阶段质量检测(一) 推理与证明
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21·世纪*教育网
1．数列3,5,9,17,33，…的通项an＝( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n＋1
2．用反证法证明命题“若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )21*cnjy*com
A．假设a，b，c都是奇数 B．假设a，b，c都不是奇数
C．假设a，b，c至多有一个奇数 D．假设a，b，c至多有两个奇数
3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f(x)＝是奇函数(小前提)，所以f(x)的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是【出处：21教育名师】
( )
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“?”：★?★??★???★????★?????★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是
( )
A．60 B．61
C．62 D.63
5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．各正三角形内的任一点 B．各正三角形的中心
C．各正三角形边上的任一点 D．各正三角形的某中线的中点
6．已知函数f(x)＝5x，则f(2 014)的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125
7．用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)”时，第一步应验证
( )
A．1＋≤＋1 B．1≤＋1
C．1＋＋＋≤＋2 D．1＜＋1
8．用数学归纳法证明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为( )21教育网
A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D.
9．对于函数f(x)，g(x)和区间D，如果存在x0∈D，使|f(x0)－g(x0)|≤1，则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出下列四对函数：21教育名师原创作品
①f(x)＝x2，g(x)＝2x－3； ②f(x)＝，g(x)＝x＋2；
③f(x)＝e－x，g(x)＝－； ④f(x)＝ln x，g(x)＝x－.
其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值一定( )
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正负都有可能
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
12．已知点A(x1，3x1)，B(x2，3x2)是函数y＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论>3成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)是函数y＝tan x的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．www-2-1-cnjy-com
13．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．【来源：21cnj*y.co*m】
14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0 有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．21*cnjy*com
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．
(1)求证：an＋1≠an；
(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.
16.(本小题满分12分)已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．【版权所有：21教育】
17．(本小题满分12分)已知a，b，c∈(0,1)．
求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
18．(本小题满分14分)是否存在二次函数f(x)，使得对于任意n∈N＋，都有＝f(n)成立，若存在，求出f(x)；若不存在，说明理由．
答 案
1．选B
2．选B 命题“a，b，c中至少有一个是奇数”的否定是“a，b，c都不是奇数”，故选B.
3．选B 因为f(1)＝f(－1)＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．21世纪教育网版权所有
4．选C 第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置，
第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n)个位置．
∵1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝62时，＝＝1 953,2 014－1 953＝61<63，
∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62.
5．选B 正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．
6．选B 因为f(5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f(6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f(7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f(8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f(9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T＝4.又由于2 014＝503×4＋2，因此f(2 014)的末四位数字与f(6)的末四位数字相同，即f(2 014)的末四位数字是5 625.21cnjy.com
7．选A 当n＝1时不等式左边为1＋，右边为＋1，即需要验证：1＋≤＋1.
8．选B 当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，
所以，增乘的式子为
＝2(2k＋1)．
9．选C 对于①，|f(x)－g(x)|＝|x2－(2x－3)|＝|(x－1)2＋2|≥2，所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A，D；对于②，|f(x)－g(x)|＝|－(x＋2)|＝≥，所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B；同理，可知③④均正确．www.21-cn-jy.com
10．选A ∵f(x)＝x3＋x，∴f(x)是增函数且是奇函数．
∵a＋b>0，∴a>－b，
∴f(a)>f(－b)，∴f(a)＋f(b)>0.
11．解析：∵f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋.
答案：＋
12．解析：因为y＝tan x图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝tan x图像上的点的纵坐标，即有
答案：13．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，
即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
14．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
15．解：(1)证明：采用反证法．假设an＋1＝an，
即＝an，解得an＝0或an＝1，
从而a1＝0或a1＝1，与题设a1>0，a1≠1相矛盾，
故an＋1≠an成立．
(2)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，
猜想：an＝.
16．证明：法一(分析法)：要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cos B>0.
又∵cos B＝，∴只需证明a2＋c2－b2>0.∴即证a2＋c2>b2.
∵a2＋c2≥2ac，∴只需证明2ac>b2.
由已知＝＋，即2ac＝b(a＋c)，
∴只需证明b(a＋c)>b2，即证a＋c>b成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．∴B为锐角．2-1-c-n-j-y
法二(综合法)：由题意得：＝＋＝，则b＝，b(a＋c)＝2ac>b2(∵a＋c>b)．
∵cos B＝≥>0，又y＝cos x在(0，π)上单调递减，
∴017．证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
因为00.由基本不等式，得≥> ＝.
同理，>，>.
将这三个不等式两边分别相加，得
＋＋>＋＋，
即>，这是不成立的，故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
18．解：假设存在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，使得对于?n∈N＋，都有＝f(n)成立．21·cn·jy·com
当n＝1时，a＋b＋c＝1， ① 当n＝2时，4a＋2b＋c＝， ②
当n＝3时，9a＋3b＋c＝， ③
联立①②③式得a＝，b＝，c＝，
则由以上可假设存在二次函数f(x)＝x2＋x＋，使得对于?n∈N＋，都有＝f(n)成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，＝1，f(1)＝＋＋＝1，
所以＝f(1)成立；
(2)假设当n＝k时，＝f(k)成立，那么，当n＝k＋1时，
＝·＋(k＋1)
＝f(k)·＋(k＋1)
＝·＋(k＋1)
＝·＋(k＋1)
＝＋(k＋1)
＝＋k＋1
＝(k＋1)2＋(k＋1)＋
＝f(k＋1)，
故当n＝k＋1时，＝f(k＋1)也成立．
由(1)(2)知，对于?n∈N＋，＝f(n)都成立．
即存在二次函数f(x)＝x2＋x＋，使得对于?n∈N＋，都有＝f(n)成立．
阶段质量检测(三) 导数应用
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21世纪教育网版权所有
1．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为( )
A．－135° B．45° C．－45° D．135°
2．下列求导运算正确的是( )
A．(cos x)′＝sin x B．(ln 2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2ex)′＝2xex
3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减少的 B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减少的 D．在x＝2处取极大值
4．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．0 B．－4 C．－2 D．2
5．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为( )
A．0 B. C. D.
6．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a≤0
7．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为( )www.21-cn-jy.com
A．(－∞，0) B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
8．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1) C．(－1,1) D.
9．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )
A．15件 B．20件 C．25件 D．30件
10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．函数y＝2x3－6x2＋11的单调递减区间为________．
12．已知函数f(x)＝x－sin x，x∈(0，π)，则f(x)的最小值为________．
13．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．21cnjy.com
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－ex＋m在x＝1处有极值，求m的值及f(x)的单调区间．21·世纪*教育网
16.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且当x∈[－1,2]时，
f(x)17．(本小题满分12分)某品牌电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，ln q万元，已知A，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)
18．(本小题满分14分)(安徽高考)设函数f(x)＝aex＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
答 案
1．选D ∵y′＝x－2，∴处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.
2．选B (cos x)′＝－sin x，(3x)′＝3xln 3，(x2ex)′＝2xex＋x2ex.
3．选C 在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．21教育网
4．选B ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，
∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.故选B.
5．选B 由f′(x)＝1－2·sin x＝0，得sin x＝，
又x∈，所以x＝，当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，故x＝时取得最大值．
6．选C f′(x)＝3ax2＋1，由题意得f′(x)＝0有实数根，即a＝－(x≠0)，所以a<0.21·cn·jy·com
7．选B ∵f(x)＝ax3＋bx2，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴即
令f′(x)＝3x2－6x<0，则08．选B f′(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，
且f′(x)＝0的解为x1＝，x2＝－，则∈(0,1)，∴09．选C 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．【来源：21·世纪·教育·网】
10．选D 设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以h(x)是R上的奇函数，且h(－3)＝h(3)＝0，当x<0时，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上是增加的，根据奇函数的对称性可知，h(x)在(0，＋∞)上也是增加的，因此h(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．www-2-1-cnjy-com
11．解析：y′＝6x2－12x，令6x2－12x<0，得0答案：(0,2)
12．解析：令f′(x)＝－cos x＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，f(x)在x＝处取得极小值．
又f(x)在(0，π)上只有一个极值点，
易知f＝×－＝即为f(x)的最小值．
答案：
13．解析：∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c答案：(－∞，e－1)
14．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝e，0(舍去)，
且00；
当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
15．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ex＋m，
由题意f′(1)＝0，解得m＝－1，
∴f′(x)＝－ex－1，
利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f′(x)是减少的，且f′(1)＝0，
所以当00，f(x)是增加的，
当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减少的．
∴f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．
16．解：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，
则方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
由Δ>0得1－12b>0即b<.
所以b的取值范围是.
(2)∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，
∴3－1＋b＝0，得b＝－2.
则f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，
又f(－1)＝＋c，f＝＋c，
f(1)＝－＋c，f(2)＝2＋c.
∴[f(x)]max＝2＋c解得c>2或c<－1.
∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
17．解：设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号的电视机的投放金额为(10－x)万元，由题意得2·1·c·n·j·y
y＝(10－x)＋ln x＝ln x－ x＋1,1≤x≤9，
∴y′＝－，令y′＝0得x＝4.
由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4故y在[1,4)上递增，在(4,9]上递减，
∴当x＝4时，y取得最大值，且ymax＝ln 4－×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.
即厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．2-1-c-n-j-y
18．解：(1)f′(x)＝aex－，
当f′(x)＞0，即x＞－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞)上递增；
当f′(x)＜0，即x＜－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．
①当0＜a＜1时，－ln a＞0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞)上递增，
从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b；
②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.21*cnjy*com
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.
故a＝，b＝.
阶段质量检测(二) 变化率与导数
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【来源：21·世纪·教育·网】
1．已知函数f(x)＝，则f′＝( )
A．－ B．－ C．－8 D．－16
2．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
A．在点x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
4．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)＝( )
A．sin x B．cos x C．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x
5．曲线y＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．3 B．2 C. D.
6．函数f(x)＝xsin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致为( )
7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝( )
A. B．2ln 3 C. D.
8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0 B．2 C．1 D．－1
9．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝( )
A．a B．±a C．－a D．a2
10．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是( )21·cn·jy·com
A．4 B．2 C．2 D.
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
12．已知013．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________________．21世纪教育网版权所有
14．曲线y＝f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：
(1)y＝sin x＋；
(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；
(3)y＝x·e－x；
(4)y＝sin 2x.
16.(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：
(1)f(x)的表达式；
(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．
18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.21cnjy.com
(1)求f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．
答 案
1．选D ∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，
∴f′＝－2×－3＝－16.
2．选A 由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.
3．选C
4．选A 函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．
5．选D y′＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，
又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，
即y＝2x－，
切线和x轴，y轴交点为，.
故所求三角形的面积＝××＝，故选D.
6．选C ∵f(x)＝xsin x，∴f′(x)＝sin x＋xcos x，
∴f′(－x)＝－sin x－xcos x＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.21教育网
7．选D ∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.
8．选A f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，
所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.
9．选B 因为y′＝＝＝，所以x－a2＝0，解得x0＝±a.
10．选D 函数的导数为f′(x)＝－eax·a，
所以f′(0)＝－e0·a＝－，
即在x＝0处的切线斜率k＝－，
又f(0)＝－e0＝－，所以切点为，
所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.
圆心到直线ax＋bx＋1＝0的距离d＝＝1，
即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，
所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，
即a＋b≤，所以a＋b的最大值是，选D.
11．解析：∵f(x)＝log3(x－1)，
∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，
∴f′(2)＝.
答案：
12．解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝ .
由01，
故f′(x)答案：f′(x)13．解析：f′(x)＝＋＝＋.当a＝2时，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.www.21-cn-jy.com
答案：7x－4y－2＝0
14．解析：f′(x)＝，由＝2，得x＝1，又f(1)＝0，所以与直线2x－y＋3＝0平行的切线的方程为y＝2(x－1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为d＝＝.2·1·c·n·j·y
答案：
15．解：(1)y′＝(sin x)′＋′＝cos x－.
(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′
＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)
＝9x2－2x＋6.
(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′
＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.
(4)y′＝(sin 2x)′＝×2·cos 2x＝cos 2x.
16．解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以
解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
17．解：(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有
f′(a)＝a2＋3f′(a)?f′(a)＝－，∴f(x)＝x3－x，
又f(a)＝，即a3－a3＝?a＝－1，
f(x)＝x3－x；
(2)由(1)知切点为，
切线的斜率f′(a)＝－，
∴切线方程为y－＝－(x＋1)，即3x＋6y－4＝0.
18．解：(1)f′(x)＝a－，于是解得或
因为a，b∈Z，故即f(x)＝x＋.
(2)由(1)知当x＝3时，f(3)＝，
f′(x)＝1－，f′(3)＝1－＝，
过点的切线方程为y－＝(x－3)，
即3x－4y＋5＝0.
切线与直线x＝1的交点为(1,2)，
切线与直线y＝x的交点为(5,5)，
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为×|5－1|×|2－1|＝2.
阶段质量检测(五) 数系的扩充与复数的引入
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)www.21-cn-jy.com
1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－ D.
2．已知集合A＝{1，m－1,2＋(m2－5m－6)i}，B＝{－2,2}，若A∩B＝{2}，则实数m的值为( )2·1·c·n·j·y
A．3 B．－1或6
C．3或6 D．－1或3或6
3．i为虚数单位，＋＋＋＝( )
A．0 B．2i
C．－2i D．4i
4．复数z满足iz＝3－4i，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D．5
5．设a，b∈R，a＋bi＝，则a＋b＝( )
A．2 B．8
C．－3 D．－5
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
7．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝( )
A．2－i B．2＋i
C．－2－i D．－2＋i
8．如右图，在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向左平移一个单位长度后得到，则P0对应的复数为( )21·cn·jy·com
A．1－i B．1－2i
C．－1－i D．－i
9．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i C．3＋I D．1－3i
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．复数z＝2i2－3i的实部是________．
12．z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝________.
13．已知关于x的方程x2＋(m＋i)x＋1＋i＝0有实根，则实数m＝________.
14．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点为Z1，Z2，则这两点之间的距离为________．21cnjy.com
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)计算：
(1)；
(2).
16.(本小题满分12分)已知z1＝2＋i且z2＝，求z2·z1.
17．(本小题满分12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值；
(2)若x∈C，求x的值．
18．(本小题满分14分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R.若|z1－2|<|z1|，求实数a的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
答 案
1．选A ＝＝，
∵为纯虚数，∴
∴a＝2.
2．选C 因为A∩B＝{2}，所以2∈A且－2?A，从而有或
解得m＝6或m＝3.
3．选A ∵i2＝－1，∴＋＋＋＝－＋－＝0.
4．选D 由iz＝3－4i，得i2z＝3i＋4，则z＝－4－3i.
所以，|z|＝＝5.
5．选B ＝＝＝5＋3i＝a＋bi，则a＋b＝5＋3＝8.
6．选D 设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)，代入
＝＝＝，
由于其为实数，
∴b＝－2，∴z＝－2i.
7．选A 由条件知z＝－1＋2i，则＝＝＝2－i.
8．选D ∵＝＝(1，－1)，
∴＝＋＝(－1,0)＋(1，－1)＝(0，－1)，
∴P0对应的复数即对应的复数是
－1＋(1－i)＝－i.
9．选D 对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋ i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．21世纪教育网版权所有
10．选A 由定义知＝zi＋z得zi＋z＝4＋2i.
即z＝＝3－i.
11．解析：z＝2i2－3i＝－2－3i，∴实部为－2.
答案：－2
12．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
又z0＝3＋2i，代入z·z0＝3z＋z0
得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得(2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
则由复数相等的条件得解得
所以z＝1－i.
答案：1－i
13．解析：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋mx0＋1)＋(x0＋1)i＝0，由复数相等的充要条件得解得m＝2.21教育网
答案：2
14．解析：向量对应的复数是
z2－z1＝－(2－i)＝－＋3i，
∴||＝ ＝.
答案：
15．解：(1)＝＝＝2.
(2)＝
＝＝＝
＝－＋i.
16．解：∵z2＝
＝＝
＝
＝＝－2i，
∴z1·z2＝(2＋i)·(－2i)＝－4i＋2＝2－4i.
17．解：(1)x∈R时，由方程得(x2－3x)＋(2x－6)i＝0；
则得x＝3.
(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)代入方程整理得
(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则
得或.
故x＝3或x＝－2i.
18．解：由题意，得z1＝＝2＋3i，
于是|z1－2|＝|4－a＋2i|＝，
|z1|＝.
因为|z1－2|<|z1|，
所以<，
即a2－8a＋7<0，
解得1∴a的取值范围为(1,7)．
阶段质量检测(四) 定积分
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21教育网
1．已知f(x)dx＝m，则nf(x)dx＝( )
A．m＋n B．m－n
C．mn D．mn
2.(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
3．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )
A．0 B．1
C．0或1 D．不确定
4．(江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
5．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx＝( )
A．0 B．4 C．8 D．16
6.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
7．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D．9
8．由曲线y＝，x＝4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为( )
A．16π B．32π
C．8π D．4π
9．已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为( )
A．gt B.
C. D.
10.如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是
( )
A．6 B．9
C．12 D．3
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11. cos xdx＝________.
12．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
13．有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t s末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________cm3.
14．已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．21cnjy.com
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)求由曲线y＝x2＋2与直线y＝3x，x＝0，x＝2所围成的平面图形的面积．21·cn·jy·com
16.(本小题满分12分)如图，求由曲线y＝－x2,4y＝－x2及直线y＝－1所围图形的面积．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图像围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，f′(x)是函数f(x)的导数．在区间[－1,1]内任取实数a，b，求方程f′(x)＝0有实数根的概率．
答 案
1．选C 根据定积分的性质，nf(x)dx＝nf(x)dx＝mn.
2．选C (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.
3．选B (2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0，
∴k＝0(舍去)或k＝1，故选B.
4．选B ∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx.
∴f(x)dx＝－.
5．选D ∵f(x)为偶函数，∴其图像关于y轴对称，
∴f(x)dx＝2f(x)dx＝16.
6．选B 根据题意得S阴影＝3x2dx＝x3＝1，则点M取自阴影部分的概率为＝＝.
7．选B 解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
则y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积
S＝(－x2)dx－(2x－3)dx
＝－x3－(x2－3x)＝.
8．选C 由图知旋转体的体积为π()2dx＝x2＝8π.
9．选C s＝v(t)dt＝gt2＝gt.
10．选B 由
解得交点(－1,2)，(2，－1)，
所以S＝[(3－x2)－(x2－2x－1)]dx
＝(－2x2＋2x＋4)dx
＝＝9.
11．解析：cos xdx＝sin x＝.
答案：
12．解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，
则x0＝.
答案：
13．解析：由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4(6t－t2)dt＝4(6t－t2)dt＝4＝144(cm3)．21世纪教育网版权所有
答案：144
14．解析：由题意可得f(x)＝所以y＝xf(x)＝
与x轴围成的图形的面积为010x2dx＋ (10x－10x2)dx＝x3＋＝.
答案：
15．解：S＝(x2＋2－3x)dx＋(3x－x2－2)dx
＝＋
＝＋－
＝－＋＝－＝1.
16．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．
法一：由得C(1，－1)．同理得D(2，－1)．
则所求图形的面积
S＝2
＝2
＝2＝.
法二：同法一得C(1，－1)，D(2，－1)．则所求图形的面积为S＝2(2－)dy＝2dywww.21-cn-jy.com
＝2××(－y)＝.
17．解：依题意知，阴影部分的面积
S＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx
＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx
＝(xet－ex)＋(ex－xet)
＝(2t－3)et＋e＋1，
令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝(2t－1)et，
取g′(t)＝0，解得t＝.
当t∈时，g′(t)<0，g(t)是减函数；
当t∈时，g′(t)>0，g(t)是增函数．
因此g(t)的最小值为g＝e＋1－2e＝(－1)2，
故阴影部分的面积的最小值为(－1)2.
18.解：f′(x)＝x2＋ax＋b.
若方程f′(x)＝0，即x2＋ax＋b＝0有实数根，则Δ≥0，即a2≥4b，
因此方程f′(x)＝0有实数根的条件是
满足此不等式组的点P(a，b)形成的图形为图中阴影部分，其面积为
S1＝da＝da
＝＋2＝.
而坐标满足条件－1≤a≤1，－1≤b≤1的点形成的图形的面积S＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f′(x)＝0有实数根的概率为P＝＝.2·1·c·n·j·y
