第三章 概率
互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．
在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．
[典例1] 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(C′)＋P(A′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－[P(B′)＋P(D′)]＝1－0.64＝0.36.
[对点训练]
1．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋
＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．
对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．
[典例2] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；
(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5 坐到5号座位的概率.
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
解：(1)余下两种坐法如下表所示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(2)若乘客P1 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐．
则所有可能的坐法可用下表表示为：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是，所有可能的坐法共8种．
设“乘客P5 坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4.
所以P(A)＝＝.
乘客P5 坐到5号座位的概率是.
[对点训练]
2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．
[典例3] 已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．
解：(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，
故所求的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S(Ω)＝16.
构成事件B的区域面积为：S(B)＝×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝＝.
[对点训练]
3．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
解：记事件A＝“硬币落下后与格线无公共点”，则硬币圆心落在如图所示的小三角形内，小三角形的边长为2.
∴P(A)＝＝＝.
统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
[典例4] (2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.
(2)由频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.
[对点训练]
4．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～179 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；
(2)甲班的平均身高＝
＝170(cm)．
甲班的样本方差s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．
(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，
∴P(A)＝＝.
即身高为176 cm的同学被抽中的概率为.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( )
A．随机事件的概率总在[0,1]内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．以上均不对
解析：选C 随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.
2．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.
3．甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧有2个基本事件，故乙正好坐中间的概率为＝.
4．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个均互斥 D．任何两个均不互斥
解析：选B 因为事件B是表示“三件产品全是次品”，事件C是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.
5．(2016·郑州高一检测)函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0，使得f(x0)≤0的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选A 由f(x0)≤0，即x－x0－2≤0，得－1≤x0≤2，其区间长度为3，由x∈
[－5,5]，区间长度为10，所以所求概率为P＝.
6．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由几何概型的概率公式可知P＝＝.
7．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选B 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝＝.故选B.
8．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：选D 豆子落在正方形EFGH内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH的边长是，则正方形EFGH的面积是2，又圆的面积是π，所以P(A)＝.
9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2 有零点的概率为( )
A. B．1－
C. D.－1
解析：选B 要使函数有零点，则Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，a2＋b2≥π2，又－π≤a≤π，－π≤b≤π，所以基本事件的范围是2π·2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为＝1－.故选B.
10．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选C 设被污损的数字是x，则x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90，乙＝[83＋83＋87＋(90＋x)＋99]＝，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A，则此时有90＞，解得x＜8，则事件A包含x＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P(A)＝＝.
11．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于( )
A. B. C. D.
解析：选B 由古典概型的概率公式得P(A)＝，P(B)＝＝.
又事件A与B为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
12．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选C 由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，
而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件，即如图所示的阴影部分的面积，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是＝，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2016·青岛高一检测)一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．
解析：记“任取一球为白球”为事件A，“任取一球为黑球”为事件B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
14．如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．
解析：设正方形的边长为1，则正方形的面积S＝1，扇形的面积S1＝××12＝，根据几何概型公式得，点P落在扇形外且在正方形内的概率为＝1－.
答案：1－
15．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠?的概率为1，则a的取值范围是________．
解析：依题意知，直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1恒有公共点，故≤1，解得－≤a≤.
答案：[－，]
16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．
解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：
(1)甲被选中的概率；
(2)丁没被选中的概率．
解：(1)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}6个基本事件，甲被选中的事件有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}共3个，若记甲被选中为事件A，则P(A)＝＝.
(2)记丁被选中为事件B，则P()＝1－P(B)＝1－＝.
18．(12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是.
(1)求n的值；
(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．
解：(1)由题意可得＝，解得n＝2.
(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a，c1)，(a，c2)，
所以总得分为2分的概率为＝.
19．(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．
因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足m＋2≤n的事件的概率为P1＝，
故满足n20．(12分)已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0,2]，y∈[－1,1]}．
(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；
(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．
解：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0,2]，即x＝0,1,2；y∈[－1,1]，即y＝－1,0,1.
则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.
(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，
∵x∈[0,2]，y∈[－1,1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
∴P(B)＝
＝
＝＝，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.
21．(12分)(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解：(1)融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．
所以所求的概率P＝.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为
4．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.
22．(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
模块综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等 D．无法确定
答案：C
2．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选B 根据几何概型可知，在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的坐标就是13．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
解析：选B E1 与E3，E1 与E4 均为互斥而不对立的事件．
4．有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每日吸烟量和其身体健康情况；
④正方形的边长和面积；
⑤汽车的重量和百公里耗油量．
其中两个变量成正相关的是( )
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
解析：选C ①为负相关；③也为负相关；④中的边长和面积的关系为函数关系；只有②、⑤中的两个变量成正相关．
5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
(0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为( )
A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64
解析：选C 由表知(10,40]上的频数为52，故样本数据在(10,40]上的频率为＝0.52.
6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
解析：选A 数据从小到大排列后可得其中位数为＝91.5，
平均数为＝91.5.
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )
A．120 B．720
C．1 440 D．5 040
解析：选B 执行程序输出1×2×3×4×5×6＝720.
8．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 如图所示，
由几何概型概率公式，得
P＝＝＝.
9．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选B 从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是＝.
10．三个数390,455,546的最大公约数是( )
A．65 B．91 C．26 D．13
解析：选D 用辗转相除法．∵546＝390×1＋156,390＝156×2＋78,156＝78×2，∴546与390的最大公约数为78.又∵455＝78×5＋65,78＝65＋13,65＝13×5，∴455与78的最大公约数为13，故390,455,546的最大公约数为13.
11．在如图所示的程序框图中，如果输入的n＝5，那么输出的i等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选C 由框图知当n＝5时，将3n＋1＝16赋给n，此时i＝1；进入下一步有n＝8，i＝2；再进入下一步有n＝4，i＝3；以此类推有n＝1，i＝5，此时输出i＝5.
12．下图是把二进制的数 11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )
A．i>5? B．i≤5? C．i>4? D．i≤4?
解析：选D 根据程序框图，要使得输出的结果是1＋1×2＋1×22＋1×23＋1×24，那么判断框内的条件必须是“i≤4？”.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
解析：丙组中应抽取的城市数为：8×＝2.
答案：2
14．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．
①第一步：x＝23，
第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，
第三步：输出y；
②第一步：x＝23，
第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，
第三步：输出y；
③算6次乘法，3次加法；
④算3次乘法，3次加法．
以上描述正确的序号为________．
解析：利用秦九韶算法，y＝((7x＋3)x－5)x＋11，算3次乘法，3次加法，故②④正确．
答案：②④
15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.
解析：按照程序框图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；
S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；
S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S，输出T＝30.
答案：30
16．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________．
解析：显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－2＝0，∵l与⊙C相交于A、B两点，∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)>0，∴k2<3，∴－又当弦长|AB|≥2时，∵圆半径r＝，∴圆心到直线的距离d≤，即≤，
∴k2≤1，∴－1≤k≤1.
由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交弦长|AB|≥2”的概率P(M)＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.由题意知，事件A1，A2，A3，A4 彼此互斥．
(1)取出1球为红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：
法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
18．(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．
解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.
则作出如图所示的区域．
区域D(正方形)的面积S1＝242，区域d(阴影)的面积S2＝242－182.
∴P＝＝＝.
即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为.
19．(12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示．
(1)计算样本的平均成绩及方差；
(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．
解：(1)这10名同学的成绩是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98，则平均数＝80.
方差s2＝[(98－80)2＋(97－80)2＋(93－80)2＋(86－80)2＋(84－80)2＋(75－80)2＋(73－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝174.4.
即样本的平均成绩是80分，方差是174.4.
(2)设A表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有：
(98,84)，(98,86)，(98,93)，(98,97)，(97,84)，(97,86)，(97,93)，(93,84)，(93,86)，(86,84)，共10种．
而事件A含有4个基本事件：(98,93)，(97,93)，(93,84)，(93,86)．
所以所求概率为P＝＝.
20．(12分)某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．其中落在[80,90)内的频数为36.
(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；
(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩；
(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．
解： (1)第四组的频率为：
1－0.05－0.075－0.225－0.35＝0.3，
∴a＝＝0.03，n＝＝120.
(2)第一组应抽：0.05×40＝2(名)，
第五组应抽：0.075×40＝3(名)．
(3)设第一组抽取的2个分数记作A1、A2，第五组的3个分数记作B1、B2、B3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3 共10种，其中平均分不低于70分的有9种，
所求概率为：P＝.
21．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(h)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
解：(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54.
代入公式得＝0.7，＝1.05，∴＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)．
∴预测加工10个零件需要8.05 h.
22．(12分)某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
①
0.350
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185)
10
0.100
合计
100
1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．
解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，
频率分布直方图如图所示，
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6＝3人，
第4组：×6＝2人，
第5组：×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从这六位同学中抽取两位同学有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，
其中第4组的2位同学B1，B2 中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为＝.
第1课时 随机事件的概率
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P108～P112，回答下列问题．
(1)客观世界中，有些事件的发生是偶然的，有些事件的发生是必然的，有些事件可能发生也可能不发生，若把这些事件分类，可分为哪几类？
提示：根据这些事件可能发生与否，可将事件分为必然事件、不可能事件、随机事件．
(2)教材所做的抛掷一枚硬币的试验中，每个同学所得试验结果是否一致？
提示：不一致，因为正面朝上这个事件是随机事件，可能发生也可能不发生．
(3)事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A的概率P(A)是不是不变的？它们之间有什么区别与联系？
提示：频率是变化的，而概率是不变的，频率因试验的不同而不同，概率则不然，概率是频率的稳定值，是不随着频率的变化而变化的．
2．归纳总结，核心必记
(1)事件的概念与分类
事件
(2)频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(3)概率
①含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
②与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
[问题思考]
(1)事件的分类是确定的吗？
提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．
(2)频率和概率可以相等吗？
提示：可以相等．但因为每次实验的频率是多少是不固定，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
(3)频率与概率有什么区别与联系？
提示：
频率
概率
区别
频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的
概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，
频率会越来越接近概率
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)事件的分类： ；
(2)概率的含义： ；
(3)概率与频率的联系： .
观察下列几幅图片：
事件一：常温下石头在一天内能被风化．
事件二：木柴燃烧产生热量．
事件三：射击运动员射击一次中十环．
[思考] 以上三个事件一定发生吗？
名师指津：事件一在常温下不可能发生，是不可能事件；事件二一定发生，是必然事件；事件三可能发生，也可能不发生，是随机事件．
?讲一讲
1．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)掷一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
[尝试解答] 由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
判断事件类型的步骤
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
?练一练
1．(2016·西南师大附中检测)下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 在所给条件下，①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件.
小明抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．
[思考1] 你能计算出正面朝上的频率吗？
提示：正面朝上的频率为0.48.
[思考2] 抛掷一枚硬币一次出现正面朝上的概率是多少？
提示：正面朝上的概率为0.5.
[思考3] 随机事件的频率与概率之间有什么关系？
名师指津：辨析频率与概率：
(1)频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率可能会不同．比如，全班每个人都做了10次抛掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的．
(2)概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．比如，如果一枚硬币是质地均匀的，则抛掷硬币一次出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关．
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率，在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值．
?讲一讲
2．某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
120
81
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率．(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
[尝试解答] (1)计算得各次击中飞碟的频率依次约为0.810,0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.
(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
利用频率估计概率的步骤
(1)依次计算各个频率值；
(2)观察各个频率值的稳定值即为概率的估计值，有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值．
?练一练
2．国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率．
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
解：(1)如下表
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
?讲一讲
3．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
[思路点拨] 根据日常生活的经验按一定的顺序逐个列出全部结果．
[尝试解答] (1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.
因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
列举试验所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件；
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树形图、列表等方法解决．
?练一练
3．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑) 6种．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解概率的含义，了解频率与概率的区别与联系，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，难点是能列出一些简单试验的所有可能结果．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)会判断事件的类型，见讲1.
(2)掌握利用频率估计概率的步骤，见讲2.
(3)会列举试验所有结果的方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)混淆频率与概率概念，如讲2.
(2)列举试验结果时易出现重复或遗漏，如讲3.
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 事件的分类
1．下列事件中，是随机事件的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a＋1为整数；
③发射一颗炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然事件，其余3个为随机事件．
2．从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( )
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
解析：选D 任意抽取3件的可能情况是：3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3 种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，即必然事件应该是“至少有1个是正品”．
3．在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
③没有水分，种子发芽；
④某电话总机在60秒内接到15次传呼；
⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；
⑥同性电荷，相互排斥．
解：由实数运算性质知①恒成立，是必然事件；⑥由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，①⑥是必然事件．没有水分，种子不会发芽；标准大气压下，水的温度达到50 ℃时不沸腾，③⑤是不可能事件．从1～6中取一张可能取出4，也可能取不到4；电话总机在60秒内可能接到15次传呼也可能不是15次．②④是随机事件．
题组2 随机事件的频率与概率
4．(2016·洛阳检测)下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C 由概率与频率的有关概念知，C正确．
5．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②作7次抛掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是＝；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．
6．从存放号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
取到号码为奇数的频率为________．
解析：取到奇数号码的次数为58，故取到号码为奇数的频率为＝0.58.
答案：0.58
7．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数nA
2 883
4 970
6 994
8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？
解：(1)男婴出生的频率依次约为：0.520 0,0.517 3，0.517 3，0.517 3.
(2)各个频率均稳定在常数0.517 3上．
8．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
43
80分～89分
182
70分～79分
260
60分～69分
90
50分～59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以下．
解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.
修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上，
60分～69分，60分以下的频率分别为：
≈0.067，≈0.140，≈0.109.
∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况：
(1)“得90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067.
(2)“得60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140.
(3)得“60分以下”记为事件C，则P(C)＝0.109.
题组3 试验结果分析
9．从含有两个正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有可能结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A对应的结果．
解：(1)试验所有结果：a1，a2；a1，b1；a2，b1；a2，a1；b1，a1；b1，a2.共6种．
(2)事件A对应的结果为：a1，b1；a2，b1；b1，a1；b1，a2.
10．指出下列试验的结果：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
解：(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：1－3＝－2,3－1＝2,1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9,3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7,6－10＝－4,10－6＝4.
即试验的结果为：－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4，4.
[能力提升综合练]
1．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224.4副
C．不少于225副 D．不多于225副
解析：选C 根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副，选C.
2．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
解析：选B 事件A＝{正面朝上}的概率为，因为试验的次数较少，所以事件的频率为，与概率值相差太大，并不接近．故选B.
3．(2016·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：选D 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
4．“连续掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有( )
A．6种 B．12种
C．24种 D．36种
解析：选D 试验的全部结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种．
5．(2016·济南检测)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率约是，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．
答案：白球
6．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54]
2
合计
100
(1)请作出频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
解：(1)频率分布表如下表.
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
0.04
[1.34,1.38)
25
0.25
[1.38,1.42)
30
0.30
[1.42,1.46)
29
0.29
[1.46,1.50)
10
0.10
[1.50,1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示．
(2)纤度落在[1.38,1.50)中的频数是30＋29＋10＝69，
则纤度落在[1.38,1.50)中的频率是＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率为0.69.
纤度小于1.40的频数是4＋25＋×30＝44，
则纤度小于1.40的频率是＝0.44，
所以估计纤度小于1.40的概率是0.44.
第2课时 概率的意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P113～P118，回答下列问题．
(1)教材P113思考中抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，是不是可以说连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上呢？
提示：不一定．
(2)乒乓球比赛前，裁判怎样确定发球权？
提示：裁判员用一个抽签器决定发球权，这样做体现了公平性．
(3)如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子质地均匀吗？为什么？
提示：这枚骰子很可能质地不均匀，也就是靠近6点的那面比较重，才更有可能出现10个1点．
(4)某气象局预报说昨天本地降水概率为90%，结果连一滴雨都没下，这是不是说天气预报不准确？
提示：概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率．由于在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说天气预报是错误的．
2．归纳总结，核心必记
(1)对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．
(2)实际问题中几个实例
①游戏的公平性
(ⅰ)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
(ⅱ)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
②决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
③天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，其指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
④试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．
⑤遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
[问题思考]
(1)随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗？
提示：不能，只能反映事件A发生的可能性的大小．
(2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
提示：随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)对概率的理解： ；
(2)游戏公平性的理解： .
“双色球有中出两注500万头奖”，听到这个消息总让人心里痒痒的，想必谁都做过中500万的梦吧！
[思考1] 买一张彩票一定中奖吗？
提示：不一定．
[思考2] 若中奖率为1%，是不是只要买100张彩票就中奖一次？
名师指津：不一定，可能中奖，也可能不中奖．
[思考3] 怎样理解概率？
名师指津：(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
?讲一讲
1．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
[尝试解答] 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
(1)随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：随着试验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．
(2)概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
?练一练
1．有以下一些说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛掷硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是________．
解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错；
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；
③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误；
④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故④的说法正确．
答案：①②③
?讲一讲
2．某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[尝试解答] 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
和
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
?练一练
2．现共有两个相同的卡通玩具，展展、宁宁、凯凯三个小朋友都想要．他们采取了这样的办法分配玩具，拿一个飞镖射向如图所示的圆盘，若射中区域的数字为1,2,3，则玩具给展展和宁宁，若射中区域的数字为4,5,6，则玩具给宁宁和凯凯，若射中区域的数字为7,8，则玩具给展展和凯凯．试问这个游戏规则公平吗？
解：由题知，若射中1,2,3,7,8这5个数字，展展可得到玩具，所以展展得到玩具的概率是；同理宁宁得到玩具的概率是＝；凯凯得到玩具的概率是.三个小朋友得到玩具的概率不相同，所以这个游戏规则不公平．
?讲一讲
3．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如 2 000 尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．
[思路点拨] 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，利用样本的频率近似估计总体的概率．
[尝试解答] 设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝.①
第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，P(A)≈.②
由①②两式，得≈，解得n≈25 000.
所以，估计水库中有鱼25 000尾．
(1)求概率：先利用频率等方法求出事件的概率．如本讲中先求出带记号的鱼的概率．
(2)估计值：利用概率的稳定性，根据频率公式估计数值．如本讲中计算总体的数目，即求水库中鱼的尾数．
?练一练
3．山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2 500套座椅中大约有多少套次品？
解：设有n套次品，由概率的统计定义可知＝，
解得n＝125.
所以该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是通过实例，进一步了解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例，难点是应用概率的意义解释生活中的实际问题．
2．本节课要掌握以下几方面的规律方法
(1)理解概率的意义，见讲1；
(2)游戏的公平性的标准及判断方法，见讲2；
(3)利用概率思想正确处理和解释实际问题，见讲3.
3．本节课的易错点
(1)对概率的理解有误致错，如讲1；
(2)列举基本事件时易漏或重，如讲2.
课下能力提升(十六)
[学业水平达标练]
题组1 对概率的理解
1．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：选D 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
2．某市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指( )
A．明天该地区约90%的地方会降水，其余地方不降水
B．明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水
C．气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
解析：选D 降水概率为90%，指降水的可能性为90%，并不是指降水时间，降水地区或认为会降水的专家占90%.
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率大于
C．出现“6点朝上”的概率等于
D．无法预测“6点朝上”的概率
解析：选C 随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．
4．在某餐厅内抽取100人，其中有30人在15岁及15岁以下，35人在16岁至25岁之间，25人在26岁至45岁之间，10人在46岁及46岁以上，则从此餐厅内随机抽取1人，此人年龄在16岁至25岁之间的概率约为________．
解析：16岁至25岁之间的人数为35，频率为0.35，故从此餐厅内随机抽取一人，此人年龄在16岁至25岁之间的概率约为0.35.
答案：0.35
5．解释下列概率的含义：
(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；
(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；
(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是.
解：(1)生产1 000件电子产品大约有997件是合格的．
(2)购买10次商品，每次购买额都满200元，抽奖中奖的可能性为0.6.
(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)一个婴儿将是女孩的可能性是.
题组2 游戏的公平性
6．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则________．(填“公平”或“不公平”)
解析：当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜．所以不公平．
答案：不公平
7．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
解：体育彩票中标有36个号码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．
题组3 概率的应用
8．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类．在我国的云南及周边各省都有分布．春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了9 000只小蜜蜂和1 000只黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1 000只小蜜蜂和9 000只黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理( )
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．以上都对
解析：选B 从放蜂人甲放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，而从放蜂人乙放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，所以，现在捕获的这只小蜜蜂是放蜂人乙放养的可能性较大．故选B.
[能力提升综合练]
1．(2016·台州高一检测)每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3个题选择结果正确”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B 解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的．经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确．
2．(2016·广州高一检测)某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都未治愈，则第5个病人的治愈率为( )
A．1 B.
C．0 D.
解析：选D 因为第5个病人治愈与否，与其他四人无任何关系，故治愈率仍为.
3．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时掷两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解析：选B 对于A、C、D甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．
4．(2016·佛山高一检测)先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大( )
A．至少一枚硬币正面朝上
B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币都是正面朝上
D．两枚硬币一枚正面朝上，另一枚反面朝上
解析：选A 抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面朝上包括三种情况，其概率最大．
5．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.
解析：两枚硬币落地共有四种结果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．
答案：公平
6．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示.
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则≈0.95，所以n≈1 000.
答案：1 000
7．设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？
(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？
解：父、母的基因分别为rd、rd，则这孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr，rd，rd，dd，共4种，故具有dd基因的可能性为，具有rr基因的可能性也为，具有rd的基因的可能性为.
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是.
(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为.
8．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)．
解：(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以，这次考试的及格率约为75%.
(2)成绩在[70,100]的人数是36.
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，
选到第一名学生的概率P＝.
第3课时 概率的基本性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P119～P121，回答下列问题．
在掷骰子试验中，定义如下事件：
C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现点数不大于1}；D2＝{出现点数不大于3}；D3＝{出现点数不大于5}；E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．
(1)事件C1 与事件H间有什么关系？
提示：事件H包含事件C1.
(2)事件C1 与事件D1 间有什么关系？
提示：事件C1_与事件D1_相等．
(3)事件C1 与事件C2 的并事件是什么？
提示：事件C1∪C2_表示出现1点或2点，即C1∪C2＝{出现1点或2点}．
(4)事件D2 与G 及事件C2 间有什么关系？
提示：D2∩G＝C2.
(5)事件C1 与事件C2 间有什么关系？
提示：这两个事件为互斥事件．
(6)事件E与事件F间有什么关系？
提示：这两个事件为对立事件．
2．归纳总结，核心必记
(1)事件的关系
①包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作B?A(或A?B)．不可能事件记作?，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若B?A，且A?B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.
(2)事件的运算
①并事件：若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C＝A∪B(或C＝A＋B)．
②交事件：若某事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝A∩B(或C＝AB)．
(3)概率的性质
①范围：任何事件的概率P(A)∈[0,1]．
②必然事件的概率：必然事件的概率P(A)＝1.
③不可能事件的概率：不可能事件的概率P(A)＝0.
④概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
⑤对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
[问题思考]
(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示：A?B.
(2)在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
提示：不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才一定成立．
(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．
提示：事件A与事件B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1.当出现2点时，事件A与事件B同时发生，所以事件A与事件B不互斥，显然也不对立．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)事件的关系： ；
(2)事件的运算： ；
(3)概率的性质： ；
(4)互斥、对立事件的概率： .
在五一劳动节小长假中，某商场举办抽奖促销活动，根据顾客购物金额多少共设10个奖项，规定每人仅限抽奖一次．
[思考1] 某位顾客抽奖一次能否同时抽到一等奖和二等奖？
提示：不能同时抽到．
[思考2] 抽到的各奖次间是互斥事件还是对立事件？
提示：是互斥事件而不是对立事件．
[思考3] 怎样认识互斥事件和对立事件？
名师指津：1.互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
?讲一讲
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
[尝试解答] 判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(1)判断事件是否互斥的两步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(2)判断事件对立的两步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
?练一练
1．一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则( )
A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件
C．B与D是互斥事件 D．以上都不对
解析：选A 由互斥事件、对立事件的定义可判断A正确．故选A.
对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}．
[思考1] 若事件A发生，则事件D发生吗？它们是什么关系？
提示：若事件A发生则事件D一定发生，它们是包含关系．
[思考2] 事件B和事件D能同时发生吗？
提示：不能同时发生．
[思考3] 事件D与事件A，C间有什么关系？
名师指津：A∪C＝D，即“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中．
?讲一讲
2．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果．
[尝试解答] 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}．
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．?
练一练
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，三个均为红球，故C∩A＝A.
?讲一讲
3．一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环，7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数小于8环的概率．
[思路点拨] 先判断所求事件与已知事件的关系，然后选择公式求解．
[尝试解答] 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，
则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
(1)运用概率加法公式解题的步骤
①确定诸事件彼此互斥；
②先求诸事件分别发生的概率，再求其和．
(2)求复杂事件的概率通常有两种方法
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；
二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
?练一练
3．(2016·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解事件间的包含关系和相等关系，理解互斥事件和对立事件的概念及关系，难点是了解并利用两个互斥事件的概率加法公式解题．
2．本节课要掌握以下几方面的规律方法
(1)判断两事件互斥、对立的两个步骤，见讲1.
(2)事件间运算的方法，见讲2.
(3)用概率加法公式解题的步骤及求复杂事件概率的两种方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)混淆互斥、对立事件概念致错，如讲1；
(2)分不清事件间的关系而错用公式导致解题失误，如讲3.
课下能力提升(十七)
[学业水平达标练]
题组1 互斥事件与对立事件
1．(2016·大同高一检测)给出以下结论：①互斥事件一定对立．②对立事件一定互斥．
③互斥事件不一定对立．④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选C 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．
2．从1,2，…，9中任取两数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
解析：选C 从1,2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．故选C.
3．掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．
答案：A，B A，B
题组2 事件的运算
4．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A?B B．A?B
C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件
解析：选C 由互斥事件的定义可知C正确．
5．(2016·台州高一检测)掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A?B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
解析：选C 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
题组3 用互斥、对立事件求概率
6．若A、B是互斥事件，则( )
A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1
解析：选D ∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B对立时，P(A∪B)＝1)．
7．某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
解析：选A 此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5.故选A.
8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285
解析：选A 由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵甲厂产品占70%，甲厂产品的合格率是95%，∴从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是0.7×0.95＝0.665，故选A.
9．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．
解：记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
10．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．
解：记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．
(1)小明成绩在80分以上的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明及格的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明不及格的概率为0.07，则小明及格的概率为1－0.07＝0.93.
[能力提升综合练]
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
解析：选C 该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件但不是对立事件．
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30% C．10% D．50%
解析：选D 设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A、C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.
3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选C 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.
4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
解析：选D 由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
5．(2016·合肥高一检测)为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为________．
解析：设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A∪B，而A，B互斥，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
答案：0.79
6．同时掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________．
解析：记既不出现5点也不出现6点的事件为A，则P(A)＝，5点或6点至少有一个的事件为B.
因A∩B＝?，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故5点或6点至少有一个出现的概率为.
答案：
7．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D，则有
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.
第2节 古典概型
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P125～P130，回答下列问题．
教材中的两个试验：(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验；
(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验．
(1)试验(1)中的基本事件是什么？试验(2)中的基本事件又是什么？
提示：试验(1)的基本事件有：“正面朝上”、“反面朝上”；试验(2)的基本事件有：“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”．
(2)基本事件有什么特点？
提示：①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(3)古典概型的概率计算公式是什么？
提示：P(A)＝.
2．归纳总结，核心必记
(1)基本事件
①定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
②特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)古典概型
①定义：如果一个概率模型满足：
(ⅰ)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(ⅱ)每个基本事件出现的可能性相等．
那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
②计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为P(A)＝.
[问题思考]
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．
(2)掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足特点(ⅱ)．
(3)“在区间[0, 10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
提示：不是，因为在区间[0,_10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)基本事件的定义： ；
(2)基本事件的特点： ；
(3)古典概型的定义： ；
(4)古典概型的计算公式： .
掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面朝上．
[思考1] 这个试验共有哪几种结果？基本事件总数有多少？ 事件A＝{恰有一次正面朝上}包含哪些试验结果？
名师指津：共有正正、正反、反正、反反四种结果．基本事件有4个．事件A包含的结果有：正反、反正．
[思考2] 基本事件有什么特点？
名师指津：基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．
?讲一讲
1．先后抛掷3枚均匀的壹分，贰分，伍分硬币．
(1)求试验的基本事件数；
(2)求出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件数．
[尝试解答] (1)因为抛掷壹分，贰分，伍分硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种．可列表为：
硬币种类
试验结果(共8种)
壹分
正面
正面
正面
正面
反面
反面
反面
反面
贰分
正面
反面
正面
反面
正面
反面
正面
反面
伍分
正面
反面
反面
正面
正面
反面
反面
正面
所以试验基本事件数为8.
(2)从(1)中表格知，出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．所以“2枚正面，1枚反面”的基本事件数为3.
基本事件的两个探求方法
(1)列表法：将基本事件用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．
?练一练
1．从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解：所求的基本事件共有6个：
即A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，
E＝{b，d}，F＝{c，d}．
观察图形，思考下列问题
[思考1] 某射击运动员随机地向一靶心进行射击，试验的结果有：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)，你认为这是古典概型吗？
名师指津：试验的所有结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．
[思考2] 若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？
名师指津：若一个试验是古典概型，需具备以下两点：
(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．
(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．
?讲一讲
2．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[尝试解答] (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
(1)古典概型求法步骤
①确定等可能基本事件总数n；
②确定所求事件包含基本事件数m；
③P(A)＝.
(2)使用古典概型概率公式应注意
①首先确定是否为古典概型；
②所求事件是什么，包含的基本事件有哪些．
?练一练
2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：
(1)基本事件总数；
(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？
(3)摸出2个黑球的概率是多少？
解：由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个基本事件．
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．
(3)基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m＝3，故P＝.
?讲一讲
3．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有不同的结果；
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
(3)求至少摸出1个黑球的概率．
[思路点拨] (1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．
[尝试解答] (1)用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，
所以P(A)＝＝0.6，
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，
则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，
所以P(B)＝＝0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
利用事件间的关系求概率
在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)＝1－P()(为A的对立事件)求得．
?练一练
3．先后掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．
故P(C)＝＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)基本事件的两种探求方法，见讲1.
(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点，见讲2.
(3)利用事件的关系结合古典概型求概率，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)列举基本事件时易漏掉或重复，如讲1；
(2)判断一个事件是否是古典概型易出错．
课下能力提升(十八)
[学业水平达标练]
题组1 基本事件的列举问题
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选D 事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．故选D.
2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
①写出这个试验的基本事件；
②求出这个试验的基本事件的总数；
③写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件．
解：①这个试验的基本事件为(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)．
②基本事件的总数为6.
③“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件：(2,0)，(2,1)．
题组2 简单古典概型的计算
3．下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④ C．①④ D．③④
解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
4．下列试验中，属于古典概型的是( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C 依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．
5．设a是掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根则a2－8＞0，满足上述条件的a为3,4,5,6，故P＝＝.
6．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为.
7．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
解：设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．
∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝.
题组3 较复杂的古典概型的计算
8．某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解：(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个；
而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，
所以所求概率为.
[能力提升综合练]
1．下列是古典概型的是( )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
解析：选C A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会是无限个，故D不是．
2．(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
解析：选B 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种结果，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种结果，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝{恰有一件次品}，则P(A)＝＝0.6，故选B.
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.
4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选D 分类讨论法求解．
个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个符合条件的两位数．
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.
5．(2016·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
答案：
6．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc,2名都是女同学的选法为：ab，ac，bc，故所求的概率为＝.
答案：
7．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
8．(2014·山东高考)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
第3节 几何概型
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．
(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？
提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．
(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？
提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．
2．归纳总结，核心必记
(1)几何概型的定义与特点
①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．
(2)几何概型中事件A的概率的计算公式
P(A)＝.
[问题思考]
(1)几何概型有何特点？
提示：几何概型的特点有：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型与几何概型有何区别？
提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)几何概型的定义： ；
(2)几何概型的特点： ；
(3)几何概型的计算公式： .
某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻．
往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．
[思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？
提示：无限多个．
[思考2] 古典概型和几何概型的异同是什么？
名师指津：古典概型和几何概型的异同
如表所示：
名称
古典概型
几何概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
不同点
①基本事件有限个
①基本事件无限个
②P(A)＝0?A为不可能事件
②P(A)＝0A为不可能事件
③P(B)＝1?B为必然事件
③P(B)＝1B为必然事件
?讲一讲
1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
[尝试解答] 如图所示．
记“剪得两段绳长都不小于2 m”为事件A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，
所以事件A发生的概率P(A)＝.
求解与长度有关的几何概型的关键点
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．
?练一练
1．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选B 如图，
7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.
?讲一讲
2．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B. C. D.
[尝试解答] 由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝＝，故选B.
答案：B
解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；
(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
?练一练
2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－ B.－1 C．2－ D.
解析：选A 由几何概型知所求的概率P＝＝＝1－.
?讲一讲
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[尝试解答] 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－.
答案：1－
如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．
?练一练
3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．
∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，
∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1.
(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2.
(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3.
3．本节课的易错点：
不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.
课下能力提升(十九)
[学业水平达标练]
题组1 与长度有关的几何概型
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.
2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.
3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2答案：3
4．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
题组2 与面积、体积有关的几何概型
5.在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．
解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.
因此芝麻落入圆内的概率为P＝＝，大约有1 000×≈785(粒)．
答案：785
6．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9 病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9 病毒的概率是________．
解析：水的体积为πR3＝×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝.
答案：
7．(2015·西安质检)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是________．
解析：设正方体的棱长为a，则所求概率
P＝
＝＝.
答案：
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．
解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.
答案：3
9．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm2，故所求概率是.
[能力提升综合练]
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：选A 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：选A 利用几何概型的概率公式，得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.
3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选C 因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.
4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题可知，设E，F是CD上的四等分点，则P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋2＝a2，即b2＝a2，故＝.
5．(2016·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
答案：
6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．
一只苍蝇在几何体ADF-BCE内自由飞行，求它飞入几何体F-AMCD内的概率．
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.
因为VF-AMCD＝S四边形AMCD×DF＝×(a＋a)·a·a＝a3，
VADF-BCE＝a2·a＝a3，
所以苍蝇飞入几何体F-AMCD内的概率为＝.
7．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．
解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设xCD，BC＋CD>AB，CD＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，
符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．
同样地，当y利用几何概型可知，所求的概率为＝.
