二次函数
教学目标：
1.结合具体情境，会用解析法表示简单实际问题中变量之间的函数关系，探索并归纳二次函数的定义；
2.能写出一些简单函数的解析式并会判断是否是二次函数。
3.会把一个二次函数化为一般形式。
教学模式：
互动——探究教学模式
学习重点、难点：
二次函数的概念
教学方法：
引导发现法、探究法、讲练结合法。
学习过程：
设疑导入
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？还有运动场上飞舞的跳绳，奥运赛场腾空的篮球……
合作探究：
探究（一）
探究（二）
（2）一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动，5s时到达斜坡底部.测得小球滚动的距离s(cm)与时间t(s)的数据如下表：
分析上面的数据，你能发现当t增加时，s的变化有什么规律？你能写出s与t之间的函数表达式吗？
探究（三）
（3)某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x,你能写出明年该企业年产值y(万元)与x之间的函数表达式.
合作交流：
观察上述三个问题中的函数解析式，你发现它们具有什么共同特征？
总结归纳：
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。其中：a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
巩固新知：
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
（1）y=3(x-1)2+1 (2)y=x+8
(3) s=3-2t2 (4)y=(x+3)2-x2
(5)y=1/x2 -x (6)v=10πr2
例2、已知函数
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（3）m取什么值时，此函数是反比例函数？
做一做：
已知函数y=( k2- k )x2 +kx+
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2)k为何值时，y是x的二次函数？
议一议：
练一练：
1、下列函数中，（x,t是自变量），哪些是二次函数？( )
A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1
C y=x2 D y=2+ √x2+1
2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件
是( )
A、m,n是常数,且m≠0 B、m,n是常数,且n≠0
C、m,n是常数,且m≠n D、m,n为任何实数
拓展训练
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?
总结反思
通过本节课的学习，我们知道了很多知识，也有了很多的想法，你能谈谈自己的收获吗？和同学们一起分享吧！
课件22张PPT。 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离
—华罗庚青岛版初中数学九年级下册二次函数复习（1）学习目标1、能通过图象掌握二次函数的性质
2、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，为后面解决简单的实际问题作准备
3、掌握二次函数的三种常见表达式，并能根据已知条件确定函数的表达式
4、会用二次函数与一元二次方程的关系求字母的范围抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值直线x=直线x=向上向下当x= 时,最小值为k.当x= 时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 归纳：二次函数y=ax2+bx+c的性质一、知识回顾（一）、 、用配方法将y= ，化为顶点 式 的形式，便于求顶点坐标和对称轴顶点为 或（h,k)配
方
的
方
法（二)(三)二次函数的三种常见表达式(a≠0)及如何确定1、一般式:y=ax +bx+c
2、顶点式:
3 、两点式: 技巧: 若已知抛物线上的任意三点,可设为一般式求;若已知顶点和另外一点,则设为顶点式;若已知三点,但其中两点在x轴上(纵坐标都为0)时,设为两点式 顶点式
1.设y=a(x-h)2+k
2.找（一点）
3.列（一元一次方程）
4.解（消元）
5.写（一般形式）
6.查（回代)
一般式
1.设y=ax2+bx+c
2.找（三点）
3.列（三元一次方程组）
4.解（消元）
5. 写（一般形式）
6.查（回代)
归纳：设顶点式和一般式的解题步骤 二次函数y= 与一元二次方程
y=ax2+bx+c的关系（a≠0)（四）、 .下列函数中,哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)2+1;（是）（否） (3) s =3-2t2. (5)y=(x+3)2-x2. (6)v=10πr2(7) y= x2+x3+25(8)y=22+2x（是）（是）（否）（否）（否）（否）例题讲解、注意:紧扣定义,必须是化简后是二次函数的一般形式例1二、
:试讨论二次函数 的性质 解:由函数 的表达式可知，它有以下性质
（1）图象是抛物线
(2)对称轴为直线x=-3
（3）顶点是图象的最高点，坐标为(-3,-2)
(4)当x<-3时，函数值随x的增大而增大；当x>-3时，函数值
随x的增大而减小.例2
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）y =2( x+3)2+5; （2）y = －3(x－1)2－2;
（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = 解:（1）a=2>0开口向上,对称轴为x=－3,顶点坐标为(-3,5)（2）a=－3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为（1,－2）（3）a=4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）（4）y= = -5
a=－5<0开口向下,对称轴为x=－2,顶点坐标为(-2,-6).跟踪练习1抢答题
(1)已知点A(-1,6),B(4,6)和C(3,2)，求经过这
三点的二次函数的表达式例3:看
谁
算
得
又
快
又
准解：因为二次函数图象的顶点坐标是(-1,-6),
所以，可以设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-6.
又因为图象经过点(2,3)，将这点的坐标代入上式，
得3=a(2+1)2-6 解得 a=1
所以，这个二次函数的表达式是
y=(x+1）2-6=x2+2x-5
(2)二次函数图象的顶点坐标是(-1,-6),并且图象
经过点(2,3),求这个函数的表达式例3:
1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三
点求此函数的解析式．
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵?图象过B(0,2)
∴?c=2
∴?y=ax2+bx+2
∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点
∴? -4=4a+2b+2?? ?
??? 2=a-b+2????? ???
解得?a=-1,b=-1
∴?函数的解析式为： y=-x2-x+2跟踪练习2把学习落实
到笔尖上2.已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式.解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴? a+b+c=4??? ①
??? a-b+c=0??? ②
?? 9a+3b+c=0??③
? 解得： a= -1
b=2
c=3
?∴? 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
、已知抛物线y=x2+2x+m+1。若抛物线与
x轴只有一个交点，求m的值。
例41、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0
（D）a＜0 b2-4ac＜0
D跟踪练习32、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4三.小结1 .本节课学的知识你掌握了吗?
有哪些收获?
2 还有哪些困惑的地方?...(2)如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值是( )相
信
自
己，
你
一
定
行四、当堂检测 2.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式.3、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
二次函数
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离
—华罗庚
学习目标
1、能通过图象掌握二次函数的性质
2、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，为后面解决简单的实际问题作准备
3、掌握二次函数的三种常见表达式，并能根据已知条件确定函数的表达式
4、会用二次函数与一元二次方程的关系求字母的范围
一、知识回顾
归纳：二次函数y=ax2+bx+c的性质
抛物线
y=ax2+bx+c（a>0）
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
(二)、用配方法将y=ax2+bx+c化为顶点式子
(三)二次函数的三种常见表达式(a≠0)及如何确定
1、一般式:y=ax2 +bx+c
2、顶点式:
3 、两点式:
技巧: 若已知抛物线上的任意三点,可设为一般式求;若已知顶点和另外一点,则设为顶点式;若已知三点,但其中两点在x轴上(纵坐标都为0)时,设为两点式
顶点式
1.设y=a(x-h)2+k 2.找（一点） 3.列（一元一次方程）
4.解（消元） 5.写（一般形式） 6.查（回代)
一般式
1.设y=ax2+bx+c 2.找（三点） 3.列（三元一次方程组）
4.解（消元） 5. 写（一般形式） 6.查（回代)
（四）、二次函数与一元二次方程的关系
(1）y=3(x-1)2+1;
(3) s =3-2t2.
(5)y=(x+3)2-x2 (6)v=10πr2
(7) y= x2+x3+25； (8)y=22+2x
注意:紧扣定义,必须是化简后是二次函数的一般形式
例2、试讨论二次函数y=-2/5(x+3)2 —2的性质
跟踪练习1、
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）y =2( x+3)2+5; （2）y = －3(x－1)2－2;
（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y =
例3、(1)已知点A(-1,6),B(4,6)和C(3,2)，求经过这三点的二次函数的表达式
(2)二次函数图象的顶点坐标是(-1,-6),并且图象经过点(2,3),求这个函数的表达式
跟踪练习2、
若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点，求此函数的解析式．
已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式.
例4
已知抛物线y=x2+2x+m+1。若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值
跟踪练习3
1、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
2、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
三、小结
1 、本节课学的知识你掌握了吗?有哪些收获?
2、还有哪些困惑的地方?
四、当堂检测
1、 (1) 如果函数y= 是二次函数,则k的值一定是 ( )
(2) 如果函数y= 是二次函数, 则k的值一定是 ( )
2.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式.
3、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
求证:不论k取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
课件21张PPT。节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？运动场上飞舞的跳绳奥运赛场腾空的篮球5.3二次函数温故而知新学习目标：1.探索并归纳二次函数的定义；
2.能写出一些简单函数的解析式并会判断是否是二次函数。 请用适当的解析式表示下列问题情境中
的两个变量 y 与 x 之间的关系·自学探究（2）一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动，5s时到达斜坡底部.测得小球滚动的距离s(cm)与时间t(s)的数据如下表：(3)某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x,你能写出明年该企业年产值y(万元)与x之间的函数表达式.y = 1200(1+x)+1200(1+x)x
=这些关系中
y是x的什么函数？上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式.(a,b,c是常数, )a≠0合作交流定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。其中：a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 （2）等式的右边最高次数为 。 注意： （3）a,b,c为常数，且 （4）x的取值范围是 。整式。a≠0.2任意实数 (可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。)二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2 例题讲解说明： 判断一个函数是否是二次函数，看它是否化简成y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的形式。1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)2+1;（是）（否） (3) s=3-2t2. (5)y=(x+3)2-x2. (6) v=10πr2(7) y= x2+x3+25(8)y=22+2x（是）（是）（否）（否）（否）（否）2.写出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（2）m取什么值时，此函数是正比例函数？（3）m取什么值时，此函数是反比例函数？例题讲解已知函数y=( - k )x2 +kx+
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2)k为何值时，y是x的二次函数？做一做:议一议:练一练:2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件
是( )
A、m,n是常数,且m≠0 B、m,n是常数,且n≠0
C、m,n是常数,且m≠n D、m,n为任何实数CC例题讲解
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?（２）当x=3时(o
