28.1 锐角三角函数课件

(共40张PPT)
28.1 锐角三角函数
人教版 九年级下
【问题】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C
A
30°
35m
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C
A
30°
这个问题可归为：
在Rt△ABC中，
∠A＝30°，BC＝35m，求AB。
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”
即
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
可得AB＝2BC＝70m
答：需要准备70m长的水管。
如果出水口的高度为50m，
那么需要准备多长的水管？
100m
B
C
A
30°
如果出水口的高度为50m，
那么需要准备多长的水管？
如果出水口的高度为60m，
那么需要准备多长的水管？
如果出水口的高度为80m，
那么需要准备多长的水管？
100m
120m
160m
在上面求AB (所需水管的长度) 的过程中，我们用到了下面的结论：
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 。
思考
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
A
B
C
解：∵ AB2＝AC2＋BC2
∴ AB2＝2BC2
AC＝BC
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
解：∵ AB2＝AC2＋BC2
∴ AB2＝2BC2
AC＝BC
A
B
C
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 。
任意画Rt△ABC和Rt△A/B/C/ ，使得∠C＝∠C/
＝90°， ∠A＝∠A/＝α
那么 与 有什么关系，你能解释一下吗？
A
B
C
A/
B/
C/
A
B
C
A/
B/
C/
∵∠C＝∠C/＝90°， ∠A＝∠A/＝α
∴ Rt△ABC∽Rt△A/B/C/
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
结论
三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)[ \sain ]
记作 sinA
例如，⑴ 当∠A＝30°时，我们有
sinA＝sin30°＝
⑵ 当∠A＝45°时，我们有
sinA＝sin45°＝
⑶ 当∠A＝60°时，我们有
sinA＝sin60°＝
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求sinA和sinB的值。
A
B
C
3
4
图⑴
A
B
C
5
13
图⑵
例1、如图，在Rt△ABC，∠C＝90°求sinA和sinB的值。
A
B
C
3
4
图⑴
解： 在Rt△ABC中
＝5
因此 sinA＝
sinB＝
例1、如图，在Rt△ABC，∠C＝90°求sinA和sinB的值。
解： 在Rt△ABC中
＝12
因此 sinA＝
sinB＝
A
B
C
5
13
图⑵
1、根据下图，求sinA和sinB的值。
A
B
C
3
5
图⑴
练习
解： 在Rt△ABC中
因此 sinA＝
sinB＝
探究：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时， ∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
类似于正弦的情况，在图中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、 ∠A的对边与邻边的比也分别是确定的。
我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)[\ksain ]
记作 cosA
我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)
记作 tanA
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
B
A
C
a
b
c
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角
三角函数：即sinA、 cosA、tanA。
A
C
6
B
例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6
，求cosA、tanB的值。
解：
∴AB＝
＝8
8
10
例2、如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝6
，求cosA、tanB的值。
A
C
6
B
8
10
1、分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值
余弦和正切值。
A
C
3
B
2
A
C
12
B
13
课堂练习
图⑴
图⑵
1、分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦和正切值。
解：
＝5
A
C
12
B
13
图⑴
解：
1、分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦和正切值。
A
C
3
B
2
2、在Rt△ABC中，如果各边都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化
答：锐角A的正弦值、余弦值和正切值
都是一个固定的值，不会变化。
3、如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AC＝8，
, 求sinA、cosB的值。
A
C
B
8
AC＝8
解：
A
C
B
8
AC＝8
解：
＝10
6
10
思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出
这几个锐角的正弦值，余弦值和正切值。
A
C
B
A
B
C
30°，45°，60°角的正弦值，
余弦值和正切值如下表：
1
2
1
1
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
1
A
C
B
1
2
A
B
C
1
1
例3 求下列各式的值:
⑴ cos260°＋sin260°
⑵
解: ⑴ 原式＝
＝1
⑵ 原式＝
＝0
练习 求下列各式的值:
⑴ 1－ 2sin30°cos30°
解: ⑴ 原式＝
⑵ 原式＝
⑵ 3tan30°－tan45°＋2sin60°
⑶
解：⑶ 原式＝
＝2
例4、⑴如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，
AB＝ ，BC＝ ，求∠A的度数。
A
B
C
解：
∴ ∠A＝45°
例4、⑵如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，
BC＝ ，AC＝ ，求∠A、∠B的度数。
A
B
C
解：
∴ ∠A＝30°
∠B＝90°－∠A＝60°
例4、⑶如图，已知圆锥的高OA等于圆锥的
底面半径的 倍，求α。
α
A
B
O
解：
∴ ∠α＝60°
谢谢
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