27.1.2 相似三角形的预备定理课件
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(共27张PPT)
27.1.2 相似三角形的预备定理
人教版 九年级下
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形
在△ABC和△A/B/C/中
如果：∠A＝∠A/，∠B＝∠B/，∠C＝∠C/
定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边的比相等.
那么这两个三角形相似。
我们说：△ABC∽△A/B/C/
一、复习引入
并且：
△ABC∽△A/B/C/
△ABC与△A/B/C/的相似比为 k
△A/B/C/ 与△ABC的相似比为
曾记得：三角形全等的定义是
今天我们将学习研究，判定两个三角形相似的最简便的方法！
所有的对应角相等，对应边相等的两个三角形全等。
SSS，SAS，ASA，AAS，HL
三角形全等的判定定理共有四个：
对于三角形相似也有简便方法吗？
平行线分线段成比例定理〖变例〗
平行线于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)
所得的对应线段的比相等。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【引例】如图所示，在△ABC中， DE∥BC，DE分别
交AB、 AC于点D、E。求证：△ADE∽△ABC．
A
B
C
D
E
证明：∵ DE∥BC
又∠DAE＝∠BAC
∴∠ADE＝∠B
∠AED＝∠C
先证明对应角相等
∵ DE∥BC
再证明对应边的比相等
A
B
C
D
E
∵ DE∥BC
F
过E作EF∥AB交BC于F
∵ 四边形DEFB是平行四边形
∴ BF＝DE
再证明对应边的比相等
A
B
C
D
E
F
∵ 四边形DEFB是平行四边形
∴ BF＝DE
∴ △ADE∽△ABC
(三组对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。)
相似三角形的 预备定理
A
B
C
D
E
平行线于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似。
A
B
C
D
E
预备定理的书写方法
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
【注】这是证明相似三角形的最简单的方法！
1．如图，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，DE∥BC
AE＝4，BC＝8，求DE的长。
A
B
C
D
E
解： ∵ DE∥BC
∴ BE＝DE
∴ ∠2＝∠3
1
2
3
∵ ∠1＝∠2
∴ ∠1＝∠3
课堂练习 (共8道大题)
4
8
1．如图，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，DE∥BC，AE＝4，BC＝8，求DE的长。
4
8
∵ DE∥BC
∴ △AED∽△ABC
设DE＝x，则
解，得 x1＝4，x2＝－8(舍去)
答：DE的长是4。
A
B
C
D
E
1
2
3
∴ BE＝DE
x
x
2．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4，BD＝8，DE＝5，求线段BF的长。
A
B
C
D
E
F
4
8
5
解： ∵ DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DECF是平行四边形
∴ FC＝DE＝5
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
5
∴ △ADE∽△ABC
∴ BF＝10
2．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4，BD＝8，DE＝5，求线段BF的长。
A
B
C
D
E
F
4
8
5
5
3．如图，已知四边形BDFE是菱形，BD＝2·DC，
且DC＝4，求AE的长。
A
B
C
D
E
F
解：∵ 四边形BDFE是菱形
∴ EF∥BC
BE＝EF＝BD
∴ △AEF∽△ABC
＝8
BC＝BD＋DC
＝8＋4
＝12
8
8
8
4
3．如图，已知四边形BDFE是菱形，BD＝2·DC，
且DC＝4，求AE的长。
A
B
C
D
E
F
BC＝BD＋DC＝8＋4＝12
∴ AE＝16
8
8
8
4
4、E是□ABCD的BC边上一点， AE交BD于F，
且BE∶EC＝4∶5，求 的值。
A
B
C
D
E
F
解：∵ □ABCD
∴ AD∥BC，BC＝AD
∴ △BEF∽△DAF
A
B
C
D
E
F
∴ △BEF∽△DAF
∵ BE∶EC＝4∶5
4、E是□ABCD的BC边上一点， AE交BD于F，
且BE∶EC＝4∶5，求 的值。
4、E是□ABCD的BC边上一点，AE交BD于F，
且BE∶EC＝4∶5，求 的值。
A
B
C
D
E
F
5、在锐角△ABC中，D是AC上一点，且 ，
G是BD中点，连结AG并延长，交BC于E，
⑴求 的值，⑵求 的值。
A
B
C
G
D
E
F
解：⑴过点D作DF∥AE交BC于F
∵ G是BD中点
∴ BD＝2BG
A
B
C
G
D
E
F
∴ BD＝2BG
∵DF∥AE
∴ FC＝2EF
∴ BF＝2BE＝2EF
1
1
2
⑴求 的值.
A
B
C
G
D
E
F
1
1
2
⑵ 求 的值.
＝4
6、E是□ABCD的BC边延长线上一点，AE交DC于F，交BD于G 。求证：AG2＝GF·GE
A
B
C
D
E
F
G
解：∵ □ABCD
∴ AD∥BC ，AB∥DC
∴ △ADG∽△EBG， △BGA∽△DGF
∴ AG2＝GF·GE
7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G，
求证：
A
B
C
D
E
F
G
解：∵ AD∥BC
∴ △GED∽△GBC
∵ AE＝DE
8、如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE＝5cm，
AF＝4cm，求菱形的边长。
A
B
C
D
E
F
解：设菱形的边长为xcm.
由菱形可知：DC∥AE
∴ △FDC∽△FAE
菱形的边长为
谢谢
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27.1.2 相似三角形的预备定理
人教版 九年级下
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形
在△ABC和△A/B/C/中
如果：∠A＝∠A/，∠B＝∠B/，∠C＝∠C/
定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边的比相等.
那么这两个三角形相似。
我们说：△ABC∽△A/B/C/
一、复习引入
并且：
△ABC∽△A/B/C/
△ABC与△A/B/C/的相似比为 k
△A/B/C/ 与△ABC的相似比为
曾记得：三角形全等的定义是
今天我们将学习研究，判定两个三角形相似的最简便的方法！
所有的对应角相等，对应边相等的两个三角形全等。
SSS，SAS，ASA，AAS，HL
三角形全等的判定定理共有四个：
对于三角形相似也有简便方法吗？
平行线分线段成比例定理〖变例〗
平行线于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)
所得的对应线段的比相等。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【引例】如图所示，在△ABC中， DE∥BC，DE分别
交AB、 AC于点D、E。求证：△ADE∽△ABC．
A
B
C
D
E
证明：∵ DE∥BC
又∠DAE＝∠BAC
∴∠ADE＝∠B
∠AED＝∠C
先证明对应角相等
∵ DE∥BC
再证明对应边的比相等
A
B
C
D
E
∵ DE∥BC
F
过E作EF∥AB交BC于F
∵ 四边形DEFB是平行四边形
∴ BF＝DE
再证明对应边的比相等
A
B
C
D
E
F
∵ 四边形DEFB是平行四边形
∴ BF＝DE
∴ △ADE∽△ABC
(三组对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。)
相似三角形的 预备定理
A
B
C
D
E
平行线于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似。
A
B
C
D
E
预备定理的书写方法
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
【注】这是证明相似三角形的最简单的方法！
1．如图，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，DE∥BC
AE＝4，BC＝8，求DE的长。
A
B
C
D
E
解： ∵ DE∥BC
∴ BE＝DE
∴ ∠2＝∠3
1
2
3
∵ ∠1＝∠2
∴ ∠1＝∠3
课堂练习 (共8道大题)
4
8
1．如图，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，DE∥BC，AE＝4，BC＝8，求DE的长。
4
8
∵ DE∥BC
∴ △AED∽△ABC
设DE＝x，则
解，得 x1＝4，x2＝－8(舍去)
答：DE的长是4。
A
B
C
D
E
1
2
3
∴ BE＝DE
x
x
2．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4，BD＝8，DE＝5，求线段BF的长。
A
B
C
D
E
F
4
8
5
解： ∵ DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DECF是平行四边形
∴ FC＝DE＝5
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
5
∴ △ADE∽△ABC
∴ BF＝10
2．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4，BD＝8，DE＝5，求线段BF的长。
A
B
C
D
E
F
4
8
5
5
3．如图，已知四边形BDFE是菱形，BD＝2·DC，
且DC＝4，求AE的长。
A
B
C
D
E
F
解：∵ 四边形BDFE是菱形
∴ EF∥BC
BE＝EF＝BD
∴ △AEF∽△ABC
＝8
BC＝BD＋DC
＝8＋4
＝12
8
8
8
4
3．如图，已知四边形BDFE是菱形，BD＝2·DC，
且DC＝4，求AE的长。
A
B
C
D
E
F
BC＝BD＋DC＝8＋4＝12
∴ AE＝16
8
8
8
4
4、E是□ABCD的BC边上一点， AE交BD于F，
且BE∶EC＝4∶5，求 的值。
A
B
C
D
E
F
解：∵ □ABCD
∴ AD∥BC，BC＝AD
∴ △BEF∽△DAF
A
B
C
D
E
F
∴ △BEF∽△DAF
∵ BE∶EC＝4∶5
4、E是□ABCD的BC边上一点， AE交BD于F，
且BE∶EC＝4∶5，求 的值。
4、E是□ABCD的BC边上一点，AE交BD于F，
且BE∶EC＝4∶5，求 的值。
A
B
C
D
E
F
5、在锐角△ABC中，D是AC上一点，且 ，
G是BD中点，连结AG并延长，交BC于E，
⑴求 的值，⑵求 的值。
A
B
C
G
D
E
F
解：⑴过点D作DF∥AE交BC于F
∵ G是BD中点
∴ BD＝2BG
A
B
C
G
D
E
F
∴ BD＝2BG
∵DF∥AE
∴ FC＝2EF
∴ BF＝2BE＝2EF
1
1
2
⑴求 的值.
A
B
C
G
D
E
F
1
1
2
⑵ 求 的值.
＝4
6、E是□ABCD的BC边延长线上一点，AE交DC于F，交BD于G 。求证：AG2＝GF·GE
A
B
C
D
E
F
G
解：∵ □ABCD
∴ AD∥BC ，AB∥DC
∴ △ADG∽△EBG， △BGA∽△DGF
∴ AG2＝GF·GE
7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G，
求证：
A
B
C
D
E
F
G
解：∵ AD∥BC
∴ △GED∽△GBC
∵ AE＝DE
8、如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE＝5cm，
AF＝4cm，求菱形的边长。
A
B
C
D
E
F
解：设菱形的边长为xcm.
由菱形可知：DC∥AE
∴ △FDC∽△FAE
菱形的边长为
谢谢
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