课件16张PPT。第1章 二次函数 1.1 二次函数情景
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训练函数一次函数反比例函数y=kx+b (k≠0)(正比例函数) y=kx (k≠0)1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a ≠0)2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式怎么表示？情景引入观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？ 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物园的面积S（ ）与x之间函数关系式.
即合作探究 问题2：某型号的电脑两年前的销售为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，求现在售价为y（元）与平均降价率x之间的函数关系.即经化简后都具有y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称：a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.概念归纳例1:关于x的函数 是二次函数, 求m的值.注意:二次函数的二次项系数不能为零解：依题意得 且 ，解得 .例题学习例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S与一对角线长x之间的函数关系．解：(1) ;(2) ; (3) .
1.下列函数中,哪些是二次函数?先化简后判断随堂训练
2.做一做:
（1）正方形边长为x（厘米），它的面积y（平方厘米）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式．(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?3.函数的 （a，b，c均为常数），当a，b，c满足什么条件时？4.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子.（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值.（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.5.函数 （m 为常数）．
（1）当 m ______时，这个函数为二次函数；
（2）当 m ______时，这个函数为一次函数．≠ 2= 21.本堂课学习了二次函数的概念;
2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变量与函数值的对应关系.课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习课件16张PPT。第1课时 二次函数y=ax2(a>0) 的图象与性质1.2 二次函数的图象与性质 情景
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训练问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?
问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?
【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线. 情景引入你想直观地了解它的性质吗?在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?合作探究描点,连线y=x2观察图象,回答问题：(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？(5)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小. 当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大. 抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.例1.若抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方
向均相同，则a= .4例题学习例2.一个二次函数，它的图像的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（-1， ）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？（1）求这个二次函数的解析式解：设这个二次函数解析式为
y =ax2，将（-1， ）代入得
y= x2.（2）画出这个二次函数的图像；（3）当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时,y随x增大而减小；（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
解：当x=0时，y有最小值为0.1.画出下列函数图象：
（1）y=2x2
（2）y= x2
随堂训练2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A.y= B.y=x-1 C. D.y= 1.一般地，抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴，顶点 是原点．
2.当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；
3.当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值增大而减小；
4.对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
课堂小结课后练习见《学练优》本课时练习课件14张PPT。第2课时 二次函数y=ax2（a<0）
的图象与性质情景
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小结1.2 二次函数的图象与性质 1.二次函数的一般形式是怎样的？
（a,b,c为常数，a≠0）情景引入 2.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？合作探究xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2观察图象,回答问题串：（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.y相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴.不同点：a 要越大，抛物线的开口越小．归纳：在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2,y=-1/2x2 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．例1：画二次函数 的图象.描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.解：列表xOy－2－424－2－4这样我们得到了
的图象，如图例题学习 观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段. （0, 0）向上向下|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大有最小值0有最大值0当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小课堂小结1.二次函数y=-3x2
(1)图象的开口向 ，对称轴是 ，
顶点是 ，顶点坐标是 .图象有最 点。
(2)当x 时，y随x的增大而增大.
(3)当x 时，y随x的增大而减小.
(4)当x 时，函数y有最 值 .
下y轴原点（0,0）＞0＜0高=0大0随堂训练2.见《学练优》本课时练习课后作业课件15张PPT。第2课时 二次函数y=a（x-h)2的图象与性质情景
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训练1.2 二次函数的图象与性质 情景引入我们已学习过二次函数 ，知道它的图象是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．那么 的图象能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．问题1：利用描点法画出二次函数 , 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．－2－8－4.5－200－2－8－4.5－2探究点一 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 归纳：可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向____，对称轴是_________，顶点是________．下x = 1( 1 , 0 )抛物线 , 与抛物线 有什么关系？可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ．向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)问题2：在坐标系中画出下列各函数图象并根据函数图象完成表格，说一说抛物线 y = a ( x-h)2 的特点.归纳：抛物线 y = a ( x-h)2 的特点：
a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ___________，顶点坐标是 ______.向上低向下高直线 x = h( h,0 )例2：画出函数 和 的图象，
并说明这两个图象之间的区别和联系.探究点二 二次函数y=a（x-h）2的平移
二次函数y=a(x±h)2的图象和性质: a＞0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 , 顶点坐标是 .y=ax2y=a(x+h)2的图象:y=a(x-h)2当向左平移h时向下向上高直线x=-h(-h，0)低y=a(x+h)2当向右平移h时y=ax2抛物线y＝a(x-h)2的性质:（1）对称轴是直线x＝____;（2）顶点坐标是___________.(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而______；在对称轴的右侧y随x的增大而________.（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而____;在对称轴的右侧y随x的增大____.-h(-h,0)减小增大增大减小课堂小结y = ax2y = ax2 + k y = a(x – h )2上下平移左右平移1.二次函数 的最小值是（ ）
A.-1 B.1 C.0 D.没有最小值
2.抛物线 不经过的象限是（ ）
A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第三、四象限 D.第二、三象限
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3.（1）抛物线 向 平移 个单位得抛物线 ;
(2)抛物线 向右平移2个单位得抛物线
.课后练习 见《学练优》本课时练习课件15张PPT。第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质情景
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训练1.2 二次函数的图象与性质
1.理解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与 之
间的联系，体会转化思想；
2.通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质，
体会数形结合的思想；
3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为
y = 的形式，并能由此得到二次函数
y = ax 2+ bx + c 的图象和性质．学习目标由前面的知识我们知道，函数 的图象
向右平移一个单位可以得到 的图象，
那么如何平移才能得到 的图象呢？情景引入问题：画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.解: 先列表再描点
后连线.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5合作探究直线x=－1解: 先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5抛物线
的开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1, －1).(1)抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:x=－1(2)抛物线 有什么关系?一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:要点归纳例题学习例1：画二次函数 - -3的图象.例2：已知某抛物线的顶点坐标为（-2,1），且与y轴相交于点（0,4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式. 1.求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点 坐标．
① y = 2x 2 - 4x +5
② y = -x 2 + 2x -3 开口向上、x = 1、（1， 3）．开口向下、x = 1、（1，-2）． （2）二次函数 y = -2x 2 + 4x -1，
当 x 时， y 随 x 的增大而增大，
当 x 时， y 随 x 的增大而减小．＜1＞1随堂训练2.若抛物线 平移得到 ,则必须（ ）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
3.抛物线 与x轴交于B,C两点，顶点为A，则:△ABC的周长为（ ）
A. B. C.12 D.
y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移
|k|个单位左右平移
|h|个单位上下平移
|k|个单位左右平移
|h|个单位结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.1.各种形式的二次函数的关系课堂小结2.抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上;当a<0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).（4）对于一般的二次函数 ，如果
a＞0，当 x＜h时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时， y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 x＜h时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．（x - h） + ky = a课后作业 见《学练优》本课时练习课件18张PPT。第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质复习
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训练1.2 二次函数的图象与性质 学习目标1.会用公式法和配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴； 2.熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式； 3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象 .1.一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同22形状位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下减左加右减复习引入2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
（1）当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，向上向下 （2）对称轴是 ；（3）顶点坐标是 .直线x=h(h,k)直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7 ）（2，－6）zxxk3.完成下列表格问题1：如何画出 的图象呢? 我们知道,像y =a(x-h)2+k 这样的函数,容易确定
相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数
也能化成这样的形式吗？合作探究用配方法怎样把函数 转化成y=a(x-h）2+k的形式?提取二次项系数配方整理化简:去掉中括号解：配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.教师提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式根据顶点式 确定开口方向,对称轴,
顶点坐标.列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.∵a= >0,∴开口向上;
对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).描点、连线，画出函数 图像.（6,3）问题：
1.看图像说说抛物线
的增减性。
2.怎样平移抛物线
可以得到抛物线
？
归纳：二次函数 图象的画法：(1)“化” ：化成顶点式 ；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线.求次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号方法归纳例：画出二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象，并写出函数的对称轴、顶点坐标和最值.例题学习1.一般地，我们可以用配方法将 配方成(2)直线 是二次函数 的对称轴；顶点坐标是( ).
课堂小结2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 1.抛物线 的顶点坐标为（ ）
A.(3,-4) B.(3,4)
C.(-3,-4) D.(-3,4)随堂训练2.如图，二次函数 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴.
(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；
④a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .
(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;
④a＞1.其中正确结论的序号是 . 课后练习 见《学练优》本课时练习课件12张PPT。*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式复习
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训练 2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函
数的表达式吗？1．二次函数关系式有哪几种表达方式？用待定系数法求解．一般式： y＝ax2 ＋ bx＋c (a≠0) 顶点式：y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k (a≠0) 复习引入交点式：y ＝ a(x ＋ ) (x ＋ ) (a≠0) 例1:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.待定系数法合作探究例2 ：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求二次函数的表达式.小结：
已知定点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时，优先选用顶点式。解：∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又 过点（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3例3：二次函数的图像过点A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x=3，求二次函数的表达式.解：∵二次函数的对称轴为直线x=3∴二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k解得 a=1 k=-4∴二次函数的表达式y=(x-3)2-4即 y=x2-6x+5例4：已知二次函数与x轴两交点横坐标为1，3，且图像过（0，-3），求二次函数的表达式。由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3解：∴ 设y=a(x-1)(x-3)∴ a(0-1)(0-3)=-3,
∴a=-1图像经过（0，-3）∴ y=-(x-1)(x-3),
即 y=-x2+4x-32.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k，将h、k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．1.求二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值，由已知条件列出关于a，b，c的方程或方程组，求出a，b，c，就可以写出二次函数的表达式．课堂小结3.当给出的坐标或点中有顶点，可设交点式y ＝ a(x ＋ )(x ＋ )，再将另一点的坐标代入即可求出a的值． 根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的
表达式：
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图像经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
随堂训练2．已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时， y有最小值－1， 求这个二次函数的表达式．
3.如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A 、C的坐标分别是(8，0) 、(0，4)，求这个抛物线的表达式．课后练习 见《学练优》本课时练习课件20张PPT。 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 情境
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训练 导入语：我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.
问题：现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?情景引入问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h = 20t－5t 2考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？合作探究所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．15＝20t－5t 2t 2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 .h=20t－5t 2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t 2t 2－4t＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t 2t 2－4t＋4.1=0因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．球的飞行高度达不到20.5m．20m（4）解方程:0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0.例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．例：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 的根就是：抛物线 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.作出函数图象 的图象可以发现抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个在2与3之间通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横
坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
例题学习归纳：一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根说一说例2：如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。（1）当铅球离地面的高度为2.1m它离初始位置的水平
距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置
的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？xy解：（1）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+5=0解得 x1=1 x2=5当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m当铅球离地面高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m（2）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+9=0解得 x1=x2=3所以铅球离地面高度不能达到3m。（3）由抛物线的表达式得：即 x2-6x+14=0因为△=（-6）2+4x1x14<0所以方程无实数根 从例2可以看出，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）某一个函数值y=M求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知（1）如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x =x0时，函数的值是0，因此x = x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根．课堂小结有两个交点有两个相异的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2-4ac > 0b2-4ac = 0b2-4ac < 0说明：a≠0下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y = x2＋x－2 （2）y = x2－6x＋9
（3）y = x2－x＋1（1）抛物线y = x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.（2）抛物线y = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3. 当x = 3 时，函数的值是0．由此得出方程 x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y = x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．随堂训练2.若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α,β，则α,β的范围为（ ）
A.α＜1，β>2 B.α＜1＜β＜2
C.1＜α＜2＜β D.α＜1,β＞2课后练习 见《学练优》本课时练习课件20张PPT。1.5 二次函数的应用 第1课时 抛物线形二次函数情境
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探究随堂
训练课后
小结 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！情景引入如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO例1 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)4米合作探究探究点一 利用二次函数解决实物抛物线形问题当 时，
所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.所以水面的宽度增加了 m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为
● (2,-2)设二次函数解析式为 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?4 m4 m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= ∴y= +2；设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= ∴y= +2；知识要点解决抛物线形实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 探究点二 利用二次函数解决运动中抛物线问题 例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？3米4米4米OABC解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0， ），B点坐标是（4，4），C点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.把点A(0, )代入①得解得 所以抛物线的解析式是 .当x=8时，则所以此球不能投中.判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；O若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.3米8米4米4米Oyx（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（1）跳得高一点儿；（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（７，３）
●（2）向前平移一点儿.x1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，
则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.2随堂训练3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米OA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. xy设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0), 点A坐标代入，得a= － 1；当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米.∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 1.25实际问题数学模型 （二次函数的图象和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件20张PPT。1.5 二次函数的应用 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题情境
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小结 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？情景引入 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.探究点一 二次函数与利润最大问题合作探究 例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元.知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？
探究点二 二次函数与几何面积例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0时，
S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什
么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例题有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？解：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 ＜ x ≤18.问题6 如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关为 .
每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)
随堂训练3.如图a，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .4.如图b，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.35. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.6. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定课后练习 见《学练优》本课时练习课件24张PPT。2.1 圆的对称性情景
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训练第2章 圆课堂
小结 “一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”.这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话.
圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状.
圆有哪些性质？为什么车轮做成圆形？怎样设计一个运动场的跑道？怎样计算蒙古包的用料？在这一章，我们将进一步认识圆，用图形变换等方法研究它，并用圆的知识解决一些实际问题.情景引入说一说用圆规或手中的棉
线和铅笔画圆．1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；
2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；
3.旋转一圈（使铅笔心在纸上画出封闭曲线）；
4.用字母表示圆心、半径、直径 .合作探究在一个平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转
一周,另一个端点P所形成的图形叫做圆.观察以上两种画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？OAr圆上任意一点到圆心的距离相等吗？反过来，平面内到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗？量一量(2) 到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上.(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)o?同一个圆内，半径有无数条，长度都相等.圆形车轮为什么平稳?同心圆 等圆确定一个圆的要素:圆心与半径圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同看一看以1cm为半径画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？如何确定唯一的一个圆？圆心决定圆的位置半径决定圆的大小（1）圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只有当给出圆心和半径这两个要素之后，才能够确定一个圆.（2）圆是指“圆周”，是曲线，而不是“圆面”.（3）同一个圆的半径处处相等.你可要注意哟！弦:连接圆上任意两点的线段(图中的线段AB、AC）.注意:凡直径都是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.经过圆心的弦（图中的AB）.直径:辩一辩直径弦圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的弧记作 AB ，读作：“圆弧AB”或“弧AB”。注意：大于半圆的弧（用三个点表示，如： 或 ），
叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧. 如:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.等弧:在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做等弧..OACPHGFE如图:(1)直径是_______;
(2)弦是_____________;
(3) PQ是直径吗?______;
(4)线段EF、GH
是弦吗？_______.KABCD、DK、AB不是不是DB例：如图，若AD，BE都是△ABC的高。讨论A、B、D、E四点在同一个圆上吗？O 1.填空：
（1）根据圆的定义，“圆”指的是_______，而不是“圆面”．
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的_______，半径决定圆的_______，二者缺一不可．圆周位置大小随堂训练 （4）图中有_______条直径， _______条非直径
的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_______ 条，
劣弧有_______ 条． （3）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．直径半径一二四四2.判断下列说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;(8)半径相等的两个圆是等圆．(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；√××××√×√3.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 4.选择：
（1）下列说法中，正确的是（ ）
①线段是弦；②直径是弦；
③经过圆心的弦是直径；
④经过圆上一点有无数条直径．
A．①② B．②③
C．②④ D．③④B 5.一个8×10米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由．1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件16张PPT。2.2.1 圆心角情景
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训练2.2 圆心角、圆周角1.圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是怎样证明垂径定理的? 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线.垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的.2.绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理.情景引入· 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.O练一练：找出右上图中的圆心角.圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， 显然∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点 A与 A′重合，B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′ 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 在等圆中，是否也能得到类似的结论呢？合作探究在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________．弧、弦与圆心角的关系定理:相等相等相等相等证明：∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形又∴∠ACB=60°，∴ ⊿ABC是等边三角形 ，AB=BC=CA.∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO例:如图, 在⊙O中， ，∠ACB=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.例题学习例2：如图，AB是⊙O 的直径，
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．解：例4：如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．解：∵ 1.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，
AD=BC, 求证:AB=CD.⌒ ⌒随堂训练2.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC.⌒3.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,
求证：AC=AE.⌒ ⌒4.如图，AD=BC, 比较AB与CD的长度，并证明
你的结论.⌒ ⌒5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE.⌒ ⌒ 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件21张PPT。2.2.2 圆周角 第1课时 圆周角定理与推论1复习
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训练1.什么叫圆心角?顶点在圆心的角叫圆心角2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.复习引入OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？C顶点在圆上两边都与圆相交这样的角叫圆周角.B合作探究探究点一 圆周角的概念圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.下列各图中的∠APB是否是圆周角?你认为圆周角相对圆心的位置关系有哪几种类型？如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？观察图中∠ACB、∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？探究点二 圆周角定理分别量一下 所对的圆周角∠ACB、∠ADB和∠AEB的度数比较一下，再改变圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？
再量出图中 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？
猜想：同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.验证:为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：
（1）圆心在圆周角的一边上；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部
我们先来证第（1）种情况：证明：∵ OB=OP
∴∠P=∠B
∵∠AOB是△OBP
的外角
∴∠P=1/2 ∠AOB我们再来证明第（2）情况：连结PO并延长交⊙于C
由（1）可知：
∠APC=1/2∠AOC
∠BPC=1/2 ∠BOC
∴ ∠APC+ ∠BPC=1/2（ ∠AOC+ ∠BOC）
即∠APB=1/2 ∠AOB最后我们来证明第（3）种情况：连结PO并延长交⊙O于C
由（1）可知：
∠APC=1/2∠AOC
∠BPC=1/2 ∠BOC
∴ ∠BPC- ∠APC =1/2（ ∠BOC- ∠AOC ）
即∠APB=1/2 ∠AOB
·ABCO1.圆周角的两个特征：（1） ，
（2） .
2.在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
3.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角， ∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD= .
顶点在圆上两边都与圆相交一半130°做一做
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
首页探究点三 圆周角定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？A′首页 在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.首页圆周角定理的推论例：如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,
∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.首页例题学习例：已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,首页如图OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=
2∠BOC．求证：∠ABC=∠BAC．随堂训练1.圆周角的定义；
2.圆周角定理及证明；
3.圆周角定理及推论的运用.课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件16张PPT。第2课时 圆周角定理的推论2与圆内接 四边形复习
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练2.2.2 圆周角 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．提示:
圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.复习引入1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？2. 90°的圆周角所对的弦是否是直径？首页探究点一 直径所对的圆周角的性质合作探究 如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B） 那 么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看,∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？ 直径所对的圆周角:21 直径所对的圆周角等于90°（直角） .反过来也是成立的，即:90°的圆周角所对的弦是直径.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.∵ AB是直径
∴∠AC1B=90°∵ ∠AC1B=90°
∴ AB是直径. 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.OACDEB探究点二 圆的内接四边形CODBA如图：圆内接四边形ABCD中,∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补.例：在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
∴∠A=180°-∠C=50°
（圆内接四边形对角互补）例题学习变式：已知∠OAB等于40度,求∠C 的度数. ABCOD1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆.随堂训练2.如图，BC为半圆O的直径，AB=AF,AC与BF交于点M.
（1）若∠FBC=α，求∠ACB（用α表示）
（2）过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM.））3.判断.
（1）等弧所对的圆周角相等；（ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等；（ ）
（3）90°的角所对的弦是直径；（ ）
（4）同弦所对的圆周角相等.（ ）
4.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=75°,则∠C=_____. 75°圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形.等腰1.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形定义及性质;
3.关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件22张PPT。2.3 垂径定理合作
探究课后
作业课堂
小结情景
引入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 首页情景引入由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 问题1：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？首页探究点一 垂径定理合作探究问题2：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么?·OABCDE线段: AE=BE首页垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB ∵ CD是直径，∴ AE=BE,·OABCDE提示:
垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.首页下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是深化：首页垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BE首页例1：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是 （ ）A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=AEC首页例题学习例2：如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。·OABE解：连接OA，∵ OE⊥AB∴∴ AB=2AE=16cm首页问题：你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?探究点二 垂径定理的实际应用首页ABOCD首页解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴ AB=37.4m，CD=7.2m∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵ ∴解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒首页关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。首页例4:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.首页例题学习 ∴ CD⊥AB, ∵ CD是直径， AE=BE·OABCDE探究点三 垂径定理的推论命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若不是请举出反例.首页（1）如何证明？已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.证明：连接OA，OB，则OA=OB∵ AE=BE∴ CD⊥AB首页（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。首页① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM 如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.首页根据已知条件进行推导：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.首页例3: 如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点P与A、B不重合），连结AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E， OF⊥PB于F，求EF的长.解：在⊙O中,∵OE⊥AP， OF⊥PB,
∴AE=PE, BF=PF,
∴EF是△ABP的中位线,
∴EF= AB= ×10=5cm.首页例题学习圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论首页课堂小结 见《学练优》本课时练习课后作业课件19张PPT。2.4 过不共线三点作圆情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
2.了解三角形的外接圆,三角形的外心等概念.
3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？要确定一个圆必须满足几个条件?想一想情景引入问题：过一点可以作几条直线？问题：过几点可确定一条直线？问题：过几点可以确定一个圆呢？合作探究经过两点只能作一条直线.●A●A●B经过一点可以作无数条直线；经过一个已知点A能确定一个圆吗?A经过一个已知点能作无数个圆.经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?AB 经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?它们的圆心都在线段AB的中垂线上. 经过两个已知点A、B能作无数个圆.过已知点A、B作圆,可以作无数个圆.经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.你准备如何(确定圆心,半径)作圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？●A●B经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？假设经过A、B、C三点的⊙O存在（1）圆心O到A、B、C三点距离 （填“相等”或“不相等”）.（2）连接AB、AC，过O点分别作直线MN⊥AB,EF⊥AC，则MN是AB的 ；EF是AC的 .（3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距离 .NMFEABC相等垂直平分线垂直平分线相等已知：不在同一直线上的三点A、B、C
求作：⊙O使它经过点A、B、CONMFEABC1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆. 1.现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？方法:
1.在圆弧上任取三点A、B、C.
2.分别作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.
3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.ABCO2.已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
【解析】ABCO经过一个三角形各个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.锐角三角形的外心位于三角形内.
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
钝角三角形的外心位于三角形外.ABC过如下三点能不能做一个圆? 为什么?不在同一直线上的三个点确定一个圆1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）A．点P B．点Q C．点R D．点M【答案】B随堂训练【规律方法】外心它是三边中垂线的交点，到三个顶点的距离相等，在数学和实际运用中，要分析清楚题意，转化为数学问题.要求明确已知什么？求作什么？1.通过本课的学习，你有什么收获？还有什么问题？2.确定圆的条件—— 不在同一直线上的三点圆心、半径3.锐角三角形
直角三角形 --外心的位置--
钝角三角形在三角形的内部在斜边的中点在三角形的外部课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件18张PPT。2.5.1 直线与圆的位置关系情景
引入合作
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训练2.5 直线与圆的位置关系点和圆的位置关系有几种？ 点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则：点在圆外d>r;点在圆上d=r；点在圆内d 在再现过程中，你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？
你分类的依据是什么？合作探究(地平线)a(地平线)(2)直线和圆有唯一个公共点,叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.(1)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交,这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点.(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）相交相切相离上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？2.连结直线外一点与直线所有点的线段中,最短的是______？ 1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.垂线段
a .AD相关知识点回忆直线和圆相交d< r直线和圆相切d=r直线和圆相离d>r数形结合：位置关系数量关系二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）总结：判定直线 与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________的个数来判断；（2）根据性质，由_____________ ____的关系来判断.在实际应用中，常采用第二种方法判定.两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?a(地平线)
小试牛刀相交相切相离d > 5cmd = 5cmd < 5cm0cm≤2103.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，
AC＝3cm，以C为圆心的圆与AB相切，则这个圆的
半径是 cm.4.直线l 和⊙O有公共点，则直线l 与⊙O（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交2.4D1.已知：圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？(1) 4.5cmA.0个 B.1个 C.2个答案:C(2) 6.5cm答案:B(3) 8cm答案:AA.0个 B.1个 C.2个A.0个 B.1个 C.2个随堂训练2.如图，已知∠BAC=30度，M为AC上一点，且AM=5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm(2)r=4cm(3)r=2.5cm3.已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.0d>r1d=r切点切线2d引入合作
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训练2.5.2 圆的切线 只要你认真听完今天的课你就会明白!问题：1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？
2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？情景引入1.直线和圆有哪些位置关系？
2.什么叫相切？
3.我们学习过哪些切线的判断方法？相交、相切、相离合作探究 请在⊙O上任意取一点A，连接OA。过点A作直线 l⊥OA。思考一下问题：
1. 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?
2. 二者位置有什么关系？为什么？
3. 由此你发现了什么？l发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；
(2)直线l垂直于半径OA．
则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从
位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
问题3:如果一条直线符合了上面两个特征，这条直线是不是圆的切线？为什么？请你说出切线的判定定理.问题2:观察你所画的切线，对圆的半径OA来说，这条切线应该具有哪两个特征？1.过半经OA的外端点A2.OA⊥直线l切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.rl∵ OA是半径，l⊥OA，垂足为A
∴ l是⊙O的切线。符号表达：判断:1.过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2.与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）×××利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这半径垂直.判断一条直线是圆的切线，你现在有几种方法?有三种方法:
1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线；
3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.想一想:例：已知，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
AB⊥OC即可。 证明：连结OC(如图)。
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。首页例题学习1.已知：直线AB经过⊙O上的点C，OA=OB,CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC随堂训练2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以
O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.OABCD3.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，
以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交.求证：
AB是⊙O的切线. OBA4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交
边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.OABCEP题1与题2的证法有何不同?
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,
得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：
连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则
过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等
于半径长.简记为：作垂直,证半径.1.判定切线的方法有哪些？直线l 与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是切线2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直.
⑵直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半径.l是切线l是切线课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件12张PPT。第2课时 切线的性质情景
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训练思考：
1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的切线有哪些方法?
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线情景引入2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.3.切线还有什么性质？观察下图：
如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？ATO合作探究如果AT是 ⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？OM反证法：假设AT与OA不垂直
则过点O作OM⊥AT,垂足为M
根据垂线段最短，得OM＜OA
即圆心O到直线AT的距离d＜R
∴直线AT与⊙O 相交
这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即AT⊥OA.OO切线的性质定理：
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言：
∵AT是⊙O的切线，A为切点
∴AT⊥OA按图填空：(口答)
(1)如果AB切⊙O于A，
那么AOB(2)如果半径OA⊥AB，那么AB是 . 切点(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 . 切线例：已知如图,在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数.例题学习1.已知：如图,AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=54°，求∠OBA的度数.随堂训练321OBACD2.如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.①切线和圆有且只有一个公共点③圆的切线垂直于经过切点的半径②切线和圆心的距离等于半径1.切线性质：2.能运用切线性质定理进行计算与证明
3.掌握常见的关于切线辅助线作法 课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件10张PPT。2.5.3 切线长定理合作
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训练情景
引入 有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?
教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB.
情景引入探究切线长的概念与切线长定理
（一）问题导学
1.如图，AB切⊙O于B，AO⊥BC，∠A＝30° ，则：
（1）∠ABO＝ °，∠BOE＝ °
（2）BD＝ ,BE＝ EC,∠BOC＝∠ ＝ ° ⌒⌒2.画一画，再折一折
（1）过⊙O外一点P画⊙O的切线，你能画几条？
（2）画好后，沿直线OP对折，你能发现什么？
证明你的发现，并用一句话概括出来.
（3）连接AB，OP与AB有怎样的关系？你又能得出什么结论？概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到
圆的切线长.如：线段AB的长就叫点A到⊙O的切线长.合作探究ABPO切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的两弧.几何应用：∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B
∴PA=PB ∠APO=∠BPO
OP⊥AB OP平分AB 知识点一 切线长定义
过圆外一点作圆的切线，这点和 的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
知识点二 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等；这一点和圆心的连线
平分 ，垂直平分切点所成的 ，平分切点所成的两 .
知识点三 三角形的内切圆
1.与三角形 叫做三角形的内切圆.
2.三角形的 叫三角形的内心.三角形的内心是三角形三条 的交点.
3.内心性质：三角形的内心到三角形 的距离相等.归纳例题学习例1 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
Q为AB上一点，过点Q作⊙O 的切线，交PA、
PB点E、F，已知PA ＝12cm,∠P＝70°.
求：（1）△PEF的周长；（2）∠EOF的度数.⌒例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相
切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,
求AF、BD、CE的长.例3 如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上
一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与
AC相切于点D.求证：DE∥OC.归纳：在解决有关圆的切线长问题时，
往往需要构建基本图形.
常见的做法有：
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和两切线交点.课堂小结 1.如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，∠APB＝30°，则∠ACB＝（ ）
A．60° B．75° C．105° D．120°
2.如图2，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的切线，分别相交于C、D，已知
PA＝7cm，则△PCD的周长等于 .
3.如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是 .
4.如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是 .随堂训练课后练习 见《学练优》本课时练习课件12张PPT。2.5.4 三角形的内切圆情景
引入合作
探究随堂
训练课堂
小结叙述角平分线的性质定理和判定定理:在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上情景引入提出问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ 合作探究已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆M作法：
1.作BC的平分线BM和CN，交点为O；
2.过点O作ODBC，垂足为D；
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.圆O就是所求的圆.2.和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。概念：
1.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。想一想：根据作法和三角形各边都相切的圆能作出几个？ 三角形三边
中垂线的交
点1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条
角平分线的
交点1.到三边的距离
相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．oABC提示：关键是利用内心的性质如果∠A＝120°，那么∠BOC=？如果∠A=n°，那么∠BOC=?因此：在△ABC中，∠A＝n°，点O是△ABC的内心，∠BOC＝90°＋ n°例1.如图，在△ABC中，∠A=55°，点O是内心，求∠BOC的度数.例题学习例2.如图，在△ABC中，∠A=55°，点O是外心，求∠BOC的度数.如果∠A＝120°呢？例2.如图,点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E.
求证：BE＝IE.提示：欲证BE＝IE
需证∠BIE＝∠IBE
把∠BIE转化为两圆周角之和51.判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点.（ ）
（2）三角形三边中线的交点是三角形内心.（ ）
（3）若O为△ABC的内心，则OA＝OB＝OC.（ ）因此三角形的内心是 是它到√××三个内角的角平分线的交点三边的距离相等随堂训练1.这节课你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问，请与同学们交流一下.
2.本节课先学习了三角形内切圆的作法,接着讲述了三角形内切圆的相关概念,然后是三角形内心的有关计算.课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件10张PPT。第1课时 弧 长情景
引入合作
探究随堂
训练2.6 弧长与扇形的面积课堂
小结制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.情景引入2.已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？S=πR2 C=2πR1.已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？合作探究问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．（1）半径为R的圆,周长是多少？C=2πR（2）1°圆心角所对弧长是多少？ （3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？ n倍（4）n°圆心角所对弧长是多少？ 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l，则 l （1）在应用弧长公式l ，进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．例1.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长l （mm） 因此所要求的展直长度 L （mm） 答：管道的展直长度为2970mm． 例题学习1.制作弯形管道时，先按中心线计算“展直长度”，再下料.试计算图中所示的管道的展直长度L（即弧AB的长）.（单位：mm）
随堂训练2.有一段弯道是圆弧形的,道长是12m,弧所对的圆心角是81o,求这段圆弧的半径R.(精确到0.1m)1.n°的圆心角所对的弧长 .
2.学生大胆尝试公式的变化运用.课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件13张PPT。第2课时 扇形面积情景
引入合作
探究随堂
训练课堂
小结圆周长和面积的计算公式是什么?圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长?1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角呢?情景引入扇形的定义是什么?由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．图中阴影部分的图形叫什么呢？扇形合作探究已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积? 研究问题的步骤:（1）半径为R的圆,面积是多少? S=πR2 （2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍？ n倍 （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少? 扇形面积公式: 若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，
则S扇形= .注意:（1）在应用扇形的面积公式S扇形= 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？ 想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？ 如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no ，那么扇形面积的计算公式为：扇形面积的弧长与扇形面积: 例1.已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积． 解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2． ∵ ， ∴S= ． 例题学习1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____．
2.已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数为_____．
120°随堂训练3.已知半径为2的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长=____．
4.已知一条弧的半径R=35cm，弓形的高h=20cm，这条弧的长 （精确到0.1m).
5.已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以a/2为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积S.6.如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm,
(1)转动轮一周,传送带上的物品被传送多少厘米?
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转no,传送带上的物品A被传送多少厘米?1.扇形的概念.
2.圆心角为n°的扇形面积S扇= (l为扇形的弧长）.
3.组合图形的面积.课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习课件17张PPT。2.7 正多边形与圆情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.三条边相等，三个角也相等（60度）.四条边都相等，四个角也相等（90度）.情景引入想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？合作探究 弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等） —多边形是正多边形ABCD.O中心角半径R边心距r正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:
外接圆的半径正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.O中心角ABG边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra例 ：有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1平方米)..OBCrRP解:∴亭子的周长 L=6×4=24(m)例题学习正n边形的一个内角的度数是____________;
中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系
是________.相等1.O是正△ABC的中心，它是△ABC的 圆与
圆的圆心.2.OB叫正△ABC的 ，它是正△ABC的
圆的半径. 3.OD叫作正△ABC的 ，它是正△ABC的 圆的半径.D外接内切半径外接边心距内切归纳4.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的5.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的ABCD.OE中心边心距1.正多边形的各边相等2.正多边形的各角相等正多边形的性质：3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形
共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形
的中心.4.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.画正多边形的方法1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆(1)正四、正八边形的尺规作图（2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图ABCDEO如图,已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形.随堂训练1.怎样的多边形是正多边形？
你能举例说明吗？
2.怎样判定一个多边形是正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
根据正多边形与圆关系的
第一个定理课堂小结课后练习 见《学练优》本课时练习
