26.2.1 实际问题与反比例函数课件
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26.2.1 实际问题与反比例函数
人教版 九年级下
〖复习提问〗（共3道小题）
1.什么是反比例函数
一般地，形如 ( k是常数， k≠0 )
的函数叫做 反比例函数 。
2、反比例函数图象是什么？
答：反比例函数的图象都是双曲线。
3、反比例函数 图象有哪些性质？
⑴ 当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每个象限内，y随x值的增大而减少；
⑵ 当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
二、复习与巩固（共5个小题）
1、若点(2，－4)在反比例函数 的图象上，
则k＝ .
－8
2、若反比例函数 的图象在第二、四象限，
则k的取值范围是 .
k＜－1
3、反比例函数的图象既是______对称图形，
又是 ______对称图形
轴
中心
4、函数 的图象上有三点 (－3，y1)，
(－1，y2)， (2，y3)则函数值y1、y2、y3的
大小关系是 ;
y3＜ y1＜ y2
5、甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是【 】
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
A
B
C
D
C
三、课题引入
前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决实际问题中所起的作用。下面我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题。
1、源于生活的数学
过沼泽地时，人们常常用木板来垫脚，当人和木板对地面的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化
例1、某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为了安全迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干木板，构筑了一条临时通道，从而顺利完成了任务。你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
⑴ 用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？
解: P是S的反比例函数。
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
⑵当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
解：当S＝0.2m2时，
＝3000(Pa)
答：压强是3000Pa.
⑶ 如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
解：当P≤6000时，
答：木板的面积至少要0.1m2.
S≥
＝0.1 (m2)
⑷ 在平面直角坐标系中，作出相应函数的图象。
S 0.1 0.3 0.5 1 1.5 2 3
P 6000 2000 1200 600 400 300 200
S(m2)
P
2000
0
4000
1
6000
2
3
(0.1，6000)
(0.3，2000)
(0.5，1200)
(1，600)
(1.5，400)
(2，300)
(3，200)
注意：只需在第一象限作出函数的图象。因为S＞0.
⑸ 请利用图象对⑵和⑶作出直观解释，并与同伴交流。
答：问题⑵是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题⑶是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围。实际上这些点都在直线P＝6000下方的图象上。
例2、市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3
的圆柱形煤气储存室。
⑴ 储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)
有怎样的函数关系？
解：⑴根据圆柱体的体积公式，可得
S·d＝104
即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数。
⑵ 公司决定储存室的底面积S定为500m2，施工队
施工时应该向下掘进多深？
解：⑵把S＝500代入 ，得
d＝20
答：底面积S定为500m2时，应向下掘进20m。
⑶当施工队按⑵中的计划掘进到地下15m时，碰上坚硬的岩石。为了节省建设资金。公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01m2）？
⑶当施工队按⑵中的计划掘进到地下15m时，碰上坚硬的岩石。为了节省建设资金。公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01m2）？
解：⑶把d＝15代入 ，得
≈666.67
答：当储存室的深改为15m，储存室的底面积应改
为666.67m2才能满足需要。
例3、码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。
⑴ 轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨/天)与卸货时间t (单位：天)之间有怎样的函数关系？
解：⑴设轮船上的货物总量为k吨，则
k＝30×8
所以v与t的函数解析式为：
＝240
⑵ 由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少卸多少吨货物？
解：⑵把t＝5代入 ，得
＝48
答：平均每天至少卸48吨货物。
例3、码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离与其重量成反比例，则杠杆平衡。通俗一点可以描述为：
阻力×阻力臂＝动力×动力臂
阻力
动力
支点
阻力臂
动力臂
例4、小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和
阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米。
⑴ 动力 F 和动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂
为1.5米时撬动石头至少需要多大的力
解：⑴根据“杠杆定律”，有
F l ＝1200×0.5
所求函数解析式为：
当 l ＝1.5 时，
＝400
因此撬动石头至少需要400牛顿的力。
⑵ 若想使动力 F 不超过题⑴中所用力的一半，
则动力臂至少要加长多少
⑵ 由⑴可知
F l ＝600
得函数解析式
当 时，
＝3
动力臂至少加长：3－1.5＝1.5 (m)
答：动力臂至少要加长1.5米。
用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？
〖科学使我们懂得了生活〗
电学知识告诉我们，用电器的输出功率P(瓦)、两端的电压U(伏)及用电器的电阻R(欧姆)有如下关系：PR＝U2这个关系也可以写为P＝ ，
或R＝ 。
〖知识联接〗
例5、一个用电器电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆。
已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
⑴ 输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
⑵ 这个用电器输出功率的范围有多大？
U
R
U
R
解：⑴根据电学知识，
当U＝220时，有
即输出功率P是电阻R的反比例函数，解析式为：
例5、一个用电器电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆。
已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
⑴ 输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
U
R
⑵ 由⑴知，电阻越大则功率越小。
把电阻的最小值R＝110代入解析式，
得到输出的最大功率是：
＝440
把电阻的最大值R＝220代入解析式，
得到输出的最小功率是：
例5、一个用电器电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆。
已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
⑵ 这个用电器输出功率的范围有多大？
U
R
把电阻的最小值R＝110代入解析式，得到输出的最大功率是：
＝440
把电阻的最大值R＝220代入解析式，得到输出的最小功率是：
＝220
因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间。
⑵ 这个用电器输出功率的范围有多大？
结合上例，想一想为什么电视机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速是可以调节的？
〖科学使我们懂得了生活〗
谢谢
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26.2.1 实际问题与反比例函数
人教版 九年级下
〖复习提问〗（共3道小题）
1.什么是反比例函数
一般地，形如 ( k是常数， k≠0 )
的函数叫做 反比例函数 。
2、反比例函数图象是什么？
答：反比例函数的图象都是双曲线。
3、反比例函数 图象有哪些性质？
⑴ 当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每个象限内，y随x值的增大而减少；
⑵ 当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
二、复习与巩固（共5个小题）
1、若点(2，－4)在反比例函数 的图象上，
则k＝ .
－8
2、若反比例函数 的图象在第二、四象限，
则k的取值范围是 .
k＜－1
3、反比例函数的图象既是______对称图形，
又是 ______对称图形
轴
中心
4、函数 的图象上有三点 (－3，y1)，
(－1，y2)， (2，y3)则函数值y1、y2、y3的
大小关系是 ;
y3＜ y1＜ y2
5、甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是【 】
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
A
B
C
D
C
三、课题引入
前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决实际问题中所起的作用。下面我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题。
1、源于生活的数学
过沼泽地时，人们常常用木板来垫脚，当人和木板对地面的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化
例1、某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为了安全迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干木板，构筑了一条临时通道，从而顺利完成了任务。你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
⑴ 用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？
解: P是S的反比例函数。
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
⑵当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
解：当S＝0.2m2时，
＝3000(Pa)
答：压强是3000Pa.
⑶ 如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
解：当P≤6000时，
答：木板的面积至少要0.1m2.
S≥
＝0.1 (m2)
⑷ 在平面直角坐标系中，作出相应函数的图象。
S 0.1 0.3 0.5 1 1.5 2 3
P 6000 2000 1200 600 400 300 200
S(m2)
P
2000
0
4000
1
6000
2
3
(0.1，6000)
(0.3，2000)
(0.5，1200)
(1，600)
(1.5，400)
(2，300)
(3，200)
注意：只需在第一象限作出函数的图象。因为S＞0.
⑸ 请利用图象对⑵和⑶作出直观解释，并与同伴交流。
答：问题⑵是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题⑶是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围。实际上这些点都在直线P＝6000下方的图象上。
例2、市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3
的圆柱形煤气储存室。
⑴ 储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)
有怎样的函数关系？
解：⑴根据圆柱体的体积公式，可得
S·d＝104
即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数。
⑵ 公司决定储存室的底面积S定为500m2，施工队
施工时应该向下掘进多深？
解：⑵把S＝500代入 ，得
d＝20
答：底面积S定为500m2时，应向下掘进20m。
⑶当施工队按⑵中的计划掘进到地下15m时，碰上坚硬的岩石。为了节省建设资金。公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01m2）？
⑶当施工队按⑵中的计划掘进到地下15m时，碰上坚硬的岩石。为了节省建设资金。公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01m2）？
解：⑶把d＝15代入 ，得
≈666.67
答：当储存室的深改为15m，储存室的底面积应改
为666.67m2才能满足需要。
例3、码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。
⑴ 轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨/天)与卸货时间t (单位：天)之间有怎样的函数关系？
解：⑴设轮船上的货物总量为k吨，则
k＝30×8
所以v与t的函数解析式为：
＝240
⑵ 由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少卸多少吨货物？
解：⑵把t＝5代入 ，得
＝48
答：平均每天至少卸48吨货物。
例3、码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离与其重量成反比例，则杠杆平衡。通俗一点可以描述为：
阻力×阻力臂＝动力×动力臂
阻力
动力
支点
阻力臂
动力臂
例4、小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和
阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米。
⑴ 动力 F 和动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂
为1.5米时撬动石头至少需要多大的力
解：⑴根据“杠杆定律”，有
F l ＝1200×0.5
所求函数解析式为：
当 l ＝1.5 时，
＝400
因此撬动石头至少需要400牛顿的力。
⑵ 若想使动力 F 不超过题⑴中所用力的一半，
则动力臂至少要加长多少
⑵ 由⑴可知
F l ＝600
得函数解析式
当 时，
＝3
动力臂至少加长：3－1.5＝1.5 (m)
答：动力臂至少要加长1.5米。
用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？
〖科学使我们懂得了生活〗
电学知识告诉我们，用电器的输出功率P(瓦)、两端的电压U(伏)及用电器的电阻R(欧姆)有如下关系：PR＝U2这个关系也可以写为P＝ ，
或R＝ 。
〖知识联接〗
例5、一个用电器电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆。
已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
⑴ 输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
⑵ 这个用电器输出功率的范围有多大？
U
R
U
R
解：⑴根据电学知识，
当U＝220时，有
即输出功率P是电阻R的反比例函数，解析式为：
例5、一个用电器电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆。
已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
⑴ 输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
U
R
⑵ 由⑴知，电阻越大则功率越小。
把电阻的最小值R＝110代入解析式，
得到输出的最大功率是：
＝440
把电阻的最大值R＝220代入解析式，
得到输出的最小功率是：
例5、一个用电器电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆。
已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
⑵ 这个用电器输出功率的范围有多大？
U
R
把电阻的最小值R＝110代入解析式，得到输出的最大功率是：
＝440
把电阻的最大值R＝220代入解析式，得到输出的最小功率是：
＝220
因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间。
⑵ 这个用电器输出功率的范围有多大？
结合上例，想一想为什么电视机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速是可以调节的？
〖科学使我们懂得了生活〗
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