课件34张PPT。第四章
函 数 应 用 §1 函数与方程 1．利用函数性质判定方程解的存在
(1)函数零点：
函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点，其就是方程 的解．
横坐标f(x)＝0[核心必知] (2)函数零点的判定定理：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是 曲线，并且在区间端点的函数值符号 ，即 ＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有 零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．连续相反f(a)·f(b)一个 2．利用二分法求方程的近似解
(1)二分法：在区间[a，b]上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步 方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为 ．
逼近二分法 (2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：
其中“初始区间”是一个两端函数值 .
的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是
，另一端点是 .
，新区间两端点的函数值 ；“N”的含
义：方程解满足要求的 ． 异号原区间的中点原区间两端点中的一个反号精确度 1．函数的零点是一个点吗？ 2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？ 提示：不是，是一个使f(x)＝0的x的取值． 提示：等价关系，函数有几个零点?相应方程有几个根?相应函数的图像与x轴有几个交点．[问题思考] 3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)＞0，在区间(a，b)上就没有零点吗？ 提示：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)f(b)＜0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)f(b)＞0时也不一定没有零点. (1)求函数f(x)的零点的方法：令f(x)＝0，解方程f(x)＝0即可．
(2)判断函数零点的个数，常用的方法有：
①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．
③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是函数y＝f(x)－g(x)的零点．
(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f(x)＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反． 若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？ 解决该类问题，有两种常用途径：
(1)利用零点的判定定理构建不等式求解．
(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解． 3. 求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)． 求方程近似解的步骤：①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M；③写出方程的近似解． 4．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确到0.1)． 答案：D 2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( ) 解析：选C 当且仅当函数f(x)在区间[a，b]上连续且f(a)·f(b)＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A中函数没有零点；选项B和D中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．课件42张PPT。第四章
函 数 应 用 §2 实际问题的函数建模看实际问题[核心必知]整体特征函数表达式方法知识 提示：f(0)＝1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样．[问题思考] 2．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？ 提示：对数型函数． 1. 某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
(1)根据提供的图像，写出该商品每件
的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据表中提供的数据，确定日销售
量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)． 在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型． 1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？ 用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
(1)解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；
②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；
③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案． (2)解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解． 2．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？ 3. 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？ 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 3．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的
数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与
x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，
根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，
并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大
日销售利润？ 1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型
是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数 解析：选A 根据图像知，在不同
的时间段内，行驶路程关于时间变化的
图像不同，故对应函数模型应为分段函数．4.如图表示某人的体重与年龄的关系：
①体重随年龄的增长而增加；
②25岁之后体重不变；
③体重增加最快的是15岁至25岁；
④体重增加最快的是15岁之前．
上述判断正确的是________(填序号)． 解析：由图像易知①在50岁之后体重在减轻；
②25岁之后体重变化不大，但也有改变；
在0至15间的线段斜率明显大于在15至25间的线段斜率，故体重增加最快的是15岁之前，④正确．
答案：④ 6．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？4.1 函数与方程
[核心必知]
1．利用函数性质判定方程解的存在
(1)函数零点：
函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)＝0的解．
(2)函数零点的判定定理：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
2．利用二分法求方程的近似解
(1)二分法：在区间[a，b]上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：
其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：方程解满足要求的精确度．
[问题思考]
1．函数的零点是一个点吗？
提示：不是，是一个使f(x)＝0的x的取值．
2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？
提示：等价关系，函数有几个零点?相应方程有几个根?相应函数的图像与x轴有几个交点．
3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)＞0，在区间(a，b)上就没有零点吗？
提示：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)·f(b)＜0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)·f(b)＞0时也不一定没有零点．
?讲一讲
1．(1)函数f(x)＝4x－16的零点为________．
(2)函数f(x)＝x－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(4)已知函数f(x)＝2x－3x2.问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
[尝试解答] (1)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2，所以函数的零点为x＝2.
答案：2
(2)选C 令f(x)＝0，而x－＝0，
∴x＝±2，故有两个．
(3)选C 由f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内．
(4)∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
又∵函数f(x)＝2x－3x2的图像是连续曲线，
∴f(x)在区间[－1,0]内有零点，
即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
(1)求函数f(x)的零点的方法：令f(x)＝0，解方程f(x)＝0即可．
(2)判断函数零点的个数，常用的方法有：
①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．
③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是函数y＝f(x)－g(x)的零点．
(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f(x)＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．
?练一练
1．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选C f·f＝＋log2＝＜0.
2．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．
解：设函数f(x)＝x3－2x，
则f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－4＝4＞0，
∴f(1)·f(2)＜0.
又函数f(x)＝x3－2x的图像是连续曲线，
∴函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数解．
?讲一讲
2．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？
[尝试解答] (1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
(2)当a＞0时，
设f(x)＝ax2－2x＋1，
因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
所以
即
解得＜a＜1.
(3)当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1·x2＝＜0，x1，x2一正一负，不符合题意．
综上，当＜a＜1时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？
解：设f(x)＝ax2－2x＋1，
由已知得：或
即或
解得0＜a＜1.
解决该类问题，有两种常用途径：
(1)利用零点的判定定理构建不等式求解．
(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解．
?练一练
3．已知函数f(x)＝x2－x－m在区间
(－1,1)上有零点，求实数m的取值范围．
解：法一：①当函数f(x)＝x2－x－m
＝2－m－，
其对称轴x＝∈(－1,1)，
故函数在区间(－1,1)上只有1个零点时，
Δ＝0或或
即1＋4m＝0或或
解得m＝－或0＜m＜2或m＝0.
②当函数f(x)＝x2－x－m在区间(－1,1)上有2个零点时，
即
解得－＜m＜0.
综上所述，实数m的取值范围为.
法二：函数f(x)＝x2－x－m在区间(－1,1)上有零点
?方程x2－x－m＝0在区间(－1,1)上有解
?方程x2－x＝m在区间(－1,1)上有解
?函数y＝x2－x与函数y＝m在区间
(－1,1)上有交点，
∵函数y＝x2－x在区间(－1,1)上的值域为，
∴－≤m＜2，
∴实数m的取值范围为.
?讲一讲
3．求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)．
[尝试解答]
令f(x)＝lg x＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lg x 和y＝3－x的图像如图所示，观察图像可以发现lg x＝3－x有唯一解x0，
x0∈[2,3]，且f(2)＜0，f(3)＞0，
利用二分法可列下表：
计算次数
左端点
右端点
1
2
3
2
2.5
3
3
2.5
2.75
4
2.5
2.625
5
2.562 5
2.625
由于区间(2.562 5,2.625)内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.
求方程近似解的步骤：①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M；③写出方程的近似解．
?练一练
4．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确到0.1)．
解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
计算次数
左端点
右端点
1
1
2
2
1.5
2
3
1.5
1.75
4
1.625
1.75
5
1.687 5
1.75
6
1.718 75
1.75
7
1.718 75
1.734 375
由上表可知，区间[1.718 75,1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．
求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
[尝试用另一种方法解题]
法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图像．
由图像，知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点．
1．函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点的坐标为( )
A．3,1；(－1，－4)
B．－3，－1；(－1,4)
C．－3,1；(1，－4)
D．－3,1；(－1，－4)
答案：D
2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )
解析：选C 当且仅当函数f(x)在区间[a，b]上连续且f(a)·f(b)＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A中函数没有零点；选项B和D中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．
3．(北京高考)函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 因为y＝在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝－x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝－x在定义域内有唯一零点．
4．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
解析：由题意知f(x0)＝f＝f(1.5)，代入解析式易计算得0.625.
答案：0.625
5．(湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析：
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
答案：(0,2)
6．判断下列函数在给定的区间内是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－8x＋16，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]；
(3)f(x)＝，x∈[2,4]．
解：(1)f(1)＝9，f(8)＝16，f(1)·f(8)＞0，但是f(4)＝0且4∈[1,8]，所以函数在区间[1,8]内存在零点4.
(2)由于f(1)＝log2(1＋2)－1＝log2＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log2＜0，因此f(1)·f(3)＜0，
又函数f(x)在区间[1,3]上的图像是连续曲线，所以函数在区间[1,3]内存在零点．
(3)因为函数的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，所以函数y＝f(x)的图像在区间[2,4]上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点．
函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间[2,4]内不存在零点．
一、选择题
1．下列函数有两个零点的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝2log2x
D．y＝
解析：选D 易知A只有一个零点；对于B，方程x2＋2x＋3＝0无解；对于C，令2log2x＝0，也无解；对于D，y＝0有两解x＝2 012和x＝0.
2．(重庆高考)若aA．(a，b) 和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a) 和(c，＋∞)内
解析：选A 令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)·[2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a3．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是 ( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2，e) D．(3,4)
解析：选B ∵f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，则函数f(x)的零点所在的大致区间是(1,2)．
4．若方程|ax|＝x＋a(a＞0)有两个解，则a的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．?
解析：选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y＝|ax|和y＝x＋a的图像如图：
结合图像可知方程|ax|＝x＋a有两个解时，有a＞1.
二、填空题
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，
可知，f(2)、f(3)分别等于－1、16，又因为f(2.5)＝＞0，显然下一个有根的区间为[2,2.5)．
答案：[2,2.5)
6．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．
解析：分别作出函数f(x)＝3－x2与函数g(x)＝2－x的图像，如图所示．∵f(0)＝3，g(0)＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．
答案：2
7．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－2的零点是________．
解析：当x≤1时，y＝3x－2，令y＝0，得x＝log32≤1，
当x＞1时，y＝－x－2，令y＝0，得x＝－2不合题意，
综上，零点是log32.
答案：log32
8．已知y＝x(x－1)·(x＋1)的图像如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0.01，则方程式f(x)＝0
①有三个实根；
②当x＜－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；
③当－1＜x＜0时，恰有一实根；
④当0＜x＜1时，恰有一实根；
⑤当x＞1时，恰有一实根．
正确的有________．
解析：
函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x＜－1时，方程f(x)＝0恰有一实根；当－1＜x＜0时，方程f(x)＝0没有实根；当0＜x＜1时，恰有两个实根；当x＞1时，没有实根．
答案：①②
三、解答题
9．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．
解：设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1＜0，
f(1.5)＝0.875＞0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得
f(1.25)＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1.25,1.5)．
再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得
f(1.375)≈0.22＞0，
因为f(1.25)·f(1.375)＜0，
所以x0∈(1.25,1.375)．
同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，
x0∈(1.312 5,1.343 75)．
由于区间(1.312 5,1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解．
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数h(x)＝f(x)－ax，x∈[2,3]时有唯一零点，且不是重根，求实数a的取值范围；
(3)当x∈[－1,1]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1，
故f(x)＝ax2＋bx＋1.
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以所以
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)h(x)＝f(x)－ax＝x2－(a＋1)x＋1，
则h(2)＝3－2a，h(3)＝7－3a.
所以h(x)＝0在区间[2,3]上有唯一零点，且不是重根，只需或
即或
解得≤a≤.
经验证，知当a＝时，方程h(x)＝0在区间[2,3]上有唯一解x＝2；当a＝时，方程h(x)＝0在区间[2,3]上有唯一解x＝3；
故a的取值范围是.
(3)由题意，得f(x)＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0在区间[－1,1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图像的对称轴为直线x＝，
所以g(x)在区间[－1,1]上是减少的．
所以只需g(1)＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1.
即m的取值范围为(－∞，－1)．
4.2 实际问题的函数建模
[核心必知]
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
(1)数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k＞0)．
②反比例函数模型：y＝(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a＞1，m＞0)．
⑤幂函数模型，即y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a＞0)．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
(2)过程：如下图所示．
[问题思考]
1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)．试规定f(0)的值，并解释f(0)的实际意义．
提示：f(0)＝1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样．
2．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？
提示：对数型函数．
3．今有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则最佳体现这些数据关系的函数模型是下列四个函数中的哪个？
①u＝log2t；②u＝2t－2；③u＝；④u＝2t－2.
提示：③可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示，
由散点图可知，图像不是直线，排除④项；图像不符合对数函数的图像特征，排除①项；
当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，＝＝4，
由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝能较好地体现这些数据关系．
?讲一讲
1.
某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
第t天
5
15
20
30
Q件
35
25
20
10
(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．
[尝试解答] (1)由已知可得：
P＝
(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为
Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N＋)．
(3)由题意
y＝
＝
当0＜t＜25，t＝10时，ymax＝900，
当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1 125，
故当t＝25时，日销售金额最大且最大值为1 125元．
在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
?练一练
1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
解：(1)由图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
∴y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4.
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)；
(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像对称轴为x＝－＝2，
因为x∈N＋，
∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2，
即第二年规模最大，为31.2万只．
?讲一讲
2．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[尝试解答] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，可得0＝5log2，
解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入所给公式，得
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
(1)解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
(2)解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
?练一练
2．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？
解：设此商品每个售价为x元时，每日利润为y元，
当18即在商品提价时，当x＝20时，每日利润y最大，最大利润是500元．
当10＝－10(x－17)2＋490，
即在商品降价时，当x＝17时，每日利润y最大，最大利润是 490元．
∵500>490，
∴此商品的售价应定为每个20元．
?讲一讲
3．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
[尝试解答] 由数值对应表作散点图如图．
由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋c.
代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得：
(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，
得解得
∴f(x)＝·2x＋.
∵f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，
∴符合对应表值，
∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位．
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽
可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
?练一练
3．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解：(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴?
∴y＝－3x＋150(x∈N)，
经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N)．
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
[错解] (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%×2)；
经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%·x)．
所以y＝f(x)＝200(1＋5%·x)(x∈N＋)；
(2)函数图像如图所示．
设x年后木材蓄积量为300万立方米．
则200·(1＋5%x)＝300，
所以x·5%＝－1，x＝＝×＝10.
所以，经过10年，木材蓄积量达到300万立方米．
[错因] 第x年的木材蓄积量不是200(1＋5%·x)，而是200(1＋5%)x，是指数型函数关系，而不是倍数关系．
[正解] (1)现有木材蓄积量为200万立方米．
经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2；
所以经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像，如图所示：
x
0
1
2
3
…
y
200
210
220.5
231.5
…
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
因为8＜x0＜9，则取x0＝9，所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
1.
一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
解析：选A 根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
解析：选A 根据已知得：y＝m(1－5%).
3.
(江西高考)如右图，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，则函数y＝S(t)的图像大致是( )
解析：选A 由余弦定理知，cos ∠AOB＝＝，求得AB＝.由已知可知：当t≤1时，所围成的图形为与三角形ABO相似的三角形，S(t)＝t·2tsin ＝t2，对应的函数图像为开口向上的抛物线的一部分；存在t0，使得当1t0时，甲乙两质点停止运动，S(t)的值恒定不变，对应图像为平行于x轴的直线．
4.
如图表示某人的体重与年龄的关系：
①体重随年龄的增长而增加；
②25岁之后体重不变；
③体重增加最快的是15岁至25岁；
④体重增加最快的是15岁之前．
上述判断正确的是________(填序号)．
解析：由图像易知①在50岁之后体重在减轻；
②25岁之后体重变化不大，但也有改变；
在0至15间的线段斜率明显大于在15至25间的线段斜率，故体重增加最快的是15岁之前，④正确．
答案：④
5．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)(a为初始量)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．
解析：由题意知，x＝1时，y＝100，即alog22＝100，
∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，
∴当x＝7时，y＝100×log28＝300.
答案：300
6．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解：(1)对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80－2x元，
则y1与x之间的函数关系式为：
y1＝
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，
每个售价为80×75%＝60元，
则y2与x之间的函数关系式为：y2＝60x(x≥0，x∈N＋)．
(2)y1－y2＝－2x2＋80x－60x＝－2x2＋20x≥0?0≤x≤10.
答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．
一、选择题
1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于( )
A．4元 B．16元
C．85元 D．不确定
解析：选C 当x＝4时，y＝34＋4＝85.
2．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t时的距离，下列图像中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为( )
解析：选C 由题中所述，只有C符合题意．
3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
解析：选B 在坐标系中描出表中各点，知拟合函数为y＝a＋bx.
4．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是( )
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝
C．x＝
D．x＝
解析：选D 根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．
二、填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.
解析：日销售额S＝f(t)g(t)＝(2t＋100)(t＋4)．
答案：(2t＋100)(t＋4)
6．一个高中研究性学习小组对本地区2013年至2015年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)．根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．
解析：根据题意知，三年内共销售盒饭为：
30＋45×1.5＋90×2＝277.5，
∴平均每年销售盒饭92.5万盒．
答案：92.5
7．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点，此时球高3 m，已知球门高2.44 m，________踢进球门(填“能”或“否”)．
解析：
建立如图所示的坐标系，拋物线经过点(0,0)，顶点为(6,3)．
设拋物线解析式为y＝a(x－6)2＋3，
把x＝0，y＝0代入得a＝－，
∴y＝－(x－6)2＋3.
当x＝10时，y＝－(10－6)2＋3＝＜2.44.
∴球能射进球门．
答案：能
8．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．
解析：总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公倾)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
＝－(Q－300)2＋2 500，
故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元．
答案：2 500万元
三、解答题
9．某企业根据企业现状实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？
解：(1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，
则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.
∵200－x≥×200?x≤50，
∴x的取值范围为0＜x≤50，且x∈N；
(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，
∵0＜x≤50，且x∈N，
∴当x＝30时，y取得最大值209.
∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．
10．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示.
(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解：(1)描点作图如下：
(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图像如图②，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，
即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公倾．
1.函数的零点
(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．
(3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．
(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
(5)判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.
2．实际问题的函数建模
解决应用问题的一般程序是：
(1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
[典例1] 函数f(x)＝
的零点个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 法一：
当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.
法二：在坐标系中作出函数f(x)＝的图像，由图像知，有两个零点．
[答案] C
[借题发挥] 函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法．
[对点训练]
1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为f＝e＋4×－3＝e－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1>0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.
2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析：选B 函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数．
又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)＜0，f(x2)＞0.
[典例2] 已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2，在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
[解] (1)当方程x2－(m－1)x＋2＝0，在[0,1]上有两个相等的实根时，有
解得m＝1±2，1≤m≤3，∴此种情况不存在．
(2)当方程x2－(m－1)x＋2＝0有两个不相等实根时，有且只有一根在[0,1]上，有
即∴m≥4.
综上所述，实数m的取值范围m≥4.
[借题发挥] (1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件．
(2)函数问题与方程问题可以相互转化，结合使用数形结合的方法解决问题．
[对点训练]
3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋1(a＜b)，且m，n是方程f(x)＝0的两个根(m＜n)，则实数a，b，m，n的大小关系可能是________．
解析：由函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋1，我们可以看到a，b为g(x)＝(x－a)(x－b)的零点，且f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，如图，则应有a＜m＜n＜b.
答案：a＜m＜n＜b
4．已知函数f(x)＝x2－x＋m的两个零点都在区间(0,2)内，求实数m的取值范围．
解：函数f(x)＝x2－x＋m的对称轴为直线x＝.
若使两个零点都在区间(0,2)内，
需满足即
解得0＜m＜，故m的取值范围为.
[典例3] 某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)，月收益为y元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？
[解] (1)设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)时，未租出的设备为套，则未租出的设备费用为元；租出的设备为套，则月租金总额为元．
所以y＝x－×20
＝－0.1x2＋65x＋540.
(2)由(1)得y＝－0.1x2＋65x＋540＝－0.1(x－325)2＋11 102.5.则当x＝325时，y取最大值为11 102.5，
即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元．
[借题发挥] 解决这类问题需要根据题中量与量之间的关系，选取恰当的变量作为自变量，利用已知的等量关系或隐含的等量关系建立函数模型，然后利用函数知识求解．
[对点训练]
5．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表.
天数
1
2
3
4
5
6
病毒细胞个数
1
2
4
8
16
32
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg 2≈0.301 0)
解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N＋)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N＋)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物；
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
6．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图②中的拋物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图③中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)，每件产品的销售利润q(t)与第一批产品的上市时间t的函数关系式；
(2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
解：(1)f(t)＝
g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
q(t)＝t∈N.
(2)日销售利润h(t)＝q(t)·[f(t)＋g(t)]
＝
①当0≤t≤20时，易知h(t)在区间[0,20]上递增．
∴h(t)max＝h(20)＝6 000.
②当20＜t≤30时，h(t)＝－92＋6 400.
∴当t＝27时，h(t)max＝h(27)＝6 399.
③当30＜t≤40时，h(t)＜h(30)＝6 300.
综上h(t)max＝h(27)＝6 399.
所以第27天这家公司的日销售利润最大，最大为6 399万元．
（时间：90分钟 满分120分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在区间(0,1)上有零点的一个函数为( )
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x3－2x＋3
C．f(x)＝x3＋2x－2 D．f(x)＝x2＋2x－3
解析：选C ∵f(0)·f(1)＜0验证知只有C符合此条件．
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B 逐个验证知：f(－1)＝－3＝－＜0，
f(0)＝20＋0＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0.
3．方程logx＝2x－1的实数根的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：选B 令y1＝logx，y2＝2x－1，作出图像，由图像可知，两函数的图像只有一个公共点，所以方程logx＝2x－1有一个实数根．
4．用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的零点时，初始区间大致可选为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(2,4)
解析：选B ∵f(0)＝－4＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，f(3)＞0，f(4)＞0，则有f(1)·f(2)＜0.
5．某水果市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后剩余现金y元，则y与x之间的函数关系为( )
A．y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200)
B．y＝3 000－2.5x(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－100x(100＜x＜1 200)
D．y＝3 000－100x(100≤x≤1 200)
解析：选A y＝3000－2.5x，由得100≤x≤1 200.
6．函数y＝x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )
A．1.3 B．1.4
C．1.5 D．1.6
解析：选D 设f(x)＝lg x－x，经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg 2－＞0，所以方程lg x－x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D符合要求．
7．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在零点，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜ B．a＞
C．a＜－1 D．a＜－1或a＞
解析：选D 由题意知：f(－1)·f(1)＜0，而(1－5a)(a＋1)＜0，
∴或得a＜－1或a＞.
8．若函数f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
解析：选B 由已知条件，得f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图像如下图所示，可知f(x)有两个零点．
9．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间( )
A. B.
C. D.
解析：选C 令f(x)＝x－x，f(1)＝－1＝－＜0，f＝－＜0，f＝－＞0，f＝－＝－＜0，
∴f(x)在内有零点．
10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
解析：选D 设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)；
比较100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．函数y＝x2－ax－b的零点为2和3，则函数f(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由2＋3＝a,2×3＝－b得a＝5，b＝－6，
∴f(x)＝－6x2－5x－1，
令f(x)＝0，得6x2＋5x＋1＝0，x1＝－，x2＝－.
答案：－、－
12．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)＞0，f(1)＜0，
又f＝3－6x2＋4＞0，
∴下一步可断定方程的根所在区间为.
答案：
13．已知关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0的两实根一个比3小，一个比3大，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，则所求转化为f(x)与x轴的交点分别在点(3,0)的两侧时m的取值范围．借助f(x)的图像可知，只需f(3)＜0即可，
由f(3)＝9＋6(m＋3)＋2m＋14＜0，
解得m的取值范围是m＜－.
答案：
14.
某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品________千克．
解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(元)与数量Q(千克)之间的函数关系式为y＝
从而易得30×50＜2 700＜30×100，
故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为＝90千克．
答案：90
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出函数f(x)＝x2－x－1的图像，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内根的情况．
解：图像如图所示．
因为f(0)＝－1＜0，
f(2)＝1＞0，
所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1＜0，所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5＞0，所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根在区间(1.5，1.75)内，这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．
16．(本小题满分12分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解：(1)当m＋6＝0即m＝－6时，函数为y＝－14x－5显然成立．
当m＋6≠0时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，
得m≤－，
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝
∵＋＝＝－4，
∴－＝－4.
解得m＝－3，且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0，符合题意．
∴m的值为－3.
17．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，试确定f(x)在R上的零点个数．
解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∵log2 012＝－2,2 012≈1，
log2 012＝－1,2 012＞1，
∴f＜0，f＞0，
∴f(x)＝2 012x＋log2 012x在区间内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数在R上的零点个数为3.
18．(本小题满分14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f(x)＝k1x，投资股票的收益与投资额的函数关系为g(x)＝k2，
由图像得f(1)＝＝k1，g(1)＝k2＝，
f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品x万元，
则股票类投资为20－x万元．
y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝，
则y＝＋t＝－(t2－4t－20)
＝－(t－2)2＋3.
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
模块综合检测
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(新课标全国卷Ⅱ)已知集合M＝{x|－3A．{－2，－1,0,1}
B．{－3，－2，－1,0}
C．{－2，－1,0}
D．{－3，－2，－1}
解析：选C 由交集的意义可知M∩N＝{－2，－1,0}．
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞)
D．[4,10)∪(10，＋∞)
解析：选D 要使函数有意义须即
解得：4≤x＜10或x＞10.
3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表，则f(x)的奇偶性是
x
1
4
f(x)
1
2
A.奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
解析：选C 由2＝4α知α＝，∴f(x)＝x为非奇非偶函数．
4．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( )
A．? B．?或{1}
C．{1} D．{?}
解析：选B 令x2＝1，得x＝±1；令x2＝2，得x＝±.由映射的定义知，集合A可能含元素1，可能不含元素1，若1∈A，则A∩B＝{1}；若1?A，则A∩B＝?，
∴A∩B＝{1}或?.
5．下列大小关系正确的是( )
A．0.43＜30.4＜log40.3
B．0.43＜log40.3＜30.4
C．log40.3＜0.43＜30.4
D．log40.3＜30.4＜0.43
解析：选C ∵log40.3＜log41＝0,0＜0.43＜0.40＝1，
30．4＞30＝1，∴log40.3＜0.43＜30.4.
6．已知f(x)＝则f(f(2))的值是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
7．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C 令y1＝ln x，y2＝4－x，在同一坐标系中画出它们的图像如图所示．由图像观察可知x0∈(2,3)．
8．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图像中与这一过程吻合得最好的是( )
解析：选D 根据实际情况较吻合的应为D.
9．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点x＝2，则函数g(x)＝bx2－ax的图像可能是( )
解析：选C 由题意知2a＋b＝0，∴a＝－，
∴g(x)＝bx2＋x＝b＝b2－，
令g(x)＝0，得x＝0或x＝－0.5，故选C.
10．若函数y＝f(x)定义域为R，且满足f(－x)＝－f(x)，当a，b∈(－∞，0]时总有＞0(a≠b)，若f(m＋1)＞f(2)，则实数m的取值范围是( )
A．－3≤m≤1 B．m＞1
C．－3＜m＜1 D．m＜－3或m＞1
解析：选B ∵当a，b∈(－∞，0]时总有＞0(a≠b)，∴当a，b∈(－∞，0]，a－b与f(a)－f(b)同号，∴f(x)在(－∞，0]上单调递增，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为增函数，
∴由f(m＋1)＞f(2)得，m＋1＞2，
∴m＞1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．计算：lg－lg＋lg－log89×log278＝________.
解析：lg－lg＋lg－log89×log278＝lg××－×＝lg 10－＝1－＝.
答案：
12．设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.
解析：f(－2)＝f(2)＝22－3＝1.
答案：1
13．设函数f(x)＝若f(x0)＞2，则x0的取值范围是________．
解析：当x0≤0时，f(x0)＝()x0＞2，得x0＜－1；
当x0＞0时，f(x0)＝x0＞2，得x0＞4.
∴x0的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
14．下列叙述：
①存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数；
②函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；
③函数y＝log2x＋x2－2在(1,2)内只有一个零点；
④定义域内任意两个变量x1，x2，都有＞0，则f(x)在定义域内是增函数．
其中正确的结论序号是________．
解析：①使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，则
m－1＝1，得m＝2，此时f(x)＝x－1，故①正确；
②减区间应为(－∞，－1)和(－1，＋∞)不能合并，故②错误；
③∵f(1)＝log21＋1－2＝－1＜0，f(2)＝lg 22＋22－2＝3＞0
∴f(1)f(2)＜0，且f(x)在(1,2)单调递增．故③正确；
④由已知得x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，∴f(x)在定义域上为增函数．
综上知①③④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}．
(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C?A，求实数a的取值范围．
解：(1)A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，A∩B＝{x|2＜x≤3}．(?RB)∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}．
(2)①当a≤1时，C＝?，此时C?A；
②当a＞1时，C?A，则1＜a≤3；综合①②，可得a的取值范围是(－∞，3]．
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)当函数f(x)的图像过点(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)若F(x)＝当mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且函数f(x)为偶函数时，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
解：(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以b2－4(b－1)＝0.即b＝2，a＝1.
所以f(x)＝(x＋1)2.
(2)因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx
＝x2－(k－2)x＋1
＝2＋1－.
所以当≥2或≤－2时，
即k≥6或k≤－2时，g(x)是单调函数；
(3)f(x)为偶函数，所以b＝0.
所以f(x)＝ax2＋1.
所以F(x)＝
因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0.
又因为m＋n＞0，所以m＞－n＞0.
所以|m|＞|－n|.
此时F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋1－an2－1＝a(m2－n2)＞0.
所以F(m)＋F(n)＞0.
17．(本小题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a＞2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式，指出这个函数的定义域；
(2)当AE为何值时，绿地面积最大？
解：(1)S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DGH＝(a－x)(2－x)．
∴y＝S△ABCD－2S△AEH－2S△BEF
＝2a－x2－(a－x)(2－x)
＝－2x2＋(a＋2)x.
由得0＜x≤2，
∴y＝－2x2＋(a＋2)x,0＜x≤2；
(2)当＜2，即2＜a＜6时，
则x＝时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在(0,2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4
综上所述：当2＜a＜6时，AE＝时，绿地面积取最大值；
当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.
18．(本小题满分14分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a值；
(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)由题设，需f(0)＝＝0，
∴a＝1，∴f(x)＝，
经验证，f(x)为奇函数，∴a＝1.
(2)f(x)在定义域R上是减函数．
证明：任取 x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵x1＜x2，∴0<2x1<2x2，2x1－2x2<0，
又(1＋2x1)(1＋2x2)>0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴该函数在定义域R上是减函数．
(3)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，
由(2)知，f(x)是减函数，
∴原问题转化为t2－2t＞k－2t2，
即3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k＜0，解得k<－，
所以实数k的取值范围是
课件23张PPT。第四章
函 数 应 用 章末小结与测评 1．函数的零点
(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．
(3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．
(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
(5)判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根． 对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.
2．实际问题的函数建模
解决应用问题的一般程序是：
(1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为[解] (1)由题意得A＝{1,2}．
因为A∩B＝B，所以B?A.
①当B＝?时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m<0，即m>8(1)；
②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相同的实数解x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝8(1)，代入方程x2－x＋2m＝0解得x＝2(1)，矛盾，显然m＝8(1)不符合要求；
③当B＝{1,2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数解x＝1或x＝2，因此1＋2＝1,2m＝2.显然第一个等式不成立．
综上所述，m>8(1). 6．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如
图①、图②、图③所示，其图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图②中的拋物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图③中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)，每件产品的销售利润q(t)与第一批产品的上市时间t的函数关系式；
(2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
