阶段质量检测(一) 常用逻辑用语
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21cnjy.com
1．下列命题中是假命题的是( )
A．等边三角形的三个内角均为60°
B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数
C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sin x成立，则命题p的否定是( )
A．不存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sin x成立
C．存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2＞sin x成立
4．命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )21·cn·jy·com
A．0 B．1
C．2 D．3
5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
6．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
7．已知条件p：＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
9．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋<0；命题q：存在x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是( )21教育网
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3＞x”的否定是“存在x∈N，x3＞x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．“对顶角相等”的否定为________________，否命题为______________________．
12．已知角A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“cos A＝”的______________条件．
13．已知命题p：任意x∈R，ax2－2x－3＜0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是____________．【来源：21·世纪·教育·网】
14．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：21·世纪*教育网
①命题“p且q”是真命题；②命题“p或綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．2-1-c-n-j-y
上述结论中，正确结论的序号是______________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．2·1·c·n·j·y
16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题，并判断真假．21世纪教育网版权所有
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．
(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．
17．(本小题满分12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．www-2-1-cnjy-com
18．(本小题满分14分)给定p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．21*cnjy*com
答 案
1．选B 对于A，由平面几何知识可知A是真命题；对于B，取x＝，y＝－可知x＋y＝0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；对于C，集合A＝{0,1}的所有真子集是?，{0}，{1}，共有3个，故C是真命题；对于D，由b≤－1知Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b＞0，所以D是真命题，故选B.【来源：21cnj*y.co*m】
2．选A 因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．【出处：21教育名师】
3．选C 全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.【版权所有：21教育】
4．选C 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.21教育名师原创作品
5．选B 命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．
6．选A ①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.
7．选C 不等式＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p?/ q，q?綈p，故选C.21*cnjy*com
8．选C ∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
9．选D ∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sin x＋cos x＝sin，当sin＝1时，sin x＋cos x＝，
∴q真，綈q假．
10．选D ∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3＞x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，
当最小正周期T＝π时，有＝π，
∴|a|＝1?/ a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．
11．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
12．解析：因为角A可能为锐角或为钝角，因此由“sin A＝”不一定得到“cos A＝”，但“cos A＝”一定能得到“sin A＝”，故“sin A＝”是“cos A＝”的必要不充分条件．www.21-cn-jy.com
答案：必要不充分
13．解析：綈p：存在x∈R，ax2－2x－3≥0.当a＝0时，存在x≤－，使ax2－2x－3≥0；当a＞0时，显然存在实数x，使ax2－2x－3≥0；当a＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a≥0，即有－≤a＜0.综上所述：a≥－.
答案：
14．解析：∵p真，q真，∴p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假．
答案：①③④
15．解：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
∴B?A.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，则当B＝{1}时，得a＝1；
当B＝{2}时，得a＝.
综上所述：实数a组成的集合是.
16．解：(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分，
綈p：平行四边形的对角线不一定相等．
由于p假q真，所以“p或q”真，“p且q”假，“綈p”真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两根的符号相同．
由于p真q真，所以“p或q”，“p且q”为真，“綈p”为假．
17．解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2.
方程有两个大于1的实根就是函数f(x)与x轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，
即??k<－2.
所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
18．解：若对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
则“a＝0”或“a>0且a2－4a<0”．
解得0≤a<4.
若关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，
则Δ＝1－4a≥0，得a≤.
因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则p，q有且仅有一个为真命题，
故“綈p且q”为真命题，或“p且綈q”为真命题，
则或
解得a<0或
所以实数a的取值范围是∪.
阶段质量检测(三) 圆锥曲线与方程
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【来源：21·世纪·教育·网】
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
3．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1或－＝1 D．以上都不对
4．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
6．一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )www.21-cn-jy.com
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )21·世纪*教育网
A．(0,1) B.
C. D.
8．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则双曲线－＝1的离心率为( )2-1-c-n-j-y
A. B.
C. D.
9.(浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )21*cnjy*com
A．3 B．2
C. D.
10.(浙江高考)如图F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )【版权所有：21教育】
A. B.
C. D.
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________________________________________________________________________．
12．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是________．
13．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．【来源：21cnj*y.co*m】
14．以下是关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，||PA―→|－|PB―→||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP―→＝(OA―→＋OB―→)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．【出处：21教育名师】
其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.21教育名师原创作品
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C ，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
16．(本小题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
17．(本小题满分12分)(陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.21·cn·jy·com
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
18.(本小题满分14分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.21cnjy.com
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
答 案
1.选B 抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2,0)．
2．选B 因为椭圆的长轴长2a是短轴长2b的倍，所以a＝b，则c＝＝b，所以椭圆的离心率e＝＝＝.2·1·c·n·j·y
3．选C 当顶点为(±4,0)时， 对于双曲线，a＝4，c＝8，b＝4，则双曲线的标准方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a＝3，c＝6，b＝3，则双曲线的标准方程为－＝1.21*cnjy*com
4．选D 直线l与x轴交于(－2,0)，与y轴交于(0,1)．由题意知c＝2，b＝1，
∴a＝，∴e＝＝.
5．选C 由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x＝－.
∴3－＝4，∴p＝2.
6．选A 圆C的方程即(x－3)2＋y2＝1，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.
∵圆P与圆O外切而与圆C内切，
∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，又|OC|＝3，
∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
7．选C 由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，
则c8．选D 由题意知解得a＝5，b＝4，
∴c＝＝＝.
∴双曲线的离心率e＝＝.
9．选B 设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
10．选D 由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，21教育网
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
11．解析：由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．解析：∵k＋5>k－2，∴当k＋5>k－2>0时，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．此时c2＝(k＋5)－(k－2)＝7，焦点坐标为(0，±)．
当k＋5>0>k－2时，方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线．此时c2＝(k＋5)＋(2－k)＝7焦点坐标为(0，±)．
答案：(0，±)
13．解析：据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，www-2-1-cnjy-com
则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，
∴等边三角形的边长为4，其面积为4.
答案：4
14．解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．
答案：③④
15．解：(1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由整理得x2－2x－4＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
∵kOC·kOD＝·＝＝＝＝－1，
∴OC⊥OD.
16．解：由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为.∴＝，＝.
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
17．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
设AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．
18．解：(1)由题意得所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.21世纪教育网版权所有
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
阶段质量检测(二) 空间向量与立体几何
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，若a∥b，则xz＝( )
A．－4 B．9
C．－9 D.
2.如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则(＋＋)＝( )
A． B．
C． D．
3．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
5．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )21*cnjy*com
A.a B.a
C.a D.a
10．三棱锥O－ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A. B.
C. D.
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若＝＋x＋y，则x－y＝____________.21cnjy.com
12．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为________．2·1·c·n·j·y
13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是________．【来源：21·世纪·教育·网】
14. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为________．【版权所有：21教育】
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,2)．求：
(1)a·b；
(2)a与b夹角的余弦值；
(3)确定λ，μ的值使得λa＋μb与z轴垂直，且(λa＋μb)·(a＋b)＝77.
16．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．www-2-1-cnjy-com
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
17．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．21世纪教育网版权所有
(1)求A1到平面BCN的距离；
(2)求证：A1B⊥C1M.
18．(本小题满分14分)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′-BCDE，其中A′O＝.21教育网
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值．
答 案
1．选B ∵a∥b，∴＝＝.∴x＝6，z＝.∴xz＝9.
2．选C ∵(＋＋)＝(＋)＝，又∵＝，∴(＋＋)＝.
3．选D ∵·＝·＝·，∴·(－)＝0，即·＝0，
∴⊥.同理·(－)＝0，∴·＝0，∴⊥，∴P是△ABC的垂心．
4．选D 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．则n·＝0，即(x，y，z)·(－1,1,0)＝0，∴－x＋y＝0.n·＝0，21·cn·jy·com
即(x，y，z)·(0，－1,1)＝0，∴－y＋z＝0，令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，
与n平行的单位向量为或.
5．选A 设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量．
∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)，∴∴
∴n＝.又＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.
6.选C 建立如图所示的空间直角坐标系．
令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，)，E，
＝，＝(－1，－1，－)，∴cos〈，〉＝＝－，
∴AE，SD夹角的余弦值为.
7．选B 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体棱长为1，则E，F，G，H，∴＝，
＝，cos〈·〉＝＝－.∴EF与GH的夹角为60°.
8．选C 以A为坐标原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C1(1，1,1)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)．www.21-cn-jy.com
∵＝(1,1,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，
∴·＝0，·＝0，∴即为平面A1BD的法向量．
设BC1与面A1BD夹角为θ，又＝(0,1,1)，
则sin θ＝＝＝，∴cos θ＝.
9．选A 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)．
∴＝(a，a,0)，＝，＝.
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则
即令z＝2，得x＝－1，y＝1.∴n＝(－1,1,2)，
∴n0＝.∴A1到平面BDM的距离为d＝|·n0|＝＝a.
10．选A ∵＝＝(＋)＝＋×＝＋[(－)＋
(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，∴x＝，y＝，z＝.
11．解析：如图，∵＝＋，＝(＋)＝(＋)，∴＝＋＋，又＝＋x＋y，∴x＝，y＝，即x－y＝－＝0.21·世纪*教育网
答案：0
12．解析：∵a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，∴－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.2-1-c-n-j-y
答案：5
13.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，【来源：21cnj*y.co*m】
C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E.
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)．∴n·＝0，且n·＝0，即(x，y，z)·(0,1,0)＝0，且(x，y，z)·(－1,0,1)＝0.∴y＝0，且－x＋z＝0，令x＝1，则z＝1，∴n＝(1,0,1)．【出处：21教育名师】
∴n0＝，又＝，∴点E到平面ABC1D1的距离为
|·n0|＝＝.
答案：
14．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，C1(0,2,1)，A1(2,0,1)，∴＝(－2,2,1)，＝(0,0,1)．21教育名师原创作品
由长方体的性质知平面A1B1C1D1的法向量为＝(0，0,1)．
∴cos〈，〉＝＝＝，∴AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为.
答案：
15．解：(1)a·b＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3.
(2)∵|a|＝＝5，
|b|＝＝3.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(3)取z轴上的单位向量n＝(0,0,1)，a＋b＝(5,6，－2)．
依题意，得即
化简整理，得解得
16．解：(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB.又∵·＝－4＋4＋0＝0，
∴AP⊥AD.∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，
∴AP⊥底面ABCD.
(2)设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
V＝||·||·sin θ·||＝× ×＝16.
17．解：如图，建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，21*cnjy*com
·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.
设平面BCN的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(1，－1，1)，＝(0,1,0)，得取x＝1，得n＝(1,0，－1)．n0＝，则A1到平面BCN的距离为d＝|·n0|＝|－|＝.
(2)证明：依题意得C1(0,0,2)，M，＝(－1,1，－2)，＝.
∵·＝－＋＋0＝0，∴⊥.∴A1B⊥C1M.
18．解：(1)证明：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝3，OC＝OB＝3.
如图，连接OD，在△OCD中，由余弦定理可得OD＝ ＝.
在折叠后的图形中，因为A′D＝2，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.
同理可证A′O⊥OE.又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.
(2)以点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，则A′(0,0，)，C(0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以＝(0,0，)，＝(0,3，)，＝(－1,2，)．设n＝(x，y，z)为平面A′CD的一个法向量，则
令z＝，得n＝(1，－1，)，|n|＝＝.
由(1)知，＝(0,0，)为平面CDB的一个法向量，又||＝，·n＝0×1＋0×(－1)＋×＝3，
所以cos 〈n，〉＝＝＝，即平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值为
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[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21教育网
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
2．有下面三个判断，其中正确的个数是( )
①命题：“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
②若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题；
③命题“对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a－b－1)成立”的否定是“存在a，b∈R，使a2＋b2≤2(a－b－1)成立”．www.21-cn-jy.com
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(陕西高考)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )21cnjy.com
A．± B.
C. D.
5．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
6.已知正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF夹角的余弦值为( )
A. B.
C．－ D．－
7．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为( )21·世纪*教育网
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x＋y＋4＝0
8．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )www-2-1-cnjy-com
A．4 B．7
C．6 D．5
9．在正棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，直线AC与平面A1BC的夹角为θ，平面ABC与平面A1BC的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是( )21*cnjy*com
A．θ>φ B．θ<φ
C．θ＝φ D．大小不确定
10．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )21*cnjy*com
A．5 B．4
C．3 D．1
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
12．设点O(0,0,0)，A(1，－2,3)，B(－1,2,3)，C(1,2，－3)，若OA―→与BC―→的夹角为θ，则cos θ＝________.21世纪教育网版权所有
13．斜率为的直线与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．2-1-c-n-j-y
14．(福建高考)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于____________．21教育名师原创作品
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
16．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．【版权所有：21教育】
(1)如果l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)设|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
17.(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.21·cn·jy·com
(1)求平面A′FD与平面FDC的夹角的余弦值；
(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．【来源：21·世纪·教育·网】
18．(本小题满分14分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(－1，)在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.2·1·c·n·j·y
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．
答 案
1．选D 命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”．故应选D.
2．选B 命题①的逆否命题为“设a，b ∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，命题为真．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，所以②错误．易知命题③错误．
3．选C a，b为向量，设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝||a|·|b|cos θ |＝|a||b|从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a∥b，反之也能够成立，为充分必要条件．【来源：21cnj*y.co*m】
4．选A 设F1为椭圆＋＝1的左焦点，F2为右焦点，PF1与y轴的交点为M.
∵M是PF1的中点，∴MO∥PF2，∴PF2⊥x轴．
又半焦距c＝＝3，∴设P(x，y)，则x＝3，代入椭圆方程得＋＝1，解得y＝±.
∴M点纵坐标为±.
5．选D 双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.
6．选A 设正四面体的棱长为4.∵正四面体A－BCD中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．
又＝＋＝＋，＝＋＝＋，
∴·＝·＋·＝4，||2＝＋·＋＝1－4＋16＝13.
||＝，同理||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
7．选A 设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由y＝8x1，y＝8x2，
两式相减得：得(y1＋y2)·(y1－y2)＝8(x1－x2)，
又P(3,2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4，∴直线l的斜率k＝＝2，
∴直线l的方程为2x－y－4＝0.
8．选B 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，
故4a2＝(x－y)2＝4c2－36，又＝，∴c＝5，a＝4，b＝3.
9．选B 建立空间直角坐标系，如图．则B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，＝(0,2,0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(1，y，z)
则得y＝z＝，n＝(1，，)，∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
又＝(0,0,2)是平面ABC的一个法向量，∴cos φ＝|cos〈，n〉|＝＝，
sin φ＝＝>sin θ.∴φ>θ.
10．选B 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4.
11．解析：∵存在x∈R,2x2－3ax＋9＜0为假命题，
∴任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2 ]
12．解析：＝(1，－2,3)，＝(2,0，－6)，∴cos θ＝＝－.
答案：－
13．解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＞，即b＞a，∴b2＞3a2，∴c2－a2＞3a2，
∴e2－1＞3，∴e＞2.
答案：(2，＋∞)
14．解析：∠MF1F2是直线的倾斜角，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，所以△MF2F1是直角三角形，在Rt△MF2F1中，|F2F1|＝2c，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以e＝＝＝＝－1.
答案：－1
15．解：解不等式x2－8x－20＞0得p：A＝{x|x＞10或x＜－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2＞0得q：B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}．
依题意，p?q但q不能推出p，说明A?B.
于是，有解得0＜a≤3.
∴正实数a的取值范围是(0,3]．
16．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)∵y2＝4x，∴F(1,0)，又∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，【出处：21教育名师】
由根与系数的关系得易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)，
又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，∴圆的半径r＝4，
∴所求的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.
(2)∵|FA|＝2|BF|，∴＝2，
而＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)，
∴
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，
代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)·x＋k2＝0，
由根与系数的关系得∵x1－1＝2(1－x2)，
∴或∴k＝±2，∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．
17.解：(1)取线段EF的中点H，连接A′H，
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H?平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系，
则A′(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．
故＝(－2,2,2)，＝(6,0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
所以
取z＝，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，
故cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角A′－FD－C的余弦值为.
(2)设FM＝x，则M(4＋x,0,0)，
因为翻折后，C与A′重合，所以CM＝A′M，
故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(2)2，
得x＝，经检验，此时点N在线段BC上．
所以FM＝.
18．解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0?k2>0?k≠0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，
∴k＝±1.
