1.1 任意角和弧度制
第1课时 任 意 角
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．
(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？
提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．
(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．
利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？
提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．
(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？
提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．
2．归纳总结，核心必记
(1)角的有关概念
有关概念
描述
定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个
位置旋转到另一个位置所成的图形
图示
其中O为顶点，OA为始边，OB为终边
记法
角α或∠α，或简记为α
(2)角的分类
①
②按角的终边位置
(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；
(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[问题思考]
(1)你能说出角的三要素吗？
提示：角的三要素是顶点、终边、始边．
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如
360°，－360°等．
(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？
提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．
(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为
90°，这种说法是否正确？
提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点
旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.
(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．
(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？
提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．
[课前反思]
(1)角的概念：
；
(2)角的分类：
；
(3)终边相同的角：
．
[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？
名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．
[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？
名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．
?讲一讲
1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°，3≤k＜6.
故k＝4，5，6，
k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.
k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.
k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.
(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
(2)区域角的写法可分三步
①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
③用不等式表示区域内的角，组成集合．
?练一练
1．在与角1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角．
解：1 030°÷360°＝2……310°，所以1 030°＝2×360°＋310°，
所以与角1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．
(1)所求的最小正角为310°.
(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.
[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？
提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．
[思考2] 如何判定象限角？
提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．
?讲一讲
2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
给定角α所处象限的判定方法
法一：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
?练一练
2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α＜105°＋k·
180°，k∈Z}．
?讲一讲
3．若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？
[尝试解答] (1)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°，
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
法一：①当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，即是第三象限角．故是第一或第三象限角．
法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即是第一或第三象限角．
(1)nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
(2)所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
Ｋ?练一练
3．在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2 016°；(4)－120°.
解：如图所示，分别作出各角．可以发现
(1)360°＝0°＋360°，
(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．
(3)2 016°＝216°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 016°角终边相同的角是216°，所以2 016°是第三象限角．
(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．
4．已知角α为第三象限角，试确定角2α，是第几象限角．
解：∵α为第三象限角，∴k·360°＋180°<α
(1)(2k＋1)·360°<2α<(2k＋1)·360°＋180°(k∈Z)，则2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角．
(2)k·180°＋90°<当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<此时为第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<此时为第四象限角．
综上所述，可能是第二象限角或第四象限角．
———————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及所在象限的判定．
2．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；
(2)象限角及nα、所处象限的判断，见讲2和讲3.
3．本节课的易错点有以下几点
(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．
(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．
(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．
课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 终边相同的角及区域角的表示
1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
2．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
解析：选D 因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A、B.又C项中的角出现在第一、三象限，故选D.
3．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．
解析：－1 560°＝(－5)×360°＋240°，而240°＝360°－120°，故最小正角为
240°，而最大负角为－120°.
答案：240° －120°
4．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
解析：∵α与120°角终边相同，
故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.
又－990°<α<－630°，
∴－990°即－1 110°当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.
答案：－960°
5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜
720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜
180°的元素α写出来．
解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.
(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·
360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜
180°的元素α为：－60°，120°.
题组2 象限角的判断
6．－1 120°角所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．
7．下列叙述正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错．
8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B ∵α是第四象限角，
∴k·360°－90°<α∴k·360°＋90°<180°＋α∴180°＋α在第二象限，故选B.
题组3 nα或所在象限的判定
9．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
解析：选C 由条件知k·360°<2α∴k·180°<α当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．
[能力提升综合练]
1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{α|α为锐角}
B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角}
D．以上都不对
解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A∩B是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.
2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·
360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．
3．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M∩N＝?
解析：选C M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{x|x＝
90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}．
∵k∈Z，∴k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，∴M?N.
4．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，
∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，
即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.
答案：－5 －60
6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，
当 k＝3时，α＝270°.
答案：270°
7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与
670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
第2课时 弧 度 制
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P6～P9的内容，回答下列问题．
(1)我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？
提示：1度的角等于周角的.
(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1弧度的角是如何定义的？
提示：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(3)阅读教材P6“探究”的内容，思考：
①如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是多少？
提示：|α|＝.
②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？
提示：π＝180°.
2．归纳总结，核心必记
(1)度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
1弧度记作1rad
(2)弧度数的计算
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π
(5)扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝lR＝αR2
[问题思考]
(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
(2)比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：无关．
(3)在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“rad”可以略去不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？
提示：不能省略．
(4)你认为式子“α＝k·360°＋，k∈Z”正确吗？
提示：不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．
[课前反思]
(1)角度制的定义： ；
(2)弧度制的定义：
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系：
；
(4)角的弧度数的计算公式：
；
(5)角度与弧度的互化：
；
(6)扇形的弧长及面积公式：
．
?讲一讲
1．有关角的度量给出以下说法：
①1°的角是周角的，1 rad的角是周角的；
②1 rad的角等于1度的角；
③180°的角一定等于π rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．
其中正确的说法是________．
[尝试解答]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为1 rad＝°≈57.30°≠1°，故②不正确．
答案：①③④
(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系．
(2)角度制和弧度制的比较：
①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同．
③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
④用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．?
练一练
1．下列说法正确的是( )
A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系
B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应
C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同
D．－120°的弧度数是
答案：B
?讲一讲
2．把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
[尝试解答] (1)72°＝72×＝；
(2)－300°＝－300×＝－；
(3)2＝2×°＝°；
(4)－＝－°＝－40°.
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
?练一练
2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．
解：(1)α1＝－570°＝－＝－，
α2＝750°＝＝.
∵α1＝－＝－2×2π＋，
α2＝＝2×2π＋，
∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．
(2)β1＝＝×180°＝108°，
设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，
则由－720°≤θ＜0°，
得－720°≤k·360°＋108°＜0°(k∈Z)，
解得k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°；
β2＝－＝－×180°＝－60°，
设γ＝k·360°－60°(k∈Z)，
则由－720°≤k·360°－60°＜0(k∈Z)，
得k＝－1或k＝0，
∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°.
?讲一讲
3．(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2.
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[尝试解答] (1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4 cm2.
(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)，扇形的面积是lR＝(π－1)R2.
答案：(1)4
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
?练一练
3．已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，
则l＋2r＝30，
故l＝30－2r，
从而S＝lr＝(30－2r)r
＝－r2＋15r
＝－＋，
所以，当r＝ cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．
2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式
(1)π＝180°；(2)1°＝ rad；(3)1 rad＝°.
3．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)弧度制的概念辨析，见讲1；
(2)角度与弧度的换算，见讲2；
(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用，见讲3.
4．本节课的易错点
表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．
课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 弧度的概念
1．下列叙述中正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
解析：选D 由弧度的定义知，选项D正确．
2．与角－终边相同的角是( )
A. B. C. D.
解析：选C 与角－终边相同的角的集合为{α|α＝－＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.
3．角－π的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D －π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.
题组2 角度与弧度的换算
4．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：选C 对于A，60°＝60×＝；对于B，－＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.
5．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．
解析：法一：－690°＝－＝－π.
∵－π＝－4π＋，∴－690°＝－4π＋.
法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋.
答案：－4π＋
6．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z，0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；
(3)在区间[0，5π)上找出与α终边相同的角．
解析：(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋.
又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为β＝＋2kπ(k∈Z)．
又－5π≤β＜0，∴k＝－3，－2，－1.当k＝－3时，β＝－；当k＝－2时，β＝－；当k＝－1时，β＝－.
(3)与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z)．
又0≤γ＜5π，∴k＝0，1.当k＝0时，γ＝；当k＝1时，γ＝.
题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用
7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( )
A.π B.π C. D.π
解析：选A 240°＝π＝π，∴弧长l＝π×10＝π，选A.
8．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
解析：选B S扇形＝lR＝(αR)·R＝αR2，由题中条件可知S扇形＝，R＝1，从而α＝＝＝，故选B.
9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．
解析：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝lR，得1＝l·R.
联立解得R＝1，l＝2，∴α＝＝＝2.
答案：2
10.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝π＝π，
∴l＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，
有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)
＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
[能力提升综合练]
1．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A. B．sin 0.5
C．2sin 0.5 D．tan 0.5
解析：选A 连接圆心与弦的中点，则弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形．弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，
所以圆的半径为，
所以该圆心角所对的弧长为1×＝，故选A.
3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D．2
解析：选C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
4．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q＝( )
A．?
B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
解析：选B 如图，在k≥1或k≤－2时，[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4，4]为空集，分别取k＝－1，0，于是A∩B＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．
5．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．
解析：A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，所以A＝，B＝，C＝.
答案：，，
6．若角α的终边与角的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角的终边相同的角是________．
解析：由题意，得α＝＋2kπ，
∴＝＋(k∈Z)．
令k＝0，1，2，3，得＝，，，.
答案：，，，
7．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，
∴γ＝2kπ＋，k∈Z.又γ∈，
∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，
∴γ＝－2π＋＝－.
8．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
解：所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2)．
1.2 任意角的三角函数
第1课时 三角函数的定义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P11～P15的内容，回答下列问题．
如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r＝>0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.
(1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sin α，cos α，tan α的值吗？
提示：sin_α＝＝，cos_α＝＝，tan_α＝＝.
(2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？
提示：不会随P点在终边上的位置的改变而改变．
(3)若将点P取在使线段OP的长r＝1的特殊位置上，如图所示，则sin α，cos α，tan α各为何值？
提示：sin_α＝b，cos_α＝a，tan_α＝.
(4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？
提示：上述结论仍然成立．
(5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin_α＝，cos_α＝，tan_α＝.
2．归纳总结，核心必记
(1)任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边
与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
余弦
x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
正切
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标
或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.
(2)三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
{α|α≠＋kπ，k∈Z}
(3)三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(4)公式一
①终边相同的角的同一三角函数的值相等．
②公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，
cos(α＋k·2π)＝cos_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
[问题思考]
(1)三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？
提示：sin_α＝sin_β，cos_α＝cos_β，tan_α＝tan_β.
(3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系？
提示：由三角函数的定义知sin_α＝，cos_α＝，tan_α＝，三角函数在各象限的符号由角α终边上的任一点P的横坐标、纵坐标的正负确定．
(4)对于角α，若sin α<0，cos α>0，则α为第几象限角？
提示：第四象限角．
[课前反思]
(1)任意角的三角函数的定义：
；
(2)三角函数的定义域：
；
(3)三角函数值的符号：
；
(4)公式一的内容：
．
[思考1] 任意角α的正弦值sin α、余弦值cos α，正切值tan α都有意义吗？
名师指津：当α的终边在y轴上时，tan_α不存在．
[思考2] 若α的终边与单位圆交于点(x0，y0)，且x0≠0，则如何求sin α，cos α，tan α的值？
名师指津：sin_α＝y0，cos_α＝x0，tan_α＝.
[思考3] 若已知α终边上一点P(x0，y0)，且x0≠0，如何求sin α，cos α，tan α的值？
名师指津：先求r＝，然后求sin_α＝，cos_α＝，tan_α＝.
[思考4] 若已知α终边所在的直线方程为y＝kx，则如何求sin α，cos α，tan α的值？
名师指津：可在直线y＝kx上任取一点(x0，y0)，x0≠0，然后利用sin_α＝，cos_α＝，tan_α＝求解．
?讲一讲
1．(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[尝试解答] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，则sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－.
(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
答案：(1)－ －
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；
第二步，计算r：r＝|OP|＝；
第三步，求值：由sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)求值．
在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
?练一练
1．(1)已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sin α的值为( )
A. B. C. D．－
(2)已知角α的终边与单位圆的交点为(y<0)，则sin αtan α＝________.
(3)已知角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，cos α＝－，则sin α＝________.
解析：(1)∵α的终边经过点P(1，－1)，
∴sin α＝＝－.
(2)∵α的终边与单位圆的交点为，
∴＋y2＝1，即y2＝.又∵y<0，∴y＝－.
∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝，
sin αtan α＝－×＝－.
(3)∵(－3，a)为α终边上的一点，cos α＝－，
∴＝－，∴a2＝16.
又∵α为第二象限角，∴a＞0，即a＝4.∴sin α＝.
答案：(1)D (2)－ (3)
?讲一讲
2．(1)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①tan 120°·sin 269°；②cos 4·tan.
[尝试解答] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
(2)①∵120°是第二象限角，
∴tan 120°＜0.
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.
∴tan 120°·sin 269°＞0.
②∵π＜4＜，∴4弧度是第三象限角，∴cos 4＜0.
∵－＝－6π＋，∴－是第一象限角，
∴tan＞0.∴cos 4·tan＜0.
答案：(1)C
判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定α的终边所在的象限；
(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．
?练一练
2．(1)若sin 2α＞0，且cos α＜0，则α终边在第________象限．
(2)判断下列各式的符号：
①sin 105°·cos 230°；
②cos 3·tan.
解析：(1)因为sin 2α＞0，所以2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＜α＜kπ＋(k∈Z)．当k为偶数时，α是第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角．所以α是第一或第三象限角．又因为cos α＜0，所以α为第三象限角．
(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是sin 105°·cos 230°＜0.
②∵＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－是第三象限角，∴tan＞0，∴cos 3·tan＜0.
答案：(1)三
?讲一讲
3．求下列各式的值：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－(a－b)2tan 765°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋costan.
[尝试解答] (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－(a－b)2tan(2×360°＋45°)－2ab·cos(－3×360°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－(a－b)2tan 45°－2abcos 0°＝a2＋b2－(a－b)2－2ab＝0.
(2)原式＝sin＋cos·tan＝sin＋costan
＝＋×1＝1.
公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0，2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．
?练一练
3．求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
解：(1)原式＝cos＋tan＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°
＝1＋1＋＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及公式一的应用，难点是三角函数的定义及应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)三角函数的定义及应用，见讲1；
(2)三角函数值符号的判断，见讲2；
(3)公式一的应用，见讲3.
3．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误，如讲1的第(2)题．
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 三角函数的定义及应用
1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B sin α＝＝－.
2．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )
A. B．－ C．－ D．－
解析：选C ∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，
∴角α终边上一点的坐标为(1，－)，故sin α＝＝－.
3．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝－，则m＝________．
解析：由题意r＝|OP|＝＝，故cos α＝＝－，解得m＝－8.
答案：－8
4．已知点P(－4a，3a)(a≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值．
解：由题意得r＝＝5|a|.当a＞0时，r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－；当a＜0时，r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
题组2 三角函数值的符号
5．已知cos θ·tan θ＞0，那么角θ是( )
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角
C．第三、四象限角 D．第一、四象限角
解析：选A 由cos θ·tan θ＞0可知cos θ，tan θ同号，从而θ为第一、二象限角，选A.
6．已知角α是第二象限角，且＝－cos，则角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C 由α是第二象限角知，是第一或第三象限角，又∵＝－cos，
∴cos＜0.
∴是第三象限角．
7．若α是第一象限角，则sin 2α，cos，tan中一定为正值的个数为________．
解析：由α是第一象限角，得2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，所以kπ＜＜＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan＞0，cos的正负不确定；4kπ＜2α＜π＋4kπ，k∈Z，2α的终边在x轴上方，则sin 2α＞0.故一定为正值的个数为2.
答案：2
题组3 公式一的应用
8．sin的值等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选A sin＝sin
＝sin＝sin＝.故选A.
9．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________．
解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－
sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
答案：
10．化简下列各式：
(1)acos180°＋bsin 90°＋ctan 0°；
(2)p2cos 360°＋q2sin 450°－2pqcos 0°；
(3)a2sin－b2cos π＋absin 2π－abcos.
解：(1)因为cos 180°＝－1，sin 90°＝1，tan 0°＝0，所以原式＝－a＋b；
(2)因为cos 360°＝cos 0°＝1，sin 450°＝sin(360°＋90°)＝sin 90°＝1，cos 0°＝1，
所以原式＝p2＋q2－2pq＝(p－q)2；
(3)因为sin＝1，cos π＝－1，sin 2π＝sin 0＝0，
cos＝0，原式＝a2＋b2.
[能力提升综合练]
1．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos；③tan 2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)＞0；
∵－是第四象限角，∴cos＞0；
∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2＜0.
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵点P在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴α为第二象限角．
3．设△ABC的三个内角为A，B，C则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
解析：选D ∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴tan＞0；
又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.
4．若tan x＜0，且sin x－cos x＜0，则角x的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵tan x＜0，
∴角x的终边在第二、四象限，又sin x－cos x＜0，
∴角x的终边在第四象限．
5．sin＋cos－tan的值为________．
解析：原式＝sin＋cos－tan＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.
答案：0
6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________．
解析：当α在第二象限时，＋＝－＋＝0；当α在第四象限时，＋＝－＝0.综上，＋＝0.
答案：0
7．求下列各三角函数值：
(1)cos；(2)tan；(3)sin 1 140°.
解：(1)cos＝cos＝cos＝；
(2)tan＝tan＝tan＝1；
(3)sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝.
8．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝
＝＝＝－.
第2课时 三角函数及其应用
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P15～P17的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P16的图1.2-7，有向线段MP，OM，AT的方向是如何规定的？
提示：当方向与x轴或y轴的方向一致时，则有向线段MP，OM，AT的方向为正；当方向与x轴或y轴的方向相反时，则有向线段MP，OM，AT的方向为负．
(2)观察教材P16的图1.2-7，你认为sin α，cos α，tan α与有向线段MP，OM，AT有什么关系？
提示：|sin_α|＝|MP|，|cos_α|＝|OM|，|tan_α|＝|AT|．
2．归纳总结，核心必记
(1)有向线段
带有方向的线段，叫做有向线段．
(2)三角函数线
图示
正弦线
α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
续表
余弦线
有向线段OM即为余弦线
正切线
过A(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线
[问题思考]
(1)三角函数线的长度等于三角函数的值吗？
提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．
(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？
提示：能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．
[课前反思]
(1)有向线段的概念：
；
(2)三角函数线的概念及作法：
．
?讲一讲
1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－；(2)；(3).
[尝试解答] 如图．
其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边．
(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．
?练一练
1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
?讲一讲
2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
[尝试解答] (1)如图①所示，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为.
(2)如图②所示，作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
.
利用三角函数线解简单不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，
此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．
?练一练
2．利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
(1)sin α＜－；(2)cos α＞.
解：(1)如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，∠xOP＝，∠xOP′＝，故α的范围是.
(2)如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝，∠xOP＝，∠xOP′＝－，故α的范围是.
?讲一讲
3．(1)下列关系式中正确的是( )
A．sin 10°＜cos 10°＜sin 160°
B．sin 160°＜sin 10°＜cos 10°
C．sin 10°＜sin 160°＜cos 10°
D．sin 160°＜cos 10°＜sin 10°
(2)设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小顺序排列为________．
[尝试解答] (1)由三角函数线知，sin 160°＝sin 20°＞sin 10°，而cos 10°＞sin 20°，所以选C.
(2)由如图的三角函数线知：
M1P1＝MP＜AT，
因为＞＝，
所以MP＞OM，所以cos＜sin＜tan，所以b＜a＜c.
答案：(1)C (2)b＜a＜c
(1)利用三角函数线比较大小的步骤
①角的位置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负．
(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
?练一练
3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，上述长度关系又如何？
解：如图所示，当＜α＜时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当＜α＜时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．
2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题
(1)三角函数线的画法，见讲1；
(2)利用三角函数线解简单不等式，见讲2；
(3)利用三角函数线比较大小，见讲3.
3．理解三角函数线应注意以下四点
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；
(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；
(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 作已知角的三角函数线
1．角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．
2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
解析：选C 由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上．
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.
答案：1
题组2 利用三角函数线解简单不等式
4．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A. B.
C. D．[0，π]
解析：选A 如图，画出三角函数线sin x＝MP，cos x＝OM，由于sin＝cos，sin＝cos，
为使sin x≤cos x成立，则由图可得－≤x≤.
5．利用单位圆，可得满足sin α＜，且α∈(0，π)的α的集合为________．
解析：如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α＜.
答案：∪
6．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解：由题意，得自变量x应满足不等式组即
则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，
所以.
题组3 利用三角函数线比较大小
7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α＞1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α＜1 D．不能确定
解析：选A 如图，角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α＞1.
8．若－＜α＜－，则sin α，cos α，tan α的大小关系是( )
A．sin α＜tan α＜cos α B．tan α＜sin α＜cos α
C．cos α＜sin α＜tan α D．sin α＜cos α＜tan α
解析：选D 如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．
由图知，|OM|＜|MP|＜|AT|，考虑方向可得sin α＜cos α＜tan α.
9．sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )
A．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5
B．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2
C．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1
D．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5
解析：选C 如图，易知0＜1＜1.2＜1.5＜，|MA|＜|NB|＜|QC|，且同向，∴sin 1＜sin 1.2＜sin 1.5.
10．试利用单位圆中的三角函数线证明当0＜α＜时，sin α＜α＜tan α.
证明：如图，单位圆与α的终边OP相交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，连接AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥ x轴交OP于T，
则sin α＝MP，α＝l，tan α＝AT，由S扇形OAP＜S△OAT，即OA·l＜OA·AT，所以l＜AT.又MP＜PA＜l，因此MP＜l＜AT.
即sin α＜α＜tan α.
[能力提升综合练]
1．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
A．MP＜OM＜0 B．OM＞0＞MP C．OM＜MP＜0 D．MP＞0＞OM
解析：选D 如图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，结合图象，可知：MP＞0，OM＜0，故OM＜0＜MP.
2．已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在直线y＝x上
D．在直线y＝x，或y＝－x上
解析：选D 由题意可知，如图，|AT|＝1，∴AT＝±1.则tan α＝±1，角α的终边在直线y＝±x上，故选D.
3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
解析：选C 如图作出角α＝－1 rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.
4．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
解析：选A 利用单位圆中的余弦线解题易知A正确．
5．若0＜α＜2π，且sin α＜，cos α＞.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB的区域内，所以α的取值范围是∪.
答案：∪
6．若θ∈，则sin θ的取值范围是________．
解析：由图可知sin＝，sin＝－1，－1＜sin θ＜，即sin θ∈.
答案：
7．利用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合．
(1)sin x＞－，且cos x＞；
(2)tan x≥－1.
解：(1)由图①知，当sin x＞－，且cos x＞时，角x的集合为.
(2)由图②知，当tan x≥－1时，角x的集合为
∪
，即.
8．已知α∈，求证：1＜sin α＋cos α＜.
证明：如图所示 ，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过P作PM⊥Ox、PN⊥Oy，M、N分别为垂足．
∴|MP|＝y＝sin α，|OM|＝x＝cos α，
在△OMP中，|OM|＋|MP|＞|OP|，
∴sin α＋cos α＞1.
∵S△OAP＝|OA|·|MP|＝y＝sin α，
S△OBP＝|OB|·|NP|＝x＝cos α，
S扇形OAB＝π×12＝，
又∵S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，
∴sin α＋cos α＜，
即sin α＋cos α＜，
∴1＜sin α＋cos α＜.
第3课时 同角三角函数的基本关系
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P18～P20的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P19图1.2－8，图中α的正弦线、余弦线各是什么？
提示：正弦线是MP，余弦线为OM．
(2)若P点坐标为(x，y)，则sin α，cos α各为何值？sin α与cos α有什么关系？
提示：sin_α＝y，cos_α＝x，sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝1．
(3)若α≠＋kπ，k∈Z，能否用sin α和cos α来表示tan α？如果能，试写出它们的关系式．
提示：能．tan_α＝．
2．归纳总结，核心必记
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α.
[问题思考]
(1)对任意α，都有sin2α＋cos2α＝1成立吗？
提示：是．
(2)对任意α，都有tan α＝成立吗？
提示：只有当α≠＋kπ，k∈Z时，tan_α＝才成立．
(3)对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．
(4)当2α≠＋kπ，k∈Z时，tan 2α＝是否成立？
提示：成立．
[课前反思]
(1)同角三角函数的平方关系：
；
(2)同角三角函数的商数关系：
；
(3)同角三角函数的基本关系式成立的条件：
.
?讲一讲
1．(1)已知cos α＝－，求sin α和tan α.
(2)已知tan α＝3，求下列各式的值．
①；
②；
③sin2a＋cos2α.
[尝试解答] (1)sin2α＝1－cos2α＝1－＝，
因为cos α＝－＜0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.
(2)①原式＝＝＝；
②原式＝＝＝－；
③原式＝＝＝＝.
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(4)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
?练一练
1．(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.
(2)已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
(3)已知tan α＝2，求4sin2α－3sin αcos α－5cos2α的值．
解：(1)cos2α＝1－sin2α＝1－＝，又α是第二象限角，所以cos α＜0，cos α＝－，tan α＝＝－.
(2)由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
即cos2α＝.又α是第三象限角，故cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
(3)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝
＝
＝＝1.
?讲一讲
2．已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．
[尝试解答] (1)由sin α＋cos α＝－，
得(sin α＋cos α)2＝，
sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，sin αcos α＝－.
(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，
所以sin α＞0，cos α＜0?sin α－cos α＞0.
sin α－cos α＝
＝＝.
(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．
(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号．
?练一练
2．(1)若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝________．
(2)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝________．
解析：(1)由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，
所以sin θcos θ＝－.
所以tan θ＋＝＋＝＝－2.
(2)(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.
因为＜α＜，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0，
所以cos α－sin α＝－.
答案：(1)－2 (2)－
?讲一讲
3．化简·.
[尝试解答] 原式＝·
＝·
＝·＝·＝±1.
(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法
①化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；
②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值号表示，然后考虑正负；
③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简．
(2)简单的三角恒等式的证明思路
①从一边开始，证明它等于另一边；
②证明左、右两边等于同一个式子；
③逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
?练一练
3．求证：·＝1.
证明：·＝·
＝·＝＝＝1.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sinθ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．
2．要掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用
(1)利用同角三角函数的基本关系求值，见讲1；
(2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用，见讲2；
(3)三角函数式的化简与证明的方法，见讲3.
4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α、cos α漏解或多解的错误，如讲1的第(1)题．
课下能力提升(五)
[学业水平达标练]
题组1 利用同角三角函数的基本关系求值
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＜0，故cos α＝－＝
－＝－.
2．已知tan α＝，α∈，则cos α＝( )
A．± B. C．－ D.
解析：选C 由tan α＝，即＝，所以sin α＝cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，代入得＋cos2α＝1，
整理得cos2α＝，解得cos α＝±.
又α∈，所以cos α＜0，故cos α＝－.
3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．
解析：由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
已知α是第三象限角，则sin α＜0，于是sin α＝－.
从而tan α＝＝×＝.
答案：－
4．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α；(2).
解：(1)2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α
＝＝，
则＝1，即4tan2α－3tan α－1＝0.
解得tan α＝－或tan α＝1.
∵a∈，∴α为第二象限角，
∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)原式＝＝＝＝.
题组2 sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用
5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝( )
A. B．2 C．－ D．－2
解析：选B 由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5，
即4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5(sin2α＋cos2α)，
∴tan2α－4tan α＋4＝0，故tan α＝2.
7．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
解：∵sin θ－cos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝.
解得sin θcos θ＝.
∵0＜θ＜π，且sin θ·cos θ＝＞0，∴sin θ＞0，cos θ＞0.
∴sin θ＋cos θ＝＝＝＝.由得
∴tan θ＝＝.
题组3 三角函数式的化简与证明
8．化简： .
解：原式＝＝＝＝1.
9．求证：＝.
证明：法一：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，
∴原等式成立．
法二：∵左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[能力提升综合练]
1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B ∵sin α＝，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.sin4α－cos4α＝(sin2α＋
cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝－＝－＝－.故选B.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3.
3.sin2x等于( )
A．tan x B．sin x C．cos x D.
解析：选A sin2x＝sin2x＝·sin2x＝＝tan x.
4．当α≠(k∈Z)时，(sin α＋tan α)的值( )
A．恒为正 B．恒为负
C．恒非负 D．可正可负
解析：选A (sin α＋tan α)＝sin αcos α＋cos α·＋
sin α·＋1＝sin α＋cos α＋1＋sin αcos α＝(1＋sin α)(1＋cos α)．
∵α≠，k∈Z，∴1＋sin α＞0，1＋cos α＞0，故选A.
5．已知sin θ＝，cos θ＝(m≠0)，则m＝______，tan θ＝________．
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴＋＝1.
得m＝0(舍)，或m＝8.
∴sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－.
答案：8 －
6．若sin x＋cos x＝，那么sin4x＋cos4x的值为________．
解析：由sin x＋cos x＝，得2sin xcos x＝1.
由sin2x＋cos2x＝1，得sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1.
所以sin4x＋cos4x＝1－(2sin xcos x)2
＝1－×1＝.
答案：
7．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明：法一：∵tan2α＝2tan2β＋1，
∴tan2β＝.①
∵tan2β＝，
∴tan2β＝，
∴sin2β＝＝＝ .②
由①②，得sin2β＝＝＝＝＝2sin2α－1.
法二：∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．
∴＝2·.
∴＝.
∴cos2β＝2cos2α.
∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．
∴sin2β＝2sin2α－1.
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
解：因为已知方程有两根，
所以
(1)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝.
由②，得＝，所以m＝.
由③，得m≤，所以m＝.
(3)因为m＝，
所以原方程为2x2－(＋1)x＋＝0.
解得x1＝，x2＝，
所以或
又因为x∈(0，2π)，
所以θ＝或θ＝.
1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P23～P26的内容，回答下列问题．
(1)给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π＋α的终边与α的终边关于原点对称，sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．
(2)给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．
(3)给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：－α的终边与角α的终边关于x轴对称，sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．
2．归纳总结，核心必记
(1)特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
(2)诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α
cos(α＋2kπ)＝cos α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin__α
cos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
公式三
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan_α
公式四
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
(3)公式一～四的应用
记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值．
[问题思考]
(1)诱导公式一、二、三、四中的角α有什么限制条件？
提示：sin(α＋2kπ)，sin(π±α)，sin(－α)，cos(α＋2kπ)，cos(π±α)，cos(－α)公式中的α∈R；而tan(α＋2kπ)，tan(π±α)，tan(－α)中的α≠＋kπ，k∈Z．
(2)在△ABC中，你认为sin A与sin(B＋C) ，cos A与cos(B＋C)之间有什么关系？
提示：∵A＋B＋C＝π，即B＋C＝π－A，
故sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，
cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
[课前反思]
(1)π＋α，－α，π－α的终边与α终边的关系：
；
(2)诱导公式一、二、三、四的内容：
；
(3)公式一～四的应用：
．
?讲一讲
1．求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°； (3)cos.
[尝试解答] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
?练一练
1．求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．
解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°
＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)
＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°
＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°
＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°
＝×－×－1＝.
?讲一讲
2．(1)化简：＝________；
(2)化简＝________．
[尝试解答] (1)＝＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
答案：(1)1 (2)－1
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
?练一练
2．化简：(k∈Z)．
解：当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z，
则原式＝
＝
＝＝－1；
当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，
则原式＝
＝
＝＝－1.
综上，＝－1.
?讲一讲
3．(1)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1 B．－1 C. D．－
(2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________．
[尝试解答] (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.
(2)∵cos(α－55°)＝－＜0，且α是第四象限角．
∴α－55°是第三象限角．
∴sin(α－55°)＝－＝－.
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]
＝－sin(α－55°)＝.
答案：(1)D (2)
解决此类问题的方法是先根据所给等式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选择恰当的三角公式化简求值．
?练一练
3．(1)若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于( )
A．－ B．－ C．－ D.
(2)已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是( )
A. B. C．－ D．－
解：(1)因为sin(π＋α)＝－sin α，
根据条件得sin α＝－，
又α∈，所以cos α＝ ＝.
所以tan α＝＝－＝－.
所以tan(π－α)＝－tan α＝.
(2)因为sin α＝且α为第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
所以 tan(π＋α)＝tan α＝－.故选D.
答案：(1)D (2)D
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用．
2．要掌握诱导公式的三个应用
(1)解决给角求值问题，见讲1；
(2)解决化简求值问题，见讲2；
(3)解决给值(式)求值问题，见讲3.
3．本节课要牢记诱导公式的内容
(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f(π＋α)＝±f(α)，f(－α)＝±f(α)，f(π－α)＝±f(α)，其中等号右边的“±”号只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如sin(π＋α)＝－sin α，就是正弦函数名不改变，而α是锐角，则π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“－”．
(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角α的，如果α为其他范围的角也都成立，这就是说，使用这些诱导公式，不必限定α为锐角，但是用口诀“函数名不变，符号看象限”时，都把α看作锐角记忆，即便α不是锐角，上述公式也全部成立．
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．cos 300°等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.
2.的值等于________．
解析：原式＝＝＝＝－2.
答案：－2
题组2 化简求值问题
3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
解析：选D 原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin2 α＋cos2α＋1＝2.
4.可化简为________．
解析：
＝
＝＝|1－sin θ|＝1－sin θ.
答案：1－sin θ
5．化简：.
解：原式＝＝＝tan θ.
题组3 给值(式)求值问题
6．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B. C．± D.
解析：选B 由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，而cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，
∴cos α＝＝.
7．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________．
解析：由于cos＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
8．已知cos α＝，且－＜α＜0，求的值．
解：∵－＜α＜0，
∴sin α＝－＝－＝－.
原式＝＝＝－×3＝－2.
[能力提升综合练]
1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝.
2．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B．－
C. D.
解析：选B ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝，∴tan 80°＝，∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
3．已知tan＝，则tan＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵tan＝tan
＝－tan，
∴tan＝－.
4．若α∈，tan(α－7π)＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A．± B．－
C. D．－
解析：选B ∵tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α，
∴tan α＝－，∴＝－，
∵cos2α＋sin2α＝1，α∈，
∴cos α＝－，sin α＝，∴sin α＋cos α＝－.
5．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 016)＝－1，则f(2 017)的值为________．
解析：∵f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＝－1，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin[π＋(2 016π＋α)]＋bcos[π＋(2 016π＋β)]
＝－[asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)]＝1.
答案：1
6．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
解析：因为f＝sin＝sin＝sin＝；f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.
答案：－2
7．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝－1.
8．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2，所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋
sin θcos θ＋2sin2θ)·＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×＝2＋.
第2课时 诱导公式五、六
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P26～P27的内容，回答下列问题．
如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.
(1)P2点的坐标是什么？
提示：P2(y，x)．
(2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？
提示：对称．sin＝cos_α，cos＝sin_α．
2．归纳总结，核心必记
(1)诱导公式五和公式六
(2)诱导公式的记忆
诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”、“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
[问题思考]
(1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？
提示：是．
(2)在△ABC中，角与角的三角函数值满足哪些等量关系？
提示：∵A＋B＋C＝π，∴＝－，
∴sin＝sin＝cos，
cos＝cos＝sin．
[课前反思]
(1)诱导公式五： ；
(2)诱导公式六： ．
?讲一讲
1．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[尝试解答] (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos＝－sin α＝，
∴sin α＝－，
又∵α为第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
?练一练
1．化简：.
解：原式＝
＝＝＝.
?讲一讲
2．(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
[尝试解答] (1)sin 239°tan 149°
＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)
＝sin 31°＝＝.
(2)cos＝cos＝sin＝.
答案：(1)B (2)
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
?练一练
2．已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴α为第一或第四象限角．
①若α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－
＝－＝－；
②若α为第四象限角，
则cos＝－sin α
＝＝＝.
?讲一讲
3．求证：＝－tan α.
[尝试解答] 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
即原等式成立．
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
?练一练
3．求证：＝－tan θ.
证明：
＝
＝＝－tan θ.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．
2．要掌握诱导公式的三个应用
(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1；
(2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2；
(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3.
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧
＋α＝－?＋＝，＋α＝－?＋＝，－＝等．
课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 化简求值
1．下列与sin的值相等的式子为( )
A．sin B．cos
C．cos D．sin
解析：选D 因为sin＝－sin＝－cos θ，
对于A，sin＝cos θ；
对于B，cos＝－sin θ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sin θ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cos θ.
2．化简：sin(－α－7π)·cos＝________．
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos＝－sin(π＋α)·＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.
答案：－sin2α
3．化简：＋.
解：∵tan(－α)＝－tan α，sin＝cos α，
cos＝cos＝－sin α，
tan(π＋α)＝tan α，
∴原式＝＋＝＋＝＝－＝－1.
题组2 条件求值问题
4．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2 C．0 D.
解析：选B 原式＝＝＝＝－2.
5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－m B.m
C．－m D.m
解析：选C ∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝.
∴cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3×＝－m.
6．已知cos(60°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°，又cos(60°＋α)＝＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°－α＜180°，cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝
－＝－.
7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝，则sin(α－95°)＝________．
解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝＞0，
知85°＋α是第四象限角，
∴sin(85°＋α)＝－，
sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝.
答案：
8．已知sin α是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求的值．
解：∵方程3x2－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－，
又∵－1≤sin α≤1，∴sin α＝－.
又∵α为第三象限角，
∴cos α＝－＝－，tan α＝.
∴原式＝
＝tan α＝.
题组3 三角恒等式的证明
9．求证：＝1.
证明：左边＝
＝＝1＝右边．∴原式成立．
10．求证：＋
＝.
证明：左边＝＋＝＋＝＝＝＝右边．∴原式成立．
[能力提升综合练]
1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B cos(π＋A)＝－cos A＝－，
∴cos A＝，
∴sin＝cos A＝.
2．已知sin＝，α∈，则tan α的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选A 由已知得，cos α＝，
又α∈，
所以sin α＝－＝－＝－.
因此，tan α＝＝－2.
3．已知sin(75°＋α)＝，则cos(15°－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]
＝sin(75°＋α)＝.
4．在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(B＋C)－cos A
C．sin2＋sin2 D．sinsin
解析：选C sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1.
5．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．
解析：将sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin245°＝，
则sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝.
答案：
6．已知tan＝2，
则＝________．
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，
则原式＝
＝
＝
＝＝＝2.
答案：2
7．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解：原式＝·tan2α
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α.
方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
又α是第三象限角，
∴sin α＝－，cos α＝－，
∴tan α＝，故原式＝－tan2α＝－.
8．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，
∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，cos β＝，
∵0＜β＜π，
∴β＝；
当α＝－时，cos β＝，
∵0＜β＜π，
∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
1.4 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P30～P33的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P31图1.4－3，你认为正弦曲线是如何画出来的？
提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y＝sin_x，x∈[0，2π]的图象，将y＝sin_x在[0，2π]内的图象左右平移即可得到正弦曲线．
(2)在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
提示：作正弦函数y＝sin_x，x∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(3)作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
提示：作余弦函数y＝cos_x，x∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．归纳总结，核心必记
(1)正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
(2)正弦函数图象的画法
①几何法：
(ⅰ)利用正弦线画出 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象；
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
②五点法：
(ⅰ)画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(3)余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
(4)余弦函数图象的画法
①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin．
②用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
[问题思考]
(1)正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的吗？
提示：是．
(2)余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？
提示：余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．
[课前反思]
(1)正弦曲线的定义：
；
(2)正弦曲线的画法：
；
(3)余弦曲线的定义：
；
(4)余弦曲线的画法：
．
?讲一讲
1．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．
[尝试解答] (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点、连线，如图．
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点、连线，如图．
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x或cos x
0或1
1或0
0或－1
－1或0
0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
?练一练
1．用“五点法”作出函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的图象．
解：列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2－sin x
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
?讲一讲
2．利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合．
[尝试解答] 首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当＜x≤，或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立．
所以＜sin x≤的解集为或.
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
?练一练
2．使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 不等式可化为sin x≤.
法一：作图，正弦曲线及直线y＝如图(1)所示．
由图(1)知，不等式的解集为.故选C.
法二：如图(2)所示不等式的解集为.故选C.
?讲一讲
3．判断方程sin x＝lg x的解的个数．
[尝试解答] 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，再依次向左、右连续平移，得到y＝sin x的图象．在同一坐标系内描出，(1，0)，(10，1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图．
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
?练一练
3．已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]，若直线y＝k与其仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
解：由题意知f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图所示：
若函数f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则由图可知k的取值范围是(1，3)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法，见讲1；
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲2；
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲3.
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0，2π]与x轴有三个交点：(0，0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos x，x∈[0，2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点：(0，1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 用“五点法”作简图
1．用“五点法”作y＝sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B 分别令2x＝0，，π，，2π，可得x＝0，，，，π.
2．函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是( )
答案：D
3．函数y＝sin|x|的图象是( )
解析：选B y＝sin|x|＝作出y＝sin|x|的简图知选B.
4．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]的图象．
解：列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋2sin x
1
3
1
－1
1
在直角坐标系中描出五点(0，1)，，(π，1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]的图象．
题组2 利用正、余弦函数的图象解不等式
5．不等式cos x＜0，x∈[0，2π]的解集为( )
A. B. C. D.
解析：选A 由y＝cos x的图象知，
在[0，2π]内使cos x＜0的x的范围是.
6．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)．
所求定义域为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
7．求函数y＝＋的定义域．
解：由得
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，即函数y＝＋的定义域为(k∈Z)．
题组3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题
8．y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 画出y＝与y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象，由图象可得有2个交点．
9．方程cos x＝lg x的实根的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．无数
解析：选C 如图所示，作出函数y＝cos x和y＝lg x的图象．两曲线有3个交点，故方程有3个实根．
10．判断方程sin x＝的根的个数．
解：因为当x＝3π时，y＝＝＜1；
当x＝4π时，y＝＝＞1.
所以直线y＝在y轴右侧与曲线y＝sin x有且只有3个交点(如图所示)，又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点(0，0)，一共有7个交点．
所以方程sin x＝有7个根．
[能力提升综合练]
1．对余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述：
①向左向右无限延伸；②与y＝sin x的图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数多个交点；④关于y轴对称．
其中正确的描述有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选D 由余弦函数的图象知①②③④均正确．
2．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内 ( )
A．没有根 B．有且只有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
解析：选C 在同一坐标系内画出函数y＝|x|与y＝cos x的图象，易得两个图象在第一、二象限各有一个交点，故原方程有两个根，选C.
3．函数y＝cos x的图象是( )
解析：选C y＝结合选项知C正确．
4．在(0，2π)上使cos x＞sin x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
解析：选A 以第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos x＞sin x.
∵x∈(0，2π)，∴cos x＞sin x的x的范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．
5．在(0，2π)内使sin x＞|cos x|的x的取值范围是________．
解析：三角函数线法，由题意知sin x＞0，即x∈(0，π)，由三角函数线知满足sin x＞
|cos x|的角x在如图所示的阴影部分内，所以不等式的解集为.
答案：
6．函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
答案：4π
7．用五点作图法作出函数y＝cos，x∈的图象．
解：按五个关键点列表：
x
－
x＋
0
π
2π
cos
1
0
－1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如下图)：
8．方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
解：首先作出y＝sin x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈就有两个实数根．
设y1＝sin x，x∈，y2＝.
y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实根．
第2课时 正弦函数、余弦函数的性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P34～P40的内容，回答下列问题．
(1)观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？
提示：具有“周而复始”的变换规律．
(2)正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？
提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．
(3)诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，体现了正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的什么性质？
提示：正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数．
(4)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？
提示：正、余弦函数的定义域为R，值域为[－1，1]．
(5)正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0，2π]上函数值的变化有什么特点？
提示：y＝sin x在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1.
y＝cos x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1．
2．归纳总结，核心必记
(1)函数的周期性
①对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
③记f(x)＝sin x，则由sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π．
(2)正、余弦函数的性质
函数名称图象与性质
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
周期性
最小正周期为2π
最小正周期为2π
续表
函数名称图象与性质
y＝sin x
y＝cos x
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在
(k∈Z)上递增；
在
(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)上递减
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝
－1
[问题思考]
(1)若f(2x＋T)＝f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？
提示：不是．自变量x本身加非零常数T才可以，即f(x＋T)＝f(x)．
(2)周期函数的定义域一定是x∈R吗？
提示：不一定，但周期函数的定义域一定是无限集．
(3)周期函数的周期是唯一的吗？
提示：不唯一，若T是函数的周期，则kT(k∈Z)也是函数的周期．
(4)正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？
提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．
[课前反思]
(1)周期及周期函数的定义：
；
(2)正弦函数和余弦函数的性质：
．
?讲一讲
1．求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝sin，x∈R；
(4)y＝|cos x|，x∈R.
[尝试解答] (1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π.
(2)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
(3)因为sin＝sin＝sin，
由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
(4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法，将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得；
(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．
?练一练
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝3sin；(2)y＝cos|x|.
解：(1)由T＝＝4，可得函数的最小正周期为4.
(2)由于函数y＝cos x为偶函数，
所以y＝cos|x|＝cos x，从而函数y＝cos|x|与y＝cos x的图象一样，因此最小正周期相同，为2π.
?讲一讲
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin 2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝sin |x|；
(4)f(x)＝＋.
[尝试解答] (1)显然x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)＝sin 2x是奇函数．
(2)显然x∈R，f(x)＝sin＝－cos ，
所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin |x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin |x|是偶函数．
(4)由得cos x＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，
此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
?练一练
2．函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B. C. D．π
解析：选C 由题意得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1.
因为φ∈[0，π]，所以φ＝.故选C.
?讲一讲
3．求函数y＝2sin的单调区间．
[尝试解答] 令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增(减)时，函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．
当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间．当A＜0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．
?练一练
3．求函数y＝3sin的单调递减区间．
解：∵y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin是增函数时，y＝3sin是减函数．
∵函数y＝sin x在(k∈Z)上是增函数，∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
?讲一讲
4．求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5.
[尝试解答] (1)由y＝cos，x∈可得x＋∈，
函数y＝cos x在区间上单调递减，
所以函数的值域为.
(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
∴t＝－1时，y取得最大值10，
t＝1时，y取得最小值2.
所以y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2，10]．
求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x，cos x≤1)求解，求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
?练一练
4．求函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域．
解：令t＝sin x，y＝f(x)，
∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1.
∴y＝2t2＋2t－＝2－1，∴1≤y≤，
∴函数f(x)的值域为.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．
2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点
(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.
3．要重点掌握函数性质的应用
(1)求正、余弦函数的周期，见讲1；
(2)判断正、余弦函数的奇偶性，见讲2；
(3)求正、余弦函数的单调区间，见讲3；
(4)求正、余弦函数的值域，见讲4.
4．本节课的易错点有以下两处
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果ω＜0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如练3.
(2)求函数y＝Asin2x＋Bsin x＋C的值域时，易忽视正弦函数y＝sin x的有界性，如练4.
课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组1 正、余弦函数的周期性
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
解析：选D 由公式T＝可得，选D.
2．函数y＝cos(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．
解析：由T＝≤2，解得k≥4π，又k∈Z，
∴满足题意的最小值是13.
答案：13
题组2 正、余弦函数的奇偶性
3．函数y＝－sin 2x，x∈R是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析：选A 函数y＝－sin 2x为奇函数，周期T＝＝π.
4．函数f(x)＝的奇偶性为________．
解析：因为1＋sin x≠0，故其定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
答案：非奇非偶函数
题组3 正、余弦函数的单调性
5．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选A 因为函数的周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin的周期为π，且在上为减函数．
6．sin，sin，sin，从大到小的顺序为________．
解析：∵＜＜＜＜π，
又函数y＝sin x在上单调递减，
∴sin＞sin＞sin.
答案：sin＞sin＞sin
7．求函数y＝sin，x∈[0，π]的单调递增区间．
解：由y＝－sin的单调性，
得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，故≤x≤π.
即单调递增区间为.
题组4 正、余弦函数的最值问题
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为( )
A．[－1，1] B．[－2，2]
C．[－2，0] D．[0，2]
解析：选D ∵y＝|sin x|＋sin x＝
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，
即函数的值域为[0，2]
9．已知函数y＝a－bcos(b＞0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4asin的最小值并求出对应x的集合．
解：(1)cos∈[－1，1]，∵b＞0，∴－b＜0.
∴∴a＝，b＝1.
(2)由(1)知g(x)＝－2sin，
∵sin∈[－1，1]，∴g(x)∈[－2，2]．
∴g(x)的最小值为－2，此时，sin＝1.
对应x的集合为.
[能力提升综合练]
1．函数y＝sin的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
解析：选B 对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求．
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝
sin 80°.因为正弦函数y＝sin x在区间上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜
sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
3．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A. B. C．2π D．4π
解析：选C 如图，当x∈[a1，b]时，值域为，且b－a最大．当x∈[a2，b]时，值域为，且b－a最小．
∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×＋＋＝2π.
4．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选A 逐一验证，由函数f(x)的周期为π，故排除B；又因为cos＝cos＝0，所以y＝cos的图象不关于直线x＝对称，故排除C；若－≤x≤，则0≤2x＋≤π，故函数y＝cos在上为减函数，故排除D；
令－≤2x－≤，得－≤x≤，
所以函数y＝sin在上是增函数．
5．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
解析：由题意知f(x)的周期T＝，则ω＝＝.
答案：
6．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________．
解析：当a＞0时，得
当a＜0时，得
答案：±2
7．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
解：由2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)得
－＋≤x≤＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
据题意：?(k∈Z)．
从而有解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.
8．已知f(x)＝－2asin＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：∵≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－1≤sin≤.
假设存在这样的有理数a，b，则
当a＞0时，
解得(不合题意，舍去)；
当a＜0时，
解得故a，b存在，且a＝－1，b＝1.
第3课时 正切函数的性质与图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P42～P45的内容，回答下列问题．
(1)正切函数y＝tan x的定义域是什么？
提示：．
(2)诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？
提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tan_x(k∈Z)．
(3)诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？
提示：奇偶性．
(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？
提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．
(5)从正切线上观察正切函数值，在上是增大的吗？
提示：是的．
2．归纳总结，核心必记
(1)正切函数的性质
函数
y＝tan x
定义域
值域
(－∞，＋∞)
周期
最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
(2)正切函数的图象
①正切函数的图象：
②正切函数的图象叫做正切曲线．
③正切函数的图象特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
[问题思考]
(1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？
提示：不是．正切函数在每一个开区间(k∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．
(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？
提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，，，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z．
[课前反思]
(1)正切函数的图象： ；
(2)正切函数的性质：
．
?讲一讲
1．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[尝试解答] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由－tan x≥0得，tan x≤.结合y＝tan x的图象可知，在上，满足tan x≤的角x应满足－＜x≤，所以函数y＝的定义域为，其值域为[0，＋∞)．
求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x＞a的不等式的步骤：
?练一练
1．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：若使函数f(x)有意义，需使tan x－1＞0，
即tan x＞1.
结合正切曲线，可得kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的定义域是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
?讲一讲
2．(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[尝试解答] (1)由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)得，2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan＝tan ＝－tan ，
tan＝－tan＝－tan，
又0＜＜＜，
而y＝tan x在上单调递增，
所以tan＜tan，－tan＞－tan，
即tan＞tan.
(1)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，求得x的范围即可．
②若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝
－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
(2)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
?练一练
2．(1)比较tan 1，tan 2, tan 3的大小；
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
解：(1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．
又因为＜2＜π，所以－＜2－π＜0.
因为＜3＜π，所以－＜3－π＜0.
显然－＜2－π＜3－π＜1＜，
又y＝tan x在内是增函数，
所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，
即tan 2＜tan 3＜tan 1.
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ得，
－＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝3tan的单调递减区间为
(k∈Z)．
?讲一讲
3．(1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
[尝试解答] (1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期性、奇偶性
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
?练一练
3．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
解析：①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1，2知②、③正确，④显然正确．
答案：①
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．
2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象
类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z.两线为直线x＝kπ＋(k∈Z)，直线x＝kπ－(k∈Z)．
3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题
(1)与正切函数有关的定义域、值域问题，见讲1；
(2)正切函数的单调性及应用，见讲2；
(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题，见讲3.
4．本节课的易错点有两处
(1)易忽视正切函数y＝tan x的定义域为，如讲1的第(1)题．
(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴．
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 正切函数的定义域、值域问题
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 要使函数有意义，只需logtan x≥0，即0＜tan x≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
2．函数y＝tan(cos x)的值域是( )
A. B.
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
解析：选C ∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤
tan x≤tan 1.
即－tan 1≤tan x≤tan 1.
3．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
解：∵－≤x≤，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1即x＝－时，f(x)有最小值1，
当tan x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.
题组2 正切函数的单调性及应用
4．函数y＝tan x的单调性为( )
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间(k∈Z)上为增函数
D．在每一个开区间(k∈Z)上为增函数
解析：选C 由正切函数的图象可知选项C正确．
5．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1＞－tan 2
C．tan＜tan D．tan＜tan
解析：选D 因为tan＝tan，且0＜＜＜，正切函数在上是增函数，所以tan＜tan，故答案D正确，同理根据正切函数的单调性可判断其他答案．
6．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω＜0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω＜0.
答案：[－1，0)
7．求函数y＝3tan的周期和单调区间．
解：y＝3tan＝－3tan，
∴T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，得
4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
∵3tan在(k∈Z)上单调递增，
∴函数y＝3tan在(k∈Z)上单调递减．
题组3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题
8．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
解析：选A 经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给的函数的周期为2π.
9．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：选A 由题意 知T＝，由＝，得ω＝4，
∴f(x)＝tan 4x，∴f＝tan π＝0.
10．函数y＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
解析：选A ∵1＋cos x≠0，即cos x≠－1，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
又tan x中x≠kπ＋，k∈Z，
∴函数y＝的定义域关于(0，0)对称．
又f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
11．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：选B 令kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．
[能力提升综合练]
1．已知y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 将点代入y＝tan(2x＋φ)
得tan＝0.
∴＋φ＝kπ(k∈Z)．
∴φ＝－＋kπ(k∈Z)．
当k＝0时，φ＝－.故选A.
2．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选D 当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．
3．函数f(x)＝2tan＋1的图象的一个对称中心可以是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 令3x＋＝(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，又∵f(x)＝2tan＋1的图象是由f(x)＝2tan的图象向上平移1个单位得到的，
∴对称中心可以为.故选D.
4．在区间内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图象交点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示)，可以看到在区间内二者有三个交点．
5．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan ωx(ω＞0)的图象相邻两支的交点的距离为________．
解析：直线y＝a与函数y＝tan ωx的图象相邻两支的交点的距离正好是一个周期．
答案：
6．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________．
解析：直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交，由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝或k＝－.
答案：或－
7．作出函数y＝tan x＋|tan x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
解：y＝tan x＋|tan x|＝
其图象如图所示，
由图象可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝－，x∈[－1， ]．
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－；
当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上单调，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
1.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P49～P55的内容，回答下列问题．
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象有什么影响？
提示：函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
(2)ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象有什么影响？
提示：函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
(3)A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有什么影响？
提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义各是什么？
提示：A是振幅，是周期，是频率，φ是初相．
2．归纳总结，核心必记
(1)参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
①φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
②ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
③A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(2)由函数y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义
①简谐运动的振幅就是A；
②简谐运动的周期T＝；
③简谐运动的频率f＝＝；
④ωx＋φ称为相位；
⑤x＝0时的相位φ称为初相．
[问题思考]
(1)如何由y＝sin x的图象得到y＝sin的图象？
提示：将y＝sin_x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)如何由y＝sin x的图象得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象？
提示：将y＝sin_x的图象的横坐标变为原来的，即可得y＝sin_2x的图象；将y＝sin_x的图象的横坐标伸长为原来的2倍，即可得y＝sin_x的图象．
(3)对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x，y＝sin x的函数值有什么关系？
提示：y＝2sin_x的函数值是y＝sin_x的函数值的2倍，而y＝sin_x的函数值是y＝sin_x的函数值的倍．
[课前反思]
(1)A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响：
；
(2)由函数y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径：
；
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A、ω、φ的物理意义：
．
[思考] 用“五点法”作正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象时，“五点”具体指哪些点？
名师指津：用“五点法”作正弦函数y＝sin_x的图象时，“五点”是指(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)；用“五点法”作余弦函数y＝cos_x的图象时，“五点”是指(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
?讲一讲
1．用“五点法”画函数y＝2sin的简图．
[尝试解答] 先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝，列表
X
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
描点作图，再将图象左右延伸即可．
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
?练一练
1．已知f(x)＝2sin.
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．
解：(1)列表：
＋
0
π
2π
x
－
f(x)
0
2
0
－2
0
作图：
(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)当＋＝＋2kπ，即x＝＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.
?讲一讲
2．由函数y＝cos x的图象如何得到函数y＝－2cos＋2的图象？
[尝试解答] y＝－2cos＋2＝2cos＋2.
y＝2cos＋2.
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意．
?练一练
2．如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin＋1的图象？
?讲一讲
3．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[尝试解答] 法一：(逐一定参法)
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
法二：(待定系数法)
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
法三：(图象变换法)
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，
即y＝3sin.
由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定解析式的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
?练一练
3．如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式．
解：由图可得：A＝，T＝2|MN|＝π.从而ω＝＝2，故y＝sin(2x＋φ)，将M代入得sin＝0，取φ＝－，得y＝sin.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．
2．要掌握与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有关的三个问题
(1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，见讲1；
(2)三角函数图象变换，见讲2；
(3)由函数图象确定解析式，见讲3.
3．本节课的易错点是由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移的单位为而不是|φ|.
课下能力提升(十一)
[学业水平达标练]
题组1 “五点法”作图
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.
2．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：列表：
X＝x－
0
π
2π
x
π
4π
7π
y＝sin
0
0
－
0
描点画图(如图所示)．
题组2 三角函数的图象变换
3．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
4．为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
解析：选B ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
5．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B y＝sinx＋φＦy＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．→x＋φＦy＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．
6．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：选A 变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
7．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：反过来想，
题组3 由图象确定函数的解析式
8．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B 由函数的图象可得＝·＝－x0＝，解得ω＝4.
9．如图是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则它的一个解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 由图象可知，A＝，T＝－＝π，∴ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．将点代入上式，得＝·sin，则φ－＝，得φ＝，∴y＝sin，故选D.
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ≤π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，
则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－(k∈Z)，
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2.又ω>0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
[能力提升综合练]
1．简谐运动y＝4sin的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
解析：选C 相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选A 函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于( )
A. B．2＋2 C.＋2 D.－2
解析：选A 由图可知A＝2，φ＝0，T＝8，
∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sinx.
∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sin＋2sin＋2sin＋2sin π＋2sin＋2sin＝.
5．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝＝π，即＝π，故ω＝2.
又是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π，则φ＝.故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
6．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析：由题意知，ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，故f(x)的最小值为f(0)＝3sin＝－，最大值为f＝3sin＝3，所以f(x)的取值范围是.
答案：
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：(1)A＝3，＝＝5π，ω＝.
由f(x)＝3sin过，
得sin＝0，又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝3sin.
(2)由f(x＋m)＝3sin＝3sin为偶函数(m>0)，
知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z.
∵m>0，∴mmin＝.
故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
8．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
解：(1)依题意，A＝，T＝4×＝4π，
∵T＝＝4π，ω>0，∴ω＝.∴y＝sin.
∵曲线上的最高点为，
∴sin＝1.∴φ＋＝2kπ＋.
∵－<φ<，∴φ＝.∴y＝sin.
(2)∴令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
1.6 三角函数模型的简单应用
?讲一讲
1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)作出函数的图象；
(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(4)单摆来回摆动一次需多长时间？
[尝试解答] (1)利用“五点法”可作出其图象．
(2)因为当t＝0时，s＝6sin＝3，所以此时离开平衡位置3 cm.
(3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
?练一练
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解：(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
?讲一讲
2．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[尝试解答] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．
?练一练
2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
+
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故B点坐标为.
∴h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，
∴tmin＝30(s)．
即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
?讲一讲
3．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据．
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？
[尝试解答] (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)＝Acos ωt＋b，并且周期T＝12，∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪爱好者开放，
∴cos t＋1>1.∴cos t>0.
∴2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤：
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．
?练一练
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________．
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.
答案：y＝－4cos t
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．
2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤
(1)审清题意
读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．
(2)建立函数模型
整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．
(3)解答函数模型
利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．
(4)得出结论
将所得结果翻译成实际问题的答案．
3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用
(1)三角函数在物理中的应用，见讲1；
(2)三角函数在实际问题中的应用，见讲2；
(3)建立三角函数模型解决实际问题，见讲3.
课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 三角函数在物理中的应用
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin，则当t＝时，电流I为( )
A．5 B. C．2 D．－5
解析：选B 直接将t＝代入计算即可．当t＝时，I＝5sin＝5sin ＝.故选B.
2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：
(1)单摆的振幅为________；
(2)振动频率为________．
解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz.
答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz
题组2 三角函数在实际问题中的应用
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
解析：选C 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π]，故选C.
4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选A 周期T＝15秒，ω＝＝.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A＝3.
5．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.
解析：根据题意得28＝a＋A，18＝a＋Acos＝a－A，
解得a＝23，A＝5，
所以y＝23＋5cos，
令x＝10，得y＝23＋5cos
＝23＋5cos ＝20.5.
答案：20.5
6．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解：(1)设种群数量y关于t的解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，
∴sin φ＝－1，∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
题组3 建立三角函数模型解决实际问题
7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
解析：选A y＝f(t)的关系对应的“散点图”如下：
由“散点图”可知，k＝12，A＝3.
周期T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝12，t＝3时，y≈15.
所以φ＝0.因此，y＝12＋3sin t，故选A.
[能力提升综合练]
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.
2．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )
解析：选A 当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.
3．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
解析：选C ∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－.
此时P点纵坐标为2sin，∴d＝2.
当t＝0时，d＝，排除A、D；当t＝时，d＝0，排除B.
4．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
解析：选C 令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，
则l＝θ，sin ＝，
∴d＝2sin ＝2sin ，
即d＝f(l)＝2sin (0≤l≤2π)，它的图象为C.
5．一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈，则小球摆动的周期为________．
解析：T＝＝.
答案：
6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
解析：由条件可知，B＝7，A＝9－7＝2.
又T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.
∵3月份达到最高价，∴3×＋φ＝，∴φ＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝2sin x＋7.
答案：f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N)
7．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：依题意，有A＝2，＝3，即T＝12.
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sin x，x∈[0，4]．
∴当x＝4时，y＝2sin ＝3.∴M(4，3)．
又P(8，0)，
∴MP＝＝＝5(km)．
即M、P两点间的距离为5 km.
8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2；
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin＝1，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2<10.3，
有sin<－，
因此2kπ＋<t－<2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋<t<2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8令k＝0，得t∈(8，12)；
令k＝1，得t∈(20，24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
第一章 三角函数
1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r＝，则sin α＝；cos α＝；tan α＝.
2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．
3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．
[典例1] 已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：r＝＝13|m|，
若m>0，则r＝13m，α为第四象限角，
sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
若m<0，则r＝－13m，α为第二象限角，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－.
[对点训练]
1．(1)α是第四象限角，P(，x)为其终边上一点，且sin α＝x，则cos α的值为( )
A. B. C. D．－
(2)若－<α<0，则点P(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：(1)选A 由定义可得sin α＝＝x，x<0，可得x＝－，∴cos α＝＝.
(2)选B ∵－<α<0，∴tan α<0，cos α>0，
∴点P(tan α，cos α)位于第二象限.
三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：
(1)先用诱导公式化为同角三角函数．
(2)再用同角三角函数关系化简．
用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．
[典例2] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：＝＝－4，解得tan θ＝2.
(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)
＝sin θcos θ－sin2 θ－3cos2 θ＋3sin θcos θ
＝
＝
＝
＝.
[对点训练]
2．化简下列各式：
(1)＋
；
(2)＋－tan 36°·tan 54°.
解：(1)原式
＝＋
＝－＋
＝－cos2α＋sin2α
＝2sin2α－1.
(2)原式
＝＋－tan 36°·tan 54°
＝－＋1－
tan 36°tan 54°
＝－
＝
＝
＝－.
(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．
周期变换ω(ω>0)→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A(A>0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A>0)．注意二者平移量的不同．
(3)由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．
①平衡点法
由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asin知它的平衡点的横坐标为－，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－，则可求φ.
②确定最值法
这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．
③利用单调性
将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.
[典例3] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象上的一个最低点为M，周期为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)由题可知T＝＝π，
∴ω＝2.又f(x)min＝－2，
∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin＝－1.
∵0<φ<，
∴<＋φ<.
∴＋φ＝.∴φ＝.∴f(x)＝2sin.
(2)y＝2siny＝2sin＝2siny＝2sin＝2sin x，∴g(x)＝2sin x.
(3)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)min＝2sin ＝1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2sin ＝.
[对点训练]
3．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象大致是( )
解析：选D 当x∈时，sin x≥0，tan x≤0，
∴tan x－sin x≤0.
∴y＝tan x＋sin x－(sin x－tan x)＝2tan x.
同理，当x∈时，sin x<0，tan x>0，
故tan x－sin x>0.
∴y＝tan x＋sin x－(tan x－sin x)＝2sin x.
综上可知，选项D正确．
4．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
解：(1)由图象知
A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝
sin，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象.
(1)函数y＝sin x和y＝cos x的周期是2π，y＝tan x的周期是π；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期是，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是.
(2)函数y＝sin x和y＝cos x的有界性为：－1≤sin x，cos x≤1，函数y＝tan x没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．
(3)函数y＝sin x在上递增，在上递减；函数y＝cos x在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；函数y＝tan x在上递增，以上k∈Z.
(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(ωx＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及f对单调性的影响．
[典例4] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值－3.
(1)求此函数解析式；
(2)写出该函数的单调递增区间．
解：(1)由题可知A＝3，＝5π，
∴T＝10π.
∴ω＝＝，π＋φ＝.
∴φ＝.
∴y＝3sin.
(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，
得10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为
{x|10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z}．
[对点训练]
5．函数f(x)＝3sin的图象为C.
①图象C关于直线x＝对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ①f＝3sin＝3sin ＝－3，
∴直线x＝为对称轴，①对；
②由－由于函数y＝3sin x在内单调递增，
故函数f(x)在内单调递增，②对；
③f(x)＝3sin 2，而由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2的图象，得不到图象C，③错．
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( )
A．330° B．210°
C．150° D．30°
解析：选B 因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.
2．若sin α＝，<α<π，则sin＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A ∵sin＝cos α，
又<α<π，sin α＝，∴cos α＝－.
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B.
C．2sin 1 D．sin 2
解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC＝1，圆的半径r满足sin θ＝sin 1＝，
所以r＝，弧长AB＝2θ·r＝.
4．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
解析：选C f(x)＝sin的图象的对称轴为x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，
当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.
5．化简得( )
A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2
C．sin 2－cos 2 D．±cos 2－sin 2
解析：选C
＝
＝，
∵<2<π，∴sin 2－cos 2>0.
∴原式＝sin 2－cos 2.
6．函数f(x)＝tan的单调增区间为( )
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选C 令kπ－7．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：选C ∵＋＝π，
∴－α＝π－，
∴sin＝sin＝sin＝.
8．设α是第三象限的角，且＝－cos ，则的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵α是第三象限的角，
∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
∴在第二或第四象限．
又∵＝－cos ，∴cos <0.
∴是第二象限的角．
9．函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值之和为( )
A. B．2 C．0 D.
解析：选A f(x)＝1－sin2x＋sin x＝－＋，∵－≤x≤，
∴－≤sin x≤.
当sin x＝－时，f(x)min＝；
当sin x＝时，f(x)max＝，
∴f(x)min＋f(x)max＝＋＝.
10．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C 将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为x，即可得y＝sin，然后将其图象向左平移个单位，即将x变为x＋.
∴y＝sin＝sin.
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin或y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：选C 由图象可知A＝2，因为－＝，
所以T＝π，ω＝2.
当x＝－时，2sin＝2，
即sin＝1，又|φ|<π，
解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin.
12．函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于( )
A．a B．2a
C．3a D．4a
解析：选A 由f＝f，得f(x＋1)＝f＝f＝f(x)，
即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，
则f＝f＝－f＝a.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知tan α＝－，<α<π，那么cos α－sin α的值是________．
解析：因为<α<π，所以cos α<0，sin α>0，
所以cos α＝－＝－
＝－＝－＝－.
sin α＝，
所以cos α－sin α＝－.
答案：－
14．设f(n)＝cos，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于________．
解析：f(n)＝cos的周期T＝4，
且f(1)＝cos＝cos ＝－，
f(2)＝cos＝－，
f(3)＝cos＝，
f(4)＝cos＝.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝－.
答案：－
15．定义运算a*b为a*b＝例如1*2＝1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为________．
解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为.
答案：
16．给出下列4个命题：①函数y＝的最小正周期是；②直线x＝是函数y＝2sin的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－，且α为第二象限角，则tan α＝－；④函数y＝cos(2－3x)在区间上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
解析：函数y＝sin的最小正周期是π，
则y＝的最小正周期为，
故①正确．
对于②，当x＝时，2sin＝2sin ＝－2，故②正确．
对于③，由(sin α＋cos α)2＝得
2sin αcos α＝－，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝＝，
所以sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－，故③正确．
对于④，函数y＝cos(2－3x)的最小正周期为，而区间长度>，显然④错误．
答案：①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解：由＝－1，得tan α＝.
(1)＝＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)
＝
＝＝＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f＝2sin＝2sin ＝
(2)令2kπ－≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
所以2kπ－≤x≤＋2kπ，k∈Z，
解得6kπ－π≤x≤2π＋6kπ，k∈Z，
所以函数f(x)＝2sin的单调递增区间为[6kπ－π，2π＋6kπ]，k∈Z.
19．(12分)已知函数f(x)＝3sin.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)写出f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．
解：(1)列表如下：
x
－
x＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图如图所示．
(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π，
对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，
单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)．
20．(12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R的图象与y轴交于点(0，1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；
(3)求使y≥1的x的集合．
解：(1)因为函数图象过点(0，1)，
所以2sin φ＝1，即sin φ＝.
因为0≤φ≤，所以φ＝.
(2)由(1)得y＝2sin，
所以当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，
y＝2sin是增函数，故y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由y≥1，得sin≥，
所以＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即2k≤x≤＋2k，k∈Z，
所以y≥1时，x的集合为.
21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.
由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又因为－π<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝3sin.
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)由题意知，方程sin＝在上有两个根．
因为x∈，
所以2x＋∈.
所以∈.
所以m∈[3＋1，7)．
22．(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解：(1)把(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，
得cos θ＝.
∵0≤θ≤，∴θ＝.
∵T＝π，且ω>0，∴ω＝＝＝2.
(2)∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
∴点P的坐标为.
∵点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，
∴cos＝，
且≤4x0－≤.
∴4x0－＝或4x0－＝.
∴x0＝或x0＝.
