3.1 变化率与导数
第1课时 变化率问题、导数的概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P72～P76的内容，回答下列问题．
(1)气球膨胀率
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝.
①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：≈0.62(dm/L)．
②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：≈0.16(dm/L)．
③当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？
提示：．
(2)高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？
提示：v＝＝4.05(m/s)．
②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？
提示：v＝＝－8.2(m/s)．
③在t1≤t≤t2这段时间里， 运动员的平均速度 v又是多少？
提示：v＝．
2．归纳总结，核心必记
(1)函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为．
(2)瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．
(3)导数的定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：
，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝=．
[问题思考]
(1)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率＝＝表示什么？
提示：表示割线AB的斜率．
(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率可正、可负、可为零．
(3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？
提示：v＝.当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度．
(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？
提示：(1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；
(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
[课前反思]
(1)平均变化率的定义是：
；
(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？
；
(3)导数的定义是什么？如何表示？
；
(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？
．
[思考1] 平均变化率可用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？
提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．
[思考2] 如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？
提示：平均变化率为．
?讲一讲
1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[尝试解答] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
(1)求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均变化率＝.
(2)求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
?练一练
1．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
因为<，
所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
某物体按s＝f(t)的规律运动．
[思考1] 该物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？
[思考2] 如何求(当Δx无限趋近于0时)的极限？
名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
?讲一讲
2．若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：
(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；
(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[尝试解答] (1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
求瞬时速度的步骤
(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；
(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(3)求平均速度；
?练一练
2．一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)＝|x|在x＝0处是否存在导数？
名师指津：不一定，f(x)＝|x|在x＝0处不存在导数．
Δx→0时，的极限不存在，从而在x＝0处的导数不存在．
?讲一讲
3．求函数y＝x－在x＝1处的导数．
[尝试解答] ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
?练一练
3．求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数．
解：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)
＝(3＋Δx)2＋5(3＋Δx)－(32＋5×3)
＝9＋6Δx＋(Δx)2＋15＋5Δx－9－15
＝(Δx)2＋11Δx，
∴＝＝Δx＋11，
————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————
1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)平均变化率的求法，见讲1；
(2)瞬时速度的求法，见讲2;
(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3.
3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.
注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．
课时达标训练（十三）
[即时达标对点练]
题组1 求函数的平均变化率
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选B 平均变化率为＝－1.
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
解析：选D ＝＝4＋2Δx.
3．求函数y＝f(x)＝在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝
＝，
∴＝－ .
题组2 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．1 B．3 C．－1 D．0
答案：B
5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度．
解：物体在t0时的平均速度为
v＝
＝＝
＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2.
故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t m/s.
6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s，求t0的值．
解：由v＝＝
＝＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2，
所以由3t＝27，解得t0＝±3，
因为t0>0，故t0＝3，
所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s.
题组3 利用定义求函数在某一点处的导数
7．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝aB．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b
8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
9．求函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)．
[能力提升综合练]
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k2
C．k1＝k2 D．不确定
解析：选D k1＝
＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
3．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：选C ∵＝
＝5＋Δt，
5.如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1) (2)
6．函数y＝－在点x＝4处的导数是________．
解析：∵Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
＝＝.
∴y′|x＝4＝.
答案：
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时平均速度．
即物体的初速度为3 m/s.
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)v＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
8．路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯O在地面上的射影点O′沿某直线离开路灯，求人影长度在任意时刻t0的瞬时变化率．
解：如图，
设人的高度为AB，则AB＝1.6，人的影子长AC＝h，
84 m/min＝1.4m/s，由直角三角形相似得＝，
第2课时 导数的几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P76～P79的内容，回答下列问题．
观察教材P77图3.1－2，回答下列问题．
(1)割线PPn的斜率kn是什么？
提示：割线PPn的斜率kn＝＝．
(2)当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT．
(3)当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？
提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k．
(4)如何求得过点P的切线PT的斜率？
提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即
2．归纳总结，核心必记
(1)导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即.
(2)导函数
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝.
[问题思考]
(1)若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？
提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
(4)f′(x0)与f′(x)有什么区别？
提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
[课前反思]
(1)导数的几何意义是：
；
(2)导数的概念是：
；
(3)如何求函数f(x)在x＝x0处的切线方程？
．
[思考1] 直线的点斜式方程是什么？
提示：y－y0＝k(x－x0)．
[思考2] 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
名师指津：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
[思考3] 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
?讲一讲
1．已知曲线y＝x2，
(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(3，5)的切线方程．
[尝试解答] (1)设切点为(x0，y0)，
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
(2)点P(3，5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，
由(1)知，y′x＝x0＝2x0，
∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3，5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x，②
联立①，②得x0＝1或x0＝5.
从而切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
此时切线方程为y－25＝10(x－5)，
即y＝10x－25.
综上所述，过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
?练一练
1．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在x＝1处的切线方程；
(2)求第(1)问中的切线与曲线C的公共点．
解：(1)∵＝
＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，
又x＝1时，y＝1，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由得x3－3x＋2＝0，
即x3－x－2x＋2＝0，(x－1)2(x＋2)＝0.
解得x＝1或x＝－2，
∴切线与曲线C的公共点为(1，1)和(－2，－8)．
[思考] 如何处理切点问题？
名师指津：切点问题的处理方法：
(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
?讲一讲
2．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．
[尝试解答] 设P点坐标为(x0，y0)，
＝
＝＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0.
＝3x－6x0，于是3x－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，
因此，点P的坐标为(3，1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．
?练一练
2．已知曲线y＝2x2－a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标及a的值．
解：设切点P(x0，y0)，
＝4x，
得k＝y′x＝x0＝4x0.
根据题意4x0＝8，x0＝2，
代入8x－y－15＝0得y0＝1.
故所求切点为P(2，1)，a＝2x－y0＝7.
?讲一讲
3．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的 ( )
(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
[尝试解答] (1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.
(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.
[答案] (1)A (2)D
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
?练一练
3．如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )
解析：选D 函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0，2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；
当x∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2，3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；
当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，
＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．
—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求曲线的切线方程的方法，见讲1；
(2)已知曲线的切线求切点坐标，见讲2；
(3)导数几何意义的应用，见讲3.
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上，这是本节课的易错点．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点 .
课时达标训练（十四）
[即时达标对点练]
题组1 求曲线的切线方程
1．曲线y＝x3＋11在点(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．
令x＝0得y＝12－3＝9.
2．求曲线y＝在点的切线方程．
所以曲线在点的切线斜率为
k＝y′x＝＝－4.
故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
题组2 求切点坐标
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
解析：设P(x0，2x＋4x0)，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3，30)．
答案：(3，30)
5．已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
解：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1，3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴k·＝－1，即k＝8.故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.
∴切点坐标为(2，9)．
题组3 导数几何意义的应用
6．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
7．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析：选B 根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－<0.
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
解析：选D 不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；
当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；
从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．
答案：②
[能力提升综合练]
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
答案：B
2．曲线y＝在点P(2，1)处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解析：选D Δy＝－＝－1＝，
斜率为－1，倾斜角为.
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
解析：选A 由Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋Δx
所以在点(1，0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1，0) B．(2，8)
C．(1，0)或(－1，－4) D．(2，8)或(－1，－4)
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．
5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．
解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b)．
答案：>
6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．
解析：由题意，f′(4)＝－2.
f(4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；
(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．
8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．
解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．
3.2 导数的计算
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P81～P85的内容，回答下列问题．
已知函数：
①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x2，
④y＝f(x)＝，⑤y＝f(x)＝.
(1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
提示：∵＝＝＝0，
(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？
提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，′＝－，()′＝ .
(3)函数②③⑤均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝′＝x－1＝，∴(xα)′＝αxα－1．
2．归纳总结，核心必记
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝α·xα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
(2)导数运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．
③′＝(g(x)≠0)．
[问题思考]
(1)常数函数的导数为0说明什么？
提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．
(2)对于公式“若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q*”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？
提示：当α∈R时，f′(x)＝αxα－1仍然成立．
(3)下面的计算过程正确吗？
′＝cos＝.
提示：不正确．因为sin＝是一个常数，
而常数的导数为零，所以′＝0．
(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？
①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)；
②′＝－.
提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．
[课前反思]
(1)基本初等函数的导数公式有哪些？
；
(2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？
．
[思考] 你能说出函数f(x)＝c与f(x)＝xα、f(x)＝sin x与f(x)＝cos x、f(x)＝ax与f(x)＝ex、f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数公式有什么特点和联系吗？
名师指津：(1)幂函数f(x)＝xα中的α可以由Q*推广到任意实数．
(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)′＝ex是(ax)′＝axln a的特例．
(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x)′＝是(logax)′＝的特例．
?讲一讲
1．求下列函数的导数：
(1)y＝10x；(2)y＝lg x；(3)y＝logx；
(4)y＝；(5)y＝－1.
[尝试解答] (1)y′＝(10x)′＝10xln 10.
(2)y′＝(lg x)′＝.
(3)y′＝(logx)′＝＝－.
(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝.
(5)∵y＝－1
＝sin2＋2sin cos ＋cos2－1
＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
?练一练
1．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝lg 5；(4)y＝3lg；
(5)y＝2cos2－1.
解：(1)y′＝′＝ln＝－＝－e－x.
(2)y′＝′＝ln ＝
＝－10－x ln 10.
(3)∵y＝lg 5是常数函数，
∴y′＝(lg 5)′＝0.
(4)∵y＝3 lg＝lg x，
∴y′＝(lg x)′＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
?讲一讲
2．(链接教材P84－例2)求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sin cos；
(3)y＝x2＋log3x; (4)y＝.
[尝试解答] (1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－sin x，∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.
(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
利用导数运算法则求解的策略
(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
?练一练
2．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝xsin x＋；
(3)y＝＋；
(4)y＝lg x－.
解：(1)y′＝′＝
＝＝－.
(2)y′＝(xsin x)′＋()′＝sin x＋xcos x＋ .
(3)∵y＝＋＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
(4)y′＝′＝(lg x)′－′
＝＋.
?讲一讲
3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[思考点拨] 将直线y＝x向上平移，当直线与曲线y＝ex相切时，该切点到直线y＝x的距离最小．
[尝试解答] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
?练一练
3．求过曲线y＝cos x上点P且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．
解：∵y＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴曲线在点P处的切线的斜率为k＝y′x＝＝－sin＝－，
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，
∴满足题意的直线方程为y－＝，
即x－y＋－π＝0.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用导数公式求导数，见讲1；
(2)利用导数运算法则求导数，见讲2；
(3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见讲3.
3．本节课的易错点是导数公式(ax)′＝axln a和(logax)′＝以及运算法则[f(x)·g(x)]′与′的区别．
课时达标训练（十五）
[即时达标对点练]
题组1 利用导数公式求函数的导数
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sinx；②′＝cos ；③若y＝，则y′＝－；④′＝ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝＝＝，所以③错误.′＝－＝＝x－＝，所以④正确．
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )
A. B. C. D.
解析：选D ∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(1)＝α＝.
题组2 利用导数的运算法则求导数
3．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
解析：选B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cosx＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
4．函数y＝的导数为________．
解析：y′＝′＝
＝＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
6．求下列函数的导数．
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′
＝cos x－4x.
(2)y′＝(cosx·ln x)′
＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′
＝
＝
＝.
题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题
7．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．
解析：y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.
答案：y＝3x＋1
8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin ＋cos ＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2，1)．
[能力提升综合练]
1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝( )
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
解析：选C 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.
2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D.
解析：选A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．
3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选B y′＝
＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
5．已知函数f(x)＝f′cosx＋sin x，则f＝________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1
6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．
解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，
则f(x)＝xg(x)，
求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n.
答案：1×2×3×…×n
7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．
解析：法一：∵y＝x＋ln x，
∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．
∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由
解得
答案：8
8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3，令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，
又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：不存在．由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′x＝x0＝cos x0，k2＝y′x＝x0＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是
sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
3.3 导数在研究函数中的应用
第1课时 函数的单调性与导数
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P89～P93的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P89图3.3－1，回答下列问题：
①函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(0，a)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？
提示：h(t)在_(0，a)上为增函数，h′(t)>0．
②函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(a，b)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？
提示：h(t)在(a，b)上为减函数，h′(t)<0．
(2)观察教材P90图3.3－2.
函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？
提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝1>0，y(x)是增函数；
②在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x<0，y(x)是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x>0，y(x)是增函数；
③在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；
④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－<0，y(x)是减函数．
(3)观察教材P93图3.3－7，函数f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？
提示：在(0，a)上的导数值大于在(a，＋∞)上的导数值．
(4)观察函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0，1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与f′(x)在(0，1)和 (1，＋∞)内的大小有什么关系？
提示：在(0，1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数f′(x)在(0，1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．
2．归纳总结，核心必记
(1)函数的单调性与其导数正负的关系
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
[问题思考]
(1)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？
提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．
(2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
(3)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？
提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．
[课前反思]
(1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系？
；
(2)函数图象的变化趋势与导数值的大小有什么关系？
．
?讲一讲
1．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
[尝试解答] (1)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．
[答案] (1)D (2)D
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
?练一练
1．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是( )
解析：选D 因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f′(x)<0.
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是________．
解析：由图象可知，f′(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)，故f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
答案：(－∞，0)，(2，＋∞)
[思考1] 若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
名师指津：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
[思考2] 若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？
名师指津：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．
[思考3] 如何判断(证明)可导函数f(x)在(a，b)上的单调性？
名师指津：利用f′(x)的符号，规律方法同[思考2]．
?讲一讲
2．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
[尝试解答] 由于f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)得出结论．
?练一练
2．试证明：函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数．
证明：由于f(x)＝，
所以f′(x)＝＝.
由于0所以ln x故f′(x)＝>0，
即函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数．
[思考] f′(x)>0或f′(x)<0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？
名师指津：f′(x)>0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)<0的解集对应函数f(x)的单调递减区间．
?讲一讲
3．(链接教材P91－例2)求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.
[尝试解答] (1)f′(x)＝1－3x2，
令1－3x2>0，解得－因此，函数f(x)的单调增区间为.
令1－3x2<0，解得x<－或x>.
因此，函数f(x)的单调减区间为，.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
注意事项：
①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．
②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
?练一练
3．求函数f(x)＝的单调区间．
解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).
?讲一讲
4．已知函数f(x)＝x3－ax－1.讨论f(x)的单调区间．
[思路点拨] 由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)>0或f′(x)<0的解集即可．
[尝试解答] f′(x)＝3x2－a.
(1)当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±.
当x>或x<－时，f′(x)>0;
当－因此f(x)在，上为增函数，f(x)在上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数．
当a>0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
?练一练
4．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．
解：由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，
所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，
所以a≤0.
即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．
解：因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，
即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求a的取值范围．
解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1，1)恒成立．
因为－1所以3x2<3，
所以a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求a的取值范围．
解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－，)，
∴＝1，即a＝3.
(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，
∴0<<1，
即0故a的取值范围为(0，3)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数有关的函数单调性问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)函数与导函数图象间关系的应用，见讲1；
(2)判断(证明)函数单调性的方法，见讲2；
(3)利用导数求函数单调区间的方法，见讲3；
(4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题，见讲4.
3．在利用导数求函数的单调区间时，易忽视函数的定义域，这是本节课的易错点，如讲3(2)．
课时达标训练（十六）
[即时达标对点练]
题组1 函数与导函数图象间的关系
1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解析：选A 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．
2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )
解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.
3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的递增区间为________．
解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f′(x)>0，所以f(x)在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．
答案：(－1，2)和(4，5]
题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
5．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1，1] B．(0，1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选B 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得06．证明函数f(x)＝在上单调递减．
证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
由于x∈，
∴cos x<0，sin x>0，xcos x－sin x<0.
故f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．
题组3 与参数有关的函数单调性问题
7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤
解析：选A f′(x)＝3ax2－1.
∵f(x)在R上为减函数，
∴f′(x)≤0在R上恒成立．
∴a≤0，经检验a＝0符合题意．
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________．
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1答案：－ －6
9．已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋，当a>0时，f′(x)>0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)．
当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>；由f′(x)＝x＋<0，得0所以当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．
[能力提升综合练]
1．y＝xln x在(0，5)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上减，在上增
D．在上增，在上减
解析：选C ∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1，
∴当0∴y在上减．当－1，即y′>0.
∴y在上增．
2．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)解析：选A 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
解析：选C 因为′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
5．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b有两个不相等的实数根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
6．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以解得：1≤k<.
答案：
7．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
8．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
解：h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1，4]上单调递减，
所以x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
令G(x)＝－，
则a≥G(x)max.而G(x)＝－1.
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1，4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1，4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
第2课时 函数的极值与导数
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P93～P96的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P94图3.3－8，函数y＝h(t)在t＝a处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？y＝h(t)在此处的导数值是多少？在这个点的附近，y＝h(t)的导数的符号有什么规律？
提示：函数y＝h(t)在t＝a处的函数值比它附近的函数值都大，此处的导数为0，左侧h′(t)>0，右侧h′(t)<0．
(2)观察教材P94图3.3－10和图3.3－11，函数y＝f(x)在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？y＝f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
提示：函数y＝f(x)在a，c，e，g的函数值比它附近的函数值都小，在b，d，f，h处的函数值比它附近的函数值都大；y＝f(x)在这些点的导数值都是0；在a，c，e，g点的左侧
f′(x)<0，右侧f′(x)>0；在b，d，f，h点的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．
2．归纳总结，核心必记
(1)极值点与极值
①极小值点与极小值
如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
②极大值点与极大值
函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③极值点与极值
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
(2)求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
[问题思考]
(1)函数的极大值一定大于极小值吗？
提示：不一定，课本P94图3.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．
(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？
提示：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．_x1、x3是极大值点．
(3)已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？
提示：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．
(4)导数为0的点都是极值点吗？
提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
(5)函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？
提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．
[课前反思]
(1)函数的极大值、极小值的定义是：
；
(2)函数的极大值点、极小值点的定义是：
；
(3)求函数y＝f(x)的极值的方法是什么？
．
?讲一讲
1．(链接教材P94－例4)求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x2e－x; (2)y＝.
[尝试解答] (1)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4e－2
?
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.
(2)函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
y′＝.令y′＝0，即＝0，得x＝e.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
y′
＋
0
－
y
?
?
由表可知，当x＝e时，函数有极大值.
求可导函数f(x)的极值的步骤为：
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的导数f′(x)；
(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间 内的变化情况列在一个表格内；
(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
?练一练
1．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝－2.
解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
－6
?
∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．
∴f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6.
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
－3
?
极大值
－1
?
由表可以看出：
当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
?讲一讲
2．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
[尝试解答] ∵y＝f(x)在x＝－1时有极值为0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
∴即
解得或
①当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
y＝f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
②当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
4
?
0
?
由表可知，f(x)在x＝－1处取极小值且f(－1)＝0.
∴a＝2，b＝9.
解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否满足函数取得极值的条件．
?练一练
2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，
∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①
3a－2b＋c＝0，②
又f(1)＝－1，
∴a＋b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时f′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1，1)上是减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点．
?讲一讲
3．求函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的极值．
[思路点拨] 分类讨论a取不同值时，函数的单调性，进而求极值．
[尝试解答] f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，
当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－， )
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
f(－)
?
f()
?
∴f(x)的极大值为f(－)＝2a＋b，
极小值为f()＝－2a＋b.
利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论．
?练一练
3．设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为(1－m，1＋m)．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m) ＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.
————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数．难点是含参数的函数的极值问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求函数的极值，见讲1；
(2)已知函数的极值求参数，见讲2；
(3)含参数的函数极值问题的求解，见讲3.
3．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反，这是本节课的易错点．
课时达标训练（十七）
[即时达标对点练]
题组1 求函数的极值
1．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )
A．2 B．－1和2 C．－1 D．－3
解析：选C f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，
f′(x)<0，在区间(－1，2)上，f′(x)>0，
故当x＝－1时，f(x)取极小值．
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
解析：选C 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；当－1∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2，2)，故无极小值．
3．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
其中正确的结论为________．
解析：由图象知，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，
同理，f(x)在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③.
由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，
所以x＝2时，函数有极大值；
而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，
故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，
所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.
答案：③
题组2 已知函数的极值求参数
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3
解析：选A f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
5．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．b<1 B．b>1 C．0解析：选C f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0，1)内有极小值，则有00，符合题意．所以实数b的取值范围是06．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.
即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
题组3 含参数的函数的极值问题
7．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝3.
8．已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为( )
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，(0，＋∞)内
C．三个零点，分别在，，(1，＋∞)内
D．三个零点，分别在，(0，1)，(1，＋∞)内
解析：选A 利用导数法易得函数在内递减，在内递增，在(1，＋∞)内递减，而f＝－<0，f(1)＝－1<0，故函数图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在内．
2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D 由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
3．若函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
解析：选D f′(x)＝3x2－2a，
∵f(x)在(0，1)内有极小值没有极大值，
∴?即04．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
解析：选D 取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.故选D.
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________．
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的极大值为5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a＝________，b＝________，c＝________.
解析：由题图得
依题意，得
即
解得a＝2，b＝－9，c＝12.
答案：2 －9 12
7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．求函数f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点．
解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；
在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，所以或
即或解得a<－4或a>0，
所以当a>0或a<－4时，函数f(x)恰有一个零点．
第3课时 函数的最大(小)值与导数
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P96～P98的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P96图3.3－13，回答下列问题：
①你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的极大值和极小值吗？
提示： 极大值有f(x2)，f(x4)，f(x6)；极小值有f(x1)，f(x3)，f(x5)．
②你能找出函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值吗？
提示：最大值为f(a)，最小值为f(x3)．
(2)观察教材P97图3.3－14，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？
提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(3)观察教材P97图3.3－15，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？
提示：最大值为f(x3)，最小值为f(x4)．
(4)通过以上观察，你认为函数f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是极值吗？
提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值．
(5)怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．
2．归纳总结，核心必记
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)函数最值的求法
求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[问题思考]
在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？
提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．
[课前反思]
(1)如何求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值？
(2)函数f(x)的最大值和最小值与极值有什么区别与联系？
?讲一讲
1．(链接教材P97－例5)求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；
(2)f(x)＝x2－(x<0)．
[尝试解答] (1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极点，
且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为
f(－)＝0，f(3)＝－18.
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝2x＋.
令f′(x)＝0得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．
?练一练
1．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]．
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
因为f′(x)在[－1，1]内恒大于0，
所以f(x)在[－1，1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)取最小值为－12，
x＝1时，f(x)取最大值为2.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
?讲一讲
2．设[尝试解答] 令f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)＝0，
得x＝0或x＝a.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，x＝a时取得极小值－＋b.
而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，
又因为f(0)－f(1)＝a－1＞0，
f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)＜0，
所以y＝f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
y＝f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－.
所以－a＝－，a＝.
故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
?练一练
2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[思考] 若a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？
名师指津：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max.
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．
?讲一讲
3．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 2f(x)≥g(x)恒成立，可转化为2f(x)－g(x)≥0恒成立，然后利用分离参数法求a的取值范围．
[尝试解答] (1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)min＝f＝－.
(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝，
①x∈(0，1)，h′(x)<0，h(x)单调递减；
②x∈(1，＋∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增；所以h(x)min＝h(1)＝4，
对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．
不等式恒成立问题的转化技巧
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立?a≥f(x)max(或≤f(x)min);
(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解?a≥f(x)min(或≤f(x))max)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立?F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));
(4)f(x)≥g(x)恒有解?F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．
?练一练
3．设函数f(x)＝xex－x＋2.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．
解：(1)∵a＝1，
∴f(x)＝xex－x＋2＝xex－x2－x＋2，
∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1当x<－1或x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)≥x2－x＋2，得x≥0，
当x＝0时，显然成立；
当x>0时，即≥恒成立．
记g(x)＝，则g′(x)＝，
当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)是增函数．
∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴≤e，得a≤2e－2.
即a的取值范围是(－∞，2e－2]．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是函数最值的求法及与最值有关的不等式恒成立问题，难点是由函数的最值求参数及不等式的恒成立问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求函数最值的方法，见讲1；
(2)由函数最值求参数的方法，见讲2；
(3)与函数最值有关的不等式恒成立问题的解法，见讲3.
课时达标训练（十八）
[即时达标对点练]
题组1 求函数的最值
1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
解析：选A f′(x)＝2＋sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上无最值．
2．函数f(x)＝x2ex在区间(－3，－1)上的最大值为( )
A．9e－3 B．4e－2 C．e－1 D．4e2
解析：选B ∵f′(x)＝ex(x2＋2x)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝0(舍)．
∴f(x)在(－3，－2)上递增；在(－2，－1)上递减．
∴f(x)在(－3，－1)上的最大值为f(－2)＝4e－2.
3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．
解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.
计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，
所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
答案：32
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)在点(1，0)处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[1，t]上的最大值．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f(x)的导数f′(x)＝.
(1)f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝＝0，解得x＝e.
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当1f(x)max＝f(t)＝，
当t≥e时，f(x)在[1，e]上单调递增，
在[e，t]上单调递减，f(x)max＝f(e)＝，
f(x)max＝
题组2 由函数的最值确定参数的值
5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．1
C．2 D.
解析：选C y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
令y′＝0，得x＝0或x＝－1.
因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
又f(1)＝m＋，f(－2)＝m－2，
所以f(1)＝m＋最大，所以m＋＝，所以m＝2.
6．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0解：令f′(x)＝－x2＋x＋2a＝0，
得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)＝.
题组3 与最值有关的恒成立问题
7．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p的取值范围是( )
A．(0，1] B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．[1，＋∞)
解析：选D 原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增；在上单调递减．故f(x)max＝f＝－lnp，即－ln p≤0，解得p≥1.
8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1，3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴
∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴x∈[－2，6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，
∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，
∴c<－18，
∴c的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1，5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
解析：选B f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，
∴f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，
∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.
2．函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( )
A．当x＝时，f(x)取最大值
B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值
D．当x＝－时，f(x)取最小值
解析：选D f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln 2.
令f′(x)＝0，得x＝－.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)>0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)<2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)≤2f(1)
解析：选A 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数； 当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)在x＝1处取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，得f(0)＋f(2)>2f(1)．
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D |MN|的最小值，即函数h(t)＝t2－ln t的最小值，h′(t)＝2t－＝，显然t＝是函数h(t)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
5．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝ex－2.由f′(x)>0得ex－2>0，
∴x>ln 2.由f′(x)<0得，x∴f(x)在x＝ln 2处取得最小值．
只要f(x)min≤0即可．
∴eln 2－2ln 2＋a≤0，
∴a≤2ln 2－2.
答案：(－∞，2ln 2－2]
6．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e，
且当00；当x>e时，g′(x)<0，
∴当x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，
∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
7．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，
函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1时，即k≥2，
函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
8．设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
(1)求a、b的值；
(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝2ax－＋ln x，
∴f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，
即
解得
∴所求a、b的值分别为－、－.
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，x∈，
由f′(x)＝－－＋
＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
∴f是f(x)在上的最小值．
而f＝＋ln ＝－ln 2，
∴c≥－ln 2.
∴c的取值范围为.
3.4 生活中的优化问题举例
第1课时 变化率问题、导数的概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P101～P104的内容，回答下列问题．
某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml溶液的圆柱形易拉罐．
(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？
提示：计算出圆柱的表面积即可．
(2)如何制作使用材料才能最省？
提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．
2．归纳总结，核心必记
(1)优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)解决优化问题的基本思路
[问题思考]
在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
[课前反思]
(1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？
；
(2)解决优化问题的基本思路是什么？
．
?讲一讲
1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
[尝试解答] (1)BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．
则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)
＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S′＝0，
得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，
此时θ＝.
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
所以，当θ＝时，S取得最大值Smax＝3 750 m2，此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
?练一练
1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
?讲一讲
2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，
即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0，
当50，
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
?练一练
2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？
解：设燃料费y＝kv3，因为当v＝10时，y＝6，∴k＝，∴y＝v3.
∴每千米总费用：S＝＝v2＋，
S′＝v－.
令S′＝0得v＝20，
当v∈(0，20)时，S′<0；
当v∈(20，＋∞)时，S′>0.
∴v＝20 km/h 是S的极小值点，也是最小值点，
∴v＝20 km/h 时，每千米的费用总和最少．
知识点3 利润最大问题
?讲一讲
3．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)．
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[尝试解答] (1)因为次品率p＝，
所以当每天生产x件时，有x·件次品，
有x件正品．
所以T＝200x·－100x·
＝25·(x∈N*)．
(2)T′＝－25·，
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．
当00；
当x>16时，T′<0;
所以当x＝16时，T最大，
即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
?练一练
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是利用导数解决生活中的优化问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用导数解决面积、体积的最值问题，见讲1；
(2)利用导数解决成本最低(费用最省)问题，见讲2；
(3)利用导数解决利润最大问题，见讲3.
3．在利用导数解决生活中的优化问题时，要注意函数的定义域应使实际问题有意义，这也是本节课的易错点
课时达标训练（十九）
[即时达标对点练]
题组1 面积、体积的最值问题
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为π.
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积V cm3.由题意，得V＝x(48－2x)2(0当x∈(0，8)时，V′>0；当x∈(8，24)时，V′<0.
∴当x＝8时，V取得最大值．
题组2 成本最低(费用最省)问题
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
解析： 选C 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．
4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2，
令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.
且当020时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．
答案：20
5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
解：(1)Q＝P·＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元)．
题组3 利润最大问题
6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
解析：选C 因为y′＝－x2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y′<0；当x∈(0，9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．
7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )
A．30 元 B．60 元
C．28 000 元 D．23 000 元
解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．
8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.032答案：0.032
9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．
解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：
L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，
即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8，11]．
(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，
∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)
＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，
令L′(x)＝0得x＝12或x＝，
由于x∈[8，11]，所以取x＝，
当x∈时，L′(x)>0；x∈时，L′(x)<0，
所以当x＝时，L(x)在[8，11]上取到极大值，也是最大值，
L＝(万元)．
故当每件售价为元时，公司一年的利润L最大，最大利润是万元．
[能力提升综合练]
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
解析：选B 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．
2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．2
解析：选C 设底面边长为x，高为h，
∴x2·h＝V，∴h＝＝.
∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋，
S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，x3＝4V，x＝.
当0时，S′(x)>0，
∴当x＝时，S(x)最小．
3．某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32 m，16 m B．30 m，15 m
C．40 m，20 m D．36 m，18 m
解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy＝512，堆料场的周长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200 C．250 D．300
解析：选D 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3005．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.
解析：设高为h，则底面半径r＝，0由V′＝π－πh2＝0得h2＝，h＝或h＝－(舍去)，因为当00，当h>时，V′<0，所以当h＝时，V最大．
答案：
6．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ACBD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0，2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P ＝0.1x2－3.2 ln x＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
解：(1)由题意得，所获得的利润为
y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝.
当4≤x<6时，y′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元．
8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
解：(1)由题意知，M点的坐标为(5，40)，N点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C的方程y＝，
可得
解得
(2)①由(1)知曲线C的方程为
y＝(5≤x≤20)，y′＝－，
所以y′x＝t＝－即为l的斜率．
又当x＝t时，y＝，
所以P点的坐标为，
所以l的方程为
y－＝－(x－t)．
令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝t.
所以f(t)＝，其中5≤t≤20.
②由①知f(t)＝，其中5≤t≤20.令g(t)＝＋＝t2＋，
所以g′(t)＝t－＝·
＝·.因为5≤t≤20，令g′(t)<0，得5≤t＜10；令g′(t)＝0，得t＝10；g′(t)>0，得101.导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
[典例1] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1.
解得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[对点训练]
1．设函数f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：f′(x)＝8x－.
所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7，
又f(1)＝4＋2＝6，
所以切点的坐标为(1，6)．
所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，
即7x－y－1＝0.
借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
[典例2] 设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，
f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－0.
设x1，x2(x1则x1＝，x2＝，
由x1＝＝>0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－上单调递减，
在(，)上单调递增．
[典例3] 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，
解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意当x∈(1，4)时，f′(x)<0，
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
故4≤a－1≤6，
即5≤a≤7.
因此a的取值范围是[5，7]．
[对点训练]
2．求函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)的单调区间．
解：因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a>0，
所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝－3x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)f′(x)＝1－，
由导数的几何意义得f′(1)＝－3，
于是a＝4，
由切点P(1，f(1))在直线y＝－3x＋1上得1＋a＋b＝－2，解得b＝－7.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x＋－7(x≠0)．
(2)f′(x)＝1－＝(x≠0)，
由f′(x)>0得x>2或x<－2；
由f′(x)<0得－2∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，递减区间为(－2，0)和(0，2).
1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．
2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)解方程f′(x)＝0的根．
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．
即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意．
3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
[典例4] 已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，且x＝3是f(x)的极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在x∈[1，5]上的最小值和最大值．
解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋3.
f′(3)＝0，
即27－6a＋3＝0，
∴a＝5.
(2)f(x)＝x3－5x2＋3x.
令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，
解得x＝3或x＝(舍去)．
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
因此，当x＝3时，f(x)在区间[1，5]上有小值为f(3)＝－9；
当x＝5时，f(x)在区间[1，5]上是最大值是f(5)＝15.
[典例5] 已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R.
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(3)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)当a＝0时，曲线f(x)＝x2－ln x，
所以f′(x)＝2x－?f′(1)＝1，f(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－y＝0.
(2)因为函数在[1，2]上是减函数，
所以f′(x)＝2x＋a－＝≤0在[1，2]上恒成立，令h(x)＝2x2＋ax－1，有
得得a≤－.
即实数a的取值范围为.
(3)假设存在实数a，使g(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3，g′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)．
②当≥e时，g′(x)≤0在(0，e]上恒成立，
所以g(x)在(0，e]上单调递减．
g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)．
③当0<所以g(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以g(x)min＝g＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件．
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时g(x)有最小值3.
[对点训练]
4．设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解：对f(x)求导得f′(x)＝ex.①
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，
则4x2－8x＋3＝0，
解得x＝，或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，
则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．
因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，
又由a>0，得05．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．
(1)求曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，
又x＝－1，x＝分别对应函数的极小值，极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．
即a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，
则f(x)＝－x3－x2＋2x.
x＝－2时，f(－2)＝2，
即切点为(－2，2)．
又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，
所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即为8x＋y＋14＝0.
(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
则f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－.
从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：
要证不等式f(x)>g(x)，则构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，只需证φ(x)>0即可，由此转化成求φ(x)最小值问题，借助于导数解决．
[典例6] 证明x3－x2＋x＋1>sin x(x>0，x∈R)．
证明：令f(x)＝x3－x2＋x＋1，
则f′(x)＝3x2－2x＋1.
该导函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝4－12<0，
所以f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上是递增的．
因为x>0，
所以f(x)>f(0)＝1.
而sin x≤1，
所以x3－x2＋x＋1>sin x成立．
[对点训练]
6．证明不等式ln x>，其中x>1.
证明：设f(x)＝ln x－(x>1)，
则f′(x)＝－＝.
∵x>1，∴f′(x)>0，
即f(x)在(1，＋∞)内为单调递增函数．
又∵f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)>f(1)＝0，
即ln x－>0，
∴ln x>.
解决恒成立问题的方法：
(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则转化为f(x)max≤m.
(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则转化为f(x)min≥m.
(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具．
[典例7] 已知函数f(x)＝xln x.
(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．
解：(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.
∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，
∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，
即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．
∴a≥－1－ln x.
又当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)．
∴－1－ln x∈(－∞，－3]，
∴a≥－3，
即a的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)由题知，2f(x)≥－x2＋mx－3，
即mx≤2x·ln x＋x2＋3.
又x>0，
∴m≤.
令h(x)＝，
h′(x)＝
＝
＝，
令h′(x)＝0.
解得x＝1，或x＝－3(舍)．
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)在(0，1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4，
即m的最大值为4.
[对点训练]
7．已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，当x∈[－1，2]时，则f(x)(3)若f(x)在x＝1处取得极值，求证：对[－1，2]内的任意两个值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤.
解：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，令f′(x)＝0，
由Δ>0得1－12b>0，解得b<.
即b的取值范围为.
(2)∵f(x)在x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝0，∴3－1＋b＝0，得b＝－2.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
∴f＝＋c，f(1)＝－＋c.
又f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c.
∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，
由f(x)0.解得c>2或c<－1.
故所求c的范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
(3)证明：由(2)知f(x)max＝2＋c，f(x)min＝－＋c，
故对[－1，2]内的任意两个值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)min－f(x)max|＝＝.
讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．
[典例8] 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的极值点；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，
得x1＝－，x2＝.
当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
因此x1＝－，x2＝分别为f(x)的极大值点、极小值点．
(2)由(1)的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点需5－4＝f()(3)法一：f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)>g(1)＝－3，
所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]．
法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f(1)＝0，
曲线f(x)在点(1，0)处切线斜率f′(1)＝－3，
由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3]．
[对点训练]
8．设函数f(x)＝－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，)上仅有一个零点．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－＝.
因为k>0，
所以令f′(x)＝0得x＝，
列表如下：
减区间为(0，)，增区间为(，＋∞)．
当x＝时，取得极小值f()＝.
(2)当≤1，即0f(1)＝，f()＝－＝>0，
所以f(x)在区间(1，)上没有零点．
当1<<，即1f(1)＝>0，f＝>0，f＝＝>0，此时函数没有零点．
当≥，即k≥e时，f(x)在上单调递减，f(1)＝>0，f()＝<0，所以f(x)在区间(1，)上仅有一个零点．
综上，若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，)上仅有一个零点.
解决优化问题的步骤：
(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．
[典例9] 如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，试求游乐园的最大面积．
解：如图，以M点为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4，2)．
设抛物线方程为y2＝2px.
∵点D在抛物线上，
∴22＝8p.解得p＝.
∴抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4，0≤y≤2)．
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.
∴矩形游乐园面积为S＝|PQ|·|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.
求导得，S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，
得3y2＋4y－4＝0，
解得y＝或y＝－2(舍)．
当y∈时，S′>0，函数为增函数；
当y∈时，S′<0，函数为减函数．
∴当y＝时，S有最大值．
这时|PQ|＝2＋y＝2＋＝，
|PN|＝4－y2＝4－＝.
∴游乐园的最大面积为Smax＝×＝(km2)．
[对点训练]
9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解：(1)设需新建n个桥墩，
则(n＋1)x＝m，即n＝－1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256(0(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－
＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，
所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64，640)内为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值，
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝，则f′(e)＝( )
A. B. C．－ D．－
解析：选D ∵f′(x)＝＝，
∴f′(e)＝＝－.
2．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0 B．2 C．1 D．－1
解析：选A ∵f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，
∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，
∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，
∴f′(1)＝0.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，
即y＝2x＋1.
4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
解析：选B f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0; g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.
5．函数f(x)＝(0＜x＜10)( )
A．在(0，10)上是增函数
B．在(0，10)上是减函数
C．在(0，e)上是增函数，在(e，10)上是减函数
D．在(0，e)上是减函数，在(e，10)上是增函数
解析：选C 由f′(x)＝，令f′(x)＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0得e＜x＜10，故选C.
6．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是，，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．－1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
解析：选A 依题意得y′＝a(3x2－1)＞0的解集为，，∴a＞0.
7．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(0，1) D．(0，＋∞)
解析：选B 由题知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0.设函数y＝ln x＋1上任一点(x0，1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝?x0＝1，令2a＝1?a＝，结合图象知08．方程2x3－6x2＋7＝0在(0，2)内根的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 设f(x)＝2x3－6x2＋7，
则f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
∵x∈(0，2)，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(0，2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1，
∴f(x)在(0，2)上有且只有一个零点，
即方程2x3－6x2＋7＝0在(0，2)内只有一个根．
9．函数y＝x－2sin x的图象大致是( )
解析：选C 因为y′＝－2cos x，所以令y′＝－2cos x＞0，得cos x＜，此时原函数是增函数；令y′＝－2cos x＜0，得cos x＞，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项C正确．
10．若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是( )
A．eaf(a)>ebf(b)
B．ebf(a)>eaf(b)
C．ebf(b)>eaf(a)
D．eaf(b)>ebf(a)
解析：选D ∵′＝
＝<0，
∴y＝单调递减，又a>b，
∴<，
∴eaf(b)>ebf(a)．
11．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：选A 当x>0时，令F(x)＝，则F′(x)＝<0，∴当x>0时，F(x)＝为减函数．
∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.
在区间(0，1)上，F(x)>0；在(1，＋∞)上，F(x)<0.
即当00；当x>1时，f(x)<0.
又f(x)为奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f(x)<0.
综上可知，f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．
12．若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f<
B．f>
C．f<
D．f>
解析：选C 构造函数F(x)＝f(x)－kx，
则F′(x)＝f′(x)－k>0，
∴函数F(x)在R上为单调递增函数．
∵>0，∴F>F(0)．
∵F(0)＝f(0)＝－1，∴f－>－1，
即f>－1＝，
∴f>，故C错误．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．
解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝.
答案：
14．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，
代入函数解析式可得极值点的坐标为，
又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y＝－.
答案：y＝－
15．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋ln x，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为________．
解析：f′(x)＝3ax2＋，则f′(1)＝3a＋.
∵a<0，∴f′(1)＝－
≤－2＝－12.
当－3a＝，即a＝－2时，取“＝”．
答案：－2
16．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________．
解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，
∴?或
当时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.
答案：4
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，
f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，
当且仅当ax＝1等号成立，
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
法二：f(x)的导数f′(x)＝a－＝，
当x>时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；
当0所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(2)由题设知，f′(x)＝a－，f′(1)＝a－＝，
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，
解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.
18．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，所以－x2＋2>0，解得－所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．
又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1，1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1，1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1，1)上单调递增，则y<1＋1－＝，故a≥.即实数a的取值范围为.
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－.
当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；
当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，
因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(a)>0，当b满足0故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．
(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．
由于2e2x0－＝0，
所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.
故当a>0时，f(x)≥2a＋aln.
20．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)若y＝xf(x)＋的图象总在直线y＝a的上方，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝.
当00，f(x)为增函数；
当x>e时，f′(x)<0，f(x)为减函数．
(2)依题意得，不等式a0恒成立．
令g(x)＝ln x＋，
则g′(x)＝－＝.
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝>0，则g(x)是(1，＋∞)上的增函数；
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，则g(x)是(0，1)上的减函数．所以g(x)的最小值是g(1)＝1，从而a的取值范围是(－∞，1)．
21．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)解：(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
f(x)不存在最小值；
当a<0时，由f′(x)＝0得x＝－a，
且0x>－a时，f′(x)>0.
∴x＝－a时，f(x)取得最小值，
f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)ln x－x2，
故g(x)ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，
由h′(x)＝0及0当00，当所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln －.
所以g(x)22．已知函数f(x)＝ln.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求证：当x∈(0，1)时，f(x)＞2；
(3)设实数k使得f(x)＞k对x∈(0，1)恒成立，求k的最大值．
解：(1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，
所以f′(x)＝＋，f′(0)＝2.
又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
(2)证明：令g(x)＝f(x)－2，
则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝.
因为g′(x)>0(0所以g(x)在区间(0，1)上单调递增．
所以g(x)>g(0)＝0，x∈(0，1)，
即当x∈(0，1)时，f(x)>2.
(3)由(2)知，当k≤2时，f(x)>k对x∈(0，1)恒成立．
当k>2时，令h(x)＝f(x)－k，
则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝.
所以当0故当0即f(x)所以当k>2时，f(x)>k并非对x∈(0，1)恒成立．
综上可知，k的最大值为2.
模块综合检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是 ( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：选D 命题若p则q的逆命题为若q则p，故选D.
2.下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，2x－1＞0
B．?x∈N*，(x－1)2＞0
C．?x∈R，lg x＜1
D．?x∈R, tan x＝2
解析：选B 当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2＞0，∴B为假命题．
3．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则綈q是p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵q：x＜0或x＞1，∴綈q：0≤x≤1，由集合法判断知綈q是p的充分不必要条件，故选A.
4．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4 B．2
C．8 D．与m有关
解析：选C 依题意，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4.所以焦距2c＝8.
5．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于( )
A．10 B．10ln 10＋lg e
C.＋ln 10 D．11ln 10
解析：选B ∵f′(x)＝10xln 10＋，
∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.
6．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )
A．3 B．2
C．2 D.
解析：选A 抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的渐近线为y＝±x，则准线与渐近线交点为(－3，－)、(－3，)．∴所围成三角形面积S＝×3×2＝3.
7．若命题“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．－3≤a≤3 D．－1≤a≤1
解析：选B 根据题意可得?x∈R，都有x2＋(a－1)x＋1≥0，
∴Δ＝(a－1)2－4≤0.
∴－1≤a≤3.
8．对于命题p：双曲线－＝1(m＞0)的离心率为；命题q：椭圆＋y2＝1(m＞0)的离心率为，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 双曲线－＝1(m＞0)的离心率为 时可得m＝2；椭圆＋y2＝1(m＞0)的离心率为时，可得m＝2或m＝.所以p是q的充分不必要条件．
9．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：选D ∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∴Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，
∴ab≤＝9，
当且仅当a＝b时“＝”成立，
∴ab的最大值为9，故选D.
10．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
解析：选C 由题意得f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0.故选C.
11．过点P(0，3)的直线与双曲线－＝1只有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选D 数形结合．直线与双曲线只有一个公共点，有两个可能：一是直线恰与双曲线相切，二是直线与双曲线的渐近线平行．根据图形的对称性共有4条．
12．已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则( )
A．f(x1)＞0，f(x2)＞－
B．f(x1)＜0，f(x2)＜－
C．f(x1)＞0，f(x2)＜－
D．f(x1)＜0，f(x2)＞－
解析：选D 函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则f′(x)＝ln x－2ax＋1有两个零点，即方程ln x＝2ax－1有两个根，由数形结合易知0＜a＜且0＜x1＜1＜x2，因为在(x1，x2)上f(x)递增，所以f(x1)＜f(1)＜f(x2)，即f(x1)＜－a＜f(x2)，所以f(x1)＜0，f(x2)＞－.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设命题为“若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0有实数根”．该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为________．
解析：命题的否定：若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；
逆命题：若关于x的方程x2－x－k＝0有实数根，则k＞0.假命题；
否命题：若k≤0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；
逆否命题：若关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根，则k≤0.真命题．
答案：3
14．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝10，则S△PF1F2＝________．
解析：由已知，a2＝64，b2＝48，c2＝16，
∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝16.
∵|PF1|＝10，
∴|PF2|＝6.
∵|F1F2|＝2c＝8，
∴△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1＝90°，
∴S△PF1F2＝24.
答案：24
15．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
由题意，知或
解得k≤.
答案：
16．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图所示，由题意可知|AF1|＝，若△ABF2是钝角三角形，则需∠AF2B为钝角，故∠AF2F1＞45°，即tan∠AF2F1＝＞1，化简可得b2＞2ac，即c2－a2－2ac＞0，两边同除以a2，可得e2－2e－1＞0，因为e＞1，所以解得e＞1＋.
答案：(1＋，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”，若p∨q为真，綈p为真，求实数m的取值范围．
解：∵直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，则＜1，
∴m∈(1－，1＋)．
∵mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，
则＜0，
即0＜m＜4.
又∵p∨q为真，为真，
∴p假，q真，
∴m∈[1＋，4)．
18．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
解：设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝＝＝，得a＝2b.①
设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，则x2＝a2－，且
d2＝x2＋＝a2－y2＋
＝－3y2－3y＋4b2＋＝－3＋4b2＋3，
其中－b≤y≤b.
如果b＜，则当y＝－b时，
d2取得最大值，即有()2＝，
解得b＝－＞与b＜矛盾．
如果b≥，则当y＝－时，
d2取得最大值，即有()2＝4b2＋3.②
由①、②可得b＝1，a＝2.
所求椭圆方程为＋y2＝1.
由y＝－可得椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为和.
19．若函数f(x)＝ax2＋2x－ln x在x＝1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及极值．
解：(1)f′(x)＝2ax＋2－，
由f′(1)＝2a＋＝0，得a＝－.
(2)f(x)＝－x2＋2x－ln x(x＞0)．
f′(x)＝－x＋2－＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
①当f′(x)＞0时，1＜x＜2；
②当f′(x)＜0时，0＜x＜1或x＞2.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：
因此f(x)的单调递增区间是(1，2)，单调递减区间是(0，1)，(2，＋∞)．函数的极小值为f(1)＝，极大值为f(2)＝－ln 2.
20．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3
＝3(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
21．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；
②若点M，求证：为定值．
解：(1)因为＋＝1(a＞b＞0)满足a2＝b2＋c2，＝，×b×2c＝.
解得a2＝5，b2＝，
则椭圆方程为＋＝1.
(2)①设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由 (1)将y＝k(x＋1)代入＋＝1中得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
x1＋x2＝－.
因为AB中点的横坐标为－，
所以＝－，
解得k＝±.
②证明：由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝·
＝＋y1y2
＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2
＝(1＋k2)＋＋＋k2
＝＋＋k2
＝＋＋k2＝.
即为定值．
22．设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，
得g′＝3x2－2x＝3x.
令g′(x)＞0得x＜0，或x＞，
又x∈[0，2]，
所以g(x)在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以g(x)min＝g＝－，
g(x)max＝g(2)＝1.
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
则满足条件的最大整数M＝4.
(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，
等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max.
由(1)可知在区间上，
g(x)的最大值为g(2)＝1.
在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．
设h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x，
可知h′(x)在区间上是减函数，又h′(1)＝0，
所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；
当＜x＜1时，h′(x)＞0.
即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2]上单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，
即实数a的取值范围是[1，＋∞)．
