第1节 实验：探究小车速度随时间变化的规律
一、实验目的
1．进一步练习使用打点计时器及利用纸带求瞬时速度。
2．探究小车速度随时间的变化规律。
3．会用图象法处理实验数据。
二、实验原理
1．瞬时速度的计算：各计数点的瞬时速度可用以该点为中间时刻的一段时间内的平均速度来代替：vn＝。
2．根据v－t图象判断运动性质：用描点法可作出小车的v－t图象，根据图象的形状可判断小车的运动性质。
3．加速度的计算：利用v－t图象的斜率求出小车的加速度。
三、实验器材
电磁打点计时器(或电火花计时器)、复写纸、导线、一端附有定滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、交流电源。
四、实验步骤
1．如图所示，把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路。
2．把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上钩码，把纸带穿过打点计时器，并把纸带的一端固定在小车的后面。
3．把小车停在靠近打点计时器处，接通电源后，释放小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列小点，关闭电源。
4．换上新的纸带，重复实验两次。
5．增减所挂钩码的个数，按以上步骤再做两次实验。
五、数据处理
1．瞬时速度的计算
(1)从几条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开始一些比较密集的点，在后面便于测量的地方找一个点，作为计数始点，以后依次每五个点取一个计数点，并标明0、1、2、3、4…如图所示。
(2)依次测出01、02、03、04…的距离x1、x2、x3、x4…，填入表中。
位置
1
2
3
4
5
6
长度
x1
x2
x3
x4
x5
x6
各段长度
0～2
1～3
2～4
3～5
4～6
时间间隔
v/(m·s－1)
(3)1、2、3、4…各点的瞬时速度分别为：v1＝、v2＝、v3＝、v4＝…。将计算得出的各点的速度填入表中。
(4)根据表格中的数据，分析速度随时间变化的规律。
2．作出小车运动的v－t图象
(1)定标度、描点：坐标轴的标度选取要合理，应使图象大致分布在坐标平面中央。描点时要用平行于两坐标轴的虚线标明该点的位置坐标。(所描的点一般用“·”标明)
(2)连线：画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在直线的两侧，偏差比较大的点忽略不计，如图所示。
(3)观察所得到的直线，分析物体的速度随时间的变化规律。
3．求解加速度
根据所画v－t图象的斜率求出小车运动的加速度a＝。
六、误差分析
产生原因
减小方法
偶然
误差
根据纸带测量的位移有误差
测量各计数点到起始点的距离而不是直接测量相邻计数点间的距离
系统
误差
作v－t图象不准确有误差
实验中作图时应选取合适的坐标单位
木板的粗糙程度不完全相同
尽量选粗糙程度均匀的木板
七、注意事项
(1)开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器。
(2)先接通电源，等打点稳定后，再释放小车。
(3)打点完毕，应立即断开电源。
(4)要防止钩码落地，避免小车跟滑轮相碰，在小车到达滑轮前及时用手按住。
(5)牵引小车的钩码个数要适当，以免加速度过大而使纸带上的点太少，或者加速度太小，而使各段位移差别不大，误差增大。
(6)要区分打点计时器打出的计时点和人为选取的计数点，一般在纸带上每隔四个计时点取一个计数点，即时间间隔t＝0.1 s。
(7)在坐标纸上画v－t图象时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图象尽量分布在较大的坐标平面内。
要点一 实验原理及操作
[例1] (2017·德州高一检测)在研究匀变速直线运动的实验中，某同学操作以下实验步骤，
A．拉住纸带，将小车移至靠近打点计时器处放开纸带，再接通电源
B．将打点计时器固定在平板上，并接好电路
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着适当重的钩码
D．取下纸带
E．将平板一端垫高，轻推小车，使小车能在平板上做匀速运动
F．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔
(1)所列步骤中有错误的是：________________________________________________
________________________________________________________________________。
(2)遗漏的步骤(遗漏步骤可编上序号G、H……)：
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(3)将以上步骤完善后写出合理的步骤顺序：
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析 (1)步骤A中应先通电，再放纸带，顺序不能颠倒；D中取下纸带前应先断开电源。
(2)遗漏的步骤G：换上新纸带，重复实验三次。
(3)步骤完善后，合理的实验步骤顺序为：BFECADG。
答案 (1)A中应先通电，再放纸带；D中取下纸带前应先断开电源
(2)G：换上新纸带，重复实验三次
(3)BFECADG
[针对训练1] 用如图1所示的装置做“探究小车速度随时间变化的规律”实验，下列做法正确的是( )
图1
A．小车从靠近定滑轮处释放
B．先启动计时器，再释放小车
C．实验前要平衡小车受到的阻力
D．电火花计时器接学生电源直流输出端
解析 在释放小车前，小车应尽量靠近打点计时器，远离滑轮处，以便在纸带上打出更多的点，有利于实验数据的处理和误差的减小，A错误；实验中为了在纸带上打出更多的点，也为了打点的稳定，应先启动打点计时器，然后释放小车，B正确；该实验不需要平衡小车受到的阻力，C错误；电火花计时器接220 V交流电源，D错误。
答案 B
要点二 实验数据处理
[例2] (2017·天水高一检测)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，如图2所示为记录小车运动情况的一条纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点间的时间间隔T＝0.1 s。
图2
(1)计算D、C、B各点的瞬时速度，vD＝________ m/s，vC＝________ m/s，vB＝________ m/s。
(2)在如图3所示坐标系中作出小车的v－t图象，并根据图象求出a＝________。
图3
解析 (1)若时间较短，平均速度可以代替某点的瞬时速度。D点的瞬时速度
vD＝＝ cm/s＝390 cm/s＝3.90 m/s
C点的瞬时速度
vC＝＝ cm/s＝264 cm/s＝2.64 m/s
B点的瞬时速度
vB＝＝ cm/s＝138 cm/s＝1.38 m/s
(2)由(1)中数据作出小车的v－t图象如图所示，
由图线的斜率可求得它的平均加速度
a＝＝ m/s2＝12.6 m/s2
答案 (1)3.9 2.64 1.38
(2)图见解析 12.6 m/s2
由纸带求加速度的方法
如图所示的纸带各计数点1、2、3、4、5、…所对应的速度分别是v1、v2、v3、v4、v5、…，T为计数点间的时间间隔。
(1)图象法
由多组数据描绘出v－t图象，v－t图象中直线的斜率即为物体运动的加速度。此方法准确、科学，但较繁琐。
(2)逐差法
分别以1、4,2、5,3、6，…的速度计算加速度，即
a1＝，a2＝，a3＝，则
a＝＝
＝
此方法中各点的瞬时速度都参与了运算，可减小误差。
(3)平均值法
a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝。
求加速度的平均值
＝
＝＝。
从结果看，真正参与运算的只有v1和vn＋1，中间各点的瞬时速度在运算中都未起作用，一般不用此方法。
[针对训练2] 利用打点计时器“探究小车的速度随时间变化的规律”，打出的纸带如图4所示，已知交流电源的频率为50 Hz，从计数点1开始，每相邻两个计数点之间还有四个点没有画出，图中1、2、3、4、5、6、7为连续的计数点，测得s1＝1.40 cm，s2＝2.00 cm，s3＝2.60 cm，s4＝3.20 cm，s5＝3.80 cm，s6＝4.40 cm。
图4
(1)相邻计数点之间的时间间隔为________s。
(2)小车的加速度为________m/s2。
解析 (1)由于每相邻两个计数点之间还有4个点未画出，所以相邻计数点之间的时间间隔为0.1 s。
(2)计算出各点的瞬时速度，即
v2＝＝ m/s＝0.17 m/s
v3＝＝ m/s＝0.23 m/s
v4＝＝ m/s＝0.29 m/s
v5＝＝ m/s＝0.35 m/s
v6＝＝ m/s＝0.41 m/s
根据a＝，可得加速度为0.6 m/s2。
答案 (1)0.1 (2)0.6
1．(2017·潍坊市高一上学期期中)在探究小车速度随时间变化规律的实验中。
(1)电磁打点计时器是一种使用________(填“交流”或“直流”)电源的仪器。当所接电源频率是50 Hz时，它每隔________s打一次点。
(2)接通电源与释放纸带，让纸带(随小车)开始运动，操作正确的是________。
A．先接通电源，后释放纸带
B．先释放纸带，后接通电源
C．释放纸带的同时接通电源
D．先接通电源或先释放纸带都可以
解析 (1)电磁打点计时器是使用交流电源的计时仪器，当电源的频率为50 Hz时，它每隔0.02 s打一次点。
(2)开始记录时，应先给打点计时器通电打点，然后释放纸带让纸带(随物体)开始运动，如果先放开纸带开始运动，再接通打点计时器的电源，由于重物运动较快，不利于数据的采集和处理，会对实验产生较大的误差；同时先打点再释放纸带，可以使打点稳定，提高纸带利用率，可以使纸带上打满点。
答案 (1)交流 0.02 (2)A
2．在“研究匀变速直线运动”的实验中，使用电磁打点计时器(所用交流电的频率为50 Hz)，得到如图5所示的纸带。图中的点为计数点，相邻两计数点间还有四个点未画出来，下列表述正确的是( )
图5
A．实验时应先放开纸带再接通电源
B．从纸带上不可能求出计数点C对应的速率
C．从纸带上可以求出计数点B对应的速率
D．相邻两个计数点间的时间间隔为0.02 s
解析 在“研究匀变速直线运动”的实验中，实验时应先接通电源再放开纸带，A错误；根据C点为B与D的中间时刻点有vC＝，B错误；同理，C正确；由于相邻的计数点之间还有4个点没有画出，所以时间间隔为0.1 s，D错误。
答案 C
3．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，得到如图6所示的纸带，其中A、B、C、D、E、F、G为计数点，相邻两计数点间的时间间隔为T，x1、x2、x3、x4、x5、x6分别为AB、BC、CD、DE、EF、FG间的位移，下列可用来计算打D点时小车速度的表达式中误差最小的是( )
图6
A． B．
C． D．
解析 瞬时速度可用以该点为中间时刻的一段时间内的平均速度来代替：vn＝，而且所选时间段不宜过长，选项B正确。
答案 B
4．在实验中，利用纸带上的数据得出各计数点的瞬时速度后，以速度v为纵轴，以时间t为横轴建立直角坐标系。某次实验中某同学描出的点如图7所示。在直角坐标系上一共描出了10个点。下列思考有道理的是( )
图7
①这10个点无论如何也不在一条直线上，因此小车运动的v－t图象不可能为一条直线，而应为一条光滑的曲线
②这10个点中有8个点虽然不在一条直线上，但它们都在一条直线附近，只有F和B两点离这条直线太远
③在10个点当中只有4个点能画在一条直线上(A、D、G、I)，有6个点不在该直线上，这条直线肯定不能表示小车运动的规律
④与直线偏差较小的点(C、E、H、J)可能是实验误差造成的，而与直线偏离较大的点(B、F)则可能是实验中出现错误造成的
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析 考虑有误差，才不可能在一直线上，而偏离直线太远，则不属于误差，而是错误。而若理想化，则这些点应在一直线上，①③错误，②④正确。故选B。
答案 B
5．如图8所示，某同学在做“研究小车速度随时间的变化规律”的实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T＝0.10 s，其中x1＝7.05 cm，x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.95 cm、x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm。
图8
(1)求计数点3处的瞬时速度的大小；
(2)作出小车运动的速度—时间图象，由图象求小车运动的加速度。
解析 (1)计数点3的瞬时速度
v3＝＝ m/s≈0.86 m/s，
(2)同理可求
v1＝＝ m/s≈0.74 m/s，
v2＝＝ m/s≈0.80 m/s，
v4＝＝ m/s≈0.93 m/s，
v5＝＝ m/s≈0.99 m/s。
以纵轴表示速度，以横轴表示时间，描点连线如图所示。
由图象可以看出，小车的速度随时间均匀增加，其运动的加速度可由图线求出，即a＝＝0.63 m/s2(0.62～0.64 m/s2均可)。
答案 (1)0.86 m/s (2)图见解析 0.63 m/s2
第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系
学习目标
核心提炼
1.知道什么是匀变速直线运动。
1个定义——匀变速直线运动
1个公式——速度与时间关系公式v＝v0＋at
1个图象——v－t图象的特点及应用
2.知道匀变速直线运动的v－t图象特点，理解图象的物理意义。
3.理解匀变速直线运动的速度与时间的关系式v＝v0＋at，会用v＝v0＋at进行相关的计算。
一、匀变速直线运动
阅读教材第34页“匀变速直线运动”部分，知道什么是匀变速直线运动。
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
2．v－t图象：匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线。
3．分类
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加。
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小。
思维拓展
物体的v－t图象如图所示，请问：
(1)0～t1、t1～t2时间内，物体的运动情况；
(2)两段时间内物体的加速度相同吗？
答案 (1)0～t1时间内，物体做匀减速直线运动。
t1～t2时间内，物体做匀加速直线运动。
(2)两段时间内物体的加速度相同。
二、速度与时间的关系
阅读教材第34～35页“速度与时间的关系式”部分，理解匀变速直线运动的v－t图象的特点；初步理解匀变速直线运动的速度与时间的关系式v＝v0＋at。
1．速度公式：v＝v0＋at。
2．含义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at。
思维拓展
公式v＝v0＋at虽然可由a＝变形后得到，但二者的含义不同，你知道这是为什么吗？
答案 a＝是加速度的定义，适用于任何形式的变速运动，而v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中
问题1
问题2
问题3
匀变速直线运动的速度公式
[要点归纳]
1．公式的理解：由于a在数值上等于单位时间内速度的变化量，所以at就是整个运动过程中速度的变化量，再加上运动开始时物体的速度v0，就得到t时刻物体的速度v。
2．公式的适用条件：公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性
(1)公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应先选取正方向。
(2)一般以v0的方向为正方向，此时匀加速直线运动a＞0，匀减速直线运动a＜0；对计算结果v＞0，说明v与v0方向相同；v＜0，说明v与v0方向相反。
4．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。
[精典示例]
[例1] 汽车在平直路面紧急刹车时，加速度的大小是8 m/s2，
(1)如果必须在2 s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少？
(2)如果汽车以最高允许速度行驶，必须在1.5 s内停下来，汽车在刹车的过程中加速度至少多大？
思路探究
(1)汽车经过某过程“停下来”，隐含着什么条件？
(2)汽车刹车时，它的加速度是否一定为负值？
①若取初速度方向为正，则加速度为________；
②若取初速度方向为负，则加速度为________。
提示 (1)经过某过程“停下来”，意味着汽车的末速度为零。
(2)①负值 ②正值
解析 (1)以初速度方向为正方向
汽车的加速度a＝－8 m/s2，运动时间t＝2 s，末速度v＝0
由公式v＝v0＋at代入数值得v0＝16 m/s＝57.6 km/h
(2)仍以初速度方向为正方向，汽车的初速度v0＝16 m/s
运动时间t′＝1.5 s，末速度v＝0
由公式v＝v0＋a′t′，代入数值得a′＝－10.7 m/s2
答案 (1)16 m/s(或57.6 km/h) (2)－10.7 m/s2
(1)画出物体运动过程的示意图，明确各种已知量和未知量。
(2)减速运动时，a与v方向相反，注意正负。
[针对训练1] 火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h,1 min后变成了54 km/h，又需经多少时间，火车的速度才能达到64.8 km/h?
解析 三个不同时刻的速度分别为
v1＝10.8 km/h＝3 m/s、v2＝54 km/h＝15 m/s。
v3＝64.8 km/h＝18 m/s
时间t1＝1 min＝60 s
所以加速度
a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2，
由v3＝v2＋at2
可得时间t2＝＝ s＝15 s。
答案 15 s
[精典示例]
[例2] 汽车以45 km/h的速度匀速行驶。
(1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s末速度能达到多少？
(2)若汽车刹车以0.6 m/s2的加速度减速，则10 s末速度能达到多少？
(3)若汽车刹车以3 m/s2的加速度减速，则10 s末速度为多少？
思维导图
解析 (1)取初速度方向为正方向，
则v0＝ m/s＝12.5 m/s，a1＝0.6 m/s2，
所以10 s末的速度
v1＝v0＋a1t＝(12.5＋0.6×10) m/s＝18.5 m/s。
(2)a2＝－0.6 m/s2，减速到停止的时间t1＝＝ s＝20.83 s＞10 s，
所以10 s末的速度
v2＝v0＋a2t＝(12.5－0.6×10) m/s＝6.5 m/s。
(3)设刹车经t0时间就停止，末速度v＝0，a3＝－3 m/s2，
由v＝v0＋a3t0，
得t0＝＝4.2 s＜10 s
所以10 s末汽车的速度为零。
答案 (1)18.5 m/s (2)6.5 m/s (3)0
处理刹车应注意的问题
(1)明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间)。通常可由t＝计算得出。并判断要研究的时长大于刹车时间还是小于刹车时间。
(2)若要研究的时长小于刹车时间，则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长；反之，实际运动时间等于刹车时间。
(3)常见错误：误以为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式v＝v0＋at，得出的速度出现负值。
[针对训练2] (2017·广东惠州三中期中)某汽车在某路面上紧急刹车时，如图1所示，刹车的加速度为6 m/s2，如果该汽车开始刹车时的速度为60 km/h，则该汽车刹车5 s时的速度为多少？
图1
解析 设汽车开始刹车时的初速度方向为正方向，
汽车开始刹车时的速度v0＝60 km/h≈16.7 m/s
由匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at得，汽车从刹车到静止所用的时间t＝＝ s≈2.8 s
由于2.8 s＜5 s，所以汽车刹车2.8 s后变为静止，汽车刹车5 s时的速度为0。
答案 0
速度—时间图象
[要点归纳]
1．匀速直线运动的v－t图象
如图甲所示，由于匀速直线运动的速度不随时间改变，因而v－t图象是一条平行于时间轴的直线。从图象中可以直接读出速度的大小和方向。
2．匀变速直线运动的v－t图象
如图乙所示，匀变速直线运动的v－t 图象是一条倾斜的直线。
(1)直线a反映了速度随着时间是均匀增加的，为匀加速直线运动的图象。
(2)直线b反映了速度随着时间是均匀减小的，为匀减速直线运动的图象。
(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小，后均匀增加，由于加速度不变，整个运动过程也是匀变速直线运动。
3．v－t图象的应用
图线上某点的纵坐标
正负号
表示瞬时速度的方向
绝对值
表示瞬时速度的大小
图线的斜率
正负号
表示加速度的方向
绝对值
表示加速度的大小
图线与坐标轴的交点
纵截距
表示初速度
横截距
表示开始运动或速度为零的时刻
图线的拐点
表示加速度改变
两图线的交点
表示速度相等
[精典示例]
[例3] 如图2所示为A、B两个物体做匀变速直线运动的v－t图象。
图2
(1)A、B各做什么运动？求其加速度；
(2)两图线的交点的意义是什么？
(3)求1 s末A、B的速度；
(4)求6 s末A、B的速度。
思路探究
解析 (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度的大小a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，加速度的方向沿规定的正方向；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，加速度的大小a2＝ m/s2＝2 m/s2，加速度的方向与规定的正方向相反。
(2)两图线的交点表示此时刻两个物体的速度相同。
(3)1 s末A物体的速度大小为3 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的速度大小为6 m/s，方向与规定的正方向相同。
(4)6 s末A物体的速度大小为8 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的速度大小为4 m/s，方向与规定的正方向相反。
答案 见解析
应用v－t图象的三点注意事项
(1)正确认识v－t图象，从图象中读出需要的信息是解题的关键。其中图线在t轴以上部分说明速度为正方向，图线斜率k＞0，加速度为正，图线斜率k＜0，加速度为负。
(2)物体的速度变为负值，表示物体运动方向发生了变化，负号不表示速度的大小。
(3)v－t图线为直线且跨过t轴，表示物体的速度方向发生了变化，但加速度方向不变；分段分析可知物体先做匀减速直线运动至速度为零后反向做匀加速直线运动，全程物体做有往复的匀变速直线运动。
[针对训练3] 如图3所示是某物体做直线运动的v－t图象，由图象可知( )
图3
A．物体在0～2 s内做匀速直线运动
B．物体在2～8 s内静止
C．t＝1 s时物体的加速度为6 m/s2
D．t＝5 s时物体的加速度为12 m/s2
解析 0～2 s物体做匀加速直线运动，A错误；2～8 s物体做匀速直线运动，B错误；t＝1 s时，a＝＝6 m/s2，C正确；t＝5 s时，a＝0，D错误。
答案 C
1．(多选)关于匀变速直线运动，下列说法中正确的是( )
A．匀变速直线运动的加速度恒定不变
B．相邻的相同时间间隔内的位移相等
C．在任何相等的时间Δt内的速度变化Δv都相等
D．速度与运动时间成正比
解析 匀变速直线运动是加速度不变的直线运动，A正确；由于物体的速度不断变化，不同时间段的平均速度一般不同，所以相邻的相同时间间隔内的位移一般不相等，B错误；由于速度随时间均匀变化，所以任何相等时间Δt内的速度变化Δv都相等，C正确；根据速度公式，速度与运动时间为一次函数，但不是正比关系，D错误。
答案 AC
2．(多选)关于匀变速直线运动中加速度的正负，下列说法中正确的是( )
A．匀加速直线运动中，加速度一定是正值
B．匀减速直线运动中，加速度一定是负值
C．在匀加速直线运动中，加速度也有可能取负值
D．只有在规定了初速度方向为正方向的前提下，匀加速直线运动的加速度才取正值
解析 加速度的正负取决于正方向的选取，加速度方向与规定的正方向相同时加速度为正值，反之为负值，所以无论是匀加速运动还是匀减速运动，加速度有可能是正值，也有可能是负值；选项A、B错误，C正确；当规定初速度方向为正方向时，匀加速直线运动中的加速度与速度方向相同，故取正值。所以，选项D正确。
答案 CD
3．一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5 s时间，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为( )
A．2 m/s B．10 m/s C．2.5 m/s D．5 m/s
解析 根据v＝v0＋at，得v0＝v－at＝15 m/s－2×5 m/s＝5 m/s，D正确。
答案 D
4．一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速(同方向)出站。在如图所示的四个v－t图象中，正确描述了火车运动情况的是( )
解析 进站速度均匀减小，出站速度均匀增大，故A、D错；进站、出站火车的运动方向相同，故C错。
答案 B
5．(多选)如图4所示是质点做直线运动的v－t图象，则有( )
图4
A．在前6 s内物体做匀变速直线运动
B．在2～4 s内质点做匀变速直线运动
C．4 s末质点的速度大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反
D．3～4 s内与4～6 s内质点的速度方向相反
解析 质点在0～6 s内速度方向改变，加速度没有保持恒定不变，故整个6 s内质点不是做匀变速直线运动，A错误；质点在2～4 s内，速度图线的斜率不变，即加速度不变，质点做匀变速直线运动，B正确；根据图象可知4 s末质点的速度是－4 m/s，即大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反，C正确；质点在3～4 s内和4～6 s内速度均为负值，表明在这两段时间内质点的速度方向相同，都与规定的正方向相反，D错误。
答案 BC
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标
核心提炼
1.知道匀速直线运动的位移与v－t图象中矩形面积的对应关系。
1种方法——极限思想解决问题的方法
1个公式——位移与时间关系式x＝v0t＋at2
2种图象——x－t和v－t图线的特点及应用
2个重要推论——
2.了解位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。
3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式。会应用此关系式对匀变速直线运动问题进行分析和计算。
4.知道什么是x－t图象，能应用x－t图象分析物体的运动。
一、匀速直线运动的位移
阅读教材第37～38页“匀速直线运动的位移”部分，知道匀速直线运动的位移x与v－t图象中矩形面积的对应关系。
1．位移公式：x＝vt。
2．在v－t图象中的表示位移：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积。如图所示阴影图形面积就等于物体t1时间内的位移。
思维拓展
如图1所示，质点在5 s内的位移是多大？
图1
答案 0～3 s位移x1＝v1t1＝9 m
3～5 s位移x2＝－v2t2＝－4 m
故0～5 s x＝x1＋x1＝5 m。
二、匀变速直线运动的位移
分析教材第38～40页图2.3－2的甲、乙、丙、丁的图解过程，了解位移公式的推导方法，从中感受极限思维方法的应用。
1．在v－t图象中的表示位移：
(1)微元法推导
①把物体的运动分成几个小段，如图2甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。
②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。
图2
③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。
(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图象与对应的时间轴所包围的面积。
2．位移与时间的关系
?x＝v0t＋at2
思维拓展
由匀减速直线运动的位移公式x＝v0t－at2可知，当时间t足够长时，位移x可能为负值。位移为负值表示什么意思？
答案 位移为负值，表明物体先向正方向做匀减速运动，当速度减为零以后，又沿负方向做匀加速直线运动，故随着时间的推移总位移可能沿正方向先增加再减小，然后沿负方向增加，故位移为负值。表明物体返回到出发点后继续向负方向运动。
三、用图象表示位移(x－t图象)
阅读教材第40页“用图象表示位移”部分，初步理解位移—时间图象。
1．x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象。
2．常见的x－t图象
(1)静止：一条平行于时间轴的直线。
(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线。
思维拓展
做直线运动的物体在某段时间内的位移—时间图象如图3所示。试分析物体在t＝0到t＝6 s内的运动情况，并画出该物体的速度—时间图象。
图3
解析 由x－t图象可以看出，物体在0～2 s内的位移均匀增大，且为正值，故物体沿规定的正方向运动，速度v1＝＝ m/s＝5 m/s。在2～4 s内，物体的位移没有变化，则v2＝＝0，物体处于静止状态。在4～6 s内，物体的位移先为正值且逐渐减小，后为负值且逐渐增大，速度v3＝＝ m/s＝－10 m/s，“－”号表示物体运动方向与规定的正方向相反。由此可作出物体运动的v－t图象如图所示。
答案 见解析
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中
问题1
问题2
问题3
匀变速直线运动位移公式的理解与应用
[要点归纳]
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。通常有以下几种情况：
运动情况
取值
若物体做匀加速直线运动
a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动
a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值
说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值
说明位移的方向与规定的正方向相反
3．公式的两种特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
[精典示例]
[例1] (2017·安庆高一检测)一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小。
思路探究 (1)两问分别求的是哪段时间内的位移？
(2)选用什么公式来求解位移？
解析 (1)用位移公式求解，3 s内物体的位移
x3＝v0t3＋(－a)t＝5×3 m－×0.5×32 m
＝12.75 m。
(2)同理2 s内物体的位移
x2＝v0t2＋(－a)t＝5×2 m－×0.5×22 m＝9 m
因此，第3 s内的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
答案 (1)12.75 m (2)3.75 m
关于x＝v0t＋at2的注意点
(1)利用公式x＝v0t＋at2计算出的物理量是位移而不是路程。
(2)物体做匀减速运动时，若以初速度v0的方向为正方向，a仅表示加速度的大小，这时的位移公式可表示为x＝v0t－at2。
(3)因为位移公式是一元二次函数，故x－t图象是一条抛物线(一部分)。
[针对训练1] 某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为 ( )
A．1.25 s B．2.5 s
C．3 s D．6 s
解析 x＝v0t＋at2，知v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，
据v＝v0＋at＝3 m/s，得t＝1.25 s，故选A项。
答案 A
对x－t图象的认识
[要点归纳]
1．x－t图象的物理意义：x－t图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。
2．x－t图象的应用
位移
大小
初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向
末位置与初位置的纵坐标差的正负值，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向
速度
大小
斜率的绝对值
方向
斜率的正负，斜率为正，表示物体向正方向运动；斜率为负，表示物体向负方向运动
运动开始位置
图线起点纵坐标
运动开始时刻
图线起点横坐标
两图线交
点的含义
表示两物体在同一位置(相遇)
[精典示例]
[例2] (多选)如图4所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )
图4
A．t＝0时，A在B的前面
B．B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面
C．B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度
D．A运动的速度始终比B大
[思路探究] (1)x－t图象的斜率是什么？
(2)x－t图象的横截距、纵截距意义是什么？
(3)x－t图象的交点表示什么？
解析 t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对；t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后跑在A的前面，B对；B开始运动的速度比A小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错。
答案 AB
(1)x－t图象斜率表示速度。
(2)x－t图象交点表示相遇、位移不一定相等，因为出发点位置不一定相同。
[针对训练2] 如图5所示为甲、乙两物体运动的x－t图象，下列关于甲、乙两物体运动的说法，正确的是 ( )
图5
A．甲、乙两个物体同时出发
B．甲、乙两个物体在同一位置出发
C．甲的速度比乙的速度小
D．t2时刻两个物体速度相同
解析 由题图可知甲物体从0时刻开始运动，而乙物体从t1时刻开始运动，故A错误；由题图可知甲物体从坐标x1开始运动，而乙物体从坐标为0的位置开始运动，故B错误；x－t图象的斜率等于物体运动的速度，由题图可知乙运动的速度大于甲运动的速度，故C正确；t2时刻两物体的位置坐标相同即两物体相遇，故D错误。
答案 C
两个重要的推论
[要点归纳]
1．推论1：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即＝v＝。
(1)适用条件：匀变速直线运动。
(2)应用：计算瞬时速度。
[精典示例]
[例3] 一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。
求：(1)滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
(2)滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少？
思路探究
已知x、v、v0利用速度公式、位移公式求解利用平均速度公式求解
解析 (1)法一 利用速度公式和位移公式求解。
由v＝v0＋at和x＝v0t＋at2
可得a＝0.128 m/s2
t＝25 s。
法二 利用平均速度公式求解。
由x＝t
t＝25 s。
(2)法一 速度公式法
中间时刻t′＝ s
v＝v0＋at′＝3.4 m/s
法二 平均速度公式法
v＝＝3.4 m/s
答案 (1)25 s (2)3.4 m/s
(1)若题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，一般用＝＝计算较方便。
(2)若题目中无位移x，也不需求位移，一般用速度公式v＝v0＋at。
(3)若题目中无末速度v，也不需要求末速度。一般用位移公式x＝v0t＋at2。
[针对训练3] (2017·济南一中期末)一辆汽车4 s内做匀加速直线运动，初速度为2 m/s，末速度为10 m/s，在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．汽车的加速度为4 m/s2
B．汽车的加速度为3 m/s2
C．汽车的位移为24 m
D．汽车的平均速度为3 m/s
解析 汽车的加速度a＝＝2 m/s2，故A、B错误；平均速度＝＝6 m/s，故D错误；位移x＝·t＝24 m，故C正确。
答案 C
2．推论2：匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则
Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
(1)推导：x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，
x3＝v0·3T＋a·T2……
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2……
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2……
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
(2)应用：
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
②求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝。
[精典示例]
[例4] 从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图6所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。试求：
图6
(1)小球的加速度是多少？
(2)拍摄时小球B的速度是多少？
(3)拍摄时xCD是多少？
思路探究
(1)小球做匀加速直线运动。AB、BC、CD是相邻相同时间内的位移，可用逐差相等的推论。
(2)B点可看作某过程的中间时刻，可用平均速度的推论。
解析 小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝
25×10－2 m＝0.25 m。
答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
(1)逐差相等适用于匀变速直线运动中相邻相等时间内的两个过程。
(2)＝适用于任何运动，＝v＝只适用于匀变速直线运动。
[针对训练4] 一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内发生的位移为8 m，在第5 s内发生的位移为5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是 ( )
A．大小为3 m/s2，方向为正东方向
B．大小为3 m/s2，方向为正西方向
C．大小为1.5 m/s2，方向为正东方向
D．大小为1.5 m/s2，方向为正西方向
解析 设第3 s内、第5 s内位移分别为x3、x5，则
x5－x3＝x5－x4＋x4－x3＝2aT2，得a＝－1.5 m/s2，负号表示方向沿正西。故选D。
答案 D
1．(多选)某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t 的单位分别为m和s，下列说法正确的是 ( )
A．v0＝4 m/s，a＝4 m/s2 B．v0＝4 m/s，a＝8 m/s2
C．2 s内的位移为24 m D．2 s末的速度为24 m/s
解析 将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定v0＝4 m/s，a＝8 m/s2，A错误，B正确；把t＝2 s代入公式可得x＝24 m，C正确；由于v＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2 s代入可得v＝20 m/s，D错误。
答案 BC
2．汽车进行刹车试验，若速度从8 m/s匀减速到零所用的时间为1 s，按规定速度为8 m/s的汽车刹车后位移不得超过5.9 m，那么上述刹车试验是否符合规定( )
A．位移为8 m，符合规定 B．位移为8 m，不符合规定
C．位移为4 m，符合规定 D．位移为4 m，不符合规定
解析 x＝t＝t＝4 m，所以符合规定。
答案 C
3．(多选)某物体运动的v－t图象如图7所示，根据图象可知，该物体( )
图7
A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2
B．在0到5 s末的时间内，位移为10 m
C．在0到6 s末的时间内，位移为7.5 m
D．在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m
解析 在0到2 s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A正确；0～5 s内物体的位移等于梯形面积x1＝(×2×2＋2×2＋×1×2) m＝7 m，故B错误；在5～6 s内物体的位移等于t轴下面三角形面积x2＝－(×1×1) m＝－0.5 m，故0～6 s 内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5 m，D正确，C错误。
答案 AD
4．(多选)如图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象，下列说法正确的是( )
A．甲是v－t图象 B．乙是x－t图象
C．丙是x－t图象 D．丁是a－t图象
解析 乙若是x－t图象则应是匀速直线运动，故B错，答案选A、C、D。
答案 ACD
5．某种型号的飞机以60 m/s的速度着陆，着陆后飞机的运动可看作匀减速运动，加速度大小为6 m/s2，求飞机着陆后12 s内的位移大小。
图8
解析 已知v0＝60 m/s，a＝－6 m/s2，则由0＝v0＋at得飞机停下来所需时间t＝ s＝10 s，即飞机着陆10 s后就停下来不再继续向前运动，因此12 s内的位移大小为x＝v0t＋at2＝[60×10＋×(－6)×102] m＝300 m。
答案 300 m
第4节 匀变速直线运动的速度与位移的关系
学习目标
核心提炼
1.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系。
1个公式——位移与速度关系式v2－v＝2ax
1组推论——初速度为零的匀加速运动的比例式
2.掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间之间的相互关系，会用公式求解匀变速直线运动的问题。
速度与位移的关系式
阅读教材第41～42页内容，了解速度与位移的关系式的推导过程，知道关系式中各物理量的含义。
1．公式：v2－v＝2ax。
2．推导
速度公式v＝v0＋at。
位移公式x＝v0t＋at2。
由以上公式可得：v2－v＝2ax。
思维拓展
应用v2－v＝2ax分析匀变速直线运动有何优势？
提示 因为公式v2－v＝2ax不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间时，应用该式分析匀变速直线运动较方便，特别是求解刹车问题中的刹车距离时比较方便。
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中
问题1
问题2
问题3
速度与位移关系式v2－v＝2ax的理解及应用
[要点归纳]
1.公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的意义：公式2ax＝v2－v反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
(2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。
4．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
[精典示例]
[例1] 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度。
审题指导
关键词
分析
54 km/h
开始减速时的速度
分别前进多远
减速运动至停止，超载时a＝2.5 m/s2，不超载时a＝5 m/s2
25 m
刹车时通过的位移
解析 (1)设货车刹车时速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝
由题意知，v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，a1＝2.5 m/s2，
a2＝5 m/s2
代入数据得，超载时x1＝45 m
不超载时x2＝22.5 m
(2)超载货车与轿车碰撞时，由v2－v＝2ax知
相撞时货车的速度
v＝＝ m/s＝10 m/s
答案 (1)45 m 22.5 m (2)10 m/s
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v＝2ax。
[针对训练1] 如图1所示，物体A在斜面上匀加速由静止滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与平面上加速度a2的大小关系为( )
图1
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
解析 设物体在斜面末端时的速度为v，由v2－v＝2ax得v2－02＝2ax1,02－v2＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2。
答案 B
初速度为零的匀加速直线运动的比例式
[要点归纳]
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
①1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比：
由v＝at可得：v1∶v2∶v3…＝1∶2∶3…
②1T内、2T内、3T内…位移之比：
由x＝at2可得：
x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…
③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2…可得：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…＝1∶3∶5…
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x)
①通过x、2x、3x…所用时间之比：
由x＝at2可得t＝，所以
t1∶t2∶t3…＝1∶∶…
②通过第一个x、第二个x、第三个x…所用时间之比：由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2…可得：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶(－1)∶(－)…
③x末、2x末、3x末…的瞬时速度之比：
由v2＝2ax，可得v＝，所以
v1∶v2∶v3…＝1∶∶…
[精典示例]
[例2] 在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军，如图2所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少？(冰壶可看成质点)
图2
审题指导
(1)末速度为零的匀减速直线运动可看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。
(2)冰壶通过两矩形区域的位移相等。
解析 把冰壶的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动。冰壶通过两矩形区域位移相等，则从右向左穿过矩形的速度之比1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比v1∶v2＝∶1；冰壶从右向左，通过每个矩形区域的时间之比1∶(－1)；则冰壶实际运动穿过区域的时间之比t1∶t2＝(－1)∶1。
答案 见解析
(1)以上比例式成立的条件是物体做初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化。
[针对训练2] 从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s 内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶∶
解析 由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度＝，三段时间都是1 s，故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确。
答案 A
1．关于公式x＝，下列说法正确的是( )
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
解析 公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误。
答案 B
2．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆的刹车加速度是15 m/s2，该路段限速为60 km/h，则该车 ( )
A．超速 B．不超速
C．是否超速无法判断 D．行驶速度刚好是60 km/h
解析 该车辆的末速度为零，由v2－v＝2ax，可计算出初速度v0＝＝ m/s＝30 m/s＝108 km/h，该车严重超速，选项A正确。
答案 A
3．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶ D．2∶1
解析 减速运动中位移最大时末速度为零，由v2－v＝2ax得x＝，故＝＝()2＝，故选B。
答案 B
4．从静止开始做匀加速直线运动的物体，0～10 s内的位移是10 m，那么在10～20 s内的位移是( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
解析 初速度为零的匀加速直线运动连续相等的时间通过的位移之比为1∶3∶5∶……，故选B项。
答案 B
5．(2017·洛阳高一检测)一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中经过相距27 m的A、B两点所用时间为2 s，汽车经过B点时的速度为15 m/s。求：
(1)汽车经过A点时的速度大小；
(2)A点与出发点间的距离。
解析 设汽车的加速度为a，则
vB＝vA＋at，v－v＝2ax
将t＝2 s，vB＝15 m/s，x＝27 m代入两式，联立求得a＝1.5 m/s2，vA＝12 m/s。A点与出发点间距离x′＝＝ m＝48 m。
答案 (1)12 m/s (2)48 m
第5节 自由落体运动 第6节 伽利略对自由落体运动的研究
学习目标
核心提炼
1.知道物体做自由落体运动的条件。
2种运动——自由落体运动，竖直上抛运动
1个加速度——重力加速度g
3个基本公式——
2.通过实验探究自由落体运动加速度的特点，建立重力加速度的概念。知道重力加速度的大小、方向。
3.掌握自由落体运动的规律，并能解决相关实际问题。
4.了解伽利略对自由落体运动的研究方法，领会伽利略的科学思想。
一、自由落体运动
阅读教材第43～44页“自由落体运动”部分，知道自由落体运动的概念。
1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
2．特点
(1)运动性质：初速度等于零的匀加速直线运动。
(2)受力特点：只受重力作用。
(3)物体下落可看作自由落体运动的条件：在实际中物体下落时由于受空气阻力的作用，物体并不是做自由落体运动，只有当空气阻力比重力小得多，可以忽略时，物体的下落才可当作自由落体运动来处理。
思维拓展
如图所示，在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快，在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛下落快慢相同。
(1)只受重力作用时，物体下落快慢有什么规律。
(2)空气中的落体运动在什么条件下可看作自由落体运动？
答案 (1)物体下落快慢相同 (2)空气的阻力作用可以忽略
二、自由落体加速度
阅读教材第44页“自由落体加速度”部分，知道自由落体加速度的概念，说出地球上自由落体加速度大小随地理纬度的变化而变化的规律。
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同。这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示。
2．方向：竖直向下。
3．大小
(1)在地球上的同一地点：一切物体自由下落的加速度都相同。
(2)在地球上不同的地点，g的大小一般是B(A．相同 B．不同)的，g值随纬度的增大而逐渐增大。
(3)一般取值：g＝9.8_m/s2或g＝10_m/s2。
思维拓展
自由下落加速度的大小与物体的质量有关吗？同一物体在月球和地球上做自由落体运动时加速度相同吗？
答案 自由下落加速度的大小与物体的质量无关系。同一物体在月球和地球上自由落体的加速度也不相同。
三、自由落体运动规律
阅读教材第44页最后一段，由自由落体运动特点大致写出速度公式、位移公式及位移与速度关系式。
速度公式v＝gt
位移公式h＝gt2
速度位移公式v2＝2gh
思维拓展
我们已经知道，自由落体运动是一种初速度为0，只受重力作用的运动。那么前面所学的匀变速直线运动的规律，还有哪些适用于自由落体运动。请举出一些！
答案 平均速度公式，初速度为零的匀变速直线运动的比例式等均可用。
四、伽利略对自由落体运动的研究
阅读教材第46～49页内容，了解自由落体运动研究的史实，领会伽利略的科学思维方法。
1．亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重力决定的。
2．伽利略的研究
(1)归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了亚里士多德的论断。
(2)猜想：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的。
(3)数学推理：伽利略通过数学推理得出初速度为零的匀变速直线运动应有x∝t2。
(4)实验结果。
①小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动。
②只要斜面的倾角一定，小球的加速度都是相同的。
③增大斜面的倾角，小球的加速度随斜面倾角的增大而增大 。
(5)合理外推：伽利略认为当斜面倾角为90°时，小球将自由下落，仍会做匀变速直线运动。
思维拓展
以上图画中可以推翻亚里士多德的什么观点？
答案 亚里士多德认为物体下落的快慢是由它们的重力决定的。
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中
问题1
问题2
问题3
自由落体运动的理解
[要点归纳]
1．自由落体运动是一种理想模型。当自由下落的物体所受的空气阻力远小于重力时，物体的运动才可以视为自由落体运动。如空气中石块的下落可以看做自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看做自由落体运动。
2．物体做自由落体运动的条件
(1)初速度为零；(2)只受重力。
3．运动特点：
初速度为零，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。是匀变速直线运动的特例。
运动图象：自由落体运动的v－t图象是一条过原点的倾斜直线，斜率是k＝g。
特别提醒 物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但下落的加速度与在地球表面下落的加速度不同
[精典示例]
[例1] (2017·广东清远月考)关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．质量大的物体自由下落时的加速度大
B．从水平飞行的飞机上释放的物体将做自由落体运动
C．雨滴下落的过程是自由落体运动
D．从水龙头上滴落的水滴的下落过程，可以近似看成自由落体运动
思路探究 自由落体运动是一种理想化模型，实际问题中当阻力相对于重力可以忽略时，才可以把物体由静止下落的运动看成自由落体运动。
解析 所有物体在同一地点的重力加速度相等，与物体质量大小无关，A错误；从水平飞行的飞机上释放的物体，具有水平初速度，不是自由落体运动，B错误；雨滴下落过程所受空气阻力与速度大小有关，速度增大时阻力增大，雨滴速度增大到一定值时，阻力与重力相比不可忽略，不能认为是自由落体运动，C错误；从水龙头上滴落的水滴所受的空气阻力与重力相比可忽略不计，可认为只受重力作用，D正确。
答案 D
自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为g，g的大小与重力大小无关。所有的匀变速直线运动的规律都适用于自由落体运动。但要注意，当问题指明(或有暗示)空气阻力不能忽略时，物体从静止开始下落的运动就不再是自由落体运动。
[针对训练1] (2017·昆明高一检测)(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是 ( )
A．竖直向下的运动一定是自由落体运动
B．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动
D．熟透的苹果从树枝开始自由下落的运动可被视为自由落体运动
解析 物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错，C对；所有物体做自由落体运动的加速度均为g，运动性质是由静止开始的匀加速直线运动，B对；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该过程视为自由落体运动，D对。
答案 BCD
自由落体加速度
[要点归纳]
1．对自由落体加速度的理解
(1)产生原因：地球上的物体受到地球的吸引力而产生的。
(2)大小：与在地球上的纬度以及距地面的高度有关：
与纬度的
关系
在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，即赤道处重力加速度最小，两极处重力加速度最大，但差别很小
与高度的
关系
在地面上的同一地点，重力加速度随高度的增加而减小。但在一定的高度内，可认为重力加速度的大小不变
(3)方向：竖直向下。由于地球是一个球体，各处的重力加速度的方向是不同的。
特别提醒
(1)我们在研究自由落体运动时，物体下落的高度不太高，一般认为重力加速度大小不变。
(2)重力加速度的方向既不能说是“垂直向下”，也不能说是“指向地心”，只有在赤道或两极时重力加速度才指向地心。
2．测定重力加速度的方法
(1)实验设计
利用频闪照片，或利用打点计时器能够把做自由落体运动的物体的位置和相应的时刻记录下来。根据对匀变速直线运动的研究，测量物体下落的加速度，进而研究自由落体运动是否是匀加速直线运动，以证实猜想。
(2)实验方法
①打点计时器法
a．实验装置如图所示。打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过计时器。用夹子夹住纸带，启动计时器，松开夹子后重物自由下落，计时器在纸带上留下一串小点。
b．对纸带上计数点间的距离x进行测量，利用g＝求出重力加速度。
特别提醒
(1)为尽量减小空气阻力的影响，重物应选密度大的，如铁锤等。
(2)打点计时器应竖直固定好。
(3)重物应靠近打点计时器释放，且要先打开打点计时器的电源再放开重物。
(4)改变重物的质量，重复打出几条纸带。
(5)选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带分析探究。
②频闪照相法
频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2可求出重力加速度g＝。由g＝也可求出重力加速度g。
③滴水法
a．如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去。
b．用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h。
c．测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1、2、3、…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝。
d．由h＝gT2，得g＝＝。
特别提醒
(1)打点计时器法的误差主要来自阻力的影响和测量误差。
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差。
[精典示例]
[例2] 图1中(甲)、(乙)两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50 Hz。
图1
(1)(甲)、(乙)两图相比较，图______所示的装置更合理。
(2)(丙)图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5…经测量，第15至第17点间的距离为11.70 cm，第1至第16点间距离为
43．88 cm，则打下第16个点时，重锤下落的速度大小为________m/s，测出的重力加速度值为g＝______m/s2。(要求保留三位有效数字)
思路探究
(1)实验中，对下落物体的初速度和所受摩擦力有什么要求？
(2)由“第15至第17点间的距离……”可求出哪一点的速度？
解析 (1)(甲)图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力，又能保证释放时初速度的大小为零，所以(甲)图更合理。
(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝≈2.93 m/s，又根据2gH＝v2，
可得g≈9.78 m/s2。
答案 (1)(甲) (2)2.93 9.78(±0.02均可)
利用纸带计算重力加速度的方法
(1)计算出纸带上一个点或几个点的速度，根据匀变速直线运动的公式求加速度。
(2)计算出纸带上各点的速度，画出v－t图象，由图象的斜率可求得重物下落的加速度即重力加速度。
(3)根据Δh＝gt2用逐差法求加速度。(注意要尽可能多地选用数据)
[针对训练2] 登上月球的宇航员利用频闪仪(频率为每秒20次)给自由下落的小球拍照，所拍的闪光照片如图2所示(图上所标数据为小球到达各位置时总的下落高度)，则月球表面的重力加速度为________m/s2(保留两位有效数字)。
图2
解析 由O到F，每两个相邻小球间的距离依次记为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据逐差法有，小球的加速度为a＝，
其中T＝0.05 s，x6＋x5＋x4＝7.20 cm－1.80 cm＝5.40 cm，x1＋x2＋x3＝1.80 cm，
代入数据得a＝1.6 m/s2。
答案 1.6
自由落体运动规律及应用
[要点归纳]
1．四个基本公式
下面对匀变速直线运动的相关公式和自由落体运动的相关公式进行对比。
匀变速直线运动
自由落体运动
平均速度
＝＝v
＝＝v
速度
v＝v0＋at
v＝gt
位移
x＝v0t＋at2
h＝gt2
速度—位移公式
v2－v＝2ax
v2＝2gh
特别提醒
自由落体运动的运动时间由下落的高度决定。自由落体运动中下落的位移与离地高度是两个不同的概念，运算取值时要注意区分。
2．v－t图象
自由落体运动的v－t图象是一条过原点的倾斜直线，斜率表示重力加速度g。
[精典示例]
[例3] 如图3所示，悬挂的直杆AB长为a，在B端以下h处有一长为b的无底圆柱筒CD，若将悬线剪断，问：
图3
(1)直杆下端B穿过圆柱筒的时间是多少？
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒的时间是多少？
思路探究
解析 (1)直杆下端B穿过圆柱筒，即从B下落到C点(自由下落h)起到B下落到D点(自由下落h＋b)止。
由x＝gt2得t＝。
则B下落到C点所需时间为t1＝，
B下落到D点所需时间t2＝。
则直杆下端B穿过圆柱筒的时间是
Δt1＝t2－t1＝－。
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒，从B下落到C点(自由下落h)起到A下落到D点(自由下落h＋a＋b)止。
A穿过D点所需时间t3＝。
则整个直杆AB穿过圆柱筒的时间Δt3＝t3－t1＝－
答案 (1)－ (2)－
[针对训练3] 设宇航员在某行星上从高32 m处自由释放一重物，测得在下落最后1 s内所通过的距离为14 m，则重物下物落的时间是多少？该星球表面的重力加速度为多大？
解析 设物体下落的时间为t，星球表面的重力加速度为g，则由h＝gt2得
32 m＝gt2①
32 m－14 m＝g(t－1)2②
由①②解得t＝4 s，g＝4 m/s2
答案 (1)4 s 4 m/s2
竖直上抛运动
[要点归纳]
1．定义：物体具有竖直向上的初速度，只在重力作用下的运动。
2．运动性质：先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g。
3．竖直上抛运动的重要特性
作出竖直上抛运动的过程图，如图所示，结合图象分析，可知竖直上抛运动的对称性和多解性。
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′。
(2)多解性
通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
4．几个典型的物理量
(1)物体上升到最高点所用的时间与物体从最高点落回到原抛出点所用的时间相等，t上＝t下＝。
(2)物体从抛出点开始到再次落回抛出点所用的时间必为上升时间或下降时间的2倍，t＝。
(3)竖直上抛运动的最大高度h＝。
若初速度变为原来的2倍，上升的高度将变为原来的4倍。
[精典示例]
[例4] 一个以40 m/s匀速竖直上升的氢气球，在某时刻从气球上掉下一个重物，已知重物掉下时距离地面的高度为100 m，此重物从氢气球上掉下来后，要经过多长时间返回地面？(g＝10 m/s2)
解析 重物从氢气球上掉下来时，由于惯性，具有初速度，故做竖直上抛运动，而并非做自由落体运动。
法1 分段法
上升阶段：初速度v0＝40 m/s
上升的最大高度h2＝＝ m＝80 m
上升时间t1＝＝ s＝4 s
下落阶段：由gt＝h1＋h2，得t2＝＝6 s
t＝t1＋t2＝10 s
法2 整体法
取竖直向上为正方向，则v0＝40 m/s，整个过程位移h＝－h1＝－100 m，代入h＝v0t－gt2，得－100＝40t－5t2，解得t＝10 s或t′＝－2 s(舍去)
答案 10 s
竖直上抛问题的处理方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理。上升阶段：v＝v0－gt，h＝v0t－gt2；下落阶段：v＝gt，h＝gt2。分段法虽然过程麻烦，但物体的运动状态清晰。
(2)整体法：取整个过程分析，选竖直向上为正方向，将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动，则有v＝v0－gt，h＝v0t－gt2。v＞0，上升阶段；v＜0，下落阶段；h＞0，在抛出点上方；h＜0，在抛出点下方。使用整体法时关键要注意各量的正负方向，弄清物理含义。
[针对训练4] 在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体经历的时间是多少？
解析 取竖直向上为正方向，则：x＝v0t－gt2
当物体位于抛出点上方时，有：x＝10 m
解得：t1＝(2－) s，t2＝(2＋) s
当物体位于抛出点下方时，有：x＝－10 m
解得：t3＝(2＋) s，t4＝(2－) s＜0舍去。
答案 见解析
1．17世纪意大利科学家伽利略在研究落体运动的规律时，做了著名的斜面实验，其中应用到的物理思想方法属于( )
A．等效替代法 B．实验归纳法
C．理想实验法 D．控制变量法
解析 伽利略在研究落体运动的规律时，做了著名的理想斜面实验。
答案 C
2．(2017·枣庄高一检测)关于自由落体运动，下列说法最合理的是 ( )
A．物体不受任何作用力的运动
B．物体在真空中的运动
C．加速度为g的竖直下落运动
D．初速度为零、加速度为g的竖直下落运动
解析 自由落体运动初速度为0，只受重力、加速度为g。故选D项正确。
答案 D
3．如图4所示，只要测量了小明释放直尺到小张捏住直尺这段时间内直尺下落的高度h，就能确定小张的反应时间t，其所依据的关系式是( )
图4
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
解析 根据题意分析，直尺下落可看成自由落体运动，由自由落体运动公式h＝gt2，可得t＝，C正确。
答案 C
4．关于重力加速度的下列说法中，不正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点同一高度，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小
解析 重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同。在地球表面，不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，A错误，B正确；在地球表面同一地点同一高度，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，C、D正确。
答案 A
5．一个物体从45 m高的地方自由下落，到达地面时的速度是多大？下落最后1 s内的位移是多大？(g取10 m/s2)
解析 由v2＝2gh得物体到达地面时的速度
v＝＝ m/s＝30 m/s
物体落地1 s前的速度
v0＝v－gt＝30 m/s－10 m/s＝20 m/s
故下落最后1 s内的位移
h′＝v0t＋gt2＝20×1 m＋×10×12 m＝25 m。
答案 30 m/s 25 m
习题课 匀变速直线运动的规律应用
匀变速直线运动的基本公式的应用
[要点归纳]
1．匀变速直线运动四个常用公式的比较
公式
一般形式
v0＝0时
涉及的
物理量
不涉及的
物理量
速度公式
v＝v0＋at
v＝at
v、v0、a、t
位移x
位移公式
x＝v0t＋at2
x＝at2
x、v0、t、a
末速度v
速度与位移
的关系式
v2－v＝2ax
v2＝2ax
v、v0、a、x
时间t
平均速度求
位移公式
x＝t
x＝t
x、v0、v、t
加速度a
2．常用公式的三点说明
(1)表中四个公式共涉及匀变速直线运动的初速度v0、末速度v、加速度a、位移x和时间t五个物理量，这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向(通常取v0方向为正方向)，并注意各物理量的正负。
(2)灵活选用公式，已知五个量中任意三个可求另外两个。
(3)速度公式和位移公式是两个基本公式，利用这两个公式可求解匀变速直线运动的所有问题，而灵活选用其他公式可在某些具体问题中大大简化解题过程。
[精典示例]
[典例1] 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及加速度。
解析 法1 基本公式法
如图所示，由位移公式得
x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－(vAT＋aT2)
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
法2 用平均速度法
连续两段相等时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
且1＝，2＝
由于B是A、C的中间时刻，则
vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
法3 逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
又x1＝vAT＋aT2
vC＝vA＋a·2T
联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
答案 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
(1)＝适用于任何形式的运动。
(2)＝只适用于匀变速直线运动。
(3)用平均速度求位移，因为不涉及加速度，比较简单方便。x＝t＝t也是矢量式。
(4)Δx＝aT2只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。
(5)实验中根据打出的纸带求物体的加速度时常用到推论式xⅡ－xⅠ＝aT2。
[针对训练1] 一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
(1)火车的加速度a；
(2)火车中点经过此路标时的速度v；
(3)整列火车通过此路标所用的时间t。
解析 火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。
(1)由匀加速直线运动的规律得v－v＝2al，得火车的加速度a＝。
(2)对前一半位移，v2－v＝2a·
对后一半位移，v－v2＝2a·
所以有v2－v＝v－v2，故v＝
(3)火车的平均速度＝
故所用时间t＝＝
答案 (1) (2) (3)
运动图象问题
[要点归纳]
x－t图象与v－t图象的比较
比较内容
x－t图象
v－t图象
图象
物理意义
反映的是位移随时间的变化规律
反映的是速度随时间的变化规律
物体的运动性质
①
表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并超过零位移处
表示物体先做正向匀减速直线运动，再做反向匀加速直线运动
②
表示物体静止不动
表示物体做正向匀速直线运动
③
表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动
表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动
④
表示物体做加速直线运动
表示物体做加速度逐渐增大的加速运动
图象与坐标轴围成的“面积”的意义
无实际意义
表示相应时间内的位移
[精典示例]
[例2] (多选)物体甲的x－t图象和物体乙的v－t图象如图1所示，则这两物体的运动情况是( )
图1
A．甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
B．甲在整个t＝6 s时间内有往返运动，它通过的总位移为零
C．乙在整个t＝6 s时间内有往返运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
思路指导 解答该题时应先区分两个图象是x－t图象还是v－t图象，再结合图象的斜率、截距以及交点的物理意义进行分析。
解析 甲图为x－t图象，图象的斜率表示速度，甲的斜率一直为正，故甲的运动方向不变，通过的总位移大小为4 m，A正确，B错误；乙图为v－t图象，速度有正负，表示有往返运动。v－t图象中图线与时间轴所围面积表示位移的大小，在整个t＝6 s时间内乙通过的总位移为零，C正确，D错误。
答案 AC
运动学图象的“五看”
x－t图象
v－t图象
轴
纵轴为位移x
纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线与时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
[针对训练2] 某高考考生进入考场后发现自己忘记带准考证了，他立即从考场出来，先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动跑向班主任，在班主任处拿好准考证后再匀速回到考场，关于该考生的运动情况，下列图象一定不正确的是( )
解析 该考生先加速后同方向减速，再反方向匀速，故初、末的速度方向应相反，A对，B错；由于是先匀加速后匀减速，故其对应的位移—时间图象是两段抛物线，在班主任处停留一会，后匀速反向运动，故C对；由于考生先匀加速后匀减速运动，故考生由考场到刚跑到班主任处过程加速度—时间图象是两直线，之后加速度为零，D对。
答案 B
追及和相遇问题
[要点归纳]
两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。
1．抓住一个条件、用好两个关系
(1)一个条件：速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。
2．常用方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
(2)图象法：将两者的v－t图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解。
(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰。
[精典示例]
[例3] 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求：
(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？
(2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？
思路指导 讨论追及和相遇问题，实质是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。要注意两物体的时间、位移和速度关系，速度相等往往是分析判断的切入点。
解析 (1)法1 基本规律法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有
v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－at＝6 m
法2 相对运动法
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s
末速度vt＝v汽车－v自＝0
加速度a′＝a－a自＝3 m/s2
所以最大距离x＝＝－6 m
负号表示汽车在后。
经历的时间t＝＝2 s
法3 极值法或数学分析法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则
Δx＝x1－x2＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大
所以Δx＝6 m
法4 图象法
自行车和汽车运动的v－t图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m
(2)法1 当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有
v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s
法2 由图可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2＝2t1＝4 s，v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
答案 (1)2 s；6 m (2)4 s；12 m/s
解答追及与相遇问题的思维流程
[针对训练3] 已知A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10 m/s，B车在后，速度v2＝30 m/s，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过x＝180 m才能停下来。
(1)B车刹车时A仍按原速率行驶，两车是否会相撞？
(2)若相撞，求B车从开始刹车到两车相撞用多少时间？若不相撞，求两车的最小距离。
解析 (1)设B车加速度大小为aB，刹车至停下来的过程中，由v＝2aBx
解得：aB＝2.5 m/s2
B车在开始刹车后t时刻的速度为vB＝v2－aBt
B车的位移xB＝v2t－aBt2
A车的位移xA＝v1t
设t时刻两车速度相等，vB＝v1
解得：t＝8 s
将t＝8 s代入得xB＝160 m，xA＝80 m
因xB＞xA＋x0＝155 m
故两车会相撞。
(2)设B车从开始刹车到两车相撞所用时间为t，则满足
xB＝xA＋x0
代入数据解得：t1＝6 s，t2＝10 s(不符合题意)
故B车从开始刹车到两车相撞用时6 s。
答案 见解析
1．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为 ( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶4 D．4∶3
解析 汽车从刹车到停止用时t刹＝＝ s＝4 s，故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为x1＝v0t－at2＝20×2 m－×5×22 m＝30 m，x2＝v0t刹－at＝20×4 m－×5×42 m＝40 m，x1∶x2＝3∶4，故C正确。
答案 C
2．下列所给的图象中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是( )
解析 A为位移—时间图象，图线与t轴相交的两个时刻即为相同的初始位置，说明物体回到了初始位置；B、C、D选项中的图象均为速度—时间图象，要回到初始位置，则t轴上方的图线与坐标轴围成的面积和t轴下方的图线与坐标轴围成的面积相等，显然B选项中只有t轴上方的面积，故B选项表示物体一直朝一个方向运动，不会回到初始位置，而C、D选项在t＝2 s时刻，物体回到了初始位置，故选B。
答案 B
3．一质点做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C间的距离为14 m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等。则O与A的距离为( )
A．8 m B．6 m
C．4 m D．2 m
解析 根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔T内物体的位移之差Δx＝aT2，则x3－x2＝x2－x1，所以x1＝2x2－x3＝2×10 m－14 m＝6 m，选项B正确。
答案 B
4．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0 时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v－t图象中(如图2所示)，直线a、b分别描述了甲、乙在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
图2
A．在0～10 s内两车逐渐靠近 B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s内两车的位移相等 D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
解析 由图象可以看出，0～10 s内v甲＜v乙，两车逐渐远离；10～20 s内v甲＞v乙，两车逐渐靠近；10 s时两车相距最远，20 s时两车再次相遇。在速度—时间图象上，图线与横坐标轴所包围的面积等于物体位移的大小。由此可知，5～15 s内两车的位移相等。
答案 C
5．为了安全，汽车过桥的速度不能太大。一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用10 s时间通过一座长120 m的桥，过桥后的速度是14 m/s。汽车可看做质点，请计算：
(1)它刚开上桥头时的速度有多大？
(2)桥头与出发点的距离有多远？
解析 (1)设汽车刚开上桥头时的速度为v1，
则有x＝t
v1＝－v2＝(－14) m/s＝10 m/s。
(2)汽车的加速度a＝＝ m/s2＝0.4 m/s2
桥头与出发点的距离x＝＝ m＝125 m。
答案 (1)10 m/s (2)125 m
第二章 匀变速直线运动的研究章末总结
一、匀变速直线运动问题的分析技巧
1．常用公式法
匀变速直线运动的常用公式有：v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax。使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同的为正，与正方向相反的为负。
2．平均速度法
(1)＝，此式为平均速度的定义式，适用于任何运动。
(2)＝v＝(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动。
3．比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的推论，用比例法解题。
4．逆向思维法
把运动过程的“末态”看成“初态”的反向研究问题的方法。例如，末速度为零的匀减速直线运动可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
5．图象法
应用v－t图象可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解。
[例1] 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图1所示。已知物体运动到斜面长度处的B点，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
图1
解析 法1 逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。故xBC＝，xAC＝，又xBC＝，解得tBC＝t。
法2 比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
现有xBC∶xBA＝∶＝1∶3。
通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC＝t。
法3 中间时刻速度法
利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，则AC＝＝＝
又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝
由以上各式解得vB＝
可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置，因此有tBC＝t。
法4 图象法
利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出v－t图象，如图所示，＝
且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC
所以＝，得tBC＝t。
答案 t
应用匀变速直线运动的规律研究具体的运动问题，首先要明确物体做什么运动，然后确定已知参量和待求的运动参量，据此灵活选择运动学公式进行求解。
[针对训练1] 一物体以某一速度冲上一光滑斜面，前4 s的位移为1.6 m，随后4 s的位移为零，那么物体的加速度多大？
解析 设物体的加速度大小为a，由题意知a的方向沿斜面向下。
法一 基本公式法
物体前4 s的位移为1.6 m，是减速运动，所以有
x＝v0t0－at，
代入数据1.6＝v0×4－a×42
随后4 s的位移为零，则物体滑到最高点所用时间为
t＝4 s＋ s＝6 s，
所以初速度v0＝at＝a×6
由以上两式得物体的加速度为a＝0.1 m/s2。
法二 推论＝v法
物体2 s末时的速度即前4 s内的平均速度为
v2＝＝ m/s＝0.4 m/s。
物体6 s末的速度为v6＝0，所以物体的加速度大小为
a＝＝ m/s2＝0.1 m/s2。
法三 推论Δx＝aT2法
由于整个过程a保持不变，是匀变速直线运动，由Δx＝at2得物体加速度大小为
a＝＝ m/s2＝0.1 m/s2。
法四 由题意知，此物体沿斜面速度减到零后，又逆向加速。全过程应用x＝v0t＋at2得
1．6＝v0×4－a×42
1．6＝v0×8－a×82
由以上两式得a＝0.1 m/s2，v0＝0.6 m/s。
答案 0.1 m/s2
二、运动图象的意义及应用
识图六看：
一看“轴”：纵、横轴所表示的物理量，特别要注意纵轴是位移x，还是速度v。
二看“线”：图线反映运动性质，如x－t 图象为倾斜直线表示匀速运动，v－t图象为倾斜直线表示匀变速运动。
三看“斜率”：“斜率”往往代表一个物理量。x－t图象斜率表示速度；v－t图象斜率表示加速度。
四看“面积”：主要看纵、横轴物理量的乘积有无意义。如x－t 图象面积无意义，v－t图象与t轴所围面积表示位移。
五看“截距”：初始条件、初始位置x0或初速度v0。
六看“特殊值”：如交点，x－t图象交点表示相遇，v－t图象交点表示速度相等(不表示相遇)。
[例2] (多选)(2017·郑州高一检测)如图2所示是某质点做直线运动的v－t图象，由图可知这个质点的运动情况是( )
图2
A．前5 s做的是匀速运动
B．5～15 s内做匀加速运动，加速度大小为1 m/s2
C．15～20 s内做匀减速运动，加速度大小为3.2 m/s2
D．质点15 s末离出发点最远，20 s末回到出发点
解析 由图象可知前5 s做的是匀速运动，选项A正确；5～15 s内做匀加速运动，加速度大小为0.8 m/s2，选项B错误；15～20 s内做匀减速运动，加速度大小为3.2 m/s2，选项C正确；质点一直做单方向的直线运动，在20 s末离出发点最远，选项D错误。
答案 AC
物体是否做匀变速直线运动，关键看该过程的加速度是不是有变化。
[针对训练2] (2017·郑州高一检测)如图3所示是甲、乙两物体从同一点出发的位移—时间(x－t)图象，由图象可以看出在0～4 s这段时间内( )
图3
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．4 s时甲、乙两物体之间的距离最大
C．甲的平均速度大于乙的平均速度
D．甲、乙两物体之间的最大距离为3 m
解析 x－t图象的斜率表示速度的大小和方向，甲在2 s时速度反向，乙一直沿着正方向运动，故A错；2 s时，甲、乙位移之差最大，最大距离为3 m，故B错，D对；甲、乙在前4 s 内的位移均为2 m，平均速度为0.5 m/s，故C错。
答案 D
三、追及、相遇问题的分析方法
1．追及、相遇问题时，一定要抓住两个关键点
(1)位移关系：x2＝x0＋x1。
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被迫赶物体的位移，x2表示后面物体的位移。
(2)临界状态：v1＝v2。
当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等临界、最值问题。
2．处理追及、相遇问题的三种方法
(1)分析法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解。
(2)函数法：由于匀变速直线运动的位移表达式是时间t的 一元二次方程，可利用判别式进行讨论。
(3)图象法：对于定性分析的问题，可利用图象法分析，避开繁杂的计算，快速求解。
[例3] (2017·济南实验中学模拟)在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。(可用多种方法)
解析 两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示，现用三种方法解答如下：
法一 分析法 利用位移公式、速度公式求解。对A车有xA＝v0t＋×(－2a)×t2，vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有xB＝at2，vB＝at
两车位移关系有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
v0≤。
法二 函数法 利用判别式求解。由解法一可知
xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)×t2＝x＋at2
整理得3at2－2v0t＋2x＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
v0≤。
法三 图象法 利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at
对B车有vB＝v′＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
v0≤。
答案 v0≤
两个运动的物体中，若没有减速的(不存在刹车问题)，用数学方程解出的结果不需检验，若有刹车问题，则要把用数学方法解出的结果进行检验。
[针对训练3] 甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如图4所示，由图可知( )
图4
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B．t＝20 s时，乙追上了甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
解析 从题图中看到开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，选项A错误；t＝20 s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，选项B错误；在t＝20 s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20 s之后，乙的速度大于甲的速度，选项C正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20 s，选项D错误。
答案 C
四、匀变速直线运动中的实验问题
1．判断物体是否做匀变速直线运动
(1)求速度，画图象，若此图象为倾斜直线，则为匀变速直线运动。
(2)看位移，若相邻相等时间内各段位移均匀变化，则为匀变速直线运动。
2.求加速度
(1)求各点速度，在图象中求斜率。
(2)逐差法，(s4＋s5＋s6)－(s3＋s2＋s1)＝a(3T)2。
[例4] 如图5所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选中的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图上注明了他对各个计数点间距离的测量结果。(单位：cm)
图5
(1)为了验证小车的运动是匀变速直线运动，请进行下列计算，填入表内(单位：cm)。
x2－x1
x3－x2
x4－x3
x5－x4
x6－x5
Δx平均值
各位移差与平均值最多相差________cm，由此可得出结论：在________范围内小车在________的位移之差相等，所以小车的运动是________。
(2)小车的加速度为________m/s2。
解析 (1)由题中数据可求各位移差依次为1.60 cm、1.55 cm、1.62 cm、1.53 cm、1.61 cm，其平均值Δx≈1.58 cm，各位移与平均值最多相差0.05 cm，所以在误差允许范围内，小车在相邻相等时间内位移之差相等，因此小车做匀加速直线运动。
(2)由“逐差法”求加速度：
a＝
＝×10－2 m/s2
≈1.58 m/s2。
答案 (1)1.60 1.55 1.62 1.53 1.61 1.58
0．05 误差允许 相邻相等的时间内 匀加速直线运动
(2)1.58
