课时达标训练（十五）
一、选择题
1．(山东高考)函数f(x)＝
＋的定义域为 ( )
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
2．指数函数y＝b·ax在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝( )
A．2 B．－3
C．2或－3
D.
3．已知f(x)＝则f(8)等于( )
A．4
B．0
C.
D．2
4．定义运算a×b＝则函数f(x)＝1×2x的图像是( )
二、填空题
5．函数y＝的定义域是
________．
6．已知a＝0.30.2，b＝0.20.2，c＝0.20.3，d＝－1.5，则a，b，c，d由小到大排列的顺序是________．
7．函数f(x)＝(a＞0，a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是________．
答案：
8．若0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图像一定不经过第________象限．
三、解答题
9．已知函数y＝a2x＋2ax－1(0＜a＜1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a的值．
10．已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明f(x)＞0.
答案
1．解析：选A 由题意得所以－3
2．解析：选A ∵y＝b
·ax为指数函数，∴b＝1，则[b,2]＝[1,2]．由于y＝ax为单调函数，∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值，∴a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．
3．解析：选C f(8)＝f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝f(－2)＝2－2＝.
4．解析：选A 当x＜0时，2x＜1，f(x)＝2x；当x≥0时，2x≥1，f(x)＝1.
5．解析：∵8－2x≥0，即2x≤23，又y＝2x在R上为增函数．∴x≤3的定义域为(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
6．解析：∵0.30.2＜0.30＝1，同理：0.20.2＜1,0.20.3＜1，－1.5＞1，考查幂函数y＝x0.2，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．
∴0.30.2＞0.20.2；考查指数函数y＝0.2x，可知该函数在R上是减函数，∴0.20.2＞0.20.3，综上，0.20.3＜0.20.2＜0.30.2＜－1.5，即c＜b＜a＜d.
答案：c＜b＜a＜d
7．解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3－3a是减函数；
当x≥0时，函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1；且满足0＋3－3a≥a0，解得a≤，所以a的取值范围是.
答案：
8．解析：函数f(x)＝ax＋b的图像可由函数y＝ax的图像向上(b＞0时)或向下(b＜0)时，平移|b|个单位得到，∵0＜a＜1，b＜－1，结合图像可知，f(x)＝ax＋b的图像一定不经过第一象限．
答案：一
9．解：由y＝a2x＋2ax－1(0＜a＜1)，
令t＝ax，∵x∈[－1,1]∴a≤t≤，
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
对称轴为t＝－1.
∵0＜a＜1∴＞1，∴当t＝，
即x＝－1时，y取最大值．
ymax＝＋－1＝14，解得a＝，
a＝－.
∵0＜a＜1，∴a＝.
10．解：(1)由题意，2x－1≠0，即x≠0，
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝(－x)3
＝·(－x)3
＝·(－x)3
＝·x3＝f(x)，
∴f(x)为定义域上的偶函数．
(3)当x＞0时，2x＞1，
∴2x－1＞0.
又∵x3＞0，
∴f(x)＞0.
由偶函数的图像关于y轴对称，知x＜0时，f(x)＞0也成立．
故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)＞0.课时达标训练（十四）
一、选择题
1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )
2．将
化为分数指数幂的形式为( )
3．计算的结果是( )
A.
B．－
C.
D．－
4．若x＞0，则
等于( )
A．－23
B．23
二、填空题
6．若x＜0，则－＋＝________.
7．若xy＝8，且x＞0，y＞0，则＝________.
8．已知10α＝2,100β＝3，则＝________.
三、解答题
10．已知f(x)＝ax－a－x，g(x)＝ax＋a－x(a＞1)．
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)·f(y)＝4，g(x)·g(y)＝8，求的值．
答案
1．
2．解析：选B 原式＝
3．解析：选A 原式＝
＝
＝.
4．解析：选A 原式＝
6．解析：原式＝－＋＝1.
答案：1
7．解析：原式＝
＝－2.
答案：－2
8．解析：∵100β＝3，即102β＝3，∴10β＝.
∴＝106α－β＝＝＝.
答案：
9.解：(1)原式＝42＋1－3＝14.
(2)原式＝
＝.
10．解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ax－a－x)2－(ax＋a－x)2
＝2ax·(－2a－x)＝－4.
(2)∵f(x)·f(y)＝4，∴(ax－a－x)(ay－a－y)＝4.
∴ax＋y＋a－(x＋y)－ax－y－ay－x＝4，
即g(x＋y)－g(x－y)＝4.①
∵g(x)·g(y)＝8，
∴(ax＋a－x)·(ay＋a－y)＝8.
∴ax＋y＋a－(x＋y)＋ax－y＋ay－x＝8，
即g(x＋y)＋g(x－y)＝8.②
由①②得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2.∴＝3.课时达标训练（十六）
一、选择题
1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于( )
A.
B.
C.
D.
2．已知lg
x－lg
y＝a，则lg3－lg3＝( )
A．3a
B.a
C．a
D.
3．设函数f(x)＝则f(f(2))＝( )
A.
B．2e2
C．2e
D．2
4．已知2m＝7n＝p，－＝4，则p的值是( )
二、填空题
5．(四川高考)lg
＋lg的值是________．
6．若a＞0，a＝，则＝________.
7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝________.
8．若10α＝2，β＝lg
3，则＝________.
三、解答题
9．(1)求值：
(2)2013年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？
(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，
lg
1.08≈0.033
4，精确到1年)
10．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
答案
1．解析：选C ∵log7[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，即x＝23＝8.
∴x－＝
.
2．解析：选A lg
3－lg
3＝3＝3[(lg
x－lg
2)－(lg
y－lg
2)]＝3(lg
x－lg
y)＝3a.
3．解析：选A ∵f(2)＝log3＝
log33－1＝－1，
∴f(f(2))＝f(－1)＝2e－2＝.
4．解析：选B ∵2m＝7n＝p，
∴m＝log2p，n＝log7p.
又－＝－
＝logp2－logp7＝logp＝4，
∴p4＝.∴p＝
5．解析：lg＋lg＝lg(×)＝
lg
10＝1.故填1.
答案：1
6．解析：∵a＞0,
＝，
∴loga＝，
∴loga＝，∴＝3.
答案：3
7．解析：∵2x＝3，
∴x＝log23.
∵log4＝y，
∴y＝log48－log43＝－＝－
log23，
∴x＋2y＝log23＋2＝3.
答案：3
8．解析：法一：∵10α＝2，β＝lg
3，
∴α＝lg
2，
＝
＝＝22×3－1＝.
法二：∵10α＝2，β＝lg
3，
∴10β＝3，
＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1＝.
答案：
9．解：(1)原式＝－()2＝9－2－＝.
(2)设经过x年后国民生产总值是2011年的两倍．
经过1年，生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，生产总值为a(1＋8%)2，
…，
经过x年，生产总值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.
两边取常用对数，得lg
1.08x＝lg
2.
故x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．
10．解：原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，
设t＝lg
x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0.
∴t1＋t2＝2，t1t2＝.
由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg
a，t2＝lg
b，
即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg
a＋
lg
b)
＝
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×
＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.课时达标训练（十八）
一、选择题
1．若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
2．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是( )
3．函数y＝loga(x－3)＋2的图像恒过定点( )
A．(3,0)
B．(3,2)
C．(4,0)
D．(4,2)
4．已知函数f(x)＝若f(m)＜f(－m)，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是________．
6．已知f(x)＝|lg
x|，则f，f，f(2)的大小关系为________．
7．方程|x|＝|logx|的根的个数为________．
8．已知函数f(x)的图像与函数g(x)＝3x的图像关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有以下命题：
(1)h(x)的图像关于原点(0,0)对称；
(2)h(x)的图像关于y轴对称；
(3)h(x)的最小值为0；
(4)h(x)在区间(－1,0)上单调递增．
其中正确的是________．
三、解答题
9．(1)已知函数f(x)＝log3(3x＋1)＋ax是偶函数，求a的值；
(2)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0且a≠1)．
①求函数的定义域和值域；
②若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
10．设函数f(x)＝x2－x＋b，且满足f(log2a)＝b，log2[f(a)]＝2(a>0，a≠1)，求f(log2x)的最小值及对应的x值．
答案
1．解析：选A a＝log3π＞log33＝1，log71＜b＝log76＜log77，
∴0＜b＜1，c＝log20.8＜log21＝0，
∴a＞b＞c.
2．解析：选A 依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，应选A.
3．解析：选D 令x＝4，则y＝loga(4－3)＋2＝2，
∴函数的图像恒过定点(4,2)．
4．解析：选C 当m＞0时，－m＜
0，f(m)＜f(－m) logm＜log2m log2＜log2m ＜m，可得m＞1；
当m＜0时，－m＞0，f(m)＜f(－m) log2(－m)＜log(－m) log2(－m)＜log2(－) －m＜－，
可得－1＜m＜0.
故m的取值范围是－1＜m＜0或m＞1.
5．解析：由题意知－1≤2logx≤1，即－1≤－2log2x≤1.
∴－≤log2x≤，
即log2≤log2x≤log2，
∴≤x≤.
答案：
6．解析：f＝lg
＝－lg
4＝lg
4，
f＝lg
＝－lg
3＝lg
3，
f(2)＝|lg
2|＝lg
2，∴f(2)＜f＜f.
答案：f(2)＜f＜f
7．
解析：同一坐标系中作出y＝|x|与y＝|logx|的图像，可知有两个交点，故有两解．
答案：2
8．解析：∵函数f(x)的图像与函数g(x)＝3x的图像关于直线y＝x对称，∴f(x)与g(x)互为反函数，
∴f(x)＝log3x；∴h(x)＝f(1－|x|)＝log3(1－|x|)．
由1－|x|＞0得－1＜x＜1.
∵h(x)的定义域关于原点对称，
且h(－x)＝log3(1－|－x|)＝log3(1－|x|)＝h(x)．
∴h(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，(2)正确；
又当x∈(－1,0)时，h(x)＝log3(1＋x)，
显然h(x)在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；
利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h(x)在(－1,0)上单调递增，且h(x)为偶函数，
∴h(x)在[0,1)上单调递减，
∴h(x)在(－1,1)上有最大值，h(0)＝log31＝0，无最小值，故(3)不正确．
答案：(2)(4)
9．解：(1)函数的定义域是R，由于f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即对任意x∈R，总有log3(3－x＋1)－ax＝log3(3x＋1)＋ax，
∴log3(3－x＋1)－log3(3x＋1)＝ax，
即(a＋1)x＝0，由于x是任意实数，∴a＝－1.
(2)①由得－3＜x＜1.
∴函数的定义域为{x|－3＜x＜1}．
f(x)＝loga(1－x)(x＋3)．
设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，
∴t≤4，又t＞0，则0＜t≤4.
当a＞1时，y≤loga4，值域为(－∞，loga4]．
当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为[loga4，＋∞)；
②由题意及①知，当0＜a＜1时，函数有最小值．
∴loga4＝－2.∴a＝.
10．解：由f(log2a)＝b可得，(log2a)2－log2a＋b＝b，
∴log2a＝1或log2a＝0.∴a＝2或a＝1(舍去)．
又∵log2[f(a)]＝2，即log2(2＋b)＝2，
∴2＋b＝4，b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.
∴f(log2x)＝2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，ymin＝.课时达标训练（十七）
一、选择题
1．(重庆高考)函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
2．函数y＝log2|x|的图像大致是( )
3．已知函数y＝log2x，其反函数y＝g(x)，则g(x－1)的图像是( )
4．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)等于( )
A．－log2x
B．log2(－x)
C．logx2
D．－log2(－x)
二、填空题
5．集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝yy＝x，x＞1，则( RA)∩B＝________.
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝________.
7．若log2a＜log2b＜0，则a，b,1的大小关系是________．
1
8．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为________．
三、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
10．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(1－x)．
(1)若函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围；
(3)判断函数F(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性．
答案
1．解析：选C 由题意得
∴故选C.
2．解析：选A y＝log2|x|＝分别作图知A正确．
3．解析：选C 由已知g(x)＝2x，∴g(x－1)＝2x－1，故选C.
4．解析：选D ∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝log2(－x)．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－log2(－x)．
5．解析：∵x＞1，∴log2x＞log21＝0，∴A＝{y|y＞0}．而当x＞1时，0＜x＜1，∴B＝y0＜y＜.
∴( RA)∩B＝{y|y≤0}∩＝ .
答案：
6．解析：∵y＝f(x)的图像过点(，a)，
∴其反函数y＝ax的图像过点(a，)，
∴aa＝＝，∴a＝，
∴f(x)＝.
答案：
7．解析：log2a＜log2b＜0 log2a＜log2b＜log21，
∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，∴a＜b＜1.
答案：a＜b＜1
8．解析：∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝log22＝1.
答案：1
9．解：(1)要使函数有意义，需即
∴函数的定义域为(－1,2)．
(2)要使函数有意义．需即
∴定义域为(2,3)∪(3,5)．
10．解：(1)由题意知，3≤x≤63，∴4≤x＋1≤64，
∵函数y＝log2x是增函数，
∴log24≤log2(x＋1)≤log264，∴2≤f(x)≤6，
∴f(x)的最大值为6，最小值为2.
(2)f(x)－g(x)＞0 f(x)＞g(x)，
即log2(x＋1)＞log2(1－x)，
则得：0＜x＜1，∴x的取值范围为(0,1)．
(3)要使函数F(x)＝f(x)＋g(x)有意义，需
即－1＜x＜1，∴定义域为(－1,1)
又F(－x)＝f(－x)＋g(－x)
＝log2(1－x)＋log2(1＋x)
＝log2(1－x2)＝f(x)＋g(x)＝F(x)，
∴F(x)为偶函数．课时达标训练（五）
一、选择题
1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
2．下列变量间的关系是函数关系的是( )
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量．
右图中，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数(有刻度)，则该公司中工作5年或更多时间的职工所占的百分比是( )
A．9% B．23%
C．30%
D．36%
4．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定，当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl的溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl溶液的pH值与所加水的体积V的变化关系的图像是( )
二、填空题
5．给出下列关系：①圆的半径与其面积之间的关系；②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系；③正整数和它的正约数的个数之间的关系．其中有函数关系的是(填代号)________．
6．下表给出的y与x的关系，则y与x是________关系(函数或非函数).
x
1
921
1
927
1
949
1
949＜x＜1
997
1
997
1
999
2
010
y
1
2
3
4
5
6
7
7．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处.
年龄/岁
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压/mmHg
110
115
120
125
130
135
145
舒张压/mmHg
70
73
75
78
80
83
88
如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有________．
①这几年人民生活水平逐年提高；
②人民生活消费增长最快的一年是2006年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2007年；
④虽然2008年生活消费增长是缓慢的，但由于生活价格指数有较大降低，因而人民生活有较大的改善．
三、解答题
9．某地2014年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215
830
200
250
154
676
74
570
65
280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数
124
620
102
935
89
115
76
516
70
436
你从以上提供的图表中会得到哪些信息？请你对就业形势作一下预测．
10．下图的曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
答案
1．答案：A
2．解析：选C A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．
3.
解析：选C 由图知，百分比＝×100%＝30%.
4．解析：选A 由题意知pH值随V的增大，先快后慢增大，但不会超过7.
5．解析：①中两个变量之间的关系具备函数关系；②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系；所以不是函数关系．③中对于一个正整数，可能有多个正约数与之对应，所以正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系．
答案：①
6．解析：由表知，y与x是一种确定的依赖关系，故为函数关系．
答案：函数
7．解析：每增长5岁，收缩压增加5
mmHg，舒张压每增长5岁按增长3,2,3,2，…的规律变化．
答案：140 85
8.
解析：由题意“生活消费指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故
①正确；“生活消费指数”在2006～2007年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2007～2008年最平缓，故③不正确；由于2008年的“生活价格指数”有较大下降，而“生活消费指数”曲线呈上升趋势，故④正确．
答案：①②④
9．解：从表格中可以看出，计算机行业应聘人数与招聘人数均居第一位，是最热门专业．机械、营销一般，而物流、贸易是冷门行业，从计算机、机械、营销三种行业看，营销行业就业形势较好．另外可以看出，建筑、化工行业的需求量相对较大，物流、贸易应聘人数相对较多，供大于求，预测未来建筑、化工行业的需求量较大，就业前景广阔．
10．解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00，他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14千米/时．
从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．课时达标训练（六）
一、选择题
1．下列各组函数是同一函数的是( )
A．y＝(3x－2)0与y＝1
B．y＝2x＋3与y＝
C．y＝与y＝x＋2
D．y＝与y＝2x－1
y＝f(x)的图像如图，则函数的定义域是( )
A．[－5,6)
B．[－5,0]∪[2,6]
C．[5,0)∪[2,6)
D．[－5,0]∪[2,6)
3．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A.
B．(－∞，17]
C.
D.
4．给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为( )
x
1
2
3
4
f(x)
4
3
2
1
x
1
2
3
4
g(x)
1
1
3
3
A.{4,2}
B．{1,3}
C．{1,2,3,4}
D．以上情况都有可能
二、填空题
5．(浙江高考)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
6．有下列三个命题：
①y＝|x|，x∈{－2，－1,0,1,2,3}，则它的值域是{0,1,4,9}；
②y＝，则它的值域为R；
③y＝，则它的值域为{y|y≥0}．
其中正确的命题的序号是________．
7．函数f(x)＝的定义域是________．
8．已知函数f(x)＝满足f(f(x))＝x，则c＝________.
三、解答题
9．如图所示，用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆形的半径为x，求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式y＝f(x)，并写出它的定义域．
10．已知函数f(x)＝.
(1)分别计算f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明；
(3)利用(2)中结论计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
013)＋f＋f＋f＋…＋f.
答案
1．解析：选D 对于A，y＝(3x－2)0＝1但其定义域为.而y＝1定义域为R，故A不正确．对于B，y＝＝|2x＋3|，其与y＝2x＋3对应关系不同．对于C，y＝与y＝x＋2，定义域不同．对于D，y＝＝2x－1，与y＝2x－1一致．
2.
解析：选D 由图像结合函数定义域的定义知，x∈[－5,0]∪[2,6)．
3．解析：选D 要使函数有意义，需解得：≤x≤7，
所以函数的定义域为[，7]．
4．解析：选A 由表中的对应关系可知，f(g(1))＝f(g(2))＝f(1)＝4，f(g(3))＝f(g(4))＝f(3)＝2，
∴f(g(x))的值域为{4,2}．
5．解析：由f(a)＝＝3，得a＝10.
答案：10
6．解析：对于①，当x＝－2，－1,0,1,2,3时，|x|＝2,1,0,1,2,3.
∴函数的值域为{0,1,2,3}．故①不正确；
对于②，y＝＝x＋1(x≠1)，
∴x＝y－1≠1，∴y≠2.
即值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．∴②不正确；
对于③，y＝≥0，∴值域为[0，＋∞)，③正确．
答案：③
7．解析：要使函数有意义，须使
即0≤x≤1且x≠.
∴f(x)的定义域为∪.
答案：∪
8．解析：∵f(f(x))＝f＝＝x，
化简，得(2c＋6)x2＋9x＝c2x，
∴∴c＝－3.
答案：－3
9．解：由已知得AB＝2x，的长为πx，
则AD＝，
故y＝2x·＋，
即y＝－x2＋Lx.
由得0所以函数的定义域为.
10．解：(1)f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1，
f(4)＋f＝＋＝1；
(2)由(1)知f(x)＋f＝1，
证明如下．
f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)原式＝f(1)＋＋＋…＋f(2
013)＋f
＝＋2
012＝.课时达标训练（十）
一、选择题
1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1 ( )
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是 ( )
3．(山东高考)设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．x1＋x2>0，y1＋y2>0
B．x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．x1＋x2<0，y1＋y2>0
D．x1＋x2<0，y1＋y2<0
4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列之一，则a的值为( )
A．1 B．－1
C.
D.
二、填空题
5．将抛物线y＝－x2＋2x－1向左平移1个单位后，得到的解析式是________．
6．函数y＝x2＋m的图像向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图像，则实数m＝
________.
7．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f(x)＝________.
8．已知方程x2－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且x＋x＝，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到的？
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式．
答案
1．解析：选D 要得到y＝2(x－4)2－1的图像，只需将y＝2x2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．
2．解析：选D 由A、C、D知，f(0)＝c＜0，
∵abc＞0，∴ab＜0，
∴对称轴x＝－＞0，知A、C错；D符合要求，由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．
3．解析：选B 由于函数y＝f(x)的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y＝g(x)的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x2<0，由于y1＋y2＝＋＝，故x1＋x2，y1＋y2一定异号．
问题即为方程－x2＋bx＝仅有两个不同的实根，即方程x3－bx2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x1是方程x3－bx2＋1＝0的二重根，x2为一个单根，则x3－bx2＋1＝(x－x1)2(x－x2)＝x3－(2x1＋x2)x2＋(x＋2x1x2)x－xx2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得x＋2x1x2＝0，即x1＋2x2＝0，即x1＋x2＝－x2>0，所以x1＋x2>0，y1＋y2<0.
4．解析：选B 由第一个图与第二个图中与x轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x1＋x2＝－≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x1＋x2＝－＞0，又b＞0，故a＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a2－1＝0，解得a＝－1或a＝1(舍)．
5．解析：∵y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，
∴函数y＝－x2＋2x－1向左平移一个单位后，
所得函数解析式为y＝－[(x＋1)－1]2＝－x2.
答案：y＝－x2
6．解析：y＝x2－1的图像向上平移2个单位，得到函数y＝x2＋1的图像，则m＝1.
答案：1
7．解析：设f(x)＝a(x－1)2－2，因为过点(2,4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
答案：6x2－12x＋4
8．解析：设f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
即f(x)＝
作出f(x)的图像，如图：
要使方程x2－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，需使函数f(x)与y＝m的图像有四个不同的交点，由图像可知，1答案：(1,5)
9．解：由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k.
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
即4－＝.
解得k＝.
∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，即y＝－3x2＋6x－.
10．解：∵y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反．
∴a＝，则y＝x2＋bx＋c.
又(1，n)，(m,1)两点均在y＝x－2上，
∴ 即点(1，－1)和(3,1)均在所求的抛物线上．
∴解得
∴这个二次函数的解析式为y＝x2－x－.课时达标训练（四）
一、选择题
1．(山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4}
D．{0,2,3,4}
2．图中阴影部分表示的集合是( )
A．A∩( UB)
B．( UA)∩B
C． U(A∩B)
D． U(A∪B)
3．(浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩( UQ)＝( )
A．{1,2,3,4,6}
B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5}
D．{1,2}
4．(重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则 U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
二、填空题
5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈ UA，则实数m的取值范围是________．
6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则( UA)∪( UB)＝________.
7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩( UC)＝________.
8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M U， UM＝{5,7}，则实数a的值为________．
三、解答题
9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若 UA＝{1,4}，求m的值．
10．我们知道，如果集合A U，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．
据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝ ，那么A与B之间具有怎样的关系？
答案
1．解析：选C UA＝{0,4}，所以( UA)∪B＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．
2．解析：选A 显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．
即：A∩ UB.
3．解析：选D UQ＝{1,2,6}，故P∩( UQ)＝{1,2}．
4．解析：选D 因为A∪B＝{1,2,3}，所以 U(A∪B)＝{4}，故选D.
二、填空题
5．解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，
∴ UA＝{x|x≤2}．
又m∈ UA，
∴m≤2.
答案：[2，＋∞)
6．解析： UA＝{钝角三角形或直角三角形}，
UB＝{锐角三角形或直角三角形}，
∴( UA)∪( UB)＝U.
答案：U
7．解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}， UC＝{1,2,5}，
∴(A∪B)∩( UC)＝{2,5}．
答案：{2,5}
8．解析：∵M U， UM＝{5,7}，
∴a－5＝3，∴a＝8.
答案：8
9．解：∵U＝{1,2,3,4}， UA＝{1,4}，
又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}
∴A＝{2,3}．
∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，
由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m＝6.
10．解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，
UA＝{x|x是高一(1)班的男生}．
(2)阴影部分如下图所示．
(3)若A－B＝ ，则A B.课时达标训练（十一）
一、选择题
1．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x是增函数的是( )
A．R B．[2，＋∞)
C.
D.
2．如果函数y＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，则实数k的取值范围为( )
A．k≤40
B．k≥160
C．40D．k≤40或k≥160
3．(浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0
B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0
D．a<0,2a＋b＝0
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元
B．45.56万元
C．45.6万元
D．45.51万元
二、填空题
5．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在
[－1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数，则f(－1)＝________.
6．已知二次函数f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(常数a，b∈R)的图像关于y轴对称，其值域为
(－∞，4]，则a＝________，b＝________.
7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为
________.
8．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1)，且满足f(－2＋x)＝f(－2－x)(x∈R)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知函数在(t－1，＋∞)上为增加的，求实数t的取值范围．
10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线表示如图．
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
解：(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋，
由t＝0时，R＝0，得a＝－.
∴R＝－(t－5)2＋(0≤t≤5)．
(2)年纯收益
y＝－t2＋5t－0.5－t＝－t2＋t－0.5，
当t＝＝4.75时，y取得最大值10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．
答案
1．解析：选D 函数y＝－2x2＋x＝－2(x－)2＋的图像的对称轴是直线x＝，图像的开口向下，所以函数在对称轴x＝的左边是增加的．
2．解析：选D 抛物线y＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，
若函数y＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，
则≤5或≥20.
∴k≤40或k≥160.
3．解析：选A 由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
4．解析：选C 设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆．
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．
5．解析：∵＝－1，∴a＝－9，
则f(x)＝4x2＋8x＋5.
∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.
答案：1
6．解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋a)＝bx2＋a(b＋1)x＋a2.
f(x)图像的对称轴为x＝－＝0，∴b＝－1.
∴f(x)＝－x2＋a2，顶点为(0，a2)．
∵f(x)的值域为(－∞，4]，
∴a2＝4，∴a＝±2.
答案：±2 －1
7．解析：由图知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1,0)．
所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.
答案：－1,3
8．解析：设f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4，
法一：当a＝2时，f(x)＝－4<0恒成立；
当a≠2时，f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，
即f(x)有最大值且最大值小于零．
即解得－2综上知，a的取值范围是(－2,2]．
法二：a＝2时不等式显然成立，
a≠2时，若不等式成立，
即f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，
必有a－2<0，且Δ＝4(a－2)2＋4(a－2)×4<0，解得－2∴a的取值范围是(－2,2]．
答案：(－2,2]
9．解：(1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c＝1.
又f(－2＋x)＝f(－2－x)，
∴函数f(x)的对称轴为x＝－＝－＝－2.
∴a＝.
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上为增函数，
∴t－1≥－2.∴t≥－1.
10．解：(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋，
由t＝0时，R＝0，得a＝－.
∴R＝－(t－5)2＋(0≤t≤5)．
(2)年纯收益
y＝－t2＋5t－0.5－t＝－t2＋t－0.5，
当t＝＝4.75时，y取得最大值10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．课时达标训练（二十一）
一、选择题
1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于( )
A．4元 B．16元
C．85元
D．不确定
2．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t时的距离，下列图像中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为( )
3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b
D．y＝a＋
4．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是( )
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝
C．x＝
D．x＝
二、填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.
6．一个高中研究性学习小组对本地区2013年至2015年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)．根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．
7．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10
m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6
m时，球到达最高点，此时球高3
m，已知球门高2.44
m，________踢进球门(填“能”或“否”)．
8．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．
三、解答题
9．某企业根据企业现状实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？
10．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公倾)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌
溉面积y随最大积雪深度x变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25
cm，则可以灌溉土地多少公顷？
答案
1．解析：选C 当x＝4时，y＝34＋4＝85.
2．解析：选C 由题中所述，只有C符合题意．
3．解析：选B 在坐标系中描出表中各点，知拟合函数为y＝a＋bx.
4．解析：选D 根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．
5．解析：日销售额S＝f(t)g(t)＝(2t＋100)(t＋4)．
答案：(2t＋100)(t＋4)
6．解析：根据题意知，三年内共销售盒饭为：
30＋45×1.5＋90×2＝277.5，
∴平均每年销售盒饭92.5万盒．
答案：92.5
7．解析：
建立如图所示的坐标系，拋物线经过点(0,0)，顶点为(6,3)．
设拋物线解析式为y＝a(x－6)2＋3，
把x＝0，y＝0代入得a＝－，
∴y＝－(x－6)2＋3.
当x＝10时，y＝－(10－6)2＋3＝＜2.44.
∴球能射进球门．
答案：能
8．解析：总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2
000
＝－(Q－300)2＋2
500，
故当Q＝300时，总利润最大值为2
500万元．
答案：2
500万元
9．解：(1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，
则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.
∵200－x≥×200 x≤50，
∴x的取值范围为0＜x≤50，且x∈N；
(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，
∵0＜x≤50，且x∈N，
∴当x＝30时，y取得最大值209.
∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．
10．解：(1)描点作图如下：
(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图像如图②，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，
即当积雪深度为25
cm时，可以灌溉土地47.4公倾.课时达标训练（八）
一、选择题
1．已知集合A＝{a1，a2}，集合B＝{－1,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
2．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列由A到B的对应：①f：x→y＝x，②f：x→y＝，③f：x→y＝－|x|.④f：x→y＝x－2.
其中能构成映射的是( )
A．①②
B．①③
C．③④
D．②④
3．设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2,1)的原像为( )
A．(3,1)
B.
C.
D．(1,3)
4．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数有( )
A．2个
B．3个
C．5个
D．8个
二、填空题
5．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)，在此映射下的原像是(3,1)，则k＝________，b＝______.
6．设A到B的映射f1：x→2x＋1，B到C的映射f2：y→y2－1，则A到C的映射f：________.
7．已知集合A到集合B＝的映射f：x→，那么集合A中的元素最多有________个．
8．已知映射f：A→B，其中A＝R＝B，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原像，则k的取值范围是________．
三、解答题
9．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f：x→2x＋1；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝，对应关系f：x→.
10．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
(2)判断这个映射是不是一一映射．
答案
1．解析：选C A、B、D均满足映射定义，C不满足任一A中元素在B中有唯一元素与之对应．
2．解析：选A 对于①，当0≤x≤4时，0≤x≤2，显然对于A中的任意元素x，B中有唯一的元素y与之对应，是映射；
对于②，也符合映射的定义；
对于③，0≤x≤4时，－4≤－|x|≤0，
显然－|x| (0,2]，不是映射；
对于④，0≤x≤4时，－2≤x－2≤2，当0≤x<2时，B中没有像与之对应，也不符合映射的定义．
故只有①②正确．
3．解析：选B ∵∴
4．解析：选B 由f(a)，f(b)∈{－1,0,1}，且f(a)＋f(b)＝0知，这样的映射有：
共3个．
5．解析：由解得
答案：2 1
6．解析：x→(2x＋1)2－1＝4x2＋4x.
答案：x→4x2＋4x
7．解析：∵|±1|＝1，
∴和B集合中的1对应的元素可以是±1.
而当x＝±2时，＝，当x＝±3时，＝，
又不可能有x使＝0，
∴集合A中元素最多有6个．
答案：6
8．解析：∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y≤1，即像的集合为(－∞，1]．
∵k∈B时，在集合A中不存在原像，即k不在像的集合内，
∴k＞1.
答案：(1，＋∞)
9．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数，但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射，因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．
10．解：(1)假设存在元素(a，b)使它的像仍是(a，b)
由得a＝0，b＝.
∴存在元素使它的像仍是自己；
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解，
这说明对B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，
所以映射f：A→B是A到B上的一一映射．课时达标训练（十二）
一、选择题
1．下列幂函数中为偶函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝x
C．y＝x3
D．y＝x2
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
4．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( )
A．f(6)＞f(7)
B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9)
D．f(7)＞f(10)
二、填空题
5．若点在幂函数y＝f(x)的图像上，则f＝________.
6．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.
7．如果y＝是奇函数，则f(x)＝________.
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域为[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图像如图所示，则不等式＜0的解集是________．
三、解答题
9．研究函数y＝x－2的奇偶性、单调性，并作出函数的图像．
10．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)求m;
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数还是减函数？并证明．
答案
1．解析：选D 由偶函数的性质f(－x)＝f(x)知，D正确．
2．解析：选A 由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，(a≠0)，其定义域为R，
且g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
3．
解析：选A 作出示意图可知：
f(2x－1)＜f() －＜2x－1＜，即＜x＜.
4．解析：选D y＝f(x＋8)为偶函数，
∴f(－x＋8)＝f(x＋8)，
∴y＝f(x)的对称轴为x＝8.∵f(x)在(8，＋∞)为减函数，∴由对称性知f(x)在(－∞，8)上为增函数，故由单调性及对称轴结合图像知f(7)＞f(10)．
5．解析：设f(x)＝xα(α为常数)，则2α＝＝2－1，
∴α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f＝－1＝4.
答案：4
6．解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2， ①
∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.
②
由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
答案：x2－2 x
7．解析：设g(x)＝当x<0时，－x>0，
则
g(－x)＝2(－x)－3＝－(2x＋3)．
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴当x<0时，g(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
答案：2x＋3
8．解析：作出函数y＝f(x)与y＝g(x)在[－π，π]上的图像．
由图像知，不等式＜0的解集为∪.
答案：∪
9．解：∵y＝x－2＝，
∴函数的定义域为{x|x≠0}．
取任意的x(x≠0)，则－x≠0.
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴y＝x－2在定义域内是偶函数．
当任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2时，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
∵0＜x1＜x2，
∴xx＞0，x1＋x2＞0，x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，
即f(x)＝x－2在(0，＋∞)上为减函数．
由偶函数的性质知f(x)＝x－2在(－∞，0)上为增函数．
通过描点作图可得y＝x－2(x≠0)的图像如上图所示．
10．解：(1)因为f(1)＝2，所以1＋m＝2，即m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x＋，显然函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，
所以，函数f(x)＝x＋是奇函数．
(3)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，设x1、x2是(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)
＝x1－x2＋(－)
＝x1－x2－
＝(x1－x2)，
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2－1＞0，x1－x2<0，
从而f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数.课时达标训练（二）
一、选择题
1．下列关系正确的是( )
A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R}
B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．{(x，y)|x2－y2＝1}{(x，y)|(x2－y2)2＝1}
D．{x∈R|x2－2＝0}＝
2．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则集合A、B、C之间关系完全正确的是( )
3．已知A＝{－2,2
012，x2－1}，B＝{0,2
012，x2－3x}，且A＝B，则x的值为( )
A．1
B．0
C．－1
D．－1,1
4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则M和N的关系是( )
二、填空题
5．(江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集．
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝.则A，B的关系是________．
7．定义A
B＝{x|x∈A且x B}，若A＝{1,3,4,6}，B＝{2,4,5,6}，则A
B的子集个数为________．
8．设A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}．若B?A，则a的值为________．
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A求实数a组成的集合C.
10．已知集合A＝{x|1答案
1．解析：选C 由元素与集合，集合与集合间关系的定义知，A、B、D错误，C正确．
2．解析：选C 集合A中元素所具有的特征：x＝2k＋1＝2(k＋1)－1，
∵k∈Z，∴k＋1∈Z与集合B中元素所具有的特征完全相同，
∴A＝B；当k＝2n时，x＝2k＋1＝4n＋1
当k＝2n＋1时，x＝2k＋1＝4n＋3.即C是由集合A中的部分元素所组成的集合．
∴C?A，C?B.
3．解析：选A ∵A＝B，
∴解得x＝1.
4．解析：选B ∵M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴NM.
5．解析：由题意知，所给集合的子集个数为23＝8.
答案：8
6．解析：＝1可化为y＝x(x≠0)，可知，集合A表示直线y＝x，集合B表示剔除(0,0)点的直线y＝x.故B?A.
答案：B?A
7．解析：由A
B的定义知：若A＝{1,3,4,6}，B＝{2,4,5,6}，则A
B＝{1,3}，∴子集个数为22＝4个．
答案：4
8．解析：∵B?A，∴a2－a＋1＝3或a.
当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验a＝－1,2均满足集合的互异性；
当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，故A＝{1,3,1}显然不满足集合元素的互异性，故a＝－1或2.
答案：－1或2
9．解：由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．
(1)当a＝时，由x－1＝0得x＝5.
∴B＝{5}．∴B?A.
(2)∵A＝{3,5}且B A，
∴若B＝ ，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.
若B≠ ，则方程ax－1＝0中a≠0，得x＝.
∴＝3或＝5，即a＝或a＝.∴C＝.
10．解：(1)当a＝0时，A＝ ，满足A B.
(2)当a＞0时，A＝.
∵A B，∴≤1即a≥2.
(3)当a＜0时，A＝.
∵A B，∴≥－2即a≤－1.
综上，实数a的范围是(－∞，－1]∪{0}∪[2，＋∞)．课时达标训练（七）
一、选择题
1．函数y＝|x＋1|的图像是( )
2．设函数f(x)＝则f(f(f(－1)))＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
3．已知f＝，那么函数f(x)的解析式及定义域正确的是( )
A．f(x)＝(x≠－1)
B．f(x)＝(x≠－1且x≠0)
C．f(x)＝
D．f(x)＝1＋x
4．(湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.
与以上事件吻合得最好的图像是( )
二、填空题
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
6．设f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝x＋3，则f(1)＝________.
7．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
8．已知f(x)＝则f(7)＝______.
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．
10．甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300
km外的B地，甲车先以75
km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2
h后，再以100
km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶．
(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图像；
(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A、B两地)，试确定乙车行驶速度v的取值范围．
答案
1．解析：选A y＝|x＋1|＝
由解析式可知，A项符合题意．
2．解析：选B ∵f(－1)＝1，∴f(f(－1))＝f(1)＝－1.
∴f(f(f(－1)))＝f(－1)＝1.
3．解析：选B 令t＝，则x＝(t≠0)，
∴f(t)＝＝(t≠－1)．
∴f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
4．解析：选C 出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，故选C.
5．解析：f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，
∴a＝2.
答案：2
6．解析：令x＝1得，f(－1)＋2f(1)＝4，
再令x＝－1得，f(1)＋2f(－1)＝2.
两式联立消去f(－1)得，f(1)＝2.
答案：2
7．解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，
得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，
即a2x2＋2abx＋b2＋4ax＋4b＋3＝x2＋10x＋24.
比较系数，得
解得或则5a－b＝2.
答案：2
8．解析：f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)
＝f(8)＝f(f(8＋4))＝f(f(12))
＝f(12－3)＝f(9)
＝9－3＝6.
答案：6
9．解：当x≤－2时，图像为一条射线，过(－2,0)与(－4,3)，
设y＝ax＋b，将两点代入，得－2a＋b＝0，及－4a＋b＝3，解得a＝－，b＝－3，
所以它的解析式为y＝－x－3(x≤－2)；
当－2＜x＜2时，图像为一条线段(不包括端点)，它的解析式为y＝2(－2＜x＜2)；
当x≥2时，图像为一条射线，过(2,2)与(3,3)，
设y＝cx＋d，
将两点代入，得2c＋d＝2,3c＋d＝3，解得c＝1，d＝0，
所以它的解析式为y＝x(x≥2)．
综上得f(x)＝
10．解：(1)x＝
它的图像如下图①所示；
(2)由已知，乙车离开A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x＝vt，其图像是一条线段．
由图像知，当此线段经过(4,150)时，v＝(km/h);
当此线段经过点(5.5,300)时，v＝(km/h)．
∴当＜v＜时，两车在途中相遇两次．(如上图②)．课时达标训练（九）
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( )
①y＝|x|；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
A．①② B．②③
C．③④
D．①④
2．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )
A．f(a)B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)3．下列说法不正确的有( )
①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；
②函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；
③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；
④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是减函数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)二、填空题
5．函数f(x)＝的减区间是________．
6．若函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在[1,2]上单调递减，则a的取值范围是________．
7．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________．
8．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)三、解答题
9．已知函数f(x)＝|－x2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1,3]上的最值．
10．已知f(x)＝是定义在R上的函数，且满足f＝，f(0)＝0.
(1)求实数a、b的值，并确定f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是递增的．
答案
1．解析：选C 当x∈(－∞，0)时，y＝|x|＝－x，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A、D.又y＝＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故②不正确，排除B.
2．解析：选D ∵a2＋1－a＝2＋>0，∴a2＋1>a，
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴f(a2＋1)3．解析：选D 对于①中函数y＝x2，在R上不具有单调性，故①不正确；②中函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k＝0时，其在R上不具有单调性，故③不正确；④中由于x1，x2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．
4．解析：选D ∵f(－x)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－2)，
又∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
而－2<－<－1，
∴f(－2)即f(2)5．解析：函数f(x)的图像如图实线部分所示，则减区间是(0,1]．
答案：(0,1]
6．解析：函数f(x)的图像的对称轴为x＝a，可知其图像开口向下，∵f(x)在[1,2]上单调递减，∴a≤1.
答案：(－∞，1]
7．解析：∵f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝，
f(x)max＝f(4)＝＝.
答案：
8．解析：由题意得，
解得：0答案：
9．解：函数f(x)＝|－x2＋2|
＝
作出函数的图像如图所示．
由图可知函数f(x)＝|－x2＋2|的单调增区间为[－，0]和[，＋∞);
单调减区间为(－∞，－)和[0，]．
在区间[1,3]上，由图像可知函数的最小值为f()＝0，最大值为f(3)＝7.
10．解：(1)由f＝，f(0)＝0，得
得a＝1，b＝0，
∴f(x)＝.
(2)证明：在(－1,1)上任取－1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0,1－x1x2＞0，x＋1＞0，x＋1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0.
∴f(x)在(－1,1)上是递增的．课时达标训练（十九）
一、选择题
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 ( )
A．y＝10x B．y＝lg
x
C．y＝x10
D．y＝10x
2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图像为( )
3．函数y＝2x－x2的图像大致是( )
4．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)＜g(x)＜f(x)
B．h(x)＜f(x)＜g(x)
C．g(x)＜h(x)＜f(x)
D．f(x)＜g(x)＜h(x)
二、填空题
5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
6．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y＝f(x)的图像恰好经过k个格点，则称函数y＝f(x)为k阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．
7．若a＝x，b＝x3，c＝，则当x＞1时，a，b，c的大小关系是________．
8．已知a＞0，a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？
10．某公司为了实现1
000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
答案
1．解析：选D 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．
2．解析：选D y＝f(x)＝(1＋10.4%)x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0,1,2,3,4…}，由单调性，结合图像知选D.
3．解析：选A 由图像可知，y＝2x与y＝x2的交点有3个，说明函数y＝2x－x2与x轴的交点有3个，故排除B、C选项，当x2x成立，即y<0，故排除D.
4．解析：选D 在同一坐标下作出函数f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的图像，由图像知，D正确．
5．解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.
答案：y＝15(1＋x)10
6．解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1,1)，(－1，－1)；而③y＝ex－1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故③符合．
答案：③
7．解析：∵x＞1，∴a＝x∈(0,1)，b＝x3∈(1，＋∞)，
c＝∈(－∞，0)．∴c＜a＜b.
答案：c＜a＜b
8．解析：当a＞1时，作出函数y1＝x2，y2＝ax的图像：
要使x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，只要当x＝－1时，有(－1)2－a－1≤，解得a≤2，∴1＜a≤2.
当0＜a＜1时，同理，只需12－a1≤，即a≥.
∴≤a＜1.
综上所述，a的取值范围是∪(1,2]．
答案：∪(1,2]
9．解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，
第一天得到1分，
第二天得到2分，
第三天得到4分，
第四天得到8分，
第20天得到219分，
……
第31天得到230分，
使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2
147
483
647分≈2
147.48(万元)．
所以在这份合同中吉米纯获利2
147.48－310＝1
837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．
10．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当x∈(20,1000)时，y＞5，因此该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,
1
000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有＝≤0.25成立．
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,
1
000]．
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像(如图)，
由图像可知它是单调递减的，因此
f(x)＜f(10)≈－0.316
7＜0，log7x＋1＜0.25x.
所以，当x∈[10,1000]时，＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求.课时达标训练（十三）
一、选择题
1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )
A．y＝2x＋1，x∈N＋
B．y＝x5，x∈N＋
C．y＝3－x，x∈N＋
D．y＝3×2x，x∈N＋
2．函数y＝x(x∈N＋)的图像是( )
A．一条上升的曲线
B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点
D．一系列下降的点
3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成( )
A．511个
B．512个
C．1
023个
D．1
024个
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )
A．增加7.84%
B．减少7.84%
C．减少9.5%
D．不增不减
二、填空题
5．已知函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)在[1,3]上的最大值为8，则a的值是________．
6．比较下列数值的大小：
(1)()3________()5；
(2)2________4.
7．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是Pn＝P0(1＋K)n(K为常数)，其中Pn
为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，K为预测期内的年增长率，若－1＜K＜0，则在这期间人口数________(填呈上升趋势或是下降趋势)
8．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的，则经过________年，剩留的物质是原来的.
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因．
10．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t＜6)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n
≥0，n∈Z)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
答案
1．解析：选C 根据正整数指数函数的定义知y＝3－x＝x，x∈N＋符合要求．
2．解析：选C ＞1且x∈N＋，故图像是一系列上升的点．
3．解析：选B 由题意知，经过x次分裂后，这种细菌分裂成y＝2x(个)，易知分裂9次，即x＝9时，y＝29＝512(个)．
4．解析：选B 设原来价格为a，依题意四年后的价格为
a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2，
∴a－a(1－0.04)2＝a[1－(1－0.04)2]
＝a(1－1＋0.08－0.001
6)
＝a·7.84%.
5．解析：由题意知a>1，且a3＝8，解得a＝2.
答案：2
6．解析：由正整数指数函数的单调性知，()3＜()5，
2＞4.
答案：(1)＜ (2)＞
7．解析：Pn＝P0(1＋K)n是指数型函数，∵－1＜K＜0，
∴0＜1＋K＜1，由y＝ax(0＜a＜1)是N＋上的减函数可知，人口呈下降趋势．
答案：呈下降趋势
8．解析：设物质最初的质量为1，则经过x年，y＝x.
依题意得x＝，解得x＝3.
答案：3
9．解：设正整数指数函数为f(x)＝ax(a＞0且a≠1，x∈N＋)．
∵函数f(x)的图像经过点(3,27)，
∴f(3)＝27，即a3＝27.
∴a＝3.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵正整数指数函数f(x)＝3x(x∈N＋)在正整数集N＋上是增加的，故函数无最大值，有最小值为f(1)＝3.
10．解：
(1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2t，t∈N＋}．
(2)0≤t＜6时，为一分段函数，
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数时，y＝2＋1；n为奇数时，y＝2＋1.
∴y＝课时达标训练（三）
一、选择题
1．(四川高考)设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝ ( )
A．{b}
B．{b，c，d}
C．{a，c，d}
D．{a，b，c，d}
2．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
3．如图，图形中的阴影部分表示的是 ( )
A．(A∪C)∩(B∪C)
B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C)
D．(A∪B)∩C
4．设I＝{
1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,3}，则称(A，B)为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A，B)与(B，A)是两个不同的“理想配集”)( )
A．4
B．8
C．9
D．16
二、填空题
5．(江苏高考)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
8．已知集合T是方程x2＋px＋q＝0(p2－4q＞0)的解组成的集合，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，且T∩A＝ ，T∩B＝T，则实数p＝________，q＝________.
三、解答题
9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
10．已知集合A＝{x|x2－mx＋m2－19＝0}，B＝{y|y2－5y＋6＝0}，C＝{z|z2＋2z－8＝0}，是否存在实数m，使得A∩B≠ ，A∩C＝ 同时成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，则说明理由．
答案
1．解析：选D 依题意得知，A∪B＝{a，b，c，d}．
2．解析：选D 由已知A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴
∴a＝4.
3．解析：选A 由并集、交集的定义知(A∪C)∩(B∪C)正确．
4．解析：选C 由题意，可用Venn图表示所有理想配集如下：
所以，符合条件的“理想配集”共有9个．
5．解析：集合A，B都是以列举法的形式给出，易得A∪B＝{1,2，4,6}．
答案：{1,2,4,6}
6．解析：由题意知：a2＋4＞3，故a＋2＝3，即a＝1，经验证，a＝1符合题意．∴a＝1.
答案：1
7．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30 x＝3，
∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．
答案：12
8．解析：∵Δ＝p2－4q＞0，∴方程x2＋px＋q＝0必有两个不等的实数根，即集合T中含有两个元素．
∵A∩T＝ ，∴1,3,5,7,9 T.
又T∩B＝T，∴T?B.
∴T＝{4,10}，即4和10是方程x2＋px＋q＝0的根．
由韦达定理，得
∴
答案：－14 40
三、解答题
9．解：∵A∪B＝A，∴B A.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠ ，
∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
当B≠ 时，如图所示，
由数轴可得解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，
即m≤3.
10．解：假设存在这样的实数m，
∵B＝{y|y2－5y＋6＝0}＝{2,3}，
C＝{z|z2＋2z－8＝0}＝{－4,2}，
又A∩C＝ ，∴2 A，－4 A.
又A∩B≠ ，∴3∈A，把x＝3代入x2－mx＋m2－19＝0中，解得m＝5或m＝－2.
当m＝5时，A＝{2,3}，与A∩C＝ 矛盾，当m＝－2时，A＝{－5,3}，符合题意，∴m＝－2.
故存在m＝－2，使得A∩B≠ ，A∩C
＝ 同时成立．课时达标训练（二十）
一、选择题
1．下列函数有两个零点的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝2log2x
D．y＝
2．(重庆高考)若aA．(a，b)
和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)
和(c，＋∞)内
3．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是 ( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2，e)
D．(3,4)
4．若方程|ax|＝x＋a(a＞0)有两个解，则a的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞)
B．(0,1)
C．(0，＋∞)
D．
二、填空题
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
6．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．
7．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－2的零点是________．
8．已知y＝x(x－1)·(x＋1)的图像如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0.01，则方程式f(x)＝0
①有三个实根；
②当x＜－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；
③当－1＜x＜0时，恰有一实根；
④当0＜x＜1时，恰有一实根；
⑤当x＞1时，恰有一实根．
正确的有________．
三、解答题
9．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]
内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数h(x)＝f(x)－ax，x∈[2,3]时有唯一零点，且不是重根，求实数a的取值范围；
(3)当x∈[－1,1]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
答案
1．解析：选D 易知A只有一个零点；对于B，方程x2＋2x＋3＝0无解；对于C，令2log2x＝0，也无解；对于D，y＝0有两解x＝2
012和x＝0.
2．解析：选A 令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)·[2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a3．解析：选B ∵f(1)＝ln
2－2＜0，f(2)＝ln
3－1＞0，则函数f(x)的零点所在的大致区间是(1,2)．
4．解析：选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y＝|ax|和y＝x＋a的图像如图：
结合图像可知方程|ax|＝x＋a有两个解时，有a＞1.
5．解析：令f(x)＝x3－2x－5，
可知，f(2)、f(3)分别等于－1、16，又因为f(2.5)＝＞0，显然下一个有根的区间为[2,2.5)．
答案：[2,2.5)
6．
解析：分别作出函数f(x)＝3－x2与函数g(x)＝2－x的图像，如图所示．∵f(0)＝3，g(0)＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．
答案：2
7．解析：当x≤1时，y＝3x－2，令y＝0，得x＝log32≤1，
当x＞1时，y＝－x－2，令y＝0，得x＝－2不合题意，
综上，零点是log32.
答案：log32
8．解析：
函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x＜－1时，方程f(x)＝0恰有一实根；当－1＜x＜0时，方程f(x)＝0没有实根；当0＜x＜1时，恰有两个实根；当x＞1时，没有实根．
答案：①②
9．解：设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1＜0，
f(1.5)＝0.875＞0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得
f(1.25)＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1.25,1.5)．
再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得
f(1.375)≈0.22＞0，
因为f(1.25)·f(1.375)＜0，
所以x0∈(1.25,1.375)．
同理，可得x0∈(1.312
5,1.375)，
x0∈(1.312
5,1.343
75)．
由于区间(1.312
5,1.343
75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解．
10．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1，
故f(x)＝ax2＋bx＋1.
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以所以
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)h(x)＝f(x)－ax＝x2－(a＋1)x＋1，
则h(2)＝3－2a，h(3)＝7－3a.
所以h(x)＝0在区间[2,3]上有唯一零点，且不是重根，只需或
即或
解得≤a≤.
经验证，知当a＝时，方程h(x)＝0在区间[2,3]上有唯一解x＝2；当a＝时，方程h(x)＝0在区间[2,3]上有唯一解x＝3；
故a的取值范围是.
(3)由题意，得f(x)＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0在区间[－1,1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图像的对称轴为直线x＝，
所以g(x)在区间[－1,1]上是减少的．
所以只需g(1)＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1.
即m的取值范围为(－∞，－1).课时达标训练（一）
一、选择题
1．下列四个关系式中，正确的是( )
A． ∈{a} B．a {a}
C．a∈{a，b}
D．{a}∈{a，b}
2．有下列说法：
(1)0与{0}表示同一个集合；
(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
(3)方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
(4)集合{x|4其中正确的说法是( )
A．只有(1)和(4)
B．只有(2)和(3)
C．只有(2)
D．以上四种说法都不对
3．(新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 ( )
A．3
B．6
C．8
D．10
4．下面六种表示法：①{x＝2，y＝1}；②；③{(2,1)}；④(－1,2)；⑤{2,1}；⑥{(x，y)|x＝2，或y＝1}，能正确表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥
B．②③④⑤
C．②③
D．②③⑥
二、填空题
5．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________.
解析：由已知B＝{4,9,16}．
6．已知集合M＝
，则M＝________.
7．已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2
012＋a2
013＝________.
8．集合A＝{x|x2＋ax－2≥0，a∈Z}，若－4∈A,2∈A，则满足条件的a组成的集合为________．
三、解答题
9．设集合A含有3个元素a2＋2a－3,2,3，集合B含有2个元素2，|a＋3|，已知5∈A且5 B，求a的值．
10．数集A满足条件：若a∈A，a≠－1，则∈A.
(1)若2∈A，写出A中的两个元素；
(2)若A为单元素集合，求出A和a.
答案
1．答案：C
2．解析：选C 0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|43．解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
4．解析：选C 方程组的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2,1)}，用描述法表示为{(x，y)|x＝2，且y＝1}或.①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x＝2及y＝1上的所有点．④不是集合．
5．解析：由已知B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
6．解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，
所以a＝4,3,2，－1.
答案：{4,3,2，－1}
7．解析：依题意b＝0，
∴＝{a,0,1}，{a2，a＋b,0}＝{a,0，a2}，
于是a2＝1，
∴a＝－1或a＝1(舍去)，故a＝－1，
∴a2
012＋a2
013＝0.
答案：0
8．解析：由题意知解得－1≤a≤.
又∵a∈Z，∴满足条件的a组成的集合为{－1,0,1,2,3}．
答案：{－1,0,1,2,3}
9．解：因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．
当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4.
10．解：(1)若a∈A，a≠－1，则∈A，
∴当2∈A时，＝∈A；
当＝2即a＝－时，2∈A.
综上可知，A中还有的两个元素为－和.
(2)∵A为单元素集合，则必有：a＝，
即a2＋a－1＝0，
解得：a＝或a＝，
∴A＝，a＝或A＝，
a＝.