17.1.2 勾股定理的证明与练习课件
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(共32张PPT)
17.1.2勾股定理的证明与练习
人教版 八年级下
一、勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，因此不断出现新的证法。下面介绍几种证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
1、传说中毕达哥拉斯的证法
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
c
c
⑴
⑵
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
c
c
⑴
⑵
a2＋b2＋2·ab
c2＋2·ab
＝
a2＋b2＝c2
2、弦图的另一种证法
①大正方形的面积∶
②四个直角三角形的面积加上一个小正方形的面积∶
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
上图的面积可用两种方法来表示
(a＋b)
(a＋b) ＝2ab＋c2
a2＋b2＝c2
3、美国第20任总统加菲尔德的证法
②三个三角形的面积和：
①一个梯形的面积：
a
a
b
b
c
c
上图中，一个梯形的面积＝三个三角形的面积和
②三个三角形的面积和：
①一个梯形的面积：
上图中，一个梯形的面积＝三个三角形的面积和
(a＋b) ＝2ab＋c2
a
a
b
b
c
c
a2＋b2＝c2
a
b
c
b
a
c
(1)
(2)
观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足：
a ＋b ＝c
⑴a ＋b ＜c
⑵a ＋b ＞c
勾股定理的推广
(Ⅰ)在锐角△ABC中，边c是最长边，则
(Ⅱ)在钝角△ABC中，边c是最长边，则
c ＞a ＋b
c ＜a ＋b
⑵、在Rt ABC中，AB＝5，AC＝12，
则斜边BC＝13 . 〖 〗
1、判断题
⑴、在Rt ABC中，a＝6，b＝8，则c＝10. 〖 〗
边c不一定是最长边
② 若c＝10，a∶b＝3∶4，
则a＝ ，b＝ .
⑴、在 ABC中，∠C＝90°，
6
8
2、填空题
① 若a＝9，b＝40，则c＝______.
41
③、在 ABC中， ∠C＝90°，若AC＝6，CB＝8，则 ABC面积为_____，斜边上的高为______.
24
4.8
2、填空题
【问题1】 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
问题 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
解：由于 22＋32＝13
∴ 只要画出两直角边分别为2和3的直角三角形，则其斜边就是
0
1
2
3
4
5
【问题2 】 在数轴上，你能画出任意正整数的算术平方根表示的数吗？
0
1
回答是肯定的！
利用勾股定理，可以作出长为
·······的线段。
1
1
1
1
1
1
1
1
利用勾股定理，可以作出长为
·······的线段。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3、在数轴上作出表示 的点。
解：由于 42＋12＝17
∴ 只要画出两直角边分别为4和1的直角三角形，则其斜边就是
0
1
2
3
4
5
4、如图，等边三角形的边长是6.
⑴ 求高AD的长 (结果保留3位小数)
⑵ 求这个三角形的面积
(结果保留1位小数)
A
B
C
D
解：⑴ 在Rt△ABD中，
AD2＝AB2－BD2
＝62－32
＝27
≈5.196
4、如图，等边三角形的边长是6：
⑴ 求高AD的长 (结果保留3位小数)
⑵ 求这个三角形的面积 (结果保留1位小数)
A
B
C
D
⑵ S△ABC＝
≈15.6
5、求下图中字母所代表的正方形的面积。
225
A
400
225
B
81
⑴ SA＝625
⑵ SB＝144
6、求出下列直角三角形中未知边的长度。
6
8
x
5
13
y
解：x2＝62＋82
＝100
∴ x＝10
解：y2＝132－52
＝144
∴ y＝12
7、如图，一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处，这棵树断裂前有多高？
9米
12米
A
B
C
解：在Rt△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2
＝92＋122
＝225
AB＝15
AB＋BC＝24（米）
答：这棵树折断前有24米高。
8、求斜边长17厘米，一条直角边长为15厘米的直角三角形
的面积。
17
15
解：设另一条直角边为x厘米，
根据勾股定理得；
x2 ＝ 172－152
＝289—225
＝64
x ＝8
S△＝8×15÷2
＝60cm2
8
9、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物的距离AB为6米，为此至少需要多长的梯子？
8m
6m
A
B
答：梯子至少长10米。
C
解：根据勾股定理得
AC2＝ 62＋ 82
＝36＋64
＝100
AC＝10
10、如图，在△ABC中，∠ACB＝90。，CD是高，
若AB＝13cm，AC＝5cm，求CD的长；
A
B
C
D
解：在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2
＝132－52
＝144
5
13
BC＝12
S△ABC = 12×5÷2
12
＝30cm2
S△ABC ＝ 12×5÷2
＝30cm2
13·CD÷2 ＝30
(cm)
答：CD的长是 cm.
A
B
C
D
5
13
12
10、如图，在△ABC中，∠ACB＝90。，CD是高，
若AB＝13cm，AC＝5cm，求CD的长；
11、下图阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。
15厘米
17厘米
解：S＝172－152
＝64厘米2
12、如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
6米
10米
解：x2＝102－62 ＝64
∴ x＝8
答：有8米远。
13、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？
4000米
5000米
A
B
C
解：在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2
＝50002－40002
＝30002
BC＝3000
v＝3000÷20＝150(米/秒)
＝540(千米/时)
答：飞机每时飞行540千米.
谢谢
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17.1.2勾股定理的证明与练习
人教版 八年级下
一、勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，因此不断出现新的证法。下面介绍几种证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
1、传说中毕达哥拉斯的证法
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
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b
c
c
c
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⑴
⑵
a
b
b
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a
b
b
a
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a
b
a
b
a
b
c
c
c
c
⑴
⑵
a2＋b2＋2·ab
c2＋2·ab
＝
a2＋b2＝c2
2、弦图的另一种证法
①大正方形的面积∶
②四个直角三角形的面积加上一个小正方形的面积∶
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
上图的面积可用两种方法来表示
(a＋b)
(a＋b) ＝2ab＋c2
a2＋b2＝c2
3、美国第20任总统加菲尔德的证法
②三个三角形的面积和：
①一个梯形的面积：
a
a
b
b
c
c
上图中，一个梯形的面积＝三个三角形的面积和
②三个三角形的面积和：
①一个梯形的面积：
上图中，一个梯形的面积＝三个三角形的面积和
(a＋b) ＝2ab＋c2
a
a
b
b
c
c
a2＋b2＝c2
a
b
c
b
a
c
(1)
(2)
观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足：
a ＋b ＝c
⑴a ＋b ＜c
⑵a ＋b ＞c
勾股定理的推广
(Ⅰ)在锐角△ABC中，边c是最长边，则
(Ⅱ)在钝角△ABC中，边c是最长边，则
c ＞a ＋b
c ＜a ＋b
⑵、在Rt ABC中，AB＝5，AC＝12，
则斜边BC＝13 . 〖 〗
1、判断题
⑴、在Rt ABC中，a＝6，b＝8，则c＝10. 〖 〗
边c不一定是最长边
② 若c＝10，a∶b＝3∶4，
则a＝ ，b＝ .
⑴、在 ABC中，∠C＝90°，
6
8
2、填空题
① 若a＝9，b＝40，则c＝______.
41
③、在 ABC中， ∠C＝90°，若AC＝6，CB＝8，则 ABC面积为_____，斜边上的高为______.
24
4.8
2、填空题
【问题1】 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
问题 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
解：由于 22＋32＝13
∴ 只要画出两直角边分别为2和3的直角三角形，则其斜边就是
0
1
2
3
4
5
【问题2 】 在数轴上，你能画出任意正整数的算术平方根表示的数吗？
0
1
回答是肯定的！
利用勾股定理，可以作出长为
·······的线段。
1
1
1
1
1
1
1
1
利用勾股定理，可以作出长为
·······的线段。
1
1
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1
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1
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1
3、在数轴上作出表示 的点。
解：由于 42＋12＝17
∴ 只要画出两直角边分别为4和1的直角三角形，则其斜边就是
0
1
2
3
4
5
4、如图，等边三角形的边长是6.
⑴ 求高AD的长 (结果保留3位小数)
⑵ 求这个三角形的面积
(结果保留1位小数)
A
B
C
D
解：⑴ 在Rt△ABD中，
AD2＝AB2－BD2
＝62－32
＝27
≈5.196
4、如图，等边三角形的边长是6：
⑴ 求高AD的长 (结果保留3位小数)
⑵ 求这个三角形的面积 (结果保留1位小数)
A
B
C
D
⑵ S△ABC＝
≈15.6
5、求下图中字母所代表的正方形的面积。
225
A
400
225
B
81
⑴ SA＝625
⑵ SB＝144
6、求出下列直角三角形中未知边的长度。
6
8
x
5
13
y
解：x2＝62＋82
＝100
∴ x＝10
解：y2＝132－52
＝144
∴ y＝12
7、如图，一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处，这棵树断裂前有多高？
9米
12米
A
B
C
解：在Rt△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2
＝92＋122
＝225
AB＝15
AB＋BC＝24（米）
答：这棵树折断前有24米高。
8、求斜边长17厘米，一条直角边长为15厘米的直角三角形
的面积。
17
15
解：设另一条直角边为x厘米，
根据勾股定理得；
x2 ＝ 172－152
＝289—225
＝64
x ＝8
S△＝8×15÷2
＝60cm2
8
9、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物的距离AB为6米，为此至少需要多长的梯子？
8m
6m
A
B
答：梯子至少长10米。
C
解：根据勾股定理得
AC2＝ 62＋ 82
＝36＋64
＝100
AC＝10
10、如图，在△ABC中，∠ACB＝90。，CD是高，
若AB＝13cm，AC＝5cm，求CD的长；
A
B
C
D
解：在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2
＝132－52
＝144
5
13
BC＝12
S△ABC = 12×5÷2
12
＝30cm2
S△ABC ＝ 12×5÷2
＝30cm2
13·CD÷2 ＝30
(cm)
答：CD的长是 cm.
A
B
C
D
5
13
12
10、如图，在△ABC中，∠ACB＝90。，CD是高，
若AB＝13cm，AC＝5cm，求CD的长；
11、下图阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。
15厘米
17厘米
解：S＝172－152
＝64厘米2
12、如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
6米
10米
解：x2＝102－62 ＝64
∴ x＝8
答：有8米远。
13、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？
4000米
5000米
A
B
C
解：在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2
＝50002－40002
＝30002
BC＝3000
v＝3000÷20＝150(米/秒)
＝540(千米/时)
答：飞机每时飞行540千米.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源网站
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