1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
学习目标 1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
知识点一 分类加法计数原理(加法原理)
第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．
思考1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？
思考2 这几类方案中各有几种方法？
思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？
梳理 分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝__________种方法．
知识点二 分步乘法计数原理(乘法原理)
李娜为备战网球公开赛，需从北京到A城进行封闭式训练，中途要在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有6列动车．
思考1 李娜从北京到A城需要经过几个步骤？
思考2 李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
梳理 分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
类型一 分类加法计数原理
例1 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
反思与感悟 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．
(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练1 设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆的有( )
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个
类型二 分步乘法计数原理
例2 (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远3个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？
反思与感悟 在运用分步乘法计数原理解决问题时，应首先弄清分步的主体是什么，再根据主体进行分步，最后根据分步乘法计数原理进行解题．
跟踪训练2 从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________．
类型三 两个计数原理的应用
例3 如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．
反思与感悟 综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．
跟踪训练3 如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
1．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )
A．20 B．10 C．5 D．24
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12 C．64 D．81
3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．56 B．65
C. D．6×5×4×3×2
4．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.
A
B
C
D
5．如图，A→C有________种不同的走法．
1．使用两个原理解题的本质
―→―→
―→―→
2．“分类”“分步”的注意点
(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 两类，即乘飞机、坐火车．
思考2 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．
思考3 共有7＋6＝13(种)不同的方法．
梳理 m1＋m2＋…＋mn
知识点二
思考1 2个．
思考2 7×6＝42(种)．
梳理 m1×m2×…×mn
题型探究
例1 解 方法一 一个两位数由十位数字和个位数字组成，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能．
一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，把这样的两位数分成10类．
第一类：当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两位数．
第二类：当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满足条件的两位数．
第三类：当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数．
以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数的个数分别为6,5,4,3,2,1,0.
由分类加法计数原理，满足条件的两位数有
9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45(个)．
故个位数字小于十位数字的两位数共有45个．
方法二 考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．
在总共90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…99，共9个；另有10,20,30，…，90，共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90－18＝72个两位数，按“ab”与“ba”进行一一对应，则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与另一个“十位数字小于个位数字的两位数”对应，故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有72÷2＝36(个)．
故满足条件的两位数的个数为9＋36＝45，即个位数字小于十位数字的两位数共有45个．
跟踪训练1 A
例2 解 (1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．
(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4名同学中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4×4×4＝64(种)可能的情况．
跟踪训练2 100
例3 解 方法一 分为两类：
第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×3＝36(种)；
第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48(种)．
共有36＋48＝84(种)．
方法二 分为四步：
第一步：考虑A，有4种；
第二步：考虑B，有3种；
第三步：考虑C，有两类：一是A与C相同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．
共有4×3×(1×3＋2×2)＝84(种)．
跟踪训练3 解 由题意，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．
当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．
由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法．
由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种)．
当堂训练
1．B 2.B 3.A 4.108 5.6
第1课时 排列与排列数公式
学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
知识点一 排列的定义
思考1 若A，B，C三名同学排成一行照相，有哪些站法？请列举出来．
思考2 ABC与ACB是同一种站法吗？
梳理 排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫作____________________________________________的一个排列．
知识点二 排列数及排列数公式
思考1 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？
思考2 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？
梳理 排列数
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示
排列数公式
乘积式
A＝______________________
阶乘式
A＝______________________
排列数的性质
A＝________；A＝________；0！＝1
类型一 排列的概念
例1 下列问题是排列问题的为________．
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；
⑤10个车站，站与站间的车票．
反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题．
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
类型二 列举法解决排列问题
例2 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，写出所得到的所有的三位数．
反思与感悟 在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素为首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．
跟踪训练2 A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
类型三 排列数及其应用
命题角度1 由排列数公式进行化简与求值
例3 计算下列各题：
(1)A；(2)；(3).
反思与感悟 (1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数．
(2)利用排列数公式进行计算时可利用连乘形式也可利用阶乘形式．当A中m已知且较小时用连乘形式，当m较大或为参数时用阶乘形式．
(3)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系．解题时的常用变式
①n！＝n(n－1)！.
②A＝nA.
③n·n！＝(n＋1)！－n！.
④＝－.
跟踪训练3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋，且n<55)＝________；
(2)计算2A＋A＝________.
命题角度2 与排列数有关的方程、不等式的求解
引申探究
把本例的方程改为不等式“A<140A”，求它的解集．例4 解方程A＝140A.
反思与感悟 利用排列数公式展开即得到关于x的方程(或不等式)，但由于x存在于排列数中，故应考虑排列数对x的制约，避免出现增根．
跟踪训练4 不等式A<6A的解集为( )
A．[2,8] B．[2,6]
C．(7,12) D．{8}
1．20×19×18×…×9等于( )
A．A B．A C．A D．A
2．下列问题中属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
3．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
4．已知A＝30，则x＝________.
5．从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
1．判断一个问题是否是排列问题的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．
2．关于排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N＋，m≤n”的运用．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC.
思考2 不是．
梳理 一定顺序 从n个不同的元素中任意取出m个元素．
知识点二
思考1 4×3×2＝24(个)．
思考2 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．
梳理 所有排列的个数 A
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
(n，m∈N＋，m≤n) n！ 1
题型探究
例1 ①③④⑤
跟踪训练1 解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a
(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．
例2 解 画出下列树形图，如下图．
由上面的树形图知，所有的三位数为
123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24个三位数．
跟踪训练2 解 因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
例3 解 (1)A＝10×9×8＝720.
(2)
＝
＝＝
＝.
(3)＝·(n－m)！·＝1.
跟踪训练3 (1)A (2)72
例4 解 根据题意，原方程等价于
即
整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N＋)，
解得x＝3(x＝?N＋，舍去)．
引申探究
解 由A<140A知x≥3且x∈N＋，
由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)<140x·(x－1)(x－2)，
解得3因为x∈N＋，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}．
跟踪训练4 D
当堂训练
1．A 2.A 3.C 4.6
5．解 (1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数．
画出下列树状图：
由树状图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
(2)直接画出树状图：
由树状图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.
第2课时 排列的应用
学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．
知识点 排列及其应用
1．排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N＋，m≤n)＝.
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.
2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
类型一 无限制条件的排列问题
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
反思与感悟 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．
跟踪训练1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？
类型二 排队问题
命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题
例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法．
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
(3)5个歌唱节目中A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻，则排列的方法有多少种？
命题角度2 定序问题
例3 7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
反思与感悟 这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有A种排法，m个不同元素的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一种分类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有种排法．
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？
命题角度3 特殊元素与特殊位置问题
例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．
跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？
类型三 数字排列问题
例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数；
(2)能被3整除的五位数；
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项．
反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0.(2)有无重复数字．(3)奇偶数．(4)某数的倍数．(5)大于(或小于)某数．
跟踪训练5 (1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有多少个？
(2)由0,1,2,3,4,5六个数字组成的六位数中，数字1排在奇数位上的数有多少个？(注：本题中提到的“奇数位”按从最高位开始从左到右依次为奇数位、偶数位来理解)
1．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
2．有6道选择题，答案分别为A，B，C，D，D，D，在安排题目顺序时，要求3道选D的题目任意两道不相邻，则不同的排列方法种数为( )
A．72 B．144 C．288 D．36
3．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一种画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方式的种数为( )
A．AAA B．AAA C．AAA D．AA
4．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．
5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共________个．
求解排列问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
答案精析
知识梳理
知识点
1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n(n－1)(n－2)…2·1 n！ 1
题型探究
类型一
例1 解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法．
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．
跟踪训练1 解 第1类：挂1面旗表示信号，有A种不同的方法；
第2类：挂2面旗表示信号，有A种不同的方法；
第3类：挂3面旗表示信号，有A种不同的方法．
根据分类加法计数原理，得可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．
例2 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法．
(4)先排男生有A种排法．让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法．
跟踪训练2 解 (1)先排歌唱节目有A种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A·A＝43 200(种)方法．
(2)先排舞蹈节目有A种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A·A＝2 880(种)方法．(3)将AB捆绑一起，CDE也捆绑一起，应用捆绑法共有AAA＝8 640(种)方法．
例3 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法．
跟踪训练3 解 7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法，所以共有2·＝420(种)不同的站法．
例4 解 (1)方法一 把同学作为研究对象．
第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A种．
第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法．
由分类加法计数原理，共有A＋4×A＝2 160(种)排法．
方法二 把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法．
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．
由分步乘法计数原理，可得共有A·A＝2 160(种)排法．
方法三 (间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种；甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)．
(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法．
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，有A·A＝1 800(种)方法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法．
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法．
(4)用间接法．
总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在末位的A种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法．
跟踪训练4 解 6门课总的排法是A，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A种排法；数学排在最后一节，有A种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A种排法．因此符合条件的排法有A－2A＋A＝504(种)．
例5 解 (1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个．
故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个)．
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A个数，
∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193，
即240 135是数列的第193项．
跟踪训练5 解 (1)第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．
第一步：把1,3,5三个数排列在奇数位上，有A种方法．
第二步：把0,2,4三个数排列在偶数位上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，可得首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有A·A＝36(个)．
第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．
第一步：把1,3,5三个数排列在偶数位上，有A种方法．
第二步：把0,2,4三个数排列在奇数位上，有2×A种方法．
根据分步乘法计数原理，可得首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有A×2×A＝24(个)．
根据分类加法计数原理可得满足条件的六位数共有36＋24＝60(个)．
(2)第一类，当数字“1”在首位时，其他数字不受限制，其排列方法有A种，所以当数字“1”在首位时，满足条件的六位数共有A＝120(个)．
第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数位上，数字“1”的位置只能在千位或十位，有2种选择，数字“0”不能在首位，有4种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法有A种，所以当数字“1”不在首位时，满足条件的六位数共有2×4×A＝192(个)．
根据分类加法计数原理，可得满足条件的六位数共有120＋192＝312(个)．
当堂训练
1．C 2.B 3.A 4.240 5.240
第1课时 组合与组合数公式
学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
知识点一 组合的定义
思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除；
②从3,5,7,11中任取两个数相乘．
以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？
梳理 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
知识点二 组合数与组合数公式
从3,5,7,11中任取两个数相除，
思考1 如何用分步乘法计数原理求商的个数？
思考2 你能得出C的计算公式吗？
梳理
组合数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
组合数公式
乘积形式
C＝＝________________
阶乘形式
C＝________________
性质
C＝____________
C＝____________＋____________
备注
n，m∈N＋，且m≤n，规定C＝________
类型一 组合概念的理解
例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？
(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
反思与感悟 判断一个问题是否是组合问题的流程
跟踪训练1 给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题．
类型二 组合数公式及性质的应用
命题角度1 有关组合数的计算与证明
例2 (1)计算C－C·A；
(2)求证：C＝C.
反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
(3)计算时常利用的组合数的两个性质
①C＝C.②C＝C＋C.
跟踪训练2 (1)计算C＋C＝________.
(2)计算C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A．C B．C
C．C－1 D．C－1
命题角度2 含组合数的方程或不等式
例3 (1)已知－＝，求C＋C；
(2)解不等式：C>C.
反思与感悟 与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
跟踪训练3 解方程3C＝5A.
类型三 简单的组合应用题
例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
反思与感悟 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
跟踪训练4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
1．下列四个问题属于组合问题的是( )
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
2．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( )
A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q?M
C．M?Q D．M∩Q＝{1,4}
3．满足方程Cx2－x16＝C的x值为( )
A．1,3,5，－7 B．1,3 C．1,3,5 D．3,5
4．不等式CA．3C．n＝3,4,5 D．n＝3,4,5,6,7
5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．
2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式等问题，一是要注意组合数本身的意义及未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C时，若m>，通常使用C＝C转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C＝C＋C.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．
梳理 为一组
知识点二
思考1 第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA＝12.
思考2 因为A＝CA，所以C＝＝6.
梳理
所有组合的个数 C
C C C 1
题型探究
例1 解 (1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．
(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．
(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．
(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．
跟踪训练1 (1)(3) (2)(4)
例2 (1)解 原式＝C－A
＝－7×6×5
＝210－210＝0.
(2)证明 因为右边＝C
＝·
＝＝C，
左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立．
跟踪训练2 (1)5 150 (2)C
例3 解 (1)∵－＝，
∴－
＝，
即－
＝.
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
∵0≤m≤5，∴m＝2，
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
(2)由C>C，得
??
又n∈N＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
跟踪训练3 解 原式可变形为3C＝5A，
即
＝5(x－4)(x－5)，
所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.
所以x＝11或x＝－2(舍去负根)．
经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.
例4 解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.
跟踪训练4 解 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C＝45(种)．
(2)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法CC＝90(种)．
当堂训练
1．C 2.D 3.B 4.D
5．140
第2课时 组合的应用
学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．
知识点 组合应用题的解法
1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答．
2．有限制条件的组合应用题的解法
常用解法有：直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类．
类型一 有限制条件的组合问题
例1 去年7月23日，某铁路线发生特大交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
反思与感悟 (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
跟踪训练1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
类型二 与几何有关的组合应用题
例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．
跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205 B．110 C．204 D．200
类型三 分组、分配问题
命题角度1 不同元素分组、分配问题
例3 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
反思与感悟 分组、分配问题的求解策略
常见形式
处理方法
非均匀不编号分组
n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)
均匀不编号分组
将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为(其中A为非均匀不编号分组中的分法数)．如果再有k组均匀组应再除以A
非均匀编号分组
n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A·A
均匀编号分组
n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为·A
跟踪训练3 某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为( )
A．24 B．48 C．96 D．114
命题角度2 相同元素分配问题
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，
求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
跟踪训练4 有10个运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班．
(1)每班至少有1个名额，有多少种分配方案？
(2)每班至少有2个名额，有多少种分配方案？
(3)每班的名额不能少于其班号数，有多少种分配方案？
(4)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
1．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种 B．420种
C．56种 D．22种
3．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
4．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )
A．25个 B．36个
C．100个 D．225个
5．要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，则有________种不同选法．
1．无限制条件的组合应用题的解题步骤
(1)判断．(2)转化．(3)求值．(4)作答．
2．有限制条件的组合应用题的分类
(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．
(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．
答案精析
题型探究
例1 解 (1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
方法一 (直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有CC种选法；
②选3名外科专家，共有CC种选法；
③选4名外科专家，共有CC种选法．
根据分类加法计数原理，共有
CC＋CC＋CC＝185(种)抽调方法．
方法二 (间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有
C－CC－C＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”和“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有CC种选法；
③有2名外科专家参加，有CC种选法．
所以共有C＋CC＋CC＝115(种)抽调方法．
跟踪训练1 解 (1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120(种)选法．
(2)方法一 (直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(种)选法．
方法二 (间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
例2 解 (1)方法一 可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
方法二 可作三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
跟踪训练2 A
例3 解 (1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C·C·C＝60(种)．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(种)．
(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．
(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·A＝90(种)．
跟踪训练3 D
例4 解 (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．
先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，
如||00||0000|，有C种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法．
故共有C·(C＋C)＝30(种)．
跟踪训练4 解 (1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙，在9个空隙中选2个位置插入隔板，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插板方法对应一种分法，共有C＝36(种)分法．下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个．
(2)因为要求每班至少2个名额，和第(1)小问中的要求不一样，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为7个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照第(1)小问的方法，可得有C＝15(种)分法．下图是其中的一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是3＋1＝4(个)，2＋1＝3(个)，2＋1＝3(个)．
(3)2班、3班分别先给1个和2个名额，此时问题转化为7个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C＝15(种)分法．下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是0＋3＝3(个)，2＋1＝3(个)，2＋2＝4(个)．
(4)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为13个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照第(1)小问的方法，可得有C＝66(种)分法．下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是3－1＝2(个)，6－1＝5(个)，4－1＝3(个)．
当堂训练
1．A 2.A 3.C 4.D 5.756
4 简单计数问题
学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．
知识点一 两个计数原理
1．分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法．
2．分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.
知识点二 排列
1．排列
从n个________的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．
2．排列数
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作____________
排列数公式
乘积式
A＝____________
阶乘式
A＝________________________
排列数的性质
A＝________；A＝________，0！＝1
知识点三 组合
1．组合
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
(2)组合数公式
组合数公式
乘积形式
C＝＝______________
阶乘形式
C＝
备注
n，m∈N＋，且m≤n，规定C＝________
特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法
一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．
2．解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略
(1)特殊元素优先安排的策略．
(2)正难则反，等价转化的策略．
(3)相邻问题捆绑处理的策略．
(4)不相邻问题插空处理的策略．
(5)定序问题除法处理的策略．
(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略．
(7)平均分组问题，除法处理的策略．
(8)构造模型的策略．
类型一 两个计数原理的应用
命题角度1 “类中有步”的计数问题
例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．
反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：
具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．
所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．
跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A．24种 B．30种 C．36种 D．48种
命题角度2 “步中有类”的计数问题
例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)
反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：
从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．
其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．
完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法．
跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )
A．11 B．12 C．20 D．21
类型二 排列与组合的综合应用
命题角度1 不同元素的排列、组合问题
例3 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
反思与感悟 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时的注意点
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
跟踪训练3 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？
命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题
例4 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方法．
反思与感悟 针对对部分元素相同的n个不同元素进行排列的问题，有两种解决方法：(1)先把这些元素看作全不相同的元素进行排列，再设法消去相同元素的顺序．(2)从位置进行分析，因为位置全不相同，可以分别给相同的每一类元素找位置．
跟踪训练4 为减轻学生经济负担且又能满足学生求知要求，某班级利用班费买了4本相同的数学资料书、3本相同的外语资料书、2本相同的物理资料书作为班级图书供同学们学习使用．现有8人去借阅图书，每人只能借阅一本，则有多少种借阅方法？
1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳的不同的选择方式有( )
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的可能结果有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为( )
A．(34,34) B．(43,34)
C．(34,43) D．(A，A)
3．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )
A．72个 B．120个
C．240个 D．360个
4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．
5．已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．
1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．
2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．
3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．m1＋m2＋…＋mn
2．m1×m2×…×mn
知识点二
1．不同 顺序
2．A n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (n，m∈N＋，m≤n) n！ 1
知识点三
2．(1)所有组合的个数 C
(2) 1
题型探究
例1 28 800
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．
跟踪训练1 D
例2 264
跟踪训练2 D
例3 解 分三类：
第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种．
第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种．
第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法种数为C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432.
跟踪训练3 解 (1)五位数中不含数字0.
第1步，选出5个数字，共有CC种选法．
第2步，排成偶数——先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法．
所以N1＝C·C·A·A.
(2)五位数中含有数字0.
第1步，选出5个数字，共有C·C种选法．
第2步，排顺序又可分为两小类：
①末位排0，有A·A种排列方法；
②末位不排0.这时末位数有C种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法．
所以N2＝C·C(A·A＋A·A)．
所以符合条件的偶数个数为
N＝N1＋N2＝CCAA＋CC(AA＋AA)
＝4 560.
例4 1 260
跟踪训练4 解 第一类：剩下的一本书是数学资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为3,3,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC＝560(种)．
第二类：剩下的一本书是外语资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,2,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC＝420(种)．
第三类：剩下的一本书是物理资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,3,1的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC＝280(种)．
根据分类加法计数原理，可得借阅方法共有560＋420＋280＝1 260(种)．
当堂训练
1．B 2.C 3.C 4.36 5.90
5.1 二项式定理
学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点 二项式定理
思考1 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．
思考2 上述两个等式的右侧有何特点？
思考3 能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？
梳理 二项式定理
二项式定理
公式(a＋b)n＝____________________，称为二项式定理
二项展开式
等号右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式
二项式系数
各项的系数____________________叫作二项式系数
二项式通项
式中________________叫作二项展开式的第r＋1项，又叫作二项式通项
在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.
类型一 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)求(3＋)4的展开式．
引申探究
将本例(1)改为求(2x－)5的展开式．
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
反思与感悟 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
跟踪训练1 化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2 已知二项式(3－)10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
(2)求展开式第4项的系数；
(3)求第4项．
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
跟踪训练2 已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
命题角度2 展开式中的特定项
例3 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1.
②求含xr的项(或xpyq的项)．
③求常数项．
④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋)n的二项展开式的常数项是________．
1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )
A．28 B．56
C．112 D．224
2．二项式(x＋)12的展开式中的常数项是( )
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
3．已知5的展开式中含的项的系数为30，则a等于( )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
4．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值为( )
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
5．(＋)n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．
求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
思考2 (a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
思考3 能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N＋)．
梳理 Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn C(r＝0,1,2，…，n)
Can－rbr
题型探究
例1 (1)解 方法一 (3＋)4＝(3)4＋C(3)3()＋C(3)2()2＋C(3)()3＋C()4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二 (3＋)4＝()4＝
(1＋3x)4＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
(2)解 原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
引申探究
解 方法一 (2x－)5＝C(2x)5－C(2x)4·＋C(2x)3·()2－C(2x)2·()3＋C(2x)·()4－C·()5＝32x5－80x2＋－＋－.
方法二 (2x－)5＝[(2x3－1)]5＝－(1－2x3)5＝－[1－C(2x3)＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－C(2x3)5]＝－＋－＋－80x2＋32x5.
跟踪训练1 解 原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
例2 解 (3－)10的展开式的通项是Tr＋1＝C(3)10－r(－)r＝
C310－r(－)r·(r＝0,1,2，…，10)．
(1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为
C37(－)3＝－77 760.
(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760.
跟踪训练2 解 (1)因为T3＝
C()n－22＝4C，
T2＝C()n－1＝－2C，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，n＝9.
(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝
C()9－rr＝(－2)rC，
所以＝3，r＝1，
所以第二项为含x3的项，T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
例3 解 通项公式为
Tr＋1＝C(－3)r
＝C(－3)r.
(1)∵第6项为常数项，∴当r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，
令＝t(t∈Z)，
则10－2r＝3t，即k＝5－t.
∵r∈Z，∴t应为偶数．
令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
跟踪训练3 (1)1 (2)160
当堂训练
1．C 2.D 3.A 4.C
5．解 由题意知，C＝C.
∴n＝17.
∴Tr＋1＝C·2r·＝C·2r·.
由－＝1，解得r＝9.
∴Tr＋1＝C·x4·29·x－3，
即T10＝C·29·x.
其一次项系数为C·29.
5.2 二项式系数的性质
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．
知识点 二项式系数的性质
(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
思考1 同一行中，系数有什么规律？
思考2 相邻两行，系数有什么规律？
梳理 “杨辉三角”蕴含的规律
(1)在同一行中，每行两端都是1.
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质C＝C＋C.
(3)与首末两端“____________”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即C＝________.
特别提醒：
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质
(1)C＝C.
(2)C＝C＋C.
2．从二项式系数表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
类型一 与杨辉三角有关的问题
例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．
引申探究
本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？
反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
类型二 求展开式的系数和
例2 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
反思与感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
类型三 二项式系数性质的应用
例3 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项．
跟踪训练3 已知(x2－)n展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求(x2－)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．
1．(1＋2x)10的展开式中各项系数的和为( )
A．310 B．210 C．－1 D．1
2．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )
A．8 B．9 C．10 D．11
3．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
4．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．
5．已知(1－x)8的展开式，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最小的项．
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等．
思考2 在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
梳理 (3)等距离 C
题型探究
例1 解 由题意及杨辉三角的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋9)
＝C＋＝164.
引申探究
解 S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋11)
＝C＋＝286＋65＝351.
跟踪训练1 34
例2 解 (1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，可得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②
与①联立相减得
a1＋a3＋…＋a99
＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
(5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，
∴a2k－1<0(k∈N＋)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
跟踪训练2 解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即所有奇数项系数之和为.
例3 解 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，T4＝C()2·(3x2)3＝270.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
即∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4，
∴展开式中系数最大的项为
T5＝C(3x2)4＝405.
跟踪训练3 解 2n－27＝128，n＝8，
(x2－)8的通项Tr＋1＝C(x2)8－r·(－)r
＝(－1)rCx16－3r.
当r＝4时，展开式中的系数最大，即T5＝70x4为展开式中的系数最大的项；当r＝3或5时，展开式中的系数最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x为展开式中的系数最小的项．
当堂训练
1．A 2.C 3.B 4.－15
5．解 (1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T5＝C(－x)4＝70x4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定．由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.
习题课 二项式定理
学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．
1．二项式定理及其相关概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝__________________________________，称为二项式定理
二项式系数
二项式通项
Tr＋1＝________________
二项式定理的特例
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性：________________.
(2)性质：C＝________＋________.
(3)二项式系数的最大值：_____________________________________________________
____________________.
(4)二项式系数之和C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝________，所用方法是__________．
类型一 二项式定理的灵活应用
命题角度1 两个二项式积的问题
例1 (1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.
反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
跟踪训练1 (x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
命题角度2 三项展开式问题
例2 5的展开式中的常数项是________．
反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
跟踪训练2 求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数．
命题角度3 整除和余数问题
例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( )
A．一 B．二 C．三 D．四
反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a<13，若512 015＋a能被13整除，则a＝________.
类型二 二项式系数的综合应用
例4 已知(＋2x)n.
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．
跟踪训练4 已知n展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20
C．15 D．10
2.3的展开式中常数项为( )
A．－8 B．－12
C．－20 D．20
3．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A．0 B．2
C．7 D．8
4．已知5的展开式中含的项的系数为30，则a等于( )
A. B．－
C．6 D．－6
5．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________.
1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
2．三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．
4．求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入．
5．确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质．
答案精析
知识梳理
1．Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn C(r＝0,1，…，n) Can－rbr(k＝0,1，…n)
2．(1)C＝C (2)C C
(3)当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即＝最大．
(4)2n 赋值法
题型探究
例1 (1)120 (2)－1
解析 (1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
∴x2的系数为C＋aC，
则10＋5a＝5，解得a＝－1.
跟踪训练1 D
例2
跟踪训练2 解 (x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C(x2＋3x)4－C(x2＋3x)3·4＋C(x2＋3x)2·42－C(x2＋3x)·43＋C·44，
显然，上式中只有第四项中含x的项，所以展开式中含x的项的系数是－C·3·43＝－768.
例3 A
跟踪训练3 1
例4 解 (1)由已知得2C＝C＋C，
即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.
当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，
∵T4＝C()4(2x)3＝x3，T5＝C()3(2x)4＝70x4，
∴第四项的系数是，第五项的系数是70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C()7×27＝3 432.
(2)由C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0.
得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tr＋1项的系数最大，
∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，
由
解得9.4≤r≤10.4.
∵0≤r≤n，r∈N＋，∴r＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，
即T11＝()12·C·410·x10＝16 896x10.
跟踪训练4 解 依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．
依题意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120，
化简得x4(1＋lg x)＝1，
所以x＝1或4(1＋lg x)＝0，
故所求x的值为1或.
当堂训练
1．C 2.C 3.C 4.D 5.128
第一章 计数原理
1 两个计数原理的灵活应用
计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观．下面通过典例来说明．
一、列举法
例1 某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有( )
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
解析 依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解．
若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；
若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买8个鼠标，则可买键盘3个；
若买9个鼠标，则可买键盘3个．
根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9种．故选C.
答案 C
点评 本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得．列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律．
二、树形图法
例2 用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
解 编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码，如图．
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．
三、列表法
例3 四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？
解 把四个人分别编号①、②、③、④，对应写的贺年卡编号分别为1,2,3,4，将4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：
四个人
取贺年卡的方法
①
2
2
2
3
3
3
4
4
4
②
1
3
4
1
4
4
1
3
3
③
4
4
1
4
1
2
2
1
2
④
3
1
3
2
2
1
3
2
1
方法编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
由表格可知，共有9种不同的方法．
点评 本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算．借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决．
四、直接法
例4 已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl和NaOH分子？
解 因为HCl由两种元素构成，所以分两步完成：
第1步：选择氢元素，共有3种．
第2步：选择氯元素，共有2种．
由分步乘法计数原理得共有6种HCl分子．
同理，对于NaOH而言，分三步完成．
第1步：选择钠元素，有3种选法．
第2步：选择氧元素，有4种选法．
第3步：选择氢元素，有3种选法．
由分步乘法计数原理知共有3×4×3＝36(种)NaOH分子．
点评 当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题．
2 排列、组合的破解之术
排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理计算就可．说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路．下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！
一、特殊元素——优先法
对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑．
例1 将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1解析 由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1答案 30
二、相邻问题——捆绑法
把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”一起排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上排列．
例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
解析 先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有A·A·C＝960(种)．
答案 B
三、不相邻问题——插空法
某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
例3 五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有( )
A．48种 B．192种
C．240种 D．288种
解析 (用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A种排法，而女生可互换位置，所以共有A×A种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A×A(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列种数为A×A－A×A＝192.
答案 B
四、至多至少问题——间接法
对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数．
例4 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有A－CA＝36(种)选法．
答案 36
五、多类元素组合——分类取出
当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．
例5 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有____________种(用数字作答)．
解析 如果用两种颜色，则有C种颜色可以选择，涂法有2种．如果用3种颜色涂色，有C种颜色可以选择，涂法有C·C(C＋1)＝18(种)．
所以，不同涂色种数为C·2＋C·18＝390(种)．
答案 390
六、排列、组合混合——先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列．
例6 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
解析 首先把5个班分成4组，即2,1,1,1，有种方法．然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法．由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有·A＝240(种)．
答案 240
3 正方体中的计数问题
在解决关于正方体的排列、组合问题时，要善于利用几何性质，借助图形帮助思考，这对解决问题将起到事半功倍的效果．下面举例说明：
例1 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
解析 从正方体的6个面中任取3个面共有C种不同选法，其中3个面均相邻的选法共有8种(此时三个面共有一个顶点)，故符合题意的选法共有C－8＝12(种)．
答案 B
变式训练1 正方体的一条对角线与它的12条棱组成的异面直线共有________对．
答案 6
例2 连接正方体任意两个顶点的直线中异面直线有____________________________对．
解析 确定一对异面直线需要四个不共面的点，而四个不共面的点可以构成一个四面体，而一个四面体有三对异面直线，因此“异面直线的对数＝3×四面体数”，由于以正方体的顶点为顶点的四面体共有58个，所以共有异面直线3×58＝174(对)．
答案 174
变式训练2 过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条，其中异面直线有( )
A．18对 B．24对 C．30对 D．36对
答案 D
例3 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为( )
A．56 B．52 C．48 D．40
解析 由于正方体的各个面都是矩形，而1个矩形有4个直角三角形，因此有对应关系“直角三角形数＝4×矩形数”，正方体共有12个矩形的面，所以直角三角形共有4×12＝48(个)．
答案 C
变式训练3 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中正三角形的个数为________．
答案 8
4 “隔板法”在计数问题中的妙用
“隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决．下面剖析一下隔板法适用条件，并选择几个实例来加以说明．
一、隔板法的适用条件
排列、组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列、组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中(n≥m)，每个对象至少有一个元素．这类问题必须满足三个条件：①小球必须相同；②盒子必须不同；③每个盒子至少有一个小球．当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法．
二、隔板法的实际应用
应用1 20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？
解 如右图，用“0”表示小球，0000|00000000|00000000
在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有C＝171种放法．
点评 解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可．
应用2 方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的正整数解有多少个？
解 该问题转化为：将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球．这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？这样，类似应用1可知，所以共有C＝969(种)．
点评 不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n(n，m∈N＋，n≥m)的正整数解个数问题可以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象(n≥m)，每个对象至少有一个元素”的模型，进而采用隔板法求解．
整体概括：通过对隔板法的应用，可得下列结论：
结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n－1个间隔中，选出m－1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝C.
结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m－1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝C.
试一试
1．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解 (1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有C＝20(种)．
(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120(种)放入方式．
2．将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，共有多少种不同的分配方案？
解 先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个．
利用“隔板法”可知，共有C＝15(种)不同的分配方案．
3．某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加在职培训，每所学校至少一个名额，求不同的分配方案的种数．
解 从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应，实际问题化归为组合数求解．该事件的实质为将12个相同的元素分成9堆，每一堆至少一个元素，“隔板法分堆”，即在12个相同元素构成的11个空中插入8个隔板，其方法有C＝165(种)．
5 排列、组合中的数学思想
一、分类讨论思想
例1 如果一个三位正整数形如“a1a2a3”，满足a1A．240 B．204
C．729 D．920
解题提示 本题中的三位正整数，要求中间一位数字最大，需根据中间数字所有可能的情况分类讨论；另外要注意首位与个位上的数字允许重复．
解析 由题意知：a1≠0，a2≥2.下面只需对a2＝2，a2＝3，…，a2＝9分别进行讨论，并求其值后求和．当a2＝2时，a1，a3只能从0,1中取，a1只能取1，a3可取0,1，排出“a1a2a3”共有2种；当a2＝3时，a1从1,2中任取一个有C种，a3从0,1,2中任取一个有C种，所以共有C·C种；当a2＝4时，a1从1,2,3中任取一个有C种，a3从0,1,2,3中任取一个有C种，所以共有C·C种；…；当a2＝9时，a1从1,2,3，…，8中任取一个有C种，a3从0,1,2，…，8中任取一个有C种，共有C·C种．综上，可得组合成所有的凸数个数为2＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝240.
答案 A
点评 本题中分类的标准非常明确，即中间数字的取值情况．对于分类标准明确、分类情况多的题目，要有耐心逐个求解，最后求和．正确地进行求解运算也是求解此类题目的一个关键点．
例2 从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不重复的数字分别作为a、b、c的值构成二次函数y＝ax2＋bx＋c.试问：
(1)共可组成多少个不同的二次函数？
(2)在这些二次函数图像中，以y轴为对称轴的有多少条？经过原点且顶点在第一或第三象限的有多少条？
解题提示 二次函数要求a≠0，可以优先考虑a的取值；也可以用排除法．结合顶点在第一象限或第三象限对a，b，c的符号要求进行分析是解决第(2)问的关键．
解 (1)方法一 因为y＝ax2＋bx＋c是二次函数，所以a≠0.因此，可从－3，－2，－1,1,2,3,4中选取一个排在a的位置上，有C种选法．b，c的取值没有特殊要求，所以从剩余的6个非零元素加上0共7个元素中选取两个有C种选法，再把它们排在b，c的位置上有A种排法．由分步乘法计数原理共有C·C·A＝7××2＝294(个)不同的二次函数．
方法二 利用排除法，从所有情况中去掉“0”排在a位置的情况．
C·A－C·A＝×3×2×1－×2＝294(个)不同的二次函数．
(2)当对称轴为y轴时，b＝0，这样的抛物线有A＝42(条)．
当抛物线过原点时，c＝0，抛物线的顶点为.
①当顶点在第一象限时，有故这样的抛物线有A·A＝12(条)；
②当顶点在第三象限时，有故这样的抛物线有A＝12(条)．
故经过原点且顶点在第一或第三象限的共有24条．
点评 当排列、组合问题与相关数学问题背景联系在一起时，要注意结合数学背景对涉及的字母a，b，c的要求，合理地转化为a，b，c的直接要求，再进行分类．实际问题数学化，文字表述代数化是解决实际背景问题的常规思想方法．
二、数形结合思想
例3 以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )
A．76 B．78 C．81 D．84
解题提示 将圆的一般方程化为标准方程，画出图形，结合图形从所有情况中去掉三点共线的情况．
解析 本题是一个综合问题，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝3.如图，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C－8＝76.
答案 A
点评 整点个数的计算，三点共线情况的寻找都需要我们在平面直角坐标系下正确画出本题中的圆以及与整点共线有关的8条直线．与几何图形探求有关的组合问题，画出相关图形，结合图形求解是解决此类题目常用的方法．
三、转化与化归思想
例4 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析 设买单片软件x件，盒装磁盘y盒，则命题转化为不等式组(x，y∈N)的解的个数，不难求得(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)为其解，所以不同的选购方式共有7种．
答案 C
点评 本题若直接列举讨论，情况较复杂，根据题目条件设出相关变量x，y，列出不等式组缩小讨论范围，简化了求解过程．
例5 如图①，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有( )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
解析 如图②，构造三棱锥A－BCD，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．
由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．从六条棱中任取三条棱的不同取法有C种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C－4＝16(种)．
答案 C
点评 本题根据问题特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰、简洁明快.
6 排列、组合问题错解分类剖析
排列、组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错．本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析．
一、没有理解两个基本原理出错
排列、组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列、组合问题的前提．
例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有________种．
误解 因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法．
错因分析 误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法．
正解 由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C种方法；第二步是在组装计算机中任意选取3台，有C种方法，据乘法原理共有C·C种方法．同理，完成第二类办法中有C·C种方法．据加法原理完成全部的选取过程共有C·C＋C·C＝350(种)方法．
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为( )
A．A B．43 C．34 D．C
误解 把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.
错因分析 误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式．
正解 四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3＝34(种)，故选C.
说明 本题还有同学这样误解，甲、乙、丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得43，这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能．
二、判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．
例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
误解 因为是8个小球的全排列，所以共有A种方法．
错因分析 误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．
正解 8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有C＝56(种)排法．
三、重复计算出错
在排列、组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误．
例4 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有多少种？
误解 第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列．共有：CCA＝1 260.
错因分析 这里是均匀分组问题．比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了．
正解 ＝630(种)．
四、遗漏某些情况出错
在排列、组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况而出错．
例5 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的比1 000大的奇数共有( )
A．36个 B．48个
C．66个 D．72个
误解 如图，最后一位只能是1或3，有两种取法，
1,3
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个位置有A种排法，共有2×3×A＝36(个)．
错因分析 误解只考虑了四位数的情况，而比1 000大的奇数还可能是五位数．
正解 任一个五位的奇数都符合要求，共有2×3×A＝36(个)，再由前面分析知满足题意的四位数和五位数共有72个，选D.
五、忽视题设条件出错
在解决排列、组合问题时，一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或漏解．
例6 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种(以数字作答)．
误解 先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有C·2·A＝12(种)，由乘法原理共有4×12＝48(种)．
错因分析 据报道，在高考中有很多考生填了48种．这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务．
正解 当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时，从4种颜色中选取3种有C种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理知有C×3×2＝24(种)．综上，共有48＋24＝72(种)方法．
例7 已知ax2－b＝0是关于x的一元二次方程，其中a、b∈{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的个数．
误解 从集合{1,2,3,4}中任意取两个元素作为a、b，方程有A个，当a、b取同一个数时方程有1个，共有A＋1＝13(个)．
错因分析 误解中没有注意到题设中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于和同解、和同解，故要减去2个．
正解 由分析，共有13－2＝11(个)解集不同的一元二次方程．
六、未考虑特殊情况出错
在排列、组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错．
例8 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是( )
A．1 024种 B．1 023种
C．1 536种 D．767种
误解 因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有210－1＝1 023(种)，故选B.
错因分析 这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况．
正解 除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有28×3－1＝767(种)，故选D.
七、题意的理解偏差出错
例9 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法的种数为( )
A．A·A B．A－A·A
C．A·A D．A－A
误解 除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有A种方法，这样共有A·A种排法，选A.
错因分析 误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况．“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻．
正解 在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，
即A－A·A，故选B.
排列、组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列、组合学好．
7 用五种意识求解二项式问题
在历年高考中都有涉及二项式定理的试题，本文总结了五种解题意识，旨在强化同学们解此类问题的目的性及方向性，避免低效性和盲目性，使解题能力得以提高．
一、通项意识
凡涉及到展开式的项及其系数问题，常是先写出其通项公式Tr＋1＝Can－rbr，再根据题意进行求解．因此通项意识是解二项式问题的首选意识．
例1 若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n为________．
解析 展开式的通项为Tr＋1＝C(2x3)n－rr
＝C·2n－r.
令3n－＝0，得r＝，
∵r∈N＋且r≤n，∴n必须能被7整除，
∴满足条件的最小正整数n＝7.
答案 7
二、方程意识
已知展开式中若干项系数的关系，求指数n及二项式中参数的值等，可借助展开式中的通项，根据题意建立方程解决．
例2 已知9展开式中x3的系数为，则常数a＝________.
解析 Tr＋1＝C9－rr
＝ (－1)r，依题意，有r－9＝3，解得r＝8.
故含x3的项为第9项，其系数为(－1)82－4Ca＝，
即a＝，解得a＝4.
答案 4
三、特殊化意识
在求展开式中的各系数之和及某些组合数之和时，有意识地对未知数试取某些特殊值是一种非常有效的方法．
例3 若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析 a3＝1，a2＋a3·C(－2)＝0，∴a2＝6.
答案 B
点评 解决本题也可令x3＝[(x－2)＋2]3，利用展开式求解．
四、转化意识
转化意识是高考重点考查的内容之一．在二项式定理的有关问题中，主要表现在单项式和三项式转化配凑为二项式来求解；多个二项式的积的某项系数问题转化为乘法分配律问题．
例4 (1＋2x2)(x－)8的展开式中常数项为________．(用数字作答)
解析 (1＋2x2)8＝8＋2x28，
∴常数项为C×x4(－x－1)4＋2x2Cx3(－x－1)5，
即70－2×56＝－42.
答案 －42
五、应用意识
应用是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、求组合数及求余数等问题．
例5 若C＝C (n∈N＋)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于( )
A．81 B．27
C．243 D．729
解析 由题知，2n＋6＝n＋2或2n＋6＋n＋2＝20，
得n＝－4(舍)或n＝4.
此时令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.
答案 A
8 二项式定理中易混概念辨析
在学习二项式定理时，极易忽略一些条件或混淆一些概念，下面对解题中常见的错误加以剖析，以提高同学们的警惕性．
一、项与项的系数
(a＋b)n的展开式中的第r＋1项是Can－rbr(注意a，b可以是实数，还可以是代数式)，而第r＋1项的系数是对应单项式中的数字因数．
例1 (x－1)10的展开式中的第6项的系数是( )
A．Cx5 B．－Cx5
C．C D．－C
解析 因为(x－1)10的展开式的第6项是
T6＝Cx10－5(－1)5＝－Cx5，
故第6项的系数是－C.
答案 D
二、项的系数与项的二项式系数
(a＋b)n的展开式中的第r＋1项的二项式系数是C(r＝0,1,2，…，n)，仅与n，r有关；而第r＋1项的系数不是二项式系数C，但有时这个系数与二项式系数相等．注意二项式系数C一定为正，而对应项的系数有时可能为负．
例2 (x3＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数是______，第4项的系数是________．
解析 因为(x3＋2x)7的展开式的第4项是
T4＝C(x3)4(2x)3，
故该项的二项式系数是C＝35，
该项的系数是23C＝280.
答案 35 280
三、各项的二项式系数和与各项的系数和
设a，b为常数，则(ax＋b)n的展开式中各项的二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
在(ax＋b)n的展开式中令x＝1，则得(ax＋b)n的展开式中各项的系数和为(a＋b)n.
例3 在(1－2x)7的展开式中，各项的二项式系数和为______；各项的系数和为______；各项系数的绝对值之和为______．
解析 各项的二项式系数和为27＝128；
令x＝1，则得各项的系数和为(1－2)7＝－1；
令x＝－1，则得各项系数的绝对值之和为
(1＋2)7＝2 187.
答案 128 －1 2 187
四、奇(偶)数项系数与奇(偶)次项系数
例4 (1－x)6的展开式中，x的奇次项系数之和是( )
A．32 B．－32
C．0 D．－64
错解 ∵(1－x)6＝C－Cx＋Cx2－…＋Cx6，
∴奇次项系数之和为C＋C＋C＋C＝32，故选A.
错因剖析 混淆了奇数项系数与奇次项系数的概念，误以为是奇数项系数之和，从而导致错误．
正解 ∵(1－x)6＝C－Cx＋Cx2－…＋Cx6，
∴奇次项系数之和为－C－C－C＝－32，故选B.
答案 B
五、颠倒公式(a＋b)n中a，b的顺序
例5 若n展开式中，第3项是常数，则中间项是第几项？
错解 T3＝C··n－2＝C·，因为第3项是常数，所以令＝0，解得n＝.由于n为自然数，所以此题无解．
错因剖析 此题并不是无解．二项式(a＋b)n与(b＋a)n全部展开项是相同的，只是前后顺序颠倒而已；但具体涉及到二项展开式的某一项时就不一定相同了，因为二项展开式的项是按照(a＋b)n第一个数a的降幂排列的，不可随意颠倒a，b的顺序，如(a＋b)n的第r＋1项是Can－rbr，(b＋a)n的第r＋1项是Cbn－rar，因此要注意项数与顺序的关系．
正解 T3＝C··2＝C·，因为第3项是常数，所以令＝0，解得n＝8.
故展开式总共有9项，中间项是第5项
第一章 计数原理
学习目标 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会利用两种原理解决一些实际问题.2.理解排列数和组合数公式的推导过程，掌握排列组合在实际问题中的应用.3.掌握二项式定理和二项展开式的性质．
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类方案中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
3．排列数与组合数公式及性质
排列与排列数
组合与组合数
公式
排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…____________＝____________
组合数公式C＝__________＝________________________＝____________
性质
当m＝n时，A为全排列；A＝n！；0！＝________
C＝C＝1；
C＝____________；
C＋C＝____________
备注
n，m∈N＋，且m≤n
4.二项式定理
(1)二项式定理的内容：
(a＋b)n＝_______________________________________________________.
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，r∈{0,1,2，…，n}．
(3)二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
②若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数相等且最大．
③C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用
命题角度1 分类讨论思想
例1 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法．
反思与感悟 解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)；(2)总数要完备(保证不遗漏)．
跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)
命题角度2 “正难则反”思想
例2 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1A．78 B．76 C．83 D．84
反思与感悟 对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．
跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．
类型二 排列与组合的综合应用
例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
反思与感悟 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．
跟踪训练3 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生：
(2)某女生一定要担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不但任数学课代表．
类型三 二项式定理及其应用
命题角度1 二项展开式的特定项问题
例4 已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项；
(3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值．
反思与感悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．
(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．
(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．
(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．
(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．
跟踪训练4 已知n的展开式的倒数第三项的系数为45.
命题角度2 二项展开式的“赋值”问题
例5 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；
(2)求a1＋a2＋…＋a10；
(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
反思与感悟 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．
跟踪训练5 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．60种
2．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
3．某校一社团共有10名成员，从周一到周五每天安排两人值日．若甲、乙必须排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，则不同的安排方案有( )
A．21 600种 B．10 800种
C．7 200种 D．5 400种
4．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)
1．排列与组合
(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．
(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题的考虑途径
①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．
②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．
2．二项式定理
(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．
(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1，…，n)，其中二项式系数是C，而不是C，这是一个极易错点．
(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．
答案精析
知识梳理
1．m1＋m2＋…＋mn
2．m1×m2×…×mn
3．(n－m＋1) C C
4．(1)Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn (n∈N＋)
题型探究
例1 解 分四类
第一类：3个只会左舷的人全不选，有CCC＝200(种)；
第二类：3个只会划左舷的人中只选1人，有CCC＝1 050(种)；
第三类：3个只会划左舷的人中只选2人，有CCC＝840(种)；
第四类：3个只会划左舷的人全选，有CC＝84(种)，
所以共有200＋1 050＋840＋84＝2 174(种)选法．
跟踪训练1 60
例2 C
跟踪训练2 30
例3 解 (1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A＝24(种)方法．
根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．
(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法．
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．
(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132(种)排列．
跟踪训练3 解 (1)先选后排．课代表的选法有CC＋CC种，排列方法有A种，所以满足题意的选法有(CC＋CC)A＝5 400(种)．
(2)除去该女生后，即相当于剩余的7名学生选4名担任4门学科的课代表，有A＝840(种)选法．
(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C种选法，排列方法有CA，所以选法共有CCA＝3 360(种)．
(4)先从除去该男生和女生的6人中选出3人，有C种选法，该男生的安排方法有C种，其余3人全排，有A种选法，因此满足题意的选法共有CCA＝360(种)．
例4 解 (1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10，
因为通项Tr＋1＝C()10－rr
＝(－2)rC，r＝0,1,2，…，10.
当5－为整数时，r可取0,6，
于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440.
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，则
解得又因为r∈{1,2,3，…，9}，
所以r＝7，
当r＝7时，T8＝－15 360x－，
又因为当r＝0时，T1＝x5，
当r＝10时，
T11＝(－2)10＝1 024，
所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360.
(3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C
＝
＝
＝＝.
跟踪训练4 解 已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，得n2－n＝90，解得n＝－9(舍去)或n＝10.
(1)通项Tr＋1＝C()10－r()r＝C(0≤r≤10，r∈N)，
令－＋＝3，得r＝6.
故含有x3的项是第7项，
T7＝Cx3＝210x3.
(2)∵10的展开式共11项，
∴系数最大项是第6项，T6＝C()5·()5＝252.
例5 解 (1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
a2是展开式中x2的系数，
∴a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4C·(－2)4＋C(－1)3C(－2)5＝800.
(2)令x＝1，代入已知式可得，
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)令x＝－1可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，
再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
把这两个等式相乘可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.
跟踪训练5 5
当堂训练
1．D 2.C 3.B 4.364 5.300
