16.1.1 二次根式的定义课件
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16.1.1 二次根式的定义
人教版 八年级下
教学目标：
1、通过8道例题的详细讲解，使您对二次根式的意义，深入理解。
⑴ 面积为3的正方形的边长为 ，
面积为S的正方形的边长为 .
【问题】用带有根号的式子填空，看看写出
的结果有什么特点：
∵ x2＝S
⑵ 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，
面积为130m2，则它的宽为 m；
【问题】用带有根号的式子填空，看看写出
的结果有什么特点：
解：设宽为x m，则长这2xm
2x·x＝130
x2＝65
⑶ 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位： m)满足关系h＝5t2。如果用含有h的式子表示t，则t＝ 。
在上面的问题中，它们的结果都表示一些正数
的算术平方根。
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根。因此，开平方时，被开方数只能是：正数和0(或者说：“大于或等于0的数” 即“非负数”)。
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
二次根式就是算术平方根
【例1】当 x 是怎样的实数时， 在实数
范围内有意义？
解：由 x－2≥0，得
x≥2
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义。
【思考】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
解：⑴∵无论x取什么实数，永远有：
∴ x为任意实数， 都有意义。
x2≥0
⑵ ∵当x≥0时，
∴ x≥0时， 有意义。
x3≥0
而当x＜0时，
x3＜0
x＜0时， 无意义。
【思考】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
【例1】要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽的比为3∶2，它的长、宽各应取多少？
解：设它的长、宽分别为：3xcm、2xcm，则
2x
3x
3x·2x＝18
6x2＝18
x2＝3
答：它的长、宽应分别取
⑶
⑴
⑵
解：⑴ 由 a－1≥0，得
a≥1
当 a≥1时， 在实数范围内有意义。
【例2】当 a 时怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶
⑴
⑵
解：⑵ 由 2a＋3≥0，得
在实数范围内有意义。
⑶
⑴
⑵
解：⑶ 由 －a≥0，得
a≤0
当 a≤0时， 在实数范围内有意义。
【例2】当 a 时怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
在实数范围内有意义。
⑷
20－3a≥0
－3a≥－20
【例2】当 a 时怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑴
解：⑴ ∵无论x取何实数，都有
x2＋1＞0
∴ x 取任意实数 都有意义。
⑵
⑴
解：⑵ ∵无论x取何实数，都有
(x－1)2≥0
∴ x 取任意实数 都有意义。
⑵
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶
解：⑶ 由 得
x＞0
∴ 当 x＞0时， 有意义。
⑷
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
解：⑷ 由x＋1＞0，得
x＞－1
∴ 当 x＞－1时， 有意义。
⑶
⑷
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
解：⑴ 由 3＋x≥0，得
x≥－3
当 x≥－3时， 有意义。
⑴ ⑵
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑴ ⑵
解：⑵ 由 2x－1＞0，得
x＞0.5
当 x＞0.5 时， 有意义。
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶ ⑷
解：⑶ 由2－3x＞0，得
x＜
当 x＜ 时， 有意义。
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
解：⑷ 由(x－1)2≠0，得
x≠1
当 x≠1 时， 有意义。
⑶ ⑷
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶
⑴
⑵
⑷
【例5】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑴
解：⑴ 由 3x－6＞0，得
x＞2
当 x＞2时， 有意义。
【例5】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑵
⑵
解：⑵ 由题意，得
x＋4≥0
当x≥－4且x≠3时， 有意义。
x－3≠0
解，得
x≥－4 且
x≠3
⑶
当x无论取任何实数， 都有意义。
解：无论x取何值，都有：
⑷
解：由题意，得
1－x＞0
当 时， 有意义。
3x－1≥0
解，得
【例6】若实数x、y满足：
求 的值。
解：要使
有意义，必须使下面的不等式成立.
1－2x≥0
2x－1≥0
解，得
x＝0.5
y＝0.5
原式＝
1
【例7】已知 ＜0，若 b＝2－a，
则b的取值范围是 .
解：由b＝2－a，得 a＝2－ b
【例8】已知实数x、y、a满足：
试问：长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。
解：要使等式成立必须使：
x＋y－8≥0
8－x－y≥0
解，得
x＋y＝8 ①
将x＋y＝8代入原等式，得
由非负数的意义，知
3x－y－a＝0 ②
x－2y＋a＋3＝0 ③
②＋③，得
4x－3y＋3＝0 ④
①和④组成方程组，解得
x＝3，y＝5
9－5－a＝0
a＝4
把x＝3，y＝5代入②，得
∴ x2＋a2＝y2
①和④组成方程组，解得
x＝3，y＝5
∴由x、y、a组成的三角形是直角三角形。
三角形的面积是
S△＝3×4÷2＝6
谢谢
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16.1.1 二次根式的定义
人教版 八年级下
教学目标：
1、通过8道例题的详细讲解，使您对二次根式的意义，深入理解。
⑴ 面积为3的正方形的边长为 ，
面积为S的正方形的边长为 .
【问题】用带有根号的式子填空，看看写出
的结果有什么特点：
∵ x2＝S
⑵ 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，
面积为130m2，则它的宽为 m；
【问题】用带有根号的式子填空，看看写出
的结果有什么特点：
解：设宽为x m，则长这2xm
2x·x＝130
x2＝65
⑶ 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位： m)满足关系h＝5t2。如果用含有h的式子表示t，则t＝ 。
在上面的问题中，它们的结果都表示一些正数
的算术平方根。
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根。因此，开平方时，被开方数只能是：正数和0(或者说：“大于或等于0的数” 即“非负数”)。
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
二次根式就是算术平方根
【例1】当 x 是怎样的实数时， 在实数
范围内有意义？
解：由 x－2≥0，得
x≥2
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义。
【思考】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
解：⑴∵无论x取什么实数，永远有：
∴ x为任意实数， 都有意义。
x2≥0
⑵ ∵当x≥0时，
∴ x≥0时， 有意义。
x3≥0
而当x＜0时，
x3＜0
x＜0时， 无意义。
【思考】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
【例1】要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽的比为3∶2，它的长、宽各应取多少？
解：设它的长、宽分别为：3xcm、2xcm，则
2x
3x
3x·2x＝18
6x2＝18
x2＝3
答：它的长、宽应分别取
⑶
⑴
⑵
解：⑴ 由 a－1≥0，得
a≥1
当 a≥1时， 在实数范围内有意义。
【例2】当 a 时怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶
⑴
⑵
解：⑵ 由 2a＋3≥0，得
在实数范围内有意义。
⑶
⑴
⑵
解：⑶ 由 －a≥0，得
a≤0
当 a≤0时， 在实数范围内有意义。
【例2】当 a 时怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
在实数范围内有意义。
⑷
20－3a≥0
－3a≥－20
【例2】当 a 时怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑴
解：⑴ ∵无论x取何实数，都有
x2＋1＞0
∴ x 取任意实数 都有意义。
⑵
⑴
解：⑵ ∵无论x取何实数，都有
(x－1)2≥0
∴ x 取任意实数 都有意义。
⑵
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶
解：⑶ 由 得
x＞0
∴ 当 x＞0时， 有意义。
⑷
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
解：⑷ 由x＋1＞0，得
x＞－1
∴ 当 x＞－1时， 有意义。
⑶
⑷
【例3】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
解：⑴ 由 3＋x≥0，得
x≥－3
当 x≥－3时， 有意义。
⑴ ⑵
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑴ ⑵
解：⑵ 由 2x－1＞0，得
x＞0.5
当 x＞0.5 时， 有意义。
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶ ⑷
解：⑶ 由2－3x＞0，得
x＜
当 x＜ 时， 有意义。
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
解：⑷ 由(x－1)2≠0，得
x≠1
当 x≠1 时， 有意义。
⑶ ⑷
【例4】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑶
⑴
⑵
⑷
【例5】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑴
解：⑴ 由 3x－6＞0，得
x＞2
当 x＞2时， 有意义。
【例5】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
⑵
⑵
解：⑵ 由题意，得
x＋4≥0
当x≥－4且x≠3时， 有意义。
x－3≠0
解，得
x≥－4 且
x≠3
⑶
当x无论取任何实数， 都有意义。
解：无论x取何值，都有：
⑷
解：由题意，得
1－x＞0
当 时， 有意义。
3x－1≥0
解，得
【例6】若实数x、y满足：
求 的值。
解：要使
有意义，必须使下面的不等式成立.
1－2x≥0
2x－1≥0
解，得
x＝0.5
y＝0.5
原式＝
1
【例7】已知 ＜0，若 b＝2－a，
则b的取值范围是 .
解：由b＝2－a，得 a＝2－ b
【例8】已知实数x、y、a满足：
试问：长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。
解：要使等式成立必须使：
x＋y－8≥0
8－x－y≥0
解，得
x＋y＝8 ①
将x＋y＝8代入原等式，得
由非负数的意义，知
3x－y－a＝0 ②
x－2y＋a＋3＝0 ③
②＋③，得
4x－3y＋3＝0 ④
①和④组成方程组，解得
x＝3，y＝5
9－5－a＝0
a＝4
把x＝3，y＝5代入②，得
∴ x2＋a2＝y2
①和④组成方程组，解得
x＝3，y＝5
∴由x、y、a组成的三角形是直角三角形。
三角形的面积是
S△＝3×4÷2＝6
谢谢
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