1.1 命题及其关系
第1课时 命 题
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．
观察教材P2“思考”中的6个语句．
(1)这6个语句都是陈述句吗？
提示：是．
(2)能否判断这6个语句的真假性？
提示：能．
2．归纳总结，核心必记
命题及相关概念
命题
[问题思考]
(1)“x>5”是命题吗？
提示：不是．
(2)陈述句一定是命题吗？
提示：不一定．
(3)命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么？
提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0．
(4)“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？
提示：不一定．
(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？
提示：是．
[课前反思]
(1)命题的定义是：
；
(2)真、假命题的定义是：
；
(3)命题的条件和结论的定义是：
．
[思考] 一个语句是命题应具备哪两个要素？
提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假．
?讲一讲
1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P2－例1)
(1)函数f(x)＝在定义域上是减函数；
(2)一个整数不是质数就是合数；
(3)3x2－2x>1；
(4)在平面上作一个半径为4的圆；
(5)若sin α＝cos α，则α＝45°；
(6)2100是一个大数；
(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？
(8)若x∈R，则x2＋2>0.
[尝试解答] (1)是陈述句，且能判断真假，是命题．
(2)是陈述句，且能判断真假，是命题．
(3)当x∈R时，3x2－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．
(4)不是陈述句，不是命题．
(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．
(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．
(7)不是陈述句，不是命题．
(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．
(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．
(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．
(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．
?练一练
1．下列语句中是命题的有________．(填序号)
①地球是太阳的一个行星．
②甲型H1N1流感是怎样传播的？
③若x，y都是无理数，则x＋y是无理数．
④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．
⑤60x＋9>4.
⑥求证：是无理数．
解析：根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④.
答案：①③④
2．判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)x2－x＋7>0.
解：(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)因为x2－x＋7＝＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．
?讲一讲
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例2、例3)
(1)等边三角形的三个内角相等；
(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数；
(3)菱形的对角线互相垂直．
[尝试解答] (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．
(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．其中条件p：a>1，结论q：函数y＝ax是增函数．
(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．
(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．
(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．
?练一练
3．将下列命题改写为“若p，则q”的形式．
(1)当a>b时，有ac2>bc2;
(2)实数的平方是非负实数；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，必有y＝4，x＝3.
解：(1)若a>b，则ac2>bc2.
(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数．
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．
(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝4，x＝3.
?讲一讲
3．判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)若a2>b2，则a>b；
(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sin A>；
(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；
(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1相切．
[尝试解答] (1)假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a2>b2，但a>b不成立．
(2)假命题．例如，当A＝150°时，A>60°，但sin A＝，不满足sin A>.
(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．
(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y＝x的距离为d＝>1，所以直线与圆相离．
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．
(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可．
?练一练
4．下列命题中是真命题的是( )
A．若3∈A，3∈B，则A∩B＝{3}
B．若x2＋x－2＝0，则x＝1
C．若函数f(x)＝x2－x，则f(x)有最小值－
D．若log2x<1，则x<2
答案：C
5．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，由x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲2.
(2)判断命题的真假性，见讲3.
3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1 命题的概念
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 0°＝0
C．求x2－2x＋1>0的解集
D．作△ABC∽△EFG
解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．
2．以下语句中：
①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
题组2 命题的构成形式
3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．
答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
题组3 判断命题的真假
6．下列命题是真命题的是( )
A．所有质数都是奇数
B．若>，则a>b
C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立
D．方程x2＋x＋1＝0有实根
解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．
7．下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选A ①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
8．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c;
④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A ①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．
9．下列命题：
①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0
解析：①为真命题；②③④为假命题．
答案：①
[能力提升综合练]
1．设a、b、c是任意非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|; ③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：选D ①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|<|a－b|；③[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0.∴③错；④对．
2．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－4
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
4．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0，0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有限制在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤是祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1;
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
8．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视 A为p，B为q，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，A为q，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
第2课时 四种命题及四种命题间的相互关系
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P4～P8的内容，回答下列问题．
观察教材P4“思考”中的4个命题：
(1)这4个命题的条件和结论各是什么？
提示：命题(1)的条件：f(x)是正弦函数，结论：f(x)是周期函数；命题(2)的条件：f(x)是周期函数，结论：f(x)是正弦函数；命题(3)的条件：f(x)不是正弦函数，结论：f(x)不是周期函数；命题(4)的条件：f(x)不是周期函数，结论：f(x)不是正弦函数．
(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？
提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．
(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？
提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题．
2．归纳总结，核心必记
(1)四种命题的概念
①互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
(2)四种命题结构
(3)四种命题间的相互关系
(4)四种命题的真假性
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[问题思考]
(1)命题“若a≠0，则ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？
提示：逆命题：若ab≠0，则a≠0；否命题：若a＝0，则ab＝0；逆否命题：若ab＝0，则a＝0．
(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？
提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．
(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？
提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．
(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？
提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．
[课前反思]
(1)四种命题的概念是：
；
(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？
；
(3)四种命题的真假性有什么关系？
．
?讲一讲
1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：
(1)若x>－2，则x＋3>0;
(2)两条对角线相等的四边形是矩形．
[尝试解答] (1)逆命题：若x＋3>0，则x>－2；
否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；
逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2.
(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．
逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；
否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；
逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．
写出一个命题的其他三种命题的步骤
(1)分析命题的条件和结论；
(2)将命题写成“若p，则q”的形式；
(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．
[注意] 如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
?练一练
1．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：
(1)正数的平方根不等于0；
(2)若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.
解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；
否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；
逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．
(2)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；
否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；
逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R)．
[思考1] 若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？
名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性．
[思考2] 若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？
名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．
?讲一讲
2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；
(2)相等的两个角的正弦值相等；
(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3;
(4)若x∈A，则x∈A∩B.
[尝试解答] (1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.真命题；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B，真命题；
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.真命题．
(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．
(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；
否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；
逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．
(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；
否命题：若x?A，则x?A∩B.真命题；
逆否命题：若x?A∩B，则x?A.假命题．
判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．
?练一练
2．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．
3．在命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．
解析：容易判断，命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．
答案：2
[思考] 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？
名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．
?讲一讲
3．(1)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
(2)(链接教材P8－例4)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[尝试解答] (1)法一：原命题的逆否命题：
“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．”
真假判断如下：
因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
若a<1，则4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
所以a≥1.所以原命题成立．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
?练一练
4．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，
所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2.
(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3.
3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．
4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
课时达标训练（二）
[即时达标对点练]
题组1 四种命题的概念
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是( )
A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B
C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A
解析：选B 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“?”互为否定形式．
2．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是__________，逆否命题是__________．
答案：若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
3．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．
答案：②和③ ①和③ ①和②
题组2 四种命题的真假判断
4．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
解析：选A 对A，即判断：“若x>|y|，则x>y”的真假，显然是真命题．
5．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
题组3 等价命题的应用
7．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为：“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”，
当a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，
故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
[能力提升综合练]
1．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若，则”，r为“若，则”．故q与r为互逆命题．
2．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
3．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
解析：选C 命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．
4．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中所有正确叙述的序号是________．
解析：原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
答案：①②
5．已知：A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：
①a⊥α，b?α，若b∥α，则b⊥a;
②a⊥α，若a⊥β，则α∥β；
③a?α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，若a⊥c，则a⊥b；
④a⊥α，若b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.
其中逆命题为真的是________．
解析：④的逆命题：“a⊥α，若a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c可以在α内，故不正确．
答案：①②③
6．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1，2]
7．设命题p：若m<0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根．
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论)
解：(1)p的逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根，则m<0.
p的否命题：若m≥0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根．
p的逆否命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根，则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题．
8．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
解：(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需要判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
1.2 充分条件与必要条件
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．
(1)判断教材P9上方的两个命题的真假，并思考：
①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？
提示：一定有x>2ab成立．
②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？
提示：不一定，也可能b＝0．
(2)阅读教材P11“思考”的内容，并思考：
①若p成立，一定有q成立吗？
提示：一定有q成立．
②若q成立，一定有p成立吗？
提示：一定有p成立．
2．归纳总结，核心必记
(1)充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
(2)充要条件
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．
[问题思考]
(1)x>3是x>5的充分条件吗？
提示：不是．因为x>3x>5，但x>5?x>3，因此x>3是x>5的必要条件．
(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．
(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？
提示：A＝B．
[课前反思]
(1)充分条件的定义是：
；
(2)必要条件的定义是：
；
(3)充要条件的定义是：
．
[思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？
名师指津：当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．
?讲一讲
1．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC;
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a[尝试解答] (1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a1; 当b>0时，<1，故若a0，b>0，<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
?练一练
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
[思考] 如何证明“p是q的充要条件”？
名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．
?讲一讲
2．证明：a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0垂直的充要条件．
[尝试解答] (1)(充分性)当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直．
当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，若a＋2b＝0，则k1·k2＝·＝－1，两直线垂直．
(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在，则k1·k2＝·＝－1，所以a＋2b＝0.
若两直线中直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
?练一练
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：(充分性)：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
(必要性)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
已知p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
[思考1] 若p是q的充分条件，则A与B有什么关系？
名师指津：A?B．
[思考2] 若p是q的充分不必要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：AB．
[思考3] 若p是q的充要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：A＝B．
[思考4] 若p是q的既不充分也不必要条件，则A与B有什么关系？
名师指津：BA，且AB．
?讲一讲
3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[尝试解答] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
?练一练
3．若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
4．本讲中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．
2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3.
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1.
(2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若AB，
则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若BA，
则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B，且B?A，则p既不是q的充分条件，
也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3.
课时达标训练（三）
[即时达标对点练]
题组1 充分、必要条件的判断
1．“数列{an}为等比数列”是“an＝3n(n∈N*)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当an＝3n时，{an}一定为等比数列，但当{an}为等比数列时，不一定有an＝3n，故应为必要不充分条件．
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．
3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当a＝0时，两直线方程分别为x＝1和2x＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a)＝(－2a)×2，解得a＝0，故应为充要条件．
4．“sin A＝”是“A＝”的__________条件．
解析：由sin A＝不一定能推得A＝，例如A＝等；但由A＝一定可推得sin A＝，所以“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
题组2 充要条件的证明
5．函数y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是 ( )
A．1< a<2 B.< a<2
C．a<1 D．a<0
解析：选C 由指数函数性质得，当y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数时，2－a>1，解得a<1.故选C.
6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－kx＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1
解析：选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
由于{a|a<－1}?{a|a<0}，故选C.
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________．
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
答案：－
9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x| x 2－5 x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
解：由(x－a)2<1，得a－1由x 2－5 x－24<0，得－3∵N是M的必要条件，
∴M ?N.
故a的取值范围为[－2，7]．
[能力提升综合练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，
如图．
综上，有丙?甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
2．设0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为0< x<，所以01，因此充分性不成立．
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a?α，b ?β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a?α，b ?β，a∥β，b∥α
解析：选D 当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．
4．设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C { an }为等比数列，an＝a1·qn－1，由a10，q>1或a1<0，0< q<1，则数列{ an }为递增数列．反之也成立．
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2< x<－1，则a的取值范围是________．
解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{ x |( a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
答案：(2，＋∞)
6．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式a x 2＋b x＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根
??k<－2.
因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解：依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，
得x－1<－a或x－1>a，
∴x<1－a或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有或
解得a≥.令a＝1，则p：x<0或x>2，
此时必有x<或x>1.
即p?q，反之不成立．
∴最小正整数a＝1.
1.3 简单的逻辑联结词
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P14～P17的内容，回答下列问题．
(1)教材P14“思考”中的命题(3)与命题(1)、(2)之间有什么关系？
提示：命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题．
(2)教材P15“思考”中的命题(3)与命题(1)、(2)之间有什么关系？
提示：命题(3)是由命题(1)(2)用联结词“或”联结得到的新命题．
(3)教材P16“思考”中的命题(2)与命题(1)之间有什么关系？
提示：命题(2)是命题(1)的否定．
2．归纳总结，核心必记
(1)用逻辑联结词“或”“且”“非”构成新命题
①用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
②用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”．
(2)含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[问题思考]
(1)“平面向量既有大小，又有方向”使用的逻辑联结词是什么？
提示：且．
(2)“a≥b”使用的逻辑联结词是什么？
提示：或．
(3)“方程x2－3＝0没有有理根”使用的逻辑联结词是什么？
提示：非．
(4)“p∨q”为真是“p∧q”为真的什么条件？(充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)．
提示：必要不充分．
(5)命题的否定与否命题有什么不同？
提示：命题的否定只否定命题的结论，而否命题，既否定命题的条件，又否定命题的结论．
[课前反思]
(1)用逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的命题各是什么？其记法和读法各是什么？
；
(2)含逻辑联结词的命题的真假性有什么特点？
；
(3)“命题的否定”与“否命题”有什么不同？
．
?讲一讲
1．指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)集合A?(A∪B);
(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数并且是周期函数．
[尝试解答] (1)是“p∧q”形式的命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是“p∨q”形式的命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是“”形式的命题．
其中p：A?(A∪B)．
(4)是“p∧q”形式的命题．
其中p：正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，
q：正弦函数y＝sin x(x∈R)是周期函数．
正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解决这类问题的关键，有些命题中并不一定包含这些联结词，这时要结合命题的具体含义分析这些命题的构成．
?练一练
1．指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．
(1)李明是男生且是高一学生．
(2)方程2x2＋1＝0没有实根．
(3)12能被3或4整除．
解：(1)是“p且q”形式．
其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．
(2)是“非p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(3)是“p或q”形式．其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．
[思考1] 若p为真命题，q为假命题，则p∨q，p∧q，的真假性是什么？
名师指津：p∨q为真，p∧q为假，为假．
[思考2] 若p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，若p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？
名师指津：若p∧q为真，则p∨q一定为真；若p∨q为真，则p∧q的真假性不能确定．
[思考3] p与綈p的真假性一定相反吗？
名师指津：若p是真命题，则一定是假命题；若p是假命题，则一定是真命题．
?讲一讲
2．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“”形成的命题，并判断其真假．
(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1>0恒成立．
[尝试解答] (1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
(2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1>0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1>0恒成立，假命题．
：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．
(1)命题结构的两种类型及判断方法
①从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．
②若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．
(2)判断命题真假的三个步骤
①明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”还是“”；
②对命题p和q的真假作出判断；
③由“p∧q”“p∨q”“”的真假判断方法给出结论．
?练一练
2．分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)(A∩B)?B.
解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“”的形式，其中p：(A∩B)?B，因为p真，则“”假，所以该命题是假命题.
?讲一讲
3．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．若使p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
[尝试解答] 由得m<－1，
所以p：m<－1.
由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0，知－2所以q：－2由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假，
①当p真q假时，此时m≤－2，
②当p假q真时，此时－1≤m<3.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3)．
解决由含有逻辑联结词的三种命题的真假求参数的取值范围问题时，(1)由命题p∧q，p∨q，非p的真假确定命题p、q可能的真假情况，依次讨论求解；(2)注意补集思想的应用，当“p假”不易求解时改为求“p真”时参数的取值范围构成的集合的补集．
?练一练
3．设命题p：“方程x2＋mx＋1＝0有两个实根”，命题q：“方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根”，若p∧q为假，为假，求实数m的取值范围．
解：若方程x2＋mx＋1＝0有两个实根，
则Δ1＝m2－4≥0，
解得m≤－2或m≥2，
即p：m≤－2或m≥2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ2＝16(m－2)2－16<0，
解得1即q：1由于p∧q为假，
则p，q至少有一个为假；
又为假，则q真，
所以p为假，
即p假q真，从而有
解得1所以，实数m的取值范围是(1，2)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是含逻辑联结词的命题的真假判断，难点是根据含逻辑联结词的命题的真假性求参数的取值范围．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断含逻辑联结词的命题真假的方法，见讲2.
(2)根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法，见讲3.
3．注意以下三个等价关系
(1)p∧q为真?p和q同时为真；
(2)p∨q为真?p和q中至少有一个为真；
(3)p为真?为假．
课时达标训练（四）
[即时达标对点练]
题组1 含逻辑联结词的命题的构成
1．已知p：x∈A∩B，则綈p是( )
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∪B
解析：选B p等价于x∈A且x∈B，所以为x?A或x?B.
2．命题：“菱形对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“非”
解析：选B 菱形的对角线互相垂直且互相平分，
∴使用了逻辑联结词“且”．
3．命题p：方向相同的两个向量共线，命题q：方向相反的两个向量共线．
则命题：“p∨q”为___________________________________________________．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
4．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________．
解析：否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零．
否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．
答案：若abc＝0，则a、b、c全不为零 若abc≠0，则a、b、c全不为零
题组2 含逻辑联结词的命题的真假判断
5．若命题“p且q”为假，且为假，则( )
A．p或q为假 B．q假
C．q真D．p假
解析：选B 为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
6．已知命题p：x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：①p且q；②p或q；③；④.其中为真命题的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
解析：选D 易知，p真，q假，所以p且q假，p或q真，假，真，即真命题是②④，故选D.
7．由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“”为真的是( )
A．p：3为偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5>3
C．p：a∈{a，b}；q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R；q：N＝N
解析：选B 由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．
8．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．()∧() D．p∨()
解析：选A 法一：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．
a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．
又∵为真命题，为假命题，
∴()∧()，p∨()都是假命题．
法二：由于a，b，c都是非零向量，
∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，
∴b⊥c.如图，
则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则是假命题．故p∨q是真命题，p∧q，()∧()，p∨()都是假命题．
题组3 利用三种命题的真假求参数范围
9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“”为假，所以q为真，p为假．故即
因此，x的值可以是－1，0，1，2.
答案：{－1，0，1，2}
10．设p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
解：对于p，因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4＜0.
解这个不等式得，－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．
[能力提升综合练]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．()∨() B．p∨()
C．()∧() D．p∨q
解析：选A “至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”，应表示为()∨()．
2．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q B．p∧q
C．()∧qD．()∨q
解析：选D 由|x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝±，而不只有x＝，故q为假命题．因此为真命题，从而()∨q也为真命题．
3．下列各组命题中满足：“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“”为真命题的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sin x在第一象限内是增函数
C．p：若a>b，则<；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：若a·b<0，则a与b的夹角不一定是钝角
解析：选C 选项A中，命题p假，q假，所以不满足题意；选项B中，命题p真，q假，为假命题，也不满足题意；选项C中，命题p假，q真，p∨q为真命题，p∧q为假命题，为真命题，满足题意；选项D中，p，q都是真命题，不符合题目要求．
4．若命题为真命题，则p，q的真假情况为( )
A．p真，q真 B．p真，q假
C．p假，q真 D．p假，q假
解析：选C 若为真命题，则p∨()是假命题，故p和都是假命题，即p假q真．
5．命题p：不等式ax＋3>0的解集是，命题q：在等差数列{an}中，若a1解析：易知p为假命题，q为真命题，故只有()∧q为真命题．
答案：()∧q
6．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由是的充分不必要条件，可知?; 但，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q?p但pq，又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
7．分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等；
(3)p：π是有理数，q：π是无理数．
解：(1)p或q：3是9的约数或是18的约数，真；
p且q：3是9的约数且是18的约数，真；
非p：3不是9的约数，假．
(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不同，真．
(3)p或q：π是有理数或是无理数，真；
p且q：π是有理数且是无理数，假；
非p：π不是有理数，真．
8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p，q至少有一个是真命题；
(2)p或q是真命题且p且q是假命题．
解：因为关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，
所以Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a<－1或a>，
所以p为真时a<－1或a>，
为真时－1≤a≤.
因为函数y＝(2a2－a)x为增函数，
所以2a2－a>1，
即a<－或a>1，
所以q为真时a<－或a>1.
为真时－≤a≤1.
(1)若()∧()为真，
则－≤a≤，
所以p，q至少有一个是真时a<－或a>.
即此时a∈∪.
(2)因为p∨q是真命题且p∧q是假命题，
所以p，q一真一假，
所以()∧q为真时
即－1≤a<－；
p∧()为真时即所以p∨q是真命题且p∧q是假命题时，
－1≤a<－或即此时a∈∪.
1.4 全称量词与存在量词
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P21～P25的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P21“思考”中的4个语句：
①这4个语句中是命题的有哪几个？
提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题．
②语句(3)和语句(1)之间有什么关系？
提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定．
③语句(4)和语句(2)之间有什么关系？
提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定．
(2)观察教材P22“思考”中的4个语句：
①这4个语句都是命题吗？
提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题．
②语句(3)和语句(1)之间有什么关系？
提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定．
③语句(4)和语句(2)之间有什么关系？
提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定．
(3)写出教材P24“探究”中三个命题的否定．
提示：命题(1)的否定：存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定：存在一个素数不是奇数 ；
命题(3)的否定：?x0∈R，x－2x0＋1<0．
(4)写出教材P25“探究”中三个命题的否定．
提示：命题(1)的否定：所有实数的绝对值都不是正数；
命题(2)的否定：每一个平行四边形都不是菱形；
命题(3)的否定：?x∈R，x2＋1≥0．
2．归纳总结，核心必记
(1)全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
?
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，
可用符号简记为?x∈M，p(x)
(2)存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
?
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，
可用符号简记为?x0∈M，p(x0)
(3)含有一个量词的命题的否定
[问题思考]
(1)命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？
提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题．
(2)命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？
提示：是全称命题，且是假命题．
(3)下列命题是特称命题的有哪些？
①有一个平行四边形是菱形；
②任何一个平行四边形是菱形；
③某些平行四边形是菱形；
④有的平行四边形是菱形．
提示：①③④．
(4)全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？
提示：全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．
[课前反思]
(1)全称量词： ，
全称命题： ；
(2)存在量词： ，
特称命题： ；
(3)全称命题及其否定的形式： ，
特称命题及其否定的形式： ．
[思考] 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是什么？
名师指津：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词．
?讲一讲
1．判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[尝试解答] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
?练一练
1．下列语句是特称命题的是( )
A．整数n是2和7的倍数
B．存在整数n，使n能被11整除
C．x>7
D．?x∈M，p(x)成立
解析：选B B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题．
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题：
(1)负数没有对数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
(3)?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)?x0∈Z，log2x0>0.
解：(1)和(3)为全称命题．(2)和(4)为特称命题．
[思考1] 如何判定一个全称命题的真假？
名师指津：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
[思考2] 如何判定一个特称命题的真假？
名师指津：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
?讲一讲
2．(1)下列命题中的假命题是( )
A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝1
C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R，2x>0
(2)判断下列命题的真假：
①任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；
②?x0，y0为正实数，使x＋y＝0；
③在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.
[尝试解答] (1)当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．
(2)①因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉>0，所以cos〈a，b〉>0，又0≤〈a，b〉≤π，所以0≤〈a，b〉<，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．
②因为x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x0，y0为正实数，使x＋y＝0，故它是假命题．
③由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
[答案] (1)C
判断全称命题与特称命题真假的方法
(1)全称命题真假的判断
对于全称命题“?x∈M，p(x)”：
①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)
(2)特称命题真假的判断
对于特称命题“?x0∈M，p(x0)”：
①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)
②要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
?练一练
3．判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，都有x2－x＋1>；
(2)?α0，β0，使cos(α0－β0)＝cos α0－cos β0；
(3)?x，y∈N，都有x－y∈N.
解：(1)真命题．因为x2－x＋1－＝＋≥>0.
所以x2－x＋1>恒成立．
(2)真命题．例如，α0＝，β0＝，符合题意．
(3)假命题．例如，x＝1，y＝5，x－y＝－4?N.
?讲一讲
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0;
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[尝试解答] (1) ：?x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
因为?x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．
(2) ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3) ：?x∈R，x2＋4x＋6>0，真命题．
(4) ：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
?练一练
4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)?x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为：?x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
?讲一讲
4．若命题“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[尝试解答] 法一：由题意，?x∈[－1，＋∞)，
令f(x)＝x2－2ax＋2，则f(x)≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为?x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而?x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3，1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为?x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3，1]．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称命题“?x∈M，a>f(x)(或af(x)max(或a(2)对于特称命题“?x0∈M，a>f(x0)(或af(x)min(或a?练一练
5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围．
解：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是全称命题、特称命题的否定及真假判断，其中全称命题、特称命题的否定又是本节课的易错点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)全称命题、特称命题的真假判断，见讲2.
(2)全称命题、特称命题的否定，见讲3.
3．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
课时达标训练（五）
[即时达标对点练]
题组1 全称命题、特称命题及其真假判断
1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选A 只有A，C两个选项中的命题是全称命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．
3．有下列四个命题：①?x∈R，2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1，0}，2x＋1>0；③?x0∈N，使x≤x0；④?x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
题组2 全称命题、特称命题的否定
4．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
解析：选C 全称命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.
5．命题“?x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．?x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．?x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
D．?x∈Z，使x2＋2x＋m>0
解析：选D 特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D.
6．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
解析：选C 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.
7．命题“?x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________________．
解析：“?x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定为“?x∈R，使得x2＋2x＋5≠0”．
答案：?x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
题组3 全称命题、特称命题的应用
8．已知命题“?x0∈R，2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得“对?x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1答案：(－1，3)
9．已知p：?x∈R，2x>m(x2＋1)，q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
解：由命题p为真可知2x>m(x2＋1)恒成立，
即mx2－2x＋m<0恒成立，
所以解得m<－1.
由命题q为真可得
Δ＝4－4(－m－1)≥0，
解得m≥－2，
因为p∧q为真，
所以p真且q真，
所以由得－2≤m<－1，
所以实数m的取值范围是[－2，－1)．
[能力提升综合练]
1．已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则是( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：选C 命题p的否定为“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
2．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．?x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．?x0∈Z，使1<4x0<3
解析：选B A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得3．已知命题p：?x∈R，2x2＋2x＋<0；命题q：?x0∈R，sin x0－cos x0＝.则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．是假命题 D．是假命题
解析：选D p：2x2＋2x＋＝2＝2≥0，
∴p为假命题，为真命题．
q：sin x0－cos x0＝sin＝，
∴x0＝π时成立．
故q为真，而为假命题．
4．已知命题p：?b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为增函数，命题q：?x0∈Z，使log2x0>0，则下列结论成立的是( )
解析：选D f(x)＝x2＋bx＋c
＝＋c－，
对称轴为x＝－≤0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，命题p是真命题．令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，所以命题q是真命题，为假命题，p∨()为真命题．故选D.
5．命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．
解析：命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5<0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，
所以命题p为假命题，
命题p的否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.
答案：特称命题 假 ?x∈R，x2＋2x＋5≥0
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
①?x∈R，f(x)≤f(x0)；
②?x∈R，f(x)≥f(x0)；
③?x∈R，f(x)≤f(x0)；
④?x∈R，f(x)≥f(x0)．
解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此?x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：③
7．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若是假命题，求实数m的取值范围．
解：∵为假命题，∴p为真命题．
即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．
由4x＋2x·m＋1＝0，
得m＝－2x－＝－≤－2.
即m的取值范围为(－∞，－2]．
8．已知p：“?x∈[1，2]，x2－a≥0”，q：“?x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：p为真时，x2－a≥0，
即a≤x2.
∵x∈ [1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1.
q为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}.
命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点题型．这类题一般涉及一般命题真假的判断、含有逻辑联词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等．并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查．
[典例1] (1)已知命题p：函数f(x)＝2sin的图象关于x＝对称，命题q：函数f(x)＝2sin向右平移个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是( )
(2)下列命题中是假命题的是( )
A．?x∈，x>sin x
B．?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
C．?x∈R，3x>0
D．?x0∈R，lg x0＝0
解析：(1)∵f＝2sin ＝≠2，
∴f(x)的图象不关于x＝对称．故p为假命题．
∵平移后所得函数为y＝2sin
＝2sin 2x，易知此函数为奇函数，
∴函数图象关于原点对称，∴q为真命题．
∴()∧()为假命题．
(2)根据三角函数的定义和三角函数线，可以证明：当x∈时，x>sin x．故选项A为真命题；对x∈R，sin x＋cos x＝sin∈，因此不可能存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2，故选项B为假命题；因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对?x∈R，3x>0，故选项C为真命题；当x0＝1时， lg x0＝lg 1＝0，故选项D为真命题．
答案：(1)D (2)B
[对点训练]
1．给出以下命题，其中为真命题的是________．
①函数y＝ax(a>0，a≠1)与函数y＝logaax(a>0，a≠1)的定义域相同；
②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝；
③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函数；
④若不等式|x－4|0.
解析：因为y＝logaax＝x，其定义域为R，与y＝ax的定义域相同，所以①为真命题；若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则应有φ＝＋kπ(k∈Z)，不一定总有φ＝，故②为假命题；函数y＝(x－1)2在区间[0，＋∞)上不是增函数，所以③为假命题；因为|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|0，故④为真命题．
答案：①④
1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等．
2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
(1)充分不必要条件，即p?q，而qp.
(2)必要不充分条件，即pq，而q?p.
(3)充要条件，既有p?q，又有q?p.
(4)既不充分也不必要条件，既有pq，又有qp.
3．充分条件与必要条件的判断
(1)直接利用定义判断：即“若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：“p?q”的等价命题是“?”即“若?”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p?q，则p是q的充分条件；若p?q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
[典例2] (1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是( )
A．0C．0≤a≤1 D．a<0或a>
解析：(1)由正弦定理，知a≤b?2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)?sin A≤
sin B．故选A.
(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}?A＝{x|－4≤x≤4}，所以A?B?a>4，而a>5?a>4，且a>4a>5，所以“a>5”是“A?B”的充分不必要条件．
(3)要使不等式x2－2ax＋a>0的解集为R，应有Δ＝(－2a)2－4a<0，即4a2－4a<0，所以00的解集为R”的充要条件，因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
答案：(1)A (2)A (3)C
[对点训练]
2．设a∈R，则“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a＝1时，f(x)＝1是偶函数；但当f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数时，有a2－1＝0，故a＝±1.因此“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的充分不必要条件．
3．给定两个命题p，q，若是q的必要不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为是q的必要不充分条件，所以是p的必要不充分条件，即p是的充分不必要条件．
4．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是 ( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
解析：选D 由a⊥b知a·b＝0，即2(x－1)＋2＝0，所以x＝0；而当x＝0时，a＝(－1，2), b＝(2，1)，必有a⊥b.所以a⊥b的充要条件是x＝0.
1.设命题p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则命题p为假的集合为?RA.
设命题q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则命题q为假的集合为?RB.
2．已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p，q的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围．
3．由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解．
[典例3] 若命题p：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－3或a>2 B．a≥2
C．a>－2 D．－2解析：选B 由题意，得ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，
即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，
所以
即解得a≥2.
[典例4] 已知a>0，a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
解：对于命题p：
当 0当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增．
∴若p为真命题，则01.
对于命题q：若函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，
则Δ＝(2a－3)2－4>0，
即4a2－12a＋5>0，解得a<或a>.
∵a>0，
∴若q为真命题，则0.
若q为假命题，则≤a<1或1∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q一真一假．
若p真q假，则
解得≤a<1.
若p假q真，则
解得a>.
综上所述，实数a的取值范围是∪.
[对点训练]
5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假，
即或解得1∴a的取值范围是(1，2]．
6．已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
解：在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1，1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，
即
即∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是.
一、选择题
1．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A “12．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x∈R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x
解析：选D 全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为?x∈R，x2＝x，故选D.
3．已知命题p：?n∈N，2n>1 000，则为( )
A．?n∈N，2n≤1 000 B．?n∈N，2n>1 000
C．?n∈N，2n≤1 000 D．?n∈N，2n<1 000
解析：选A 特称命题的否定为全称命题，即?n∈N，2n≤1 000.故选A.
4．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
解析：选D ①的逆命题为若<，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
6．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，，中，真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，，是假命题．
7．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－有实根，故a<0，故选C.
8．下列结论不正确的是( )
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．若命题p：?x∈R，x2＋x＋1≠0，则：?x0∈R，x＋x0＋1＝0
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
解析：选C 选项C中，p∨q为真，则p，q中至少一个为真．
9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件，则( )
A．p假q真 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．假真
解析：选B 易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以为假，为假．结合各选项知B正确．
10．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数．若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
11．下列命题中不正确的是( )
A．?a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列
B．?a，b∈R，an＝an2＋bn，使{an}是等差数列
C．?a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，有{an}是等差数列
D．?a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，使{an}是等差数列
解析：选C 显然A、B两项正确，当c≠0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}不是等差数列；当c＝0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}是等差数列，因此C项错误，D正确．
12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
解析：选D ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题
13．命题“若A?l，则B∈m”的逆否命题是________．
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若B?m，则A∈l
14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x∈N.若“p∧q”“ ”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“”为假，
所以q为真，p为假．
故即
因此x的值可以是0，1.
答案：{0，1}
15．已知命题p：?m∈R，m＋1<0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题．而命题p：?m∈R，m＋1<0为真命题；所以命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.
又命题p：?m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m<－1.
故综上可知m≤－2.
答案：(－∞，－2]
16．给出下列四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，x2＋1<0”；④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号)
解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件是正确的．
答案：②③④
三、解答题
17．π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
解：(1) ：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d，
所以π(a－c)＝d－b∈Q，
则a＝c且b＝d.
故p是真命题，所以是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．
18．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；
(2)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.
解：(1) ：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题．
(2) ：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(3) ：?x∈R，3x－1≠0，假命题．
这是由于x＝0时，3x－1＝0.
19．给定两个命题，P：对于任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立?a＝0或?0≤a<4.
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0?a≤.
如果P正确，Q不正确，有0≤a<4，且a>，
所以如果Q正确，P不正确，有a<0或a≥4，且a≤，
所以a<0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
20．解答下列问题：
(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？
解：(1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，则只要?{x|x<－1或x>3}，则只要－≤－1，即m≥2，故存在实数m∈[2，＋∞)使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．
(2)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，则只要?{x|x<－1或x>3}，而这是不可能的，故不存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．
21．已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
22．已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
