5.4 二次函数与一元二次方程（1）
学习目标：
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；
2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图像交点的横坐标．
学习重点：经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．
学习难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系．
学习过程 ：
【教学过程】：
一.【情境创设】
(1)解下列一元二次方程：
① ② ③
(2)对于任何一个一元二次方程，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：
当 >0时，方程有 实数根；
当 =0时，方程有 实数根；
当 <0时，方程 实数根.
二.【问题探究】
问题1. 观察二次函数的图象，写出它们与轴、轴的交点坐标：
函数
图
象
交
点
与轴交点坐标是
（ ， ） （ ， ）
与轴交点坐标是
（ ， ） （ ， ）
与轴交点坐标是
（ ， ） （ ， ）
与轴交点坐标是（ ， ）
与轴交点坐标是
（ ， ）
与轴交点坐标是
（ ， ）
归纳：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程
与轴有 个交点
0，方程有 的
实数根是 .
与轴有 个交点
这个交点是 点
0，方程有 的
实数根是 .
与轴有 个交点
0，方程 实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是 .
练习.判断下列函数的图象与轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由.
⑴； ⑵ ⑶
问题2.已知二次函数
（1）图象与轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当取何值时，y=0？这里的取值与方程有什么关系？
（3）取什么值时，函数值y大于0？取什么值时，函数值y小于0？
（4）当取何值时，y=8？取何值时，函数值y大于8？取何值时，函数值y小于8？
归纳：
⑴求抛物线与轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应方程 的解；若对应方程的实数根为，则抛物线与轴的交点坐标是 ，特别当时，这个交点就是抛物线的 .
⑵求抛物线与轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 .这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法.
问题3. 已知函数：
(1)函数图像与x轴交点A．B的坐标是什么？与y轴交点C的坐标是什么？
(3)求△ABC的面积？
(4)当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？
(5)当时，y的取值范围是什么？
三.【拓展提升】
问题4. 已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若函数与轴的两个交点的横坐标为，且满足，求的值．
四.【课堂小结】
这节课你有哪些收获和困惑？
五.【当堂反馈】班级： 姓名：
1．下列函数的图象中，与轴没有公共点的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数（m是常数）的图象与轴的交点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
3.方程的根是 ；则函数的图象与轴的交点
有 个，其坐标是 ．
4.抛物线的部分图象如图所示，则一元
二次方程 的两个根为 ．
5．已知二次函数与轴有公共点，求k的取值范围．
6．已知二次函数．试说明此二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点．
7.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根． ；
（2）写出不等式的解集． ；
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． ；
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
5.4 二次函数与一元二次方程（2）
学习目标：
1．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力；
2．经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想；
3．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．
学习重点：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；
学习难点：利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根．
学习过程 ：
【教学过程】：
一.【情境创设】
已知二次函数．
①由抛物线与轴交点个数可以判定一元二次方程根的情况是 ；
②抛物线，当=1时，y 0；当=2时，y 0。由此可以判断一元二次方程的正根介于 和 这两个整数之间？
③抛物线，当=1.5时，y 0；当=1.25时，y 0．
由此可以进一步判断一元二次方程的正根介于 和 之间？
二.【问题探究】
问题1. 二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：
一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
① ②
③ ④
问题2. 观察的图象，你能得到关于的哪些信息？
问题3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0； a－b+c____0；
（2）
问题4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空： （用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a___0，b__0，c___0，
（2）a+b+c_____0，a－b+c______0，
（3）
三.【拓展提升】
问题5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列5个结论中：①abc>0；②b
0；④b2-4ac>0；
⑤b=2a.正确的是 （填序号）
四.【课堂小结】
这节课你有哪些收获和困惑？
五.【当堂反馈】班级： 姓名：
1．已知二次函数的与的部分对应值如下表：
…
0
1
3
…
…
1
3
1
…
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴
C．当＝4时，＞0 D．方程的正根在3与4之间
2. 若一抛物线与四条直线=1，=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则的取值范围是（ ）
A．≤≤1 B．≤≤ 2 C．≤≤1 D．≤≤2
3.已知二次函数，当=m或=n时y的值相等，且m≠n，则该二次函数的图象的对称轴为（ ）
A．一定是y轴 B．可能是y轴
C．直线 D．直线
4．二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A．＜0 B．＞0
C．＞0 D．＞0
5．如图为二次函数的图象，给出下列说法：
①； ②＞0； ③；
④当取—2和4时，y的值相等；⑤当时，．
其中，正确的说法有 ．
（请写出所有正确说法的序号）
6. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出一元二次不等式不等式的解集。
