课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )21cnjy.com
A．37种 B．1 848种
C．3种 D．6种
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，其中虚数有【来源：21·世纪·教育·网】
( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )
A．756种 B．56种
C．28种 D．255种
A
B
C
D
4.用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )www.21-cn-jy.com
A．12种 B．24种
C．48种 D．72种
5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．21·世纪*教育网
6．如图，A→C，有________种不同走法．
7．设椭圆＋＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．
(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
答案
1．选A 根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．
2．选C 完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部 b 有6种选法；第二步，实部 a 有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数 6×6＝36 个．21·cn·jy·com
3．选D 推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．
4．选D 先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．
由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．
5．解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．
答案：72
6．解析：A→C的走法可分两类：
第一类：A→C，有2种不同走法；
第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．
根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．
答案：6
7．解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．
∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．21教育网
(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：
a
2
3
4
5
b
1
1,2
1,2,3
1,2,3,4
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
8．解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：21世纪教育网版权所有
第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．2·1·c·n·j·y
因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．
课时跟踪训练(七) 二项式定理
1．(x－2y)7的展开式中的第4项为( )
A．－280x4y3 B．280x4y3
C．－35x4y3 D．35x4y3
2．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
3．(大纲全国卷)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84
C．112 D．168
4．已知n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
5．(安徽高考)若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
6．(浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
7.n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．
8．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
答案
1．选A (x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝Cx4(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3.
2．选D Tk＋1＝C·x10－k(－)k，令10－k＝6，知k＝4，∴T5＝Cx6(－)4，即x6的系数为9C.21世纪教育网版权所有
3．选D 在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168，故选D.21教育网
4．选B n的展开式的通项Tr＋1＝C2n－rx3n－4r，由r＝6时，3n－4r＝0.得n＝8.
5．解析：二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.21cnjy.com
答案：
6．解析：Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.21·cn·jy·com
答案：－10
7．解：由题意知，C＝C.
∴n＝17.
∴Tr＋1＝Cx·2r·x－＝C·2r·x－.
∴－＝1.
解得r＝9.
∴Tr＋1＝C·x4·29·x－3，
即T10＝C·29·x.
其一次项系数为C·29.
8．解：法一：利用二项式的展开式解决．
(1)8＝(2x2)8－C(2x2)7·＋C(2x2)6·2－C(2x2)5·3＋C(2x2)4·4－C(2x2)3·5＋C(2x2)2·6－C(2x2)·7＋C8，
则第5项的二项式系数为C＝70，第5项的系数C·24＝1 120.
(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C·(2x2)2·6＝112x2.
法二：利用二项展开式的通项公式．
(1)T5＝C(2x2)8－4·4＝C·24·x，
则第5项的二项式系数是C＝70，
第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
课时跟踪训练(三) 排列的应用
1．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为( )
A．A B．3A
C．A·A D．A·A
2．(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )21*cnjy*com
A．24 B．18
C．12 D．6
3．由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )21·世纪*教育网
A．56个 B．57个
C．58个 D．60个
4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
5．(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)21世纪教育网版权所有
6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．
7．由A，B，C等7人担任班级的7个班委．
(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？
8．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？www.21-cn-jy.com
答案
1．选D 甲、乙、丙3人站在一起有A种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A种，共有A·A种．21·cn·jy·com
2．选B 若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.2·1·c·n·j·y
3．选C 首位为3时，有A＝24个；
首位为2时，千位为3，则有AA＋1＝5个，千位为4或5时有AA＝12个；
首位为4时，千位为1或2有AA＝12个，千位为3时，有AA＋1＝5个．
由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．
4．选D 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.21教育网
5．解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A种不同的方法．故所有不同的排法共有A·A＝24×20＝480(种)．【来源：21·世纪·教育·网】
法二：6人排成一行，所有不同的排法有A＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有AA＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．
答案：480
6．解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A种方法．由分步乘法计数原理知共有3A＝18种方法．21cnjy.com
答案：18
7．解：(1)先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，共有AA＝720种分工方案．www-2-1-cnjy-com
(2)7人的任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A－AA＝3 600种．
8.解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有＝2 520种．2-1-c-n-j-y
课时跟踪训练(九) 离散型随机变量及其分布列
1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( )21世纪教育网版权所有
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色种数
2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( )
A．25 B．10
C．9 D．5
3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝( )
A．3 B．4
C．10 D．不确定
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为( )21教育网
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
5．随机变量Y的分布列如下：
Y＝yi
1
2
3
4
5
6
P(Y＝yi)
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________；
(3)P(1＜Y≤4)＝________.
6．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，其中C为常数，则P(X≥2)＝________.21cnjy.com
7．若离散型随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
(X＝xi)
9a2－a
3－8a
求常数a及相应的分布列．
8．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设X＝m2，求X的分布列．
答案
1．选D A，B不能一一列举，不是离散型随机变量，而C是常量，是个确定值，D可能取1,2,3，是离散型随机变量．21·cn·jy·com
2．选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3．选C ∵X等可能取1,2,3，…，n，
∴X的每个值的概率均为.
由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，
∴n＝10.
4．选A Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝.
5．解析：(1)由i＝1，∴x＝0.1.
(2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)
＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.
(3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)
＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.
答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.55
6．解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，∴C＝.
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
答案：
7．解：由离散型随机变量的性质得
解得a＝，或a＝(舍)．
所以随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
P(X＝xi)
8．解：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．www.21-cn-jy.com
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以X＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝.
故X的分布列为
X＝i
0
1
4
9
P(X＝i)
课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式
1．5A＋4A等于( )
A．107 B．323
C．320 D．348
2.等于( )
A. B.
C. D.
3．设a∈N＋，且a<27，则(27－a)(28－a)·…·(34－a)等于( )
A．A B．A
C．A D．A
4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )
A．16种 B．6种
C．15种 D．12种
5．已知9！＝362 880，那么A＝________.
6．给出下列问题：
①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？
④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？
上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)
7．(1)计算；
(2)解方程3A＝4A.
8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．21世纪教育网版权所有
答案
1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
2．选C ＝＝.
3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.
4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A＝12种方案．
5．解析：A＝＝＝181 440.
答案：181 440
6．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．21教育网
答案：②③
7．解：(1)原式＝＝＝＝.
(2)由3A＝4A，得＝，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.
8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A＝4×3×2＝24种不同的分法．
不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：
由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
课时跟踪训练(五) 组合的应用
1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为( )www.21-cn-jy.com
A．81 B．60
C．6 D．11
2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )
A．6个 B．12个
C．18个 D．30个
3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )21世纪教育网版权所有
A．85 B．56
C．49 D．28
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )21教育网
A．10 B．11
C．12 D．15
5．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)【来源：21·世纪·教育·网】
6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答)
7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
答案
1．选A 分三类：
恰有2件一等品，有CC＝60种取法；
恰有3件一等品，有CC＝20种取法；
恰有4件一等品，有C＝1种取法．
∴抽法种数为60＋20＋1＝81.
2．选B 从6个顶点中任取4个有C＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．21cnjy.com
3．选C 由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C·C＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C·C＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．
4．选B 与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C＝6个；
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C＝1个．
∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．
5．解析：第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC＝60种情况．
答案：60
6．解析：分两类完成：
第一类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同的选修方案；
第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．
故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．
答案：75
7．解：(1)有C＝220种抽法．
(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，
所以共有CC＝90种抽法．
(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有CC＋CC＝100种抽法．21·cn·jy·com
法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种方法，所以共有C－C＝100种抽法．2·1·c·n·j·y
8．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，
所以选取种数为N＝C＝45(种)，
即4只鞋子恰成双有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
课时跟踪训练(八) 二项式系数的性质
1．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是( )
A．－2 048 B．－1 023
C．－1 024 D．1 024
2．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
4．在4的展开式中各项系数之和是16.则a的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．－1或3
5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．21世纪教育网版权所有
6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________．
7．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
8．对二项式(1－x)10，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项．
(2)求展开式中各二项式系数之和．
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
答案
1．选C 令f(x)＝(x－1)11，偶次项系数之和是＝＝－1 024.
2．选C 由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有x＝5，n＝4适合．21教育网
3．选B 由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk
＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．
由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20.
4．选D 由题意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，
解得a＝－1或a＝3.
5．解析：令x＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.21cnjy.com
答案：－2
6．解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4·(2－)4＝1.
答案：1
7．解：由题意知C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C＝121，
∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0，
解得n＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项．
且T8＝C(3x)7＝C37x7，
T9＝C(3x)8＝C38x8.
8．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，
T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)C＋C＋C＋…＋C
＝210＝1 024.
(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.
令x＝0，得a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
课时跟踪训练(六) 简单计数问题
1．从4名男生和3名女生中选3人分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派的方案共有( )21世纪教育网版权所有
A．108种 B．186种
C．216种 D．270种
2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )21教育网
A．CA B．CA
C．CA D．CA
3．(大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )21·cn·jy·com
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有
( )
A．40种 B．50种
C．60种 D．70种
5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．
6.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．www.21-cn-jy.com
7．如图，在∠AOB的两边上，分别有3个点和4个点，连同角的顶点共8个点．这8个点能作多少个三角形？2·1·c·n·j·y
8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．
答案
1．选B (1)直接法：从4名男生和3名女生中选出3人，至少有1名女生的选派方案可分为三类：①恰好有1名女生，2名男生，有CCA种方法；②恰好有2名女生，1名男生，有CCA种方法；③恰好有3名女生，有CA种方法；由分类加法计数原理得共有CCA＋CCA＋CA＝186种不同的选派方案．21cnjy.com
(2)间接法：从全部方案数中减去只派男生的方案数，则有A－A＝186种不同的选派方案．
2．选C 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是CA.
3．选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A×2＝12种排列方法．【来源：21·世纪·教育·网】
4．选B 先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．
5．解析：有两种满足题意的放法：
(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有CC种放法；
(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有CC种放法．
综上可得，不同的放球方法共有CC＋CC＝10种．
答案：10
6．解析：区域5有4种种法，区域1有3种种法，区域4有2种种法，若1,3同色，区域2有2种种法，或1,3不同色，区域2有1种种法，所以共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种不同的种法．21·世纪*教育网
答案：72
7．解：从8个点中，任选3点共有C种选法，其中有一个5点共线和4点共线，故共有C－C－C＝42个不同的三角形．www-2-1-cnjy-com
8．解：(1)分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C种方法；
第三步：把剩下的书给丙，有C种方法．
∴共有不同的分法为CCC＝1 260种．
(2)分两步完成：
第一步：按4本、3本、2本分成三组有CCC种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法．
∴共有CCCA＝7 560种．
课时跟踪训练(十一) 条件概率与独立事件
1．抛掷一颗骰子一次，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是( )www.21-cn-jy.com
A．相互互斥事件
B．相互独立事件
C．既相互互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不独立事件
2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为( )2·1·c·n·j·y
A. B.
C. D.
3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．21·世纪*教育网
6．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．21*cnjy*com
7．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
8．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：21世纪教育网版权所有
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对密码的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对密码的概率．
答案
1．选B A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A与B是相互独立事件．21教育网
2．选B 由题意知：P(AB)＝，P(B|A)＝，
∴P(A)＝＝＝.
3．选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率公式，得21cnjy.com
P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.
4．选D 设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.又A，B相互独立，则，也相互独立，则P( )＝P()P()＝×＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P( )＝.2-1-c-n-j-y
5．解析：甲、乙两人都未能解决为
＝×＝，
问题得到解决就是至少有1 人能解决问题．
∴P＝1－＝.
答案：
6．解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，
B＝{选出的4个球中最大号码为6}，依题意可知
n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6，
∴P(B|A)＝＝＝.
答案：
7．解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A，“从1号箱中取出的是红球”为事件B.
P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
(1)P(A|B)＝＝，
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
8．解：(1)设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)，则事件A＝A1＋(1A2)表示不超过2次就按对密码．21·cn·jy·com
因为事件A1与1A2互斥，由概率加法公式，得
P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.
(2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件，
则A|B＝A1|B＋(1A2)|B.
∴P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)
＝＋＝.
课时跟踪训练(十七) 独立性检验
1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝算得，
χ2＝≈7.8.
附表：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
2．下面是2×2列联表：
y
x
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则表中a，b处的值分别为( )
A．94、96 B．52、50
C．52、54 D．54、52
3．高二第二学期期中考试，对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量χ2的值为( )21·世纪*教育网
班级与成绩统计表
优秀
不优秀
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) www.21-cn-jy.com
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
5．在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2>3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当χ2>6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病关系的调查中，共调查了2 000人，经计算得χ2＝20.87，根据这一数据分析，下列关于打鼾与患心脏病之间关系的说法，正确的是________．21教育网
①有95%的把握认为两者有关；
②约有95%的打鼾者患心脏病；
③有99%的把握认为两者有关；
④约有99%的打鼾者患心脏病．
6．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：21·cn·jy·com
死亡
存活
总计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
总计
20
30
50
在研究小白鼠的死亡与剂量是否有关时，根据以上数据求得χ2＝________.
7．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差
总计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚的
22
73
95
总计
86
103
189
判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
8．现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”的赞成人数如下表：
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异；
月收入不低于5 500元
月收入低于5 500元
总计
赞成
不赞成
总计
(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．21世纪教育网版权所有
答案
1．选C 因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．
2．选C a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故选C.
3．选A 随机变量χ2＝≈0.600，故选A.
4．选D 因为χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
则有χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别关联的可能性最大．
5．解析：χ2＝20.87>6.635，有99%的把握说明两个事件有关，但只是估计，不能肯定什么．
答案：③
6．解析：χ2＝≈5.333.
答案：5.333
7．解：由公式求得χ2＝≈38.459.
∵38.459>6.635，
∴有99%的把握认为数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣有关．
8．解：(1)由题意得2×2列联表：
月收入不低于5 500元
月收入低于5 500元
总计
赞成
3
29
32
不赞成
7
11
18
总计
10
40
50
假设月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：21cnjy.com
χ2＝≈6.272<6.635，
所以没有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异．2·1·c·n·j·y
(2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人赞成，3人不赞成，设至少有一个不赞成楼市限购政策为事件A，则P(A)＝1－＝.故所求概率为.【来源：21·世纪·教育·网】
课时跟踪训练(十三) 离散型随机变量的均值
1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83
C．3 D．2.4
2．已知离散型随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量Y＝2X＋1，则Y的数学期望为( )
A．1.1 B．3.2
C．11k D．33k＋1
3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最大号码，则EX＝( )21世纪教育网版权所有
A．4 B．5
C．4.5 D．4.75
4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX＝( )
A. B.
C. D.
5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．
6．某射手射击所得环数X的分布列如下
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知EX＝8.9，则y的值为________．
7．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．21cnjy.com
表一
工序
概率
产品
第一道工序
第二道工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
0.8
表二
等级
利润
产品
一等
二等
甲
5(万元)
2.5(万元)
乙
2.5(万元)
1.5(万元)
(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；21教育网
(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．www.21-cn-jy.com
8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立．21·cn·jy·com
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
答案
1．选D 射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝3×0.8＝2.4.2·1·c·n·j·y
2．选B 由题意知，0.3＋3k＋4k＝1，
∴k＝0.1.EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，
∴EY＝E(2X＋1)＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2.
3．选C X的取值为5,4,3.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴EX＝5×＋4×＋3×＝4.5.
4．选B 由题意知X可能为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，【来源：21·世纪·教育·网】
P(X＝3)＝，EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，故选B.21·世纪*教育网
5．解析：设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N＝10，M＝3，n＝2.
∴EX＝n·＝2×＝.
答案：
6．解析：由
解得y＝0.4.
答案：0.4
7．解：(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，
P乙＝0.75×0.8＝0.6.
(2)随机变量X，Y的分布列是
X
5
2.5
P
0.68
0.32
Y
2.5
1.5
P
0.6
0.4
EX＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，
EY＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.
所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．
8．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，www-2-1-cnjy-com
由题意知，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
又P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
课时跟踪训练(十二) 二项分布
1．若X～B，则P(X＝2)＝( )
A. B.
C. D.
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为( )2·1·c·n·j·y
A. B.
C. D.
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
4．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X，若甲先投，则P(X＝k)等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．0.6k－1×0.4 B．0.24k－1×0.76
C．0.4k－1×0.6 D．0.76k－1×0.24
5．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________．21·世纪*教育网
7．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：www.21-cn-jy.com
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率．
8．(四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.21世纪教育网版权所有
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列．
答案
1．选D ∵X～B，
∴P(X＝2)＝C24＝.
2．选A 事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝.所以1－p＝，p＝.21教育网
3．选A 至少有2次击中目标包含以下情况：
只有2次击中目标，此时概率为
C×0.62×(1－0.6)＝，
3次都击中目标，此时的概率为C×0.63＝，
∴至少有2次击中目标的概率为＋＝.
4．选B 甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，21cnjy.com
则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76.
所以P(X＝k)的概率是前k－1轮两人均未中，第k轮时至少有一人中，则P(X＝k)＝0.24k－1×0.76.21·cn·jy·com
5．解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
∴P(X≥1)＝1－P(X<1)
＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2
＝1－(1－p)2.
由P(X≥1)＝，得1－(1－p)2＝，
结合0
答案：
6．解析：每粒种子的发芽概率为，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：C22＝.www-2-1-cnjy-com
答案：
7．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为2-1-c-n-j-y
P1＝××××＝；
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X～B(5，)，故所求其概率为
P(X＝3)＝C×3×2＝.
8．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.
(2)由题意，P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以，随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
课时跟踪训练(十五) 正态分布
1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有21cnjy.com
( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
2．已知X～N(0,62)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.6 D．0.8
3．在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )
A．70个 B．100个
C．30个 D．60个
4．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0A．0.021 5 B．0.723
C．0.215 D．0.64
5．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．21世纪教育网版权所有
6．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.21·cn·jy·com
7．设X～N(0,1)．
(1)求P(－1(2)求P(08．某厂生产的T型零件的外直径X～N(10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．www.21-cn-jy.com
答案
1．选A 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，μ1<μ2，σ1<σ2.21教育网
2．选A 由正态分布曲线的性质知P(0≤X≤2)＝0.4，
∴P(－2≤X≤2)＝0.8，∴P(X>2)＝(1－0.8)＝0.1.
3．选C 正态总体N(μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时．不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右．
4．选A 由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3,1)．
P(μ－3σP(μ－2σP(0∴P(05．解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.所以k＝2.2·1·c·n·j·y
答案：2
6．解析：∵P(X>2)＝0.023，∴P(X<－2)＝0.023，
故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝0.954.
答案：0.954
7．解：(1)X～N(0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，
所以P(－1(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线f(x)关于直线x＝0对称，所以
P(08．解：∵X～N(10,0.22)，
∴μ＝10，σ＝0.2.
∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，
μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.
∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，
∴该厂全天的生产状况是正常的．
课时跟踪训练(十六) 回归分析
1．(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：21教育网
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
2．(湖北高考)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
3．(湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
5．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中m的值为________.21·cn·jy·com
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
6．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：www.21-cn-jy.com
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销售量y(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程y＝a＋bx中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________件．
7．某种产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据(单位：万元).
x(万元)
2
4
5
6
8
y(万元)
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归方程；
(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y的值．
8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b ；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
答案
1．选D 并能判断正相关和负相关．①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．21cnjy.com
2．选B 由表中数据画出散点图，如图，
由散点图可知b<0，a>0，选B.
3．选D 由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．
4．选B 样本中心点是(3.5,42)，
则a＝－b＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归直线方程是y＝9.4x＋9.1，
把x＝6代入，得y＝65.5.
5．解析：＝＝4.5，
＝＝，
又(，)在线性回归方程上，
∴＝0.7×4.5＋0.35，∴m＝3.
答案：3
6．解析：＝(17＋13＋8＋2)＝10，
＝(24＋33＋40＋55)＝38.
由线性回归方程过(，)知，
38＝a＋－2×10，∴a＝58.
∴y＝58＋－2x，∴当x＝6时，y＝46.
答案：46
7．解：(1)作出散点图如下图．
(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x，y之间具有线性相关关系．
由表中的数据可知，
＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，
＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.
所以b＝＝6.5，
a＝－b＝50－6.5×5＝17.5，
因此线性回归方程为y＝17.5＋6.5x.
(3)x＝10时，y＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)．
即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．
8．解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－202＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
课时跟踪训练(十四) 离散型随机变量的方差
1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为( )
A. B.
C. D.
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝(k＝1,2,3)，则D(3X＋5)＝( )
A．6 B．9
C．3 D．4
3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．EX＝0，DX＝1
B．EX＝，DX＝
C．EX＝0，DX＝
D．EX＝，DX＝1
4．若随机变量X的分布列为P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝b.若EX＝，则DX等于( )
A. B.
C. D.
5．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．
6．变量X的分布列如下：
X＝k
－1
0
1
P(X＝k)
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若EX＝，则DX的值为________．
7．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；21世纪教育网版权所有
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．
8．(浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．21教育网
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；21cnjy.com
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.21·cn·jy·com
答案
1．选B 由X～B，∴DX＝3××＝.
2．选A EX＝(1＋2＋3)×＝2，
∵Y＝3X＋5可能取值为8,11,14，其概率均为，
∴EY＝8×＋11×＋14×＝11.
∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×＋(11－11)2×＋(11－14)2×＝6.
3．选A EX＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，
DX＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.
4．选D 由题意，得
∴a＝，b＝.
DX＝2×＋2×＝.
5．解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是，∴EX＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.www.21-cn-jy.com
答案：8.5
6．解析：由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c.
又∵a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.
又∵EX＝－a＋c＝，∴a＝，c＝.
∴DX＝2×＋2×＋2×＝.
答案：
7．解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．
(2)X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为
EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为
DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7
＝44.
8．解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝2·＋2·＋2·＝.
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
课时跟踪训练(十) 超几何分布
1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( )
A. B.
C. D.
2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则是表示的概率是( )21教育网
A．P(X＝2) B．P(X＝3)
C．P(X≤2) D．P(X≤3)
4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为( )
A. B.
C．1－ D.
5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．21cnjy.com
6．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．21·cn·jy·com
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．www.21-cn-jy.com
8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．
答案
1．选B 设X表示2名代表中有甲的个数，X的可能取值为0,1，
由题意知X服从超几何分布，其中参数为N＝6，M＝1，n＝2，
则P(X＝1)＝＝.
2．选A 黑球的个数X服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P(X ≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.2·1·c·n·j·y
3．选B 6人中“三好生”的人数X服从超几何分布，其中参数为N＝12，M＝5，n＝6，所以P(X＝3)＝.【来源：21·世纪·教育·网】
4．选D 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数．
则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
5．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为＝.
答案：
6．解析：由题意知小张抽到选择题数X服从超几何分布(N＝10，M＝6，n＝4)，
小张抽到选择题至少2道的概率为：
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
答案：
7．解：由题意知，旧球个数X的所有可能取值为3,4,5,6.
则P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，P(X＝6)＝＝＝.
所以X的分布列为
X＝i
3
4
5
6
P(X＝i)
8．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X＝k
0
1
P(X＝k)
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y＝k
0
10
20
50
60
P(Y＝k)
课时跟踪训练(四) 组合与组合数公式
1．给出下面几个问题：
①10人相互通一次电话，共通多少次电话？
②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？
③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
其中是组合问题的有( )
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
2．若A＝12C，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
3．下列四个式子中正确的个数是( )
(1)C＝；(2)A＝nA；
(3)C÷C＝；(4)C＝C.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若C－C＝C，则n等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.21世纪教育网版权所有
6．方程C＝C的解为________．
7．计算：(1)C＋CC；
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C.
8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？21教育网
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
答案
1．选C ①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．21cnjy.com
2．选A ∵A＝12C，∴n(n－1)(n－2)＝12×.解得n＝8.
3．选D 因为C＝＝·＝，故(1)正确；
因为nA＝n·＝＝A，故(2)正确；
因为C÷C＝÷＝×＝，
故(3)正确．
因为C＝，C＝·＝，所以C＝C，故(4)正确．
4．选C C－C＝C，即C＝C＋C＝C，
所以n＋1＝7＋8，即n＝14.
5．解析：∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝.
答案：
6．解析：当x＝3x－8，解得x＝4；当28－x＝3x－8，解得x＝9.
答案：4或9
7．解：(1)原式＝C＋C×1＝＋
＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)
＝2×＝32.
8．解：(1)C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
