§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理
1．李娜为了备战2014年澳大利亚网球会开赛，需要从北京到A地进行封闭式训练，每天有7次航班，5列动车．
问题1：李娜从北京到A城的方法可分几类？
提示：两类，即乘飞机、乘动车．
问题2：这几类方法都能完成“从北京到A城”这件事吗？
提示：都能．
问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
提示：7＋5＝12(种)．
2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名同学担任班长．
问题4：不同的选法的种数为多少？
提示：26＋24＝50.
分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn种方法.
分步乘法计数原理
1．李娜从北京到A城需在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有5列动车．
问题1：李娜从北京到A城需要经历几个步骤？
提示：两个，即从北京到B城，从B城到A城．
问题2：这几个步骤中的某一步能完成“从北京到A城”这件事吗？
提示：不能．必须“从北京到B城”“从B城到A城”这两步都完成后才能完成“从北京到A城”这件事．
问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
提示：7×5＝35(种)．
2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名男生和一名女生担任班长．
问题4：不同的选法的种数为多少？
提示：26×24＝624.
分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有
N＝m1×m2×…×mn种方法．
1．分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情．
2．分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．
分类加法计数原理
[例1] 高二·一班有学生50人，男生30人；高二·二班有学生60人，女生30人；高二·三班有学生55人，男生35人．
(1)从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高二·一班、二班男生中，或从高二·三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
[思路点拨] (1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席；(2)完成的一件事是从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解．
[精解详析] (1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班选一名，有50种不同的方法；
第二类，从高二·二班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法．
故任选一名学生任学生会主席的选法共有
50＋60＋55＝165种不同的方法．
(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班男生中选，有30种不同的方法；
第二类，从高二·二班男生中选，有30种不同的方法；
第三类，从高二·三班女生中选，有20种不同的方法．
故选一名学生任学生会体育部长共有
30＋30＋20＝80种不同的方法．
[一点通] 如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总种数．
1．上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有( )
A．500种 B．5 000种
C．55种 D．10种
解析：选法为10＋20＋25＝55种．
答案：C
2．(福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
解析：因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或0或1或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.
答案：B
3．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？
解：依据“十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数字为 m，个位数字为n，则有
当 m＝1时，n＝0，有1个；
当 m＝2时，n＝0,1，有2个；当 m＝3时，n＝0,1,2，有3个；……
当 m＝9时，n＝0,1,2,3…8，有9个．
所有这样的两位数共有1＋2＋3＋…＋9＝45个.
分步乘法计数原理
[例2] (1)(山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
( )
A．243 B．252
C．261 D．279
(2)有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，有不同的取法________种．
[思路点拨] (1)先排百位，然后排十位，最后排个位．注意百位数字不能为0.
(2)要从盒子里任取红、白、黄小球各一个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故须采用乘法原理．
[精解详析] (1)十个数字组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有9×9×8＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
(2)完成这件事可分三步：
第一步：取红球，有6种不同的取法；
第二步：取白球，有5种不同的取法；
第三步：取黄球，有4种不同的取法．
根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120种不同的取法．
[答案] (1)B (2)120
[一点通] 利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完成后，才能完成这件事．
4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：
第一步：选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；
第二步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．
故共有4×3＝12种不同的配法．
答案：B
5．将3封信投到4个邮筒，所有投法有( )
A．24种 B．4种
C．64种 D．81种
解析：分三步完成投信这件事．第一步投第1封信有4种方法，第二步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N＝4×4×4＝64种方法．
答案：C
6．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
解：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三步完成：
第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；
第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
(2)分三步完成：
第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；
第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数.
两个计数原理的应用
[例3] (12分)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．
[思路点拨] 本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类．
[精解详析] 法一：分为两类：
第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种；
第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48种．
共有36＋48＝84种．
法二：分为四步：
第一步：考虑A，有4种；
第二步：考虑B，有3种；
第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．
共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
[一点通] 综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．
7．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )
A．18 B．16
C．14 D．10
解析：分为两大类：
第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标．
由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．
第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标．
由分步乘法计数原理，有4×2＝8个不同的点．
由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N＝6＋8＝14个．
答案：C
8．有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本．若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有________种不同的选法．
解析：分为三类，每一类再分两步．
第一类选中文、英文书各一本有7×5＝35种选法，第二类选中文、法文书各一本有7×3＝21种选法，第三类选英文、法文书各一本有5×3＝15种选法，所以总共有35＋21＋15＝71种不同的选法．
答案：71
9．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：确定幸运观众可分两类：
第一类：幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400种结果；
第二类：幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有20×30×19＝11 400种结果．
根据分类加法计数原理，共有17 400＋11 400＝28 800种不同的结果．
1．两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事有n类不同的办法，关键词是“分类”
完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
2.“分类”“分步”应注意
(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )
A．37种 B．1 848种
C．3种 D．6种
解析：根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．
答案：A
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，其中虚数有
( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部 b 有6种选法；第二步，实部 a 有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数 6×6＝36 个．
答案：C
3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )
A．756种 B．56种
C．28种 D．255种
解析：推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．
答案：D
A
B
C
D
4.用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．12种 B．24种
C．48种 D．72种
解析：先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．
由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．
答案：D
5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．
解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．
答案：72
6．如图，A→C，有________种不同走法．
解析：A→C的走法可分两类：
第一类：A→C，有2种不同走法；
第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．
根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．
答案：6
7．设椭圆＋＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．
(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．
∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：
a
2
3
4
5
b
1
1,2
1,2,3
1,2,3,4
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：
第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．
因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．
第一课时 排列与排列数公式
排列的概念
[例1] 下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？
(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？
(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？
[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．
[精解详析] (1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题．
(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．
(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．
[一点通] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．
1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.
其中为真命题的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案：A
2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．
(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？
(2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？
(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？
解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．
(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．
不同排列为张红 李明；李明 张红；张红 赵华；赵华 张红；李明 赵华；赵华 李明．
(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．
列举法解决排列问题
[例2] 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，写出所得到的所有三位数．
[思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列．
[精解详析] 画出下列树形图，如下图．
由上面的树形图知，所有的三位数为：
123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数．
[一点通] 在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．
3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位数．
解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个．
答案：6
4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是：
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
排列数的计算
[例3] (12分)计算下列各题：
(1)A；(2)；(3).
[思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．
[精解详析] (1)A＝10×9×8＝720.?(4分)
(2)＝
＝＝＝.?(8分)
(3)＝·(n－m)！·＝1.?(12分)
[一点通] (1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．
5．已知A＝7A，则n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．2
解析：由排列数公式，得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N＋.
∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝(舍)．
答案：B
6．若A＝10×9×…×5，则m＝________.
解析：由排列数公式，得m＝6.
答案：6
7．计算：＝________.
解析：法一：
原式＝
＝＝＝1.
法二：原式＝＝＝＝1.
答案：1
8．(1)解方程A＝140A；
(2)解不等式：A<6A.
解：(1)∵∴x≥3，x∈N＋，
由A＝140A得
(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，
化简得，4x2－35x＋69＝0，
解得，x1＝3或x2＝(舍)，∴方程的解为x＝3.
(2)由得3≤x≤6，且x∈N＋.
又A<6A
?<6·
?(8－x)(7－x)<6
?x2－15x＋50<0
?(x－10)(x－5)<0
?5综上可知x＝6，不等式解集为{6}．
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问题是否是排列问题时，可按下列方法进行：
1．5A＋4A等于( )
A．107 B．323
C．320 D．348
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：D
2.等于( )
A. B.
C. D.
解析：＝＝.
答案：C
3．设a∈N＋，且a<27，则(27－a)(28－a)·…·(34－a)等于( )
A．A B．A
C．A D．A
解析：8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.
答案：D
4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )
A．16种 B．6种
C．15种 D．12种
解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A＝12种方案．
答案：D
5．已知9！＝362 880，那么A＝________.
解析：A＝＝＝181 440.
答案：181 440
6．给出下列问题：
①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？
④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？
上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)
解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．
答案：②③
7．(1)计算；
(2)解方程3A＝4A.
解：(1)原式＝＝＝＝.
(2)由3A＝4A，得＝，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.
8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A＝4×3×2＝24种不同的分法．
不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：
由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
第二课时 排列的应用
无限制条件的排列问题
[例1] 由数字1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数？
[思路点拨] 可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和．
[精解详析] 第一类：组成一位数有A＝4个；
第二类：组成二位数有A＝12个；
第三类：组成三位数有A＝24个；
第四类：组成四位数有A＝24个．
根据加法原理，一共可以组成4＋12＋24＋24＝64个正整数．
[一点通] 对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解．若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．
1．从4种蔬菜品种中选3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
解：从4种蔬菜品种中选3种，分别种在3块不同土质上，对应于从4个元素中取出3个元素的排列数．因此不同的种植方法数为A＝4×3×2＝24.
故共有24种不同的种植方法．
2．(1)有3名大学毕业生到5个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？
(2)有5名大学毕业生到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？
解：(1)将5个招聘雇员的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60种．
(2)将5名大学毕业生看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3个招聘雇员的公司，则本题仍为从5个不同的元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有A＝5×4×3＝60种.
元素“在”与“不在”型排列问题
[例2] 7名同学站成一排．
(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．
[精解详析] (1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外 6名同学，共有A＝6×5×4×3×2×1＝720种排法．
(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A种，再在余下的5个位置排另外5名同学的排法有A种，共有AA＝2×1×5×4×3×2＝240种排法．
(3)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种，共有AA＝5×4×5×4×3×2×1＝2 400种排法．
法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A种，中间5个位置有A种，共有AA＝2 400种排法．
[一点通] (1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
(2)从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
3．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有( )
A．48种 B．24种
C．720种 D．120种
解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间4个位置，则N＝AA＝2×24＝48.
答案：A
4．用0,1,2这3个数字，可以排成________个无重复数字的3位数．
解析：组成3位数，相当于将3个元素排在三个位置，但0不能在首位，首位的排法有A，而其余两位排法有A，由分步乘法原理知，共有AA＝4种排法．
答案：4
5．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？
解：法一：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1,2,3,4中任选2个排在首位和个位，有A种排法，再排中间4位数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有A·A＝12×24＝288个符合要求．
法二：六个数位的全排列共有A个，其中有0排在首位或个位上的有2A个，还有5排在首位或个位上的也有2A个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A种，所以有A－4A＋2A＝288个符合要求.
元素“相邻”与“不相邻”型排列问题
[例3] (8分)喜羊羊家族的四位成员，与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照张合影．(排成一排)
(1)要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？
[思路点拨] 相邻元素可看作一个集团利用捆绑法，不相邻元素利用插空法．
[精解详析] (1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，与灰太狼、红太狼排队共有A种排法，又因四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有AA＝144种排法． ?(4分)
(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法，第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A种排法，共有AA＝480种排法． ?(8分)
[一点通] (1)相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素看成一个整体作为一个元素与其他元素排列．但不要忘记再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列．
(2)不相邻问题用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相邻的元素插入空中排列．
6．(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120
C．144 D．168
解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.
答案：B
7．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解析：将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．
答案：36
8．4名男同学和3名女同学站成一排．
(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)男生与女生相间排列的方法有多少种？
解：(1)3名女同学是特殊元素，优先安排，共有A种排法；由于3名女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法．由分步乘法计数原理，共有AA＝720种不同的排法．
(2)先将男生排好，共有A种排法；再在这4名男生的中间及两头的5个空当中插入3名女生，有A种排法．故符合条件的排法共有AA＝1 440种．
(3)不妨先排男生，有A种排法，在4名男生形成的3个间隔共有3个位置安排3名女生，有A种，因此共有AA种排法，故4名男生3名女生相间的排法共有AA＝144种．
解有限制条件的排列问题的基本思路
1．含有特殊元素或特殊位置的排列，通常优先安排特殊元素或特殊位置；
2．当限制条件超过两个(包括两个)，若互不影响，则直接按分步解决，若相互影响，则首先分类，在每个分类中再分步解决；
3．某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，即用“捆绑法”；
4．某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，即用“插空法”．
1．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为( )
A．A B．3A
C．A·A D．A·A
解析：甲、乙、丙3人站在一起有A种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A种，共有A·A种．
答案：D
2．(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.
答案：B
3．由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )
A．56个 B．57个
C．58个 D．60个
解析：首位为3时，有A＝24个；
首位为2时，千位为3，则有AA＋1＝5个，千位为4或5时有AA＝12个；
首位为4时，千位为1或2有AA＝12个，千位为3时，有AA＋1＝5个．
由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．
答案：C
4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
答案：D
5．(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A种不同的方法．故所有不同的排法共有A·A＝24×20＝480(种)．
法二：6人排成一行，所有不同的排法有A＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有AA＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．
答案：480
6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．
解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A种方法．由分步乘法计数原理知共有3A＝18种方法．
答案：18
7．由A，B，C等7人担任班级的7个班委．
(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？
解：(1)先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，共有AA＝720种分工方案．
(2)7人的任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A－AA＝3 600种．
8．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？
解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有＝2 520种．
第一课时 组合与组合数公式
组合的有关概念
[例1] 给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．
[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；
(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；
(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．
[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．
1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．
(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？
(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？
(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．
(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．
(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．
(4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关．
(5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．
(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．
有关组合数的计算与证明
[例2] 求值：(1)C－CA；(2)C＋C；
(3)C＋C.
[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决．
[精解详析] (1)原式＝C－A
＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)C＋C＝C＋C＝＋200
＝4 950＋200＝5 150.
(3)∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，∴n＝10.
∴C＋C＝C＋C＝C＋C
＝＋31＝466.
[一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．
(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．
2．若C＝28，则n的值为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：∵C＝＝＝28，
∴n(n－1)＝56，即n＝8.
答案：B
3．若C，C，C成等差数列，则C的值为________．
解析：由已知，得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
答案：91
4．证明：C＝C.
证明：∵·C＝·
＝
＝＝C，
∴C＝C成立.
简单的组合应用题
[例3] (12分)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值．
[精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝56.?(4分)
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC＝＝21. ?(8分)
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35. ?(12分)
[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．AA种 D．CC种
解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：
第一步，选女工，有C种选法；
第二步，选男工，有C种选法．
故有CC种不同选法．
答案：D
6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C＝210种分组方法．
答案：210
7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C＝45种．
(2)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法CC＝90种．
1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．
2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C时，若m＞，通常使用C＝C转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C＝C＋C.
1．给出下面几个问题：
①10人相互通一次电话，共通多少次电话？
②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？
③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
其中是组合问题的有( )
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．
答案：C
2．若A＝12C，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
解析：∵A＝12C，∴n(n－1)(n－2)＝12×.解得n＝8.
答案：A
3．下列四个式子中正确的个数是( )
(1)C＝；(2)A＝nA；
(3)C÷C＝；(4)C＝C.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：因为C＝＝·＝，故(1)正确；
因为nA＝n·＝＝A，故(2)正确；
因为C÷C＝÷＝×＝，
故(3)正确．
因为C＝，C＝·＝，所以C＝C，故(4)正确．
答案：D
4．若C－C＝C，则n等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：C－C＝C，即C＝C＋C＝C，
所以n＋1＝7＋8，即n＝14.
答案：C
5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
解析：∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝.
答案：
6．方程C＝C的解为________．
解析：当x＝3x－8，解得x＝4；当28－x＝3x－8，解得x＝9.
答案：4或9
7．计算：(1)C＋CC；
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C.
解：(1)原式＝C＋C×1＝＋
＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)
＝2×＝32.
8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
解：(1)C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
第二课时 组合的应用
有限制条件的组合问题
[例1] 2011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[思路点拨] 选取医疗专家不需要考虑顺序，因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确的分类或分步．
[精解详析] (1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有CC种选法；
②选3名外科专家，共有CC种选法；
③选4名外科专家，共有CC种选法．
根据分类加法计数原理，共有
CC＋CC＋CC＝185种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有
C－CC－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有CC种选法；
③有2名外科专家参加，有CC种选法．
所以共有C＋CC＋CC＝115种抽调方法．
[一点通] (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有( )
A．26 B．84
C．35 D．21
解析：从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．
答案：C
2．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70种．
答案：A
3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C＝816种．
(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C＝8 568种．
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有选法CC＋C＝6 936种.
几何中的组合问题
[例2] 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)经过这9个点，可确定多少条直线？
(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？
[思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．
[精解详析] 法一(直接法)：
共线的4点记为A，B，C，D.
(1)第一类：A，B，C，D确定1条直线；
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定C条直线； ?(2分)
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定CC条直线．
?(3分)
根据分类加法计数原理，共有不同直线
1＋C＋CC＝1＋10＋20＝31条． ?(4分)
(2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得CC个三角形；
第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得CC个三角形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得C个三角形．共有CC＋CC＋C＝80个三角形． ?(8分)
(3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得C＋CC＋CC＝105个四边形． ?(12分)
法二(间接法)：
(1)可确定直线C－C＋1＝31条．
(2)可确定三角形C－C＝80个．
(3)可确定四边形C－C－CC＝105个．
[一点通] 利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①几何图形的隐含条件：如三角形的三个顶点不共线；四边形的四个顶点中任意三点都不共线等．②根据实际情况选择直接法或间接法．③确定分类的标准，合理分类．
4．从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
解析：从8个顶点中任取4个有C种方法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(C－12)个不同的四面体．
答案：A
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
解析：C－3＝32.
答案：32
6．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．
解析：第一步，从m条中任选2条有C种选法；
第二步，从n条中任选2条有C种选法．
由分步乘法计数原理，得共有CC.
答案：CC
解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．
(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则．
(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为( )
A．81 B．60
C．6 D．11
解析：分三类：
恰有2件一等品，有CC＝60种取法；
恰有3件一等品，有CC＝20种取法；
恰有4件一等品，有C＝1种取法．
∴抽法种数为60＋20＋1＝81.
答案：A
2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )
A．6个 B．12个
C．18个 D．30个
解析：从6个顶点中任取4个有C＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．
答案：B
3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C·C＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C·C＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．
答案：C
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11
C．12 D．15
解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C＝6个；
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C＝1个．
∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．
答案：B
5．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)
解析：第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC＝60种情况．
答案：60
6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答)
解析：分两类完成：
第一类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同的选修方案；
第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．
故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．
答案：75
7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
解：(1)有C＝220种抽法．
(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，
所以共有CC＝90种抽法．
(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有CC＋CC＝100种抽法．
法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种方法，所以共有C－C＝100种抽法．
8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，
所以选取种数为N＝C＝45(种)，
即4只鞋子恰成双有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
4 简单计数问题
有限制条件的组合问题
[例1] 2011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[思路点拨] 选取医疗专家不需要考虑顺序，因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确的分类或分步．
[精解详析] (1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有CC种选法；
②选3名外科专家，共有CC种选法；
③选4名外科专家，共有CC种选法．
根据分类加法计数原理，共有
CC＋CC＋CC＝185种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有
C－CC－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有CC种选法；
③有2名外科专家参加，有CC种选法．
所以共有C＋CC＋CC＝115种抽调方法．
[一点通] (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有( )
A．26 B．84
C．35 D．21
解析：从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．
答案：C
2．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70种．
答案：A
3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C＝816种．
(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C＝8 568种．
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有选法CC＋C＝6 936种.
几何中的组合问题
[例2] 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)经过这9个点，可确定多少条直线？
(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？
[思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．
[精解详析] 法一(直接法)：
共线的4点记为A，B，C，D.
(1)第一类：A，B，C，D确定1条直线；
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定C条直线； ?(2分)
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定CC条直线．
?(3分)
根据分类加法计数原理，共有不同直线
1＋C＋CC＝1＋10＋20＝31条． ?(4分)
(2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得CC个三角形；
第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得CC个三角形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得C个三角形．共有CC＋CC＋C＝80个三角形． ?(8分)
(3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得C＋CC＋CC＝105个四边形． ?(12分)
法二(间接法)：
(1)可确定直线C－C＋1＝31条．
(2)可确定三角形C－C＝80个．
(3)可确定四边形C－C－CC＝105个．
[一点通] 利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①几何图形的隐含条件：如三角形的三个顶点不共线；四边形的四个顶点中任意三点都不共线等．②根据实际情况选择直接法或间接法．③确定分类的标准，合理分类．
4．从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
解析：从8个顶点中任取4个有C种方法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(C－12)个不同的四面体．
答案：A
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
解析：C－3＝32.
答案：32
6．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．
解析：第一步，从m条中任选2条有C种选法；
第二步，从n条中任选2条有C种选法．
由分步乘法计数原理，得共有CC.
答案：CC
解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．
(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则．
(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为( )
A．81 B．60
C．6 D．11
解析：分三类：
恰有2件一等品，有CC＝60种取法；
恰有3件一等品，有CC＝20种取法；
恰有4件一等品，有C＝1种取法．
∴抽法种数为60＋20＋1＝81.
答案：A
2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )
A．6个 B．12个
C．18个 D．30个
解析：从6个顶点中任取4个有C＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．
答案：B
3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C·C＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C·C＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．
答案：C
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11
C．12 D．15
解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C＝6个；
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C＝1个．
∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．
答案：B
5．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)
解析：第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC＝60种情况．
答案：60
6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答)
解析：分两类完成：
第一类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同的选修方案；
第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．
故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．
答案：75
7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
解：(1)有C＝220种抽法．
(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，
所以共有CC＝90种抽法．
(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有CC＋CC＝100种抽法．
法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种方法，所以共有C－C＝100种抽法．
8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，
所以选取种数为N＝C＝45(种)，
即4只鞋子恰成双有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
第一课时 二项式定理
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并思考下列问题．
问题1：(a＋b)n展开式中共有多少项？
提示：n＋1项．
问题2：(a＋b)n展开式中系数有什么特点？
提示：依次为组合数C，C，C，…，C.
问题3：(a＋b)n展开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？
提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a的降幂排列，b的升幂排列．
二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn叫作二项式定理
二项展开式
公式右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式
二项式系数
各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫作二项式系数
二项展开式的通项
式中Can－rbr叫作二项展开式的通项
在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.
(1)(a＋b)n的展开式中共有n＋1项，字母a的幂指数按降幂排列，字母b的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为n.
(2)通项公式Tr＋1＝Can－rbr是第r＋1项而不是r项．
二项式定理的正用、逆用
[例1] (1)求4的展开式；
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[思路点拨] (1)直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开；(2)根据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理．
[精解详析] (1)法一：4
＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)·3＋C·4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
[一点通] 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．
1．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值为( )
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
解析：1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n.
答案：C
2．求3的展开式．
解：3＝6＝(x2－1)6
＝[C(x2)6－C(x2)5＋C(x2)4－C(x2)3＋C(x2)2－Cx2＋C]
＝(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)
＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋.
求二项展开式的特定项
[例2] 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 首先利用通项公式可求得幂指数n，进而利用通项公式可求得所有的有理项．
[精解详析] (1)二项展开式的通项为
C()n－rr＝(－3)rCx.
∵第6项为常数项，∴当r＝5时，＝0，解得n＝10.
(2)根据通项公式，由题意，得
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，
∴r＝2,5,8.
∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
[一点通] (1)求二项展开式中的某些特定项时，通常先利用通项公式由题意求出r，再求所需的某项；有时需要先求出n，计算时要注意n和r的取值范围以及它们之间的大小关系．
(2)处理常数项问题的关键是抓住变量的指数为0，有理项问题的关键是变量的指数为整数．
3．(湖南高考)5的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A.
答案：A
4．(江西高考)5展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
解析：Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×(－2)2＝40.
答案：C
5．求(－)9展开式中的有理项．
解：∵Tr＋1＝C(x)9－r(－x)r＝(－1)rCx，
令∈Z，即4＋∈Z，且r＝0,1,2，…，9.
∴r＝3或r＝9.
当r＝3时，＝4，T4＝(－1)3Cx4＝－84x4；
当r＝9时，＝3，T10＝(－1)9Cx3＝－x3.
∴(－)9的展开式中的有理项是第4项：－84x4，
第10项：－x3.
二项式系数与项的系数
[例3] (8分)已知二项式10.
(1)求展开式中第4项的二项式系数；
(2)求展开式中第4项的系数．
[思路点拨] 利用二项式的通项求第4项的二项式系数及系数．
[精解详析] 10的二项展开式的通项是
Tk＋1＝C(3)10－kk(k＝0,1，…，10)． ?(4分)
(1)第4项的二项式系数为C＝120. ?(6分)
(2)第4项的系数为C373＝－77 760. ?(8分)
[一点通] 要注意区分某项的二项式系数与系数的区别，前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．
6．(新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝( )
A．－4 B.－3
C．－2 D．－1
解析：展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
答案：D
7．(浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60
C．120 D．210
解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1，2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.
答案：C
8．求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数．
解：二项式6的展开式中第6项为
C25＝－12x－，
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为－12.
求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．
1．(x－2y)7的展开式中的第4项为( )
A．－280x4y3 B．280x4y3
C．－35x4y3 D．35x4y3
解析：(x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝Cx4(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3.
答案：A
2．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
解析：Tk＋1＝C·x10－k(－)k，令10－k＝6，知k＝4，∴T5＝Cx6(－)4，即x6的系数为9C.
答案：D
3．(大纲全国卷)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84
C．112 D．168
解析：在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168，故选D.
答案：D
4．已知n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：n的展开式的通项Tr＋1＝C2n－rx3n－4r，由r＝6时，3n－4r＝0.得n＝8.
答案：B
5．(安徽高考)若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
解析：二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.
答案：
6．(浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
解析：Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.
答案：－10
7.n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．
解：由题意知，C＝C.
∴n＝17.
∴Tr＋1＝Cx·2r·x－＝C·2r·x－.
∴－＝1.
解得r＝9.
∴Tr＋1＝C·x4·29·x－3，
即T10＝C·29·x.
其一次项系数为C·29.
8．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
解：法一：利用二项式的展开式解决．
(1)8＝(2x2)8－C(2x2)7·＋C(2x2)6·2－C(2x2)5·3＋C(2x2)4·4－C(2x2)3·5＋C(2x2)2·6－C(2x2)·7＋C8，
则第5项的二项式系数为C＝70，第5项的系数C·24＝1 120.
(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C·(2x2)2·6＝112x2.
法二：利用二项展开式的通项公式．
(1)T5＝C(2x2)8－4·4＝C·24·x，
则第5项的二项式系数是C＝70，
第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
第二课时 二项式系数的性质
二项式系数的性质
n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：
观察此表，思考下列问题．
问题1：同一行中，系数有什么规律？
提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等，
即C＝C.
问题2：相邻两行，系数有什么规律？
提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
“杨辉三角”及其规律
(1)杨辉三角
(2)“杨辉三角”蕴含的规律
①在同一行中，每行两端都是1.
②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质C＝C＋C.
③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．C＝C.
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：
(1)C＝C；
(2)C＝C＋C.
2．从表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和等于2n，而C＋C＋C＋…＋C＝2n.
与“杨辉三角”有关的问题
[例1] 如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的值．
[思路点拨] 观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．
[精解详析] 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝＋C＝54＋220＝274.
[一点通] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
解析：观察规律可知：第n行的首尾两个数均为2n－1.
答案：2n－1
2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
解析：由杨辉三角知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；…；第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解之得n＝34.
答案：34
二项展开式中系数的和
[例2] (10分)设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 013的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a20 13的值．
[思路点拨] 可在已知的等式中分别取x＝0,1，－1，得各系数和、差的关系，进而求解．
[精解详析] (1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013中，令x＝0，得1＝a0.
∴a0＝1. ?(3分)
(2)在等式中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 013，∴a1＋a2＋…＋a2 013＝－2.
?(6分)
(3)令x＝－1，x＝1，
得
相减，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a2 013)． ?(8分)
∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－(1＋22 013)． ?(10分)
[一点通] (1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数的和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]．
3．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )
A．1 B．－1
C．215 D．315
解析：令x＝1时(－1)15＝－1.
答案：B
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解：(1)令x＝0，则a0＝－1.
令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.
(3)∵Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)r，
∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N＋)．
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|
＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7
＝47＝16 384.
解决与杨辉三角有关的问题的注意事项：
(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．
(2)注意二项式系数性质C＝C，C＝C＋C的应用．
1．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是( )
A．－2 048 B．－1 023
C．－1 024 D．1 024
解析：令f(x)＝(x－1)11，偶次项系数之和是＝＝－1 024.
答案：C
2．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有x＝5，n＝4适合．
答案：C
3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk
＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．
由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20.
答案：B
4．在4的展开式中各项系数之和是16.则a的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．－1或3
解析：由题意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，解得a＝－1或a＝3.
答案：D
5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．
解析：令x＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
答案：－2
6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________．
解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4·(2－)4＝1.
答案：1
7．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
解：由题意知C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C＝121，
∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0，
解得n＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项．
且T8＝C(3x)7＝C37x7，
T9＝C(3x)8＝C38x8.
8．对二项式(1－x)10，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项．
(2)求展开式中各二项式系数之和．
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，
T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)C＋C＋C＋…＋C
＝210＝1 024.
(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.
令x＝0，得a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
第一章 计数原理
知识整合与阶段检测
[对应学生用书P19]
1．两个计数原理
运用两个基本原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成整个事件；而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法只能完成事件的某一部分．
2．排列与组合
(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
即排列和顺序有关，组合与顺序无关．
(2)排列数公式：①A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，规定A＝1.
当m＝n时，A＝n ·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1.
②A＝，其中A＝n！，0！＝1.
[说明] 公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于化简．
组合数公式：
C＝＝
＝，规定C＝1.
组合数性质：C＝C，C＝C＋C.
(3)解答排列组合应用题常用策略
①包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应“在”与“不在”问题．
②某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻”的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序．
③某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端．
④直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减去不符合条件的方法数．
⑤排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元素，再排序．
3．二项式定理
(1)二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn这个公式称为二项式定理．
其中C(r＝0,1,2，…，n)叫二项式系数．
Tr＋1＝Can－rbr称为二项式展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．
(2)二项式系数性质
①C＝C；
②C＝C＋C；
③C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
解析：完成这件事共分5步，即每个同学均报完一个小组才结束，每人有2种选择方法，故共有25＝32种不同选择方法．
答案：D
2．(陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．
答案：C
3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C·C·C＝96种．
答案：C
4．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A．(C)2A个 B．AA个
C．(C)2104个 D．A104个
解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(C)2A个．
答案：A
5.n的展开式中，第5项是常数项，则x3的系数为( )
A．1215 B．405
C．－1215 D．－405
解析：T5＝C3n－4xn－6，由题意知，n－6＝0，解得n＝6.
Tr＋1＝C(－1)r36－rx6－r，令6－r＝3得r＝2，所以x3的系数为C(－1)234＝15×34＝1 215.
答案：A
6．从1,2，－1，－2，－3中任取不同的3个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，其中表示开口向上的抛物线的条数为( )
A．10 B．24
C．48 D．60
解析：因为y＝ax2＋bx＋c表示开口向上的抛物线，a必须大于0，因此共有CA＝24条抛物线．
答案：B
7．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法种数有2×2×A＝24.
答案：B
8．(安徽高考)(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.当因式(x2＋2)中提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)中提供2时，则取r＝5，所以(x2＋2)5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
9．用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数( )
A．6 B．9
C．10 D．8
解析：比12 340小的分三类：第一类是千位比2小为0，有A＝6个；第二类是千位为2，百位比3小为0，有A＝2个；第三类是十位比4小为0，有1个．共有6＋2＋1＝9个，所以12 340是第10个数．
答案：C
10．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于( )
A．0 B．pq
C．p2－q2 D．p2＋q2
解析：由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(p＋q)(p－q)＝p2－q2.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．(用数字作答)
解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有CCC＝1 260种．
答案：1 260
12．(天津高考)6的二项展开式中的常数项为________．
解析：二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)rx6－r，当6－r＝0，即r＝4时是常数项，所以常数项是C(－1)4＝15.
答案：15
13．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个．(用数字作答)
解析：可以分情况讨论：
①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2·A＝12个五位数；
②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不能是首位数字，则有2·A＝4个五位数；
③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不能是首位数字，则有2·(2·A)＝8个五位数，所以全部合理的五位数共有12＋4＋8＝24个．
答案：24
14．如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n行(n∈N＋)，在这些数中，非1的数之和为________．
解析：所求和S＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)＝－2n＋1＝2n－2n.
答案：2n－2n
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知n的展开式的各项系数之和等于5展开式中的常数项，求n展开式中含a－1的项的二项式系数．
解：设5的展开式的通项为Tr＋1＝C(4)5－rr＝r·45－rC·b，(r＝0,1,2,3,4,5)．
若它为常数项，则＝0，∴r＝2.
代入上式，得T3＝27.
即常数项是27，从而可得n中n＝7，
同理7二项展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r·37－rC·a，令5r－21＝－1，得r＝4.故含a－1的项是第5项，其二项系数是35.
16．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型中的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
17．(本小题满分12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？
(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)
解：(1)分三步完成：第一步，取两个偶数，有C种方法；第二步，取两个奇数，有C种方法；第三步，将取出的四个数字排成四位数有A种方法．根据分步乘法计数原理，共能组成CCA＝216个不同的四位数．
(2)先取出两个偶数和两个奇数，有CC种方法；再将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有AA种方法．根据分步乘法计数原理，偶数排在一起的四位数有CCAA＝108个．
(3)两个偶数不相邻用插空法，共有四位数CCA＝108个．
18．(本小题满分14分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N＋)．
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数．
解：(1)由题设条件，得m＋n＝19.
∴m＝19－n，x2的系数为C＋C＝C＋C＝＋＝n2－19n＋171＝2＋，
∵n∈N＋.
∴当n＝9或n＝10时，
x2的系数取最小值2＋＝81.
(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.
