2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．
(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？
提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．
(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
提示：用有向线段．
(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？
提示：长度相等且方向相同．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量的概念
数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)有向线段
带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．
(3)向量的表示方法
①向量可以用有向线段表示．向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作||．
②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母，，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.
(4)几种特殊的向量
①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.
②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．
③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．
④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作a∥b；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．
[问题思考]
(1)两个向量能比较大小吗？
提示：不能．因为向量是具有方向的量．
(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？
提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．
(3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？
提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．
[课前反思]
(1)向量的概念：
；
(2)有向线段：
；
(3)向量的表示方法：
；
(4)零向量：
；
(5)单位向量：
；
(6)相等向量：
；
(7)平行向量(共线向量)：
．
?讲一讲
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
②若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
[尝试解答] ①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．
②正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
③不正确．依据规定：0与任一向量平行．
④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
答案：②⑤
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
?练一练
1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
解析：(1)错误，单位向量也可以平行；
(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；
(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．
答案：(1)(2)(3)
?讲一讲
2．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
②，使||＝4，点B在点A正东；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[尝试解答] (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
答案：(1)12
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．
必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
?练一练
2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量；
(2)求||.
解：(1)向量如图所示．
(2)由题意，易知方向相反，故共线．
所以在四边形ABCD中，AB綊CD，
所以四边形ABCD为平行四边形，
[思考1] 两个向量相等的条件是什么？
提示：方向相同，模相等．
[思考2] 两个向量共线的条件是什么？
名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．
?讲一讲
3．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
[尝试解答] (1)依据图形可知方向相同，方向相反，所以与向量共线的向量为
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．?练一练
3．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
解析：向量相等?向量方向相同且模相等．
向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．
2．要重点掌握向量的三个问题
(1)向量有关概念的辨析，见讲1；
(2)向量的表示，见讲2；
(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.
3．本节课要注意两个区别
(1)向量与数量
①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．
②数量可以比较大小，向量不能比较大小．
(2)向量与有向线段
①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．
②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 向量的有关概念
1．有下列物理量：
①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.
2．给出下列四个命题：①时间、速度、距离都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：选D 时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．
3．下列说法中，不正确的是( )
A．零向量没有方向
B．零向量只与零向量相等
C．零向量的模为0
D．零向量与任何向量都共线
解析：选A 零向量的方向是任意的．
题组2 向量的表示
4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( )
A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米
C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米
解析：选B 记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．
5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是( )
解析：选B 方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．
6．在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)| |＝3，点A在点O的正西方向；
(2)| |＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝
题组3 相等向量与共线向量
7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即
8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有( )
A．2个 B．3个 C．6个 D．9个
解析：选D 与向量共线的向量有共9个．
9．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线，
又∵m与，都共线，∴m＝0.
答案：0
10．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中，
(1)分别写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与模相等的向量．
[能力提升综合练]
1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量
相等的向量是( )
解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
2．设四边形ABCD中，有则这个四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：选C 则DC∥AB，且DC与AB不相等，所以四边形ABCD是梯形，又则梯形的两腰相等．
3．如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．
5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：③
6．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________．
解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，
设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.
在Rt△ABO中，易得||＝，
则||＝2||＝2.
答案：2
7．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在?ABCD中，一定有
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是________．
解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
对于③，在?ABCD中，平行且方向相同，所以，故③正确；
对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；
对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．
答案：③④
8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，
∴||的最大值为，最小值为.
2.2 平面向量的线性运算
第1课时 向量加法运算及其几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？
提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．
(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：
①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？
提示：产生的效果相同．
②力F与力F1、F2有怎样的关系？
提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．
(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？
提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)向量加法的运算法则
向
量
求
和
的法则
三角形法则
已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[问题思考]
(1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．
(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？
提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．
(3)式子＝0正确吗？
[课前反思]
(1)向量加法的定义：
；
(2)求向量和的三角形法则：
；
(3)求向量和的平行四边形法则：
；
(4)向量加法的交换律：
；
(5)向量加法的结合律：
．
[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？
提示：三角形法则和平行四边形法则．
[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？
名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示， (平行四边形法则)，
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.
?讲一讲
1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
[尝试解答] (1)如图?所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.
(2)如图?，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作?OACB，连接OC，则＝a＋b.
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
?练一练
1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.
解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．
作＝a＋b＋c.
[思考] 向量加法有哪些运算律？
名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
?讲一讲
2．化简下列各式：
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
?练一练
2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：
?讲一讲
3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是
依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
?练一练
3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.
∠CAD＝60°，
即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 km处．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．
2．要掌握向量加法的三个问题
(1)求作向量的和，见讲1；
(2)向量加法运算，见讲2；
(3)向量加法的应用，见讲3.
3．求作向量时应注意以下两点
(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．
课下能力提升(十四)
[学业水平达标练]
题组1 求作向量的和
如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.
解：在平面内任取一点O，
2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.
解：如图
所示：在平面内任取一点O，作
题组2 向量加法运算
4．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a
A．2 B．4
C．12 D．6
6．根据图示填空．
解析：由三角形法则知
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为________．
解析：|a＋b＋c|＝＝＝2.
答案：2
8．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：
解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以
题组3 向量加法的应用
9．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8 km，∠BAC＝45°.
答案：8 km 北偏东45°
10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．
解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度．
在Rt△OAC中，||＝4，||＝，
∴∠AOC＝30°.
故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向与垂直方向成30°角向东.
[能力提升综合练]
1．设a＝，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析：选C a＝＝0，
∴①③⑤是正确的．
2．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，
3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＝( )
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．PP在△ABC的外部
解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．
答案：
6．若P为△ABC的外心，且，则∠ACB＝________．
解析：∵，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
因此∠ACB＝120°.
答案：120°
7．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝＝0，cos∠DAB＝.求
又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠ DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形．
8．已知船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作出图形，如图．
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，
四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．
第2课时 向量减法运算及其几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．
(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？
提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.
(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？
提示：a＋(－a)＝0.
(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b吗？
提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．
2．归纳总结，核心必记
(1)相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．
①规定：零向量的相反向量仍是零向量；
②－(－a)＝a；
③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
(2)向量的减法
①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
[问题思考]
(1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？
提示：①长度相等；②方向相反．
(2)相反向量与相反数一样吗？
提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．
(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？
提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．
[课前反思]
(1)相反向量的定义：
；
(2)向量减法的定义：
；
(3)向量减法的几何意义：
．
?讲一讲
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和；
②起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
?练一练
1．化简下列各式：
[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?
名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．
[思考2] a－b的几何意义是什么？
名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
?讲一讲
2．(1)四边形ABCD中，若 ( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[尝试解答] (1) ＝a＋c－b.
(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
答案：(1)A
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
?练一练
2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；
(2)a－b－c.
如图所示．
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，
如图，作?OBEC，连接OE，
连接AE，则＝a－(b＋c)
＝a－b－c.
?讲一讲
3．如图，解答下列各题：
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键
一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)三点注意
①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；
②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；
③注意在封闭图形中利用多边形法则．
?练一练
—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．
2．要掌握向量减法的三个问题
(1)向量的减法运算，见讲1；
(2)向量减法及其几何意义，见讲2；
(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.
3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 向量的减法运算
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.
3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )
A．①② B．①③
C．①③④ D．②③
题组2 向量减法及其几何意义
4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
解析：选B 由减法法则知B正确．
A．[3，8] B．(3，8)
C．[3，13] D．(3，13)
6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )
7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．
题组3 利用已知向量表示未知向量
8．如图，向量，则向量可以表示为( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
解析：选C ＝b－a＋c.故选C.
9．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.
10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
解析：＝b－c.
答案：b－c
11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量
[能力提升综合练]
1．有下列不等式或等式：
①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；
②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；
③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；
④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．
2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．8 B．4 C．2 D．1
4．平面上有三点A，B，C，设若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．
答案：
6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．
解析：将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.
又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.
答案：0
7．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
又四边形ODHC为平行四边形，
8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．
解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．
证明如下：
∵，
∴，∴，∴AB綊DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
第3课时 向量数乘运算及其几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P87～P90的内容，回答下列问题．
(1)已知非零向量a，根据向量的加法，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你认为它们与a有什么关系？
提示：a＋a＋a＝3a的长度是a长度的3倍，且方向相同；(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a的长度是a长度的3倍，且方向相反．
(2)λa与a(λ≠0，a≠0)的方向、长度之间有什么关系？
提示：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，且λa的长度是a长度的|λ|倍．
(3)若a＝λb，则a与b共线吗？
提示：共线．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．
(2)向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
(3)共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
(4)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
[问题思考]
(1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？
提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．
(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？
提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．
(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？
提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．
[课前反思]
(1)向量数乘的概念：
；
(2)向量数乘的运算律：
；
(3)共线向量定理：
；
(4)向量的线性运算：
．
[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？
名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
?讲一讲
1．化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[尝试解答] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
?练一练
1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j＝－i－5j.
?讲一讲
2.已知在?ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若，试用e1，e2表示
[尝试解答] ∵M，N分别是DC，BC的中点，∴MN綊BD.
用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．
?练一练
2.如图所示，四边形OADB是以向量OA―→＝a，OB―→＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示
[思考1] 如何证明向量a与b共线？
名师指津：要证向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可．
[思考2] 如何证明A，B，C三点在同一条直线上？
名师指津：
?讲一讲
3．(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
?练一练
3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，
∴M，A，N三点共线．
—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．
2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题
(1)向量的线性运算，见讲1；
(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；
(3)共线向量定理及应用，见讲3.
3．本节课的易错点
当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．
4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法．
(2)方程法．
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
5．注意以下结论的运用
(1)以AB，AD为邻边作?ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.
课下能力提升(十六)
[学业水平达标练]
题组1 向量的线性运算
1.等于( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：选B 原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a.
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
题组2 用已知向量表示未知向量
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
＝－p＋q.
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且则t的值为( )
A. B. C. D.
5．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________．(用a，b表示)
＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．
答案：(b－a)
6．如图所示，已知?ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示
－2×②＋①得x－2x＝e1－2e2，
解得x＝(2e2－e1)，
即＝(2e2－e1)＝e2－e1，
同理得y＝(－2e1＋e2)，
即＝－e1＋e2.
题组3 共线向量定理的应用
7．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的有( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A 对于①，a＝－b；对于②，a＝－b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．
8．已知向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A ＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线．
9．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．
解析：由题设知＝，
所以3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或.
答案：－2或
10．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝b.
(1)用a，b分别表示向量
(2)求证：B，E，F三点共线．
[能力提升综合练]
2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中
A．①② B．①③
C．② D．③④
解析：选A 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．
解析：选B 如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，设BC∩MD＝E，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE是△ABC的中线，同理可证BM，CM也在△ABC的中线上，即M是△ABC的重心．以AB、AC为邻边作平行四边形ABFC，依据向量加法的平行四边形法则可得
4．如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )
A．①② B．①②④
C．①②③ D．③④
到λx＋(1－x)λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，＋＞＋＝1，＋＝＜1，＋＝＜1，故选A.
答案：
6．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．
又＝e1＋λe2，
且A，B，D三点共线，
所以存在实数μ，
即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，
又e1，e2不共线，
所以则λ＝－.
答案：－
7．如图，已知在平行四边形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，设＝a，＝b，试用a，b分别表示
解：∵ABCD是平行四边形，
BF＝MC＝BC，
∴FM＝BC－BF－MC＝BC.
∴FM＝BC＝AD＝AH.
∴FM綊AH.
∴四边形AHMF也是平行四边形．
8．已知O，A，M，B为平面上四点， (λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第1课时 平面向量基本定理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？
提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．
(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？
提示：存在．
(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？
提示：两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.
2．归纳总结，核心必记
(1)平面向量基本定理
条件
e1、e2是同一平面内的两个不共线向量．
结论
这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
基底
不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)向量的夹角
条件
两个非零向量a和b
产生
过程
作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量
a与b的夹角
续表
范围
[0，π]
特殊
情况
θ＝0°
a与b同向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b
θ＝180°
a与b反向
[问题思考]
(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？
提示：不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．
(2)平面向量的基底是唯一的吗？
提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．
(3)如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
[课前反思]
(1)平面向量基本定理：
；
(2)基底：
；
(3)基向量：
；
(4)向量的夹角：
．
?讲一讲
1.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若试用a，b表示
[尝试解答] 如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
?练一练
1．如图所示，已知在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若，试用a，b为基底表示向量
解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
?讲一讲
2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
两个向量夹角的实质及求解的关键
(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．
(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．
?练一练
2．如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量的夹角．
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
(2)∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴的夹角为90°.
?讲一讲
3．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
(1)平面向量基本定理唯一性的应用
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
(2)重要结论
设e1，e2是平面内一组基底，
?练一练
3．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.
所以λ－μ＝b，
即b＋c＝b.
又因为b与c不共线，所以
解得故即AP∶PM＝4∶1.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．
2．本节课要重点掌握以下三个问题
(1)用基底表示向量，见讲1；
(2)求向量的夹角，见讲2；
(3)用平面向量基本定理解决相关问题，见讲3.
3．本节课的易错点有两处
(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和.
(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角如练2.
课下能力提升(十七)
[学业水平达标练]
题组1 用基底表示向量
1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1，e1＋e2 B．e1－2e2，e2－2e1
C．e1－2e2，4e2－2e1 D．e1＋e2，e1－e2
解析：选C 因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，从而e1－2e2与4e2－2e1共线．
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．试以a，b为基底表示向量
题组2 向量的夹角问题
4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选A 平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.
5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，如图所示．
在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
在Rt△OCD中，
即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
题组3 平面向量基本定理的应用
7．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4
解析：选D ∵向量e1与e2不共线，
∴解得
8．在?ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若,其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为________．
答案：
9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．
解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)
＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
∵e1与e2不共线，
∴∴
∴e1＋e2＝a－b.
答案：a－b
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
[能力提升综合练]
1．以下说法中正确的是( )
A．若a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb
B．设e1和e2为一组基底，a＝λ1e1＋λ2e2，若a＝0，则λ1＝λ2＝0
C．λa的长度为λ|a|
D．如果两个向量的方向恰好相反，则这两个向量是相反向量
解析：选B A错，a≠0，b＝0时，λ不存在．
C错，λ＜0时不成立．
D错，相反向量的模相等，故选B.
2．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于( )
A．a－b B．2(b－a)
C．2(a－b) D．b－a
3. 已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于________．
解析：向量a，b不能作为基底，则向量a，b共线，可设a＝λb，则则k＝1.
答案：1
4．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若则λ＋μ＝________．
解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°， AH⊥BC，
所以BH＝1，BH＝BC.
因为点M为AH的中点，
即λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝.
答案：
5．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设∠PAB＝θ，向量 (λ，μ∈R)，若μ－λ＝1，则θ＝________．
所以－λ＋μsin θ＝1，μsin θ＝1＋λ＝μ，
所以sin θ＝1，θ＝90°.
答案：90°
6．如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，
(1)试以b，d为基底表示；
(2)试以m，n为基底表示.
7.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.
解得所以AE―→＝a＋b.
第2课时 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
平面向量共线的坐标表示
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．
(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？
提示：唯一．
(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？
提示：相同．
(3)如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？
提示：一一对应．
(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？
提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出的坐标吗？
提示：能．＝(x2－x1，y2－y1)．
2．归纳总结，核心必记
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．
(3)向量i，j，0的坐标表示
i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．
(4)平面向量的坐标运算
文字
符号
加
法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减
法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数
乘
向
量
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
重
要
结
论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标
已知向量AB―→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1)
(5)平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线
[问题思考]
(1)在平面直角坐标系中，若a＝b，那么a与b的坐标具有什么特点？为什么？
提示：若a＝b，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同．
(2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？
提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x，0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
(3)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？
提示：区别：①表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
②意义不同，点A(x，y)的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．
联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同．
(4)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示为＝吗？
提示：不一定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x2y2≠0时才能这样表示．
(5)如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
提示：将b写成λa的形式，根据λ的符号判断，如a＝(－1，2)，b＝＝－(－1，2)＝－a，故a，b反向．
[课前反思]
(1)平面向量的正交分解：
；
(2)平面向量的坐标表示：
；
(3)平面向量的坐标运算：
；
(4)平面向量共线的坐标表示：
．
?讲一讲
1．如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和的坐标．
[尝试解答] 由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，∴B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
求点和向量坐标的常用方法
(1)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
?练一练
1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，
y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2) ＝(2，6)－(，－1)＝(，7).
?讲一讲
2．(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标；
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且，，求M，N及的坐标．
[尝试解答] (1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，
3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，
2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)
＝(－2，4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
(1)平面向量坐标运算的方法
①若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解．
②若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解．
(2)坐标形式下向量相等的条件及其应用
①条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．
②应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．
?练一练
2．已知a＝，B点坐标为(1，0)，b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，
∴3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝.
又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，∴?
即A点坐标为(8，－10)．
?讲一讲
3．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A. B.
C．1 D．2
(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A、B、C三点共线．
[尝试解答] (1)法一：a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.
法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以＝，即λ＝.
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即解得k＝－2或k＝11.
∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
即k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．
答案：(1)A
(1)向量共线的判定方法
①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
②利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
(2)三点共线的实质与证明步骤
①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(ⅰ)证明向量平行；(ⅱ)证明两个向量有公共点．
?练一练
3．(1)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？
(2)已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．
①求实数x的值，使向量 共线；
②当向量共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解：(1)∵a＝(1，2)，b＝(－3，2)，
∴ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．
由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算、平面向量共线的坐标表示．
2．本节课要重点掌握以下三个问题
(1)向量的坐标表示，见讲1；
(2)向量的坐标运算，见讲2；
(3)向量共线的坐标表示，见讲3.
3．要正确理解向量平行的条件
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b?a1b2－a2b1＝0，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．
(3)a∥b?＝，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)且b1≠0，b2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
课下能力提升(十八)
[学业水平达标练]
题组1 向量的坐标表示
1．已知＝(－2，4)，则下面说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2，4)
B．B点的坐标是(－2，4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)
解析：选D 由任一向量的坐标的定义可知：当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4)．
( )
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(2，3) D．(－2，－3)
3．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则
解析：∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，
＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．
答案：(－4，9)
题组2 平面向量的坐标运算
4．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝( )
A．(6，3) B．(7，3)
C．(2，1) D．(7，2)
解析：选B ∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，
∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3，5)－(－4，2)＝(7，3)．
5．若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则( )
A．x＝1，y＝3 B．x＝3，y＝1
C．x＝1，y＝－5 D．x＝5，y＝－1
解析：选B 由题意，知解得
6．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设 (λ∈R)，则λ＝________．
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，
所以(－2，0)＝λ(－3，0)，
故λ＝.
答案：
∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，
(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)．
则有
解得
∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，
因此＝(－2，－4)．
题组3 向量共线的坐标表示
8．已知A(2，－1)，B(3，1)，则与AB―→平行且方向相反的向量a是( )
A．(2，1) B．(－6，－3)
C．(－1，2) D．(－4，－8)
解析：选D ＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．
9．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________．
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
所以(x1＋1，y1)＝，故E；
所以(x2－3，y2＋1)＝，
故F.
所以＝.
又因为4×－×(－1)＝0，
11．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)
＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2)
＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)．
∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝，n＝.
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
[能力提升综合练]
1．已知A(7，1)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且，则实数a等于( )
A．2 B．1 C. D.
解析：选A 设C(x0，y0)，则y0＝ax0，
∴＝，＝，
∵，∴∴
2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2，6) B．(－2，6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析：选D ∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．
3．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析：选D ∵a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，
－1)，显然c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
4．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
解析：选A 由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－.
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直线P1P2上，且.则P点的坐标为________．
∴(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，
∴即
故P点坐标为.
∴(x－2，y＋1)＝－(－1－x，3－y)，
∴即
故P点坐标为(8，－9)．
综上可得，P点坐标为或(8，－9)．
答案：或(8，－9)
7．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由．
解：由题可知＝(1，2)，＝(3，3)，
＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．
(1)若P在x轴上，
则有2＋3t＝0，t＝－；
若P在y轴上，则有1＋3t＝0，
t＝－；
若P在第二象限，则有解得－＜t＜－.
(2) ＝(－1－3t，－2－3t)＋(4，5)＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP是平行四边形，则有
即方程组显然无解．
∴四边形OABP不可能是平行四边形．
8．如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)， AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
∴x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②，解得x＝，y＝2，
故点M的坐标为.
2.4 平面向量的基数量积
第1课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．
观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：
(1)如何计算力F所做的功？
提示：W＝|F||s|cos_θ.
(2)力F在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos_θ.
(3)力做功的大小与哪些量有关？
提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量的数量积的定义
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义
数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)
记法
a·b＝|a||b|cos_θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
(2)向量的数量积的几何意义
①投影的概念：
(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ．
(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ．
②数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．
(3)向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
①a⊥b?a·b＝0．
②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
③a·a＝|a|2或|a|＝＝.
④cos θ＝.
⑤|a·b|≤|a||b|.
(4)向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[问题思考]
(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．
向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．
(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？
提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.
②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．
(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？
提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．
(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？
提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，
∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.
(5)a·b中的“·”能省略不写吗？
提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．
(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．
[课前反思]
(1)向量数量积的定义： ；
(2)向量数量积的几何意义： ；
(3)向量数量积的性质：
；
(4)向量数量积的运算律：
.
[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？
名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．
[思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？
名师指津：求平面向量数量积的步骤为：
(1)求a与b的夹角θ ，θ∈[0，π]；
(2)求|a|和|b|；
(3)代入公式求a·b的值．
?讲一讲
1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
(2)设正三角形ABC的边长为，求a·b＋b·c＋c·a.
[尝试解答] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
?练一练
1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：
[思考] 如何求向量的模|a|?
提示：|a|＝．
?讲一讲
2．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________．
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________．
[尝试解答] (1)因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝＝
＝＝.
(2)因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
答案：(1) (2)
向量模的常见求法
在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝＝.
?练一练
2．(1)已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为，则|a|＝________；
(2)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________．
解析：(1)由于c＝a－b，所以c2＝|a|2＋|b|2－2×|a||b|×，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)．
(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝
答案：(1)2 (2)
[思考1] 如何求a与b的夹角θ？
名师指津：利用cos_θ＝求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.
[思考2] 两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？
名师指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0.
?讲一讲
3．(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[尝试解答] (1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.
(2)由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：(1)
求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
?练一练
3．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．
2．要掌握与数量积相关的三个问题
(1)数量积的计算，见讲1；
(2)向量的模的计算，见讲2；
(3)向量的夹角及垂直问题，见讲3.
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
课下能力提升(十九)
[学业水平达标练]
题组1 向量数量积的运算
1．下列命题：
(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；
(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A. B．3 C．2 D.
解析：选A ∵|a|cos〈a，b〉＝，|b|＝3，
∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.
A. B. C．－ D．－
题组2 向量的模
5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
解析：选A 由已知得，a2＋a·b－2b2＝－32，∴|a|2＋|a|×4×cos－2×42＝－32.
解得|a|＝2或|a|＝0(舍)．
6．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．
解析：|5a－b|＝＝
＝
＝ ＝7.
答案：7
7．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________．
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.
故cos 120°＝＝
＝＝－，得＝，即＝.
答案：
题组3 两向量的夹角与垂直问题
8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选C 因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，故θ＝120°.
9．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：选B 由c⊥d得c·d＝0，即(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，即2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，所以2k＋(3k－8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k＝6.故选B.
10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为
60°，则k＝________．
解析：∵|ka＋b|＝|a－kb|，
∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)．
∴k2＋1＋k＝3(1＋k2－k)．即k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
答案：1
11．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.
(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.
[能力提升综合练]
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( )
A. B．3 C．4 D．5
解析：选A 由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝，而向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝3×＝.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：选A ∵|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝10，
即a2＋b2＋2a·b＝10.①
∵|a－b|＝，∴(a－b)2＝6，
即a2＋b2－2a·b＝6.②
由①②可得a·b＝1，故选A.
A．2 B. C. D.
解析：画出图形知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
＝0＋4×5×＋5×3×＝－25.
答案：－25
5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1，
所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.
答案：
6．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝|a|2.
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.设a与a＋b的夹角为θ.
则cos θ＝＝＝.
∴θ＝30°.
7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P106～P107的内容，回答下列问题．
已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？
提示：|a|＝＝；
|b|＝＝.
(3)能用a，b的坐标表示a·b吗？
提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
2．归纳总结，核心必记
(1)平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
(2)两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
(3)三个重要公式
①向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB―→|＝．
③向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ .
[问题思考]
(1)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝ ±＝±，其中正号，负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
∴与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正，负号表示不同的方向．
(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB|＝吗？
[课前反思]
(1)平面向量数量积的坐标表示：
；
(2)两个向量垂直的坐标表示：
；
(3)向量模的公式：
；
(4)向量的夹角公式：
．
?讲一讲
1．(1)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)，若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
(2)法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，
b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，
∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.
②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，
∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
法二：①2a·(b－a)
＝2a·b－2a2
＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)
＝14.
②(a＋2b)·c
＝a·c＋2b·c
＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)
＝23.
答案：(1)5
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
?练一练
1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)，
所以a＝λb＝(λ，2λ)．
又a·b＝10，
所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.
因为λ＝2符合a与b同向的条件，
所以a＝(2，4)．
(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，
所以(b·c)·a＝0·a＝0.
[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？
名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
?讲一讲
2．(1)若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．
(2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[尝试解答] (1)∵a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，∴a－b＝(2x－1，3－x)－(1－x，2x－1)＝(3x－2，4－3x)，∴|a－b|＝
＝＝.
∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.
(2)①∵a＝AB―→＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝或.
答案：(1)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
?练一练
2．已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
解：法一：设c＝(x，y)，则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，得
解得或
所以c＝或c＝.
法二：由于a·b＝×1＋(－1)×＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝，即其长度为正方形对角线长度(|b|＝2)的一半，故c＝(a＋b)＝或c＝－(a＋b)＝.
[思考] 当a与b是非坐标形式时，如何求a与b的夹角？如果a与b是坐标形式时，又如何求a与b的夹角？
名师指津：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系．
(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝求解．
?讲一讲
3．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[尝试解答] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
设m、n的夹角为θ，
则cos θ＝
＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m、n的夹角为.
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
?练一练
3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．
(1)a与b的夹角为90°.
(2)a与b的夹角为锐角．
解：(1)设a与b的夹角为θ.
|a|＝＝，|b|＝，
a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a与b不同向．
因此1＋2λ>0，所以λ>－.
又a与b共线且同向时，λ＝2.
所以a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题．
2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用
(1)求平面向量的数量积，见讲1；
(2)解决向量模的问题，见讲2；
(3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3.
3．本节课的易错点
解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况，如练3.
课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选D a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.
2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )
A. B.
C. D．(1，0)
解析：选B 法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，
则a·b＝x＋y＝.
由，
解得即b＝.故选B.
法二：利用排除法．D中，y＝0，
∴D不符合题意；C中，向量不是单位向量，
∴C不符合题意；A中，向量使得a·b＝2，
∴A不符合题意．故选B.
题组2 向量模的问题
4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2 C．8 D．8
解析：选D 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，
所以|c|＝＝8.
5．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
解析：a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.
答案：
6．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A(2，0)，B(1，h)．设P(0，y)(0≤y≤h)，则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，
∴||＝≥＝5.
故||的最小值为5.
答案：5
题组3 向量的夹角与垂直问题
7．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
由(c＋a)∥b，
得－3(1＋m)＝2(2＋n)，
又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，
故m＝－，n＝－.
9．以原点O和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．
解：设点B坐标为(x，y)，
则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．
∵⊥，
∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x2＋y2－5x－2y＝0.
又∵||＝||，
∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，
即10x＋4y＝29.
由
解得或
∴点B的坐标为或.
＝或.
10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，
∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得
解得或
故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，
整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
[能力提升综合练]
A. B．－
C．4 D．－4
解得m＝4.
2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C 设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP―→·BP―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．
3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，
则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，
所以
解得
故b＝(－5，12)，
所以cos〈a，b〉＝＝.
4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，
∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，
∴|a－b|＝.
答案：
5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
解析：依题意设B(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，
即cos θ＋sin θ＝0，
解得θ＝，
所以＝.
答案：
6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
解析：因为a与b的夹角为锐角，
所以0<<1，
即0<<1，
解得λ<－或0<λ<或λ>.
答案：∪∪
7．已知O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝或λ＝.
∴存在M(2，1)或M满足题意．
第1课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．
观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：
(1)如何计算力F所做的功？
提示：W＝|F||s|cos_θ.
(2)力F在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos_θ.
(3)力做功的大小与哪些量有关？
提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量的数量积的定义
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义
数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)
记法
a·b＝|a||b|cos_θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
(2)向量的数量积的几何意义
①投影的概念：
(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ．
(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ．
②数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．
(3)向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
①a⊥b?a·b＝0．
②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
③a·a＝|a|2或|a|＝＝.
④cos θ＝.
⑤|a·b|≤|a||b|.
(4)向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[问题思考]
(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．
向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．
(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？
提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.
②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．
(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？
提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．
(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？
提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，
∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.
(5)a·b中的“·”能省略不写吗？
提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．
(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．
[课前反思]
(1)向量数量积的定义： ；
(2)向量数量积的几何意义： ；
(3)向量数量积的性质：
；
(4)向量数量积的运算律：
.
[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？
名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．
[思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？
名师指津：求平面向量数量积的步骤为：
(1)求a与b的夹角θ ，θ∈[0，π]；
(2)求|a|和|b|；
(3)代入公式求a·b的值．
?讲一讲
1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
(2)设正三角形ABC的边长为，求a·b＋b·c＋c·a.
[尝试解答] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
?练一练
1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：
[思考] 如何求向量的模|a|?
提示：|a|＝．
?讲一讲
2．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________．
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________．
[尝试解答] (1)因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝＝
＝＝.
(2)因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
答案：(1) (2)
向量模的常见求法
在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝＝.
?练一练
2．(1)已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为，则|a|＝________；
(2)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________．
解析：(1)由于c＝a－b，所以c2＝|a|2＋|b|2－2×|a||b|×，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)．
(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝
答案：(1)2 (2)
[思考1] 如何求a与b的夹角θ？
名师指津：利用cos_θ＝求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.
[思考2] 两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？
名师指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0.
?讲一讲
3．(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[尝试解答] (1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.
(2)由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：(1)
求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
?练一练
3．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．
2．要掌握与数量积相关的三个问题
(1)数量积的计算，见讲1；
(2)向量的模的计算，见讲2；
(3)向量的夹角及垂直问题，见讲3.
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
课下能力提升(十九)
[学业水平达标练]
题组1 向量数量积的运算
1．下列命题：
(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；
(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A. B．3 C．2 D.
解析：选A ∵|a|cos〈a，b〉＝，|b|＝3，
∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.
A. B. C．－ D．－
题组2 向量的模
5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
解析：选A 由已知得，a2＋a·b－2b2＝－32，∴|a|2＋|a|×4×cos－2×42＝－32.
解得|a|＝2或|a|＝0(舍)．
6．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．
解析：|5a－b|＝＝
＝
＝ ＝7.
答案：7
7．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________．
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.
故cos 120°＝＝
＝＝－，得＝，即＝.
答案：
题组3 两向量的夹角与垂直问题
8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选C 因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，故θ＝120°.
9．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：选B 由c⊥d得c·d＝0，即(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，即2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，所以2k＋(3k－8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k＝6.故选B.
10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为
60°，则k＝________．
解析：∵|ka＋b|＝|a－kb|，
∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)．
∴k2＋1＋k＝3(1＋k2－k)．即k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
答案：1
11．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.
(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.
[能力提升综合练]
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( )
A. B．3 C．4 D．5
解析：选A 由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝，而向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝3×＝.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：选A ∵|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝10，
即a2＋b2＋2a·b＝10.①
∵|a－b|＝，∴(a－b)2＝6，
即a2＋b2－2a·b＝6.②
由①②可得a·b＝1，故选A.
A．2 B. C. D.
解析：画出图形知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
＝0＋4×5×＋5×3×＝－25.
答案：－25
5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1，
所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.
答案：
6．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝|a|2.
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.设a与a＋b的夹角为θ.
则cos θ＝＝＝.
∴θ＝30°.
7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P106～P107的内容，回答下列问题．
已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？
提示：|a|＝＝；
|b|＝＝.
(3)能用a，b的坐标表示a·b吗？
提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
2．归纳总结，核心必记
(1)平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
(2)两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
(3)三个重要公式
①向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB―→|＝．
③向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ .
[问题思考]
(1)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝ ±＝±，其中正号，负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
∴与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正，负号表示不同的方向．
(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB|＝吗？
[课前反思]
(1)平面向量数量积的坐标表示：
；
(2)两个向量垂直的坐标表示：
；
(3)向量模的公式：
；
(4)向量的夹角公式：
．
?讲一讲
1．(1)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)，若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
(2)法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，
b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，
∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.
②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，
∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
法二：①2a·(b－a)
＝2a·b－2a2
＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)
＝14.
②(a＋2b)·c
＝a·c＋2b·c
＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)
＝23.
答案：(1)5
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
?练一练
1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)，
所以a＝λb＝(λ，2λ)．
又a·b＝10，
所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.
因为λ＝2符合a与b同向的条件，
所以a＝(2，4)．
(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，
所以(b·c)·a＝0·a＝0.
[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？
名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
?讲一讲
2．(1)若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．
(2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[尝试解答] (1)∵a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，∴a－b＝(2x－1，3－x)－(1－x，2x－1)＝(3x－2，4－3x)，∴|a－b|＝
＝＝.
∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.
(2)①∵a＝AB―→＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝或.
答案：(1)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
?练一练
2．已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
解：法一：设c＝(x，y)，则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，得
解得或
所以c＝或c＝.
法二：由于a·b＝×1＋(－1)×＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝，即其长度为正方形对角线长度(|b|＝2)的一半，故c＝(a＋b)＝或c＝－(a＋b)＝.
[思考] 当a与b是非坐标形式时，如何求a与b的夹角？如果a与b是坐标形式时，又如何求a与b的夹角？
名师指津：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系．
(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝求解．
?讲一讲
3．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[尝试解答] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
设m、n的夹角为θ，
则cos θ＝
＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m、n的夹角为.
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
?练一练
3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．
(1)a与b的夹角为90°.
(2)a与b的夹角为锐角．
解：(1)设a与b的夹角为θ.
|a|＝＝，|b|＝，
a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a与b不同向．
因此1＋2λ>0，所以λ>－.
又a与b共线且同向时，λ＝2.
所以a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题．
2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用
(1)求平面向量的数量积，见讲1；
(2)解决向量模的问题，见讲2；
(3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3.
3．本节课的易错点
解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况，如练3.
课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选D a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.
2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )
A. B.
C. D．(1，0)
解析：选B 法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，
则a·b＝x＋y＝.
由，
解得即b＝.故选B.
法二：利用排除法．D中，y＝0，
∴D不符合题意；C中，向量不是单位向量，
∴C不符合题意；A中，向量使得a·b＝2，
∴A不符合题意．故选B.
题组2 向量模的问题
4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2 C．8 D．8
解析：选D 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，
所以|c|＝＝8.
5．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
解析：a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.
答案：
6．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A(2，0)，B(1，h)．设P(0，y)(0≤y≤h)，则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，
∴||＝≥＝5.
故||的最小值为5.
答案：5
题组3 向量的夹角与垂直问题
7．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
由(c＋a)∥b，
得－3(1＋m)＝2(2＋n)，
又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，
故m＝－，n＝－.
9．以原点O和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．
解：设点B坐标为(x，y)，
则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．
∵⊥，
∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x2＋y2－5x－2y＝0.
又∵||＝||，
∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，
即10x＋4y＝29.
由
解得或
∴点B的坐标为或.
＝或.
10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，
∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得
解得或
故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，
整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
[能力提升综合练]
A. B．－
C．4 D．－4
解得m＝4.
2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C 设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP―→·BP―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．
3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，
则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，
所以
解得
故b＝(－5，12)，
所以cos〈a，b〉＝＝.
4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，
∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，
∴|a－b|＝.
答案：
5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
解析：依题意设B(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，
即cos θ＋sin θ＝0，
解得θ＝，
所以＝.
答案：
6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
解析：因为a与b的夹角为锐角，
所以0<<1，
即0<<1，
解得λ<－或0<λ<或λ>.
答案：∪∪
7．已知O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝或λ＝.
∴存在M(2，1)或M满足题意．
第二章 平面向量
1．平面向量的线性运算及运算律
(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即
向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．
加法满足交换律、结合律．
(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．
几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．
(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．
2．向量共线及平面向量基本定理
(1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．
特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使，或对直线外任意一点O，有
(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．
由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．
[典例1] 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M、N分别是DA、BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1、e2为基底表示向量、
[对点训练]
(3)确定点P在边BC上的位置．
所以解得
所以解得
即＝2，P是边BC上靠近C的三等分点.
若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；
②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；
③λa＝(λa1，λa2)；
④a·b＝a1b1＋a2b2；
⑤a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或＝(b1≠0，b2≠0)；
⑥a⊥b?a1b1＋a2b2＝0；
⑦|a|＝＝；
⑧若θ为a与b的夹角，则
cos θ＝＝ .
[典例2] (1)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2), 若a∥b, 则实数m等于( )
A．－ B.
C．－或 D．0
(3)已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：(1)由已知，得＝(3，－4)，
所以||＝5，
因此与同方向的单位向量是＝.
(2)a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±，选C.
(3) ＝(2，1)，＝(5，5)，向量＝(2，1)在＝(5，5)上的投影为||cos?，?＝||
答案：(1)A (2)C (3)A
[对点训练]
2．(1)若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13 C．9 D．－9
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：(1) ＝(－8，8)，＝(3，y＋6)．
∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y＝－9.
(2)a·b＝－10，
则(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
所以c·a＝－，
设a与c的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0°，180°]，
所以θ＝120°.
答案：(1)D (2)C
1．两向量的数量积及其运算律
两个向量的数量积是a·b＝|a||b|cos θ，θ为a与b的夹角，数量积满足运算律：
①与数乘的结合律，即(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律，即a·b＝b·a；
③分配律，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．
3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．
[典例3] 已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解：∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.
∵a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos ＝|b|×4×＝－4，
∴|b|＝2.
∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c.
∴16＝n×(－4)．∴n＝－4.
在c＝ma＋nb两边同乘以a，
得0＝8m－4a·b.①
在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.②
由①②，得m＝±.
∴a·b＝±2.∴cos θ＝＝±.
∴θ＝或.
[对点训练]
3.如图，在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则的最小值是________．
答案：－2
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在五边形ABCDE中(如图)，＝( )
解析：选B ∵＝＝ .
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B ∵a∥b，∴－＝，∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：选A 由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.
∵|a|＝，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，
∴10λ＋10＝0，λ＝－1.
4．若|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
解析：选B 由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以 cos〈a，b〉＝＝＝，即a与b的夹角是.
A. B．－ C. D．－
6．已知向量满足：|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝16，
∴a·b＝－.
∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝10，
∴|a＋b|＝.
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
∴P是△ABC的垂心．
8．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2，1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
解析：选C 由题意知b－c＝(－3，1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)，
依题意得
解得∴c＝(1，2)，
而b·c＝－2×1＋1×2＝0，
∴b⊥c.
9．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
A. B.
C. D.
11．已知a＝(－1，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是( )
A. B．2 C．2 D．4
解析：选D 由题意||＝||且⊥，
所以(a－b)2＝(a＋b)2且(a－b)·(a＋b)＝0，
所以a·b＝0，且a2＝b2，
所以|a|＝|b|＝2，
所以S△AOB＝||·||＝＝ ＝4.
12．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m?p＝m成立，则向量p为( )
A．(1，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(0，－1)
解析：选A 因为m?p＝m，
即(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
所以
即
由于对任意m＝(a，b)，
都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)成立．
所以解得
所以p＝(1，0)．故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)．则|a＋b|的取值范围为________．
解析：因为a＋b＝(x，x＋2)，
所以|a＋b|＝＝
＝≥，
所以|a＋b|∈[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
14．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ等于________．
解析：因为a，b共线，
所以由向量共线定理知，存在实数k，使得a＝kb，
即e1＋λe2＝－k(2e1－3e2)＝－2ke1＋3ke2
又因为e1，e2不共线，
所以解得λ＝－.
答案：－
15．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则＝________．
解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
则由A(0，0)，B(2，0)，E(2，)，D(1，，可得＝1.
答案：1
答案：[1，4]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
∴a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝＝2.
综上所述，|a－b|为2或2.
18．(12分)设向量a＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)若向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意，得a＋b＝，
a－b＝，
因为(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝1－1＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)．
(2)因为向量a＋b与a－b的模相等，
所以(a＋b)2＝(a－b)2，
所以|a|2－|b|2＋2a·b＝0，因为|a|＝1，|b|＝＝1，
所以|a|2＝|b|2，所以a·b＝0，
所以－cos α＋sin α＝0，
所以tan α＝，
又因为0≤α＜2π，
所以α＝或α＝.
19．(12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，
(1)以a，b为基底表示向量
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b的夹角为120°，求
解：(1)∵M为DC的中点，
(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，
＝a2＋a·b－b2
＝×32＋×(－6)－×42
＝－.
20．(12分)在边长为1的正△ABC中，AD与BE相交于点F.
解：(1)由题意，D为BC边的中点，而△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，
＝(a＋b)·
＝b2－a2－a·b
＝－－×1×1×＝－.
根据平面向量的基本定理有
解得λ＝4.
21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
∴t＝－2ksin θ＋16.
∵tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k＋，
∵k＞4，∴1＞＞0，
当sin θ＝时，tsin θ取最大值为.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4，8)，
∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.
22．(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
解：(1) ＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴解得k＝－，λ＝－.
(2) ＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．
(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
即点A的坐标为(10，7)．
