2.1 多边形（1）同步练习

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2.1 多边形（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成 ( http: / / www.21cnjy.com )的封闭图形叫做多边形,组成多边形的各条线段叫做多边形的边,相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点,连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线,相邻两边组成的角叫做多边形的内角(或角)．21教育网
2.n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）2（n≥3，且n为整数）
3．在平面内,各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形 ．
4．n边形的内角和等于(n－２)１８０°
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
2．某多边形的内角和为1 800°，则该多边形的边数为（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
3．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2016个三角形，那么这个多边形是（　　）边形．2·1·c·n·j·y
A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018
4．下列说法中，错误的是（　　）
A. 正多边形的各边都相等 B. 各边都相等的多边形是正多边形
C. 正三角形的三条边都相等 D. 正六边形的六个内角都相等
5．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（　　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ）
A. 50° B. 100° C. 180° D. 200°
7．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8．在凸n（n≥3的正整数）边形的所有内角中，锐角的个数最多是（　　）
A. 4 B. n C. n-3 D. 3
9．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（　　）www-2-1-cnjy-com
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A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
10．如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中( )．
A. 只有一个直角 B. 只有一个锐角 C. 有两个直角 D. 有两个钝角
二、填空题
11．多边形_________组成的角叫做多边形的内角.
12．十二边形的内角和是________度，若n边形的内角和1080°是则n= ___________
13．n边形有_______个顶点，________条边，______个内角，过n边形的每一个顶点有________条对角线．21·cn·jy·com
14．一个正六边形的周长是18 cm，则这个正六边形的边长是________cm.
15．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是__________．21*cnjy*com
16．从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则m＋n＝_______．21教育名师原创作品
17．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°．
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三、解答题
18．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
19．如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，∠A=140°，∠B=100°，∠E=90°，求：∠C、∠D、∠F的度数．
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20．探究归纳题：
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(1)试验分析：
如图1，经过A点可以做__________条对角线；同样，经过B点可以做__________条；经过C点可以做__________条；经过D点可以做__________条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有___________条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有_____________条对角线；
图3共有_____________条对角线；
(3)探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有_____________条对角线．(用含n的式子表示)
(4)特例验证：
十边形有__________________对角线.
21．画出如图多边形的全部对角线．
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22．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B与∠D的度数比是3：2，求∠B，∠D的度数．
23．我们知道过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1．
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图1
如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？
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图2
想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理．
24．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
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参考答案
1．A
【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
2．C
【解析】试题解析：设这个多边形的边数是
则：
解得：
故选C.
3．D
【解析】解：设多边形有n条边，
∵经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，
∴n﹣2=2016，
解得：n=2018，
故选：D．
4．B
【解析】解：A． 正多边形的各边都相等，正确；
B． 各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故B错误；
C． 正三角形的三条边都相等，正确；
D． 正六边形的六个内角都相等，正确．
故选B．
5．C
【解析】试题解析：根据题意，得：（n﹣2） 180=360°×2+180°，解得：n=7．
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为=14，故选C．
6．C
【解析】如图，
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∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∠1+∠2+∠A=180°，
∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°．
即五角星五个锐角的度数和是180°.
故选C．
7．C
【解析】设多边形原有边数为x，
则(2x 2)×180=2160，
2x 2=12，
解得x=7，
故本题选C.
8．D
【解析】∵凸n(n≥3的正整数)边形的外角和为360°,
∴n个外角中最多有3个钝角,
而每个外角和它对应的内角互补,
( http: / / www.21cnjy.com )凸n(n≥3的正整数)边形的所有内角中,锐角的个数最多有3个.
故选D.21世纪教育网版权所有
点睛：本题考查了凸n(n≥ ( http: / / www.21cnjy.com )3的正整数)边形的外角和定理:外角和为360°.根据多边形的外角定理得到n个外角中最多有3个钝角,而每个外角和它对应的内角互补,因此得到凸n(n≥3的正整数)边形的所有内角中,锐角的个数最多有3个.21·世纪*教育网
9．C
【解析】解：在△ABC中，∵∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选C．【出处：21教育名师】
点睛：本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．【版权所有：21教育】
10．A
【解析】解：设一份为x，则四个内角分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为：2x，2x，3x，5x，∴2x+2x+3x+5x=360°，解得：x=30°，∴2x=60°，3x=90°，5x=150°，只有一个直角．故选A．
11．相邻两边
【解析】相邻两边组成的角叫多边形的角叫多边形的内角.故答案为：相邻两边.
12． 1800° 8；
【解析】由题意可得：（12-2）×180°=1800°，
(n 2)×180°=1080°，
解得n=8.
故答案为：1800°，8.
13． n n n (n－3)
【解析】解：n边形有____n___个顶点，___n_____条边，__n____个内角，过n边形的每一个顶点有__（n-3）______条对角线．21cnjy.com
故答案为： n， n， n ，（n－3）．
14．3
【解析】解：正六边形的边长=18÷6=3．故答案为：3．
15．14
【解析】解：设边数为n，根据题意，得：（n-2） 180°=360°×2+180°
解得：n=7．
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为7×(7 3)÷2=14．故答案为：14．
点睛：此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解2-1-c-n-j-y
16．15
【解析】解：从a边形一个顶点可以引 ( http: / / www.21cnjy.com )（a－3）条对角线，把a边形分成（a-2）个三角形．当a=10时，m=10-3=7，n=7+1=8，∴m+n=7+8=15．故答案为：15．
17．450
【解析】∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
18．四个，图见解析.
【解析】分析：若让它们的斜边重合，则可以拼出矩形或一组对角是直角的四边形；若让它们的直角边重合，则可以拼出两种不同的平行四边形．www.21-cn-jy.com
本题解析：
四个．如图所示：
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19．∠C=120°，∠CDE=140°，∠F=130°．
【解析】试题分析：连接AD，由AF∥CD得出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠FAD=∠ADC，由AB∥DE得出∠BAD=∠ADE，故可得出∠CDE=∠BAF，∠FAD+∠ADE=∠ADC+∠BAD=∠BAF，再由四边形内角和定理即可得出∠F与∠C的度数．
试题解析：
连接AD，
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∵AF∥CD，
∴∠FAD=∠ADC．
∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CDE=∠BAF=140°，
∴∠FAD+∠ADE=∠ADC+∠BAD=∠BAF=140°．
∵∠E=90°，
∴∠F=360°﹣140°﹣90°=130°．
∵∠B=100°，
∴∠C=360°﹣100°﹣140°=120°．
点睛：本题主要考查了平行线的性质及四边形的内角和的知识，正确作出辅助线，熟练运用平行线的性质和四边形的内角和定理进行求解．
20． 1 1 1 1 2 5 9 35
【解析】试题分析:(1)根据对角线的定义,四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有条对角线,(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
试题解析:(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,
(2)五边形经过任意一点可 ( http: / / www.21cnjy.com )以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,
(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有条对角线,
(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
请在此填写本题解析!
21．图形见解析
【解析】分析：此图为6边形，有=9条对角线，依次画出即可．
本题解析：
如图所示： ( http: / / www.21cnjy.com )
22．∠B＝108°，∠D＝72°．
【解析】分析：由已知∠A=∠C=90°,较易得到∠B+∠D=180°,再根据已知的∠B:∠D=3:2,即可求解.
本题解析：
∵∠ A ＋∠ C ＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°＋90°＝180°，∴∠ B ＋∠ D ＝360°－(∠ A ＋∠ C )＝360°－1 80°＝180°．设∠ B ＝( 3 x )°，则∠ D ＝(2 x )°，∴(3 x )°＋(2 x )°＝180°，解得 x ＝36，∴3 x ＝108，2 x ＝72．即∠ B ＝108°，∠ D ＝72°．
23．n-2．想一想见解析
【解析】分析：本题主要考查利用三角形内 ( http: / / www.21cnjy.com )角和定理来证明多边形的内角和定理，从多边形的一个顶点出发引对角线，则把n边形分成（n-2)个三角形从而证明多边形的内角和定理.
本题解析：
(1)因为对角线是连结不相邻的两个顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )之间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有（n-3)条对角线，三条边组成一个三角形，(1)图可分成(n-2)个三角形,
(2)图可分成(n-1)个三角形.
证明:(1)从六边形的一个顶点 可引三条对角线，将六边形分成4个三角形，根据三角形内角和定理可得，【来源：21cnj*y.co*m】
六边形的内角和=4×180°=720°
推广到n边形可得
n边形的内角和=(n-2)×180°
(2)从一边上取一点P，依次连结各顶点组成5个三角形，而∠ =180°，所以 六边形的内角和=5×180°-180°=720°21*cnjy*com
n边形的内角和=（n-1)×180°-180°=(n-2)×180°
故答案为：
因为对角线是连结不相邻的两个顶点之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有（n-3)条对角线，三条边组成一个三角形，(1)图可分成(n-2)个三角形,（2）图可分成(n-1)个三角形.
24．BE∥DF，理由见解析．
【解析】分析：根据四边形的内角和定理和∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=∠C=90°,得∠ABC+∠ADC=180°;根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等,从而证明两条直线平行.
本题解析：
BE∥DF，理由：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°．
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．
∵∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°．
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
点睛：此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定,难度中等.
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