝0，得φ＝.
∴f(x)＝sin.
(2)由(1)可知当x∈时，f(x)∈
故a的取值范围为
10．把函数y＝f(x)的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数y＝sin x的图像，试求函数y＝f(x)的解析式．
解：法一：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，把它的横坐标缩短到原来的，得到y＝Asin(2ωx＋φ)，再向左平移个单位长度，得到y＝Asin，即y＝Asin(2ωx＋ωπ＋φ)＝sinx.
由两个代数式恒等，得?
∴f(x)＝sin(x－)＝－cos.
法二：将y＝sinx的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin(x－)的图像，再把y＝sin(x－)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin(x－)，即y＝－cosx的图像，故所求函数解析式为f(x)＝－cos.
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
[核心必知]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域
(－∞，＋∞)
值域
[－A，A]
周期
T＝
奇偶性
由角φ的值决定
单调性
增区间：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；减区间：由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
对称轴
由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得
对称中心
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得中心横坐标
[问题思考]
1．函数y＝sin(－2x)的周期是多少？
提示：π，因为sin(－2x)＝－sin 2x，所以y＝sin(－2x)与y＝sin 2x的周期相同．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？
提示：对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．
3．y＝sin是偶函数吗？
提示：因为sin＝cos ωx，所以y＝sin是偶函数．
?讲一讲
1．求下列函数的周期
(1)y＝sin x；
(2)y＝sin.
[尝试解答] 法一：(1)y＝sin x
＝sin(x＋2π)
＝sin，
∴此函数的周期为6.
(2)y＝sin(2x＋)
＝sin(2x＋＋2π)
＝sin，
∴此函数的周期为π
法二：(1)T＝＝6.
(2)T＝＝π.
求三角函数周期的方法．方法一：公式法，利用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或函数y＝Acos(ωx＋φ)＋b的周期公式T＝来求；方法二：定义法：满足等式f(x＋T)＝f(x)的非零常数T为y＝f(x)的周期．
?讲一讲
2．求函数y＝3sin(－)的单调增区间．
[尝试解答] y＝3sin
＝3sin＝3sin(＋)，
由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z.
∴y＝3sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调区间最基本的方法是“整体代换”．
(1)ω>0时，解2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得单调递增区间，解2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得单调递减区间．
?讲一讲
3．求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x的取值集合．
(1)y＝3sin(2x－)；
(2)y＝3－2sin(3x＋)．
[尝试解答] (1)当2x－＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝3，
x的取值集合为.
当2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－3，
x的取值集合为.
(2)当3x＋＝2kπ－(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)时，ymax＝5，
x的取值集合为.
当3x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝＋，k∈Z时，ymin＝1，
x的取值集合为.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的值域为[－A，A]，分别在ωx＋φ＝－＋2kπ和ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z处取得最小值－A和最大值A，其实质是将ωx＋φ看作一个整体z，将问题转化为函数y＝Asin z的最小值和最大值问题．
?练一练
3．已知函数f(x)＝2cos(－)，若x∈[－π，π]，求f(x)的最大值、最小值．
解：f(x)＝2cos(－)＝2cos(－)．
由－π≤x≤π，得－≤－≤.
当－＝0，即x＝时，[f(x)]max＝2.
当－＝－，即x＝－π时，[f(x)]min＝－.
?讲一讲
4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，φ取何值时，f(x)是奇函数．
[尝试解答] 因为x∈R，要使f(x)为奇函数，
需f(0)＝0，
所以sinφ＝0，
所以φ＝kπ，k∈Z.
而当φ＝kπ时，
f(x)＝Asin(ωx＋kπ)＝
而f(x)＝Asinωx与f(x)＝－Asin ωx都是奇函数．
所以当φ＝kπ，k∈Z时，f(x)为奇函数．
f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性：
(1)φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)为奇函数；
(2)φ＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)为偶函数；
(3)φ为象限角时，f(x)为非奇非偶函数．
?练一练
4．设函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)，A>0，ω>0，φ为何值时，f(x)为偶函数？
解：由f(x)＝f(－x)得Acos(ωx＋φ)＝Acos(－ωx＋φ)．
根据余弦函数的特点，ωx＋φ＝ωx－φ＋2kπ，φ＝kπ，k∈Z.故φ＝kπ，k∈Z时，f(x)为偶函数．
已知函数f(x)＝2asin＋2a＋b的定义域是，值域是[－5，1]，求a，b的值．
[巧思] 题目中函数的定义域和值域已知，可以先在定义域下求出sin(2x＋)的范围，因为a的符号不确定，所以可以分a>0，a<0的两种情况进行讨论．
[妙解] ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
1．函数f(x)＝sin－1的最小值和最小正周期是( )
A．－－1，π B．－＋1，π
C．－，π D．－－1，2π
解析：选A ∵sin的最小值是－.
∴f(x)的最小值是－－1.
f(x)的周期T＝＝π.
2．函数y＝8sin 取最大值时，自变量x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 当6x＋＝2kπ＋，k∈Z时y最大．
即x＝＋，k∈Z.
3．(福建高考)函数f(x)＝sin(x－)的图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
解析：选C f(x)＝sin(x－)的图像的对称轴为x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.
4．(江苏高考)函数y＝3sin的最小正周期为________．
解析：T＝＝π.
答案：π
5．y＝2sin的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________．
解析：∵T＝，两条相邻对称轴之间的距离是周期的一半，即为.
答案：
6．求函数y＝3cos的单调递增区间．
解：y＝3cos＝3cos.
令－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，
则－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以y＝3cos的单调递增区间是
(k∈Z)．
一、选择题
1．(福建高考)函数f(x)＝sin的图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
解析：选C f(x)＝sin的图像的对称轴为x－＝kπ＋，(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.
2．函数y＝sin(2x＋π)的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：选B y＝sin(2x＋π)＝cos 2x，
∴是偶函数．
3．(新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
又0<φ<π，所以φ＝.
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增加的
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增加的
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减少的
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减少的
解析：选A ∵f(x)的最小正周期为6π，
∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，
∵－π＜φ≤π，∴φ＝.
可得f(x)＝2sin在区间[－2π，0]上是增加的．
二、填空题
5．函数y＝2cos的周期为4π(ω∈R)，则ω＝________．
解析：因为y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝，
所以T＝＝4π，即|ω|＝，
所以ω＝±.
答案：±
6．函数y＝2sin(x－)上的值域是________．
解析：∵－≤x≤，∴－≤x－≤.
∴－1≤sin(x－)≤，
故y∈[－2，1]．
答案：[－2，1]
7．已知方程sin(x＋)＝k在x∈[0，π]上有两个解，则实数k的范围是________．
解：
令y1＝sin(x＋)，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像，(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k<时，直线y2＝k与曲线y1＝sin(x＋)在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k<时，原方程有两个解．
答案：[1，)
8．若ω>0，函数f(x)＝2sin ωx在上是增加的，则ω的取值范围是________．
解析：由－≤ωx≤，
得f(x)的一个递增区间为.
由题设得?.
，
∴0<ω≤.
答案：(0，]
三、解答题
9．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
解：(1)∵直线x＝是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴，
∴sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，
∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，
因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M(，0)对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解：∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ≤π，
∴φ＝.由图像关于M(π，0)对称可知，
sin(πω＋)＝0，
即ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，
即≥π，
∴ω≤2，
又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝，
当k＝2时，ω＝2.
9 三角函数的简单应用
?讲一讲
1．某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝Acos(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像．
(1)根据上表数据，求y＝Acos(ωt＋φ)＋b的解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午到晚上(8：00～20：00)，开放冲浪场所的具体时间段，有多长时间可供冲浪者进行活动？
[尝试解答] (1)由表中的数据，知最小正周期T＝12小时，ω＝＝，φ＝0，
故函数解析式为y＝Acos t＋b.由t＝0时，y＝1.5得A＋b＝1.5，
由t＝3时，y＝1.0得b＝1，∴A＝0.5，
故函数解析式为y＝0.5cos t＋1.
(2)由题意可知，当y>1时才对冲浪者开放，
即0.5cos t＋1>1，cos t>0，
则2kπ－即12k－3又∵8≤t≤20，∴k＝1，∴9故在规定时间从上午8：00到晚上20：00，有6个小时的时间可供冲浪者进行活动，开放冲浪场所的具体时间段为上午9：00到下午15：00.
根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．
?练一练
1．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0)．
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin(t＋φ)＋12.2；
又因为t＝4时，d＝16，所以sin(＋φ)＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin(t－)＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin(－)＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin(t－)＋12.2＜10.3，
有sin(t－)＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8，12)；令k＝1，得t∈(20，24)．
故这一天共有8小时水深低于10.3 m.
?讲一讲
2．如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式；
(3)求缆车首次到达最高点所用的时间．
[尝试解答] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故点B的坐标为
(4.8cos(θ－)，4.8sin(θ－))，
∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)＝5.6－4.8cos θ(θ≥0)．
(2)点A在圆上转动的角速度是 rad/s，
故t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6－4.8cos ，t∈[0，＋∞)．
(3)到达最高点时，h＝10.4 m.
由cos t＝－1，得×t＝π，∴t＝30.
∴缆车首次到达最高点所用的时间为30 s.
解答三角函数应用题的一般步骤：
?
练一练
2．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为 m，
圆环的圆心距离地面的高度为1 m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．
(1)试确定在时刻t(单位：s)时蚂蚁距离地面的高度h(单位：m)；
(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过 m?
解：
(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设t s时蚂蚁到达点P，则蚂蚁转过的角的弧度数为t＝t，
于是点P的纵坐标y＝sin(t－)＝－cos t.
∴h＝1＋y＝1－cos t(t≥0)．
(2)由1－cos t>得cos t<，
又由0≤t≤60，得0≤t≤2π，
∴所以一圈内有40 s的时间蚂蚁距离地面超过 m.
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
6月
21日
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
21日
日期
位置
序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼
时间
y(小时)
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，画出这些数据的散点图；
(2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；(注：一年按365天计算)
(3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
[巧思] 解答本题的关键是根据表中数据准确画出散点图，再根据散点图的特征确定函数模型，并求出其解析式，进而可解答问题(3)．
[妙解] (1)如图所示
(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y＝Asin(ωx＋φ)＋t，
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即ymax＝19.4，ymin＝5.4，
由19.4－5.4＝14，得A＝7；
由19.4＋5.4＝24.8，得t＝12.4；
又T＝365，∴ω＝.
当x＝172时，x＋φ＝，
∴φ＝－.
∴y＝7sin＋12.4(1≤x≤365，x∈N＋)．
(3)由y>15.9，得sin>，
∴＋∴112≤x≤232.
∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．
1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图像中正确的是( )
解析：选D 依题意t＝0时，位移y最小．
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：选C T＝＝，∴f＝＝80.
3. 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( )
解析：选C 根据点P的坐标可得∠xOP0＝，故∠xOP＝t－，设P( x，y)，则由三角函数的定义，可得sin∠xOP＝，即sin(t－)＝?y＝2sin(t－)，因此点P到x轴的距离d＝|y|＝2|sin(t－)|，根据解析式可得C选项图像符合条件．
4. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
解析：T＝＝1.
答案： 1
5．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的对应值如表所示：
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为________．
解析：由表中数据可设函数解析式为：y＝Asin(ωt＋φ)(A>0)，则A＝4，T＝0.8，ω＝＝＝，将(0，－4)代入函数解析式中，有sin φ＝－1，得到φ＝－，故函数解析式为y＝4sin＝－4cos t.
答案：y＝－4cos t
6. 如果某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.如图所示．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察题图可知，从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]．
一、选择题
1．为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A．98π B.π
C.π D．100π
解析：选B 由49T≤1，得T≤，即≤，ω≥π.
2. 如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选A 依题意A＝3，且水轮每15 s转一圈，故周期T＝15，ω＝＝.
3．一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大
解析：选B 周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错；
由题中图像可知，振幅为5 cm，故B正确；
在最高点时，速度为零，加速度最大，故C，D错．
4．下表是某城市2011年月平均气温(单位：°F).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.1
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
若用x表示月份，y表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是( )
A．y＝26cos x B．y＝26cos ＋46
C．y＝－26cos ＋46 D．y＝26cos x＋46
解析：选C 由数据得到，从1月到7月是上升的趋势，只有C满足要求．
二、填空题
5．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．
解析：因为周期T＝，所以＝＝2π，
则l＝.
答案：
6. 如图是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的振动函数的一个解析式为________．
解析：设函数的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(t≥0)
由图像知A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8(s)，
所以ω＝＝π，∴y＝2sin(πx＋φ)．
又π×0.1＋φ＝，所以φ＝.
所以函数解析式为y＝2sin(πt＋)(t≥0)．
答案：y＝2sin(πt＋)(t≥0)
7．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1 cm和s2 cm分别由下列两式确定：s1＝5sin(2t＋)；s2＝10cos 2t.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是________．
解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，
∴s1＝s2.
答案：s1＝s2
8．(江苏高考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________．
解析：由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图像经过点(，0)，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为?(x)＝sin(2x＋)，所以?(0)＝sin＝.
答案：
三、解答题
9. 如图，表示电流Ι与时间t的关系式Ι＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像．
(1)试根据图像写出Ι＝
Asin(ωt＋φ)的解析式：
(2)若函数Ι＝Asin(ωt＋φ)在任意一段秒的时间内能同时取最大值A和最小值－A，那么正整数ω的最小值为多少？
解：(1)由题图可知A＝300，T＝－(－)＝，
所以ω＝＝100π.又因为(，0)在函数图像上，
所以×100π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝π＋2kπ，k∈Z，所以Ι＝300sin(100πx＋π)；
(2)依题意有T≤，即≤.所以ω≥200π，
又因为ω∈N＋，所以ω的最小正整数为629.
10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是在某港口某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
0：00
5.0
9：00
2.5
18：00
5.0
3：00
7.5
12：00
5.0
21：00
2.5
6：00
5.0
15：00
7.5
24：00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并求出函数的解析式；
(2)一条货船的吃水深(船底与水面的距离)为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，通过画草图可知用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h(A>0，ω>0)来刻画水深与时间之间的对应关系．
由题意得
解得A＝2.5，h＝5，φ＝.
∴这个港口的水深与时间的关系可用
y＝sin x＋5近似描述．
(2)货船需要的安全水深为5＋1.25＝6.25米，
所以y≥6.25时就可以进港，令
sin x＋5＝?sin x＝.
在区间[0，12]内，x＝或者x＝π－，
解得x＝1或x＝5.
由周期性可得在[12，24]内x＝13或x＝17，
∴货船可以在1时进港，早晨5时出港；或在中午13时进港，下午17时出港，每次在港口停留4小时.
第一章 三角函数
一、角的概念
1．角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．
2．象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角．
3．终边相同的角有无数个，在所有与角α终边相同的角的集合可表示为S＝.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．
二、角度制与弧度制
弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如＋k×360°或60°＋2kπ，k∈Z的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k×360°＋α，k∈Z等．
三、三角函数的定义
1．三角函数的定义有两种
(1)角α的终边上任取一点P(x，y)，|OP|＝r，则sin α＝，cos α＝；tan α＝.
(2)角α的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
2．用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为：
(1)先作出取等号的角；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角范围．
3．诱导公式
2kπ＋α，π±α，－α，2π±α，±α的诱导公式可归纳为：k×＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶．
四、三角函数的图像与性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
(－∞，＋∞)
{x|x∈R，x≠＋kπ，
k∈Z}
值域
[－1,1]
(－∞，＋∞)
周期性
周期T＝2π
周期T＝π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
(k∈Z)上增；
在，
(k∈Z)上减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上增；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减
在(kπ－，kπ＋)
(k∈Z)上增
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
__
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
(kπ＋，0)(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1．由y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像
(1)三角函数图像的变化规律和方法，由y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，此步骤只是平移，而由y＝sin x→y＝sin(ωx＋φ)可由两条思路：①y＝sin x→y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)即先平移后伸缩；②y＝sin x→y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)即先伸缩再平移．不论哪一条路径，每一次变换都是对字母x而言的．
(2)“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同 ；“先平移后伸缩”平移|φ|个单位，“先伸缩后平移”则须平移个单位．主要程序如下：①y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)；②y＝sin xy＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
2．由图像确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑
(1)A的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定A.
(2)ω的确定：结合图像先求周期T，然后由T＝(ω>0)确定ω.
(3)φ的确定：根据函数y＝Asin(ωx＋φ)最开始与x轴的交点(靠近原点)的横坐标为－确定φ.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过列不等式的方法求解，列不等式的原则是：把“ωx＋φ”视为一个“整体”；再根据y＝sin x的增减区间列不等式．
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，当φ＝kπ，k∈Z时，是奇函数；当φ＝＋kπ，k∈Z时，是偶函数．
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期T＝.
[典例1] 已知f(α)
＝，
(1)化简f(α)；(2)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)f＝－cos
＝－cos＝－cos ＝－cos ＝－.
[借题发挥] (1)灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达到统一角的目的；
(2)在求值中有已知三角函数值求值与已知角求值两种情况，已知三角函数值求值时，要分清已知的三角函数与未知的三角函数之间的关系，特别是角的关系；已知角求值时，利用诱导公式．
[对点训练]
1．已知cos(3π＋θ)＝，
求＋的值．
解：∵cos(3π＋θ)＝，∴－cos θ＝
即cos θ＝－.
原式＝＋
＝＋
＝＋
＝＝＝.
[典例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋tan x.
[解] (1)要使函数有意义，必须使tan x有意义，且tan x≠0.∴有(k∈Z)
∴函数y＝的定义域为.
(2)当sin x≥0且tan x有意义时，函数有意义，
∴有(k∈Z)
∴函数y＝＋tan x的定义域为
∪(k∈Z)．
[借题发挥] 1.求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图像或单位圆来求解．
2．求三角函数的值域(最值)问题常用的方法有：
(1)将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域(最值)；(2)将所给的函数转化为sin(ωx＋φ)或cos(ωx＋φ)的函数，利用sin x，cos x的有界性求值域．
[对点训练]
2．已知函数y＝lg cos 2x，求它的定义域和值域．
解：函数f(x)＝lg cos 2x有意义，则cos 2x>0，即
2kπ－<2x<2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－∴函数的定义域为{x|kπ－由于0∴lg cos 2x≤0，所以函数的值域为(－∞，0].
[典例3]
如右图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图像．
(1)求此函数解析式；
(2)说明该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
[解] (1)由图像知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，
∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图像．
[借题发挥] 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：
(1)用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.
(2)对于y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图像来求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时，要先求A、ω，再求φ.
[对点训练]
3．若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，0<φ>π)在x＝处取得最大值，且最大值为3，求函数f(x)的解析式．
解：因为函数f(x)最大值为3，所以A＝3，又当x＝时函数f(x)取得最大值，所以sin＝1，因为0<φ<π，故φ＝，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.
[典例4] (重庆高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x＝处取得最大值2，其图像与x轴的相邻两个交点的距离为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝的值域．
(提示：cos 2x＝2cos 2x－1)
[解] (1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，
即＝π，解得ω＝2.
因f(x)在x＝处取得最大值2，所以A＝2.
从而sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又由－π<φ≤π得φ＝，
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝
＝
＝
＝cos2x＋1.
因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠，
故g(x)的值域为∪.
[借题发挥] 在考查三角函数的性质时，一般与后面的三角恒等变换相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等有关性质．
研究三角函数的性质时，除了熟悉y＝sin x，y＝cos x和y＝tan x的性质外，还要注意整体代换和方程的思想的应用．
[对点训练]
4．已知函数f(x)＝sin＋－1
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间的最小值和最大值；
(3)若x∈，求使f(x)≥的x的取值范围．
解：(1)T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
解得－π＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为
，(k∈Z)．
(2)由x∈得2x＋∈.
所以f(x)的最大值为2－1，最小值为－2.
(3)由f(x)≥得sin≥，
由x∈可得2x＋∈.
故满足条件的2x＋∈∪，
解得x∈∪.
故使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列各角中与－终边相同的是( )
A．－ B.
C. D.
解析：选D ∵2π－＝，∴－与角的终边相同．
2．cos 330°＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)
＝cos 30°＝.
3．设α是第三象限角，且＝－cos，则终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
∴是第二象限或第四象限角．
又∵|cos|＝－cos，
∴cos＜0，
∴是第二象限角．
4．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上是增加的，在区间上是减小的，则ω＝( )
A．3 B．2
C. D.
解析：选C 由题意知，函数在x＝处取得最大值1，所以1＝sin，ω＝.
5．函数y＝3sin的一个单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选B y＝3sin＝－3sin，检验各选项知，只有B项中的区间是单调递减区间．
6．(全国高考)若函数f(x)＝sin ，φ∈[0，2π]是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，
即sin ＝±1，∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．只有C项符合．
7．(山东高考)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A 当0≤x≤9时，－≤－≤，
－≤sin≤1，
所以函数的最大值为2，最小值为－，其和为2－.
8．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
解析：选C 构造两个函数y＝|x|和y＝cos x，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．
9. 已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
解析：选D 由图像知T＝4×＝π.
∴ω＝2，排除选项A、C.
∵图像过代入选项B，
∴f＝sin＝0≠1，故B错误．
10．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(，0)中心对称，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
φ＝kπ＋(k∈Z)，由此易得|φ|min＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．设扇形的半径长为4 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析：由S＝αr2，得α＝＝.
答案：
12．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．
解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y<0，
由sin θ＝＝－得y＝－8.
答案：－8
13．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为，则正数ω＝________．
解析：由f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为，知周期T＝＝，ω＝.
答案：
14．函数y＝log的定义域是________．
解析：
要使函数有意义，必须有
2sin＋>0，
即sin>－.
设z＝2x＋，则sin z>－.
由图知，－＋2kπ即－＋2kπ<2x＋<＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ答案：(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若sin＝，求f(α)的值．
解：(1)原式＝＝－cos α.
(2)∵sin＝sin(＋α)＝cos α，
∴cos α＝.故f(α)＝－.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin.
(1)当x∈时，求f(x)的值域；
(2)用五点法作出y＝f(x)在闭区间上的简图；
(3)说明f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到？
解：(1)∵x∈，∴≤2x＋≤，
－≤sin≤1，
∴所求值域为[－，2]．
(2)①列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
2sin
0
2
0
－2
0
②画图(如图)
(3)法一：可由y＝sin x的图像先向左平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．
法二：可由y＝sin x的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的，再将图像向左平移个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．
17．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图，试依图指出：
(1)f(x)的最小正周期；
(2)f(x)的单调递增区间和递减区间；
(3)图像的对称轴方程与对称中心．
解：(1)由图像知f(x)的最小正周期为2＝3π.
(2)∵半个周期是，－＝－，由图像可知，f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(3)f(x)的图像的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)，对称中心是(k∈Z)．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin，(0<φ<，ω>0)．
(1)若函数y＝f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为，且它的图像过(0，1)点，求函数y＝f(x)的表达式；
(2)将(1)中的函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数y＝g(x)的单调递增区间；
(3)若f(x)的图像在x∈(a∈R)上至少出现一个最高点或最低点，求正整数ω的最小值．
解：(1)由题意得＝2×，所以ω＝2，
所以f(x)＝2sin.
又因为y＝f(x)的图像过点(0，1)，
∴sin＝.
又∵0<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，
得到y＝2sin的图像，
再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到y＝2sin的图像．
即g(x)＝2sin.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，
则4kπ－≤x≤4kπ＋，(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)若f(x)的图像在x∈(a∈R)上至少出现一个最高点或最低点，则<，
即ω>100π，又ω为正整数，∴ωmin＝315.
