17.2 勾股定理的逆定理课件
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17.2 勾股定理的逆定理
人教版 八年级下
勾股定理（gou－gu theorem)
即如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，
那么 a2＋b2＝c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
古代埃及，由于尼罗河的泛滥，给人民的生活带来极大的困难，由于需要多次地对土地进行丈量，却由此产生了数学文明。
据说，古埃及人用如图的方法画直角：
①把一根长绳打上等距离的13个结；
②然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长；
③用木桩钉成一个三角形。
5个结的边所对的角便是直角！
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
这就意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，有下面的关系：
32＋42 ＝52
那么围成的三角形是直角三角形。
相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角。
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑴ 2.5cm、6cm、6.5cm；
操作与探究
⑵ 4cm、7.5cm、8.5cm；
⑶ 5cm、6cm、7cm.
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑴ 2.5cm、6cm、6.5cm；
操作与探究
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑵ 4cm、7.5cm、8.5cm；
操作与探究
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑶ 5cm、6cm、7cm.
操作与探究
A
B
C
b
c
a
【命题】如图， △ABC的三边长为a，b，c，满足 a2＋b2＝c2
求证：△ABC是直角三角形。
证明：画Rt△A/B/C/
使B/C/＝a ，A/C/＝b，∠C/＝90°
A′
B′
C′
b
a
由勾股定理可知
A′B′ 2＝a2＋b2
∵a2＋b2＝c2
∴ A′B′ 2＝c2
∴ A′B′＝c
在△ABC和△A/B/C/中
BC＝a＝B/C/
AC＝b＝A/C/
AB＝c＝A/B/
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
A
B
C
b
c
a
【命题】如图， △ABC的三边长为a，b，c，满足 a2＋b2＝c2
求证：△ABC是直角三角形。
A′
B′
C′
b
a
在△ABC和△A/B/C/中
BC＝a＝B/C/
AC＝b＝A/C/
AB＝c＝A/B/
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴ ∠C＝∠C′＝90°
∴△ABC是直角三角形。
命题1、如果 直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，
那么 a2＋b2＝c2
命题2、如果三角形的三边长a、b、c，满足a2＋b2＝c2 ，
那么这个三角形是直角三角形。
观察与
命题1和命题2的题设和结论正好相反。
我们把题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
上面我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，这个命题也就是一个定理了。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。
一般地，有的原命题成立，它的逆命题也成立；而还有的原命题成立，它的逆命题不成立；因此，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
练习
说出下列命题的逆命题，这命题正确吗？
⑴ 两条直线平行，内错角相等；
⑵ 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
解：⑴ 逆命题是：
内错角相等，两条直线平行；
正确！
⑵ 逆命题是：
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等；
错误！
说出下列命题的逆命题，这命题正确吗？
⑶ 全等三角形的对应角相等；
⑷ 在角的内部，到角的两边距离相等的点
在角的平分线上。
⑶ 逆命题是：
对应角相等的两个三角形全等；
错误！
⑷ 逆命题是：
角平分线上的点到角的两边距离相等。
正确！
例1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
⑴ a＝15，b＝8，c＝17；
⑵ a＝13，b＝14，c＝15；
解：⑴ ∵ a2＋b2＝
c2＝172＝289
∴ a2＋b2＝c2
这个三角形是直角三角形。
152＋82
＝225＋64＝289
例1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
⑴ a＝15，b＝8，c＝17；
⑵ a＝13，b＝14，c＝15；
解：⑵ ∵ a2＋b2＝
c2＝152＝225
∴ a2＋b2≠c2
这个三角形不是直角三角形。
132＋142
＝169＋196＝365
勾股定理的逆定理与勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2 ＋b2＝c2 ，
那么这个三角形是直角三角形。
满足a2 ＋b2＝c2的三个正整数：
a，b，c称为勾股数。
思考题、如果三条线段a、b、c满足：
a2＝c2－b2，这三条线段组成的三角形
是直角三角形吗？为什么？
答：∵ a2＝c2－b2
因此，这三条线段组成的三角形
是直角三角形。
∴ a2 ＋b2 ＝c2
勾股定理的逆定理的拓展
在 ABC中， a，b，c为三边长，其中 c为最长边。
⑴若a2＋b2＝c2，则 ABC为直角三角形；
⑵若a2＋b2＞c2，则 ABC为锐角三角形；
⑶若a2＋b2＜c2，则 ABC为钝角三角形。
【例2】某港口P位于东西方向海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
N
Q
R
S
解：PQ＝16×1.5＝24(海里)
PR＝12×1.5＝18 (海里)
QR＝30 (海里)
∵242＋182 ＝302
【例2】某港口P位于东西方向海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
N
Q
R
S
解：PQ＝16×1.5＝24(海里)
PR＝12×1.5＝18 (海里)
QR＝30 (海里)
∵ PQ2＋PR2
海天
远航
＝576＋324
＝900
例2、某港口位于东西方向海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个小时后相距30海里。如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
N
Q
R
S
∴ PQ2＋PR2 ＝QR2
∴ ∠QPR＝90°
∴ ∠RPS＝90°－45°＝45°
即 “海天”号沿西北方向航行。
∵ PQ2＋PR2
＝576＋324
＝900
QR2＝900
1、下面三组数是勾股数吗？
⑴ 5，12，13；⑵ 6, 8, 10；⑶ 8，15，17。
解⑴ ∵ 52＋122＝132
∴ 5，12，13是勾股数。
⑵ ∵ 62＋82＝102
∴ 6，8，10也是勾股数。
⑶ ∵ 82＋152＝172
∴ 8，15，17也是勾股数。
2、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？
说说你的理由。
⑴9，12，15； ⑵15，36，39；
答：⑴ 92＋122＝81＋144＝225＝152 能
⑵152＋362＝225＋1296＝1521＝392 能
⑶122＋352＝144＋1225＝1369≠362 不能
⑷122＋182＝144＋324＝368≠222 不能
⑶12，35，36； ⑷12，18，22；
3、如果线段a，b，c能组成直角三角形，
则它们的比可能是【 】
A、3∶4∶7； B、5∶12∶13；
C、1∶2∶4； D、1∶3∶5。
B
4、将直角三角形的三边的长度扩大同样的
倍数，则得到的三角形是【 】
A、是直角三角形；
B、可能是锐角三角形;
C、可能是钝角三角形;
D、不可能是直角三角形.
A
5、三角形的三边分别是a，b，c，且满足等式：
(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是【 】
A、直角三角形;
B、是锐角三角形;
C、是钝角三角形;
D、是等腰直角三角形.
A
6、已知 ABC中BC＝41, AC＝40, AB＝9，则此三角形为_______三角形，______是最大角。
直角
∠A
7、以 ABC的三条边为边长向外作正方形，依次得到的面积是25，144，169，则这个三角形是 三角形。
直角
8、一个零件的形状如图1，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
C
A
B
D
C
A
B
D
3
4
5
12
13
图1
图2
8、一个零件的形状如图1，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅 量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
C
A
B
D
3
4
5
12
13
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
解：在△ABD中，
∵AB2＋AD2
＝9＋16
＝25
BD2＝25
∴ AB2＋AD2 ＝BD2
8、一个零件的形状如图1，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅 量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
C
A
B
D
3
4
5
12
13
所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。
在△BCD中，
∵BD2＋BC2
＝25＋144
＝169
DC2＝169
∴BD2＋BC2 ＝DC2
因此这个零件符合要求。
10、已知 ABC的三边a，b，c满足：
a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，
请你判断 ABC的形状，并说明理由。
解：∵ a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c
∴ a2－10a＋b2－24b ＋c2－26c＋338＝0
∴ a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0
∴ (a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0
∴ a＝5，b＝12，c＝13
10、已知 ABC的三边a，b，c满足：
a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，
请你判断 ABC的形状，并说明理由。
解：∵ a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c
∴ a2－10a＋b2－24b ＋c2－26c＋338＝0
∴ a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0
∴ (a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0
∴ a＝5，b＝12，c＝13
a2＋b2 ＝c2
ABC是直角三角形。
11、m，n是正整数，则以：
m2－n2， 2mn， m2＋n2
为三边长的三角形是直角三角形吗？
解：∵ (m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4
(m2－n2)2＝m4－2m2n2＋n4
(2mn)2＝4m2n2
∴ (m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2
答：是直角三角形。
12、如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？大写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，它们的2倍、3倍、4倍、10倍呢？
2倍 3倍 4倍 10倍
3，4，5 6,8,10
5,12,13 15,36,39
8,15,17 32,60,68
7,24,25 70,240,250
9,12,15
12,16,20
30，40，50
10,24,26
20,48,52
50,120,130
16,30,34
24,45,51
80,150,170
14,48,50
21,72,75
28,96,100
13、⑴ △ABC中，AB＝17cm, BC＝30cm, BC上的中线AD＝8cm，请你判断△ABC的形状，并说明理由。
A
B
C
17
15
D
8
解：在△ABD中
∵ AD2＋BD2
＝64＋225
＝289
AB2 ＝289
∴ AD2＋BD2 ＝ AB2
∴△ABD是直角三角形。
∴∠ADB＝90°
∴AD⊥BD
13、⑴ △ABC中，AB＝17cm, BC＝30cm, BC上的中线AD＝8cm，请你判断△ABC的形状，并说明理由。
A
B
C
17
15
D
8
∴△ABD是直角三角形。
∴∠ADB＝90°
∴AD⊥BD
∴△ABC是等腰钝角三角形。
13、⑵△ABC的三边分别为a，b，c, 且满足：a2c2－b2c2＝a4－b4， 请你判断△ABC的形状，并说明理由。
解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4
∴ (a2－b2) c2＝(a2＋b2) (a2－b2)
∴ a2－b2＝0 或 a2＋b2＝c2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形
或等腰直角三角形.
即 a＝b 或 a2＋b2＝c2
如果三角形的三边长a，b，c满足：
a2 ＋b2＝c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理
本节重点回顾
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，
称为勾股数。
勾股数
以勾股数为边的三角形是直角三角形。
谢谢
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17.2 勾股定理的逆定理
人教版 八年级下
勾股定理（gou－gu theorem)
即如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，
那么 a2＋b2＝c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
古代埃及，由于尼罗河的泛滥，给人民的生活带来极大的困难，由于需要多次地对土地进行丈量，却由此产生了数学文明。
据说，古埃及人用如图的方法画直角：
①把一根长绳打上等距离的13个结；
②然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长；
③用木桩钉成一个三角形。
5个结的边所对的角便是直角！
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
这就意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，有下面的关系：
32＋42 ＝52
那么围成的三角形是直角三角形。
相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角。
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑴ 2.5cm、6cm、6.5cm；
操作与探究
⑵ 4cm、7.5cm、8.5cm；
⑶ 5cm、6cm、7cm.
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑴ 2.5cm、6cm、6.5cm；
操作与探究
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑵ 4cm、7.5cm、8.5cm；
操作与探究
画出三边长分别为下面各组数的三角形，度量一下它们是直角三角形吗？
⑶ 5cm、6cm、7cm.
操作与探究
A
B
C
b
c
a
【命题】如图， △ABC的三边长为a，b，c，满足 a2＋b2＝c2
求证：△ABC是直角三角形。
证明：画Rt△A/B/C/
使B/C/＝a ，A/C/＝b，∠C/＝90°
A′
B′
C′
b
a
由勾股定理可知
A′B′ 2＝a2＋b2
∵a2＋b2＝c2
∴ A′B′ 2＝c2
∴ A′B′＝c
在△ABC和△A/B/C/中
BC＝a＝B/C/
AC＝b＝A/C/
AB＝c＝A/B/
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
A
B
C
b
c
a
【命题】如图， △ABC的三边长为a，b，c，满足 a2＋b2＝c2
求证：△ABC是直角三角形。
A′
B′
C′
b
a
在△ABC和△A/B/C/中
BC＝a＝B/C/
AC＝b＝A/C/
AB＝c＝A/B/
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴ ∠C＝∠C′＝90°
∴△ABC是直角三角形。
命题1、如果 直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，
那么 a2＋b2＝c2
命题2、如果三角形的三边长a、b、c，满足a2＋b2＝c2 ，
那么这个三角形是直角三角形。
观察与
命题1和命题2的题设和结论正好相反。
我们把题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
上面我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，这个命题也就是一个定理了。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。
一般地，有的原命题成立，它的逆命题也成立；而还有的原命题成立，它的逆命题不成立；因此，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
练习
说出下列命题的逆命题，这命题正确吗？
⑴ 两条直线平行，内错角相等；
⑵ 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
解：⑴ 逆命题是：
内错角相等，两条直线平行；
正确！
⑵ 逆命题是：
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等；
错误！
说出下列命题的逆命题，这命题正确吗？
⑶ 全等三角形的对应角相等；
⑷ 在角的内部，到角的两边距离相等的点
在角的平分线上。
⑶ 逆命题是：
对应角相等的两个三角形全等；
错误！
⑷ 逆命题是：
角平分线上的点到角的两边距离相等。
正确！
例1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
⑴ a＝15，b＝8，c＝17；
⑵ a＝13，b＝14，c＝15；
解：⑴ ∵ a2＋b2＝
c2＝172＝289
∴ a2＋b2＝c2
这个三角形是直角三角形。
152＋82
＝225＋64＝289
例1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
⑴ a＝15，b＝8，c＝17；
⑵ a＝13，b＝14，c＝15；
解：⑵ ∵ a2＋b2＝
c2＝152＝225
∴ a2＋b2≠c2
这个三角形不是直角三角形。
132＋142
＝169＋196＝365
勾股定理的逆定理与勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2 ＋b2＝c2 ，
那么这个三角形是直角三角形。
满足a2 ＋b2＝c2的三个正整数：
a，b，c称为勾股数。
思考题、如果三条线段a、b、c满足：
a2＝c2－b2，这三条线段组成的三角形
是直角三角形吗？为什么？
答：∵ a2＝c2－b2
因此，这三条线段组成的三角形
是直角三角形。
∴ a2 ＋b2 ＝c2
勾股定理的逆定理的拓展
在 ABC中， a，b，c为三边长，其中 c为最长边。
⑴若a2＋b2＝c2，则 ABC为直角三角形；
⑵若a2＋b2＞c2，则 ABC为锐角三角形；
⑶若a2＋b2＜c2，则 ABC为钝角三角形。
【例2】某港口P位于东西方向海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
N
Q
R
S
解：PQ＝16×1.5＝24(海里)
PR＝12×1.5＝18 (海里)
QR＝30 (海里)
∵242＋182 ＝302
【例2】某港口P位于东西方向海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
N
Q
R
S
解：PQ＝16×1.5＝24(海里)
PR＝12×1.5＝18 (海里)
QR＝30 (海里)
∵ PQ2＋PR2
海天
远航
＝576＋324
＝900
例2、某港口位于东西方向海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个小时后相距30海里。如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
N
Q
R
S
∴ PQ2＋PR2 ＝QR2
∴ ∠QPR＝90°
∴ ∠RPS＝90°－45°＝45°
即 “海天”号沿西北方向航行。
∵ PQ2＋PR2
＝576＋324
＝900
QR2＝900
1、下面三组数是勾股数吗？
⑴ 5，12，13；⑵ 6, 8, 10；⑶ 8，15，17。
解⑴ ∵ 52＋122＝132
∴ 5，12，13是勾股数。
⑵ ∵ 62＋82＝102
∴ 6，8，10也是勾股数。
⑶ ∵ 82＋152＝172
∴ 8，15，17也是勾股数。
2、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？
说说你的理由。
⑴9，12，15； ⑵15，36，39；
答：⑴ 92＋122＝81＋144＝225＝152 能
⑵152＋362＝225＋1296＝1521＝392 能
⑶122＋352＝144＋1225＝1369≠362 不能
⑷122＋182＝144＋324＝368≠222 不能
⑶12，35，36； ⑷12，18，22；
3、如果线段a，b，c能组成直角三角形，
则它们的比可能是【 】
A、3∶4∶7； B、5∶12∶13；
C、1∶2∶4； D、1∶3∶5。
B
4、将直角三角形的三边的长度扩大同样的
倍数，则得到的三角形是【 】
A、是直角三角形；
B、可能是锐角三角形;
C、可能是钝角三角形;
D、不可能是直角三角形.
A
5、三角形的三边分别是a，b，c，且满足等式：
(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是【 】
A、直角三角形;
B、是锐角三角形;
C、是钝角三角形;
D、是等腰直角三角形.
A
6、已知 ABC中BC＝41, AC＝40, AB＝9，则此三角形为_______三角形，______是最大角。
直角
∠A
7、以 ABC的三条边为边长向外作正方形，依次得到的面积是25，144，169，则这个三角形是 三角形。
直角
8、一个零件的形状如图1，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
C
A
B
D
C
A
B
D
3
4
5
12
13
图1
图2
8、一个零件的形状如图1，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅 量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
C
A
B
D
3
4
5
12
13
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
解：在△ABD中，
∵AB2＋AD2
＝9＋16
＝25
BD2＝25
∴ AB2＋AD2 ＝BD2
8、一个零件的形状如图1，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅 量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
C
A
B
D
3
4
5
12
13
所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。
在△BCD中，
∵BD2＋BC2
＝25＋144
＝169
DC2＝169
∴BD2＋BC2 ＝DC2
因此这个零件符合要求。
10、已知 ABC的三边a，b，c满足：
a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，
请你判断 ABC的形状，并说明理由。
解：∵ a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c
∴ a2－10a＋b2－24b ＋c2－26c＋338＝0
∴ a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0
∴ (a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0
∴ a＝5，b＝12，c＝13
10、已知 ABC的三边a，b，c满足：
a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，
请你判断 ABC的形状，并说明理由。
解：∵ a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c
∴ a2－10a＋b2－24b ＋c2－26c＋338＝0
∴ a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0
∴ (a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0
∴ a＝5，b＝12，c＝13
a2＋b2 ＝c2
ABC是直角三角形。
11、m，n是正整数，则以：
m2－n2， 2mn， m2＋n2
为三边长的三角形是直角三角形吗？
解：∵ (m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4
(m2－n2)2＝m4－2m2n2＋n4
(2mn)2＝4m2n2
∴ (m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2
答：是直角三角形。
12、如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？大写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，它们的2倍、3倍、4倍、10倍呢？
2倍 3倍 4倍 10倍
3，4，5 6,8,10
5,12,13 15,36,39
8,15,17 32,60,68
7,24,25 70,240,250
9,12,15
12,16,20
30，40，50
10,24,26
20,48,52
50,120,130
16,30,34
24,45,51
80,150,170
14,48,50
21,72,75
28,96,100
13、⑴ △ABC中，AB＝17cm, BC＝30cm, BC上的中线AD＝8cm，请你判断△ABC的形状，并说明理由。
A
B
C
17
15
D
8
解：在△ABD中
∵ AD2＋BD2
＝64＋225
＝289
AB2 ＝289
∴ AD2＋BD2 ＝ AB2
∴△ABD是直角三角形。
∴∠ADB＝90°
∴AD⊥BD
13、⑴ △ABC中，AB＝17cm, BC＝30cm, BC上的中线AD＝8cm，请你判断△ABC的形状，并说明理由。
A
B
C
17
15
D
8
∴△ABD是直角三角形。
∴∠ADB＝90°
∴AD⊥BD
∴△ABC是等腰钝角三角形。
13、⑵△ABC的三边分别为a，b，c, 且满足：a2c2－b2c2＝a4－b4， 请你判断△ABC的形状，并说明理由。
解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4
∴ (a2－b2) c2＝(a2＋b2) (a2－b2)
∴ a2－b2＝0 或 a2＋b2＝c2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形
或等腰直角三角形.
即 a＝b 或 a2＋b2＝c2
如果三角形的三边长a，b，c满足：
a2 ＋b2＝c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理
本节重点回顾
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，
称为勾股数。
勾股数
以勾股数为边的三角形是直角三角形。
谢谢
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