第1课时 求 值 问 题
[核心必知]
同角三角函数基本关系式
关系
公式表达
语言叙述
平方关系
sin2α＋cos2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
＝tan_α
同一个角α(α≠kπ＋(k∈Z))的正弦、余弦的商等于α的正切
[问题思考]
1．如何理解同角三角函数关系中“同角”的含义？
提示：“同角”有两层含义．一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如sin22α＋cos22α＝1，sin2＋cos2＝1等．
2．平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？
提示：正确．因为对任意α∈R，sin α，cos α都有意义，所以sin2α＋cos2α＝1对任意角α∈R都成立．而商数关系，＝tan α则不然，需保证cos α≠0，则tan α有意义，所以商数关系，只对α∈R，且α≠kπ＋(k∈Z)成立．
?讲一讲
1．(1)已知sin α＝，α是第二象限角，求cos α，tan α；(2)若cos α＝－，试求sin α，tan α的值．
[尝试解答] (1)∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝.
又∵α是第二象限角，
∴cos α<0，cos α＝－.
∴tan α＝＝×(－)＝－.
(2)∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限的角．
当α是第二象限角时，sin α>0.
∴sin α＝＝ ＝，
tan α＝＝×(－)＝－.
当α是第三象限角时，sin α<0，
则sin α＝－，tan α＝.
1．同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”．
2．知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方运算，应注意角的取值范围．当角所在的象限不确定时，要注意就角所在的象限分类讨论．
?练一练
1．[多维思考] 若本讲(2)条件改为“cos α＝m(m≠0)”，结果如何？
解：当m＝±1时，sin α＝0，tan α＝＝0；
当m≠±1时，由于m≠0，所以角α为象限角．
若α为第一或第二象限角，则sin α＝＝，
∴tan α＝＝ .
若α为第三或第四象限角，则
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－ .
?讲一讲
2．已知tan α＝2.试求：
(1)sin α的值；
(2)和sin αcos α的值．
[尝试解答] (1)∵tan2α＝＝＝－1，
∴＝1＋tan2α.
∴cos2α＝＝＝.
∵tan α＝2>0，
∴α是第一或第三象限角．
当α是第一象限角时，cos α>0，
∴cos α＝，
∴sin α＝cos αtan α＝×2＝.
当α是第三象限角时，cos α<0，
∴cos α＝－，
∴sin α＝cos αtan α＝－.
(2)＝＝＝＝.
sin αcos α＝＝＝
＝＝.
1．已知角α的正切值在求角α的正弦值时，应尽量少用平方关系，一般按以下思路求解：
cos2α＝cos αsin α.
2．本讲(2)是已知角α的正切值，求关于sin α，cos α的齐次式值的问题．解决该类问题通常是利用商数关系和平方关系，将原式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值求解，体现了“整体化”的思想，可减少运算量并避免讨论．
?练一练
2．已知tan(π－α)＝，求：
(1)sin α＋cos α的值；
(2)2sin2α－cos2α的值．
解：(1)由已知得tan α＝－<0，∴α是第二或第四象限的角，
则cos2α＝＝＝＝.
当α是第二象限角时，cos α＝－，
∴sin α＝tan αcos α＝－×(－)＝，
sin α＋cos α＝－；
当α是第四象限角时，cos α＝，
∴sin α＝tan αcos α＝－，sin α＋cos α＝.
(2)2sin2α－cos2α＝
＝＝＝0.
?讲一讲
3．(1)已知sin α＝cos α，则sin4α－cos4α＝________．
(2)若sin α＋cos α＝，且0<α<π，则tan α＝________.
[尝试解答] (1)由sin α＝cos α，得tan α＝.
∴cos2α＝＝＝.
∴sin2α＝1－cos2α＝.
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝－＝－.
(2)由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝.
∴sin αcos α＝－<0.
又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝＝
＝ ＝. ②
可得sin α＝，cos α＝－，
∴tan α＝＝－.
[答案] (1)－ (2)－
1．已知角α的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解．
2．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．
?练一练
3．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan θ＋的值．
解：∵sin θ，cos θ是方程x2－ax＋a＝0的两个根，
∴sin θ＋cos θ＝a，且sin θcos θ＝a，
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ.
即a2＝1＋2a，解得a＝1±，而当a＝1＋时，
Δ＝(1＋)2－4(1＋)＝－1－2<0，
∴a＝1－，则
(1)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a(1－a)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.
(2)tan θ＋＝＋
＝＝＝＝＝－1－.
若sin A＝，且A是三角形的一个内角，求的值．
[错解] ∵sin A＝，
∴cos A＝ ＝，
∴＝＝6.
[错因] 由sin A＝不能确定A是锐角或钝角，那么cos A就有正、负两个值，此解法中忽视开方运算的符号而出现错误．
[正解] ∵sin A＝，且A是三角形的一个内角，
∴A是锐角或钝角．
当A为锐角时，
cos A＝＝.
∴＝＝6；
当A为钝角时，
cos A＝－＝－.
∴＝＝－.
1．下列各项中可能成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．α在第二象限时，tan α＝－
解析：选B 由平方关系知A不成立；由商数关系知D不成立．对于B，当sin α＝0时，cos α＝±1，所以B可能成立．而对于C，当tan α＝1时，cos2α＝＝，所以C不成立．应选B.
2．已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan α等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C ∵sin α＝－，且α是第三象限角．
∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝.
3．已知tan φ＝－，且φ为三角形的内角，那么cos φ的值为( )
A．－ B.
C．－ D．－2
解析：选C cos2φ＝＝＝.
∵φ为三角形的内角，tan φ<0，
∴φ∈(，π)，∴cos φ＝－.
4．已知sin α＝，则sin2α－cos2α的值为________．
解析：sin2α－cos2α
＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－.
答案：－
5．已知tan α＝－，则的值是________．
解析：原式＝
＝
＝＝
＝＝－.
答案： －
6．已知sin α＝，cos α＝，α是第四象限角，
试求tan α的值．
解：∵sin2α＋cos2α＝1，
∴()2＋()2＝1.
化简，整理得，
m(m－8)＝0，∴m1＝0，m2＝8.
当m＝0时，sin α＝，cos α＝－，不符合α是第四象限角，舍去．
当m＝8时，sin α＝－，cos α＝，∴tan α＝－.
一、选择题
1．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，则tan α的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选A 由已知得cos α＝.∵α∈(－，0)，
∴sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－×3＝－2.
2．已知向量a＝(3，4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由a∥b得，＝.
∴＝＝tan α.
3．若sin α，cos α是方程3x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根．则实数m的值为( )
A．－ B.
C．－或 D.
解析：选A 依题意得
∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，
∴(－2m)2＝1＋(2m＋1)，
即12m2－4m－5＝0.
解m＝－或.
m＝时，Δ＝36m2－12(2m＋1)<0，∴m＝－.
4．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( )
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A 由条件可得＝5.解得tan α＝2.
∴sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝.
二、填空题
5．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________．
解析：∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ是第三象限角，
∴cos θ＝－＝－.
答案：－
6．已知α∈(π，)，tan α＝2，则cos α＝________．
解析：依题意得由此解得cos2α＝.
又α∈(π，)，因此cos α＝－.
答案：－
7．已知A为三角形内角，且sin Acos A＝－，则cos A－sin A＝________．
解析：(cos A－sin A)2＝1－2sin Acos A＝1－2×(－)＝.
∵0
0，cos A<0.
∴cos A－sin A<0，∴cos A－sin A＝－.
答案：－
8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，
则sin θcos θ＝________．
解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2(sin θcos θ)2＝，∴(sin θcos θ)2＝.
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0.
∴sin θ cos θ＝.
答案：
三、解答题
9．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1，2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．
解：(1)∵a∥b，∴2sin θ－(cos θ－2sin θ)＝0，
即4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
(2)∵|a|＝|b|，∴sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5.
展开得sin2θ＋cos2θ－4sin θcos θ＋4sin2θ＝5.
把sin2θ＝1－cos2θ代入并整理，
得cos θ(sin θ＋cos θ)＝0.
∴cos θ＝0或tan θ＝－1.
又θ∈(0，π)，
∴θ＝或θ＝.
10．已知3sin α＋cos α＝0，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α.
解：法一：由已知得，cos α＝－3sin α.
(1)
＝＝＝－1.
(2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α
＝sin2α＋2sin α(－3sin α)－3(－3sin α)2
＝－32sin2α.
由得sin2α＝.
∴sin2α＋2sin αcos α－3cos2α＝－32×＝－.
法二：由已知，得＝－，∴tan α＝－.
(1)
＝＝＝＝－1.
(2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α
＝
＝
＝
＝－.
第2课时 化简、证明问题
?讲一讲
1．化简下列各式：
(1)；
(2)·(x≠，k∈Z)．
[尝试解答]
(1)原式＝
＝
＝
＝
＝1.
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝·
＝·
＝
＝
利用同角三角函数基本关系式化简三角函数式时应注意把握以下几点：
(1)化简结果要求：①项数尽量少；②次数尽量低；③分母、根式中尽量不含三角函数；④能求值的求出值．
(2)化简策略：
①弦切互化，即若同一式子中既含“弦”(正弦、余弦)，又含“切”(正切)，则运用商数关系及其变形，要么把“弦”化为“切”，要么把“切”化为“弦”进行求解．
②对于含有根号的，常把根号下的式子化为完全平方式，然后开方．注意开方时应先加绝对值，再考虑去绝对值符号，这样可以减少失误．
③对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或实施“1”的代换(即1＝sin2α＋cos2α)，以降低函数次数，达到化简的目的．
?练一练
1．化简：(1)tan 130° ；
(2) ＋ (0<α<)．
解：(1)原式＝tan(180°－50°) －1
＝－tan 50°
＝－tan 50°
＝－tan 50°||
＝－·
＝－1.
(2)原式＝
＋
＝＋
＝|sin ＋cos |＋|sin －cos |.
∵0<α<，
∴0<<.
∴sin ＋cos >0，sin －cos <0.
∴原式＝(sin ＋cos )－(sin －cos )
＝2cos .
?讲一讲
2．求证：＝.
[尝试解答]
法一：左边＝
＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
法二：∵(sin α＋cos α－1)(1＋sin α)
＝(sin α－1)(1＋sin α)＋cos α(1＋sin α)
＝sin2α－1－cos α(1＋sin α)
＝－cos2α＋cos α(1＋sin α)
＝cos α(sin α－cos α＋1)
∴＝
证明三角恒等式常用的方法有：
(1)由繁到简，从结构复杂的一边入手，经过适当的变形、配凑，向结构简单的一边化简．
(2)从已知或已证的恒等式出发，根据定理、公式进行恒等变形，推导出求证的恒等式．
(3)比较法，证明待证等式的左、右两边之差为0.
(4)化简左右两边得相同的结果．
?练一练
2. 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ(1＋)＝＋.
证明：左边＝sin θ(1＋)＋cos θ(1＋)
＝sin θ＋＋cos θ＋＝(sin θ＋)＋(cos θ＋)＝＋
＝＋＝右边．∴等式成立.
求证：＝.
[证明]法一：左边＝
＝＝
＝＝.
右边＝
＝
＝.
∴左边＝右边，原等式成立．
法二：∵左边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边．∴原等式成立．
法三：∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
法四：∵左边－右边＝
＝
＝
＝
＝＝0.
∴左边＝右边，原等式成立．
1．化简tan 的结果是( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
解析：选A 原式＝tan |cos |.
∵0<<，cos >0，
∴原式＝cos ＝sin .
2．化简－可得( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 原式＝
＝＝－2()2＝－ .
3．设0≤x≤2π，且＝sin x－cos x，则( )
A．0≤x≤π B.≤x≤
C.≤x≤ D.≤x≤
解析：选C
＝|sin x－cos x|，
由已知得|sin x－cos x|
＝sin x－cos x，
∴sin x－cos x≥0.
∴≤x≤.
4.＝________．
解析：∵2是第二象限角，
∴原式＝
＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
答案：sin 2－cos 2
5．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1.
答案： 1
6．求证：－＝sin x＋cos x.
证明：左边＝－
＝－
＝－
＝＝sin x＋cos x＝右边．
∴等式成立．
一、选择题
1．已知tan α＝2.则＋＝( )
A．1 B．2
C. D．±2
解析：选C ＋
＝
＝＝＝.
2．若A．0 B．－1
C．2 D．－2
解析：选A ∵∴原式＝＋
＝－1＋＝0.
3．若sin2θ＋cos4θ＝1，则sin θ－cos θ＝( )
A．1 B．±1
C. D．±
解析：选B 由sin2θ＋cos4θ＝1，得cos4θ＝1－sin2θ＝cos2θ.
∴cos4θ－cos2θ＝0，cos2θ(cos2θ－1)＝0.
∴cos 2θsin2θ＝0，sin θcos θ＝0，
∴(sin θ－cos θ)2
＝1－2sin θcos θ＝1.故sin θ－cos θ＝±1.
4．已知tan α－＝－，则＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵tan α－＝－
＝＝－，
∴＝，
∴＝
＝＝.
二、填空题
5．(1＋tan2θ)cos2θ＝________．
解析：原式＝cos2θ＋tan2θcos2θ
＝cos2θ＋sin2θ＝1.
答案：1
6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则化简＋的结果是________．
解析：由题意知，角α是第二或第四象限的角．
则原式＝＋＝0.
答案：0
7．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________．
解析：由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5，
即4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5(sin2α＋cos2α)，
∴tan2α－4tan α＋4＝0，
∴tan α＝2.
答案：2
8．化简＝________．
解析：原式＝
＝
＝
＝＝.
答案：
三、解答题
9．若sin αtan α<0，化简 ＋ .
解： ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝＋.
∵|sin α|≤1，
∴1－sin α≥0，1＋sin α≥0.
又∵sin αtan α<0，
∴α是第二、三象限角，
从而cos α<0.
∴原式＝＋＝－.
10．证明：－＝.
证明：左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
第1课时 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数
[核心必知]
两角和与差的余弦、正弦公式
公式
简记
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
(Cα＋β)
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
(Cα－β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
(Sα＋β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
(Sα－β)
[问题思考]
1．cos(α－β)与cos α－cos β相等吗？是否有相等的情况？
提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如：当取α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°.
2．公式(Cα±β)和(Sα±β)中，对于角α与β的范围有没有规定？
提示：在公式中，角α与β没有规定，即对任意角α，β，公式都恒成立．
?讲一讲
1．求下列各式的值：
(1)sin 15°＋cos 15°；
(2)cos πcos π－sin πsin π.
[尝试解答] (1)法一：sin 15°＝sin(45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°
＝×－×
＝.
cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×
＝.
∴sin 15°＋cos 15°＝＋＝.
法二：sin 15°＋cos 15°
＝(sin 15°＋cos 15°)
＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)
＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
(2)原式＝cos(2π＋)cos(2π－)－sin(π－)·sin(π－)
＝cos cos －sin sin
＝cos(＋)＝cos ＝.
解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分拆角、凑角转化为和、差角的正弦、余弦公式，同时注意公式的活用、逆用，“大角”要利用诱导公式化为“小角”．
?练一练
1．求cos 105°＋sin 195°的值．
解：cos 105°＋sin 195°
＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°
＝2cos(60°＋45°)
＝2(cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°)
＝2(×－×)＝.
?讲一讲
2．已知<β<α<π，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.求cos 2β的值．
[尝试解答] ∵<β<α<π，
∴0<α－β<，π<α＋β<π，
∴sin(α－β)＝＝ ＝，
cos(α＋β)＝－＝－ ＝－.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋(－)×＝－.
解答此类题目要注意以下两点：
(1)拆拼角技巧
先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻烦．常见的拆角、拼角技巧：α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝－；
(2)确定相关角的范围
2β＝(α＋β)－(α－β)；－α＝－(＋α)等．
若题目中给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
?练一练
2. 已知cos＝，求cos α.
解：由于0<α－<，cos(α－)＝，
所以sin(α－)＝.
所以cos α＝cos
＝coscos －sinsin
＝×－×＝.
?讲一讲
3．已知α，β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－.求角β.
[尝试解答] ∵α是锐角，且sin α＝，
∴cos α＝＝ ＝.
又∵cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin(α＋β－α)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－(－)×＝.
∴β＝.
1．解决该类问题实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．解给值求角问题的步骤
(1)求解的某一个三角函数；
(2)确定角的范围；
(3)据范围写出角．
?练一练
3．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
解：∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，∴sin β＝，cos α＝.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
又－<α－β<.∴α－β＝－.
在△ABC中，sin A＝，cos B＝，求cos C的值．
[错解] ∵cos B＝，∴B为锐角，
∴sin B＝＝.∵sin A＝，0∴当A为锐角时，
cos A＝＝，
cos C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)
＝sin Asin B－cos Acos B
＝；
当A为钝角时，cos A＝－＝－， ①
cos C＝－cos(A＋B)
＝sin Asin B－cos Acos B
＝.
[错因] 错解在于没有结合题中隐含的角的范围，判断出A为钝角时不成立．
在三角形中，一定要重视角的取值范围和题目中隐含的信息．本题中，已知sin A，cos B，在求出cos A，sin B后，要想到用sin(A＋B)或A，B的范围进行验证和选择．
[正解] ∵cos B＝，0∴sin B＝＝.
∵sin A＝，0∴cos A＝±＝±.
当A为钝角时，
∵sin A＝<，∴A>.
又∵cos B＝<，
∴B>，∴A＋B>π.
这与三角形内角和A＋B＋C＝π矛盾．
∴cos A＝.
cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.
1．cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值是( )
A．0 B.
C. D．－
解析：选B 原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°
＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝.
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A ∵α是第三象限的角，且cos α＝－，
∴sin α＝－，
∴sin(α＋)＝sin αcos ＋cos αsin
＝(－－)
＝－.
3．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈(0，)，β∈(－，0)，则sin α等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A ∵β∈(－，0)且sin β＝－，
∴cos β＝.
又∵α∈(0，)，∴α－β∈(0，π)
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×()＝.
4．求值：sin 285°－cos 105°＝________．
解析：原式＝sin(360°－75°)－cos(180°－75°)
＝－sin 75°＋cos 75°
＝(cos 45°cos 75°－sin 45°sin 75°)
＝cos(45°＋75°)＝cos 120°＝－.
答案： －
5．已知向量a＝(，－)，b＝(sin x，cos x)，0解析：∵a·b＝－，∴sin x－cos x＝－，
即sin xcos －cos xsin ＝－，
∴sin(x－)＝－.
∵0∴x－＝－，故x＝.
答案：
6．已知sin(－α)＝，求的值．
解：＝
＝(cos α－sin α)
＝2(cos α－sin α)
＝2sin(－α)
＝.
一、选择题
1．(重庆高考)＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 原式＝
＝
＝＝.
2．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，那么这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：选D ∵sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C
即cos Bsin C＝sin Bcos C，sin(B－C)＝0
又－π∴B－C＝0，B＝C.
3．(湖南高考)函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为( )
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D.
解析：选B f(x)＝sin x－cos(x＋)＝sin x－cos x＋sin x＝sin(x－)，
∵sin(x－)∈[－1，1]，
∴f(x)值域为[－，]．
4．已知sin αcos α＝，0<α<，则cos(－α)的值为( )
A. B．－
C. D．±
解析：选C ∵cos(－α)＝(cos cos α＋sin ·sin α)＝cos α＋sin α，∴[cos(－α)]2＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×＝.∵0<α<，
∴－<－α<0，－<－α<，
∴cos(－α)>0.∴cos(－α)＝.
二、填空题
5．函数y＝sin xcos(x＋)＋cos xsin(x＋)的最小正周期T＝________．
解析：y＝sin(x＋x＋)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π.
答案：π
6．在△ABC中，A，B为锐角，且sin A＝，sin B＝，则A＋B＝________．
解析：∵A，B为锐角，∴cos A＝＝，
cos B＝＝.
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又0答案：
7．(大纲全国卷)当函数y＝sin x－cos x(0≤x<2π)取最大值时，x＝________．
解析：y＝sin x－cos x＝2sin(x－)，由0≤x<2π?－≤x－<可知－2≤2sin(x－)≤2，当且仅当x－＝时即x＝取得最大值．
答案：
8．设α，β，γ∈(0，)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α等于________．
解析：由条件知sin β－sin α＝sin γ，①
cos β－cos α＝－cos γ，②
由①2＋②2得2－2(sin βsin α＋cos αcos β)＝1.
∴cos(β－α)＝，又由① 知sin β>sin α，
∴β>α，β－α∈(0，)．
∴β－α＝.
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝4cos xsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝4cos xsin(x＋)－1
＝4cos x(sin x＋cos x)－1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
10．已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵<α<，
∴－<－α<0.
∴sin(－α)＝－ ＝－.
又∵0<β<，
∴<＋β<π，
∴cos(＋β)＝－ ＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos(＋α＋β)
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝.
第2课时 两角和与差的正切函数
[核心必知]
两角和与差的正切公式
名称
公式
成立条件
两角和
的正切
(Tα＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
(Tα－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[问题思考]
对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？
提示：常见的变形公式有：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
③tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)；
⑤1－tan αtan β＝；
⑥1＋tan αtan β＝.
?讲一讲
1．计算：
(1)＝________；
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________．
[尝试解答] (1)法一：∵tan 75°＝tan(45°＋30°)
＝＝＝＝2＋
∴＝＝＝－.
法二：原式＝
＝tan(45°－75°)＝－tan 30°＝－.
(2)∵＝tan 60°，
∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见1＝tan 45°，及变形公式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．
?练一练
1．计算：
(1)＝________；
(2)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________．
解析：(1)原式＝＝
＝－tan(15°＋45°)
＝－tan 60°＝－.
(2)原式＝1＋tan 23°＋tan 22°＋tan 22°tan 23°
＝1＋tan(22°＋23°)(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23°
＝1＋1×(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23°＝2.
答案：(1)－ (2)2
?讲一讲
2．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，求tan(α＋)．
[尝试解答] ∵tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，
∴tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]
＝＝＝.
“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角．
2．已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限的角，求tan(θ－φ)的值．
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝.
又θ是第二象限角，
∴cos θ＝－ ＝－，
∴tan θ＝＝－，又tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝
＝＝－2.
?讲一讲
3．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[尝试解答] ∵tan(α－β)＝＝，
∴＝.
∴tan α＝.
∴tan ＝1＞tan α＝＞0.
又∵α∈(0，π)，
∴α∈(0，)．
∴2α∈(0，)．
∵β∈(0，π)，tan β＝－，
∴β∈(，π)．
∴－π＜2α－β＜0.
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1＞0，
∴2α－β ＝－.
在求角问题中，常常因出现忽视角的范围出现增根而不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．
?练一练
3．若tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈(－，)，则α＋β＝________．
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan α×tan β＝4>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈(－，0)，
∴α＋β∈(－π，0)而tan(α＋β)＝＝＝，∴α＋β＝－π.
答案：－π
已知tan θ＝1，sin(2θ＋φ)＝3sin φ，试求tan(θ＋φ)的值．
[错解] 由tan θ＝1，可设θ＝，
代入sin(2θ＋φ)＝3sin φ，
得cos φ＝3sin φ，
即tan φ＝.
∴tan(θ＋φ)＝tan(＋φ)＝
＝＝2.
[错因] 上述解法犯了以特殊代替一般的错误，是不完整的错误解法．本题应注意从tan θ＝1解得θ＝kπ＋(k∈Z)，从而可把θ代入sin(2θ＋φ)＝3sin φ得解．另外，若注意到角的变化：2θ＋φ＝(θ＋φ)＋θ，φ＝(θ＋φ)－θ，仍可得解．
[正解] 法一：由tan θ＝1，得θ＝kπ＋(k∈Z)，
故sin(2θ＋φ)＝sin(＋φ)＝cos φ.
∵sin(2θ＋φ)＝3sin φ，
∴tan φ＝.
∴tan(θ＋φ)＝tan(＋φ)＝
＝＝2.
法二：由sin(2θ＋φ)＝3sin φ，
可得sin[(θ＋φ)＋θ]＝3sin[(θ＋φ)－θ]．
由两角和、差的正弦公式得
2cos(θ＋φ)sin θ＝sin(θ＋φ)cos θ.
∴2tan θ＝tan(θ＋φ)．
∴tan(θ＋φ)＝2.
1．tan 195°的值为( )
A．2＋ B．2－
C.－1 D.－2
解析：选B tan 195°＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
2．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )
A. B．7
C．－ D．－7
解析：选A ∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－＝－.
∴tan α＝＝－，
∴tan(α＋)＝＝.
3．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝( )
A．2 B．1
C. D．4
解析：选C 由tan(α＋β)＝，得
tan αtan β＝1－＝1－＝.
4．已知tan(α－)＝2，则tan α等于________．
解析：∵tan(α－)＝2，
∴＝2，
解得tan α＝－3.
答案：－3
5．(新课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．
解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．
法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.
法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
6．已知tan α＝，cos β＝－.
若0°<α<90°<β<180°，求α＋β的值．
解：∵cos β＝－，90°<β<180°，
∴sin β＝＝.
∴tan β＝＝－2，又tan α＝.
∴tan(α＋β)＝＝－1.
∵0°<α<90°<β<180°，
∴90°<α＋β<270°.
∴α＋β＝135°.
一、选择题
1.等于( )
A．tan 42° B.
C. D．－
解析：选C 原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝.
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则∠C等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A 已知条件可化为tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝(tan Atan B－1)．
∴tan(A＋B)＝－tan C＝－.
∴tan C＝，即C＝.
3．已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，则tan 2α＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝
＝＝－.
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝.
二、填空题
5.＝________．
解析：原式＝－
＝＝
＝＝.
答案：
6.＝________．
解析：法一：原式＝＝
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－1.
法二：原式＝
＝＝＝－1.
答案：－1
7．若A＝18°，B＝27°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是________．
解析：原式＝tan A＋tan B＋tan Atan B＋1＝tan(18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＋1＝2.
答案：2
8．已知tan θ和tan(－θ)是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p，q满足关系式为________．
解析：由题意知，
tan θ＋tan(－θ)＝－p，
tan θtan(－θ)＝q.
又∵θ＋－θ＝，
∴tan(θ＋－θ)
＝＝＝1.
∴p－q＋1＝0.
答案：p－q＋1＝0
三、解答题
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知
cos α＝，cos β＝，
因α为锐角，故sin α＞0.
从而sin α＝＝.
同理可得sin β＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜.
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
10．是否存在锐角α和β，使得下列两式：
(1)α＋2β＝π；
(2)tan tan β＝2－同时成立．
解：假设存在符合题意的锐角α和β，
由(1)知＋β＝，
∴tan(＋β)＝＝.
由(2)知tan tan β＝2－，
∴tan ＋tan β＝3－.
∴tan ，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，则0∴tan ≠1，即tan ＝2－，tan β＝1.
又∵0<β<，则β＝，代入(1)，得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝使(1)(2)同时成立．
第1课时 倍角公式及其应用
[核心必知]
二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
记法
公式
推导方法
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α
Sα＋βS2α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
Cα＋βC2α
cos 2α＝1－2sin2α
cos 2α＝2cos2α－1
利用sin2α＋cos2α＝1
消去sin2α或cos2α
T2α
tan 2α＝
Tα＋βT2α
[问题思考]
1．倍角公式成立的条件是什么？
提示：在公式S2α，C2α中，角α为任意角，在T2α中，只有当α≠kπ＋(k∈Z)及α≠＋(k∈Z)时，才成立．
2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？
提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α才成立．
?讲一讲
1．求下列各式的值：
(1)sin 75°cos 75°；(2)－sin2；(3)；
(4)－.
[尝试解答] (1)原式＝(2sin 75°cos 75°)
＝sin 150°＝×＝.
(2)原式＝(1－2sin2)＝cos ＝×＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝＝4.
二倍角公式的“三用”：
(1)公式正用
从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．
(2)公式逆用
要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
(3)公式的变形用
主要形式有1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α(升幂公式)，cos2α＝，sin2α＝(降幂公式)．
?练一练
1．求值：
(1)sin cos cos cos cos ＝________；
(2)＝________．
解析：(1)原式＝sin cos cos cos
＝sin cos cos ＝sin cos
＝sin ＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝
＝
＝＝2.
答案：(1) (2)2
?讲一讲
2．已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．
[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝，
∴sin α＝.
原式＝＝·
＝·＝×＝－.
当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．
?练一练
2．已知<α<π，tan α＋＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解： (1)∵tan α＋＝－，∴3tan2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－或tan α＝－3.
∵<α<π，
∴－1∴tan α＝－.
(2)∵tan α＝－，
∴
＝
＝＝＝－.
?讲一讲
3．(湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图像经过点(，0)，求函数f(x)的值域．
[尝试解答] (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，
可得sin(2ωπ－)＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图像过点(，0)得f()＝0，
即λ＝－2sin(×－)＝－2sin＝－，
即λ＝－，
故f(x)＝2sin(x－)－，
函数f(x)的值域为[－2－，2－]．
解决此类问题的步骤：
(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为asin α＋bcos α＋k的形式；
(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y＝sin(ωα＋φ)＋k或y＝cos(ωα＋φ)＋k的形式．(其中φ可由a，b的值唯一确定)
(3)利用f(x)＝sin x或f(x)＝cos x的性质进行研究，求得结果．
?练一练
3．(山东高考)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力．
(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
又ω>0，所以＝4×，因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤时，≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值分别为，－1.
已知cos(＋x)＝，[解] 法一：∵
＝
＝，
由cos x＋sin x＝sin (＋x)，
cos x－sin x＝cos(＋x)，
∴原式＝sin 2xtan(＋x)．
又∵∴∴sin(＋x)<0，
∴sin(＋x)＝－，
∴tan(＋x)＝－.
而sin 2x＝－cos(＋2x)＝－cos 2(＋x)，
∴原式＝－sin 2x＝cos(2x＋)
＝cos2(x＋)
＝＝－.
法二：∵＝
＝sin 2x
＝sin 2xtan(＋x)．(*)
又∵∴<＋x<2π，
∵cos(＋x)＝，
∴sin(＋x)＝－ ＝－，
∴tan(＋x)＝－，
又sin 2x＝－cos(＋2x)
＝－cos2(＋x)
＝－
＝1－2×＝，
将上述结果代入(*)式有，原式＝×(－)＝－.
法三：原式＝
＝
＝，①
由cos(＋x)＝，得(cos x－sin x)＝，
即cos x－sin x＝.②
平方得1－sin 2x＝，
∴sin 2x＝③
∴(cos x＋sin x)2＝1＋sin 2x＝.
又∵∴cos x＋sin x<0.
则cos x＋sin x＝－.④
将②③④代入①有原式＝＝－.
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 1－2sin222.5°＝cos 45°＝.
2．(全国甲卷)若cos＝，则sin 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 因为cos＝，
所以sin 2α＝cos＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3．(江西高考)若sin＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×()2＝.
4．cos2－sin2＝________．
解析：cos2－sin2＝cos ＝.
答案：
5．若＝2 012，则＋tan 2α＝________．
解析：＋tan 2α
＝＋
＝
＝＝
＝＝2 012
答案： 2 012
6．已知sin α＋cos α＝，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
解：法一：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.
∵sin αcos α<0，0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0.
又sin α＋cos α＝>0，∴sin α>|cos α|.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0.
∴cos 2α＝－
＝－.tan 2α＝＝.
法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.
∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－<0，
∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.
∴sin α－cos α＝
＝＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝×(－)＝－.
∴tan 2α＝＝.
一、选择题
1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.
2．(陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )
A. B.
C．0 D．－1
解析：选C 由向量互相垂直得到a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.
3．(江西高考)若＝，则tan 2α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 由已知条件得＝?tan α＝3，
∴tan 2α＝＝－.
4．已知cos(＋θ)cos(－θ)＝?eq f(r(3),4)，θ∈(π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C cos(＋θ)×cos(－θ)
＝sin(－θ)cos(－θ)
＝sin(－2θ)
＝cos 2θ＝.
∴cos 2θ＝.
∵θ∈(π，π)，∴2θ∈(π，2π)，
∴sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝，
∴sin θ＋cos θ＝－.
二、填空题
5．函数f(x)＝cos 2x－2sin xcos x的最小正周期是________．
解析：f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos(2x＋)．
∴T＝＝π.
答案：π
6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．
解析：tan 20°＋4sin 20°＝
＝＝
＝
＝＝2sin 60°＝.
答案：
7．已知tan(x＋)＝2，则的值为________．
解析：∵tan(x＋)＝＝2，
∴tan x＝.
又∵tan 2x＝，
∴＝(1－tan2x)＝(1－)＝.
答案：
8．化简：＝________．
解析：
＝＝＝1.
答案：1
三、解答题
9．已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．
解：∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos(α＋)>0，∴<α＋<.
∴sin(α＋)＝－
＝－ ＝－.
∴cos 2α＝sin(2α＋)
＝2sin(α＋)cos(α＋)
＝2×(－)×＝－，
sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)
＝1－2×()2＝.
∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α
＝×(－－)＝－.
10．(四川高考)已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
解：(1)f(x)＝cos2－sincos－
＝(1＋cos x)－sin x－
＝cos (x＋)．
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知f(α)＝cos (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝.
所以sin 2α＝－cos(＋2α)＝－cos 2(α＋)
＝1－2cos2(α＋)＝1－＝.
第2课时 半角公式及其应用
[核心必知]
正弦、余弦和正切的半角公式
半角的正弦公式
sin ＝±_
半角的余弦公式
cos ＝±_
半角的正切公式
tan ＝±＝＝
[问题思考]
1．半角公式适用条件是什么？
提示：cos ＝± ，sin ＝± 中，α∈R，tan ＝± ＝中， α≠2kπ＋π，k∈Z，tan ＝中，α≠kπ，k∈Z.
2．半角正切公式中的三个公式各有什么优缺点？
提示：无理式公式的优点是只含一个函数cos α，缺点是含有“±”号，需判断所在的象限来确定tan 的正负；有理式公式的优点是不用判断所在的象限，缺点是需知道sin α，cos α两个函数的值才能计算．
?讲一讲
1．已知cos α＝，α为第四象限的角，求tan 的值．
[尝试解答] 法一：(用tan ＝± 来处理)．
∵α为第四象限的角，∴是第二或第四象限的角．
∴tan <0.
∴tan ＝－ ＝－ ＝－
＝－
＝－
＝.
法二：(用tan ＝来处理)
∵α为第四象限的角，
∴sin α<0.
∴sin α＝－ ＝－ ＝－.
∴tan ＝＝＝.
法三：(用tan ＝来处理)
∵α为第四象限的角，
∴sin α<0.
∴sin α＝－ ＝－＝－.
∴tan ＝＝
＝＝.
在求半角的正切tan 时，用tan ＝± 来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan ＝或tan ＝来处理，可以避免这些问题．尤其是tan ＝，分母是单项式，容易计算．因此常用tan ＝求半角的正切值．
?练一练
1．已知sin α＝－，180°<α<270°，求sin ，cos ，tan 的值．
解：∵180°<α<270°，∴90°<<135°.
又∵sin α＝－，∴cos α＝－.
∴sin ＝ ＝ ＝.
cos ＝－ ＝ ＝－.
tan ＝＝－2.
?讲一讲
2．设α∈(，2π)，化简：
.
[尝试解答] ∵α∈，
∴cos α>0，cos <0.
故原式＝
＝
＝＝|cos |
＝－cos .
利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1)去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin2α＝，cos2α＝)降低次数以减少运算量，注意隐含条件中角的范围．
?练一练
2．化简：(1＋tan xtan )．
解：原式＝(1＋·)
＝sin x(1＋)
＝sin x＝tan x.
?讲一讲
3．求证：＝sin 2α.
[尝试解答] 左边＝
＝＝
＝sin αcos α＝sin 2α＝ 右边．
1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．
2．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
3．证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法．
?练一练
3．求证：sin2－1＝－.
证明：由sin ＝± ，
知sin ＝± ，
∴sin2＝，
∴sin2－1＝－1
＝－，
原等式得证．
化简：(90°<α<180°)．
[错解] ∴α是第二象限角，
∴原式＝
＝
＝
＝cos α.
[错因] 错解中把α的范围错误地当作的范围，从而判断cos 的符号时出现错误．
[正解] 原式＝
＝
＝.
又∵90°<α<180°，
∴45°<<90°，
∴cos >0，
∴原式＝＝－cos α.
1．tan 15°等于( )
A．2＋ B．2－
C.＋1 D.－1
解析：选B tan 15°＝tan＝＝2－.
2．设α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：选D ∵α∈(π，2π)，∴<<π.∴cos <0.
∴原式＝ ＝|cos |＝－cos .
3．已知sin 2θ＝，θ∈(0，)，则tan θ等于( )
A. B.或
C. D.
解析：选C ∵0<θ<∴0<2θ<.
∴cos 2θ＝ ＝ ＝.
∴tan θ＝＝＝.
4．已知cos α＝，270°<α<360°，那么cos 的值为________．
解析：∵270°<α<360°，∴135°<<180°，
∴cos <0.
∴cos ＝－ ＝－ ＝－.
答案： －
5．已知sin θ＝且π<θ<3π，则tan ＝________．
解析：∵<θ<3π，
∴cos θ＝－，
又∵<<π，
∴tan ＝ ＝ ＝2.
答案：2
6．计算：tan ＋.
解：tan ＋＝＋
＝＋＝＋2＋
＝1＋＋.
一、选择题
1．已知tan ＝3，则cos α为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 法一：cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝－.
法二：∵tan ＝3，∴＝9，
即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－.
2．已知α为第三象限角，且sin α＝－，则tan 等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C ∵α为第三象限角，
∴cos α＝－＝－ ＝－，
tan ＝＝＝－.
3．设a＝cos 6°－sin 6°，
b＝，c＝ 则有( )
A．a>b>c B．aC．a解析：选C a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，
b＝＝
＝sin 26°，c＝sin 25°.
由24°<25°<26°可得a4．化简4cos2α÷(－tan )的结果为( )
A．－cos αsin α B．sin 2α
C．－sin 2α D．2sin 2α
解析：选B 原式＝4cos2α
＝2cos2αtan α＝2cos2α
＝2sin αcos α＝sin 2α.
二、填空题
5．计算：sin ＝________．
解析：sin ＝ ＝ ＝.
答案：
6．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A的值为________．
解析：∵cos A＝，
∴原式＝cos2＋cos 2A
＝＋2cos2A－1
＝＋2×()2－1＝－.
答案：－
7．化简：·＝________．
解析：原式＝·
＝·2tan 2α
＝×2tan 2α
＝tan 2α.
答案：tan 2α
8．已知sin －cos ＝－，若450°<α<540°，则tan ＝________．
解析：由条件知1－2sin cos ＝，
∴2sin cos ＝，即sin α＝
又450°<α<540°，cos α<0，
∴cos α＝－.
tan ＝＝＝2.
答案：2
三、解答题
9．求值：－sin 10°(－tan 5°)．
解：原式＝－sin 10°(－)
＝－sin 10°
＝－2cos 10°
＝
＝
＝
＝cos 30°＝.
10．已知函数y＝cos2x＋sin xcos x＋1(x∈R)，求函数的最大值及对应自变量x的集合．
解：y＝cos2x＋sin xcos x＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋
＝sin(2x＋)＋，
y取最大值，只需2x＋
＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)．
∴ymax＝.
∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为
.
第三章 三角恒等变形
一、三角恒等变形公式
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；商数关系：tan α＝.
(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin2α＋cos2α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．
2．和(差)角公式
(1)公式Cα－β，Cα＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式Sα－β，Sα＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；Tα±β的符号规律为“分子同，分母反”．
(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．
3．二倍角公式
(1)分别令公式Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β中的α＝β，即得公式C2α，S2α，T2α.
(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．
(3)公式变形
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
4．半角公式
半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由所在的象限确定相应三角函数值的符号．
二、公式的应用途径
(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．
(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．
(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如
①1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α；
②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
1－tan αtan β＝；
③sin αcos α＝sin 2α，cos α＝；
④sin2α＝，cos2α＝；
⑤2tan α＝tan 2α(1－tan2α)等．
三、常见的三角恒等变形
(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型．
(2)应用公式进行三角函数式的化简．
(3)应用公式进行三角函数式的证明．
注意的问题
(1)“1”的代换
在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin2α＋cos2α，1＝tan，1＝cos 2α＋2sin2α，1＝2cos2α－cos 2α等．
(2)辅助角公式
辅助角公式几乎高考必考，即asin α＋bcos α＝
sin(α＋φ)(tan φ＝)．常见的有以下几个：
sin α±cos α＝sin(α±)，sin α±cos α＝2sin(α±)，sin α±cos α＝2sin(α±)．
四、三角恒等变形技巧
常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．
[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
[解析] 因为α为锐角，cos(α＋)＝，
所以sin(α＋)＝，sin2(α＋)＝，
cos2(α＋)＝，
所以sin＝sin
＝×＝.
[答案]
[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．
2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝－，(＋β)－(－α)＝＋(α＋β)，(α＋)＋(β－)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．
[对点训练]
1．已知sin(－α)sin(＋α)＝(0<α<)，求sin 2α的值．
解：∵sin＝sin＝cos，
∴＝sin(－α)sin(＋α)＝sin(＋α)cos(＋α)
＝sin(＋2α)
＝cos 2α，
∴cos 2α＝.∵0<α<，∴0<2α<π，∴sin 2α＝.
[典例2] 已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.
[解] ∵0°<α<90°，且tan α＝＝4，
sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝.
∵cos(α＋β)＝－，0°<α＋β<180°，
∴sin(α＋β)＝ ＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝(－)×＋×＝.
又∵0°<β<90°，∴β＝60°.
[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．
2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－，)，选择求所求角的正弦函数值．
[对点训练]
2．在△ABC中，如果4sin A＋2cos B＝1，2sin B＋4cos A＝3，则角C的大小为________．
解析：由4sin A＋2cos B＝1，
2sin B＋4cos A＝3，
两边平方相加得sin(A＋B)＝.
如果A＋B＝，则B<，
∴cos B>与条件4sin A＋2cos B＝1矛盾．
∴A＋B＝，C＝.
答案：
[典例3] 化简：.
[解] 法一：原式＝
＝
＝＝＝1.
法二：原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
[借题发挥]
1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．
2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．
[对点训练]
3．求证：＝.
证明：tan(α＋β)－tan α＝－
＝
＝.
1＋tan βtan(α＋β)＝1＋·
＝
＝＝.
∴左边＝＝＝右边．
[典例4] (山东高考)已知向量m＝(sin x，1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的值域．
[解] (1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x
＝A(sin 2x＋cos 2x)
＝Asin(2x＋)．
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin(2x＋)．
将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后得到
y＝6sin＝6sin的图像；
再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋)的图像．
因此g(x)＝6sin(4x＋)．
因为x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3，6]．
[借题发挥]
1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．
2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
[对点训练]
4．(广东高考)已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f＝，所以Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
f＝2cos＝－2sin α＝－，所以sin α＝，因为α∈，所以cos α＝；又因为f＝2cos＝2cos β＝，所以cos β＝，因为β∈，所以sin β＝.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．计算sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B 原式＝sin 21°cos 9°＋sin(90°－21°)sin 9°
＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9°
＝sin 30°＝.
2．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选A ∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝2，
∴sin 2α＝－1.
3．(重庆高考)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A 依题意得
则tan(α＋β)＝＝＝－3.
4．若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B.
C．1 D.
解析：选D 原式＝
＝＝.
5．(山东高考)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为θ∈，所以2θ∈，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sin θ＝.
6．已知sin(－x)＝，则sin 2x的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A sin 2x＝cos(－2x)
＝cos 2(－x)＝1－2sin2(－x)
＝1－＝.
7．若α，β均为锐角，sin α＝，sin(α＋β)＝，则cos β的值为( )
A. B.
C.或 D．－
解析：选B 由sin α＝，α为锐角知cos α＝.
∵sin α＝>sin(α＋β)＝，
∴α＋β∈(，π)，
∴cos(α＋β)＝－.
∴cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin (α＋β)＝.
8．函数y＝sin xcos x＋cos2x的图像的一个对称中心是( )
A．(，－) B．(，－)
C．(，) D．(，)
解析：选D y＝sin 2x＋
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin(2x＋)＋，
当x＝时，sin(2×＋)＝0.
∴(，)是函数图像的一个对称中心．
9．(江西高考)若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 法一：∵tan θ＋＝＝4，
∴4tan θ＝1＋tan2 θ，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝
＝＝＝.
法二：∵tan θ＋＝＋＝＝
∴4＝，故sin 2θ＝.
10．函数y＝cos 2xcos －2sin xcos xsin π的递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选D y＝cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝cos(2x－)．
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z.
∴kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知cos α＝－，α∈(，π)，则tan(＋α)等于________．
解析：由已知得tan α＝－，
所以tan(＋α)＝＝.
答案：
12．已知sin ＋cos ＝，那么cos 2θ的值为________．
解析：(sin ＋cos )2＝1＋sin θ＝，sin θ＝，cos 2θ＝1－2sin2θ＝.
答案：
13．△ABC的三个内角为A，B，C，当A为________时，cos A＋2cos 取得最大值，且这个最大值为________．
解析：cos A＋2cos ＝cos A＋2sin
＝1－2sin2＋2sin
＝－2sin2＋2sin －1
＝－2(sin －)2＋，
当sin ＝，即A＝60°时，
得(cos A＋2cos )max＝.
答案：60°
14．已知α是第二象限角，且sin α＝，则＝________．
解析：∵α为第二象限角，
∴cos α＝－＝－.
＝＝＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)化简－2cos(α＋β)．
解：法一：原式＝－2cos(α＋β)
＝－2cos(α＋β)
＝－cos(α＋β)
＝
＝＝.
法二：原式＝
＝.
＝
＝.
16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－，且α∈(，π)，tan β＝.
(1)求tan(α－β)的值；
(2)求sin(2α＋)的值．
解：(1)由条件得sin α＝.
又α∈(，π)，所以tan α＝－.
故tan (α－β)＝＝－2.
(2)由条件得sin α＝.
又α∈(，π)，得cos α＝－.
所以sin 2α＝2××(－)＝－，
cos 2α＝(－)2－()2＝.
故sin(2α＋)＝－×＋×＝.
17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为.
因为f(x)＝(sin x－cos x)
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递减区间为
(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
18．(安徽高考)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．
(1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
模块综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则sin α的值等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选C sin α＝＝.
2．已知cos＝－且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由cos＝－得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，所以tan φ＝.
3．已知cos α＝，0＜α＜π，则tan＝( )
A. B.
C．－1 D．－7
解析：选D 因为cos α＝＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜，sin α＞0，所以sin α＝，故tan α＝，所以tan(α＋)＝＝＝－7.
4．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析：选C y＝cos 2x的图像向左平移个单位后即变成y＝cos 2＝cos(2x＋1)的图像．
5．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B.∪
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
解析：选B 当a，b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不共线．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.
7．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
解析：选C ∵T＝4×2＝8，∴ω＝.
又∵×1＋φ＝，
∴φ＝.
8．若α∈，且sin α＝，则sin－cos(π－α)等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B sin－cos(π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α＝sin α＋cos α.
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝×－×＝－.
10．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是( )
A．2
B．1＋
C．π
D．4
11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在单调递减
B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递增
解析：选A y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<可得φ＝，
所以y＝cos 2x，在单调递减．
.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
13．已知cos x＝，x是第二、三象限的角，则a的取值范围为________．
解析：－1＜cos x＜0，－1＜＜0，
∴－1＜a＜.
答案：
14．已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析：由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos －2kcos －2＝0，化简可求得k＝.
答案：
15．y＝3－ 的定义域为________．
解析：∵2cos≥0，
∴2kπ－≤3x＋≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
函数的定义域为{x|kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z}．
答案：{x|kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z}
16．有下列四个命题：
①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β；
②若函数y＝2cos的最小正周期是4π，则a＝；
③函数y＝是奇函数；
④函数y＝sin在[0，π]上是增函数．
其中正确命题的序号为________．
解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y＝2cos的最小正周期为T＝＝4π，所以|a|＝，a＝±，因此②不正确；③中函数定义域是，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y＝sin＝－sin(－x)＝－cos x，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．
答案：④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)化简：·
·.
解：原式＝··＝·tan x·tan x·＝sin x.
18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求式子·的值．
解：(1)∵|OP|＝＝1，
∴点P在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝＝.
由(1)得sin α＝－，P在单位圆上，
∴由已知得cos α＝，∴原式＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋sin(2x－)＋2cos2x.
(1)求f(x)的最小值及最小正周期；
(2)求使f(x)＝3的x的取值集合．
解：(1)∵f(x)＝sin＋sin＋2cos2x＝sin 2x·cos＋cos 2xsin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)min＝2×(－1)＋1＝－1，
最小正周期T＝＝＝π.
(2)∵f(x)＝3，∴2sin＋1＝3，
∴sin＝1，
∴2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z，
∴使f(x)＝3的x的取值集合为
∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，整理得x＋2y＝0.
∴y＝－x.
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
由(1)知x＝－2y，将其代入上式，
整理得y2－2y－3＝0.
解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x＝－6，
21．(本小题满分12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤)的图像与y轴交于点(0，1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；
(3)求使y≥1的x的集合．
解：(1)因为函数图像过点(0，1)，
所以2sin φ＝1，即sin φ＝.
因为0≤φ≤，所以φ＝.
(2)由(1)得y＝2sin，
∴当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，y＝2sin(πx＋)是增函数，故y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由y≥1，得sin≥，
∴＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即2k≤x≤＋2k，k∈Z，
∴y≥1时，x的集合为{x|2k≤x≤＋2k，k∈Z}．
22．(本小题满分12分)已知M(1＋cos 2x，1)，N(1，sin 2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，且y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图像可由y＝2sin的图像经过怎样的变换而得到；
(3)函数y＝g(x)的图像和函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求y＝g(x)的表达式，并比较g(1)和g(2)的大小．
解：(1)y＝f(x)＝＝(1＋cos 2x，1)·(1，sin 2x＋a)＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin＋1＋a.
(2)x∈，则∈，
所以f(x)的最大值为3＋a＝4，解得a＝1，
此时f(x)＝2sin＋2，其图像可由y＝2sin(x＋)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的倍，再将所得图像向上平移2个单位得到．
(3)设M(x，y)为y＝g(x)的图像上任一点，
由函数y＝g(x)的图像和函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，得M(x，y)关于x＝1的对称点M′(2－x，y)在y＝f(x)的图像上，所以y＝g(x)＝f(2－x)＝2sin[2(2－x)＋]＋1＋a＝2sin(－2x＋4＋)＋1＋a，g(1)＝2sin(2＋)＋1＋a，g(2)＝2sin＋1＋a＝2sin＋1＋a.
∵＜2＋＜＜π，
∴g(1)＞g(2)．
