1.1 集合的含义与表示
[核心必知]
1．集合的含义与标记
一般地，指定的某些对象的全体称为集合，常用大写字母A，B，C，D，…标记．
2．元素的定义、标记与特性
(1)定义与标记：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a，b，c，d，…标记．
(2)特征：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
3．元素与集合的关系
4.常见集合的符号表示
5.集合的常用表示方法
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．
(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用确定的条件表示某些对象属于这个集合的方法叫作描述法．
6．集合的分类
按所含元素的个数分为：
(1)有限集：含有限个元素的集合．
(2)无限集：含无限个元素的集合．
(3)空集?：不含有任何元素的集合．
[问题思考]
1．通过对集合含义的学习，你认为“我们班中聪明的同学”，“时尚的同学”，“所有的小河”，“很小的数”能组成一个集合吗？为什么？
提示：不能，因为没有明确的标准．
2．下列关系正确吗？
①0∈N＋；②π∈R；③1∈Q；④0∈Z；⑤0∈N.
提示：②③④⑤正确．
3．你认为列举法和描述法分别适合表示什么特点的集合？
提示：一般地，列举法适合表示有限集合(当元素个数不太多时)，描述法适合表示无限集或其元素不宜一一列举的集合．
?讲一讲
1．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[尝试解答] 因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3和－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时，集合A含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
利用集合元素互异性求参数问题
(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
?练一练
1．由实数x2,1,0，x所组成的集合里最少有________个元素．
解析：若x2＝x＝1，即x＝1，则集合中有2个元素；若x2＝x＝0，即x＝0，则集合中也有2个元素，故集合里最少有2个元素．
答案：2
2．若集合A中有且仅有三个数1,0，a，若a2∈A，求a的值．
解：若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a2≠0.
若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，所以当a＝－1时适合．
若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．
综上可知，a＝－1.
?讲一讲
2．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R), 选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
[尝试解答] 选C 集合A中元素y是实数，不是点，故B、D不正确； 集合B的元素(x，y)是点而不是实数，所以A不正确，选项C经验证正确．
(1)判断一个元素是不是某个集合的元素就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征，若具有共同的特征，则属于这个集合，否则不属于．
(2)当集合是用列举法表示时，若某一元素属于该集合，则该元素与集合中的某一元素相等，解决此问题时要注意集合中元素的互异性，故求解后要检验．
?练一练
3．已知6∈{2,4，x，x2＋x}，则x等于( )
A．2 B．6
C．2或6 D．－3或6
解析：选D 当x＝6时，集合为{2,4,6,42}；
当x2＋x＝6，即x＝2或x＝－3，易知x＝2不合题意；
当x＝－3时，集合为{2,4，－3,6}所以a＝6或－3.
4．用符号∈或?填空．
(1)2________{x|x＜}，＋________{x|x≤2＋}；
(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N}，(－1,1) ________{y|y＝x2}；
(3)设x＝，y＝3＋π，M＝{m|m＝a＋b，a∈Q，b∈Q}，则x________M，y________M.
解析：(1)2＝＞；
＋＝＝＜＝＝2＋；∴填?，∈.
(2)设n2＋1＝3，n＝±?N，∴填?.
把(－1,1)代入y＝x2成立，但(－1,1)是有序实数对，而{y|y＝x2}是y的取值集合，∴填?.
(3)x＝＝－－，－∈Q，－∈Q.
∴x∈M.∵π?Q，∴y?M.∴填∈，?.
答案：(1)? ∈ (2)? ? (3)∈ ?
?讲一讲
3．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于16的质数组成的集合A；
(2)方程x2－2x＋1＝0的解组成的集合B；
(3)平面直角坐标系中直线y＝x上的点组成的集合C；
(4)所有被3除余1的整数组成的集合D；
(5)E＝
；
(6)F＝.
[尝试解答] (1)大于2且小于16的质数有3,5,7,11,13，故A＝.
(2)方程x2－2x＋1＝0有两个相等的解1，故B＝{1}．
(3)平面直角坐标系中直线y＝x上的点组成的集合是点集，故C＝.
(4)这一集合中元素的属性为被3除余1且为整数，所以D＝.
(5)∵x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋，∴或或∴E＝.
(6)∵∈Z，且x∈N，∴1＋x＝1,2,3,6.
∴x＝0,1,2,5.即＝6,3,2,1.∴F＝.
(1)当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：①元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合中的元素不能重复；⑤集合中的元素可以是任何事物．
(2)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
?练一练
5．给出下列说法：
①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选A 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；
方程＋|y＋2|＝0等价于即解为有序实数对(2，－2)，
即解集为{(2，－2)}或，故②不正确；
集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相
同．③不正确．
已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
[错解] 由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得：a≤－1，
[错因] 涉及关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的问题，易误认为其一定是关于x的一元二次方程，即a≠0，而丢掉二次项系数a＝0的情况，导致错误，解决这类含参数的问题，一定要注意二次项，一次项系数是否为0的情况．
[正解] 当a＝0时，方程只有一个根－，则a＝0符合题意．
当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一个元素，
则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，
解得a≤－1.
综上可得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．
1．下列各组对象中能构成集合的是( )
A．2016年中央电视台春节联欢晚会中吸引观众的演员
B．某校高一年级高个子的学生
C.的近似值
D．2015年全国经济百强县
答案：D
2．给出以下结论：
①{2,4,6,8}与{4,8,2,6}是同一集合；
②{y|y＝x2，x∈R}与{(x，y)|y＝x2，x∈R}是同一集合；
③{0,1}与{(0,1)}是不同集合．
其中正确的结论个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C ①正确；②中的两个集合不是同一集合，元素不一样；③中的两个集合也不是同一集合，也是元素不一样．
3．给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N＋；
④|－|∈N.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 由元素与集合的关系知①②正确，③④错误．
4．集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中只有一个元素，则m的值构成的集合为________．
解析：当m＝0时，A＝{－1}满足题意；
当m≠0时，由Δ＝4－8m＝0，得m＝，A＝{－2}，满足题意，综上可知．m＝0，.∴m的值构成的集合为.
答案：
5．设A＝{x－2,2x2＋5x,12}，若－3∈A，则x＝________.
解析：由题意可知：x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入集合A中，x－2＝2x2＋5x＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
当2x2＋5x＝－3时，x＝－满足已知条件(x＝－1舍去)，所以x＝－.
答案：－
6．选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，
－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为；
(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
一、选择题
1．下列四个关系式中，正确的是( )
A．?∈{a} B．a?{a}
C．a∈{a，b} D．{a}∈{a，b}
答案：C
2．有下列说法：
(1)0与{0}表示同一个集合；
(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
(3)方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
(4)集合{x|4
其中正确的说法是( )
A．只有(1)和(4)
B．只有(2)和(3)
C．只有(2)
D．以上四种说法都不对
解析：选C 0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|43．(新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 ( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
4．下面六种表示法：①{x＝2，y＝1}；②；③{(2,1)}；④(－1,2)；⑤{2,1}；⑥{(x，y)|x＝2，或y＝1}，能正确表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②③ D．②③⑥
解析：选C 方程组的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2,1)}，用描述法表示为{(x，y)|x＝2，且y＝1}或.①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x＝2及y＝1上的所有点．④不是集合．
二、填空题
5．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________.
解析：由已知B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
6．已知集合M＝
，则M＝________.
解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，
所以a＝4,3,2，－1.
答案：{4,3,2，－1}
7．已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 012＋a2 013＝________.
解析：依题意b＝0，
∴＝{a,0,1}，{a2，a＋b,0}＝{a,0，a2}，
于是a2＝1，
∴a＝－1或a＝1(舍去)，故a＝－1，
∴a2 012＋a2 013＝0.
答案：0
8．集合A＝{x|x2＋ax－2≥0，a∈Z}，若－4∈A,2∈A，则满足条件的a组成的集合为________．
解析：由题意知解得－1≤a≤.
又∵a∈Z，∴满足条件的a组成的集合为{－1,0,1,2,3}．
答案：{－1,0,1,2,3}
三、解答题
9．设集合A含有3个元素a2＋2a－3,2,3，集合B含有2个元素2，|a＋3|，已知5∈A且5?B，求a的值．
解：因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．
当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4.
10．数集A满足条件：若a∈A，a≠－1，则∈A.
(1)若2∈A，写出A中的两个元素；
(2)若A为单元素集合，求出A和a.
解：(1)若a∈A，a≠－1，则∈A，
∴当2∈A时，＝∈A；
当＝2即a＝－时，2∈A.
综上可知，A中还有的两个元素为－和.
(2)∵A为单元素集合，则必有：a＝，
即a2＋a－1＝0，
解得：a＝或a＝，
∴A＝，a＝或A＝，a＝.
1.2 集合的基本关系示
[核心必知]
1．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
2．子集
(1)定义及记法：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(2)Venn图示：当A?B时，用Venn图表示，如图①，图②所示．
(3)子集的性质：
①任何一个集合都是它本身的子集，即A?A；
②规定空集?是任何集合的子集，即??A.
3．集合相等
(1)定义及记法：对于集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.
(2)Venn图示：当A＝B时，用Venn图表示，如图所示．
4．真子集
(1)定义及记法：对于两个集合A与B，如果A?B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(2)Venn图示：当A?B时，用Venn图表示，如图表示．
5．不包含于或不包含
(1)记法：
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作A?B(或B?A)．
(2)Venn图示：
[问题思考]
1．符号∈和?有什么区别？
提示：符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，∈R；符号?只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须是集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}?{1,0}，{x|x＜2}?{x|x＜3}．
2．若A?B，B?C，则A?C，对吗？若将“?”换成“?”呢？
提示：对，A?B，B?C即是任意x∈A，必有x∈B，进而x∈C，所以A?C，换成“?”也对．
3．空集没有子集，对吗？若A≠?，则??A对吗？
提示：空集是任何集合的子集，所以???，故前一种说法不对．若A≠?，则??A，后一种说法对．
?讲一讲
1．已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.
[尝试解答] 由题意知，M至少含有1,2两个元素，至多有1,2,3,4,5五个元素，所以满足条件的M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共8个．
若本例中条件变为
{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，则这样的集合M共有多少个？
解：有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共6个.
(1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．
(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即?和集合自身．
(3)含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．
?练一练
1．设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，其子集为?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集为?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
?讲一讲
2．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求实数a，b的值．
[尝试解答] ∵M＝N，∴或
解得或或
再根据集合中元素的互异性得或
解决集合相等问题的步骤：①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的互异性，则所求是可行的，否则应舍去．
?练一练
2．若A＝{x|x2－x＝0}，B＝，则 ( )
A．A＝B B．A?B
C．A?B D．以上都不对
解析：选A ∵A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，
B＝{x|x＝，n∈Z}＝{0,1}．∴A＝B.
3．试确定整数x和y，使得 {2x，x＋y}＝{7,4}．
解：由集合相等的定义，得或
当时，解得
∵x，y∈Z，∴该组解舍去．
当时，
解得符合题意．
故x＝2且y＝5.
?讲一讲
3．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围．
[尝试解答] A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}，
∵B?A，∴分B＝A，B?A两种情况讨论．
①当A＝B时，B＝{－4,0}，即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当B?A时，若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1；
若B≠?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1.
验证知B＝{0}满足条件．
综上可知，所求实数a的取值范围为a＝1或a≤－1.
(1)根据两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合中元素的关系，转化为解方程或解不等式．
(2)空集是任何集合的子集，因此在处理A?B(B≠?)的含参数问题时，要注意讨论A＝?和A≠?两种情况．
?练一练
4．已知A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，试求a的值．
解：由x2－2x－3＝0得，x＝－1或x＝3.
∴A＝{－1,3}．
(1)当a＝0时，方程ax＝1无解．
∴B＝?，满足B?A.
(2)当a≠0时，方程ax＝1的解为x＝，
∴B＝.
∵B?A＝{－1,3}．
∴＝－1或＝3.
∴a＝－1或a＝.
故a的值是0或－1或.
设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B?A.求实数m的取值范围．
[错解] ∵A＝{x|－1≤x≤6}，
又∵B?A，
∴解得0∴实数m的取值范围是.
[错因] (1)忽略讨论B＝?的情况从而导致漏解．空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对B＝?与B≠?两种情况分别确定m的取值范围．
(2)忽略等号成立的情况，从而导致漏解和错解．利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及到两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助于数轴来建立变量间的关系，需特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)既是学习的难点，也是平时考查的重点之一，应引起足够的重视．
[正解] ∵A＝{－1≤x≤6}，
又∵B?A.
(1)当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝?，符合题意．
(2)当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠?.
由B?A，借助数轴表示如图所示．
则
解得0≤m≤.
综上(1)(2)所述，m的取值范围为(－∞，－2) ∪.
1．下列关系中正确的个数为( )
①0∈{0}，②??{0}，③{0,1}?{(0,1)}，
④{(1,3)}＝{(3,1)}
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B ①②正确，③④错误．
2．若集合M＝，N＝xx＝－，n∈Z，P＝，则M，N，P的关系是( )
3．设集合A＝{x|1A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2
解析：选A ∵A?B，∴任意x∈A，有x∈B，结合数轴可知，a≥2.
4．已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若N?M，则实数m＝________.
解析：∵m－1∈N，N?M，∴m－1∈M，
∴m－1＝－8或m－1＝9，∴m＝－7或10.
答案：－7或10
5．已知A?{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有________个．
解析：由题意知，这样的集合A有{1}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}共5个．
答案：5
6．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，求实数b的值．
解：∵M＝N，M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，
∴b＝b2，解得b＝1或b＝0.
经检验知，b＝1符合要求，∴b＝1.
一、选择题
1．下列关系正确的是( )
A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R}
B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．{(x，y)|x2－y2＝1}{(x，y)|(x2－y2)2＝1}
D．{x∈R|x2－2＝0}＝?
解析：选C 由元素与集合，集合与集合间关系的定义知，A、B、D错误，C正确．
2．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则集合A、B、C之间关系完全正确的是( )
解析：选C 集合A中元素所具有的特征：x＝2k＋1＝2(k＋1)－1，
∵k∈Z，∴k＋1∈Z与集合B中元素所具有的特征完全相同，
∴A＝B；当k＝2n时，x＝2k＋1＝4n＋1 当k＝2n＋1时，x＝2k＋1＝4n＋3.即C是由集合A中的部分元素所组成的集合．
∴C?A，C?B.
3．已知A＝{－2,2 012，x2－1}，B＝{0,2 012，x2－3x}，且A＝B，则x的值为( )
A．1 B．0 C．－1 D．－1,1
解析：选A ∵A＝B，
∴解得x＝1.
4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则M和N的关系是( )
解析：选B ∵M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴NM.
二、填空题
5．(江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集．
解析：由题意知，所给集合的子集个数为23＝8.
答案：8
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝.则A，B的关系是________．
解析：＝1可化为y＝x(x≠0)，可知，集合A表示直线y＝x，集合B表示剔除(0,0)点的直线y＝x.故B?A.
答案：B?A
7．定义A*B＝{x|x∈A且x?B}，若A＝{1,3,4,6}，B＝{2,4,5,6}，则A*B的子集个数为________．
解析：由A*B的定义知：若A＝{1,3,4,6}，B＝{2,4,5,6}，则A*B＝{1,3}，∴子集个数为22＝4个．
答案：4
8．设A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}．若B?A，则a的值为________．
解析：∵B?A，∴a2－a＋1＝3或a.
当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验a＝－1,2均满足集合的互异性；
当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，故A＝{1,3,1}显然不满足集合元素的互异性，故a＝－1或2.
答案：－1或2
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B?A求实数a组成的集合C.
解：由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．
(1)当a＝时，由x－1＝0得x＝5.
∴B＝{5}．∴B?A.
(2)∵A＝{3,5}且B?A，
∴若B＝?，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.
若B≠?，则方程ax－1＝0中a≠0，得x＝.
∴＝3或＝5，即a＝或a＝.∴C＝.
10．已知集合A＝{x|1解：(1)当a＝0时，A＝?，满足A?B.
(2)当a＞0时，A＝.
∵A?B，∴≤1即a≥2.
(3)当a＜0时，A＝.
∵A?B，∴≥－2即a≤－1.
综上，实数a的范围是(－∞，－1]∪{0}∪[2，＋∞)
1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
[核心必知]
1．交集与并集的定义
自然语言
符号语言
图形语言
交集
由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2.交集、并集运算的性质
(1)交集运算性质：
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，(A∩B)?A，(A∩B)?B，A?B?A∩B＝A，(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)．
(2)并集运算性质：
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?(A∪B)，B?(A∪B)，A?B?A∪B＝B，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)．
[问题思考]
1．数学活动课上，小强说：“若x?(A∩B), 则x?A且x?B.”小刚说：“若x?(A∪B)，则x?A且x?B.”这两个同学说的都对吗？为什么？
提示：A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x?(A∩B)可分三种情况：x?A且x∈B，x∈A且x?B，x?A且x?B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x?(A∪B)，则必有x?A且x?B，即小刚同学说的正确．
2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？
提示：不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝?.
3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？为什么？
提示：不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．
?讲一讲
1．(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.
[尝试解答] (1)选B 由已知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1，0,1,2,3}，
∴M∩N＝{－2，－1,0,1}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．
(2)分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由图知，
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
若本例(2)中集合B＝{x|x≤a}，求A∩B.
解：因为A＝{x|－4≤x＜2}，
∴当a＜－4时，A∩B＝?，
当－4≤a＜2时，A∩B＝{x|－4≤x≤a}，
当a≥2时，A∩B＝A＝{x|－4≤x＜2}．
解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：
(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；
(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．
?练一练
1．(重庆高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3}，则A∩B＝ ( )
A．{2} B．{1,2}
C．{1,3} D．{1,2,3}
解析：选C A∩B＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．
2．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B.
解：利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．
?讲一讲
2．已知A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，求p，q，r的值．
[尝试解答] ∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.
将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝
－1.∴A＝{1，－2}．
∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，
∴B＝{－2,5}．∴4－2q＋r＝0且25＋5q＋r＝0.
解得q＝－3，r＝－10.故p＝－1，q＝－3，r＝－10.
应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式(组)等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集．
?练一练
3．设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.
解：∵2∈A，
∴|a＋1|＝2.
∴a＝1或a＝－3.
当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.
由集合中元素的互异性知a≠1.
当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，
即集合B＝{－5,3,2}．
∴A∪B＝{－5,2,3,5}．
?讲一讲
3．设A＝{x|x2－2x＝0}；B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的值．
[尝试解答] 由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.
∴A＝{0,2}．
(1)∵A∩B＝B，
∴B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．
当B＝?时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
当B＝{0}时，∴a＝0；
当B＝{2}时，无解；
当B＝{0,2}时，得a＝1.
综上所述，得a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}．
(2)∵A∪B＝B，∴A?B，
又∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，
∴A＝B，由(1)知a＝1.
解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质，A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A，将运算结果转化为两集合间的关系，从而构造方程或不等式求解．
?练一练
4．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}．
(1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
解：(1)∵A∪B＝B，
∴A?B，
由图可得
∴－6≤m≤－2为所求范围．
(2)∵A∩B≠?，
∴
∴－11＜m＜3为所求范围．
在2016年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的运动员有多少人？
[巧思] 设同时参加田赛和球类比赛的人数为x，利用Venn图和题设条件向图中填数，然后利用总人数为28得关于x的方程求解即可．
[妙解] 设参加径赛的运动员组成集合A，参加田赛的运动员组成集合B，参加球类比赛的运动员组成集合C.根据题意画出Venn图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意，得
9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.
所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．
1．(福建高考)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N?M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
解析：选D 因为－2?M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}．
2．已知集合A＝{x|－1A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
解析：
选A 将集合A与B在数轴上画出(如图)．
由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.
3．(浙江高考)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝( )
A．[－4，＋∞) B．(－2, ＋∞)
C．[－4,1] D．(－2,1]
解析：选D 由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－24．设A＝{0,1,2,4,5,7}，B＝{1,3,6,8,9}，C＝{3,7,8}，则A∩B＝________，(A∩B)∪C＝________.
解析：∵A∩B＝{1}，
∴(A∩B)∪C＝{1}∪{3,7,8}＝{1,3,7,8}．
答案：{1} {1,3,7,8}
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x>a}且满足A∩B＝?，则实数a的取值范围为________．
解析：利用数轴，∵A∩B＝?，∴a≥1.
答案：[1，＋∞)
6．已知关于x的方程3x2＋px－7＝0的解集为A，方程3x2－7x＋q＝0的解集为B，若A∩B＝，求A∪B.
解：∵A∩B＝，∴－∈A且－∈B.
∴32＋p－7＝0且3·2－7×＋q＝0.∴p＝－20，q＝－.
由3x2－20x－7＝0得A＝，
由3x2－7x－＝0得B＝，
∴A∪B＝.
一、选择题
1．(四川高考)设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝ ( )
A．{b} B．{b，c，d}
C．{a，c，d} D．{a，b，c，d}
解析：选D 依题意得知，A∪B＝{a，b，c，d}．
2．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：选D 由已知A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴
∴a＝4.
3．如图，图形中的阴影部分表示的是 ( )
A．(A∪C)∩(B∪C)
B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C)
D．(A∪B)∩C
解析：选A 由并集、交集的定义知(A∪C)∩(B∪C)正确．
4．设I＝{ 1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,3}，则称(A，B)为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A，B)与(B，A)是两个不同的“理想配集”)( )
A．4 B．8 C．9 D．16
解析：选C 由题意，可用Venn图表示所有理想配集如下：
所以，符合条件的“理想配集”共有9个．
二、填空题
5．(江苏高考)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
解析：集合A，B都是以列举法的形式给出，易得A∪B＝{1,2，4,6}．
答案：{1,2,4,6}
6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解析：由题意知：a2＋4＞3，故a＋2＝3，即a＝1，经验证，a＝1符合题意．∴a＝1.
答案：1
7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30?x＝3，
∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．
答案：12
8．已知集合T是方程x2＋px＋q＝0(p2－4q＞0)的解组成的集合，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，且T∩A＝?，T∩B＝T，则实数p＝________，q＝________.
解析：∵Δ＝p2－4q＞0，∴方程x2＋px＋q＝0必有两个不等的实数根，即集合T中含有两个元素．
∵A∩T＝?，∴1,3,5,7,9?T.
又T∩B＝T，∴T?B.
∴T＝{4,10}，即4和10是方程x2＋px＋q＝0的根．
由韦达定理，得
∴
答案：－14 40
三、解答题
9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
解：∵A∪B＝A，∴B?A.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠?，
∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
当B≠?时，如图所示，
由数轴可得解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，
即m≤3.
10．已知集合A＝{x|x2－mx＋m2－19＝0}，B＝{y|y2－5y＋6＝0}，C＝{z|z2＋2z－8＝0}，是否存在实数m，使得A∩B≠?，A∩C＝?同时成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，则说明理由．
解：假设存在这样的实数m，
∵B＝{y|y2－5y＋6＝0}＝{2,3}，
C＝{z|z2＋2z－8＝0}＝{－4,2}，
又A∩C＝?，∴2?A，－4?A.
又A∩B≠?，∴3∈A，把x＝3代入x2－mx＋m2－19＝0中，解得m＝5或m＝－2.
当m＝5时，A＝{2,3}，与A∩C＝?矛盾，当m＝－2时，A＝{－5,3}，符合题意，∴m＝－2.
故存在m＝－2，使得A∩B≠?，A∩C
＝?同时成立．
第2课时 全集与补集
[核心必知]
1．全集
(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
2．补集
(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)．
(2)符号表示：U中子集A的补集记作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
(3)图示：用Venn图表示?UA，如图所示．
(4)运算性质：
①A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.
②?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
[问题思考]
1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？
提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．
2．?UA在U中的补集?U(?UA)与集合A有什么关系？
提示：相等．
3．?AC与?BC相等吗？为什么？
提示：不一定．依据补集的含义，符号?AC和?BC都表示集合C的补集，但是?AC表示集合C在全集A中的补集，而?BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以?AC与?BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．
如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3,4}，则?AC＝{2,5,6,7,8,9}，?BC＝{0,2}，很明显?AC≠?BC.
?讲一讲
1．(1)(广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，则?UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,4,6} D．{2,4,6}
(2)U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{2,3,4}，求?UA，?UB.
[尝试解答] (1)选C 由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，从而?UM＝{3,4,6}．
(2)法一：U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,5}，
∴?UA＝{1,2,4}，?UB＝{1,5}．
法二：Venn图表示．
∴?UA＝{1,2,4}，?UB＝{1,5}．
在求集合的补集运算时，①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
?练一练
1．(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0(2)已知全集U＝{不大于10的非负偶数}，A＝{0,2,4,6}，B＝{x|x∈A且x<4}，求?UA，A∩(?UB)．
解：(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，
B＝{x|0可知?UA＝{x|1结合数轴(如图)．
可知(?UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}；
(2)法一：由题意知U＝{0,2,4,6,8,10}，
A＝{0,2,4,6}，B＝{0,2}，
∴?UA＝{8,10}，?UB＝{4,6,8,10}．∴A∩(?UB)＝{4,6}．
法二：可用Venn图：
∴?UA＝{8,10}，A∩(?UB)＝{4,6}．
?讲一讲
2．(1)已知全集U＝{2,0,3－a2}，子集P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，求实数a；
(2)已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A??RB，求a的取值范围．
[尝试解答] (1)∵?UP＝{－1}，∴－1∈U且－1?P.
∴?a＝2.
经检验知：a＝2适合题意．
(2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，
∵A?RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠?，则有或∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
解决此类问题要充分利用补集的定义，借助题干条件，建立关于参数的方程或不等式(组)求解，必要时可借助数轴或Venn图．
?练一练
2．设集合A＝{|2a－1|,2}，B＝{2,3，a2＋2a－3}且?BA＝{5}，则实数a的值是________．
解析：由补集的性质可知：
∴解得a＝2.
答案：2
3．已知集合A＝{x|xA．a≤2 B．a＜1
C．a≥2 D．a＞2
解析：选C ∵B＝{x|1＜x＜2}，∴?RB＝{x|x≤1或x≥2}，
由A∪(?RB)＝R，如图所示
可知a≥2.
?讲一讲
3．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
[尝试解答]
在数轴上分别表示出全集U及集合A，B(如图所示)，先求出?UA及?UB，再求解．
则?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
所以A∩B＝{x|－2＜x≤2}；
(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩(?UB)＝{x|2＜x＜3}．
解答此类交、并、补综合运算问题，常用方法有两种：
(1)通法，利用定义，注意求解的顺序．
(2)利用Venn图：
要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题，注意(?UA)∩B，(?UB)∩A等在图示法中的表示如图(1)所示：
如图(2)所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：
①(?UA)∩B；②(?UB)∩A；③A∩B；④?U(A∪B)．
?练一练
4．已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的素数}，M?U，N?U，且M∩(?UN)＝{3,5}，(?UM)∩N＝{7,19}，(?UM)∩(?UN)＝{2,17}，求集合M，N.
解：用图示法表示集合U，M，N(如图)，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内．
由图可知，M＝{3,5,11,13}，
N＝{7,11,13,19}．
已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)，A∩(?UB)，(?UA)∪B.
[解] 法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．
∵?UA＝{1,2,6,7,8}，?UB＝{1,2,3,5,6}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{1,2,6}，
A∩(?UB)＝{3,5}，
(?UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
法二：A∩B，A∪B，A∩(?UB)求法同解法一．
(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{1,2,6}，
(?UA)∪B＝?U(A∩?UB)＝{1,2,4,6,7,8}．
[尝试用另一种方法解题]
法三：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(?UA)∩(?UB)＝{1,2,6}，A∩(?UB)＝{3,5}，(?UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
1．(辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(?UA)∩(?UB)＝( )
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
解析：选B 因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{7,9}．
2．设集合A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选B A∪B＝{3,4,5,6,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}∴?U(A∩B)＝{3,5,6,8}．
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图阴影部分表示的集合是( )
A．{3,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,5} D．{3,4}
解析：选D 由题知，阴影部分是?U(M∪N)＝{3,4}．
4．(湖南高考)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝________.
解析：?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．
答案：{1,2,3}
5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，则实数m的取值范围为________．
解析：由已知A＝{x|x≥－m}，
∴?UA＝{x|x＜－m}．
∵B＝{x|－2＜x＜4}，(?UA)∩B＝?，
∴－m≤－2，即m≥2，
∴m的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
6．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.
解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如图所示，则
由图可知
?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2＜x＜3}，
?U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
(?UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或x＝3}．
一、选择题
1．(山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
解析：选C ?UA＝{0,4}，所以(?UA)∪B＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．
2．图中阴影部分表示的集合是( )
A．A∩(?UB) B．(?UA)∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
解析：选A 显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．
即：A∩?UB.
3．(浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?UQ)＝( )
A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5} D．{1,2}
解析：选D ?UQ＝{1,2,6}，故P∩(?UQ)＝{1,2}．
4．(重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
解析：选D 因为A∪B＝{1,2,3}，所以?U(A∪B)＝{4}，故选D.
二、填空题
5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈?UA，则实数m的取值范围是________．
解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，
∴?UA＝{x|x≤2}．
又m∈?UA，
∴m≤2.
答案：[2，＋∞)
6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则(?UA)∪(?UB)＝________.
解析：?UA＝{钝角三角形或直角三角形}，
?UB＝{锐角三角形或直角三角形}，
∴(?UA)∪(?UB)＝U.
答案：U
7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(?UC)＝________.
解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，?UC＝{1,2,5}，
∴(A∪B)∩(?UC)＝{2,5}．
答案：{2,5}
8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M?U，?UM＝{5,7}，则实数a的值为________．
解析：∵M?U，?UM＝{5,7}，
∴a－5＝3，∴a＝8.
答案：8
三、解答题
9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若?UA＝{1,4}，求m的值．
解：∵U＝{1,2,3,4}，?UA＝{1,4}，
又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}
∴A＝{2,3}．
∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，
由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m＝6.
10．我们知道，如果集合A?U，那么U的子集A的补集为?UA＝{x|x∈U，且x?A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x?B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．
据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及?UA；
(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝?，那么A与B之间具有怎样的关系？
解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，
?UA＝{x|x是高一(1)班的男生}．
(2)阴影部分如下图所示．
(3)若A－B＝?，则A?B.
1.集合的含义与表示
(1)集合中元素的特征：
集合中元素具有三大特征：①确定性；②互异性；③无序性．正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论．
(2)集合的表示法：
集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法．列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质．而图示法主要是指集合可借助Venn图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想．
2．元素与集合、集合与集合的关系
(1)元素与集合的关系有且仅有两种；属于(用符号∈表示)和不属于(用符号?表示)．如a∈A，a?B等．
(2)集合与集合的关系是：
3．空集的性质
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解．
4．集合的基本运算
(1)集合的基本运算包括交集、并集和补集运算．要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系．
(2)在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实．Venn图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn图表示．
[典例1] 已知M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合．
[解] ∵M∪N＝M，
∴N?M，即t2－t＋1∈M.
(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，
而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0.
(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，
由(1)知不合题意．
综上所述，t的取值集合为{0}．
[借题发挥] 对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算．
[对点训练]
1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．1或－1
解析：选A 由M∪N＝M知N?M.
∴a2＝0，或a2＝1.
∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.
而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
∴a＝－1.
[典例2] 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；
(2)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(3)是否存在a，使(?RA)∪B＝R，且A∩B＝?？
[解] (1)∵A∩B＝A.
∴A?B.结合数轴可知，
即－1≤a≤0.
(2)∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R，
∴
∴－1≤a≤0.
(3)∵(?RA)∪B＝R，
∴－1≤a≤0，
故a＋3∈[2,3]，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾，故a不存在．
[借题发挥] 解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解．
[对点训练]
2．已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞0}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0＜x≤2}，A∪B＝{x|x＞－2}，求a，b的值．
解：将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．
由A∩B＝{x|0＜x≤2}，知b＝2，且－1≤a≤0，
由A∪B＝{x|x＞－2}，知－2＜a≤－1.
综上可知a＝－1，b＝2.
[典例3] 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，且B≠A，求实数a的取值范围．
[解] ∵A∩B＝B，且B≠A，
∴BA.
又∵A＝{1,2}，
∴B＝?，{1}，{2}．
当B＝?时，
Δ＝4－4(a－1)＝4(2－a)<0，a>2.
当B＝{1}时，
得a－1＝1，a＝2.
当B＝{2}时，
无解．
综上所述，得a的取值范围为{a|a≥2}．
[借题发挥] 此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用．
[对点训练]
3．已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B?A，求实数a的取值范围．
解：∵a＜1，∴2a＜a＋1，∴B≠?.
在数轴上表示集合A，B，如图所示．
由B?A知，a＋1＜－1或2a≥1，即a＜－2或a≥.
又∵a＜1，∴a＜－2或≤a＜1.
故所求a的取值范围是
.
[典例4] 对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B中元素的个数．
[解] (1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，
∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)集合A中的任意一个元素与B中的一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为mn个．
所以，若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12个元素．
[借题发挥] 以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决．
[对点训练]
4．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )
A．27 B．26
C．9 D．8
解析：选A 当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．
（时间：90分钟 满分120分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a满足( )
A．a≤－1 B．a≥1
C．－1≤a≤1 D．a≤－1或a≥1
解析：选C 由P∪M＝P，得M?P，又M＝{a}，所以－1≤a≤1.
2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于( )
A．{2,4} B．{1,2,4}
C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}
解析：选C ∵M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，
∴M∩N＝{2,4,8}．
3．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
解析：选B M＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}．而集合N是连续正奇数构成的集合，∴M∩N＝{1,3}．
4．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则( )
A．A∩B＝A B．A∩B?A
C．A∪B＝B D．A∩B?A
解析：选D ∵B＝{x|x＝2a，a∈A}，
∴B＝{0,2,4,6}．
又A＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{0,2}A.
5．(安徽高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
解析：选A 集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，
所以(?RA)∩B＝{－2，－1}．
6．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x∈P，但x?Q}，则P－(P－Q)等于( )
A．P B．Q
C．P∩Q D．P∪Q
解析：选C 法一：结合Venn进行分析推理即可得出答案．
法二：采用赋值法进行验证可得．
令P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{2,3,4,5}，则P－Q＝{1}＝M，P－(P－Q)＝P－M＝{x|x∈P，但x?M}＝{2,3,4,5}，结合选项应选C.
7．满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，
∴集合M必含有a1，a2，且不含有a3.
又∵M?{a1，a2，a3，a4}，∴M＝{a1，a2}，{a1，a2，a4}，共2个．
8．设I是全集，集合P，Q满足P?Q，则下列结论中错误的是( )
A．P∪(?IQ)≠?
B．(?IP)∪P＝I
C．P∩(?IQ)≠?
D．(?IP)∩(?IQ)≠?IP
解析：选C 依题意画出Venn图，如下图所示，显然A，B，D正确．
9．下列四个命题：
①{0}是空集；
②若a∈N，则－a?N；
③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；
④集合是有限集．
其中，正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选D ①∵{0}是含有一个元素0的集合，而不是空集，
∴①不正确．
②当a＝0时，∵0∈N，∴②不正确．
③∵x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，∴{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∴③不正确．
④当x为正整数的倒数时，∵∈N，
∴是无限集，∴④不正确．
10．若非空集合A，B，U满足A∪B＝U，A∩B＝?，则称(A，B)为U的一个分割，则集合U＝{1,2,3}的不同分割有( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
解析：选B 依题意可得，当集合A为{1}时，B为{2,3}；当A为{2}时，B为{1,3}；当A为{3}时，B为{1,2}；同时对调A、B的位置，也可得到三对集合，所以符合条件的有6个．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________．
解析：B＝{c}或{a，c}，或{b，c}，或{a，b，c}，共4个．
答案：4
12．设U＝R，M＝{x|x≥2}，N＝{x|－1≤x<5}，则(?UM)∪(M∩N)等于________．
解析：?UM＝{x|x<2}，M∩N＝{x|2≤x<5}，(?UM)∪(M∩N)＝{x|x<5}．
答案：{x|x<5}
13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．
解析：结合Venn图可知两种都没买的有2人．
答案：2
14．已知集合A、B，定义集合A*B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}．若A＝{－2 011,0,2 012}，B＝{－2 012,0，2 012}，则集合A*B＝________.
解析：由题意知，集合A*B中的元素由集合A，B的并集A∪B中的元素去掉交集A∩B中的元素组成．由于A∪B＝{－2 012，－2 011,0,2 012}，A∩B＝{0，2 012}，于是A*B＝{－2 011，－2 012}．
答案：{－2 011，－2 012}
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)如果A∩C≠?，求a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＝{x|1又?UA＝{x|x<2或x>8}．
∴(?UA)∩B＝{x|x<2或x>8}∩{x|1＝{x|1(2)∵A∩C≠?，结合数轴可知，a<8.
16．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{a|a≥2或a≤－2}，B＝{a|关于x的方程ax2－x＋1＝0有实数根}．求A∪B，A∩B，A∩(?UB)．
解：对于方程ax2－x＋1＝0，
当a＝0时，x＝1，满足题意．
当a≠0时，要使该方程有实数根．
则Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
综上知：a≤.∴B＝.
∴A∪B＝，A∩B＝{a|a≤－2}．
又∵?UB＝，∴A∩?UB＝{a|a≥2}．
17.
(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|5－a(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若C?(A∪B)，求a的取值范围．
解：
(1)借助数轴可知：
A∪B＝{x|2＜x＜10}．
?RA＝{x|x<3或x>7}．
∴(?RA)∩B＝{x|2(2)当5－a≥a即a≤时，C＝?，满足C?A∪B.
当5－a时，
由C?A∪B，得
解得a≤3.
∴a的取值范围为∪＝{a|a≤3}．
18．(本小题满分14分)已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围．
解：若B∪A＝A，则B?A，
又∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，|a|>4.
∴集合B有以下三种情况：
①当B＝?时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0，
即a2＞16，|a|>4，∴a＜－4或a＞4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，
∴a＝－4或a＝4.
若a＝－4，则B＝{2}A；
若a＝4，则B＝{－2}?A；
③当B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，
∴∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，
a的取值范围为a＜－4或a＝－2或a≥4.
∴B∪A≠A时，
实数a的取值范围为－4≤a＜4，且a≠－2
课件37张PPT。第一章 集 合 §1 集合的含义与表示 1．集合的含义与标记
一般地，指定的某些对象的 称为集合，常用大写字母A，B，C，D，…标记． 全体[核心必知] 2．元素的定义、标记与特性
(1)定义与标记：集合中的 叫作这个集合的元素，常用小写字母a，b，c，d，…标记．
(2)特征：集合中的元素具有 性、 性和
性．每个对象确定互异无序 3．元素与集合的关系
a不属于Aa属于A∈不属于属于? 4．常见集合的符号表示
NN＋ZQR 5．集合的常用表示方法
(1)列举法：把集合中的元素 出来写在大括号内的方法．
(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用确定的 表示某些对象 这个集合的方法叫作描述法．
一一列举条件属于 6．集合的分类
按所含元素的个数分为：
(1)有限集：含 个元素的集合．
(2)无限集：含 个元素的集合．
(3)空集?： 的集合．有限不含有任何元素无限 1．通过对集合含义的学习，你认为“我们班中聪明的同学”，“时尚的同学”，“所有的小河”，“很小的数”能组成一个集合吗？为什么？ 提示：不能，因为没有明确的标准． 2．下列关系正确吗？
①0∈N＋；②π∈R；③1∈Q；④0∈Z；⑤0∈N. 提示：②③④⑤正确．[问题思考] 3．你认为列举法和描述法分别适合表示什么特点的集合？ 提示：一般地，列举法适合表示有限集合(当元素个数不太多时)，描述法适合表示无限集或其元素不宜一一列举的集合．讲一讲
1.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 利用集合元素互异性求参数问题
(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 2. 集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R), 选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B [尝试解答] 集合A中元素y是实数，不是点，故B、D不正确； 集合B的元素(x，y)是点而不是实数，所以A不正确，选项C经验证正确．
[答案] C (1)判断一个元素是不是某个集合的元素就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征，若具有共同的特征，则属于这个集合，否则不属于．
(2)当集合是用列举法表示时，若某一元素属于该集合，则该元素与集合中的某一元素相等，解决此问题时要注意集合中元素的互异性，故求解后要检验． 3．已知6∈{2,4，x，x2＋x}，则x等于( )
A．2 B．6 C．2或6 D．－3或6 解析：选D 当x＝6时，集合为{2,4,6,42}；
当x2＋x＝6，即x＝2或x＝－3，易知x＝2不合题意；
当x＝－3时，集合为{2,4,－3,6}所以a＝6或－3. (1)当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
①元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③不必考虑元素出现的先后顺序；
④集合中的元素不能重复；
⑤集合中的元素可以是任何事物．
(2)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． 已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． [错解] 由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得：a≤－1， [错因] 涉及关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的问题，易误认为其一定是关于x的一元二次方程，即a≠0，而丢掉二次项系数a＝0的情况，导致错误，解决这类含参数的问题，一定要注意二次项，一次项系数是否为0的情况． 答案：D2．给出以下结论：
①{2,4,6,8}与{4,8,2,6}是同一集合；
②{y|y＝x2，x∈R}与{(x，y)|y＝x2，x∈R}是同一集合；
③{0,1}与{(0,1)}是不同集合．
其中正确的结论个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C ①正确；②中的两个集合不是同一集合，元素不一样；③中的两个集合也不是同一集合，也是元素不一样． 解析：选B 由元素与集合的关系知①②正确，③④错误． 4．集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中只有一个元素，则m的值构成的集合为________． 5．设A＝{x－2,2x2＋5x,12}，若－3∈A，则x＝________. 6．选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．课件28张PPT。第一章 集 合 §2 集合的基本关系 1．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线
的 表示集合，称为Venn图．内部[核心必知] 2．子集
(1)定义及记法：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的 都是集合B中的元素，即若 ，则a∈B，我们就说集合A 集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作A B(或B?A)，读作“A B”
(或“B包含A”)．
任何一个元素a∈A包含于?包含于 (2)Venn图示：当A?B时，用Venn图表示，如图①，图②所
示．
(3)子集的性质：
①任何一个集合都是它本身
的 ，即A A；
②规定 是任何集合的子集，即??A.
3．集合相等
(1)定义及记法：对于集合A与B，如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，同时 .
，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作 .
(2)Venn图示：当 时，用Venn图表示，如图所示． 中的元素空集??任何一个子集集合B中的任何一个元素都是集合AA＝BA＝B 4．真子集
(1)定义及记法：对于两个集合A与B，如果 ,并且
，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或
B A)．
(2)Venn图示：当 时，用Venn图表示，如图表示．
5．不包含于或不包含
(1)记法：
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作
A B(或B A)．
(2)Venn图示：
A?BA≠BA B 1．符号∈和?有什么区别？[问题思考] 1. 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M. [尝试解答] 由题意知，M至少含有1,2两个元素，至多有1,2,3,4,5五个元素，所以满足条件的M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2, 4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共8个． 若本例中条件变为{1,2} M {1,2,3,4,5}，则这样的集合M共有多少个？ 解：有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共6个． (1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．
(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即?和集合自身．
(3)含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 1．设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，
因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1,4}，其子集为?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集为?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}. 2. 已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，试求实数a，b的值． 解决集合相等问题的步骤：①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的互异性，则所求是可行的，否则应舍去． (1)根据两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合中元素的关系，转化为解方程或解不等式．
(2)空集是任何集合的子集，因此在处理A?B(B≠?)的含参数问题时，要注意讨论A＝?和A≠?两种情况． 设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B?A.求实数m的取值范围． [错因] (1)忽略讨论B＝?的情况从而导致漏解．空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对B＝?与B≠?两种情况分别确定m的取值范围．
(2)忽略等号成立的情况，从而导致漏解和错解．利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及到两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助于数轴来建立变量间的关系，需特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)既是学习的难点，也是平时考查的重点之一，应引起足够的重视． 解析：选B ①②正确，③④错误． 1．下列关系中正确的个数为( )
①0∈{0}，②??{0}，③{0,1}?{(0,1)}，
④{(1,3)}＝{(3,1)}
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A ∵A?B，∴任意x∈A，有x∈B，结合数轴可知，a≥2. 4．已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若N?M，则实数m＝________. 5．已知A?{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有________个． 解析：由题意知，这样的集合A有{1}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}共5个．
答案：5 6．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，求实数b的值．课件28张PPT。第一章 集 合 第1课时 交集与并集§3 集合的基本运算 1．交集与并集的定义
[核心必知]A∩B{x|x∈A且x∈B}既属于集合A又属于属于集合A或属于集合B“A交B”A∪B“A并B”{x|x∈A或x∈B}集合B==AB??===?===? 1．数学活动课上，小强说：“若x?(A∩B), 则x?A且x?B.”小刚说：“若x?(A∪B)，则x?A且x?B.”这两个同学说的都对吗？为什么？ 提示：A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x?(A∩B)可分三种情况：x?A且x∈B，x∈A且x?B，x?A且x?B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x?(A∪B)，则必有x?A且x?B，即小刚同学说的正确．[问题思考] 2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？ 提示：不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝?. 3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？为什么？ 提示：不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性． 1. (1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤
n≤3}，则M∩N等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
求A∩B，A∪B. [尝试解答] (1)选B 由已知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－2，－1,0,1}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．
(2)分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由图知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
若本例(2)中集合B＝{x|x≤a}，求A∩B. 解：因为A＝{x|－4≤x＜2}，
∴当a＜－4时，A∩B＝?，
当－4≤a＜2时，A∩B＝{x|－4≤x≤a}，
当a≥2时，A∩B＝A＝{x|－4≤x＜2}． 解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：
(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；
(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题． 2．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B. 解：利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}． 应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式(组)等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集． 3．设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B. 解：∵2∈A，∴|a＋1|＝2.∴a＝1或a＝－3.
当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.
由集合中元素的互异性知a≠1.
当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，
即集合B＝{－5,3,2}．
∴A∪B＝{－5,2,3,5}． 3. 设A＝{x|x2－2x＝0}；B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的值． 解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质，A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A，将运算结果转化为两集合间的关系，从而构造方程或不等式求解． 4．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}．
(1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B≠?，求实数m的取值范围． 在2016年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的运动员有多少人？ [巧思] 设同时参加田赛和球类比赛的人数为x，利用Venn图和题设条件向图中填数，然后利用总人数为28得关于x的方程求解即可． [妙解] 设参加径赛的运动员组成集合A，参加田赛的运动员组成集合B，参加球类比赛的运动员组成集合C.根据题意画出Venn图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人
数为x.由题意，得9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人． 1．(福建高考)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N?M B．M∪N＝M C．M∩N＝N D．M∩N＝{2} 解析：选D 因为－2?M，可排除A；M∪N＝{－2, 1, 2, 3, 4}，可排除B；M∩N＝{2}． 3．(浙江高考)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝( )
A．[－4，＋∞) B．(－2, ＋∞)
C．[－4,1] D．(－2,1] 解析：选D 由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2 答案：{1} {1,3,7,8} 5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x>a}且满足A∩B＝?，则实数a的取值范围为________． 解析：利用数轴，∵A∩B＝?，∴a≥1.
答案：[1，＋∞)课件26张PPT。 第2课时 全集与补集§3 集合的基本运算 1．全集
(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的 ，这个给定的集合叫作全集．
(2)符号表示：全集通常记作 .
子集U[核心必知] 2．补集
(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中 的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)．
(2)符号表示：U中子集A的补集记作?UA，即?UA＝
．
所有不属于A{x|x∈U，且x?A (3)图示：用Venn图表示?UA，如图所示．
(4)运算性质：
①A∪(?UA)＝ ，A∩(?UA)＝ .
②?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． ?U 1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？ 提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素． 2．?UA在U中的补集?U(?UA)与集合A有什么关系？ 提示：相等．[问题思考] 3．?AC与?BC相等吗？为什么？ 提示：不一定．依据补集的含义，符号?AC和?BC都表示集合C的补集，但是?AC表示集合C在全集A中的补集，而?BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以?AC与?BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3,4}，则?AC＝{2,5,6,7,8,9}，?BC＝{0,2}，很明显?AC≠?BC. 1. (1)(广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，则?UM＝( )
A．U B．{1,3,5} C．{3,4,6} D．{2,4,6}
(2)U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{2,3,4}，求?UA，?UB. [尝试解答] (1)由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，从而?UM＝{3,4,6}．
(2)法一：U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,5}，
∴?UA＝{1,2,4}，?UB＝{1,5}．
法二：Venn图表示．∴?UA＝{1,2,4}，
?UB＝{1,5}．
[答案] (1)C 在求集合的补集运算时，①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解． 1．(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0 (2)已知全集U＝{不大于10的非负偶数}，A＝{0,2,4,6}，B＝{x|x∈A且x<4}，求?UA，A∩(?UB)． 解：(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x| 0 < x≤3}，结合数轴(如图)：
可知?UA＝{x|1 结合数轴(如图)．
可知(?UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}；
(2)法一：由题意知U＝{0,2,4,6,8,10}，A＝{0,2,4, 6}，
B＝{0, 2}，
∴?UA＝{8,10}，?UB{4,6,8,10}．
∴A∩(?UB)＝{4, 6}．
法二：可用Venn图：∴?UA＝{8,10}，A∩(?UB)＝{4,6}. 2. (1)已知全集U＝{2,0,3－a2}，子集P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，求实数a；
(2)已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A??RB，求a的取值范围． 解决此类问题要充分利用补集的定义，借助题干条件，建立关于参数的方程或不等式(组)求解，必要时可借助数轴或Venn图． 解答此类交、并、补综合运算问题，常用方法有两种：
(1)通法，利用定义，注意求解的顺序．
(2)利用Venn图：
要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题，注意(?UA)∩B，(?UB)∩A等在图示法中的表示如图(1)所示： 如图(2)所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：①(?UA)∩B.②(?UB)∩A.③A∩B.④?U(A∪B)． 2．设集合A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解析：选B A∪B＝{3,4,5,6,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}
∴?U(A∩B)＝{3,5,6,8}． 解析：选D 由题知，阴影部分是?U(M∪N)＝{3,4}． 4．(湖南高考)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝________. 5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，则实数m的取值范围为________． 解析：由已知A＝{x|x≥－m}，∴?UA＝{x|x＜－m}．
∵B＝{x|－2＜x＜4}，(?UA)∩B＝?，
∴－m≤－2，即m≥2，∴m的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞) 6．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.课件22张PPT。第一章 集 合 章末小结与测评 1．集合的含义与表示
(1)集合中元素的特征：
集合中元素具有三大特征：①确定性；②互异性；③无序性．正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论．
(2)集合的表示法：
集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法．列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质．而图示法主要是指集合可借助Venn图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想． 2．元素与集合、集合与集合的关系
(1)元素与集合的关系有且仅有两种；属于(用符号∈表示)和不属于(用符号?表示)．如a∈A，a?B等．
(2)集合与集合的关系是：
3．空集的性质
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解． 4．集合的基本运算
(1)集合的基本运算包括交集、并集和补集运算．要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系．
(2)在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实．Venn图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn图表示．
典例1：已知M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合．[解] (1)由题意得A＝{1,2}．
因为A∩B＝B，所以B?A.
①当B＝?时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m<0，即m>8(1)；
②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相同的实数解x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝8(1)，代入方程x2－x＋2m＝0解得x＝2(1)，矛盾，显然m＝8(1)不符合要求；
③当B＝{1,2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数解x＝1或x＝2，因此1＋2＝1,2m＝2.显然第一个等式不成立．
综上所述，m>8(1). [解] ∵M∪N＝M，∴N?M，即t2－t＋1∈M.
(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，
而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0.
(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，
由(1)知不合题意．
综上所述，t的取值集合为{0}． [借题发挥]
对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算．[解] (1)由题意得A＝{1,2}．
因为A∩B＝B，所以B?A.
①当B＝?时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m<0，即m>8(1)；
②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相同的实数解x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝8(1)，代入方程x2－x＋2m＝0解得x＝2(1)，矛盾，显然m＝8(1)不符合要求；
③当B＝{1,2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数解x＝1或x＝2，因此1＋2＝1,2m＝2.显然第一个等式不成立．
综上所述，m>8(1). 1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．1或－1解析：选A 由M∪N＝M知N?M.
∴a2＝0，或a2＝1.
∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.
而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
∴a＝－1. 典例2：已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；
(2)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(3)是否存在a，使(?RA)∪B＝R，且A∩B＝?？[借题发挥]
解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解． 2．已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞0}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0＜x≤2}，A∪B＝{x|x＞－2}，求a，b的值．解：将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．
由A∩B＝{x|0＜x≤2}，知b＝2，且－1≤a≤0，
由A∪B＝{x|x＞－2}，知－2＜a≤－1.
综上可知a＝－1，b＝2. 典例3：已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，且B≠A，求实数a的取值范围．[解] ∵A∩B＝B，且B≠A，∴B?A.
又∵A＝{1,2}，∴B＝?，{1}，{2}．
当B＝?时，Δ＝4－4(a－1)＝4(2－a)<0，a>2.
当B＝{1}时，得a－1＝1，a＝2.
当B＝{2}时，无解．
综上所述，得a的取值范围为{a|a≥2}．[借题发挥]
此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用． 3．已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B?A，求实数a的取值范围． 典例4：对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2, 3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,
1)，(1, 2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B中元素的个数． [解] (1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)集合A中的任意一个元素与B中的一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．
若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为mn个．所以，若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12个元素．[借题发挥]
以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决． 4．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是
( )
A．27 B．26 C．9 D．8 解析：选A 当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．