3.1 正整数指数函数
[核心必知]
1．定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数．其中x是自变量(x在指数位置上)，底数a是常数．
2．图像特征
正整数指数函数的图像是位于第一象限，且在x轴的上方的一群孤立的点．
[问题思考]
1．正整数指数函数的解析式的结构有何特征？
提示：有三个特征：底数a为常数；指数为自变量x；系数为1.
2．正整数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性与底数a的大小有何关系？
提示：当0＜a＜1时，y＝ax是减少的，当a＞1时，y＝ax是增加的．
?讲一讲
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·(2a－1)x是正整数指数函数，则实数a的值是________．
[尝试解答] 由正整数指数函数的定义可知：
即
∴a＝2.
答案：2
正整数指数函数是一个形式定义，处理有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它的三个特征确认与应用即可．
?练一练
1．若函数f(x)＝(a2－4a＋4)·ax(x∈N＋)为正整数指数函数，则f(4)＝________.
解析：由正整数指数函数的定义可知：
即
∴a＝3.∴f(x)＝3x，故f(4)＝34＝81.
答案：81
?讲一讲
2．画出函数：(1)y＝x，(2)y＝x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
[尝试解答]
在同一坐标系中分别画出函数y＝x和y＝x(x∈N＋)图像如图所示．
由图像知：函数y＝x(x∈N＋)是增加的；而y＝x(x∈N＋)是减少的．
(1)正整数指数函数的图像特点：正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(2)当0＜a＜1时，y＝ax(x∈N＋)是减函数．当a＞1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．
?练一练
2．画出函数(1)y＝2x(x∈N＋)，(2)y＝x(x∈N＋)的图像，并说明它们的单调性．
解：(1)函数y＝2x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，由图像可知，该函数是增加的；
(2)函数y＝x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，由图像可知，该函数是减少的．
?讲一讲
3．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%.
(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化的函数关系式；
(2)画出该函数的图像；
(3)说明该函数的单调性；
(4)利用图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
[尝试解答] (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据这个函数关系式可以列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出正整数指数函数y＝0.84x的图像(如图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数．
(4)从图像可以看出，当x＝4时，y≈0.5，即约经过4年，剩留量是原来的一半．
实际问题中与“递增率”、“递减率”有关的问题，多抽象为正整数指数函数型函数y＝N(1±p%)x，x∈N＋(其中N为原产值，增长(减少)率为p，x为经过的时间)．
?练一练
3．有关部门计划于2016年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2022年应投入多少辆电力型公交车？
解：由题意知，在2017年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；
在2018年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；……
故在2022年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×6＝1 458(辆)．
答：该市在2022年应投入1 458辆电力型公交车．
用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
[巧思] 先根据题意写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，再用估算法求解．
[妙解] 函数关系式为y＝x(x∈N＋)．
令x≤1%，得4x≥100.
∵43＝64＜100,44＝256＞100，
∴当x≥4时，4x≥100，
故至少要漂洗4次．
[答案] 4
1．给出下列函数：
①y＝()x；②y＝x；③y＝3x＋1；④y＝(1－)x.当x∈N＋时，以上函数中是正整数指数函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
2．函数f(x)＝3x－2中，x∈N＋且x∈[－1,3]，则f(x)的值域为( )
A．{－1,1,7}
B．{1,7,25}
C．{－1,1,7,25}
D.
解析：选B ，∵x∈N＋且x∈
[－1,3] ，∴x∈，
∴3x∈，
∴f(x)∈.
3．某产品计划每年成本降低的百分率为p，若三年后成本为a元，则现在的成本为( )
A．a·p3元 B．a(1－p)3元
C.元 D.元
解析：选C 假设现在的成本为y元，则y·(1－p)3＝a，
∴y＝.
4．已知f(x)＝ax(a＞0且a≠1，x∈N＋)的图像过点(5,32)，则f(8)＝________.
解析：由题意得a5＝32，∴a＝2，∴f(x)＝2x，
∴f(8)＝28＝256.
答案：256
5．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为________．
解析：光线通过第1块玻璃板后的强度为a(1－10%)，
通过第2块玻璃板后的强度为a(1－10%)2，
依次类推，通过第x块玻璃板的强度为
y＝a(1－10%)x＝a·0.9x(x∈N＋)．
答案：y＝a·0.9x(x∈N＋)
6．一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%，
(1)试写出年产量y随年数x变化的关系式，并写出其定义域；
(2)画出其函数图像．
解：(1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，
∴y与x的关系式是y＝1.1x，
其定义域是{x|x≤10，x∈N＋}．
(2)如图所示：
一、选择题
1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )
A．y＝2x＋1，x∈N＋
B．y＝x5，x∈N＋
C．y＝3－x，x∈N＋
D．y＝3×2x，x∈N＋
解析：选C 根据正整数指数函数的定义知y＝3－x＝x，x∈N＋符合要求．
2．函数y＝x(x∈N＋)的图像是( )
A．一条上升的曲线
B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点
D．一系列下降的点
解析：选C ＞1且x∈N＋，故图像是一系列上升的点．
3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成( )
A．511个 B．512个
C．1 023个 D．1 024个
解析：选B 由题意知，经过x次分裂后，这种细菌分裂成y＝2x(个)，易知分裂9次，即x＝9时，y＝29＝512(个)．
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )
A．增加7.84% B．减少7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
解析：选B 设原来价格为a，依题意四年后的价格为
a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2，
∴a－a(1－0.04)2＝a[1－(1－0.04)2]
＝a(1－1＋0.08－0.001 6)
＝a·7.84%.
二、填空题
5．已知函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)在[1,3]上的最大值为8，则a的值是________．
解析：由题意知a>1，且a3＝8，解得a＝2.
答案：2
6．比较下列数值的大小：
(1)()3________()5；
(2)2________4.
解析：由正整数指数函数的单调性知，()3＜()5，
2＞4.
答案：(1)＜ (2)＞
7．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是Pn＝P0(1＋K)n(K为常数)，其中Pn 为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，K为预测期内的年增长率，若－1＜K＜0，则在这期间人口数________(填呈上升趋势或是下降趋势)
解析：Pn＝P0(1＋K)n是指数型函数，∵－1＜K＜0，
∴0＜1＋K＜1，由y＝ax(0＜a＜1)是N＋上的减函数可知，人口呈下降趋势．
答案：呈下降趋势
8．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的，则经过________年，剩留的物质是原来的.
解析：设物质最初的质量为1，则经过x年，y＝x.
依题意得x＝，解得x＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因．
解：设正整数指数函数为f(x)＝ax(a＞0且a≠1，x∈N＋)．
∵函数f(x)的图像经过点(3,27)，
∴f(3)＝27，即a3＝27.
∴a＝3.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵正整数指数函数f(x)＝3x(x∈N＋)在正整数集N＋上是增加的，故函数无最大值，有最小值为f(1)＝3.
10．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t＜6)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n ≥0，n∈Z)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
解：
(1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2t，t∈N＋}．
(2)0≤t＜6时，为一分段函数，
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数时，y＝2＋1；n为奇数时，y＝2＋1.
∴y＝
3.2 指数扩充及其运算性质
[核心必知]
1．分数指数幂
(1)定义：
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
(2)几个结论：
①正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．
②负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
2．指数幂的运算性质
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝am·n；
(3)(ab)m＝ambm.
[问题思考]
1．若b2＝53，则b＝5，b叫作5的次幂吗？
提示：不一定，当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的次幂．
2．为什么分数指数幂中规定整数m，n互素？
提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a中，底数a∈R，当a＜0时，a＜0，而如果把a写成a，有两种运算：一是a＝(a)2就必须a≥0；二是a＝(a2)，在a＜0时，a的结果大于0，与a＜0相矛盾．所以规定整数m、n互素．
3．分数指数幂a可以理解为个a相乘，对吗？
提示：分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a＝()m＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)，a－＝＝＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)．
?讲一讲
1．用分数指数幂表示下列各式．
(1)(a＞0); (2)；(3)()－(b＞0)．
此类问题应熟练应用a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．
?练一练
1．用分数指数幂表示下列各式．
(1)8；
(2)a2·；
(3) (a＞0)；
(4)(a＞0)．
解：(1)8＝23·2＝23＋＝2.
(2)原式＝a2·a＝a2＋＝a.
(3)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝a.
(4)原式＝＝a2－－＝a.
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2．计算或化简．
(1)a3b2(2ab－1)3；
(2)(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋
16－0.75＋；
(3)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(4) ÷ (a＞0)；
(5)4＋1·23－2 ·8－.
[尝试解答] (1)原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1.
(2)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(3)原式＝＋102＋－－3＋
＝＋100＋－3＋
＝100.
(4)原式＝[a×·a×(－)]÷[a×
(－)·a×]
＝a－＋－＝a0＝1.
(5)原式＝(22)＋1·23－2·(23)－
＝22＋2·23－2·2－2
＝22＋2＋3－2－2＝23＝8.
进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
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2．计算或化简下列各式．
(1)0.027－－－2＋－(－1)0；
(2)－·；
(3)÷×.
解：(1)原式＝－－－2＋
－1＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝(2－2)－·＝＝.
(3)原式＝÷×a
＝··a
＝a·a·a＝a.
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3．已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
.
[尝试解答] (1)将＝3两边平方，
得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
＝a＋a－1＋1＝8.
对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．
?练一练
3．(1)若102x＝25, ＝5，则10y－x＝________；
(2)若＝m，则＝________.
解析：(1)由102x＝25，得10x＝5，
∴10－x＝(10x)－1＝5－1，而＝＝5，
∴10y＝52，则10y－x＝10y·10－x＝52·5－1＝5.
(2)由＝m，
两边平方得：a＋a－1－2＝m2，
∴a＋a－1＝m2＋2，故＝a＋a－1＝m2＋2.
答案：(1)5 (2)m2＋2
设a2n＝3，a＞0，求的值．
[解] 法一：由a2n＝3，a＞0得
an＝，a－n＝，a3n＝()3＝3，
a－3n＝ .
∴＝
＝
＝＝.
法二：＝
＝a2n－1＋a－2n
＝3－1＋＝.
[尝试用另一种方法解题]
法三：＝
＝
＝＝.
1．计算等于( )
A．9 B．3
C．±3 D．－3
解析：选B 由35＝243，得＝3.
2．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
解析：选C 对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·
(－b6)＝－a6b6≠a6b6.
3.(a＞0)的值是( )
A．1 B．a
解析：选D 原式＝4．若b－3m＝π2n(b＞0，m，n∈N＋)，则b＝________.
解析：由b－3m＝π2n，得b＝
答案：
5．已知x－3＋1＝a，则a2－2ax－3＋x－6的值为________．
解析：∵x－3＋1＝a，
∴a－x－3＝1，
∴a2－2ax－3＋x－6＝(a－x－3)2＝1.
答案：1
6．求值：2(×)6＋
－×80.25＋(－2 013)0.
解：原式＝ ＋－4×－＋1
＝2×22×33＋2－7－2＋1＝210.
一、选择题
1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )
2．将 化为分数指数幂的形式为( )
解析：选B 原式＝
3．计算的结果是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 原式＝＝
＝.
4．若x＞0，则等于( )
A．－23 B．23
解析：选A 原式＝ 二、填空题
解析：原式＝×16－4－4＝－4.
答案：－4
6．若x＜0，则－＋＝________.
解析：原式＝－＋＝1.
答案：1
7．若xy＝8，且x＞0，y＞0，则＝________.
解析：原式＝
＝－2.
答案：－2
8．已知10α＝2,100β＝3，则＝________.
解析：∵100β＝3，即102β＝3，∴10β＝.
∴＝106α－β＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．(1)计算：；
(2)化简： (a>0，b>0)．
解：(1)原式＝42＋1－3＝14.
(2)原式＝
＝.
10．已知f(x)＝ax－a－x，g(x)＝ax＋a－x(a＞1)．
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)·f(y)＝4，g(x)·g(y)＝8，求的值．
解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ax－a－x)2－(ax＋a－x)2
＝2ax·(－2a－x)＝－4.
(2)∵f(x)·f(y)＝4，∴(ax－a－x)(ay－a－y)＝4.
∴ax＋y＋a－(x＋y)－ax－y－ay－x＝4，
即g(x＋y)－g(x－y)＝4.①
∵g(x)·g(y)＝8，
∴(ax＋a－x)·(ay＋a－y)＝8.
∴ax＋y＋a－(x＋y)＋ax－y＋ay－x＝8，
即g(x＋y)＋g(x－y)＝8.②
由①②得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2.∴＝3.
3.3 指数函数
[核心必知]
1．指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质
(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质，如下表所示．
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
恒过(0,1)点，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1；
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
(2)函数y＝ax与函数y＝x(a＞0且a≠1)图像关于y轴对称．
[问题思考]
1．对于指数函数y＝ax，为什么要规定底数a＞0且a≠1?
提示：如果a＝0，
如果a＜0，如y＝(－4)x，当x＝、等时，在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
2．在同一直角坐标系中画出y＝3x，y＝2x，y＝x，y＝x的图像，指出它们的相对位置与底数大小有何关系？
提示：借助图像可得如下结论：
(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小．
(2)在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．函数y＝3x的图像关于y轴对称图像对应的函数是什么？与偶函数图像对称有什么区别？
提示：是y＝3－x＝x；这是两个函数图像关于y轴对称，而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y轴对称．
?讲一讲
1．画出函数y＝|x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间．
[尝试解答] ∵y＝|x|＝
∴在平面直角坐标系内画出函数y＝
x(x≥0)及y＝2x(x＜0)的图像．这两段图像合起来就是所求函数的图像，如图．
由图像可知所求函数的值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
与指数函数有关的指数型函数的图像，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像，然后利用图像直观地研究其性质．
?练一练
1．已知函数y＝|x＋1|.
(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像；
(2)由图像指出该函数的单调区间；
(3)由图像指出当x取何值时，函数有最值．
解：(1)y＝|x＋1|＝
其图像由两部分组成：
①y＝x(x≥0)y＝x＋1(x≥－1)；
②y＝3x(x＜0)y＝3x＋1(x＜－1)．
图像如图：
(2)由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图像知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．
?讲一讲
2．试比较下列各组数的大小：
(1)1.12.5与1.13；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；
(3)a0.3与a0.4(a＞0且a≠1)；(4)0.8－0.3与4.9－0.1.
[尝试解答] (1)考查指数函数y＝1.1x，由于底数1.1＞1，所以函数y＝1.1x在R上是增函数．
∵2.5＜3，∴1.12.5＜1.13.
(2)考查函数y＝0.8x，由于底数0.8＜1，
所以函数y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2.
(3)当a＞1时，函数y＝ax在R上是增函数．
∵0.3＜0.4，∴a0.3＜a0.4.
当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数，∴a0.3＞a0.4.
(4)∵ 0.8－0.3＞0.80＝1,4.9－0.1＜4.90＝1，
∴0.8－0.3＞4.9－0.1.
对于指数幂的大小比较，一般规律为：
(1)同底数指数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小．
(2)同指数不同底数的指数幂：在同一坐标中作出不同底数的函数的图像，利用图像比较大小．
(3)既不同底数，又不同指数指数幂：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较，如本讲(4)．
?练一练
2．比较下列各组数的大小．
(1)0.80.5与－0.4；(2)40.9,80.48，－1.5；
(3)0.6－2与－；(4)0.30.4与0.40.3.
解：(1)－0.4＝0.4＝0.80.4，
∵函数y＝0.8x在定义域R上是减函数，
又∵0.5>0.4，
∴0.80.5<0.80.4，
即0.80.5<－0.4.
(2)∵40.9＝21.8,80.48＝21.44，
－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定义域R上为增函数，
∴21.8>21.5>21.44，即40.9>－1.5>80.48.
(3)∵0.6－2>0.60＝1，－<0＝1，
∴0.6－2>－.
(4)当指数相同且大于0时，底数越大图像越高，
∴0.30.3<0.40.3，
又∵0.30.4<0.30.3，∴0.30.4<0.40.3.
?讲一讲
3．(1)求函数y＝ 的定义域和值域；
(2)求函数y＝－x2＋2x的值域；
(3)求函数y＝－x＋4·x＋5的值域；
(4)讨论函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的奇偶性和单调性．
[尝试解答] (1)x应满足1－x≥0，
∴x≤1＝0，即x≥0，
∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．
∵x≥0，∴x≤1.
又∵x＞0，∴0＜x≤1.
∴0≤1－x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数值域为[0,1)．
(2)设u＝－x2＋2x.
∵y＝u，u＝－x2＋2x的定义域都是R，
∴y＝－x2＋2x的定义域为R，
∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，
∴u≥1，
∴函数的值域为；
(3)∵y＝－x＋4·x＋5
＝－2x＋4·x＋5
＝－2＋9≤9，
∴y∈(－∞，9]；
(4)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}．
∵f(－x)＝＝＝－f(x)，且定义域为R，
∴f(x)是奇函数．
f(x)＝＝1－，
①当a＞1时，∵ax＋1为增函数，且ax＋1＞0，
∴为减函数，
∴f(x)＝1－＝为增函数．
②当0＜a＜1时，同理可得f(x)＝为减函数．
(1)指数型函数y＝af(x)的有关性质：
①定义域：与y＝f(x)的定义域相同．
②值域：先求f(x)的值域，再根据单调性确定y＝af(x)的值域．
(2)对于y＝m(ax)2＋nax＋c(m≠0)的值域，利用换元法转化为二次函数，和用二次函数求值域的方法求解．
(3)与指数函数有关的函数的单调性、奇偶性用定义解决．
?练一练
3．若函数y＝为奇函数．
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域；
(4)讨论函数的单调性．
解：先将函数
y＝化简为y＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，
即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0.∴a＝－.
(2)∵y＝－－，∴2x－1≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.
又∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.
∴－－＞或－－＜－，
即函数的值域为.
(4)当x＞0时，设0＜x1＜x2，
则y1－y2＝
∵0＜x1＜x2，
∴y1－y2＜0.
因此y＝－－在(0，＋∞)上是增加的．
由于y＝f(x)是奇函数，从而y＝－－
在(－∞，0)上也是增加的．
关于x的方程＋1－2a＝0有两个相等的实数根．则a的取值范围是________．
[巧思] 将问题转化为直线y＝2a与函数y＝＋1(a＞0且a≠1)的图像有两个交点，利用数形结合法求解．
[妙解] 当a＞1时，函数y＝＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图像(实线)，
由图可知1＜2a＜2，
即＜a＜1，与a＞1矛盾．
当0＜a＜1时，同样函数y＝＋1通过平移变换和翻折变换得到如图所示的图像(虚线)，
由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.
∴当直线y＝2a与函数y＝＋1的图像有两个交点时a的取值范围是.
[答案]
1．已知以x为自变量的函数，其中属于指数函数的是( )
A．y＝(a＋1)x(其中a＞－1，且a≠0)
B．y＝(－3)x
C．y＝－(－3)x
D．y＝3x＋1
解析：选A 在指数函数y＝ax的定义中，要求①a＞0且a≠1，②ax，x的系数均为1，符合以上两点的是选项A.
2．(四川高考)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图像可能是 ( )
解析：选C 法一(图像变换法)当0
法二(特殊点法)由题意可知函数y＝ax－a(a>0且a≠1)必过点(1,0)，故只有C项符合．
3．已知a＞b，则a、b的大小关系是( )
A．1＞a＞b＞0 B．a＜b
C．a＞b D．1＞b＞a＞0
解析：选B 考查指数函数y＝x，
∵底数＜1，∴y＝x在R上是减函数．
∵a＞b，∴a＜b.
4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a＝________.
解析：∵指数函数是单调函数，∴函数y＝ax在区间[0,1]端点上取得最值．
∴a0＋a＝3，得a＝2.
答案：2
5．若a＜0，则函数y＝(1－a)x－1的图像必过点________．
解析：a＜0，－a＞0,1－a＞1，
∴y＝(1－a)x为指数函数，过点(0,1)，
将y＝(1－a)x的图像向下平移1个单位，
得到函数y＝(1－a)x－1的图像，过定点(0,0)．
答案：(0,0)
6．设a＞0，f(x)＝＋在R上满足f(－x)＝f(x)，
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，
即＋＝＋aex.
所以＝0对一切x∈R成立．
由此可得a－＝0，即a2＝1.又因为a＞0，所以a＝1.
(2)证明：设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝
＝
＝
由x1＞0，x2＞0，x2－x1＞0，得x1＋x2＞0，，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
一、选择题
1．(山东高考)函数f(x)＝ ＋的定义域为 ( )
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析：选A 由题意得所以－32．指数函数y＝b·ax在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D.
解析：选A ∵y＝b ·ax为指数函数，∴b＝1，则[b,2]＝[1,2]．由于y＝ax为单调函数，∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值，∴a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．
3．已知f(x)＝则f(8)等于( )
A．4 B．0
C. D．2
解析：选C f(8)＝f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝f(－2)＝2－2＝.
4．定义运算a×b＝则函数f(x)＝1×2x的图像是( )
解析：选A 当x＜0时，2x＜1，f(x)＝2x；当x≥0时，2x≥1，f(x)＝1.
二、填空题
5．函数y＝的定义域是
________．
解析：∵8－2x≥0，即2x≤23，又y＝2x在R上为增函数．∴x≤3的定义域为(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
6．已知a＝0.30.2，b＝0.20.2，c＝0.20.3，d＝－1.5，则a，b，c，d由小到大排列的顺序是________．
解析：∵0.30.2＜0.30＝1，同理：0.20.2＜1,0.20.3＜1，－1.5＞1，考查幂函数y＝x0.2，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．
∴0.30.2＞0.20.2；考查指数函数y＝0.2x，可知该函数在R上是减函数，∴0.20.2＞0.20.3，综上，0.20.3＜0.20.2＜0.30.2＜－1.5，即c＜b＜a＜d.
答案：c＜b＜a＜d
7．函数f(x)＝(a＞0，a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3－3a是减函数；
当x≥0时，函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1；且满足0＋3－3a≥a0，解得a≤，所以a的取值范围是.
答案：
8．若0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图像一定不经过第________象限．
解析：函数f(x)＝ax＋b的图像可由函数y＝ax的图像向上(b＞0时)或向下(b＜0)时，平移|b|个单位得到，∵0＜a＜1，b＜－1，结合图像可知，f(x)＝ax＋b的图像一定不经过第一象限．
答案：一
三、解答题
9．已知函数y＝a2x＋2ax－1(0＜a＜1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a的值．
解：由y＝a2x＋2ax－1(0＜a＜1)，
令t＝ax，∵x∈[－1,1]∴a≤t≤，
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
对称轴为t＝－1.
∵0＜a＜1∴＞1，∴当t＝，
即x＝－1时，y取最大值．
ymax＝＋－1＝14，解得a＝，
a＝－.
∵0＜a＜1，∴a＝.
10．已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明f(x)＞0.
解：(1)由题意，2x－1≠0，即x≠0，
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝(－x)3
＝·(－x)3
＝·(－x)3
＝·x3＝f(x)，
∴f(x)为定义域上的偶函数．
(3)当x＞0时，2x＞1，
∴2x－1＞0.
又∵x3＞0，
∴f(x)＞0.
由偶函数的图像关于y轴对称，知x＜0时，f(x)＞0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)＞0.
3.4 对数
[核心必知]
1．对数的概念与性质
(1)定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．logaN读作以a为底N的对数．
(2)常用对数与自然对数：
以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N；以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N.
(3)基本性质：
①负数没有对数，即logaN中真数必须大于零；
②1的对数为0，即loga1＝0；
③底数的对数为1，即logaa＝1；
④对数恒等式：alogaN＝N.
2．对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
(1)积的对数：loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)商的对数：loga＝logaM－logaN；
(3)幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数的换底公式
logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
[问题思考]
1．指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)有什么关系？
提示：关系如图示．
2．如何用对数的定义证明alogaN＝N?
提示：因为若ab＝N，则b＝logaN(a＞0且a≠1)，所以由等量代换得alogaN＝N.
3．对数运算性质(1)当M、N同号时成立吗？
提示：不一定成立．如lg [(－5)×(－3)]有意义，
而lg(－5)、lg(－3)无意义．
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1．(1)将对数式log27＝－3化为指数式；
(2)将指数式－2＝16化为对数式；
(3)求式子log2(log5x)＝0中的x；
(4)计算4(log29－log25)．
[尝试解答] (1)因为log27＝－3，所以()－3＝27.
(2)因为－2＝16，
所以log16＝－2.
(3)因为log2(log5x)＝0，
所以log5x＝1，所以x＝5.
(4)原式＝2log 29－log 25＝＝.
(1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab＝N等价于b＝logaN(a＞0且a≠1，N＞0)，要注意a、b、N的位置．
(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
(3)对于对数恒等式alogaN＝N要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
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1．(1)将指数式104＝10 000和m＝5化为对数式；
(2)将对数式log0.10.01＝2和ln x＝化为指数式；
(3)求式log3(lg x)＝1中的x；
(4)计算71－log75的值．
解：(1)lg 10 000＝4, m＝log5.
(2)0.12＝0.01, e＝x.
(3)∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝3，
∴x＝103＝1 000.
(4)原式＝＝.
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2．计算下列各式的值．
(1)log2＋log212－log242；
(2)；
(3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.
[尝试解答] (1)原式＝log2＝log2＝－.
(2)原式＝＝
＝.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
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2．用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga； (2)loga.
解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz.
(2)loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2logax＋logay－logaz.
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3．(1)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)；
(2)设3a＝4b＝36，求＋的值．
[尝试解答] (1)法一：原式＝log253＋＋·log52＋＋
＝3log25＋＋log52＋＋
＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二：原式＝(＋＋)(＋＋)
＝(＋＋)(＋＋)
＝()(3)＝13.
(2)法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
∴＋＝2log363＋log364
＝log369＋log364
＝log3636
＝1.
法二：对已知条件取以6为底的对数，
得alog63＝2，blog62＝1，
∴＝log63，＝log62.
于是＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的．
(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．
(3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取．
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3．(1)设log1227＝a，求证log616＝；
(2)已知14a＝2，用a表示log7.
解：(1)法一：＝
＝＝＝
＝＝＝log616，
故原式得证．
法二：a＝log1227＝＝，
∴log32＝－，
log616＝4log62＝4
＝＝＝.
(2)∵14a＝2，
∴log142＝a，log7＝＝＝＝.
已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求的值．
[错解] 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
则＝1或＝4，
[错因] 错解中忽略了lg x＋lg y＝2lg(x－2y)成立的前提是即x＞2y＞0，在求出x，y的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．
[正解] 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，
解得x＝y或x＝4y.
因为x＞0，y＞0，x－2y＞0，
所以x＝y应舍去．
则＝4，
1．下列各式中正确的个数是( )
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；
③若10＝lg x，则x＝10；
④若log25x＝，则x＝±5.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B ∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①正确；∵ln e＝1.∴lg(ln e)＝lg 1＝0，∴②正确；若10＝lg x，则1010＝x，∴③不正确；若log25x＝，则25＝x，∴x＝5，④不正确．故只有①②正确．
2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x，y，z＞0)( )
A．lg(x2y)＝(lg x)2＋lg y＋
B．lg(x2y)＝zlg x＋2lg y＋2lg z
C．lg(x2y)＝2lg x＋lg y－2lg z
D．lg(x2y)＝2lg x＋lg y＋lg z
解析：选D lg(x2y)＝lg x2＋lg y＋lg ＝2lg x＋lg y＋lg z.
3．(安徽高考)(log29)·(log34)＝( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选D (log29)·(log34)＝×＝×＝4.
4．已知ln x＝a，ln y＝b，则ln[·2]＝________.(用a，b表示)
解析：由于ln [·()2]＝ln ＋ln ()2＝ln x＋2ln ＝ln x＋2ln y－2ln e＝a＋2b－2.
答案：a＋2b－2
5．(四川高考)lg0.01＋log216的值是________．
解析：lg 0.01＋log216＝lg＋log224＝－2＋4＝2.
答案：2
6．计算下列各式：
(1)；
(2)loga＋loga＋loga(a＞0且a≠1)．
解：(1)原式＝＝
＝－4lg 10＝－4.
(2)法一：原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－
＝logaa－n－＝logaa－n＝－n.
法二：原式＝loga＝logaa－n＝－n.
一、选择题
1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵log7[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，即x＝23＝8.
∴x－＝ .
2．已知lg x－lg y＝a，则lg3－lg3＝( )
A．3a B.a
C．a D.
解析：选A lg 3－lg 3＝3＝3[(lg x－lg 2)－(lg y－lg 2)]＝3(lg x－lg y)＝3a.
3．设函数f(x)＝则f(f(2))＝( )
A. B．2e2
C．2e D．2
解析：选A ∵f(2)＝log3＝
log33－1＝－1，
∴f(f(2))＝f(－1)＝2e－2＝.
4．已知2m＝7n＝p，－＝4，则p的值是( )
解析：选B ∵2m＝7n＝p，
∴m＝log2p，n＝log7p.
又－＝－
＝logp2－logp7＝logp＝4，
∴p4＝.∴p＝
二、填空题
5．(四川高考)lg ＋lg的值是________．
解析：lg＋lg＝lg(×)＝
lg 10＝1.故填1.
答案：1
6．若a＞0，a＝，则＝________.
解析：∵a＞0, ＝，
∴loga＝，
∴loga＝，∴＝3.
答案：3
7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝________.
解析：∵2x＝3，
∴x＝log23.
∵log4＝y，
∴y＝log48－log43＝－＝－
log23，
∴x＋2y＝log23＋2＝3.
答案：3
8．若10α＝2，β＝lg 3，则＝________.
解析：法一：∵10α＝2，β＝lg 3，
∴α＝lg 2，
＝
＝＝22×3－1＝.
法二：∵10α＝2，β＝lg 3，
∴10β＝3，
＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1＝.
答案：
三、解答题
9．(1)求值： (2)2013年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？
(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，
lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
解：(1)原式＝－()2＝9－2－＝.
(2)设经过x年后国民生产总值是2011年的两倍．
经过1年，生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，生产总值为a(1＋8%)2，
…，
经过x年，生产总值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.
两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2.
故x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．
10．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，
设t＝lg x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0.
∴t1＋t2＝2，t1t2＝.
由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)
＝
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
3.5 对数函数
第1课时 对数函数的概念 对数函数y＝log2x的图像和性质
[核心必知]
1．对数函数的概念
(1)对数函数的定义：
一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数．
(2)两种特殊的对数函数：
我们称以10为底的对数函数y＝lg_x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝ln_x为自然对数函数．
2．反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
3．函数y＝log2x的图像和性质
图像
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当0(5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数
[问题思考]
1．函数y＝log3x(x>0)，y＝logx(x>0)，y＝2log2x，y＝logx2都是对数函数吗？为什么？
提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数．因此y＝log3x(x＞0)，y＝logx(x＞0)是对数函数，而y＝2log2x，y＝logx2等都不是对数函数．
2．函数y＝logax2与y＝2logax(a＞0且a≠1)是同一个函数吗？为什么？
提示：不是，因为定义域不同．
3．对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x有何关系？
提示：(1)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数，其图像关于直线y＝x对称；
(2)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的定义域与值域互换，即y＝log2x的定义域(0，＋∞)是y＝2x的值域，而y＝log2x的值域R恰好是y＝2x的定义域．
(3)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的单调性一致，即都是增函数．
?讲一讲
1．求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝lg(x－1)＋log(x＋1)(16－4x)．
[尝试解答] (1)要使函数有意义，
需有即
解得0≤x<1，所以函数的定义域为[0,1)．
(2)要使函数有意义，需有
即∴1求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log2x<1，有人常由此得到x<2，而忘记x>0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．
?练一练
1．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(x＋1)＋.
解：(1)要使函数有意义，需有
即0∴所求函数的定义域为(0,2]．
(2)要使函数有意义，需有：
即－1＜x＜0且x≠－.
∴所求函数的定义域为∪.
?讲一讲
2．写出下列函数的反函数．
(1)y＝log0.13x；(2)y＝3.05x.
[尝试解答] (1)y＝log0.13x的反函数是y＝0.13x.
(2)y＝3.05x的反函数是y＝log3.05x.
函数y＝logax的反函数是y＝ax(a＞0，a≠1)；函数y＝ax的反函数是y＝logax(a＞0，a≠1)．
?练一练
2．写出下列函数的反函数．
(1)y＝lg x；(2)y＝ln x；(3)y＝x.
解：(1)y＝lg x的反函数为y＝10x.
(2)y＝ln x的反函数为y＝ex.
(3)y＝x的反函数为y＝logx.
?讲一讲
3．根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；
(2)y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．
[尝试解答] 函数y＝log2x的图像如图．
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)＞f(2)，
即log2a＞log22，
则a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.
(1)研究函数y＝log2x的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．
(2)函数y＝log2x的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．
?练一练
3．(1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)＞0，求x的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵＞，∴log2＞log2.
(2)log2(2－x)＞0即log2(2－x)＞log21，
∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x＞1，即x＜1.
∴x的取值范围为(－∞，1)．
当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？
[巧思] 将关于x的方程解的问题转化为函数y＝|log2x－1|的图像与直线y＝m的交点个数问题，利用数形结合法求解．
[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图像，如图所示．
由图像得：当m<0时，方程无解，当m＝0时，方程有一解，当m>0时，方程有两解．
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x) B．y＝lg(10x)
C．y＝loga(x2＋x) D．y＝ln x
解析：选D 形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数为对数函数，所以只有y＝ln x符合此形式．
2．函数y＝log2x(1≤x≤8)的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．(－∞，3] D．[0,3]
解析：选D ∵y＝log2x在[1,8]上为增函数，
∴log21≤y≤log28，即y∈[0,3]．
3．图中所示图像对应的函数可能是( )
A．y＝2x
B．y＝2x的反函数
C．y＝2－x
D．y＝2－x的反函数
解析：选D 由y＝x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y＝的图像．
4．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a的值是________．
解析：依题意，f(x)的图像过点
(－1,2)，∴a－1＝2，即a＝.
答案：
5．函数y＝log2(3＋1)的定义域为________，值域为________．
解析：由已知得x－1≥0，得x≥1，故定义域为[1，＋∞)．
又≥0得3≥30＝1，∴3＋1≥2.
∴y＝log2(3＋1)≥log22＝1.∴值域为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞) [1，＋∞)
6．已知对数函数f(x)＝log2(x＋3)－1.
(1)求此对数函数的定义域；
(2)若f(a)＞f(1)，求a的取值范围．
解：(1)由题意知x＋3＞0，即x＞－3，
∴函数的定义域为(－3，＋∞)．
(2)f(a)＝log2(a＋3)－1，f(1)＝log2(1＋3)－1＝1，
∵f(x)为增函数，
∴，即
∴a＞1.即a的取值范围是(1，＋∞)．
一、选择题
1．(重庆高考)函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析：选C 由题意得
∴故选C.
2．函数y＝log2|x|的图像大致是( )
解析：选A y＝log2|x|＝分别作图知A正确．
3．已知函数y＝log2x，其反函数y＝g(x)，则g(x－1)的图像是( )
解析：选C 由已知g(x)＝2x，∴g(x－1)＝2x－1，故选C.
4．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)等于( )
A．－log2x B．log2(－x)
C．logx2 D．－log2(－x)
解析：选D ∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝log2(－x)．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－log2(－x)．
二、填空题
5．集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝yy＝x，x＞1，则(?RA)∩B＝________.
解析：∵x＞1，∴log2x＞log21＝0，∴A＝{y|y＞0}．而当x＞1时，0＜x＜1，∴B＝y0＜y＜.
∴(?RA)∩B＝{y|y≤0}∩＝?.
答案：?
6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝________.
解析：∵y＝f(x)的图像过点(，a)，
∴其反函数y＝ax的图像过点(a，)，
∴aa＝＝，∴a＝，
∴f(x)＝.
答案：
7．若log2a＜log2b＜0，则a，b,1的大小关系是________．
解析：log2a＜log2b＜0?log2a＜log2b＜log21，
∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，∴a＜b＜1.
答案：a＜b＜1
8．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为________．
解析：∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝log22＝1.
答案：1
三、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
解：(1)要使函数有意义，需即
∴函数的定义域为(－1,2)．
(2)要使函数有意义．需即
∴定义域为(2,3)∪(3,5)．
10．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(1－x)．
(1)若函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围；
(3)判断函数F(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性．
解：(1)由题意知，3≤x≤63，∴4≤x＋1≤64，
∵函数y＝log2x是增函数，
∴log24≤log2(x＋1)≤log264，∴2≤f(x)≤6，
∴f(x)的最大值为6，最小值为2.
(2)f(x)－g(x)＞0?f(x)＞g(x)，
即log2(x＋1)＞log2(1－x)，
则得：0＜x＜1，∴x的取值范围为(0,1)．
(3)要使函数F(x)＝f(x)＋g(x)有意义，需
即－1＜x＜1，∴定义域为(－1,1)
又F(－x)＝f(－x)＋g(－x)
＝log2(1－x)＋log2(1＋x)
＝log2(1－x2)＝f(x)＋g(x)＝F(x)，
∴F(x)为偶函数．
第2课时 对数函数的图像和性质
[核心必知]
对数函数的图像和性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图 像
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
(－∞，＋∞)
过定点
恒过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
有界性
当x＞1时，y>0；
当0＜x＜1时，y<0
当x＞1时，y<0；
当0＜x＜1时，y>0
单调性
在定义域内是增函数
在定义域内是减函数
[问题思考]
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？
提示：在同一坐标系中作出对数函数y＝log2x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx的图像如图所示：
观察这些图像，可得如下规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．
(2)左右比较(比较图像与y＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
?讲一讲
1．比较大小
(1)log23.4，log28.5;
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)log67，log76;
(4)log3π，log20.8；
(5)log712，log812.
[尝试解答] (1)考察对数函数y＝log2x，
∵2＞1，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
∴log23.4＜log28.5.
(2)考察对数函数y＝log0.3x，
∵0＜0.3＜1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8＞log0.32.7.
(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，
∴log67＞log76.
(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，
∴log3π＞log20.8.
(5)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：
log7 12＞log8 12.
法二：＝＝＝log78＞1.
∵log812＞0，
∴log712＞log812.
比较对数值大小的类型及相应方法：
[注意] 当底数为字母时要分类讨论．
?练一练
1．比较下列各组中两个值的大小
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141；
解：(1)(单调性法)因为y＝ln x在(0，
＋∞)上是增函数，所以ln 0.3＜ln 2.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜0，
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
(4)(图像法)借助y＝logx及y＝logx的图像，如图，在(1，＋∞)上，y＝logx的图像在y＝logx图像的下方，
∴log3＜log3.
?讲一讲
2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；
(2)y＝|logx|.
[尝试解答] (1)函数y＝log3(x－2)的图像可看作把函数y＝log3x的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增加的；
(2)y＝|logx|＝其图像如图②.
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的．
把例2(2)变为y＝，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性．
解：y＝＝
其图像如图所示．
其定义域为{x|x≠0}，为偶函数．
在(－∞，0)为增加的，在(0，＋∞)上为减少的．
(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如y＝logax＋k，y＝loga|x|，y＝|logax＋k|等，其图像可由y＝logax的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到．
(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解．
?练一练
2．已知函数f(x)＝|log2(x＋1)|.
(1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；
(2)若方程f(x)＝k有两解，求实数k的取值范围．
解：(1)函数y＝|log2(x＋1)|的图像如图．由图像知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是[0，＋∞)．
(2)由(1)的图像知，k＞0即可．
?讲一讲
3．已知f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0，a≠1.
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．
[尝试解答] (1)要使函数f(x)－g(x)有意义，
需有解得－1＜x＜1，
所以f(x)－g(x)的定义域为(－1,1)．
(2)任取x∈(－1,1)，则－x∈(－1,1)
f(－x)－g(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－[f(x)－g(x)]，
所以f(x)－g(x)在(－1,1)上是奇函数．
(3)由f(x)－g(x)＞0得loga(1＋x)＞loga(1－x)，①
当a＞1时，则①可化为，
解得0＜x＜1；
当0＜a＜1时，由，
解得－1＜x＜0.
所以当a＞1时，x的取值范围是(0,1)，
当0＜a＜1时，x的取值范围是(－1,0)．
(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．而对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性更简捷．
(2)判断函数的单调性有两种思路，①利用定义；②利用图像．
?练一练
3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性．
解：(1)要使函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)有意义，则ax－1＞0.
当a＞1时，由ax－1＞0得ax＞1，即x＞0，
故函数的定义域为(0，＋∞)；
当0＜a＜1时，由ax－1＞0得ax＞1，即x＜0，
故函数的定义域为(－∞，0)．
(2)当a＞1时，
设0∴f(x1)－f(x2)＝＝
，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．同理可证，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上也是增函数．
设函数y＝f(x)，且log2(log2y)＝log23x＋log2(3－x)，求f(x)的值域．
[错解] 由log2(log2y)＝log23x＋log2(3－x)，
得log2y＝3x(3－x)，∴y＝23x(3－x)．
∵3x(3－x)＝－3x2＋9x＝－32＋≤，
∴函数的值域为(－∞，2]．
[错因] 产生错解的原因在于未掌握对数函数、指数函数需满足真数大于0，ax＞0(a＞0，且a≠1)．此题因在未确定定义域前求值域，从而把值域扩大了．
[正解] 由log2(log2y)＝log23x＋log2(3－x)，
得log2y＝3x(3－x)，
∴y＝23x(3－x)，且即
而－3x2＋9x＝－32＋.
∵0＜x＜3，∴0＜－3x2＋9x≤，
.
1．已知函数f(x)＝log(a＋1)x是(0，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0，＋∞)
解析：选D 由题意得a＋1>1，解得a>0.
2．函数y＝1＋log3x的图像一定经过点( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,1)
解析：选D ∵y＝log3x一定过定点(1,0)．∴y＝1＋log3x的图像一定过点(1,1)．
3．(天津高考)已知a＝21.2，b＝
－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b解析：选A a＝21.2>2，而b＝－0.8＝20.8，所以14．函数y＝的定义域是________．
解析：要使该函数有意义，需有即
∴x∈(－∞，3)∪(3,4)．
答案：(－∞，3)∪(3,4)
5．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，那么x的取值范围为________．
解析：alogb(x－3)＜1即alogb(x－3)＜a0.
∵0＜a＜1，
∴y＝ax在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴logb(x－3)＞0，
又∵0＜b＜1，
∴y＝logbx在(0，＋∞)上是减函数，
∴0＜x－3＜1，解得3＜x＜4.
答案：(3,4)
6．设函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小值．
解：(1)∵log2∴f＝2－log2＝2log2＝，
即f＝.
(2)当x∈(－∞，1]时，f(x)＝2－x＝
x≥，
即f(x)min＝.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)，
令log3x＝t，则t>0，
∴f(x)＝(t－1)(t－2)＝2－.
∵t>0，∴当t＝时，f(x)min＝－<.
∴f(x)的最小值是－.
一、选择题
1．若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A a＝log3π＞log33＝1，log71＜b＝log76＜log77，
∴0＜b＜1，c＝log20.8＜log21＝0，
∴a＞b＞c.
2．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是( )
解析：选A 依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，应选A.
3．函数y＝loga(x－3)＋2的图像恒过定点( )
A．(3,0) B．(3,2)
C．(4,0) D．(4,2)
解析：选D 令x＝4，则y＝loga(4－3)＋2＝2，
∴函数的图像恒过定点(4,2)．
4．已知函数f(x)＝若f(m)＜f(－m)，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：选C 当m＞0时，－m＜ 0，f(m)＜f(－m)?logm＜log2m?log2＜log2m?＜m，可得m＞1；
当m＜0时，－m＞0，f(m)＜f(－m)?log2(－m)＜log(－m)?log2(－m)＜log2(－)?－m＜－，
可得－1＜m＜0.
故m的取值范围是－1＜m＜0或m＞1.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是________．
解析：由题意知－1≤2logx≤1，即－1≤－2log2x≤1.
∴－≤log2x≤，
即log2≤log2x≤log2，
∴≤x≤.
答案：
6．已知f(x)＝|lg x|，则f，f，f(2)的大小关系为________．
解析：f＝lg ＝－lg 4＝lg 4，
f＝lg ＝－lg 3＝lg 3，
f(2)＝|lg 2|＝lg 2，∴f(2)＜f＜f.
答案：f(2)＜f＜f
7．方程|x|＝|logx|的根的个数为________．
解析：同一坐标系中作出y＝|x|与y＝|logx|的图像，可知有两个交点，故有两解．
答案：2
8．已知函数f(x)的图像与函数g(x)＝3x的图像关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有以下命题：
(1)h(x)的图像关于原点(0,0)对称；
(2)h(x)的图像关于y轴对称；
(3)h(x)的最小值为0；
(4)h(x)在区间(－1,0)上单调递增．
其中正确的是________．
解析：∵函数f(x)的图像与函数g(x)＝3x的图像关于直线y＝x对称，∴f(x)与g(x)互为反函数，
∴f(x)＝log3x；∴h(x)＝f(1－|x|)＝log3(1－|x|)．
由1－|x|＞0得－1＜x＜1.
∵h(x)的定义域关于原点对称，
且h(－x)＝log3(1－|－x|)＝log3(1－|x|)＝h(x)．
∴h(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，(2)正确；
又当x∈(－1,0)时，h(x)＝log3(1＋x)，
显然h(x)在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；
利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h(x)在(－1,0)上单调递增，且h(x)为偶函数，
∴h(x)在[0,1)上单调递减，
∴h(x)在(－1,1)上有最大值，h(0)＝log31＝0，无最小值，故(3)不正确．
答案：(2)(4)
三、解答题
9．(1)已知函数f(x)＝log3(3x＋1)＋ax是偶函数，求a的值；
(2)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0且a≠1)．
①求函数的定义域和值域；
②若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
解：(1)函数的定义域是R，由于f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即对任意x∈R，总有log3(3－x＋1)－ax＝log3(3x＋1)＋ax，
∴log3(3－x＋1)－log3(3x＋1)＝ax，
即(a＋1)x＝0，由于x是任意实数，∴a＝－1.
(2)①由得－3＜x＜1.
∴函数的定义域为{x|－3＜x＜1}．
f(x)＝loga(1－x)(x＋3)．
设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，
∴t≤4，又t＞0，则0＜t≤4.
当a＞1时，y≤loga4，值域为(－∞，loga4]．
当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为[loga4，＋∞)；
②由题意及①知，当0＜a＜1时，函数有最小值．
∴loga4＝－2.∴a＝.
10．设函数f(x)＝x2－x＋b，且满足f(log2a)＝b，log2[f(a)]＝2(a>0，a≠1)，求f(log2x)的最小值及对应的x值．
解：由f(log2a)＝b可得，(log2a)2－log2a＋b＝b，
∴log2a＝1或log2a＝0.∴a＝2或a＝1(舍去)．
又∵log2[f(a)]＝2，即log2(2＋b)＝2，
∴2＋b＝4，b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.
∴f(log2x)＝2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，ymin＝.
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
[核心必知]
1．三种函数的增长特点
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．
2．三种函数的增长比较
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝xn(n＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有ax＞xn＞logax.
[问题思考]
1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？
提示：结合图像知一定成立．
2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？
提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.
?讲一讲
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
[尝试解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
答案：y2
解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．
?练一练
1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；
(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
?讲一讲
2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[尝试解答] 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．
(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．
?练一练
2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q＝at2＋bt＋c.
即
解得Q＝t2－t＋.
(2)Q＝(t－150)2＋－＝(t－150)2＋100，
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.
若x2＜logmx在x∈内恒成立，求实数m的取值范围．
[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在内的上下位置关系，再构建不等式求解．
[妙解] 设y1＝x2，y2＝logmx，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m＜1.
当x＝时，y1＝，若两函数在x＝处相交，
则y2＝.由＝logm得m＝，
又x2＜logmx在x∈内恒成立，
因此，实数m的取值范围为.
1．下面对函数f(x)＝与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )
A．f(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越快
B．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越慢
C．f(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越慢
D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快
解析：选C 在同一坐标下分别作出函数y＝和y＝()x的图像，由图像知C正确．
2．下列所给函数，增长最快的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝log5x D．y＝5x
答案：D
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：选C 当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A.
4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，
由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．
答案：f(x)＞g(x)
5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，
，
∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝
答案：y＝
6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；
(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．
一、选择题
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 ( )
A．y＝10x B．y＝lg x
C．y＝x10 D．y＝10x
解析：选D 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．
2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图像为( )
解析：选D y＝f(x)＝(1＋10.4%)x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0,1,2,3,4…}，由单调性，结合图像知选D.
3．函数y＝2x－x2的图像大致是( )
解析：选A 由图像可知，y＝2x与y＝x2的交点有3个，说明函数y＝2x－x2与x轴的交点有3个，故排除B、C选项，当x2x成立，即y<0，故排除D.
4．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)＜g(x)＜f(x)
B．h(x)＜f(x)＜g(x)
C．g(x)＜h(x)＜f(x)
D．f(x)＜g(x)＜h(x)
解析：选D 在同一坐标下作出函数f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的图像，由图像知，D正确．
二、填空题
5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.
答案：y＝15(1＋x)10
6．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y＝f(x)的图像恰好经过k个格点，则称函数y＝f(x)为k阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．
①y＝x2；②y＝x－1；③y＝ex－1；④y＝log2x.
解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1,1)，(－1，－1)；而③y＝ex－1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故③符合．
答案：③
7．若a＝x，b＝x3，c＝，则当x＞1时，a，b，c的大小关系是________．
解析：∵x＞1，∴a＝x∈(0,1)，b＝x3∈(1，＋∞)，
c＝∈(－∞，0)．∴c＜a＜b.
答案：c＜a＜b
8．已知a＞0，a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＞1时，作出函数y1＝x2，y2＝ax的图像：
要使x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，只要当x＝－1时，有(－1)2－a－1≤，解得a≤2，∴1＜a≤2.
当0＜a＜1时，同理，只需12－a1≤，即a≥.
∴≤a＜1.
综上所述，a的取值范围是∪(1,2]．
答案：∪(1,2]
三、解答题
9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？
解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，
第一天得到1分，
第二天得到2分，
第三天得到4分，
第四天得到8分，
第20天得到219分，
……
第31天得到230分，
使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈2 147.48(万元)．
所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．
10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当x∈(20,1000)时，y＞5，因此该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,
1 000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有＝≤0.25成立．
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,
1 000]．
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像(如图)，
由图像可知它是单调递减的，因此
f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，log7x＋1＜0.25x.
所以，当x∈[10,1000]时，＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．
1.指数与指数函数
(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．
(2)指数函数的底数a＞0且a≠1，这是隐含条件．
(3)指数函数y＝ax的单调性，与底数a有关．当底数a与1的大小不确定时，一般需分类讨论．
(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
(5)函数y＝ax与函数y＝x的图像关于y轴对称．
(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质．
2．对数与对数函数
(1)指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键．
(2)在使用运算性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝logab，logab＝在解题中的灵活运用．
(4)对数函数y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称．
(5)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，其图像关于直线y＝x对称．
(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．
(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．
[典例1] 化简：
(1)÷×；
(2)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3；
(3).
[解] (1)原式＝××ab＝×a×ab＝a.
(2)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋
(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(3)原式＝＝
＝＝1.
[借题发挥] 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
[对点训练]
1．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－＝________.
解析：由已知得：x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
∴－＝－＝－
＝(lg 2.5－lg 0.25)＝lg ＝lg 10＝.
答案：
2．已知logax＝4，logay＝5，试求A＝的值．
解：logaA＝
＝
＝＝0.
∴A＝1.
[典例2]
(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图像如右图所示，则a，b满足的关系是 ( )
A．0＜a－1＜b＜1
B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1
D．0＜a－1＜b－1＜1
(2)已知函数y＝ax2－3x＋3，当x∈[1,3]时有最小值，求a的值．
[解] (1)由图像，知该函数为增函数．
∴a＞1.又当x＝0时，－1＜f(0)＜0，
即－1＜logab＜0，即loga＜logab＜loga1.
∴＜b＜1.结合a＞1，知0＜a－1＜b＜1.
(2)令t＝x2－3x＋3＝2＋，
当x∈[1,3]时，t∈，
①若a＞1，则ymin＝a＝，
解得a＝，与a＞1矛盾．
②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝，解得a＝，满足题意．
综合①，②知a＝.
[答案] (1)A
[借题发挥] 指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图像与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论．
[对点训练]
3．函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
解析：选D 由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1；
函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.
4．函数f(x)＝的图像和函数g(x)＝log2x的图像的交点个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B 作出函数f(x)与g(x)的图像(图略)，由图像可知：两函数图像的交点有3个．
5.
定义在[－1,1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时的解析式f(x)＝－(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．
解：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．
∴f(－x)＝－＝4x－a·2x.
∵函数f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝4x－a·2x，x∈[0,1]．
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－a·2x，
令t＝2x，则t∈[1,2]．∴g(t)＝t2－at＝2－.
当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；
当1＜≤，即2＜a≤3时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；
当＜≤2，即3＜a≤4时，g(t)max＝g(1)＝1－a；
当＞2，即a＞4时，g(t)max＝g(1)＝1－a.
综上知，当a≤3时，f(x)的最大值是4－2a；
当a＞3时，f(x)的最大值是1－a.
[典例3] 比较下列各组数的大小．
(1)log3与log5；
(2)log1.10.7与log1.20.7；
(3)已知，比较2b,2a,2c的大小关系．
[解] (1)∵log3＜log31＝0，而log5＞log51＝0，
∴log3＜log5.
(2)∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2，
∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，
∴＜，
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
(3)∵y＝为减函数，且
∴b＞a＞c，而y＝2x是增函数，
∴2b＞2a＞2c.
[借题发挥]
比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等．其中第(2)小题可以运用图像法解．
提示：作出函数y＝log1.1x与y＝log1.2x的图像，如图所示，两图像与x＝0.7相交，可知log1.10.7＜log1.20.7.
[对点训练]
6．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序为( )
A．0.76＜log0.76＜60.7
B．0.76＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜0.76
D．log0.76＜0.76＜60.7
解析：选D ∵0＜0.7＜1,6＞1，∴log0.76＜0，而0＜0.76＜1,60.7＞1，故log0.76＜0.76＜60.7.
7．若x∈(1,10)，则(lg x)2，lg x2，lg(lg x)的大小顺序是 ( )
A．(lg x)2＜lg x2＜lg(lg x)
B．lg(lg x)＜lg x2＜(lg x)2
C．lg x2＜lg(lg x)＜(lg x)2
D．lg(lg x)＜(lg x)2＜lg x2
解析：选D ∵x∈(1,10)，∴不妨令x＝，
则lg(lg x)＝lg(lg )＜0，(lg x)2＝(lg )2＝，
lg x2＝lg()2＝1，
∴lg(lg x)＜(lg x)2＜lg x2.
[典例4] 已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增加的；
(2)若关于x的方程log2(2x－1)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
[解] (1)证明：任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝＝
∵x1＜x2，
∴f(x1)＜f(x2)，
即函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增加的．
(2)法一：∵m＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2＝log2.
当1≤x≤2时，≤≤，
∴≤1－≤.
∴m的取值范围是.
法二：解方程log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)，
得x＝log2，
∵1≤x≤2，
∴1≤log2≤2，
解得log2≤m≤log2.
∴m的取值范围是.
[借题发挥] 若本例中函数不变，如何解不等式f(4x)＞f？
[对点训练]
8．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A ∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.
9．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数，求k的值．
解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx.
∴2kx＝log4(4－x＋1)－log4(4x＋1)
＝log4
＝log4
＝log4＝－x.
∴2k＝－1.
∴k＝－.
（时间：90分钟 满分120分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.
已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)的图像如右图所示，函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则函数y＝g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x
B．g(x)＝
C．g(x)＝x
D．g(x)＝log2x
解析：选C 由点(2，－1)在y＝logax的图像上，
得loga2＝－1，∴a＝.
∴f(x)＝，从而g(x)＝x.
2.log612－log6等于( )
A．6 B．12 C. D．3
解析：选C 原式＝log6－log6＝log6＝.
3．若集合A＝，则?RA＝( )
A．(－∞，0]∪
B.
C．(－∞，0]∪
D.
4．(重庆高考)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝bc
C．ab>c
解析：选B a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝
log23>1，c＝log32c.
5．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：选D a＝log54＜1，log53＜log54＜1，
b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.
6．函数f(x)＝lg的图像关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C f(x)＝lg ，则f(x)的定义域为(－1,1)，
又∵f(－x)＝lg ＝lg ＝
－lg ＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴该函数的图像关于原点对称．
7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
解析：选A 由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2.∴logm10＝2.
∴m2＝10，∵m>0，∴m＝.
8．函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
解析：选D 函数y＝ax2＋bx的两个零点是0，－.
对于A、B，由抛物线的图像知，－∈(0,1)，
∴∈(0,1)．
∴函数y＝log||x不是增函数，错误；
对于C，由抛物线的图像知a＜0且－＜－1，
∴b＜0且＞1.
∴＞1.
∴函数y＝log||x应为增函数，错误；
对于D，由抛物线的图像知a＞0，－∈(－1,0)，
∴||∈(0,1)．满足y＝log||x为减函数．
9．设函数f(x)＝若f(x0)＞1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
解析：选C 当x0≥2时，∵f(x0)＞1，
∴log2(x0－1)＞1，即x0＞3；
当x0＜2时，由f(x0)＞1得x0－1＞1，
x0＞－1，∴x0＜－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
10．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C 由题意知，函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个平面直角坐标系的图像(如图实线部分为f(x)的图像)
可知A(4,6)为函数f(x)图像的最高点，
∴f(x)max＝6.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．计算÷＝________.
解析：原式＝÷10－1＝－2×10＝－20.
答案：－20
12．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，
即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，
化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.
因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.
答案：－1
13．方程x＝|log3x|的解的个数是________．
解析：如图，画出函数y＝x与y＝|log3x|的图像，两图像的交点个数为2.
答案：2
14．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)＞0的解集是________．
解析：∵f(x)是偶函数，
∴f＝f＝0，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上是减函数，
∴f(log4x)＞0?log4x＞或log4x＜－，
∴x＞2或0＜x＜.
答案：∪(2，＋∞)
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)
(1)解方程：lg(x＋1)＋lg(x－2)＝lg 4；
(2)求不等式21－2x＞的解集．
解：(1)原方程可化为lg(x＋1)(x－2)＝
lg 4，
∴(x＋1)(x－2)＝4，解得x＝－2或3，
又?x＞2,
∴方程的根为3.
(2)原不等式可变为：21－2x＞2－3，
又y＝2x为R上的增函数，
∴1－2x＞－3，解得：x＜2.
所以解集为{x|x＜2}．
16．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
解：(1)当t∈[0,1]时，函数的解析式为y＝kt，
将M(1,4)代入得k＝4，∴y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝()t－a，
将点(3,1)代入得a＝3.
∴y＝t－3.
综上有y＝f(t)＝
(2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝个小时．
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小值．
解：(1)∵log2＜log22＝1，
∴f(＝2－log2＝2log2＝，
即f＝.
(2)当x∈(－∞，1]时，f(x)＝2－x＝
x≥，
即f(x)min＝.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)，
令log3x＝t，则t＞0，
∴y＝(t－1)(t－2)＝2－.
∵t＞0，∴当t＝时，ymin＝－＜.
∴f(x)的最小值是－.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x≤0时，f(x)＝0；
当x>0时，f(x)＝2x－，
由条件可知2x－＝2，即22x－2×2x－1＝0.
解得2x＝1＋或2x＝1－(舍去)．
∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0. 即m(22t－1)≥－(24t－1)，
∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，
－5]．
故m的取值范围是[－5，＋∞)
