第一章 算法初步
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P34～P45，回答下列问题．
(1)小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么？
提示：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来．
(2)辗转相除法的操作步骤是什么？
提示：两个数中用较大的数除以较小的数，求得商和余数，再用除数除以余数，如此重复，直到所得余数为0，即可求得两个数的最大公约数．
(3)更相减损术的操作步骤什么？
提示：第一步，任意给定两个正整数，判定它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
(4)应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？
提示：求多项式的值时，先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外逐层计算一次多项式vk(k＝2,3,4，…，n)的值．
(5)将k进制数转化为十进制的方法是什么？
提示：“除k取余法”．
2．归纳总结，核心必记
(1)辗转相除法与更相减损术
①辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
②更相减损术：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
(2)秦九韶算法
求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
设v1＝anx＋an－1，
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
……
vn＝vn－1x＋a0.
(3)进位制
①进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②其他进位制与十进制间的转化
(ⅰ)其他进位制化成十进制
其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式．
(ⅱ)十进制化成k进制的方法——“除k取余法”．
[问题思考]
(1)辗转相除法与更相减损术有什么联系？
提示：①都是求两个正整数的最大公约数的方法．
②二者的实质都是递推的过程．
③二者都是用循环结构来实现．
(2)辗转相除法与更相减损术有什么区别？
提示：
辗转相除法
更相减损术
区别
①以除法为主．
②两个整数差值较大时运算次数较少．
③相除余数为零时得结果
①以减法为主．
②两个整数的差值较大时，运算次数较多．
③相减，差与减数相等得结果．
④相减前要做是否都是偶数的判断
(3)当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？
提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0·xn的形式．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)辗转相除法是什么？
；
(2)更相减损术是什么？
；
(3)秦九韶算法是什么？
；
(4)进位制及进位制间的互化： .
观察如图所示的内容：
[思考1] 辗转相除法的算理是什么？
名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
[思考2] 更相减损术的算理是什么？
名师指津：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数．
?讲一讲
1．用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
[尝试解答] 用辗转相除法：
612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，
即612和468的最大公约数是36.
用更相减损术检验：
612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，
所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.
求最大公约数的两种方法步骤
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．
?练一练
1．用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；
解：因为1 785＝840×2＋105，
840＝105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
观察如图所示的内容：
[思考] 秦九韶算法的原理是什么？
名师指津：秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的．
设f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为
f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
令v0＝an，则有公式其中k＝1,2，…，n.
这样我们便可由v0依次求出v1，v2，…，vn：
v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，
vn＝vn－1x＋a0.
?讲一讲
2．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋3x＋2当x＝－2时的值为( )
A．320 B．－160 C．－320 D．300
[尝试解答] 将多项式变式为f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋3)x＋2，v0＝1，v1＝－2＋(－5)＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋3＝－159，v6＝－159×(－2)＋2＝320，即x＝－2时，多项式的值为320.
答案：A
利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．
?练一练
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为( )
A．－144 B．－136
C．－57 D．34
解析：选B 根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.
观察如图所示的内容：
[思考1] 进位制应如何表示？
名师指津：若一个数为十进制数，其基数可以省略不写，若是其他进位制，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数．
[思考2] 常见的进位制有哪些？
名师指津：(1)二进制：
①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10(2)．
(2)八进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同数字；
②满八进一，如7＋1＝10(8)；
(3)十六进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；
②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10(16)．
?讲一讲
3．(1)把二进制数101 101(2)化为十进制数；
(2)把十进制数458转化为四进制数．
[尝试解答] (1)101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101 101(2)转化为十进制数为45.
(2)
458＝13 022(4)．
进位制的转换方法
(1)将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果．
(2)十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余．
?练一练
3．(1)二进制数算式1 010(2)＋10(2)的值是( )
A．1 011(2) B．1 100(2)
C．1 101(2) D．1 000(2)
(2)下列各组数中最小的数是( )
A．1 111(2) B．210(6)
C．1 000(4) D．101(8)
解析：(1)选B 二进制数的加法是逢二进一，所以选B.
(2)选A 统一化为十进制数为1 111(2)＝15；210(6)＝78；1 000(4)＝64；101(8)＝65.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化．难点是会用秦九韶算法求多项式的值．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)掌握求最大公约数的两种方法步骤，见讲1.
(2)掌握秦九韶算法步骤，见讲2.
(3)进位制的转换方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)弄不清秦九韶算法的原理而致错，如讲2；
(2)进位制之间转换的方法混淆而致错，如讲3.
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 辗转相除法与更相减损术
1．下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是( )
A．都是偶数必须约简
B．可以约简，也可以不约简
C．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12
D．以上都不对
解析：选B 约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A错．C中第二步应为84－72＝12，故选B.
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C 294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，共做4次减法运算．
3．1 624与899的最大公约数是________．
解析：1 624＝899×1＋725，
899＝725×1＋174，
725＝174×4＋29，
174＝29×6，
故1 624与899的最大公约数是29.
答案：29
4．用两种方法求210与98的最大公约数．
解：用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
题组2 秦九韶算法
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( )
A．4×4＝16 B．7×4＝28
C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34
解析：选D 因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.
6．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
答案：A
7．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．
解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13.
v0＝3，
v1＝v0×6＋12＝30，
v2＝v1×6＋8＝188，
v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，
v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，
v5＝v4×6＋5＝40 530.2，
v6＝v5×6－13＝243 168.2.
所以f(6)＝243 168.2.
题组3 进位制及其转化
8．以下各数有可能是五进制数的是( )
A．15 B．106
C．731 D．21 340
解析：选D 五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.
9．完成下列进位制之间的转化．
(1)1 034(7)＝________(10)；
(2)119(10)＝________(6)．
解析：(1)1 034(7)＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368.
(2)
∴119(10)＝315(6)．
答案：(1)368 (2)315
10．若k进制数123(k)与十进制数38相等，则k＝________.
解析：由k进制数123可知k≥4.
下面可用验证法：
若k＝4，则38(10)＝212(4)，不合题意；
若k＝5，则38(10)＝123(5)成立，所以k＝5.
答案：5
11．若1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值及与此相等的十进制数．
解：∵1 0b1(2)＝a02(3)，
∴1×23＋b×2＋1＝a×32＋2，
且a只能取1,2，b只能取0,1.
整理得9a－2b＝7.
当b＝0时，a＝(不合要求，舍去)；
当b＝1时，a＝1.
∴a＝b＝1.
∴102(3)＝1 011(2)，
转化为十进制数为1×32＋2＝11.
[能力提升综合练]
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为( )
A．x3－(3x－2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
解析：选D f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故选D.
2．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )
A．5,150 B．15,450
C．450,15 D．15,150
解析：选B 利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.
3．下列各数中，最小的是( )
A．101 010(2) B．111(5)
C．32(8) D．54(6)
解析：选C 101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.
又42>34>31>26，故最小的是32(8)．
4．(2016·福州高一检测)三进制数2 022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.
解析：2 022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.
三进制数2 022(3)化为六进制数为142(6)，
∴a＋b＋c＝7.
答案：7
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．
解析：多项式变形为
f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1
＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，
v0＝3，
v1＝3×(－4)＋12＝0，
v2＝0×(－4)＋6＝6，
v3＝6×(－4)＋10＝－14，
v4＝－14×(－4)－8＝48，
所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.
答案：62
6．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
解：先求147与343的最大公约数．
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数．
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
所以每瓶最多装7 g.
7．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？
解：由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：
11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝16＋8＋2＋1＝27(10)．
又27×1 000＝27 000，
所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯.
第1课时 算法的概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P2～P5，回答下列问题．
(1)对于一般的二元一次方程组其中a1b2－a2b1≠0，如何写出它的求解步骤？
提示：分五步完成：
第一步，①×b2－②×b1，得(a1b2－a2b1)x＝b2c1－b1c2， ③
第二步，解③，得x＝.
第三步，②×a1－①×a2，得(a1b2－a2b1)y＝a1c2－a2c1， ④
第四步，解④，得y＝.
第五步，得到方程组的解为
(2)在数学中算法通常指什么？
提示：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
2．归纳总结，核心必记
(1)算法的概念
12世纪
的算法
指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程
续表
数学中
的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题
(2)设计算法的目的
计算机解决任何问题都要依赖于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
[问题思考]
(1)求解某一个问题的算法是否是唯一的？
提示：不是．
(2)任何问题都可以设计算法解决吗？
提示：不一定．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)算法的概念： ；
(2)设计算法的目的： .
[思考1] 应从哪些方面来理解算法的概念？
名师指津：对算法概念的三点说明：
(1)算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的和有效的，而且能够在有限步骤之内完成．
(2)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．
(3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点．
[思考2] 算法有哪些特征？
名师指津：(1)确定性：算法的每一个步骤都是确切的，能有效执行且得到确定结果， 不能模棱两可．
(2)有限性：算法应由有限步组成， 至少对某些输入，算法应在有限多步内结束， 并给出计算结果．
(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一步都只能有一个确定的继任者，只有执行完前一步才能进入到后一步，并且每一步都确定无误后，才能解决问题．
(4)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决．
?讲一讲
1．以下关于算法的说法正确的是( )
A．描述算法可以有不同的方式，可用自然语言也可用其他语言
B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果
D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果
[尝试解答] 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题，故B不正确．
算法过程要一步一步执行，每一步执行操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，故C、D都不正确．
描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言等，故A正确．
答案：A
判断算法的关注点
(1)明确算法的含义及算法的特征；
(2)判断一个问题是否是算法，关键看是否有解决一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步内完成．
?练一练
1．(2016·西南师大附中检测)下列描述不能看作算法的是( )
A．洗衣机的使用说明书
B．解方程x2＋2x－1＝0
C．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
D．利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积，就是计算π×32
解析：选B A、C、D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而B只描述了一个事例，没有说明怎样解决问题，不是算法.
假设家中生火泡茶有以下几个步骤：
a．生火 b．将水倒入锅中 c．找茶叶 d．洗茶壶、茶碗 e．用开水冲茶
[思考1] 你能设计出在家中泡茶的步骤吗？
名师指津：a→a→c→d→e
[思考2] 设计算法有什么要求？
名师指津：(1)写出的算法必须能解决一类问题；
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少；
(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．
?讲一讲
2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
[尝试解答] 法一：算法如下．
第一步，将方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0；①
第二步，由①得x－3＝0，②或x＋1＝0；③
第三步，解②得x＝3，解③得x＝－1.
法二：算法如下．
第一步，移项，得x2－2x＝3；①
第二步，①式两边同时加1并配方，得(x－1)2＝4；②
第三步，②式两边开方，得x－1＝±2；③
第四步，解③得x＝3或x＝－1.
法三：算法如下．
第一步，计算方程的判别式并判断其符号Δ＝(－2)2＋4×3＝16＞0；
第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3，代入求根公式x1，x2＝，得x1＝3，x2＝－1.
设计算法的步骤
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将步骤表示出来．?
练一练
2．设计一个算法，判断7是否为质数．
解：第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.
第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.
因此，7是质数.
?讲一讲
3．一次青青草原草原长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？试设计一种算法．
[思路点拨] 先根据条件建立过程模型，再设计算法．
[尝试解答] 包包大人采取的过河的算法可以是：
第一步，包包大人带懒羊羊过河；
第二步，包包大人自己返回；
第三步，包包大人带青草过河；
第四步，包包大人带懒羊羊返回；
第五步，包包大人带灰太狼过河；
第六步，包包大人自己返回；
第七步，包包大人带懒羊羊过河．
实际问题算法的设计技巧
(1)弄清题目中所给要求．
(2)建立过程模型．
(3)根据过程模型建立算法步骤，必要时由变量进行判断．
?练一练
3．一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？
解：法一：算法如下．
第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行第二步．
第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．
法二：算法如下．
第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚．
第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．
第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是理解算法的概念，体会算法的思想，难点是掌握简单问题算法的表述．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握算法的特征，见讲1；
(2)掌握设计算法的一般步骤，见讲2；
(3)会设计实际问题的算法，见讲3.
3．本节课的易错点
(1)混淆算法的特征，如讲1.
(2)算法语言不规范致误，如讲3.
课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 算法的含义及特征
1．下列关于算法的说法错误的是( )
A．一个算法的步骤是可逆的
B．描述算法可以有不同的方式
C．设计算法要本着简单方便的原则
D．一个算法不可以无止境地运算下去
解析：选A 由算法定义可知B、C、D对，A错．
2．下列语句表达的是算法的有( )
①拨本地电话的过程为：1提起话筒；2拨号；3等通话信号；4开始通话或挂机；5结束通话；
②利用公式V＝Sh计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积；
③x2－2x－3＝0；
④求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
解析：选A 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．①②都各表达了一种算法；③只是一个纯数学问题，不是一个明确步骤；④的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．
3．下列各式中S的值不可以用算法求解的是( )
A．S＝1＋2＋3＋4
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋＋…＋
D．S＝1＋2＋3＋4＋…
解析：选D D中的求和不符合算法步骤的有限性，所以它不可以用算法求解，故选D.
题组2 算法设计
4．给出下面一个算法：
第一步，给出三个数x，y，z.
第二步，计算M＝x＋y＋z.
第三步，计算N＝M.
第四步，得出每次计算结果．
则上述算法是( )
A．求和 B．求余数
C．求平均数 D．先求和再求平均数
解析：选D 由算法过程知，M为三数之和，N为这三数的平均数．
5．(2016·东营高一检测)一个算法步骤如下：
S1，S取值0，i取值1；
S2，如果i≤10，则执行S3，否则执行S6；
S3，计算S＋i并将结果代替S；
S4，用i＋2的值代替i；
S5，转去执行S2；
S6，输出S.
运行以上步骤后输出的结果S＝( )
A．16 B．25
C．36 D．以上均不对
解析：选B 由以上计算可知：S＝1＋3＋5＋7＋9＝25，答案为B.
6．给出下面的算法，它解决的是( )
第一步，输入x.
第二步，如果x＜0，则y＝x2；否则执行下一步．
第三步，如果x＝0，则y＝2；否则y＝－x2.
第四步，输出y.
A．求函数y＝的函数值
B．求函数y＝的函数值
C．求函数y＝的函数值
D．以上都不正确
解析：选B 由算法知，当x＜0时，y＝x2；当x＝0时，y＝2；当x＞0时，y＝－x2.故选B.
7．试设计一个判断圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0位置关系的算法．
解：算法步骤如下：
第一步，输入圆心的坐标(a，b)、半径r和直线方程的系数A、B、C.
第二步，计算z1＝Aa＋Bb＋C.
第三步，计算z2＝A2＋B2.
第四步，计算d＝.
第五步，如果d>r，则输出“相离”；如果d＝r，则输出“相切”；如果d8．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折．请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.
解：算法步骤如下：
第一步，输入购物金额x(x＞0)．
第二步，判断“x＞800”是否成立，若是，则y＝0.7x，转第四步；否则，执行第三步．
第三步，判断“x＞400”是否成立，若是，则y＝0.8x；否则，y＝x.
第四步，输出y，结束算法．
题组3 算法的实际应用
9．国际奥委会宣布2020年夏季奥运会主办城市为日本的东京．据《中国体育报》报道：对参与竞选的5个夏季奥林匹克运动会申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后进行第二轮投票；如果第二轮投票仍没选出主办城市，将进行第三轮投票，如此重复投票，直到选出一个主办城市为止，写出投票过程的算法．
解：算法如下：
第一步，投票．
第二步，统计票数，如果一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权，否则淘汰得票数最少的城市并转第一步．
第三步，宣布主办城市．
[能力提升综合练]
1．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅、盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用( )
A．13分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．23分钟
解析：选C ①洗锅、盛水2分钟＋④用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟＋③准备面条及佐料2分钟)＋⑤煮面条和菜共3分钟＝15分钟．解决一个问题的算法不是唯一的，但在设计时要综合考虑各个方面的因素，选择一种较好的算法．
2．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( )
A．这个算法可以求方程所有的零点
B．这个算法可以求任何方程的零点
C．这个算法能求方程所有的近似零点
D．这个算法并不一定能求方程所有的近似零点
解析：选D 二分法求方程零点的算法中，仅能求方程的一些特殊的近似零点(满足函数零点存在性定理的条件)，故D正确．
3．(2016·青岛质检)结合下面的算法：
第一步，输入x.
第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
第三步，输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1 B．－1,1,0
C．1，－1,0 D．0，－1,1
解析：选C 根据x值与0的关系选择执行不同的步骤．
4．有如下算法：
第一步，输入不小于2的正整数n.
第二步，判断n是否为2.若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除，则n满足条件．
则上述算法满足条件的n是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．合数
解析：选A 根据质数、奇数、偶数、合数的定义可知，满足条件的n是质数．
5．(2016·济南检测)输入一个x值，利用y＝|x－1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
第一步：输入x；
第二步：________；
第三步：当x<1时，计算y＝1－x；
第四步：输出y.
解析：以x－1与0的大小关系为分类准则知第二步应填当x≥1时，计算y＝x－1.
答案：当x≥1时，计算y＝x－1
6．已知一个算法如下：
第一步，令m＝a.
第二步，如果b＜m，则m＝b.
第三步，如果c＜m，则m＝c.
第四步，输出m.
如果a＝3，b＝6，c＝2，则执行这个算法的结果是________．
解析：这个算法是求a，b，c三个数中的最小值，故这个算法的结果是2.
答案：2
7．下面给出了一个问题的算法：
第一步，输入a.
第二步，如果a≥4，则y＝2a－1；否则，y＝a2－2a＋3.
第三步，输出y的值．
问：(1)这个算法解决的是什么问题？
(2)当输入的a的值为多少时，输出的数值最小？最小值是多少？
解：(1)这个算法解决的是求分段函数
y＝的函数值的问题．
(2)当a≥4时，y＝2a－1≥7；
当a＜4时，y＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，
∵当a＝1时，y取得最小值2.
∴当输入的a值为1时，输出的数值最小为2.
8．“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋．据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．
解：第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2.
第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2,5,8,11,14,17,20，….
第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.
第四步，然后在自然数内在8的基础上依次加上15，得到8,23,38,53，….
第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数：53.
即士兵至少有53人．
第2课时 程序框图、顺序结构
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P6～P9，回答下列问题．
(1)常见的程序框有哪些？
提示：终端框(起止框)，输入、输出框，处理框，判断框．
(2)算法的基本逻辑结构有哪些？
提示：顺序结构、条件结构和循环结构．
2．归纳总结，核心必记
(1)程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．
(2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
○
连接点
连接程序框图的两部分
(3)算法的基本逻辑结构
①算法的三种基本逻辑结构
算法的三种基本逻辑结构为顺序结构、条件结构和循环结构，尽管算法千差万别，但都是由这三种基本逻辑结构构成的．
②顺序结构
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构，用程序框图表示为：
[问题思考]
(1)一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束吗？
提示：由程序框图的概念可知一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束．
(2)顺序结构是任何算法都离不开的基本结构吗？
提示：根据算法基本逻辑结构可知顺序结构是任何算法都离不开的基本结构．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)程序框图的概念： ；
(2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能： ；
(3)算法的三种基本逻辑结构： ；
(4)顺序结构的概念及其程序框图的表示： .
问题背景：计算1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100.
[思考1] 能否设计一个算法，计算这个式子的值．
提示：能．
[思考2] 能否采用更简洁的方式表述上述算法过程．
提示：能，利用程序框图．
[思考3] 画程序框图时应遵循怎样的规则？
名师指津：(1)使用标准的框图符号．
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画．
(3)除判断框外，其他程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一一个具有超过一个退出点的程序框．
(4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．
(5)流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先后次序的，如果不画出箭头就难以判断各框的执行顺序．
?讲一讲
1．下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有( )
①任何一个流程图必须有起止框；②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一的具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[尝试解答] 任何一个程序必须有开始和结束，从而流程图必须有起止框，①正确．输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，②错误．③正确．判断框内的条件不是唯一的，④错误．故选B.
答案：B
画程序框图时应注意的问题
(1)画流程线不要忘记画箭头；
(2)由于判断框的退出点在任何情况下都是根据条件去执行其中的一种结果，而另一个则不会被执行，故判断框后的流程线应根据情况注明“是”或“否”．
?练一练
1．下列关于程序框图的说法中正确的个数是( )
①用程序框图表示算法直观、形象、容易理解；②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的“一图胜万言”；③在程序框图中，起止框是任何程序框图中不可少的；④输入和输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D 由程序框图的定义知，①②③④均正确，故选D.
观察如图所示的内容：
[思考1] 顺序结构有哪些结构特征？
名师指津：顺序结构的结构特征：
(1)顺序结构的语句与语句之间、框与框之间按从上到下的顺序执行，不会引起程序步骤的跳转．
(2)顺序结构是最简单的算法结构．
(3)顺序结构只能解决一些简单的问题．
[思考2] 顺序结构程序框图的基本特征是什么？
名师指津：顺序结构程序框图的基本特征：
(1)必须有两个起止框，穿插输入、输出框和处理框，没有判断框．
(2)各程序框用流程线依次连接．
(3)处理框按计算机执行顺序沿流程线依次排列．
?讲一讲
2．已知P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，写出求点P0到直线l的距离d的算法，并用程序框图来描述．
[尝试解答] 第一步，输入x0，y0，A，B，C；
第二步，计算m＝Ax0＋By0＋C；
第三步，计算n＝A2＋B2；
第四步，计算d＝；
第五步，输出d.
程序框图如图所示．
应用顺序结构表示算法的步骤：
(1)仔细审题，理清题意，找到解决问题的方法．
(2)梳理解题步骤．
(3)用数学语言描述算法，明确输入量，计算过程，输出量．
(4)用程序框图表示算法过程．
?练一练
2．写出解不等式2x＋1>0的一个算法，并画出程序框图．
解：第一步，将1移到不等式的右边；
第二步，不等式的两端同乘；
第三步，得到x>－并输出．
程序框图如图所示：
—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解程序框图的含义，理解程序框图的作用，掌握各种程序框和流程线的画法与功能，理解程序框图中的顺序结构，会用顺序结构表示算法．难点是理解程序框图的作用及用顺序结构表示算法．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握画程序框图的几点注意事项，见讲1；
(2)掌握应用顺序结构表示算法的步骤，见讲2.
3．本节课的易错点
对程序框图的理解有误致错，如讲1.
课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 程序框图
1．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )
A．连接点 B．判断框 C．流程线 D．处理框
解析：选C 流程线的意义是流程进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，而连接点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连接点．判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、计算、数据处理、结果传送，所以A，B，D都不对．故选C.
2．a表示“处理框”，b表示“输入、输出框”，c表示“起止框”，d表示“判断框”，以下四个图形依次为( )
A．abcd B．dcab C．bacd D．cbad
答案：D
3．如果输入n＝2，那么执行如下算法的结果是( )
第一步，输入n.
第二步，n＝n＋1.
第三步，n＝n＋2.
第四步，输出n.
A．输出3 B．输出4
C．输出5 D．程序出错
答案：C
题组2 顺序结构
4．如图所示的程序框图表示的算法意义是( )
A．边长为3,4,5的直角三角形面积
B．边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积
C．边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积
D．以3,4,5为弦的圆面积
解析：选B 由直角三角形内切圆半径r＝，知选B.
第4题图 第5题图
5．(2016·东营高一检测)给出如图所示的程序框图：
若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是( )
A．x＝2 B．b＝2
C．x＝1 D．a＝5
解析：选C ∵b＝2，∴2＝a－3，即a＝5.∴2x＋3＝5时，得x＝1.
6．写出如图所示程序框图的运行结果：S＝________.
解析：S＝log24＋42＝18.
答案：18
7．已知半径为r的圆的周长公式为C＝2πr，当r＝10时，写出计算圆的周长的一个算法，并画出程序框图．
解：算法如下：第一步，令r＝10.第二步，计算C＝2πr.第三步，输出C.
程序框图如图：
8．已知函数f(x)＝x2－3x－2，求f(3)＋f(－5)的值，设计一个算法并画出算法的程序框图．
解：自然语言算法如下：
第一步，求f(3)的值．
第二步，求f(－5)的值．
第三步，将前两步的结果相加，存入y.
第四步，输出y.
程序框图：
[能力提升综合练]
1．程序框图符号“”可用于( )
A．输出a＝10 B．赋值a＝10
C．判断a＝10 D．输入a＝1
解析：选B 图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输出、判断和输入，故选B.
2．(2016·广州高一检测)如图程序框图的运行结果是( )
A. B.
C．－ D．－1
解析：选C 因为a＝2，b＝4，所以S＝－＝－＝－，故选C.
3．(2016·广州高一检测)如图是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的b＝7，则a2等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C 由题意知该算法是计算的值．
∴＝7，得a2＝11，故选C.
4．(2016·佛山高一检测)阅读如图所示的程序框图，若输出的结果为6，则①处执行框应填的是( )
A．x＝1 B．x＝2
C．b＝1 D．b＝2
解析：选B 若b＝6，则a＝7，∴x3－1＝7，∴x＝2.
5．根据如图所示的程序框图所表示的算法，输出的结果是________．
解析：该算法的第1步分别将1,2,3赋值给X，Y，Z，第2步使X取Y的值，即X取值变成2，第3步使Y取X的值，即Y的值也是2，第4步让Z取Y的值，即Z取值也是2，从而第5步输出时，Z的值是2.
答案：2
6．计算图甲中空白部分面积的一个程序框图如图乙，则①中应填________．
图甲 图乙
解析：图甲空白部分的面积为a2－a2，故图乙①中应填S＝a2－a2.
答案：S＝a2－a2
7．在如图所示的程序框图中，当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和各小题的条件回答问题．
(1)该程序框图解决的是一个什么问题？
(2)当输入的x的值为3时，求输出的f(x)的值．
(3)要想使输出的值最大，求输入的x的值．
解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．
因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，
所以－16＋4m＝0，
所以m＝4.
所以f(x)＝－x2＋4x.
则f(3)＝－32＋4×3＝3，
所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.
(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
所以当x＝2时，f(x)max＝4，
所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.
8．如图是为解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)图框①中x＝2的含义是什么？
(2)图框②中y1＝ax＋b的含义是什么？
(3)图框④中y2＝ax＋b的含义是什么？
(4)该程序框图解决的是怎样的问题？
(5)当最终输出的结果是y1＝3，y2＝－2时，求y＝f(x)的解析式．
解：(1)图框①中x＝2表示把2赋值给变量x.
(2)图框②中y1＝ax＋b的含义是：该图框在执行①的前提下，即当x＝2时，计算ax＋b的值，并把这个值赋给y1.
(3)图框④中y2＝ax＋b的含义是：该图框在执行③的前提下，即当x＝－3时，计算ax＋b的值，并把这个值赋给y2.
(4)该程序框图解决的是求函数y＝ax＋b的函数值的问题，其中输入的是自变量x的值，输出的是对应x的函数值．
(5)y1＝3，即2a＋b＝3. ⑤
y2＝－2，即－3a＋b＝－2. ⑥
由⑤⑥，得a＝1，b＝1，
所以f(x)＝x＋1.
第3课时 条件结构
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P10～P12，回答下列问题．
条件结构有哪些形式？
提示：常见的条件结构有：一种是满足条件执行步骤A，否则执行步骤B；另一种是满足条件执行步骤A，否则执行步骤A下面的步骤．
2．归纳总结，核心必记
(1)条件结构的概念
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理这种过程的结构就是条件结构．
(2)条件结构程序框图的两种形式及特征
名称
形式一
形式二
结构
形式
续表
名称
形式一
形式二
特征
两个步骤A，B根据条件选择一个执行
根据条件是否成立选择是否执行步骤A
[问题思考]
(1)条件结构中的判断框有两个退出点，那么条件结构执行的结果是否唯一？
提示：条件结构执行的结果是唯一的．
(2)在什么样的算法中才使用条件结构？
提示：凡是必须先根据条件判断，然后选择进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时必须引入一个判断框应用条件结构．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)条件结构的概念： ；
(2)条件结构程序框图的形式及特征： .
观察图中条件结构的两种形式：.
[思考1] 条件结构有何特点？
提示：条件结构是程序框图的重要组成部分，其特点是：先判断后执行．
[思考2] 利用条件结构处理算法时应注意什么？
名师指津：在利用条件结构画程序框图时要注意两点：一是需要判断条件是什么，二是条件判断后分别对应着什么样的结果．
[思考3] 顺序结构与条件结构有何区别与联系？
名师指津：顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构，所表达的逻辑关系是自上而下，连贯排列的．而条件结构用于逻辑判断，并根据判断的结果进行不同的处理．
?讲一讲
1．设计一个算法：输入一个实数，输出它的绝对值，并画出程序框图．
[尝试解答] 设输入数为x，绝对值为y.
则y＝|x|＝
算法如下：
第一步，输入x.
第二步，若x≥0，则y＝x，
否则执行第三步．
第三步，y＝－x.
第四步，输出y.
程序框图如图：
含条件结构问题的求解策略
(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析功能；
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输入或输出的值；
(3)明确要判断的条件是什么，判断后的条件对应着什么样的结果．
?练一练
1．写出输入一个数x，求分段函数y＝的函数值的程序框图．
解：程序框图如图所示．
?讲一讲
2．如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y值相等，则这样的x的值有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[思路点拨] 分析该程序框图的逻辑结构，找出其对应的函数关系式，再进行判断求解．
[尝试解答] 这是一个用条件结构设计的算法，
该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数
y＝的函数值．
(1)当x≤2时，令x2＝x，解得x＝0或x＝1，均符合要求；
(2)当2(3)当x>5时，令＝x，解得x＝±1，均不满足x>5，故舍去．
综上可知，只有3个值符合题意，故选C.
答案：C
条件结构读图时应注意的两点
(1)要理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能．
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．
?练一练
2．如图是一个算法的程序框图，当输入的x∈(－1,3]时，求输出y的范围．
解：由题意知，该程序框图是求函数y＝
的函数值．故当x∈(－1,1)时，y＝2x2＋1∈[1,3)；
当x∈[1,3]时，y＝1－x∈[－2,0]，
所以输出的y的取值范围为[－2,0]∪[1,3)．
?讲一讲
3．到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)，银行收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元；超过100元，但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元一律收取50元手续费．设计汇款额为x元时，银行收取的手续费y元的过程的程序框图．
[尝试解答] 程序框图如图所示．
用程序框图解决实际问题的步骤
(1)审题；
(2)列式，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)根据所建数学模型，选择适合的逻辑结构，画出程序框图．
?练一练
3．设火车托运行李，当行李重量为m kg时，每千米的费用(单位：元)标准为
y＝
画出求行李托运s千米的托运费M的程序框图．
解：程序框图如图．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解条件结构的概念，并明确其执行过程，会用条件结构设计程序框图解决有关问题．难点是理解条件结构在程序框图中的作用．
2．本节课要掌握以下几方面的规律方法
(1)含条件结构问题的求解方法，见讲1.
(2)条件结构的读图问题，见讲2.
(3)用程序框图解决实际问题的步骤，见讲3.
3．本节课的易错点有：
条件结构中对条件的判断不准易致错，如讲1，讲2.
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 条件结构的简单应用
1．解决下列问题的算法中，需要条件结构的是( )
A．求两个数的和
B．求某个正实数的常用对数
C．求半径为r的圆的面积
D．解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
解析：选D A，B，C中均不对变量进行讨论，只有D中由于Δ的不确定，需要讨论，因此需要条件结构．
2．已知如图是算法程序框图的一部分
① ② ③
其中含条件结构的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
答案：C
3．程序框图如图所示，它是算法中的( )
A．条件结构 B．顺序结构 C．递归结构 D．循环结构
解析：选A 此题中的程序框图中有判断框，根据给定条件判断并根据判断结果进行不同处理的是条件结构．
4．如图为计算函数y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________．
解析：显然当x＜0或x≤0时，y＝－x，故判断框内应填x≤0？(或x＜0？)．
答案：x≤0？(或x＜0？)
5．已知函数y＝请设计程序框图，要求输入自变量，输出函数值．
解：程序框图如图所示：
题组2 与条件结构有关的读图、应用问题
6．(2016·洛阳模拟)给出了一个算法的程序框图(如图所示)，若输入的四个数分别为5,3,7,2，则最后输出的结果是( )
A．5 B．3 C．7 D．2
解析：选C 由程序框图可以看出其算法功能为：输入四个数，输出其中最大的数，由于5,3,7,2中最大的数为7，故最后输出的结果为7.
7．(2016·海口高一检测)如图所示的程序框图，若a＝5，则输出b＝________.
解析：根据题意a＝5，所以执行判断框后的“否”步骤，即b＝a2＋1，所以输出26.
答案：26
8．在新华书店里，某教辅材料每本售价14.80元，书店为促销，规定：如果顾客购买5本或5本以上，10本以下则按九折(即13.32元)出售；如果顾客购买10本或10本以上，则按八折(即11.84元)出售．请设计一个完成计费工作的程序框图．
解：程序框图如图：
[能力提升综合练]
1．广东中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )
A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6x
C．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)
解析：选D 当x>2时，y＝7＋2.6(x－2)＋1＝8＋2.6(x－2)，所以①处应填y＝8＋2.6(x－2)．
2．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析：选A 由程序框图可知，s与t可用分段函数表示为s＝则s∈[－3,4]．
3．若f(x)＝x2，g(x)＝log2x，则如图所示的程序框图中，输入x＝0.25，输出h(x)＝( )
A．0.25 B．2
C．－2 D．－0.25
解析：选C h(x)取f(x)和g(x)中的较小者．g(0.25)＝log20.25＝－2，f(0.25)＝0.252＝.
4．如图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入四个选项中的( )
A．c>x? B．x>c?
C．c>b? D．b>c?
解析：选A 变量x的作用是保留3个数中的最大值，所以第二个判断框内语句为“c>x？”，满足“是”则交换两个变量的数值，输出x的值后结束程序，满足“否”直接输出x的值后结束程序，故选A.
5．定义运算a?b，运算原理如图所示，则式子4?1＋2?5的值等于________．
解析：a?b＝则4?1＋2?5＝4×(1＋1)＋2×(5－1)＝16.
答案：16
6．如图是判断“美数”的程序框图，在[30,40]内的所有整数中“美数”的个数是多少？
解：由程序框图知美数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30,40]内的所有整数中，所有的能被3整除的数有30,33,36,39，共有4个数，在这四个数中能被12整除的有36，在这四个数中不能被6整除的有33,39，所以在[30,40]内的所有整数中“美数”的个数是3个．
7．画出解关于x的不等式ax＋b＜0的程序框图．
解：程序框图为：
第4课时 循环结构、程序框图的画法
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P12～P19，回答下列问题．
(1)循环结构有哪些形式？
提示：循环结构包括直到型循环结构和当型循环结构．
(2)两种循环结构各有什么特点？
提示：直到型循环结构是先执行循环体后判断条件，直到满足条件为止；当型循环结构是先判定条件再执行循环体，否则终止循环．
2．归纳总结，核心必记
(1)循环结构的概念及相关内容
①循环结构：按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．
②循环体：反复执行的步骤．
(2)循环结构的分类及特征
名称
直到型循环
当型循环
结构
特征
先执行循环体，后判断条件，若条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环.
先判断条件，若条件满足，则执行循环体，否则终止循环.
(3)设计算法程序框图的步骤
①用自然语言表述算法步骤．
②确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示，得到该步骤的程序框图．
③将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．
[问题思考]
(1)循环结构中一定包含条件结构吗？
提示：循环结构是在一些算法中从某处开始，按照一定条件反复执行处理某一步骤，因此循环结构一定包含条件结构．
(2)循环结构中的判断框中的条件是唯一的吗？
提示：不是，在具体的程序框图设计时，这里的条件可以不同，但不同表示应该有共同的确定的结果．
(3)举例说明循环结构适用哪些常见的计算？
提示：循环结构主要用在一些有规律的重复计算中，如累加求和，累乘求积等问题．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)循环结构的概念： ；
(2)直到型循环结构及其特征： ；
(3)当型循环结构及其特征： .
[思考] 循环结构有什么特点？
名师指津：(1)重复性：_在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同；
(2)判断性：每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．
(3)函数性：循环变量在构造循环结构中起了关键作用，蕴含着函数的思想．
?讲一讲
1．分别用直到型和当型循环结构画出计算1＋＋＋…＋的值的程序框图．
[尝试解答] (1)直到型循环如图(1) (2)当型循环如图(2)．
(1) (2)
利用循环结构表示算法的步骤
利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．
?练一练
1．设计一个算法，求出1×2×3×…×100的值，并画出程序框图．
解析：算法如下：
第一步，S＝1.
第二步，i＝1.
第三步，S＝S×i.
第四步，i＝i＋1.
第五步，判断i是否大于100，
若成立，则输出S，结束；
否则，返回第三步重新执行．
程序框图如图所示：
?讲一讲
2．(1)(2015·四川高考)执行如图所示程序框图，输出S的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
(2)(2015·安徽高考)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(3)(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是( )
A．s> B．s>
C．s> D．s>
[尝试解答] (1)由图可知，当k＝5时，输出S＝sin＝，选D.
(2)执行第一次循环体：a＝，n＝2，此时|a－1.414|＝|1.5－1.414|＝0.086≥0.005；
执行第二次循环体：a＝，n＝3，此时|a－1.414|＝|1.4－1.414|＝0.014≥0.005；
执行第三次循环体： a＝，n＝4，此时|a－1.1414|<0.005，此时不满足判断条件，输出n＝4，故选B.
(3)当输出k的值为6时，s＝1×××＝，结合题中的程序框图知，选C.
答案：(1)D (2)B (3)C
与循环结构有关问题的解题策略
(1)已知程序框图，求输出的结果．可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．
(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
?练一练
2．(1)如图所示的程序框图中，语句“S＝S×n”将被执行的次数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：(1)选B 由程序框图知：S＝1×2×3×…×n.又1×2×3×4×5＝120＜200,1×2×3×4×5×6＝720＞200.故语句“S＝S×n”被执行了5次．
(2)选D 在循环体部分的运算为：第一步，M＝2，S＝5，k＝2；第二步，M＝2，S＝7，k＝3.故输出结果为7.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是理解两种循环结构的概念以及各自的运行过程，明确循环终止的条件；能用循环结构设计程序框图解决有关问题．难点是能用循环结构设计程序框图解决有关问题．
2．本节课要掌握以下几方面的规律方法
(1)利用循环结构设计算法的步骤，见讲1.
(2)已知程序框图求输出结果，见讲2.
(3)完善程序框图问题，见讲2.
3．本节课的易错点有两个：
(1)两种循环的转化易弄错，如讲1；
(2)控制循环的条件易弄错，如讲2(3)．
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 循环结构及两种循环结构
1．下列框图是循环结构的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
答案：C
2．一个完整的程序框图至少包含( )
A．起止框和输入、输出框
B．起止框和处理框
C．起止框和判断框
D．起止框、处理框和输入、输出框
解析：选A 一个完整的程序框图至少包括起止框和输入、输出框，故选A.
3．(2016·安徽巢湖检测)如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )
A．①是循环变量初始化，循环就要开始
B．②为循环体
C．③是判断是否继续循环的终止条件
D．①可以省略不写
解析：选D ①为循环变量初始化，必须先赋值才能有效控制循环，不可省略．故选D.
4．某中学高三年级男子体育训练小组5月测试的50米跑的成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9，7.4，7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，i＝1；
第二步，输入一个数据a；
第三步，如果a<6.8，则输出a，否则，执行第四步；
第四步，i＝i＋1；
第五步，如果i>9，则结束算法．否则执行第二步．
程序框图如图所示．
题组2 含循环结构的程序框图的运行
5．(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
解析：选C 由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：an＝2n，故选C.
6．(2016·日照高一检测)如图所示的程序框图表示的算法功能是( )
A．计算小于100的奇数的连乘积
B．计算从1开始的连续奇数的连乘积
C．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于或等于100时，计算奇数的个数
D．计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值
解析：选D 这是一个直到型循环结构，S＝1×3×5×…，判断条件是S≥100？，输出的是i，所以表示的是S＝1×3×5×…×n≥100时的最小的n值，故选D.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的a值大于2 015，那么判断框内的条件应为________．
解析：第一次循环：k＝1，a＝1，满足条件，所以a＝4×1＋3＝7，k＝1＋1＝2.第二次循环：a＝7＜2 015，故继续循环，所以a＝4×7＋3＝31，k＝2＋1＝3.第三次循环：a＝31＜2 015，故继续循环，所以a＝4×31＋3＝127，k＝3＋1＝4.第四次循环：a＝127＜2 015，故继续循环，所以a＝4×127＋3＝511，k＝4＋1＝5.第五次循环：k＝511＜2 015，故继续循环，所以a＝4×511＋3＝2 047，k＝5＋1＝6.由于a＝2 047＞2 015，故不符合条件，输出a值．所以判断框内的条件是“k≤5？”．
答案：k≤5?
8．(2015·山东高考)执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
解析：第一步，x＝1<2，x＝1＋1＝2；第二步，x＝2，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13，输出13.
答案：13
9．画出求满足条件1＋2＋3＋…＋n＞2 014成立的最小正整数值的算法程序框图．
解：算法程序框图如图：
[能力提升综合练]
1．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：选C 框图执行如下：k＝0，S＝1；S＝1，k＝1；S＝2，k＝2；S＝8，k＝3.所以输出S的值为8.
2．(2015·陕西高考)根据如图所示的程序框图，当输入x为6时，输出的y＝( )
A．1 B．2 C．5 D．10
解析：选D 输入x＝6，程序运行情况如下：x＝6－3＝3>0，x＝3－3＝0，x＝0－3＝－3<0，退出循环，执行y＝x2＋1＝(－3)2＋1＝10，输出y＝10.故选D.
3．(2015·重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为( )
A. B. C. D.
解析：选D ∵s＝0，k＝0,0<8，∴k＝0＋2＝2，s＝0＋＝；∵2<8，∴k＝2＋2＝4，s＝＋＝；∵4<8，∴k＝4＋2＝6，s＝＋＝；∵6<8，∴k＝6＋2＝8，s＝＋＝；∵8<8不成立．∴输出s＝.
4．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )
A．k≤6? B．k≤7?
C．k≤8? D．k≤9?
解析：选B 首次进入循环体，s＝1×log23，k＝3；第二次进入循环体，s＝×＝2，k＝4；依次循环，第六次进入循环体，s＝3，k＝8，此时终止循环，则判断框内填“k≤7？”．
5．如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n＝________.
解析：∵i＝0时，S＝12；i＝1时，S＝12＋22；i＝2时，S＝12＋22＋32，…，∴i＝99时，S＝12＋22＋…＋1002.∴图中n＝99.
答案：99
6．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.
解析：循环前x＝3.5，不满足判断框条件．第1次循环，i＝2，x＝2.5，第2次判断后循环，i＝3，x＝1.5，第3次判断后循环i＝4，x＝0.5，满足判断框的条件退出循环，输出的数i＝4.
答案：4
7．画出计算1＋＋＋＋…＋的值的一个程序框图．
解：相加各数的分子都是1，而分母是有规律递增的，每次增加2，引入变量S表示和，计数变量i，i的值每次增加2，则每次循环都有S＝S＋，i＝i＋2，这样反复进行．
程序框图如图所示：
8．运行如图所示的程序框图．
(1)若输入x的值为2，根据该程序的运行过程完成下面的表格，并求输出的i与x的值.
第i次
i＝1
i＝2
i＝3
i＝4
i＝5
x＝2×3i
(2)若输出i的值为2，求输入x的取值范围．
解：(1)
第i次
i＝1
i＝2
i＝3
i＝4
i＝5
x＝2×3i
6
18
54
162
486
因为162<168,486>168，所以输出的i的值为5，x的值为486.
(2)由输出i的值为2，则程序执行了循环体2次，
即解得所以输入x的取值范围是第1课时 输入语句、输出语句和赋值语句
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P21～P24，回答下列问题．
(1)阅读教材P22例1的程序，输入语句的一般格式是什么？
提示：输入语句的一般格式为：
(2)阅读教材P22例1的程序，输出语句的一般格式是什么？
提示：输出语句的一般格式为：
(3)阅读教材P22例1的程序，赋值语句的一般格式是什么？
提示：赋值语句的一般格式为：
2．归纳总结，核心必记
(1)输入语句
①格式：INPUT “提示内容”；变量．
②功能：实现算法的输入信息功能．
(2)输出语句
①格式：PRINT “提示内容”；表达式．
②功能：实现算法的输出结果功能．
(3)赋值语句
①格式：变量＝表达式．
②功能：将表达式所代表的值赋给变量．
[问题思考]
输入语句和赋值语句都可以给变量赋值，二者有何区别？
提示：当变量需要的数据较少或给变量赋予算式时，用赋值语句较好；而当变量需要输入多组数据且要求程序重复使用时，使用输入语句较好，这样即使初始数据改变，也不必改变程序部分．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)输入语句的格式和功能： ；
(2)输出语句的格式和功能： ；
(3)赋值语句的格式和功能： .
观察如图所示的内容：
?
?
[思考1] 怎样认识输入语句？
名师指津：(1)INPUT语句又称“键盘输入语句”，当计算机执行到该语句时，暂停并等候用户输入程序运行需要的数据．此时，用户只需把数据由键盘输入，然后回车，程序将继续运行．
(2)“提示内容”的作用是在程序执行时提示用户将要输入的是什么样的数据．如：INPUT “语文，数学，外语成绩＝”；a，b，c.
“提示内容”及后面的“；”可省略，直接输入，如：INPUT a，b，c.
[思考2] 对输入语句有什么要求？
名师指津：(1)输入语句要求输入的值是具体的常量．
(2)“提示内容”提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容“原原本本”地在计算机屏幕上显示，“提示内容”与“变量”之间要用分号隔开．
(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔．形式如：INPUT__“a＝，b＝，c＝”；a，b，c.
[思考3] 怎样认识输出语句？
名师指津：(1)PRINT语句又称“打印语句”，将结果在屏幕上显示出来，是任何程序中必有的语句．
(2)“提示内容”提示用户输出的是什么样的信息．如：PRINT “该生的总分＝”；S.
(3)具有计算功能．可以输出常量、变量的值和系统信息．如：
PRINT 5
PRINT A
PRINT “I am a student！”
[思考4] 对输出语句有什么要求？
名师指津：(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息．
(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开．
(3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔．形式如：PRINT__“a，b，c”；a，b，c.
?讲一讲
1．(1)下列给出的输入、输出语句中正确的有( )
①输入语句INPUT a；b；c
②输入语句INPUT x＝3
③输出语句PRINT A＝4
④输出语句PRINT 20,3*2
A. ①② B.②③ C．③④ D．④
(2)当x的值为5时，“PRINT “x＝”；x”在屏幕上的输出结果为( )
A．5＝5 B．5 C．5＝x D．x＝5
[尝试解答] (1)①INPUT语句可以给多个变量赋值，变量之间用“，”隔开；②INPUT语句中只能是变量，而不能是表达式；③PRINT语句中不用赋值号“＝”；④PRINT语句可以输出常量、表达式的值．
(2)PRINT语句可将用双引号引起来的字符串显示在屏幕上，从而应输出x＝5.
答案：(1)D (2)D
设计输入语句与输出语句要明确的三个问题
(1)输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是变量或表达式(输入语句无计算功能)，若输入多个数，各数之间应用逗号“，”隔开．
(2)计算机执行到输入语句时，暂停等候用户输入“提示内容”所提示的数据，输入后回车，则程序继续运行，“提示内容”及其后的“；”可省略．
(3)输出语句可以输出常量，变量或表达式的值(输出语句有计算功能)或字符，程序中引号内的部分将原始呈现．
?练一练
1．写出下列程序运行的结果．
若输入2,1，则输出的结果为________．
解析：若输入2,1，即a＝2，b＝1.∴22＋＝4＋1＝5.输出的结果为a2＋＝5.
答案：a2＋＝5
观察如图所示的内容：
?
[思考1] 赋值语句中的“＝”与“等号”意思一样吗？
提示：不一样．
[思考2] 对赋值语句有什么要求？
名师指津：(1)在代数中A＝B与B＝A是等效的两个等式，而在赋值语句中则是两个不同的赋值过程．如：A＝B是将B的值赋给变量A，而B＝A是将A的值赋给变量B.
(2)“＝”右边可以是常量、变量或算式，如X＝6，A＝B，当表达式为一算式时，如C＝X＋Y，是指先计算X＋Y的值，再把该值赋给C，所以赋值语句具有计算功能．
(3)“＝”左边必须是变量，而不能是表达式、常量．如：15＝a，x＋y＝c都是错误的．
(4)一个赋值语句只能给一个变量赋值，不能对几个变量连续赋值，但可以辗转赋值．如：A＝B＝10是不正确的，但可以写成：A＝10，B＝A；赋值后，A的值是10，B的值也是10.
(5)可给一个变量多次赋值，但只保留最后一次所赋的值．如：A＝5，B＝3，A＝A＋B；执行后A的值为8.
?讲一讲
2．(1)运行如图所示的程序，输出的结果是________．
(2)阅读下列两个程序，回答问题：
① ②
上述两个程序最后输出的x和y值分别为________、________.
[尝试解答] (1)a＝1，b＝2，把1与2的和赋给a，即a＝3，输出的结果为3.
(2)程序①中的x＝y是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；程序②中y＝x是将x的值3赋给y，赋值后y的值为3.
答案：(1)3 (2)4, 4 3, 3
赋值语句的几种常见形式
(1)赋予变量常值，如a＝1.
(2)赋予变量其他变量或表达式的值，如b＝a, b＝2a＋1.
(3)变量自身的值在原值上加常数或变量，如i＝i＋1，i＝i＋S.
?练一练
2．设A＝10，B＝20，则可以实现A、B的值互换的程序是( )
A. B. C. D.
解析：选C A中程序执行后A＝B＝10；B中程序执行后A＝B＝10；C中程序执行后A＝20，B＝10；D中程序执行后A＝B＝10.
?讲一讲
3．根据如图所示的程序框图，写出相应的算法语句．
[思路点拨] 根据程序框图的意义及顺序结构的特点依次写出．
[尝试解答] 算法语句如下：
编写程序的步骤
(1)根据问题要求构思算法分析．
(2)把算法分析转化为程序框图，即画出程序框图．
(3)把程序框图转化为程序．
要注意转化过程中基本结构与相应语句的对应．熟练后可直接写出程序．
?练一练
3．将下列程序改为框图，并指明其作用．
INPUT x1，x2
y1＝2^x1
y2＝2^x2
k＝(y1－y2)/(x1－x2)
PRINT k
END
解：程序框图如图：
作用：求过指数函数y＝2x的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)直线的斜率k.
—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是理解输入语句、输出语句和赋值语句的含义，会用这三种语句将顺序结构的程序框图转化为程序语句．难点是用三种语句将顺序结构的程序框图转化为程序语句．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)明确设计输入语句与输出语句的三个问题，见讲1.
(2)掌握赋值语句的常见形式，见讲2.
(3)掌握编写程序的步骤，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)程序编写中符号不规范致误，如讲3；
(2)易混淆算法步骤、程序框图和算法语句的关系，如讲3.
课下能力提升(五)
[学业水平达标练]
题组1 输入语句与输出语句
1．在INPUT语句中，如果同时输入多个变量，变量之间的分隔符是( )
A．逗号 B．分号
C．空格 D．引号
解析：选A 在算法语句中，若同时输入多个变量，变量之间用逗号隔开．
2．当输入“3”后，输出的结果为( )
INPUT “请输入x＝”；x
y＝x
x＝y＋1
x＝x＋1
PRINT x
END
A.5 B．4 C．3 D．6
解析：选A 程序中只有两个变量x，y.当程序顺次执行时，先有y＝3，再有x＝4，x＝5，故最后输出的x值为5.
3．给出下列程序，输入x＝2，y＝3，则输出( )
A．2,3 B．2,2
C．3,3 D．3,2
解析：选D 该程序的运行过程是：输入2,3，A＝2，x＝3，y＝2, 输出3,2.
题组2 赋值语句及相关问题
4．赋值语句N＝N＋1的意义是( )
A．N等于N＋1
B．N＋1等于N
C．将N的值赋给N＋1
D．将N的原值加1再赋给N，即N的值增加1
解析：选D 赋值语句N＝N＋1的意义是：将N的原值加1再赋给N，即N的值增加1.
5．(2016·湖北十校联考)下列给变量赋值的语句正确的是( )
解析：选D A错，因为赋值语句的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边表达式的值赋给赋值号左边的变量；B错，赋值语句左边是一个变量，而不是代数式；C错，因为赋值语句不能把一个值同时赋给两个变量；D项正确．
6．利用输入语句可以给多个变量赋值，下面能实现这一功能的语句是( )
A．INPUT “A，B，C”a，b，c
B．INPUT “A，B，C＝”；a，b，c
C．INPUT a，b，c；“A，B，C”
D．PRINT “A，B，C”；a，b，c
解析：选B 提示内容与输入内容之间要用“；”隔开，故A错；提示内容在前，输入内容在后，故C错；输入语句用“INPUT”而非“PRINT”，故D错．
7．下列程序执行后，变量a、b的值分别为( )
A．20,15 B．35,35
C．5,5 D．－5，－5
解析：选A 根据赋值语句的意义，先把a＋b＝35赋给a，然后把a－b＝35－20＝15赋给b，最后再把a－b＝35－15＝20赋给a.
8．以下程序运行时输出的结果是________．
解析：根据赋值语句，当A＝3时，先把A*A＝3×3＝9的值赋给B，即B＝9，再把2]答案：15，－6
题组3 程序框图与程序语言的相互转化
9．2016年春节期间，某水果店的三种水果标价分别为香蕉：2元/千克，苹果：3元/千克，梨：2.5元/千克．请你设计一个程序，以方便店主的收款．
解：程序如下：
10．以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．
解：程序框图如图所示：
[能力提升综合练]
解析：选B 赋值语句中的“＝”与算术中的“＝”是不一样的，式子两边也不能互换，从而只有②④正确，故选B.
2．将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是( )
A. B. C. D.
解析：选B 由赋值语句的意义知B正确．
3．已知程序如图，若输入A的值为1，则程序执行后输出A的值为( )
A．5 B．6 C．15 D．120
解析：选D 该程序输出的结果为A＝1×2×3×4×5＝120.
4．给出下列程序：
此程序的功能为( )
A．求点到直线的距离
B．求两点之间的距离
C．求一个多项式函数的值
D．求输入的值的平方和
解析：选B 输入的四个实数可作为两个点的坐标．程序中的a，b分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m，n分别表示两点横、纵坐标之差的平方；s是横、纵坐标之差的平方和，d是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．
5．读如下两个程序，完成下列题目．
程序(1)： 程序(2)：
(1)程序(1)的运行结果为________．
(2)若程序(1)，(2)运行结果相同，则程序(2)输入的x的值为________．
解析：(1)赋值语句给变量赋值时，变量的值总是最后一次所赋的值，故程序(1)中x的值最后为6.
(2)要使程序(2)中y的值为6，即x2＋6＝6，故x＝0.即输入的x的值为0.
答案：(1)6 (2)0
6．下面程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果是3.46，则此程序中，①处应填________；②处应填________．
解析：由于程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，所以S＝x＋x，由于最后输出的数是3.46，所以3.46＝1.12＋x，即x＝2.25，又x2>0，所以x2＝1.5.
答案：1.5 x1^2＋x2^2
7．已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝3 x＋5.用算法语句表示求f [g (2)]＋g [f (3)]的值的算法．
解：程序如下：
8．“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的趣题之一．大约在1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中这样描述：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔几何？
试设计一个算法，输入鸡兔的总数和鸡兔的脚的总数，分别输出鸡、兔的数量．
解：算法步骤如下：第一步，输入鸡和兔的总数量M.
第二步，输入鸡和兔的脚的总数量N.
第三步，鸡的数量为A＝.
第四步，兔的数量为B＝M－A.
第五步，输出A，B，得出结果．
程序如下：
程序框图如图所示：
第2课时 条件语句
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P25～P28，回答下列问题．
(1)与图1.1－9中的条件结构对应的条件语句是什么？
提示：对应的条件语句为：
(2)与图1.1－8中的条件结构对应的条件语句是什么？
提示：对应的条件语句为：
(3)阅读教材P27例6，观察图1.1－11，发现框图中包含两个条件结构，而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支，因此可用什么语句来转化？
提示：可以用“IF－THEN－ELSE－END_IF”语句来转化．
2．归纳总结，核心必记
(1)条件语句的概念
处理条件结构的算法语句，叫做条件语句．
(2)条件语句的格式
①IF－THEN格式 形式：
②IF－THEN－ELSE格式
形式：
(3)功能
①IF－THEN格式：首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END IF之后的语句．
②IF－THEN－ELSE格式：首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1；否则(ELSE)执行语句体2.
[问题思考]
(1)嵌套条件语句的一般格式是什么？
提示：一般格式为：
(2)应用嵌套条件语句应注意什么？
提示：①适用范围：适用于判断条件多于一个时．此时，若重复应用条件语句，书写程序繁琐，可用条件语句的嵌套．
②分清层次：编写条件时，要注意IF和END__IF的配对，常常利用文字的缩进来表示嵌套的层次，以便于程序的阅读与理解．嵌套可以多于2个．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)条件语句的概念： ；
(2)条件语句的格式： ；
(3)条件语句的功能： .
观察如图所示的内容：
[思考1] 使用条件语句需注意什么？
名师指津：使用条件语句应注意以下几点：
(1)条件语句是一个语句，IF，THEN，ELSE，END_IF等都是语句的一部分．
(2)条件语句必须是以IF开始，以END_IF结束，一个IF必须与一个END_IF相对应．
(3)在程序中只需对条件为真的情况作出处理，不用处理条件为假的情况时，ELSE分支可以省略，此时条件语句就由双支变为单支．
(4)为了程序的可读性，一般IF、ELSE与END_IF顶格书写，其他的语句体前面则空两格．
[思考2] 两种格式的条件语句有什么异同？
名师指津：(1)共同点：两种语句首先都要对条件进行判断，然后才执行相应的语句体；执行完语句体后，程序都交汇于一点完成条件语句；都以IF开始，以END_IF结束．
(2)区别：IF—THEN—END_IF语句只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体；IF—THEN—ELSE—END_IF语句含有两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足条件时执行另一个语句体．
(3)选择标准：当判断语句的两个出口语句只有一个需要执行时，使用“IF—THEN—END_IF语句；当判断语句的两个出口语句都可能执行时，使用“IF—THEN—ELSE—END_IF”语句．
?讲一讲
1．已知函数对任意的x，求函数值，请画出程序框图并写出程序语句．
[尝试解答] 程序框图如图所示：
程序如下：
两种语句的选择方法
(1)要解决的问题，如果只需要对满足条件时的情况作出处理，不需要处理不满足条件时的情况，那么就选用IF－THEN－END IF条件语句．
(2)要解决的问题，如果既需要解决满足条件时的情况，又需要解决不满足条件时的情况，那么应选用IF－THEN－ELSE－END IF条件语句．
?练一练
1．(1)输入一个数x，如果它是正数，则输出它；否则不输出．画出解决该问题的程序框图，并写出对应的程序．
解：程序框图如图所示：
程序如下：
(2)根据以下程序框图写出程序：
解：程序如下：
?讲一讲
2．某市对出租车的计费统一规定：如果行驶不超过2 km，则收费5元(即起步价)，若超过2 km，则超出部分每1 km加收1.8元(不足1 km的，按1 km计算)．写出计算路费的程序．
[思路点拨] 设路程为x km，费用为y元，则y＝这是一个分段函数，可用条件语句设计程序．
[尝试解答] 程序框图如下：
程序如下：
(1)条件结构的适用范围：
已知分段函数的解析式求函数值的问题，须用条件语句书写程序，当条件的判断有两个以上的结果时，可以选择条件结构嵌套去解决．
(2)解此类问题的步骤：
①构思出解决问题的一个算法(可用自然语言)．
②画出程序框图，形象直观地描述算法．
③根据框图编写程序，即逐步把框图中的算法步骤用算法语句表达出来．
?练一练
2．已知函数f(x)＝试编写程序，根据输入的x值输出对应的y值．
解：程序如下：
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是理解条件语句的两种格式及其功能，明确条件语句与条件结构的对应关系．难点是能用条件语句编写程序解决有关问题．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)两种语句的选择方法，见讲1.
(2)条件结构的适用范围，见讲2.
3．本节课的易错点有两个：
(1)条件语句的格式书写易出错，如讲1；
(2)条件判断时分类讨论不全面致错，如讲2.
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 条件语句与条件结构
1．下列关于条件语句的说法正确的是( )
A．条件语句中必须有ELSE和END IF
B．条件语句中可以没有END IF
C．条件语句中可以没有ELSE，但是必须有END IF
D．条件语句中可以没有END IF，但是必须有ELSE
解析：选C 条件语句中必须有END IF，但可以没有ELSE，故选C.
2．下列对条件语句的描述正确的是( )
A．ELSE后面的语句不可以是条件语句
B．两个条件语句可以共用一个END IF语句
C．条件语句可以没有ELSE后的语句
D．条件语句中IF—THEN和ELSE后的语句必须都有
解析：选C 条件语句有两种格式：分别是IF—THEN格式和IF—THEN—ELSE格式．对于一个分支的条件语句可以没有ELSE后的语句．
3．下列问题需要用条件语句来描述其算法的是( )
A．输入x，输出它的相反数
B．输入x，输出它的绝对值
C．求边长为1的正三角形的面积
D．求棱长为1的正四面体的体积
解析：选B A，C，D都不需要分类，所以不需要条件语句；而B需要分类，故需用条件语句．
4．若a＝11，下面的程序段输出的结果是________．
解析：由于当a＝11时，不满足条件a＜10，所以执行y＝a MOD 10，得到的结果是y＝1.注意“a MOD 10”是a除以10的余数．
答案：1
5．已知如图所示的程序，其运行结果是________．
解析：因为33<99，所以t＝33，a＝99，b＝33，a＝99－33＝66.
答案：a＝66
题组2 条件结构的应用
6．已知程序：
若输出y的值为6，则输入x的值为________．
解析：由程序知，当x>0时，＋3＝6，解得x＝2；
当x<0时，＋5＝6，解得x＝－；显然x＝0不成立．
答案：2或－
7．试设计程序，求函数y＝|x－4|＋1的函数值．
解：因为y＝|x－4|＋1＝
所以设计程序如下：
INPUT “x＝”；x
IF x>＝4 THEN
y＝x－3
ELSE
y＝5－x
END IF
PRINT y
END
8．铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张车票托运行李不超过50 kg时，每千克0.13元，如超过50 kg，超过的部分按每千克0.20元计算，如果行李重量为W(kg)，运费为F(元)，计算公式为：
F＝
设计程序，输入行李的重量W，输出运费F.
解：程序如下．
[能力提升综合练]
1．给出以下四个问题，①输入一个数x，输出它的绝对值；②求函数的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a，b，c中的最大数，其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选A ①②④都需要条件语句描述其算法，只有③不需用条件语句描述，故选A.
2．(2016·临沂高一检测)下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否为正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数．
则填入的条件应该是( )
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞＝0 D．x＜＝0
解析：选D 因为条件真则执行y＝－x，条件假则执行y＝x * x，由程序功能知条件应为x＜＝0.
3．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
A．25 B．30 C．31 D．61
解析：选C 由题意，得y＝当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31，∴输出y的值为31.
4．根据如图的程序提示依次输入4, 2, －5，则程序的运行结果是( )
A．2 B．max＝2 C．4 D．max＝4
解析：选D 本程序的功能是求输入的三个数中的最大数，运行程序得max＝4.
5．已知下列程序：
如果输出的是y＝0.75，则输入的x是________．
解析：由程序可知本题为根据输入的x，求函数y＝的函数值．我们可以分段令y＝0.75，并验证，可求得x＝－1.75.
答案：－1.75
6．(2016·滨州质检)读程序，完成下列题目：
程序如图：
(1)若执行程序时，没有执行语句y＝x＋1，则输入的x 的范围是________；
(2)若执行结果为3，则执行的赋值语句是________，输入的x的值是________．
解析：(1)不执行y＝x＋1语句，说明不满足条件x≥1，故有x <1.
(2)当x <1时，y<2×1＋1＝3，只有x＋1＝3，x＝2.
答案：(1) x <1 (2) y＝x＋1 2
7．儿童乘坐火车时，若身高不超过1.2 m，则无需购票；若身高超过1.2 m但不超过1.5 m，应买半票；若超过1.5 m，应买全票．试写出一个购票算法程序．
解：程序如下：
8．设计一个算法，求方程ax＋b＝0的解，并写出程序(注：本题程序中如果出现不等号，用“<>”表示)．
解：算法：
第一步：判断a≠0是否成立．若成立，输出结果“解为－”；否则执行第二步．
第二步：判断b＝0是否成立．若成立，输出结果“解集为R”；若不成立，输出结果“方程无解”，结束算法．
程序为：
第3课时 循环语句
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P29～P32，回答下列问题．
(1)循环语句与程序框图中的哪个结构相对应？
提示：循环结构．
(2)与图1.1－12中的直到型循环结构对应的UNTIL语句的一般格式是什么？
提示：一般格式为：
2．归纳总结，核心必记
(1)UNTIL语句
①UNTIL语句的格式：
②UNTIL语句的执行过程：
当计算机执行上述语句时，先执行一次DO和UNTIL之间的循环体，再对UNTIL后的条件进行判断．如果条件不符合，继续执行循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍不符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止．这时，计算机将不执行循环体，直接跳到UNTIL语句后，接着执行UNTIL语句之后的语句．
③UNTIL语句对应的程序框图：
(2)WHILE语句
①WHILE语句的格式：
②WHILE语句的执行过程：
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE和WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止．这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句．
③WHILE语句对应的程序框图：
[问题思考]
(1)循环语句与条件语句有何关系？
提示：循环语句中一定有条件语句，条件语句是循环语句的一部分，离开条件语句，循环语句无法循环．但条件语句可以脱离循环语句单独存在，可以不依赖循环语句独立地解决问题．
(2)编写程序时，什么情况下使用循环语句？
提示：在问题处理中，对不同的运算对象进行若干次相同运算或处理时，编写程序要用到循环语句．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)UNTIL语句的格式： ；
(2)WHILE语句的格式： ；
(3)循环语句的功能： .
观察如图所示的内容：
[思考] 怎样认识UNTIL语句？
名师指津：使用UNTIL语句应注意以下几点：
(1)DO语句只是循环体的开始标记，遇到DO语句，程序只是记住这个标记，其他什么也不做，接着执行后面的循环体，在执行一次循环体后，再检查UNTIL后的条件是否成立，如果不成立，就重复执行循环体，直到条件符合时退出循环．
(2)在循环体内，应注意务必有相应的语句使“条件”改变，保证能终止循环，否则循环将无休止地进行下去．
?讲一讲
1．编写一个程序计算＋＋＋…＋的值，并画出程序框图．
[尝试解答] 程序如下：
程序框图如图：
对UNTIL语句的几点说明
(1)直到型循环语句中先执行一次循环体，再判断条件是否满足，以决定继续循环还是退出循环．
(2)循环次数的控制往往是判断条件，在循环体内要控制条件的改变，否则会陷入死循环．
(3)控制循环次数的变量要综合考虑初始化时和LOOP UNTIL后两处，若初始值为1，则循环体中累加，若初始值为循环的次数，则循环体中递减．
?练一练
1．(1)用UNTIL语句写出求1－＋－＋…＋－的程序．
(2)根据下列程序，画出相应的程序框图．
解：(1)程序如下：
(2)程序框图如图所示．
观察如图所示的内容：
[思考] 怎样认识WHILE语句？
名师指津：使用WHILE语句应注意以下几点：
(1)当型循环以WHILE语句开头，以WEND作为结束标志．WEND是WHILE END的缩写，表示WHILE循环到此为止．
(2)执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，然后再判断条件，再执行循环体，反复执行，直到条件不满足．
(3)WHILE语句中的条件是指循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，不满足时则执行循环体结构后面的内容．
(4)WHILE语句由于先条件，再循环体，因此循环体可能一次也不执行就退出循环结构．
?讲一讲
2．给出了30个数，1,2,4,7,11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，依次类推，要求计算这30个数的和，先将下面所给出的程序框图补充完整，再依据程序框图写出程序．
(1)把程序框图补充完整：①________，②________；
(2)写出程序．
[尝试解答] (1)①i≤30？ ②P＝P＋i
(2)程序：
对WHILE语句的几点说明
(1)计算机执行当型循环语句时，先判断条件的真假，若条件为真，执行循环体，若为假则退出．这是确定是否应用当型语句的关键．
(2)当型循环语句中WHILE和WEND成对出现．
(3)判断条件往往是控制循环次数的变量．
?练一练
2．设计计算1＋2＋3＋4＋…＋99的值的一个算法，画出程序框图，并编写程序．
解： 程序框图如图所示：
程序如下：
?讲一讲
3．分别用当型和直到型循环语句编写一个程序，同时计算1×3×5×…×99和2×4×6×…×100的值．
[尝试解答] 用UNTIL语句编写程序：
用WHILE语句编写程序：
两种循环语句的异同
两种循环语句的相同点是：(1)进入循环前的语句相同；(2)循环体相同；(3)输出部分相同．
不同点是：(1)循环条件的位置不同；(2)循环条件不同．
?练一练
3．分别写出下列算法语句(1)和(2)运行的结果(1)________；(2)________．
(1) (2)
解析：由程序(1)，知S＝0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＝21>20时，终止运行，此时i＝7.
对于程序(2)有S＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21>20时，终止运行，此时，循环执行了6次，所以i＝6.
答案：(1)7 (2)6
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是理解两种循环语句的格式与功能．难点是会用两种循环语句编写算法语句，能根据程序写出运行结果．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)把握两种语句的内涵，准确使用两种语句解题，见讲1,2.
(2)把握两种语句的转化方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)混淆两种语句，如讲3；
(2)对控制循环的条件理解不清而致错，如讲1,2,3.
课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 UNTIL语句及应用
1．下列循环语句是程序的一部分，循环终止时，i等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 该循环语句是直到型循环语句，当条件i＞4开始成立时，循环终止，则i＝5，故选C.
2．下面程序输出的结果为( )
A．17 B．19
C．21 D．23
解析：选C 当i＝9时，S＝2×9＋3＝21，判断条件9≥8成立，跳出循环，输出S.
3．如果下列程序执行后输出的结果是132，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为( )
A．i>11 B．i＞＝11
C．i＜＝11 D．i <11
解析：选D 当i＝12时，s＝1×12＝12；当i＝11时，s＝11×12＝132.故应填i <11.
题组2 WHILE语句及应用
4．下列循环语句是程序的一部分，循环终止时，i等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 该循环语句是WHILE语句，当条件i＜3开始不成立时，循环结束，则所求i＝3.故选B.
5．求出下面语句的输出结果．
解：该程序的执行过程是
i＝4，S＝0，i＝4<6成立，i＝4＋2＝6，S＝0＋62＝36；
i＝6<6不成立输出S＝36.
6．给出一个算法的程序框图(如图所示)．
(1)说明该程序的功能；
(2)请用WHILE型循环语句写出程序．
解：(1)该程序的功能是求1＋＋＋…＋的值．
(2)程序如下：
题组3 循环语句的综合应用
7．已知有如下两段程序：
程序1 程序2
程序1运行的结果为________，程序2运行的结果为________．
解析：程序1是计数变量i＝21开始，不满足i≤20，终止循环，累加变量sum＝0，这个程序计算的结果为0；程序2计数变量i＝21，开始进入循环，sum＝0＋21＝21，i＝i＋1＝21＋1＝22，i >20，循环终止，此时，累加变量sum＝21，这个程序计算的结果为21.
答案：0 21
8．下面是“求满足1＋2＋3＋…＋n>2 014的最小的自然数n”的一个程序，其中有3处错误，请找出错误并予以更正．
解：错误1：“S＝1”改为“S＝0”；
错误2：无END语句，在输出下面加“END”；
错误3：“输出n＋1”改为“PRINT n”．
[能力提升综合练]
1．如下程序的循环次数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 程序执行如下：
(1)x＜20，x＝0＋1＝1，x＝12＝1；
(2) x＜20，x＝1＋1＝2，x＝22＝4，
(3) x＜20，x＝4＋1＝5，x＝52＝25，此时跳出循环，并输出x.
∴一共进行3次循环，故选C.
2．读程序：
甲： 乙：
对甲、乙程序和输出结果判断正确的是( )
A．程序不同，结果不同
B．程序不同，结果相同
C．程序相同，结果不同
D．程序相同，结果相同
解析：选B 执行甲、乙程序后，可知都是计算1＋2＋3＋…＋1 000的值．
3．(2015·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的k值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选B 程序框图运行如下：k＝0，a＝3×＝，k＝1，此时>；a＝×＝，k＝2，此时>；a＝×＝，k＝3，此时>；a＝×＝，k＝4，此时<，输出k＝4，程序终止．
4．(2016·吉林高一检测)已知有下面的程序，如果程序执行后输出的结果是360，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为________．
解析：因为输出的结果是360，即s＝1×6×5×4×3，需执行4次，s需乘到3，i＜3后结束算法．所以，程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜3(或i＜＝2)．
答案：i＜3(或i＜＝2)
5．在下面的程序中，若输出k＝3，则输入的最小整数n＝________.
解析：设n＝a，则第一次循环，n＝2 a＋1，k＝1；第二次循环，n＝2(2 a＋1)＋1＝4 a＋3，k＝2；第三次循环，n＝2(4 a＋3)＋1＝8 a＋7，k＝3，此时，执行“是”，结束循环，输出k＝3.因此8 a＋7＞100，即a＞，故n最小为12.
答案：12
6．编写一个程序计算12＋32＋52＋…＋992，并画出相应的程序框图．
解：程序如下：
程序框图如图所示：
7．输入100个数，将其中正数的个数输出．试用循环语句设计程序．
解：用WHILE语句编写程序如下：
或用UNTIL语句编写程序如下：
第3节 算法案例
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P34～P45，回答下列问题．
(1)小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么？
提示：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来．
(2)辗转相除法的操作步骤是什么？
提示：两个数中用较大的数除以较小的数，求得商和余数，再用除数除以余数，如此重复，直到所得余数为0，即可求得两个数的最大公约数．
(3)更相减损术的操作步骤什么？
提示：第一步，任意给定两个正整数，判定它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
(4)应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？
提示：求多项式的值时，先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外逐层计算一次多项式vk(k＝2,3,4，…，n)的值．
(5)将k进制数转化为十进制的方法是什么？
提示：“除k取余法”．
2．归纳总结，核心必记
(1)辗转相除法与更相减损术
①辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
②更相减损术：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
(2)秦九韶算法
求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
设v1＝anx＋an－1，
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
……
vn＝vn－1x＋a0.
(3)进位制
①进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②其他进位制与十进制间的转化
(ⅰ)其他进位制化成十进制
其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式．
(ⅱ)十进制化成k进制的方法——“除k取余法”．
[问题思考]
(1)辗转相除法与更相减损术有什么联系？
提示：①都是求两个正整数的最大公约数的方法．
②二者的实质都是递推的过程．
③二者都是用循环结构来实现．
(2)辗转相除法与更相减损术有什么区别？
提示：
辗转相除法
更相减损术
区别
①以除法为主．
②两个整数差值较大时运算次数较少．
③相除余数为零时得结果
①以减法为主．
②两个整数的差值较大时，运算次数较多．
③相减，差与减数相等得结果．
④相减前要做是否都是偶数的判断
(3)当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？
提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0·xn的形式．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)辗转相除法是什么？
；
(2)更相减损术是什么？
；
(3)秦九韶算法是什么？
；
(4)进位制及进位制间的互化： .
观察如图所示的内容：
[思考1] 辗转相除法的算理是什么？
名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
[思考2] 更相减损术的算理是什么？
名师指津：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数．
?讲一讲
1．用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
[尝试解答] 用辗转相除法：
612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，
即612和468的最大公约数是36.
用更相减损术检验：
612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，
所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.
求最大公约数的两种方法步骤
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．
?练一练
1．用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；
解：因为1 785＝840×2＋105，
840＝105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
观察如图所示的内容：
[思考] 秦九韶算法的原理是什么？
名师指津：秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的．
设f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为
f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
令v0＝an，则有公式其中k＝1,2，…，n.
这样我们便可由v0依次求出v1，v2，…，vn：
v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，
vn＝vn－1x＋a0.
?讲一讲
2．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋3x＋2当x＝－2时的值为( )
A．320 B．－160 C．－320 D．300
[尝试解答] 将多项式变式为f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋3)x＋2，v0＝1，v1＝－2＋(－5)＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋3＝－159，v6＝－159×(－2)＋2＝320，即x＝－2时，多项式的值为320.
答案：A
利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．
?练一练
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为( )
A．－144 B．－136
C．－57 D．34
解析：选B 根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.
观察如图所示的内容：
[思考1] 进位制应如何表示？
名师指津：若一个数为十进制数，其基数可以省略不写，若是其他进位制，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数．
[思考2] 常见的进位制有哪些？
名师指津：(1)二进制：
①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10(2)．
(2)八进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同数字；
②满八进一，如7＋1＝10(8)；
(3)十六进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；
②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10(16)．
?讲一讲
3．(1)把二进制数101 101(2)化为十进制数；
(2)把十进制数458转化为四进制数．
[尝试解答] (1)101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101 101(2)转化为十进制数为45.
(2)
458＝13 022(4)．
进位制的转换方法
(1)将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果．
(2)十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余．
?练一练
3．(1)二进制数算式1 010(2)＋10(2)的值是( )
A．1 011(2) B．1 100(2)
C．1 101(2) D．1 000(2)
(2)下列各组数中最小的数是( )
A．1 111(2) B．210(6)
C．1 000(4) D．101(8)
解析：(1)选B 二进制数的加法是逢二进一，所以选B.
(2)选A 统一化为十进制数为1 111(2)＝15；210(6)＝78；1 000(4)＝64；101(8)＝65.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化．难点是会用秦九韶算法求多项式的值．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)掌握求最大公约数的两种方法步骤，见讲1.
(2)掌握秦九韶算法步骤，见讲2.
(3)进位制的转换方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)弄不清秦九韶算法的原理而致错，如讲2；
(2)进位制之间转换的方法混淆而致错，如讲3.
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 辗转相除法与更相减损术
1．下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是( )
A．都是偶数必须约简
B．可以约简，也可以不约简
C．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12
D．以上都不对
解析：选B 约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A错．C中第二步应为84－72＝12，故选B.
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C 294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，共做4次减法运算．
3．1 624与899的最大公约数是________．
解析：1 624＝899×1＋725，
899＝725×1＋174，
725＝174×4＋29，
174＝29×6，
故1 624与899的最大公约数是29.
答案：29
4．用两种方法求210与98的最大公约数．
解：用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
题组2 秦九韶算法
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( )
A．4×4＝16 B．7×4＝28
C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34
解析：选D 因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.
6．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
答案：A
7．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．
解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13.
v0＝3，
v1＝v0×6＋12＝30，
v2＝v1×6＋8＝188，
v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，
v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，
v5＝v4×6＋5＝40 530.2，
v6＝v5×6－13＝243 168.2.
所以f(6)＝243 168.2.
题组3 进位制及其转化
8．以下各数有可能是五进制数的是( )
A．15 B．106
C．731 D．21 340
解析：选D 五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.
9．完成下列进位制之间的转化．
(1)1 034(7)＝________(10)；
(2)119(10)＝________(6)．
解析：(1)1 034(7)＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368.
(2)
∴119(10)＝315(6)．
答案：(1)368 (2)315
10．若k进制数123(k)与十进制数38相等，则k＝________.
解析：由k进制数123可知k≥4.
下面可用验证法：
若k＝4，则38(10)＝212(4)，不合题意；
若k＝5，则38(10)＝123(5)成立，所以k＝5.
答案：5
11．若1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值及与此相等的十进制数．
解：∵1 0b1(2)＝a02(3)，
∴1×23＋b×2＋1＝a×32＋2，
且a只能取1,2，b只能取0,1.
整理得9a－2b＝7.
当b＝0时，a＝(不合要求，舍去)；
当b＝1时，a＝1.
∴a＝b＝1.
∴102(3)＝1 011(2)，
转化为十进制数为1×32＋2＝11.
[能力提升综合练]
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为( )
A．x3－(3x－2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
解析：选D f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故选D.
2．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )
A．5,150 B．15,450
C．450,15 D．15,150
解析：选B 利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.
3．下列各数中，最小的是( )
A．101 010(2) B．111(5)
C．32(8) D．54(6)
解析：选C 101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.
又42>34>31>26，故最小的是32(8)．
4．(2016·福州高一检测)三进制数2 022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.
解析：2 022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.
三进制数2 022(3)化为六进制数为142(6)，
∴a＋b＋c＝7.
答案：7
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．
解析：多项式变形为
f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1
＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，
v0＝3，
v1＝3×(－4)＋12＝0，
v2＝0×(－4)＋6＝6，
v3＝6×(－4)＋10＝－14，
v4＝－14×(－4)－8＝48，
所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.
答案：62
6．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
解：先求147与343的最大公约数．
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数．
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
所以每瓶最多装7 g.
7．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？
解：由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：
11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝16＋8＋2＋1＝27(10)．
又27×1 000＝27 000，
所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯.
