课时跟踪训练(一) 命 题
1．命题“若x＞1，则x＞－1”的否命题是( )
A．若x＞1，则x≤－1 B．若x≤1，则x＞－1
C．若x≤1，则x≤－1 D．若x＜1，则x＜－1
2．给出下列三个命题：( )
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③“若x≠y，或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是____________________________，q是__________________________．
6．命题“若x2<4，则－2
7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.21教育网
答 案
1．选C 原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.21·cn·jy·com
2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.www.21-cn-jy.com
3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．2·1·c·n·j·y
4．选B 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
5．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
6．答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4 真
7．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
课时跟踪训练(七) 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理
1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．21世纪教育网版权所有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝x a＋y b＋z c，则( )
A．x＝2，y＝1，z＝ B．x＝2，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝1 D．x＝，y＝，z＝
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为( )
A．－ B.
C．－ D.
4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝( )21cnjy.com
A.a＋b＋c
B.a－b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b＋c
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则在上的投影是________．21·cn·jy·com
6．在三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．www.21-cn-jy.com
7.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出，，，，，，的坐标表示．2·1·c·n·j·y
8.如右图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底i，j，k表示向量，.
答 案
1．选C ③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．
2．选A ＝＋＝＋(＋)＝2a＋b＋c.
3．选B ∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
∴||＝，||＝，||＝.
∴△AB1C是等边三角形．
∴在上的投影为||cos〈，〉＝×cos 60°＝.
4．选D ＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－＋＋)
＝c－a＋(－c)＋b
＝－a＋b＋c.
5．解析：在上的投影为||cos〈，〉，
在△ABC1中，cos∠BAC1
＝＝＝＝，
又||＝.
∴||cos 〈·〉＝×＝－2.
答案：－2
6．解析：如图，＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)．
＝＋＋
＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
7．解：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
∴A(1,0,0), B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．21教育网
∴＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，
＝(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)．
8．解：∵G是△PDC的重心，
∴＝＝(＋)
＝(＋＋＋＋)
＝(－k＋j－k＋i＋j)＝i＋j－k，
＝＋＋
＝－i＋k＋i＋j－k
＝－i＋j＋k.
课时跟踪训练(三) 全称量词与存在量词
1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
3．下列命题为真命题的是( )
A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立
C．对任意x＞0，都有3x＞3成立
D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_________________________________
______________________________．
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
8．(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；21世纪教育网版权所有
(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．
答 案
1．选A 本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．21教育网
2．选A “关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
3．选A A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1＜2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)＜0?0＜3x－1＜1?＜x＜，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，x－2＝0?x＝∈/ Q，所以D是假命题，故选A.
4．选C ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
5．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．21cnjy.com
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵存在x∈R，使sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，)．
课时跟踪训练(九) 空间向量与平行关系
1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
2．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为，则m＝( )
A．－8 B．－5
C．5 D．8
3．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，则( )21教育网
A．π1∥π2 B．π1⊥π2
C．π1，π2相交但不垂直 D．以上均不正确
4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )21cnjy.com
A．－ B．6
C．－6 D.
5．已知两直线l1与l2的方向向量分别为v1＝(1，－3，－2)，v2＝(－3,9,6)，则l1与l2的位置关系是________．21·cn·jy·com
6．若平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则y＋z＝________.www.21-cn-jy.com
7.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．【来源：21·世纪·教育·网】
证明：直线MN∥平面OCD.
8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．2·1·c·n·j·y
答 案
1．选D ∵l1∥l2，设a＝λb，
∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
∴x＝6，y＝.
2．选A ∵l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．
∴2＋＋2＝0，m＝－8.
3．选A ∵n1＝－n2，∴n1∥n2，∴π1∥π2.
4．选B ∵α∥β，
∴α的法向量与β的法向量也互相平行，
∴＝＝，∴λ＝6.
5．解析：∵v2＝－3v1，
∴l1∥l2或l1与l2重合．
答案：平行或重合
6．解析：∵π1∥π2，∴n1∥n2.∴＝＝.
∴y＝1，z＝－4.
∴y＋z＝－3.
答案：－3
7．证明：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，21世纪教育网版权所有
P，D，O(0，0,2)，M(0,0,1)，N.
＝，
＝，
＝.
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
即取z＝，
解得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，∴⊥n.
又MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD.
8．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，
＝(－1,0,1)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·＝0，n·＝0，得
所以x＝z，y＝z.
取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?·n＝0?(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝?F为C1D1的中点．
这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件
1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
3．已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“＋＝2”，则命题p是命题q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是_________
_______________．
6．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件
②必要不充分条件
③充要条件
④既不充分也不必要条件
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上为增函数”的________．
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?21世纪教育网版权所有
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠.
8．求方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．
答 案
1．选A 当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．21教育网
2．选A 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
3．选A 若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题p是命题q的必要不充分条件，故选A.21·cn·jy·com
4．选A 当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
5．解析：直线l与圆C有公共点?≤?|m－1|≤2?－1≤m≤3.
答案：m∈[－1,3]
6．解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的充分不必要条件．
答案：(1)③ (2)①
7．解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cos B＝＜0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，
反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2.
∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．21cnjy.com
(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝?/ A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
8．解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，不符合要求；
②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为
解得0所以ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0课时跟踪训练(二十一)圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
3．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )21教育网
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
5．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．21cnjy.com
6．已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x＝3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为________．www.21-cn-jy.com
7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．2·1·c·n·j·y
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．21世纪教育网版权所有
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
答 案
1．选B 点(2,4)位于抛物线y2＝8x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．【来源：21·世纪·教育·网】
2．选B 由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆知，m＞0且m≠3.
综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠3.
3．选B 因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．
4．选B 抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，21·cn·jy·com
所以y2－2py－p2＝0，
所以＝p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
5．解析：法一：显然直线AB存在斜率，
设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB方程为y－1＝k(x－2)，由
得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，
∴x1＋x2＝＝4，∴k＝6.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
y1＋y2＝2，且x－＝1，x－＝1.
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝.
显然x1－x2≠0，
∴＝＝6，即kAB＝6.
答案：6
6．解析：设M(x，y)，则＝，
∴3(x－1)2＋3y2＝(x－3)2.
∴2x2＋3y2＝6.
∴所求方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．解：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，
由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝(x－2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去x得y2＝8?y2－6y－16＝0?y1＝8，y2＝－2.
∴|AB|＝ |y1－y2|＝，
由抛物线的定义知：|PQ|＝|AB|＝.
8．解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.
∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，
联立消去y得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝，
∴中点坐标为M.
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，
△ABF2的周长＝4a＝4.
课时跟踪训练(二十) 曲线与方程
1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C.＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )21世纪教育网版权所有
A．π B．4π
C．8π D．9π
3．方程x2＋xy＝x的曲线是( )
A．一个点 B．一个点和一条直线
C．一条直线 D．两条直线
4．已知点A(0，－1)，点B是抛物线y＝2x2＋1上的一动点，则线段AB的中点M满足的方程为( )21教育网
A．y＝2x2 B．y＝4x2
C．y＝6x2 D．y＝8x2
5．在△ABC中，已知A(2,0)，B(－1,2)，点C在直线2x＋y－3＝0上移动．则△ABC的重心G满足的方程为________．21cnjy.com
6．方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中正确的命题是________．
7．已知直角三角形ABC，∠C为直角，A(－1,0)，B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
8．设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥.当点P在y轴上运动时， 求N点的轨迹C的方程．21·cn·jy·com
答 案
1．选D 考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A，B，C中各对曲线的x与y的取值范围不一致．www.21-cn-jy.com
2．选B 设P为(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得 ＝2，
即(x－2)2＋y2＝4，∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π.
3．选D x2＋xy＝x，即x2＋xy－x＝0，
∴x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.
故方程表示两条直线．
4．选B 设B(x0，y0)，M(x，y)．
∵M是AB的中点，
∴x＝，y＝，得x0＝2x，y0＝2y＋1.
又∵B(x0，y0)在抛物线y＝2x2＋1上，∴y0＝2x＋1，
即2y＋1＝2(2x)2＋1，因此y＝4x2，故M满足的方程为y＝4x2.
5．解析：设△ABC的重心G的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，则
∴
∵ 点C在直线2x＋y－3＝0上，故有6x＋3y－7＝0，
又∵重心G不在AB上，故x≠，y≠，
∴重心G满足的方程为6x＋3y－7＝0(x≠)．
答案：6x＋3y－7＝0(x≠)
6．解析：当4－k＝k－1，即k＝时表示圆，命题①不正确；显然k＝∈(1,4)，∴命题②不正确；若曲线C为双曲线，则有(4－k)·(k－1)<0，即k<1或k>4，故命题③正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－1>0，解得1答案：③④
7．解：
设C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．
∵∠C为直角，
∴⊥，即·＝0，
即(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得x2＋y2＝1.
∵A，B，C三点要构成三角形，
∴A，B，C不共线，∴y≠0，
∴C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
8．解：∵＝2，故P为MN中点．
又∵⊥，P在y轴上，F为(1,0)．
故M在x轴的负方向上，设N(x，y)(x>0)，
则M(－x,0)，P(0，)，
∴＝(－x，－)，
＝(1，－)．
又∵⊥，故·＝0，
即－x＋＝0，∴y2＝4x(x>0)．
即N点的轨迹C的方程为y2＝4x(x>0)．
课时跟踪训练(五) 从平面向量到空间向量
1．空间向量中，下列说法正确的是( )
A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同
C．如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|
C．如果两个向量平行，则这两向量相等
D．在四边形ABCD中，＝
3．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是( )
A． B．
C． D．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量垂直的向量有________．21世纪教育网版权所有
6.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则〈，〉＝________.21cnjy.com
7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1顶点为起点或终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与相反的向量；
(3)写出与平行的向量．
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求〈，〉，〈，〉，〈，〉．21·cn·jy·com
答 案
1．选D 只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．
2．选B 模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若＝，则四边形ABCD是平行四边形．
3．选B 若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，即AC＝BD，21教育网
∴四边形ABCD为矩形．
4．选A ∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥面ACC1A1，
故为平面ACC1A1的法向量．
5．解析：A1B1⊥面BCC1B1，∴⊥；
A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴⊥.
答案：
6．解析：连接DB，BC1，DC1，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
△BDC1为等边三角形．
∵E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，
∴EF∥BD，GH∥BC1.
∴〈，〉＝〈，〉＝60°.
答案：60°
7．解：(1) ，，.
(2)，，，.
(3)，，，，，，.
8．解：由题意知，六边形EFGHPQ为正六边形，所以〈，〉＝∠HPQ＝；〈，〉＝∠FGH＝；〈，〉等于∠QEF的补角，即〈，〉＝.
课时跟踪训练(八) 空间向量运算的坐标表示
1．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝( )
A．4 B．－4
C. D．－6
3．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝( )
A. B.
C. D.
4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则||＝( )21教育网
A．2 B.
C. D．2
5．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
6．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线， 则p＝________，q＝________.21·cn·jy·com
7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，问是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立？若存在，求x，y的值．www.21-cn-jy.com
8.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，||＝2，||＝3，||＝2，E为BC的中点．2·1·c·n·j·y
(1)求与所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求O1D的长．
答 案
1．选D 对D中向量g，h，＝≠，故g，h不平行．
2．选B ∵a＋b＝(－2,1,3＋x)且(a＋b)⊥c，
∴－2－x＋6＋2x＝0，∴x＝－4.
3．选C 因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝ ，所以＝－λ.
解得λ2＝，所以|a|＝＝.
4．选C 由题意可得B(2,0,0)，E(0,1,1)，则＝(－2,1,1)，||＝.
5．解析：因为(ka－b)⊥b，
所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，
解得k＝7.
答案：7
6．解析：由A，B，C三点共线，则有与共线，即＝λ.
又＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)，
所以所以
答案：3 2
7．解：∵＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在x，y∈R满足条件，
由已知得(－1,0,2)＝x(－1,1,0)＋y(0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y,2y)＝(－x，x－y,2y)，21cnjy.com
∴?即存在实数x＝1，y＝1使结论成立．
8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由已知得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，21世纪教育网版权所有
所以＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
(2)因为⊥，∥，而C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
所以?
所以D，所以O1D＝||＝.
课时跟踪训练(六) 空间向量的运算
1．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a， ＝b，＝c，则下列与向量相等的表达式是( )21教育网
A．－a＋b＋c B．－a－b＋c
C．a－b－c D．a＋b－c
2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．±1 D．2
3.如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则＋(＋)＝( )www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D.
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
5.如图，?ABCD的对角线AC和BD交于点E，P为空间任意一点，若＋＋＋＝x，则x＝________.21世纪教育网版权所有
6．设a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝________.
7．在四面体O－ABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且||＝1，||＝2，||＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值．21cnjy.com
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使〈，〉＝60°，求B，D间的距离．21·cn·jy·com
答 案
1．选D ＝＋＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c.
2．选A a·b＝(2i－j＋k)(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
3．选A ＋(＋)＝＋＝.
4．选B ＝＋，＝＋，＝＋，
∴cos〈，〉＝
＝＞0，∴〈，〉为锐角，
同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，
cos〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．
5．解析：过E作MN∥AB分别交BC，AD于点M，N.
∴＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝2(＋)＝4.
答案：4
6．解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
∴|c|＝ ＝
＝＝.
答案：
7．解：∵＝＋＝＋(＋)
＝(＋＋)．
∴·(＋＋)＝(＋＋)2
＝(||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·)＝(1＋4＋9)＝.
8．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理，·＝0.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋＋2＋2·＋2·＋2·
＝＋＋＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝4.
∴||＝2，即B，D间的距离为2.
课时跟踪训练(十一) 直线间的夹角、平面间的夹角
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则异面直线EF和CD的夹角是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．60° B．45°
C．30° D．90°
2．(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )21教育网
A. B.
C. D.
3.如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为( )21·cn·jy·com
A．60° B．70°
C．80° D．90°
5．平面π1的一个法向量n1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．21·世纪*教育网
6.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．www-2-1-cnjy-com
7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值．2-1-c-n-j-y
8.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．21*cnjy*com
(1)求异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值．
答 案
1．选B 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则E，F，
＝，＝(0,1,0)．
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝135°，
所以异面直线EF和CD的夹角是45°.
2．选A 设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，
＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.
3.选D 设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，【来源：21cnj*y.co*m】
∴B，F，C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝
可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
4．选D 设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，
则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝ .于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角．
5．解析：n1·n2＝2－4＋2＝0，∴n1⊥n2，∴〈n1，n2〉＝，即α与β垂直，
∴sin〈n1，n2〉＝1.
答案：1
6．解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0.
故AB1与BM的夹角为90°.
答案：90°
7．解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，21世纪教育网版权所有
所以＝.
由AD＝3可知DE＝3，AF＝，
则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．
所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则n＝(4,2，)．由题意知AC⊥平面BDE，
所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3,0)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
故由题意知平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值为.
8．解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．www.21-cn-jy.com
因为cos〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1的夹角的大小为θ.2·1·c·n·j·y
由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值为.
课时跟踪训练(十七) 抛物线的简单性质
1．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为( )21·cn·jy·com
A．4 B．－2
C．4或－4 D．2或－2
2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )www.21-cn-jy.com
A. B．1
C. D.
3．(新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )2·1·c·n·j·y
A．2 B．2
C．2 D．4
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )21·世纪*教育网
A．4 B．8
C．8 D．16
5．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是____________________．
6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．
7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．21cnjy.com
8．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
答 案
1．选C 由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p＞0)，
则＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.
2．选C 根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.【来源：21·世纪·教育·网】
3．选C 如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.
4．选B 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
5．解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.
∴|y|＝ ＝＝|a|.
由于通径长为6，即2|a|＝6，
∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
6．解析：由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．
又∵它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．
而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.
答案：②⑤
7．解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准抛物线方程为x＝－.
∵M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即
∴ ＝ ＝3.
解得：p＝1，y0＝±2，
∴抛物线方程为y2＝2x.
∴点M(2，±2)，根据两点间距离公式有：
|OM|＝＝2.
8．解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.21教育网
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．故实数m的值为－8.21世纪教育网版权所有
课时跟踪训练(十三) 距离的计算
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为( )21·cn·jy·com
A．10 B．3
C. D.
2．正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为( )www.21-cn-jy.com
A.a B.a
C.a D.a
3.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为( )21cnjy.com
A．6 B.
C. D.
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．2-1-c-n-j-y
6．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．21*cnjy*com
7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别是AB和BC的中点．【来源：21cnj*y.co*m】
求直线AC到平面PEF的距离．
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．
答 案
1．选C ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝.21世纪教育网版权所有
2.选A 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)．
∵点M在上且＝.
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.于是M.
∴||
＝
＝a.
3.选C 以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0，0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)．＝(0,2,0)，＝(1,1,2)，21教育网
∴·n＝0，且·n＝0.
∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．
∵＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.
4.选C 如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0，0,4)．2·1·c·n·j·y
∴＝(2,2,0)，
＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，
则n⊥，n⊥，∴即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
5.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，21·世纪*教育网
则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
则有，
解得n＝，
则d＝||＝＝.
答案：
6.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，
F，D1(0,0,0)，M，N.
∵E，F，M，N分别是棱的中点，
∴MN∥EF，A1E∥B1N.
∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．
设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，且n·＝0.
即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，
且(x，y，z)·＝0.
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，
令x＝2，则y＝－2，z＝1.
∴n＝(2，－2,1)，n0＝.
∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|
＝＝.
答案：
7．解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，
∴＝，＝.
设n＝(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，则由得
令x＝1，则y＝1，z＝，
∴n＝.又∵＝(－1,0,1)，
∴d＝＝＝.
8．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)． 【来源：21·世纪·教育·网】
设n为平面AEC1F的法向量，
显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．
由
得
即
∴n＝.
又＝(0,0,3)．
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
课时跟踪训练(十九) 双曲线的简单性质
1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4
C．4 D.
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )21世纪教育网版权所有
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．双曲线＋＝1的离心率为e，e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
6．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
7．根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
答 案
1．选C 由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.21教育网
2．选A 双曲线标准方程为：y2－＝1，
∴a2＝1，b2＝－.
由题意b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
3．选B 由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.
4．选B 由题意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|MF1|＝c.
由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝c＝2a，
所以e＝＝.
5．解析：由题意知k<0，且a＝2，c＝，
∴1<<2，解得－12答案：(－12,0)
6．解析：设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，所以|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝－|PF′|＋|MF|－|FN|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
答案：－1
7．解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2即a2＝b2.①
又过点P(3，－)有：－＝1，②
由①②得：a2＝b2＝4，
双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理有：a2＝b2，③
－＝1，④
由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．
综上所述，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆方程＋＝1，
知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，
半焦距c1＝＝，
所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．
因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设条件及双曲线的性质，有
解得
即双曲线方程为－y2＝1.
8．解：(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1―→·MF2―→＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴MF1―→·MF2―→＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
课时跟踪训练(十二) 直线与平面的夹角
1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为( )21·cn·jy·com
A. B．－
C．± D.
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA1＝3，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于( )2·1·c·n·j·y
A. B.
C. D.
3.如图所示，点P是△ABC所在平面外的一点，若PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，则点P在平面α上的投影P′是△ABC的( )www-2-1-cnjy-com
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
4．(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B.
C. D.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．
6.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为________________．2-1-c-n-j-y
7.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点．
求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值．
8.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．21世纪教育网版权所有
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C夹角的正弦值为，求k的值．
答 案
1．选A cos〈a，μ〉＝＝＝，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝，cos θ＝.21cnjy.com
2．选C 建立如图所示的空间直角坐标系，
∵底面是边长为4的正方形，AA1＝3，
∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．
而面BB1D1D的法向量为＝＝(－4,4,0)，
∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos〈，〉|＝＝＝.
3．选B 由于PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故点P′是△ABC的外心．www.21-cn-jy.com
4．选A 法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.21·世纪*教育网
法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有21*cnjy*com
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.【来源：21cnj*y.co*m】
5．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量．【出处：21教育名师】
＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.
答案：
6．解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，
则＝(，－，2)，＝(，1,2)，
设平面B1DC的法向量为
n＝(x，y,1)，由
解得n＝(－，1,1)．
又∵＝，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
答案：
7.解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，【版权所有：21教育】
D.
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
解得x＝－y，z＝－y.
故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.
8．解：(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图．
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，
∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，21教育网
∴＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，
则由得
取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C的夹角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，
故所求k的值为1.
课时跟踪训练(十五) 椭圆的简单性质
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是( )
A．3 B．3或
C. D.或
2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
4．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1,2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________．
6．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．21cnjy.com
7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
答 案
1．选B 若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，
∴b＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.
若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，
∴m＝.
2．选D 由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选D.21教育网
3．选C 由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.
∴3a＝4c.∴e＝.
4．选B 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.
5．解析：由题意2b>2c，即b>c，即>c，
∴a2－c2>c2，则a2>2c2.
∴<，∴0答案：
6．解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，
∴ON是△F1F2M的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7．解：(1)依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝，∴＝，∴b2＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝9，
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8．解：如图，∵·＝0，
∴AF2⊥F1F2，
∵椭圆的离心率e＝＝，
∴b2＝a2，设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(x，y)代入椭圆方程得＋＝1，
∴y＝.∵△AOF2的面积为2，
∴S△AOF2＝c·＝2，
而＝，∴b2＝8，a2＝2b2＝16，
故椭圆的标准方程为：＋＝1.
课时跟踪训练(十八) 双曲线及其标准方程
1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21 B．14或36
C．2 D．21
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
3．k<2是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设P为双曲线x2－＝1上的 一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )21cnjy.com
A．6 B．12
C．12 D．24
5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为____________．【来源：21·世纪·教育·网】
6．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝x上，则C的方程为________________________________________________________________________．
7．已知双曲线C1：x2－＝1.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程．21·世纪*教育网
8．若双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．21世纪教育网版权所有
答 案
1．选D 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.www.21-cn-jy.com
2．选A ∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则由
解得
∴双曲线方程为－y2＝1.
3．选A ∵k<2?方程＋＝1表示双曲线，
而方程＋＝1表示双曲线?(4－k)(k－2)<0?k<2或k>4?/ k<2.
4．选B 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2.由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.
∴三角形PF1F2为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
5．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.21教育网
答案：4
6．解析：点P(2,1)在直线y＝x上，则1＝，a＝2b ①.
双曲线的焦距为10，则有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.21·cn·jy·com
答案：－＝1
7．解：双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，2·1·c·n·j·y
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
8．解：∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.
则b2＝c2－a2＝20.
故所求的双曲线方程为－＝1.
课时跟踪训练(十六) 抛物线及其标准方程
1．抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－4) B．(0，－2)
C．(－，0) D．(－，0)
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．4 B．2
C．6 D．8
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A. B．－
C．8 D．－8
4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
5．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________________．
6．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________________．21cnjy.com
7．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．
(1)求焦点在直线2x－y＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)已知抛物线方程为2x2＋5y＝0，求其焦点和准线方程．
(3)已知抛物线方程为y＝mx2(m≠0)，求其焦点坐标及准线方程．
8.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.21教育网
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
答 案
1．选B 抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.
2．选A ∵a2＝6，b2＝2，
∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.
椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.
3．选B 由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.
4．选A 设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.21世纪教育网版权所有
5．解析：因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
答案：
6．解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，故焦点F到抛物线准线的距离等于4.21·cn·jy·com
答案：4
7．解：(1)直线2x－y＋5＝0与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y2＝－10x，x2＝20y.www.21-cn-jy.com
其对应准线方程分别是x＝，y＝－5.
(2)抛物线方程即为x2＝－y，焦点为，准线方程：y＝.
(3)抛物线方程即为x2＝y(m≠0)，焦点为，准线方程y＝－.
8．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是，4＋＝5，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得所以N.
课时跟踪训练(十四) 椭圆及其标准方程
1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±3,0) B．(±，0)
C．(±，0) D．(0，±)
2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．4 D．1
3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )21·cn·jy·com
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|＝________.21cnjy.com
7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
8．点P为椭圆＋y2＝1上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
答 案
1．选D 椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－ b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为，故选D.
2．选A 由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.21教育网
3．选C ∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，
又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.
又c＝1，∴b2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
4．选A 由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.
∴a＝.∴b＝＝.
5．解析：椭圆方程可化为：x2＋＝1，
则a2＝－，b2＝1，又c＝2，
∴－－1＝4，∴k＝－1.
答案：－1
6．解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝.21世纪教育网版权所有
答案：
7．解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1.
则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|
＝＋
＝(2－)＋(2＋)
＝4，
∴a＝2，即a2＝12.
∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，则
设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．
所求椭圆方程为＋＝1.
8．解：由题意知，a＝2，b＝1，c＝，|PF1|＋|PF2|＝4.①
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
即12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2得：|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16.③
由②③得：|PF1||PF2|＝.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60°＝××＝.
课时跟踪训练(十) 空间向量与垂直关系
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．不确定
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面π的法向量为n＝(－3,0，－6)，则( )
A．l∥π B．l⊥π
C．l?π D．l与π斜交
3.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD等于( )21世纪教育网版权所有
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
4．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量＝( )21教育网
A. B.
C. D.
5．已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，若c⊥d，则m＝________.
6．在直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.21cnjy.com
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
8.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．21·cn·jy·com
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
答 案
1．选B ∵直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，
∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0.
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
2．选B a＝－n，∴a∥n，∴l⊥π.
3.选B 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a.
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝，则F点坐标为，
∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.
4．选A ·＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由·＝x－1＋5y＋6＝0，且·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.＝.
5．解析：∵c＝a－2b，
∴c＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)，
∵d＝ma－b，
∴d＝m(1,2,3)－(1,0,1)＝(m－1,2m,3m－1)．
又c⊥d，∴c·d＝0，
即(－1,2,1)·(m－1,2m,3m－1)＝0，
即1－m＋4m＋3m－1＝0，∴m＝0.
答案：0
6．解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
7．证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E.
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心．
故点G的坐标为，
且＝，＝.
∴＝2，则PA∥EG.
又EG ?平面EDB且PA?平面EDB.
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，
＝，
故·＝0＋－＝0.
∴PB⊥DE，
又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD.
8．证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)．
∴＝(0,0，)，＝(1,1,0)，
＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由
得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由
得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
课时跟踪训练(四) 逻辑联结词“且”“或”“非”
1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则( )
A．p是真命题，q是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题
D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题
2．对命题p：1∈{1}，命题q：1??，下列说法正确的是( )
A．p且q为假命题 B．p或q为假命题
C．非p为真命题 D．非q为假命题
3．命题“若a?A，则b∈B”的否定是( )
A．若a?A，则b?B B．若a?A，则b∈B
C．若a∈A，则b?B D．若b?A，则a∈B
4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是( )21·cn·jy·com
A．綈p B．綈p或q
C．綈q 且p D．q
5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集?UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是______________________．21cnjy.com
7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：www-2-1-cnjy-com
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
答 案
1．选C 由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.21世纪教育网版权所有
2．选D 由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.21教育网
3．选A 命题的否定只否定其结论，为：若a?A，则b?B.故应选A.
4．选C 很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.2·1·c·n·j·y
5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.21·世纪*教育网
答案：p且q p或q 非p
6．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
∵綈p为假，则p为真，
即函数在(－∞，4]上为减函数，
∴－(a－1)≥4，即a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
7．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．www.21-cn-jy.com
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.
法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．【来源：21·世纪·教育·网】
8．解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．
p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，
∴a≥4或a≤－4；
q为真命题时，对称轴x＝－≤3，
∴a≥－12.
当p真q假时，得a<－12；
当p假q真时，得－4综上所述，a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
