课时跟踪训练(一) 归纳与类比
1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n项可能是( )
A．2×10n B．2×10n－1
C．2×10n＋1 D．2×10n－2
12.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )21·cn·jy·com
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5
A．2 B．4
C．6 D．8
3．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
4．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )
5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)21cnjy.com
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．
7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？
8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．21世纪教育网版权所有
答 案
1．选B
2．选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
3．选B 由题意知L2h＝πr2h?L2＝πr2，而L＝2πr，代入得π＝.
4．选A 每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．
5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
答案：①②③
6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.21教育网
答案：2
7．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＝n2(n≥2，n∈N＋)．
8．解：在△DEF中，
由正弦定理，
得＝＝.
于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S－ABC中，
猜想＝＝成立．
课时跟踪训练(七) 计算导数
1．设函数f(x)＝cos x，则′＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．以上均不正确
2．下列各式中正确的是( )
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3x·ln 3
3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值是( )
A．－4 B．4
C．±4 D．不确定
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1
5．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．
6．正弦曲线y＝sin x(x∈(0,2π))上切线斜率等于的点为________________．
7．求与曲线y＝f(x)＝在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．
8．求下列函数的导数：
(1)y＝log2x2－log2x；
(2)y＝－2sin .
答 案
1．选A 注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A.
2．选D 由(logax)′＝，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln 3可知D正确．
3．选B f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.
4．选A 因为y′＝2ax，
所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.
又由题设条件知切线的斜率为2，
即2a＝2，即a＝1，故选A.
5．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.
因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，
即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.
答案：1或－
6．解析：∵y′＝(sin x)′＝cos x＝，
∵x∈(0,2π)，
∴x＝或.
答案：或
7．解：∵y＝，
∴y′＝()′＝(x)′＝x.
∴f′(8)＝·8＝.
即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.
∴适合条件的直线的斜率为－3.
从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)．
即3x＋y－20＝0.
8．解：(1)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
(2)y＝－2sin
＝2sin
＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝cos x.
课时跟踪训练(三) 反 证 法
1．三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？( )
A．三人行，必无我师
B．三人行，均为我师
C．三人行，未尝有我师
D．三人行，至多一人为我师
2．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )21·cn·jy·com
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．已知x>0，y>0，z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
5．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为____________________．www.21-cn-jy.com
6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
7．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，
证明：＝＋不成立．
8．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
答 案
1．选C “必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C.
2．选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
3．选C 因为a，b，c不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a≠c，b≠c，a≠b可以同时成立，所以③错，故选C.21世纪教育网版权所有
4．选C 假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个不小于2.21教育网
5．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0.21cnjy.com
答案：a，b不全为0
6．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
7．证明：假设＝＋成立，则＝＝，
故b2＝ac，又b＝，
所以2＝ac，即(a－c)2＝0，a＝c.
这与a，b，c两两不相等矛盾．
因此＝＋不成立．
8．证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1由于a>1，故y＝ax为增函数，
∴ax10.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝＝>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)法一：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
即ax0＋＝0，则ax0＝－.
∵a>1，当x0<0时，0∴0<－<1，即与假设x0<0相矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．
法二：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
①若－1∴f(x0)<－1，与f(x0)＝0矛盾．
②若x0<－1，则>0,0∴f(x0)>0，与f(x0)＝0矛盾，
故方程f(x)＝0没有负数根．
课时跟踪训练(九) 简单复合函数的求导法则
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
2．函数y＝2的导数为( )
A．2 B．2
C．2· D．2·
3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )21教育网
A．20 mm B．400 mm
C. mm/min D. mm/min
5．若f(x)＝，则f′(0)＝________.
6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
7．设f(x)＝aex＋bln x2，且f′(1)＝e＋1，f′(－1)＝－1，求实数a，b的值．
8．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2－x＋1)4；
(2)y＝；
(3)y＝xln(1－x)．
答 案
1．选A A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.21世纪教育网版权所有
2．选C y′＝2′＝2·.
3．选B y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.21cnjy.com
4．选D f′(t)＝·10＝，
∴f′(40)＝＝.
5．解析：∵f′(x)＝(ex－e－x)，∴f′(0)＝0.
答案：0
6．解析：设切点为(x0，y0)，
则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)，
所以x0＋1＝ln(x0＋a)． ①
对y＝ln(x＋a)求导得y′＝，则＝1，
即x0＋a＝1. ②
②代入①可得x0＝－1，所以a＝2.
答案：2
7．解：f′(x)＝aex＋，
由已知得解得.
8．解：(1)y′＝4(2x2－x＋1)3(2x2－x＋1)′
＝4(2x2－x＋1)3·(4x－1)．
(2)法一：设y＝u，u＝1－2x2，则
y′x＝y′u·u′x＝ (－4x)
＝－(1－2x2) (－4x)
＝2x(1－2x2)
＝ .
法二：y′＝′＝[(1－2x2) ]′
＝－(1－2x2) ·(1－2x2)′
＝2x(1－2x2) ＝ .
(3)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′
＝ln(1－x)＋x·
＝ln(1－x)－.
课时跟踪训练(二) 综合法与分析法
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．21世纪教育网版权所有
其中正确的说法有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
3．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式为( )21教育网
A．a＝b B．a＋b＝1
C．a＋b＝－3 D．a－b＝1
4．已知a，b为正实数，函数f(x)＝x，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )21cnjy.com
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．21·cn·jy·com
6．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P，Q的大小关系是________．
7．阅读下列材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，①
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②
由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③得sin A＋sin B＝2sin cos .
类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：
cos A－cos B＝－2sin sin .
8．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．2·1·c·n·j·y
答 案
1．选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.
2．选C ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
3．选D 要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，
即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2，
即证|a＋1|＝|b＋2|，
即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，
故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．
4．选A 因为函数f(x)＝x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，，的大小，因为≥，两边同乘得：·≥ab，即≥，故≥≥，∴A≤B≤C.www.21-cn-jy.com
5．解析：∵a＋b＋c＝0，a·b＝0，
∴c＝－(a＋b)．
∴|c|2＝(a＋b)2＝1＋b2.
由(a－b)·c＝0，
∴(a－b)·[－(a＋b)]＝－|a|2＋|b|2＝0.
∴|a|2＝|b|2＝1.
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．解析：∵P2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2.
又∵a(a＋7)＝a2＋7a<(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12.
∴P2答案：P7．证明：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②
①－②得
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③得
cos A－cos B＝－2sin sin .
8．证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以
A＋B＋C＝π，②
由①②得，B＝，③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③，可得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
再由④得，a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c.
从而有A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝.
所以△ABC为等边三角形．
课时跟踪训练(五) 变化的快慢与变化率
1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
2．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，为( )
A．从时间t到t＋Δt时物体的平均速度
B．在t 时刻物体的瞬时速度
C．当时间为Δt时物体的速度
D．在时间t＋Δt时物体的瞬时速度
3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是( )21世纪教育网版权所有
A．4 B．13
C．15 D．28
4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )21教育网
A．2 B．1
C. D.
5．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为________．
6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．
7．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率.
8．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：
s＝求：
(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
答 案
1．选A ＝＝＝2.1.
2．选B 中Δt趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度．
3．选C Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.
∴＝＝15.
4．选C 因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt无限趋近于0时，＋Δt无限趋近于，因此t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为，故选C.21cnjy.com
5．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝Δx－6.
答案：Δx－6
6．解析：因为＝＝＝－，
当Δt→0时，→－，所以质点在t＝2时的速度为－.
答案：－
7．解：f(x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x＋3×x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
∴＝＝21.
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，
Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
∴＝＝19.2.
8．解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝＝3Δt－18，
当Δt趋于0时，趋于－18，
∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝＝3Δt－12，
当Δt趋于0时，趋于－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.
课时跟踪训练(八) 导数的四则运算法则
1．若f′(x)＝f(x)，且f(x)≠0，则f(x)＝( )
A．ax B．logax
C．ex D．e－x
2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( )21世纪教育网版权所有
A．甲大 B．乙大
C．相等 D．无法比较
3．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )21cnjy.com
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
4．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
5．函数y＝x的导数为________．
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.www.21-cn-jy.com
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(＋1)；
(2)y＝xtan x；
(3)y＝x－sin cos ；
(4)y＝3ln x＋ax(a>0，且a≠1)．
8．设f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
答 案
1．选C
2．选B v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．21教育网
3．选B 设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2.21·cn·jy·com
4．选A y′＝′＝
＝＝.
5．解析：y＝x＝x3＋1＋，y′＝3x2－.
答案：3x2－
6．解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，
则f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－.
答案：－
7．解：(1)∵y＝·－＋－1＝－＋，
∴y′＝′＝－＋
＝－.
(2)y′＝(xtan x)′＝′
＝
＝＝.
(3)y′＝′＝′
＝1－cos x.
(4)y′＝(3ln x＋ax)′＝＋axln a.
8．解：∵f(x)＝a·ex＋bln x，
∴f′(x)＝a·ex＋，
根据题意应有
解得
所以a，b的值分别是1,0.
课时跟踪训练(六) 导数的概念及其几何意义
1．函数y＝f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为( )
A．－3 B．－2
C．－5 D．－1
2．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
3．已知曲线C：y＝x3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C相切的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
4．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．
6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝________.21教育网
7．已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝上．求：
(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
8．求与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线方程？
答 案
1．选A Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3，Δx趋于0时，趋于－3.
2．选A f′(2)＝
＝ ＝1，
∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1·(x－2)，
即x－y－1＝0.故选A.
3．选B 由y＝x3得＝＝＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，则y′＝li[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，由3x2＝3，得x＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C相切的直线，故选B.21世纪教育网版权所有
4．选B 由图像易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA5．解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
6．解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
7．解：(1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝，得t＝1，
∴f(x)＝.
∴f′(2)＝
＝
＝＝1，
曲线在点P处的切线斜率为1.
(2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
8．解：设切点为P(x0，y0)，可得所求切线的斜率
k＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
又直线x＋2y＋1＝0的斜率为－，由所求切线与该直线垂直得(2x0)·＝－1，
得x0＝1，则y0＝x＝1，
所以所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
课时跟踪训练(十一) 函数的极值
1．函数y＝2x3－3x2的极值情况为( )
A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值
B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值
C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1
D．以上都不对
2．函数y＝ax＋ln(1－x)在x＝0时取极值，则a的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．不存在
3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则( )
A．0C．b>0 D．b<
4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图像的一部分如图所示，则正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．21·cn·jy·com
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
7．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；
(2)f(x)＝x3ex.
8．已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
答 案
1．选C 因为y＝2x3－3x2，
所以y′＝6x2－6x＝6x(x－1)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝1.
令y＝f(x)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以，当x＝0时，函数y＝2x3－3x2取得极大值0；
当x＝1时，函数y＝2x3－3x2取得极小值－1.
2．选B y′＝a＋＝(x<1)，
由题意得x＝0时y′＝0，即a＝1.
检验：当a＝1时y′＝，当x<0时y′>0，
当03．选A f′(x)＝3x2－3b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴04．选D 由题图可知，
当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；
当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.
故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．
5．解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
答案：3
6．解析：由图像可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．21cnjy.com
答案：②③④
7．解：(1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，
∴f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化，如表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．
∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5.
(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
?
极小值
?
无极值
?
由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．
f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．
8．解：∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)
＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝时，函数取得极大值f＝；
当x＝时，函数取得极小值f＝0.
(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝时，函数取得极大值f＝0；
当x＝时，函数取得极小值f()＝.
综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝，在x＝处取得极小值f＝0；
当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝0，在x＝处取得极小值f＝.
课时跟踪训练(十七) 数系的扩充与复数的引入
1．复数1＋i2的实部和虚部分别是( )
A．1和i B．i和1
C．1和－1 D．0和0
2．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．－1 B．1
C．±1 D．－1或－2
4．已知虚数z＝x＋yi的模为1(其中x，y均为实数)，则的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
5．(湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.21教育网
6．如果(m2－1)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．
7．已知复数z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，当实数m为何值时，①z是实数；②z＝4＋6i；③z对应的点在第三象限？21·cn·jy·com
8．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
答 案
1．选D ∵1＋i2＝1－1＝0，故选D.
2．选D ∵0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
3．选B ∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴
由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.
4．选B ∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1.设k＝，则k为过圆x2＋y2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k≤＝.
又∵z为虚数，∴y≠0，∴k≠0.
又由对称性可得k∈∪.
5．解析：由复数的几何意义知，z1，z2的实部，虚部均互为相反数，故z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
6．解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，
可知(m2－1)＋(m2－2m)i应为实数，得
解得m＝2.
答案：2
7．解：z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i.
①令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，
即m＝3或m＝－2时，z为实数．
②?m＝4.
即m＝4时z＝4＋6i.
③若z所对应的点在第三象限，
则?0即08.解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，则向量，，如图所示．21世纪教育网版权所有
|z1|＝ ＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝ ＝1.
∴在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．21cnjy.com
课时跟踪训练(十三) 最大值、最小值问题
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
3．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为( )
A. B.
C．[1，e] D.(1，e)
4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )21教育网
A. B.
C.d D.d
5．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．21cnjy.com
6．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.2·1·c·n·j·y
7．求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值．
8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．21·cn·jy·com
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．21世纪教育网版权所有
答 案
1．选A
2．选B f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
3．选A f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，
∴f(x)在上是增函数．
∴f(x)的最大值为f＝e，
f(x)的最小值为f(0)＝.
4．选C 设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，00，f(x)单调递增；当d5．解析：f′(x)＝(ex－e－x)，令f′(x)＝0，∴x＝0，
可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，
∴切线方程为y＝1.
答案：y＝1
6．解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，www.21-cn-jy.com
故M－m＝32.
答案：32
7．解：∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，【来源：21·世纪·教育·网】
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.21·世纪*教育网
8．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
课时跟踪训练(十二) 实际问题中导数的意义
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )21教育网
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
2．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的高度变化的速度是( )21cnjy.com
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是( )
A．6 B．9
C．9π D．6π
4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是______________________．21·cn·jy·com
6．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________m/s2.www.21-cn-jy.com
7．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋＋(元)．
(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义．
8．江轮逆水上行300 km，水速为6 km/h，船相对于水的速度为x km/h，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x2 L，即与船相对于水的速度的平方成正比．
(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：y＝f(x)；
(2)求f′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．
答 案
1．选C s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.
2．选C ∵h′＝－200t＋800，
∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
3．选D ∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.
4．选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
5．4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度
6．解析：v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，
∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
答案：14
7．解：(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．
此时总成本c关于产量x的平均变化率为
＝＝4.3(元/件)，
它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元．
(2)c′(x)＝＋，于是c′(200)＝＋4＝4.1(元/件)．
它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．
8．解：(1)船的实际速度为(x－6)km/h，
故全程用时 h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝＝(x>6)．
(2)f′(x)＝3·＝，
f′(36)＝＝2.88，
f′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时耗油量增加的速度为2.88 ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.88 L.21世纪教育网版权所有
课时跟踪训练(十五) 微积分基本定理
1．下列积分值等于1的是( )
A.xdx B.(x＋1)dx
C.1dx D.dx
2．(福建高考)(ex＋2x)dx＝( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
3.|x2－4|dx＝( )
A. B.
C. D.
4．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
5．若x2dx＝18(a>0)，则a＝________.
6．(陕西高考)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
7．求下列定积分：
(1)dx；
(2)sindx.
8．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B站前的D点这段路程做匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离．
答 案
1．选C 1dx＝x＝1.
2．选C (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－e0＝e.
3．选C |x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝＋＝，故选C.21教育网
4．选B F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0，得x＝0或4，列表如下：21cnjy.com
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
F′(x)
＋
0
－
0
＋
F(x)
?
极大值
?
极小值
?
可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.又F(－1)＝－，F(5)＝－，所以最大值为0，最小值为－.21世纪教育网版权所有
5．解析：x2dx＝＝－＝18?a＝3.
答案：3
6．解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝1，得a＝1.
答案：1
7．解：(1)dx
＝(2x＋＋1)dx
＝2xdx＋dx＋1dx
＝x2＋ln x＋x
＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1
＝4＋ln 2.
(2)∵sin(x＋)＝
＝sin x＋cos x，
(－cos x＋sin x)′＝sin x＋cos x，
∴sin(x＋)dx＝(sin x＋cos x)dx
＝(－cos x＋sin x)
＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.
8．解：(1)设从A到C的时间为t1 s，则1.2t1＝24，解得t1＝20，
则AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
即A，C间的距离为240 m.
(2)设从D到B的时间为t2 s，则24－1.2t2＝0，
解得t2＝20，
则BD＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
即B，D间的距离为240 m.
课时跟踪训练(十八) 复数的四则运算
1．(1＋2i)＋－＝( )
A．－2i B．2－2i
C．2＋2i D．2
2．已知a为正实数，i为虚数单位，若的模为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
3．计算：＋＝( )
A．0 B．1
C．i D．2i
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
5．(天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
6．若复数z满足z－(1＋z)i＝1，则z＋z2＝________.
7．计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2).
8．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？
答 案
1．选B 原式＝＋i＝2－2i.
2．选B 因为＝1－ai，所以 ＝2，又a>0，故a＝.故选B.
3．选D ＋＝3＋
＝i＋i＝2i.故选D.
4．选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.21世纪教育网版权所有
5．解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.21教育网
答案：1＋2i
6．解析：由题得z－i－zi－1＝0，
则z＝＝－＋i，
所以z＋z2＝－＋i＋2＝－1.
答案：－1
7．解：(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)
＝－20＋16i.
(2)＝＝＝1－i.
8．解：(1)由已知得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3即当－3课时跟踪训练(十六) 定积分的简单应用
1．曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积是( )
A．4π B.
C．3π D．2π
2．如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( )
A．0.18 J B．0.26 J
C．0.12 J D．0.28 J
3．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为( )
A．2 B.
C. D.
4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
5．如图是一个质点做直线运动的v -t图像，则质点在前6 s内的位移为________．
6．(福建高考)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．21世纪教育网版权所有
7．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．
8．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
答 案
1．选D 如图，求曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π围成的矩形的面积．故选D.21教育网
2．选A 设F(x)＝kx，当F＝1 N时，x＝0.01 m，
则k＝100.W＝100xdx＝50x2＝0.18 (J)．
3．选A S＝－(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx
＝－＋
＝＋＝2.
4．选C 阴影部分的面积为(－x)dx＝＝，故所求的概率P＝＝，故选C.
5．解析：直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－x＋9，故质点在前6 s内的位移为x dx＋dx＝x2＋＝6＋3＝9(m)．
答案：9 m
6．解析：因为函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为
2(e×1－exdx)＝2e－2ex＝2e－(2e－2)＝2，
由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率P＝＝.
答案：
7.解：由y′＝－2x＋4得在点A，B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，21cnjy.com
由得两直线交点坐标为C(2，2)，
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
8．解：作出y＝x2－2x的图像，如图所示．
①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，
∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，
若0∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a>0，∴a＝2.
若a>2，不合题意，
综上a＝－1或2.
课时跟踪训练(十四) 定积分的概念
1．下列等式不成立的是( )
A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C.f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D.sin xdx＝sin xdx＋sin xdx
2．定积分(－3)dx＝( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
3．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )21世纪教育网版权所有
A．e2,0 B．2,0
C．2,1 D．1,0
4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )21教育网
A. B.
C. D.
5．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝________.
6．计算dx＝________.
7．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，
求(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.
8．已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
答 案
1．选C 由定积分的性质知选项A，B，D正确，故选C.
2．选A 3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，
(－3)dx＝－3dx＝－6.
3．选B 解方程组
可得
所以积分上限为2，积分下限为0.
4．选A 将区间[0,1]三等分为，，，
各小矩形的面积和为
s1＝03·＋3·＋3·＝＝.
5．解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.
答案：36
6．解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB＝，∠AOB＝，故S阴＝×4π－×1×＝－.21cnjy.com
答案：－
7．解：(1)3x3dx＝3x3dx
＝3
＝3＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx＝6
＝6＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx
＝3×－2×＝－.
8.解：由定积分的几何意义知
xdx＝×2×2＝2，
(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，
dx＝×2×1＝1，
∴f(x)dx＝xdx＋(4－x)dx＋dx＝2＋＋1＝.
课时跟踪训练(十) 导数与函数的单调性
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
2．当x>0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是( )
A．(2，＋∞) B．(0,2)
C．(，＋∞) D．(0，)
3．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，2]
4．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)5．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________．
6．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________．
7．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
8．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调性．
答 案
1．选D f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得02．选D f′(x)＝1－＝＝.
由f′(x)<0且x>0得03．选A 根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．21教育网
4．选A 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)5．解析：令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<.
又x∈(0，π)，解得所以函数在(0，π)上的单调递增区间为.
答案：
6．解析：令f′(x)＝－1>0，解不等式得0答案：(0,1)
7．解：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，
当x∈时f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
函数有单调递增区间，即在内，导函数大于零有解，令＋2a>0，得a>－.
所以当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间．
8．解：f′(x)＝＋2x，
依题意，有f′(－1)＝0，故a＝.
从而f′(x)＝＝.
则f(x)的定义域为.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0.
从而f(x)分别在区间，上是增加的，在区间上是减少的．
课时跟踪训练(四) 数学归纳法
1．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0＝( )
A．1 B．3
C．5 D．7
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)
3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为( )21cnjy.com
A．增加
B．增加＋
C．增加＋，减少
D．增加，减少
5．用数学归纳法证明
1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以，当n＝k＋1时等式成立．
由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．
上述证明的错误是________．
6．用数学归纳法证明＋＋…＋＝，推证当n＝k＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．
7．数列{an}满足an>0(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和，并且满足Sn＝，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．21教育网
8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)．
答 案
1．选C n的取值与2n，n2的取值如下表：
n
1
2
3
4
5
6
……
2n
2
4
8
16
32
64
……
n2
1
4
9
16
25
36
……
由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4，即n≥5时，恒有2n>n2.
2．选B 因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
3．选C 凸n边形有f(n)条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n－2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)比f(n)多n－1条．21世纪教育网版权所有
4．选C 当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.21·cn·jy·com
5．解析：当n＝k＋1时正确的解法是
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，
即一定用上第二步中的假设．
答案：没有用上归纳假设进行递推
6．解析：当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝＋，故只需证明＋＝即可．
答案：＋＝
7．解：由an>0，得Sn>0，
由a1＝S1＝，整理得a＝1，
取正根得a1＝1，所以S1＝1.
由S2＝及a2＝S2－S1＝S2－1，
得S2＝，
整理得S＝2，取正根得S2＝.
同理可求得S3＝.
由此猜想Sn＝.
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即Sk＝.
那么，当n＝k＋1时，
Sk＋1＝＝＝.
整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝.
即当n＝k＋1时，结论也成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，Sn＝都成立．
8．解：(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，
且≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(n∈N＋)时，
命题成立，
即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋…＋
<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立．
