课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1 命题的概念
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 0°＝0
C．求x2－2x＋1>0的解集
D．作△ABC∽△EFG
2．以下语句中：
①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题组2 命题的构成形式
3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．21cnjy.com
4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．21·cn·jy·com
5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
题组3 判断命题的真假
6．下列命题是真命题的是( )
A．所有质数都是奇数
B．若>，则a>b
C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立
D．方程x2＋x＋1＝0有实根
7．下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．2·1·c·n·j·y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c;
④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列命题：
①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0
[能力提升综合练]
1．设a、b、c是任意非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|; ③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有( )21*cnjy*com
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
2．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－4
4．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．【出处：21教育名师】
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1;
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
8．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．21世纪教育网版权所有
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．
2. 解析：选B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
3. 答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
4. 解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．21教育网
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
5. 解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
6. 解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．
7. 解析：选A ①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．21·世纪*教育网
8. 解析：选A ①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．www-2-1-cnjy-com
9. 解析：①为真命题；②③④为假命题．
答案：①
能力提升训练
1. 解析：选D ①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|<|a－b|；③[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0.∴③错；④对．2-1-c-n-j-y
2. 解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
3. 解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
4. 解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0，0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．【来源：21cnj*y.co*m】
5. 解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有限制在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤是祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
6. 解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
7. 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
8. 解：若视 A为p，B为q，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，A为q，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．www.21-cn-jy.com
课时达标训练（七）
[即时达标对点练]
题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8
C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )21cnjy.com
A．(±13，0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )21·cn·jy·com
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
题组2 由椭圆的几何性质求标准方程
4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5 C．7 D．8
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.则椭圆G的方程为_______________________．
题组3 椭圆的离心率
7．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A. B. C. D.
8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．www.21-cn-jy.com
[能力提升综合练]
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( )
A. B. C．2 D．4
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4 的椭圆方程是________．
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为________．21世纪教育网版权所有
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．21·世纪*教育网
7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点，求椭圆的标准方程．
8．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．www-2-1-cnjy-com
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10，2b＝6，＝0.8.2-1-c-n-j-y
2. 解析：选D 由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝.
3. 解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.21*cnjy*com
4. 解析：选A 因为2a＝18，2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
5. 解析：选D 由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是66. 解析：依题意可设椭圆G的方程为＋＝1，a>b>0，
半焦距为c，
∵椭圆G的离心为率为，
∴＝?c＝a.
∵椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，
∴2a＝12?a＝6.
∴c＝3，b＝＝3，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7. 解析：选A 化为标准方程为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴e＝＝.
8. 解析：选C 由题意，得或
当a－c＝9时，由b2＝9得a2－c2＝9＝(a－c)(a＋c)，
a＋c＝1，则a＝5，c＝－4(不合题意)．
当a＋c＝9时，解得故e＝.
9. 解：如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥AF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c，
根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，
∴＝－1.
∴椭圆的离心率e为－1.
能力提升综合练
1. 解析：选A 由题意可得2＝2×2，解得m＝.
2. 解析：选B 记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝＝＝.21教育网
3. 解析：选D
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
4. 解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
5. 解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5，4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6. 解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
因为，所以MF1⊥MF2，
所以点M的轨迹是以O为圆心，c为半径的圆．
因为点M总在椭圆内部，所以c所以c2所以2c2答案：
7. 解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
将点M，N代入上式，得
解得
此时椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
将点M，N代入上式得
解得
因为a>b>0，所以舍去，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8. 解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m>0，易知m>，∴a2＝m，b2＝.
∴c＝＝ .
由e＝，得 ＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
课时达标训练（三）
[即时达标对点练]
题组1 充分、必要条件的判断
1．“数列{an}为等比数列”是“an＝3n(n∈N*)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“sin A＝”是“A＝”的__________条件．
题组2 充要条件的证明
5．函数y＝(2－a)x(a <2且a≠1)是增函数的充要条件是 ( )
A．1< a <2 B.< a <2
C．a <1 D．a <0
6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a <0 B．a >0 C．a <－1 D．a <1
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________．www.21-cn-jy.com
9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x| x 2－5 x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．2·1·c·n·j·y
[能力提升综合练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
2．设0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a?α，b ?β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a?α，b ?β，a∥β，b∥α
4．设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2< x <－1，则a的取值范围是________．21·世纪*教育网
6．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式a x 2＋b x＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.2-1-c-n-j-y
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 当an＝3n时，{an}一定为等比数列，但当{an}为等比数列时，不一定有an＝3n，故应为必要不充分条件．21教育网
2. 解析：选A 由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．21*cnjy*com
3. 解析：选C 当a＝0时，两直线方程分别为x＝1和2x＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a)＝(－2a)×2，解得a＝0，故应为充要条件．
4. 解析：由sin A＝不一定能推得A＝，例如A＝等；但由A＝一定可推得sin A＝，所以“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：必要不充分
5. 解析：选C 由指数函数性质得，当y＝(2－a)x(a <2且a≠1)是增函数时，2－a >1，解得a <1.故选C.【出处：21教育名师】
6. 证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－kx＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
7. 解析：选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
由于{a|a<－1}?{a|a<0}，故选C.
8. 解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
答案：－
9. 解：由(x－a)2<1，得a－1由x 2－5 x－24<0，得－3∵N是M的必要条件，
∴M ?N.
故a的取值范围为[－2，7]．
能力提升综合练
1. 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，
如图．
综上，有丙?甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
2. 解析：选B 因为0< x<，所以01，因此充分性不成立．
3. 解析：选D 当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．
4. 解析：选C { an }为等比数列，an＝a1·qn－1，由a10，q>1或a1<0，0< q <1，则数列{ an }为递增数列．反之也成立．
5. 解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{ x |( a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.21世纪教育网版权所有
答案：(2，＋∞)
6. 解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；21cnjy.com
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；21·cn·jy·com
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
7. 解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根www-2-1-cnjy-com
??k<－2.
因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
8. 解：依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，
得x－1<－a或x－1>a，
∴x<1－a或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有或
解得a≥.令a＝1，则p：x<0或x>2，
此时必有x<或x>1.
即p?q，反之不成立．
∴最小正整数a＝1.
课时达标训练（九）
[即时达标对点练]
题组1 双曲线的标准方程
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或 －＝1
D.－＝0或 －＝0
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
题组2 双曲线定义的应用
5．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
6．双曲线 －＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是( )21世纪教育网版权所有
A．17 B．7 C．7或17 D．2或22
7．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )2·1·c·n·j·y
A．m－s B.(m－s)
C．m2－s2 D.－
题组3 与双曲线有关的轨迹问题
8．已知动圆M过定点B(－4，0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )21*cnjy*com
A.－＝1(x>0) B.－＝1(x<0)
C.－＝1 D.－＝1
9．△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．【出处：21教育名师】
[能力提升综合练]
1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是( )
A．1 B．－1 C. D．－
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2 C．1或 D．1
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B. C. D．5
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是( )21cnjy.com
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当14或t<1时， 曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
6．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．21·cn·jy·com
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．【来源：21·世纪·教育·网】
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选D 由双曲线－＝1可知，
a＝，b＝，c2＝a2＋b2＝12.
∴c＝2，∴焦距为2c＝4.
2. 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，
∴有两种情况．
又∵a＝5，c＝7，
∴b2＝72－52＝24.
3. 解析：选B 依题意，应有m＋1>0，即m>－1.
4. 解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
5. 解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．21·世纪*教育网
6. 解析：选D 依题意及双曲线定义知，＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.【来源：21cnj*y.co*m】
7. 解析：选A 不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得
解得
则|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－s.
8. 解析：选C 设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4，0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4，2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.21教育网
9. 解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1能力提升综合练
1. 解析：选B 原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1.2-1-c-n-j-y
2. 解析：选D 由于a>0，03. 解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.www.21-cn-jy.com
4. 解析：选B 由题意可设双曲线方程为－＝1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，
∴－＝1，解得a2＝1.
5. 解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4; ③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴14.www-2-1-cnjy-com
答案：②③④
6. 解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，
∴|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.
答案：18
7. 解：设点P为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，
整理，得x＋y＝25. ①
∵P(x0，y0)在双曲线上，∴－＝1. ②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
8. 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos ∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
课时达标对点练（二）
[即时达标对点练]
题组1 四种命题的概念
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是( )
A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B
C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A
2．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是__________，逆否命题是__________．
3．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．www-2-1-cnjy-com
题组2 四种命题的真假判断
4．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2>1” 的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
5．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
题组3 等价命题的应用
7．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
[能力提升综合练]
1．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
2．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.其中真命题的个数为( )21教育网
A．0 B．1 C．2 D．3
3．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
4．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中所有正确叙述的序号是________．
5．已知：A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：
①a⊥α，b?α，若b∥α，则b⊥a;
②a⊥α，若a⊥β，则α∥β；
③a?α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，若a⊥c，则a⊥b；
④a⊥α，若b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.
其中逆命题为真的是________．
6．已知命题“若m－17．设命题p：若m<0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根．
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论)
8．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“?”互为否定形式．
2. 答案：若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
3. 答案：②和③ ①和③ ①和②
4. 解析：选A 对A，即判断：“若x>|y|，则x>y”的真假，显然是真命题．
5. 解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
6. 解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7. 解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
8. 证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为：“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”，www.21-cn-jy.com
当a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，2·1·c·n·j·y
故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
能力提升综合练
1. 解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若，则”，r为“若，则”．故q与r为互逆命题．21·cn·jy·com
2. 解析：选B 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
3. 解析：选C 命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．【来源：21·世纪·教育·网】
4. 解析：原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
答案：①②
5. 解析：④的逆命题：“a⊥α，若a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c可以在α内，故不正确．21·世纪*教育网
答案：①②③
6. 解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1，2]
7. 解：(1)p的逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根，则m<0.
p的否命题：若m≥0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根．
p的逆否命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根，则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题．
8. 解：(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需要判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．21世纪教育网版权所有
课时达标训练（五）
[即时达标对点练]
题组1 全称命题、特称命题及其真假判断
1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
3．有下列四个命题：①?x∈R，2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1，0}，2x＋1>0；③?x0∈N，使x≤x0；④?x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题组2 全称命题、特称命题的否定
4．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
5．命题“?x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．?x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．?x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
D．?x∈Z，使x2＋2x＋m>0
6．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
7．命题“?x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________________．
题组3 全称命题、特称命题的应用
8．已知命题“?x0∈R，2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．21·cn·jy·com
9．已知p：?x∈R，2x>m(x2＋1)，q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．www.21-cn-jy.com
[能力提升综合练]
1．已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则是( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
2．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．?x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．?x0∈Z，使1<4x0<3
3．已知命题p：?x∈R，2x2＋2x＋<0；命题q：?x0∈R，sin x0－cos x0＝.则下列判断正确的是( )21教育网
A．p是真命题 B．q是假命题
C．是假命题 D．是假命题
4．已知命题p：?b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为增函数，命题q：?x0∈Z，使log2x0>0，则下列结论成立的是( )2·1·c·n·j·y
5．命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．www-2-1-cnjy-com
①?x∈R，f(x)≤f(x0)；
②?x∈R，f(x)≥f(x0)；
③?x∈R，f(x)≤f(x0)；
④?x∈R，f(x)≥f(x0)．
7．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若是假命题，求实数m的取值范围．
8．已知p：“?x∈[1，2]，x2－a≥0”，q：“?x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．2-1-c-n-j-y
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 只有A，C两个选项中的命题是全称命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．21cnjy.com
2. 解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．21*cnjy*com
3. 解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；【来源：21cnj*y.co*m】
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4. 解析：选C 全称命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.【来源：21·世纪·教育·网】
5. 解析：选D 特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D.
6. 解析：选C 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.21·世纪*教育网
7. 解析：“?x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定为“?x∈R，使得x2＋2x＋5≠0”．
答案：?x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
8. 解析：由题意可得“对?x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1答案：(－1，3)
9. 解：由命题p为真可知2x>m(x2＋1)恒成立，
即mx2－2x＋m<0恒成立，
所以解得m<－1.
由命题q为真可得
Δ＝4－4(－m－1)≥0，
解得m≥－2，
因为p∧q为真，
所以p真且q真，
所以由得－2≤m<－1，
所以实数m的取值范围是[－2，－1)．
能力提升综合练
1. 解析：选C 命题p的否定为“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
2. 解析：选B A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得3. 解析：选D p：2x2＋2x＋＝2＝2≥0，
∴p为假命题，为真命题．
q：sin x0－cos x0＝sin＝，
∴x0＝π时成立．
故q为真，而为假命题．
4. 解析：选D f(x)＝x2＋bx＋c
＝＋c－，
对称轴为x＝－≤0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，命题p是真命题．令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，所以命题q是真命题，为假命题，p∨()为真命题．故选D.21世纪教育网版权所有
5. 解析：命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5<0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，21教育名师原创作品
所以命题p为假命题，
命题p的否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.
答案：特称命题 假 ?x∈R，x2＋2x＋5≥0
6. 解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此?x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：③
7. 解：∵为假命题，∴p为真命题．
即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．
由4x＋2x·m＋1＝0，
得m＝－2x－＝－≤－2.
即m的取值范围为(－∞，－2]．
8. 解：p为真时，x2－a≥0，
即a≤x2.
∵x∈ [1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1.
q为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}.
课时达标训练（八）
[即时达标对点练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )21cnjy.com
A．10 B．12 C．16 D．18
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．21·cn·jy·com
题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．www.21-cn-jy.com
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
8．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，
(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
[能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数( )21·世纪*教育网
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2 ] B．[4－，4＋ ]
C．[4－2，4＋2 ] D．[4－，4＋ ]
3．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝( )2·1·c·n·j·y
A. B．2 C. D．3
4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
5．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．www-2-1-cnjy-com
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1相交．2-1-c-n-j-y
2. 解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
3. 解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4. 解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝.
答案：
5. 解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
6. 解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
答案：
7. 解析：由＋＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，21教育网
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
答案：6
8. 解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
(1)∵P(0，1)，
即b＝2，且B(3，1)．
∵B在椭圆上，
∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是.
能力提升综合练
1. 解析：选B 因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
所以 >2，即m2＋n2<4，
所以n2<4－m2，
则＋<＋＝1－m2<1.
所以点(m，n)在椭圆＋＝1内部，
故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．
2. 解析：选A 方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝2，b＝，所以
－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
3. 解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
4. 解析：直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.21世纪教育网版权所有
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5. 解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)设l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
由l与圆x2＋y2＝1相切得＝1，
解得k＝±.
将y＝±x＋2代入x2＋4y2－4＝0，
得13x2±16x＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝2＝2
＝2＝.
又O到AB的距离d＝1.
∴S△OAB＝×|AB|×1＝.
6解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)．
由题设＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即－2所以xP＝＝－，从而yP＝xP＋m＝，
所以kAP＝＝，
又|AM|＝|AN|，
所以AP⊥MN，
所以＝－1，解得m＝2，
所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.
课时达标训练（六）
[即时达标对点练]
题组1 椭圆的标准方程
1．已知方程 ＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(4，10) B．(7，10)
C．(4，7) D．(4，＋∞)
2．已知椭圆 ＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
题组2 与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )21世纪教育网版权所有
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
6．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题
7．椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．21教育网
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．www.21-cn-jy.com
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．2·1·c·n·j·y
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
[能力提升综合练]
1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )21cnjy.com
A. B.
C. D．4
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )21·cn·jy·com
A.＋＝1
B.＋＝1或 ＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或 ＋＝1
4．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
5．F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是________．21·世纪*教育网
6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．2-1-c-n-j-y
7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．www-2-1-cnjy-com
8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 由题意知解得72. 解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，
∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
3. 解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4. 解析：∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5. 解析：选A 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1. ①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.
6. 解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，c＝4.但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
7. 解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8. 解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4，0)和C(4，0)是椭圆的焦点．21*cnjy*com
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
答案：
9. 解：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±.
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴点P坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
能力提升综合练
1. 解析：选D ∵a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．
2. 解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3. 解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4. 解析：选B ∵，∴PF1⊥PF2.
∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝＝2.
∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5. 解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得＝，
∴c2＝4，c＝2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|＝1，|y0|＝，代入椭圆方程得＋＝1.
∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，
即b4＝12，∴b2＝2.
答案：2
6. 解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7. 解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
即F1(－5，0)，F2(5，0)．
则2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8. 解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①
在△F1PF2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得即(－－x，－y)·(－x，－y)<0.
又y2＝1－，
所以x2<2，解得－所以点P横坐标的范围是.
课时达标训练（十一）
[即时达标对点练]
题组1 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
2．抛物线y＝－的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2 C．x＝ D．y＝4
3．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C．|a| D．－
题组2 求抛物线的标准方程
4．焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
5．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
题组3 抛物线定义的应用
6．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
7．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点F的距离为9，则点P的坐标为( )
A．(7，±) B．(14，±)
C．(7，±2) D．(－7，±2)
8．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．2-1-c-n-j-y
题组4 抛物线方程的实际应用
9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．21*cnjy*com
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．21·世纪*教育网
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；21教育名师原创作品
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
[能力提升综合练]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
2．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6 C. D.
3．动点到点(3，0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )21教育网
A. B．1
C. D.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．【来源：21cnj*y.co*m】
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．【版权所有：21教育】
8．已知圆C的方程x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 由y＝4x2，得x2＝y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.
2. 解析：选B 由y＝－，得x2＝－8y，故抛物线开口向下，其准线方程为y＝2.
3. 解析：选B ∵2p＝|a|，∴p＝.∴焦点到准线的距离是.
4. 解析：选B 由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.21cnjy.com
5. 解析：选C 设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.【来源：21·世纪·教育·网】
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
6. 解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线 y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．【出处：21教育名师】
7. 解析：选C 由y2＝8x，得抛物线的准线方程为x＝－2，因P点到焦点的距离为9，故P点的横坐标为7.由y2＝8×7，得y＝±2，即P(7，±2)．
8. 解：如图．
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
9. 解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p×(－4)，
2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.
由图知，AB是最长的支柱之一，
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)，
即最长支柱的长为3.84米．
10. 解：如图所示，
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
能力提升综合练
1. 解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.21世纪教育网版权所有
2. 解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.21·cn·jy·com
3. 解析：选D 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.www.21-cn-jy.com
4. 解析：选C ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
5. 解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，解得p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.2·1·c·n·j·y
答案：
6. 解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4)．www-2-1-cnjy-com
设P(x0，4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
答案：8
7. 解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
8. 解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，
∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5.
即|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x>0，
则|PC|＝x＋5，
故点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，
则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，即x<0，
则|PC|＝－x＋5，
此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x<0)．
故点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
课时达标训练（十七）
[即时达标对点练]
题组1 求函数的极值
1．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )
A．2 B．－1和2 C．－1 D．－3
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
3．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
其中正确的结论为________．
题组2 已知函数的极值求参数
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3
5．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．b<1 B．b>1 C．06．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．21cnjy.com
题组3 含参数的函数的极值问题
7．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．21·cn·jy·com
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
8．已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为( )
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，(0，＋∞)内
C．三个零点，分别在，，(1，＋∞)内
D．三个零点，分别在，(0，1)，(1，＋∞)内
2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )www.21-cn-jy.com
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
3．若函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
4．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________．
6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的极大值为5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a＝________，b＝________，c＝________.
7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.2·1·c·n·j·y
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选C f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，在区间(－1，2)上，f′(x)>0，【来源：21·世纪·教育·网】
故当x＝－1时，f(x)取极小值．
2. 解析：选C 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；当－1∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2，2)，故无极小值．
3. 解析：由图象知，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，
同理，f(x)在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③.
由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，
所以x＝2时，函数有极大值；
而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，
故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，
所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.
答案：③
4. 解析：选A f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
5. 解析：选C f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0，1)内有极小值，则有00，符合题意．所以实数b的取值范围是06. 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.
即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7. 解：(1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，2-1-c-n-j-y
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝3.
8. 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
能力提升综合练
1. 解析：选A 利用导数法易得函数在内递减，在内递增，在(1，＋∞)内递减，而f＝－<0，f(1)＝－1<0，故函数图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在内．21世纪教育网版权所有
2. 解析：选D 由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．21教育网
3. 解析：选D f′(x)＝3x2－2a，
∵f(x)在(0，1)内有极小值没有极大值，
∴?即04. 解析：选D 取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.故选D.
5. 解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
6. 解析：由题图得
依题意，得
即
解得a＝2，b＝－9，c＝12.
答案：2 －9 12
7. 解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．求函数f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点．
解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；
在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，所以或
即或解得a<－4或a>0，
所以当a>0或a<－4时，函数f(x)恰有一个零点．
课时达标训练（十九）
[即时达标对点练]
题组1 面积、体积的最值问题
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.π B.π
C.π D.π
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )2-1-c-n-j-y
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
题组2 成本最低(费用最省)问题
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数是P＝v4－v3＋15v，21·世纪*教育网
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
题组3 利润最大问题
6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )【出处：21教育名师】
A．30 元 B．60 元
C．28 000 元 D．23 000 元
8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．
[能力提升综合练]
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．2
3．某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32 m，16 m B．30 m，15 m
C．40 m，20 m D．36 m，18 m
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )21世纪教育网版权所有
A．150 B．200 C．250 D．300
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.
6．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．21教育网
7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P ＝0.1x2－3.2 ln x＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为π.
2. 解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积V cm3.由题意，得V＝x(48－2x)2(0当x∈(0，8)时，V′>0；当x∈(8，24)时，V′<0.
∴当x＝8时，V取得最大值．
3. 解析： 选C 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．www.21-cn-jy.com
4. 解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2，【来源：21·世纪·教育·网】
令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.
且当020时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．
答案：20
5. 解：(1)Q＝P·＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元)．
6. 解析：选C 因为y′＝－x2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y′<0；当x∈(0，9)时，
y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．www-2-1-cnjy-com
7. 解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．21*cnjy*com
8. 解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.032答案：0.032
9. 解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：
L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，
即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8，11]．
(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，
∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)
＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，
令L′(x)＝0得x＝12或x＝，
由于x∈[8，11]，所以取x＝，
当x∈时，L′(x)>0；x∈时，L′(x)<0，
所以当x＝时，L(x)在[8，11]上取到极大值，也是最大值，
L＝(万元)．
故当每件售价为元时，公司一年的利润L最大，最大利润是万元．
能力提升综合练
1. 解析：选B 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．21cnjy.com
2. 解析：选C 设底面边长为x，高为h，
∴x2·h＝V，∴h＝＝.
∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋，
S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，x3＝4V，x＝.
当0时，S′(x)>0，
∴当x＝时，S(x)最小．
3. 解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy＝512，堆料场的周长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.21教育名师原创作品
4. 解析：选D 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3005. 解析：设高为h，则底面半径r＝，0由V′＝π－πh2＝0得h2＝，h＝或h＝－(舍去)，因为当00，当h>时，V′<0，所以当h＝时，V最大．
答案：
6. 解析：设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ACBD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0，2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
7. 解：(1)由题意得，所获得的利润为
y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝.
当4≤x<6时，y′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元．
8. 解：(1)由题意知，M点的坐标为(5，40)，N点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C的方程y＝，
可得
解得
(2)①由(1)知曲线C的方程为
y＝(5≤x≤20)，y′＝－，
所以y′x＝t＝－即为l的斜率．
又当x＝t时，y＝，
所以P点的坐标为，
所以l的方程为
y－＝－(x－t)．
令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝t.
所以f(t)＝，其中5≤t≤20.
②由①知f(t)＝，其中5≤t≤20.令g(t)＝＋＝t2＋，
所以g′(t)＝t－＝·
＝·.因为5≤t≤20，令g′(t)<0，得5≤t＜10；令g′(t)＝0，得t＝10；g′(t)>0，得10课时达标训练（十二）
[即时达标对点练]
题组1 抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )21教育网
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
题组2 抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16
C．32 D．64
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为( )21cnjy.com
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．www.21-cn-jy.com
6．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．2·1·c·n·j·y
题组3 直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
8．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B．[－2，2]
C．[－1，1] D．[－4，4]
9．在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．21·世纪*教育网
[能力提升综合练]
1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A. B．p
C．2p D．无法确定
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )21·cn·jy·com
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于( )www-2-1-cnjy-com
A．45° B．90°
C．60° D．120
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )2-1-c-n-j-y
A. B.
C．－ D．－
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________．21*cnjy*com
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．【来源：21cnj*y.co*m】
7．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．【出处：21教育名师】
(1)证明：y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)求＋的值．
8．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．【版权所有：21教育】
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2. 解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
3. 解析：选B 由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，
得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，
即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
4. 解析：选B kOA·kOB＝＝·＝，
根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，
故kOA·kOB＝＝－4.
5. 解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
6. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
7. 解析：选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1，0)．
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8. 解析：选C 准线x＝－2，Q(－2，0)，
设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，即交点为(0，0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1，1]．
9. 解：法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝，
∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
∴m＝.
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.21世纪教育网版权所有
10. 解：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又|AF|＝3，
∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.
∴F到准线距离p＝|FC|＝.
∴y2＝3x.
能力提升综合练
1. 解析：选C 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.
2. 解析：选B 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3. 解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1.
又∠AA1F＝∠A1FO，
所以∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO.
于是∠AFA1＋∠BFB1
＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1，
故∠A1FB1＝90°.
4. 解析：选D 由得x2－5x＋4＝0，
∴x＝1或x＝4.
5. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4， ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：
6. 解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得|x|＝ .要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
答案：6
7. 解：(1)证明：过焦点F的直线AB的方程为y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.由韦达定理得y1y2＝－p2.
又y＝2px1，y＝2px2，
∴x1x2＝·＝＝.
当直线AB的方程为x＝时，x1x2＝，y1＝p，
y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
(2)设直线AB：y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2＋p)＝，
即|AF|＋|BF|＝·|AF|·|BF|，
∴＋＝.
当直线AB的方程为x＝时，
x1＝x2＝，y1＝p，y2＝－p，
∴|AF|＝|BF|＝p，∴＋＝.
8. 解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由?A1，
由?A2，
同理可得B1，B2，
所以＝
＝2p1
＝
＝2p2，
所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
故＝.
课时达标训练（十五）
[即时达标对点练]
题组1 利用导数公式求函数的导数
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则y′＝－；④′＝ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )
A. B. C. D.
题组2 利用导数的运算法则求导数
3．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
4．函数y＝的导数为________．
5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．21·cn·jy·com
6．求下列函数的导数．
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题
7．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．
8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．2-1-c-n-j-y
9．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．21*cnjy*com
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．【版权所有：21教育】
[能力提升综合练]
1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝( )21教育名师原创作品
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D.
3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B. C．－ D.
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
5．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f＝________．
6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．
7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．21*cnjy*com
8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【出处：21教育名师】
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝＝＝，所以③错误.′＝－＝＝x－＝，所以④正确．21·世纪*教育网
2. 解析：选D ∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(1)＝α＝.
3. 解析：选B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.【来源：21cnj*y.co*m】
4. 解析：y′＝′＝
＝＝.
答案：
5. 解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
6. 解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′
＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′
＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′
＝
＝
＝.
7. 解析：y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.21教育网
答案：y＝3x＋1
8. 解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin ＋cos ＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9. 解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
10. 解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2，1)．www.21-cn-jy.com
能力提升综合练
1. 解析：选C 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.2·1·c·n·j·y
2. 解析：选A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．www-2-1-cnjy-com
3. 解析：选B y′＝
＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
4. 解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
5. 解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1
6. 解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，
则f(x)＝xg(x)，
求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n.
答案：1×2×3×…×n
7. 解析：法一：∵y＝x＋ln x，
∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．
∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由
解得
答案：8
8. 解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3，令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，21世纪教育网版权所有
又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.【来源：21·世纪·教育·网】
9. 解：不存在．由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′x＝x0＝cos x0，k2＝y′x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是21cnjy.com
sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
课时达标训练（十八）
[即时达标对点练]
题组1 求函数的最值
1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
2．函数f(x)＝x2ex在区间(－3，－1)上的最大值为( )
A．9e－3 B．4e－2 C．e－1 D．4e2
3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．21cnjy.com
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)在点(1，0)处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[1，t]上的最大值．
题组2 由函数的最值确定参数的值
5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．1
C．2 D.
6．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0题组3 与最值有关的恒成立问题
7．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p的取值范围是( )
A．(0，1] B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1，5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
2．函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( )
A．当x＝时，f(x)取最大值
B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值
D．当x＝－时，f(x)取最小值
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)>0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)<2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)≤2f(1)
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为( )2·1·c·n·j·y
A．1 B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
7．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
8．设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
(1)求a、b的值；
(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A f′(x)＝2＋sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上无最值．21教育网
2. 解析：选B ∵f′(x)＝ex(x2＋2x)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝0(舍)．
∴f(x)在(－3，－2)上递增；在(－2，－1)上递减．
∴f(x)在(－3，－1)上的最大值为f(－2)＝4e－2.
3. 解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.
计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，
所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
答案：32
4. 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f(x)的导数f′(x)＝.
(1)f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝＝0，解得x＝e.
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当1f(x)max＝f(t)＝，
当t≥e时，f(x)在[1，e]上单调递增，
在[e，t]上单调递减，f(x)max＝f(e)＝，
f(x)max＝
5. 解析：选C y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
令y′＝0，得x＝0或x＝－1.
因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
又f(1)＝m＋，f(－2)＝m－2，
所以f(1)＝m＋最大，所以m＋＝，所以m＝2.
6. 解：令f′(x)＝－x2＋x＋2a＝0，
得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)＝.
7. 解析：选D 原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增；在上单调递减．故f(x)max＝f＝－ln p，即－ln p≤0，解得p≥1.21·cn·jy·com
8. 解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1，3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴
∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴x∈[－2，6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，
∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，
∴c<－18，
∴c的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
能力提升综合练
1. 解析：选B f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，
∴f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，
∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.
2. 解析：选D f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln 2.
令f′(x)＝0，得x＝－.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．
3. 解析：选A 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数； 当x<1时，
f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)在x＝1处取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，得f(0)＋f(2)>2f(1)．21世纪教育网版权所有
4. 解析：选D |MN|的最小值，即函数h(t)＝t2－ln t的最小值，h′(t)＝2t－＝，显然t＝是函数h(t)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
5. 解析：f′(x)＝ex－2.由f′(x)>0得ex－2>0，
∴x>ln 2.由f′(x)<0得，x∴f(x)在x＝ln 2处取得最小值．
只要f(x)min≤0即可．
∴eln 2－2ln 2＋a≤0，
∴a≤2ln 2－2.
答案：(－∞，2ln 2－2]
6. 解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e，
且当00；当x>e时，g′(x)<0，
∴当x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，
∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
7. 解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，
函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1时，即k≥2，
函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
8. 解：(1)∵f(x)＝2ax－＋ln x，
∴f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，
即
解得
∴所求a、b的值分别为－、－.
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，x∈，
由f′(x)＝－－＋
＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
∴f是f(x)在上的最小值．
而f＝＋ln ＝－ln 2，
∴c≥－ln 2.
∴c的取值范围为.
课时达标训练（十六）
[即时达标对点练]
题组1 函数与导函数图象间的关系
1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )21·cn·jy·com
2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )www.21-cn-jy.com
3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的递增区间为________．21·世纪*教育网
题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
5．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1，1] B．(0，1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
6．证明函数f(x)＝在上单调递减．
题组3 与参数有关的函数单调性问题
7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________．www-2-1-cnjy-com
9．已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．
[能力提升综合练]
1．y＝xln x在(0，5)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上减，在上增
D．在上增，在上减
2．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )21cnjy.com
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
5．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
6．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． 21*cnjy*com
7．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性．
8．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．【出处：21教育名师】
2. 解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.
3. 解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f′(x)>0，所以f(x)在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．【版权所有：21教育】
答案：(－1，2)和(4，5]
4. 解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．21教育名师原创作品
5. 解析：选B 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得06. 证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
由于x∈，
∴cos x<0，sin x>0，xcos x－sin x<0.
故f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．
7. 解析：选A f′(x)＝3ax2－1.
∵f(x)在R上为减函数，
∴f′(x)≤0在R上恒成立．
∴a≤0，经检验a＝0符合题意．
8. 解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1答案：－ －6
9. 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋，当a>0时，f′(x)>0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)．21教育网
当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>；由f′(x)＝x＋<0，得0所以当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．
能力提升综合练
1. 解析：选C ∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1，
∴当0∴y在上减．当－1，即y′>0.
∴y在上增．
2. 解析：选A 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)3. 解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．2·1·c·n·j·y
4. 解析：选C 因为′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
5. 解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b有两个不相等的实数根，所以b＞0.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：(0，＋∞)
6. 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.21世纪教育网版权所有
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以解得：1≤k<.
答案：
7. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
8. 解：h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1，4]上单调递减，
所以x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
令G(x)＝－，
则a≥G(x)max.而G(x)＝－1.
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1，4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1，4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
课时达标训练（十四）
[即时达标对点练]
题组1 求曲线的切线方程
1．曲线y＝x3＋11在点(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
2．求曲线y＝在点的切线方程．
题组2 求切点坐标
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
5．已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
题组3 导数几何意义的应用
6．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
7．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )2-1-c-n-j-y
9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．21*cnjy*com
[能力提升综合练]
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
2．曲线y＝在点P(2，1)处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )21·世纪*教育网
A．(1，0) B．(2，8)
C．(1，0)或(－1，－4) D．(2，8)或(－1，－4)
5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．www-2-1-cnjy-com
6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．【来源：21cnj*y.co*m】
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．21世纪教育网版权所有
答 案
即时达标对点练
1.
∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．
令x＝0得y＝12－3＝9.
2.
所以曲线在点的切线斜率为
k＝y′x＝＝－4.
故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
3. 解析：选A ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
4. 解析：设P(x0，2x＋4x0)，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3，30)．
答案：(3，30)
5. 解：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1，3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴k·＝－1，即k＝8.故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.
∴切点坐标为(2，9)．
6. 解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．21教育网
7. 解析：选B 根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－<0.21cnjy.com
8. 解析：选D 不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；2·1·c·n·j·y
当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；【来源：21·世纪·教育·网】
从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．【出处：21教育名师】
9. 解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．【版权所有：21教育】
答案：②
能力提升综合练
1. 答案：B
2. 解析：选D Δy＝－＝－1＝，
斜率为－1，倾斜角为.
3. 解析：选A 由Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋Δx
所以在点(1，0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.21·cn·jy·com
4.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．21教育名师原创作品
5. 解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b)．
答案：>
6. 解析：由题意，f′(4)＝－2.
f(4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7. 解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；
(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．
8. 解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．www.21-cn-jy.com
课时达标训练（十）
[即时达标对点练]
题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－ B．－4
C．4 D.
2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
题组2 由双曲线的几何性质求标准方程
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
6．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程．
题组3 求双曲线的离心率
7．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )www.21-cn-jy.com
A. B. C．4 D.
8．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________．
题组4 直线与双曲线的位置关系
9．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )21·世纪*教育网
A．4 B．3 C．2 D．1
10．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．21教育网
[能力提升综合练]
1．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．x2－y2＝2 B．x2－y2＝
C．x2－y2＝1 D．x2－y2＝
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
6．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为________．21*cnjy*com
7．双曲线－＝1(08．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.【版权所有：21教育】
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，21教育名师原创作品
∴b＝2，
∴－＝b2＝4，
∴m＝－.
2. 解析：选A 由－＝0，得y2＝x2，即y＝±x.
3. 解析：选B 由题意可知， 此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝＝a，于是e＝＝.21cnjy.com
4. 解析：选A 由题意知c＝4，焦点在x轴上，所以＋1＝e2＝4，所以＝，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为－＝1.
5. 解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.
6. 解：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6?λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.
7. 解析：选D 由双曲线的定义知，
(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，
所以4a2＝b2－3ab，即－3·＝4，
解得＝4(－1舍去)．
因为双曲线的离心率e＝＝，
所以e＝，故选D.
8. 解析：依题意知，F1(－c，0)，F2(c，0)，
不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，
所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得
－＝1，又c2＝a2＋b2，所以－＝1，
整理得e4－8e2＋4＝0，
解得e2＝4＋2(e2＝4－2<1舍去)，
所以e＝＋1.
答案：＋1
9. 解析：选B ∵双曲线方程为x2－＝1，故P(1，0)为双曲线右顶点，∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
10. 解析：由得x2－(kx＋2)2＝6.
则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．
则得－答案：
能力提升综合练
1. 解析：选C 直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a>0，b<0，C符合．21世纪教育网版权所有
2. 解析：选A 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y＝±x，焦点到渐近线的距离＝，∴c＝2.∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.21·cn·jy·com
3. 解析：选C 因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.2·1·c·n·j·y
4. 解析：选C 双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设直线AB：y＝2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|＝，【来源：21·世纪·教育·网】
∵tan ∠COx＝2，∴sin ∠COx＝，cos ∠COx＝，
则C的坐标为，
代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.
∵5＝a2－b2，∴b2＝.
5. 解析：由题可得直线的斜率为，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要≥，∴e2＝1＋≥4.2-1-c-n-j-y
答案：[2，＋∞)
6. 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：
两式作差得，＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
答案：－＝1
7. 解：由l过两点(a，0)，(0，b)，
设l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
16－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
因为e＝，有e＝.故e＝或e＝2.
因为0，所以离心率e为2.
8. 解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，
则
解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2，
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，www-2-1-cnjy-com
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，
所以cos ∠F1PF2
＝＝，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2
＝×10×4×＝12.
课时达标训练（四）
[即时达标对点练]
题组1 含逻辑联结词的命题的构成
1．已知p：x∈A∩B，则綈p是( )
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∪B
2．命题：“菱形对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“非”
3．命题p：方向相同的两个向量共线，命题q：方向相反的两个向量共线．
则命题：“p∨q”为___________________________________________________．
4．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________．21教育网
题组2 含逻辑联结词的命题的真假判断
5．若命题“p且q”为假，且为假，则( )
A．p或q为假 B．q假
C．q真 D．p假
6．已知命题p：x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：①p且q；②p或q；③；④.其中为真命题的是( )2·1·c·n·j·y
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
7．由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“ ”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“”为真的是( )21·世纪*教育网
A．p：3为偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5>3
C．p：a∈{a，b}；q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R；q：N＝N
8．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )www-2-1-cnjy-com
A．p∨q B．p∧q
C．()∧() D．p∨()
题组3 利用三种命题的真假求参数范围
9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“ ”都是假命题，则x的值组成的集合为________．2-1-c-n-j-y
10．设p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
[能力提升综合练]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )21*cnjy*com
A．()∨() B．p∨()
C．()∧() D．p∨q
2．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝，则下列命题为真命题的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．p∨q B．p∧q
C．()∧q D．()∨q
3．下列各组命题中满足：“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“”为真命题的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sin x在第一象限内是增函数
C．p：若a>b，则<；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：若a·b<0，则a与b的夹角不一定是钝角【出处：21教育名师】
4．若命题为真命题，则p，q的真假情况为( )
A．p真，q真 B．p真，q假
C．p假，q真 D．p假，q假
5．命题p：不等式ax＋3>0的解集是，命题q：在等差数列{an}中，若a16．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是的充分不必要条件，则a的取值范围是________．【版权所有：21教育】
7．分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等；
(3)p：π是有理数，q：π是无理数．
8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．21·cn·jy·com
(1)p，q至少有一个是真命题；
(2)p或q是真命题且p且q是假命题．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B p等价于x∈A且x∈B，所以为x?A或x?B.
2. 解析：选B 菱形的对角线互相垂直且互相平分，
∴使用了逻辑联结词“且”．
3. 答案：方向相同或相反的两个向量共线
4. 解析：否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零．
否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．
答案：若abc＝0，则a、b、c全不为零 若abc≠0，则a、b、c全不为零
5. 解析：选B 为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
6. 解析：选D 易知，p真，q假，所以p且q假，p或q真，假，真，即真命题是②④，故选D.
7. 解析：选B 由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．
8. 解析：选A 法一：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．21世纪教育网版权所有
a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．
又∵为真命题，为假命题，
∴()∧()，p∨()都是假命题．
法二：由于a，b，c都是非零向量，
∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，
∴b⊥c.如图，
则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则是假命题．故p∨q是真命题，p∧q，()∧()，p∨()都是假命题．【来源：21·世纪·教育·网】
9. 解析：因为“p∧q”为假，“”为假，所以q为真，p为假．故即
因此，x的值可以是－1，0，1，2.
答案：{－1，0，1，2}
10. 解：对于p，因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4＜0.
解这个不等式得，－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．
能力提升综合练
1. 解析：选A “至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”，应表示为()∨()．21cnjy.com
2. 解析：选D 由|x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝±，而不只有x＝，故q为假命题．因此为真命题，从而()∨q也为真命题．
3. 解析：选C 选项A中，命题p假，q假，所以不满足题意；选项B中，命题p真，q假，为假命题，也不满足题意；选项C中，命题p假，q真，p∨q为真命题，p∧q为假命题，为真命题，满足题意；选项D中，p，q都是真命题，不符合题目要求．
4. 解析：选C 若为真命题，则p∨()是假命题，故p和都是假命题，即p假q真．
5. 解析：易知p为假命题，q为真命题，故只有()∧q为真命题．
答案：()∧q
6. 解析：由是的充分不必要条件，可知?; 但，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q?p但pq，又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.www.21-cn-jy.com
答案：[1，＋∞)
7. 解：(1)p或q：3是9的约数或是18的约数，真；
p且q：3是9的约数且是18的约数，真；
非p：3不是9的约数，假．
(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不同，真．
(3)p或q：π是有理数或是无理数，真；
p且q：π是有理数且是无理数，假；
非p：π不是有理数，真．
8. 解：因为关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，
所以Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a<－1或a>，
所以p为真时a<－1或a>，
为真时－1≤a≤.
因为函数y＝(2a2－a)x为增函数，
所以2a2－a>1，
即a<－或a>1，
所以q为真时a<－或a>1.
为真时－≤a≤1.
(1)若()∧()为真，
则－≤a≤，
所以p，q至少有一个是真时a<－或a>.
即此时a∈∪.
(2)因为p∨q是真命题且p∧q是假命题，
所以p，q一真一假，
所以()∧q为真时
即－1≤a<－；
p∧()为真时即所以p∨q是真命题且p∧q是假命题时，
－1≤a<－或即此时a∈∪.
