1 离散型随机变量及其分布列
学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列． 21世纪教育网版权所有
知识点一 离散型随机变量
思考1 ①掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数．
以上两个现象有何特点？
思考2 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
梳理 (1)随机变量
将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于________，这种________称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．21·cn·jy·com
(2)离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能够__________，这样的随机变量称为离散型随机变量．
知识点二 离散型随机变量的分布列
思考 掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？21·世纪*教育网
梳理 (1)离散型随机变量的分布列的定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(X＝ai)＝________(i＝1,2，…)，①
或把上式列成表为
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
______
______
…
上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
(2)离散型随机变量的性质
①____________.②____________.
类型一 随机变量的概念
例1 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
引申探究 若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．
反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1 下列是离散型随机变量的是( )
A．某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X
B．将一枚硬币抛掷三次，出现正面朝上的次数X
C．抛掷一枚六个面都是六个点的骰子，所得的点数X
D．某人上班路上所花的时间X
类型二 利用分布列的性质求事件概率
例2 设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥)；
(3)求P(
反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练2 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列．
X
－1
0
1
P
试说明该同学的计算结果是否正确；
(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
①求q的值；
②求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．
类型三 求离散型随机变量的分布列
命题角度1 利用两随机变量的关系求分布列
例3 已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．
反思与感悟 若随机变量X，Y满足关系式Y＝f(X)，则可由X的取值情况得出Y的取值情况，即可以把X的取值看成定义域，Y的取值看成值域，即可根据X的分布列，得出Y的分布列．21教育网
跟踪训练3 已知随机变量X的分布列为
X
1
2
…
n
…
P
…
…
求随机变量Y＝sinX的分布列．
命题角度2 利用排列组合求分布
例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数；21cnjy.com
(2)求随机变量ξ的分布列．
引申探究
若本例条件不变，试求甲取到白球的概率．
反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．
(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．
跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只．
(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；
(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．www.21-cn-jy.com
1．下面给出四个随机变量：
①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；
③某网站未来1小时内的点击量；
④一天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
X
－1
0
1
P
a
b
c
A. B. C. D.
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是( )
A．a＝0.1
B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4
D．P(X≤1)＝0.3
4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)＝________.www-2-1-cnjy-com
5．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2-1-c-n-j-y
2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 各现象的结果都可以用数表示．
思考2 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
梳理 (1)一个数 对应
(2)一一列举出来
知识点二
思考 x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
X
1
2
3
4
5
6
P
梳理 (1)pi p1 p2 (2)①pi>0
②p1＋p2＋…＝1
题型探究
例1 解 (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．21*cnjy*com
引申探究
解 设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.
依题意得X＝x－y.
则－5≤X≤5，
即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
则X>4?X＝5，表示x＝6，y＝1，
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
跟踪训练1 B
例2 解 (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P(X＝)＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)当故P(跟踪训练2 解 (1)因为P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＋＝，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)①由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－.
②P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2＝－.
例3 解 由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，【出处：21教育名师】
所以η1的分布列为
η1
－1
－
0
1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，【来源：21·世纪·教育·网】
所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
跟踪训练3 解 由Y＝sinX，
得Y＝
P(Y＝－1)＝P(X＝3)＋P(X＝7)＋P(X＝11)＋…＝＋＋＋…＝，
P(Y＝0)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＋…＝＋＋＋…＝，
P(Y＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝5)＋P(X＝9)＋…＝＋＋＋…＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
－1
0
1
P
例4 解 (1)设袋中原有n个白球，由题意知
＝＝＝，
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
引申探究
解 因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
跟踪训练4 解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P＝＝＝.
(2)X的取值为100,80,60,40.
P(X＝100)＝＝，
P(X＝80)＝
＝，
P(X＝60)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝.
所以X的分布列为
X
100
80
60
40
P
当堂训练
1．C 2.D 3.C 4.
5．解 由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
2 超几何分布
学习目标 1.理解超几何分布的概念.2.掌握超几何分布的公式．
知识点 超几何分布
已知在10名学生中，有4名男生，现任选3人，用X表示选到的男生的人数．
思考1 X可能取哪些值？
思考2 “X＝2”表示的试验结果是什么？P(X＝2)的值呢？
思考3 如何求P(X＝k)(k＝0,1,2,3)?
梳理 超几何分步
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么21·cn·jy·com
P(X＝k)＝__________________(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为____________的超几何分布．
特别提醒：(1)超几何分布，实质上就是有总数为N的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，则这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝(k≤l，l是n和M中较小的一个)．
(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据超几何分布的公式求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．2·1·c·n·j·y
类型一 超几何分布概念的理解
例1 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数ξ的分布列，并求至少取得一件次品的概率．www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 解决此类问题的关键是判断所给问题是否属于超几何分布问题，而求其分布列的关键是求得P(ξ＝k)的组合关系式．21·世纪*教育网
跟踪训练1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．21*cnjy*com
类型二 求超几何分布的分布列
例2 某大学志愿者协会有6名男同学、4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
反思与感悟 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式求解．当然，此类题目也可通过古典概型解决．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
类型三 超几何分布的应用
例3 50张彩票中只有2张有奖，今从中任取n张，为了使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为多少？【版权所有：21教育】
反思与感悟 利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的问题，其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型．在利用超几何分布的模型时，将实际问题与超几何分布的模型进行比较，认清实质，把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析．
跟踪训练3 生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格．采购方接收该批产品的条件是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是多少？21教育名师原创作品
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X
B．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的已摸次数
2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )21世纪教育网版权所有
A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( )
A. B.
C. D.
4．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A. B.
C. D.
5．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．【来源：21cnj*y.co*m】
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品由较明显的两部分组成．
2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出随机变量X取k时的概率P(X＝k)，从而列出随机变量X的分布列．21cnjy.com
答案精析
问题导学
知识点
思考1 0,1,2,3.
思考2 任选3人中恰有2人为男生，
P(X＝2)＝.
思考3 P(X＝k)＝.
梳理 N，M，n
题型探究
例1 解 依题意得，ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.
ξ的可能取值为0,1,2，相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故至少取得一件次品的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝.
跟踪训练1 解 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分步．21教育网
由公式得P(X＝4)＝＝≈0.029 5，
所以获一等奖的概率约为2.95%.
例2 解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
其分布列为
X
0
1
2
3
P
跟踪训练2 解 (1)设A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上可知，X的分布列为
X
0
1
2
P
例3 解 设随机变量X表示“抽出中奖彩票的张数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n的超几何分布，可得至少有一张中奖的概率为P(X≥1)＝＋>0.5，又n∈N＋，且n≤50，解得n≥15.2-1-c-n-j-y
所以n至少为15.
跟踪训练3 解 从50箱产品中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱全合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为【出处：21教育名师】
P(X≤1)＝＋＝.
所以该批产品被接收的概率为.
当堂训练
1．B 2.A 3.B 4.D
5．解 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3.
随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故随机变量X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
3 条件概率与独立事件
学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 21·cn·jy·com
知识点一 条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}
思考1 试求P(A)、P(B)、P(AB)．
思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．【来源：21·世纪·教育·网】
思考3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系．
梳理 条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为____________的条件概率，记为____________．
(2)公式
P(A|B)＝(其中，A∩B也可以记成AB)．
(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝________________.
知识点二 独立事件
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
思考1 事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
思考2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
思考3 P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
梳理 独立事件
(1)概念：对两个事件A，B，如果____________________，则称A，B相互独立．
(2)推广：若A与B相互独立，则A与______，与______，与______也相互独立．
(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝________________________.
类型一 条件概率
例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
反思与感悟 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数；二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．21cnjy.com
跟踪训练1 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．
求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，在第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
类型二 独立事件的判断
例2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)21·世纪*教育网
①A，B；②A，C；③B，C.
类型三 独立事件的概率
例3 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．2-1-c-n-j-y
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．
反思与感悟 概率问题中的数学思想
(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．21*cnjy*com
(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑概率加法公式，转化为互斥事件)还是分几步(考虑概率乘法公式，转化为相互独立事件)组成．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
跟踪训练3 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．
1．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )www-2-1-cnjy-com
A．1－a－b B．1－ab
C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
2．抛掷红、蓝两个骰子，事件A＝“红骰子出现4点”，事件B＝“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P(A|B)为( )【出处：21教育名师】
A. B.
C. D.
3．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564
C．0.245 D．0.285
4．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是( )【版权所有：21教育】
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
5．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求21教育名师原创作品
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大？
1．计算条件概率时应注意：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约．(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．www.21-cn-jy.com
2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系
名称
区别
联系
定义
事件个数
互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件
两个或两个以上
①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立．
②两事件独立，则不一定互斥(或对立)．
③两事件互斥(或对立)，则不相互独立
对立事件
在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件
两个
独立事件
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个或两个以上
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
思考2 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3 P(A|B)＝.
梳理 (1)B发生时A发生 P(A|B) (3)
知识点二
思考1 不影响．
思考2 P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3 P(AB)＝P(A)·P(B)．
梳理 独立事件
(1)P(AB)＝P(A)P(B) (2) B P(A1)P(A2)…P(An)
题型探究
例1 解 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.21世纪教育网版权所有
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A＝20.
根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝12.于是P(A)＝＝＝.
(2)∵n(AB)＝A＝6，∴P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)可得在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝＝＝.2·1·c·n·j·y
方法二 因为n(AB)＝6，n(A)＝12，
所以P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1 解 记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.
(1)取两次，两次都取得一等品的概率，
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝.
(2)取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，
则P(A2)＝P(1A2)＋P(A1A2)＝×＋×＝.
(3)取两次，已知第二次取得一等品，
则第一次取得二等品的概率为P(1|A2)＝＝＝.
例2 解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，21*cnjy*com
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
跟踪训练2 ①②③
例3 解 (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因为事件A与B相互独立，
所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝.21教育网
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝＝，
因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P( )＝××＝，
P(X＝1)＝P(A )＋P(B)＋P( C)
＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
跟踪训练3 解 (1)设A，B，C分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题意得
即
由①③得P(B)＝1－P(C)，
代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)．
将P(C)＝代入②得，P(B)＝，
将P(B)＝代入①得，P(A)＝.
故甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)]·[1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为.
当堂训练
1．C 2.D 3.A 4.D
5．解 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1，2,3)．
(1)三人都合格的概率
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
＝××＝.
(2)三人都不合格的概率
P0＝P( )＝P()P()P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率
P2＝P(AB )＋P(A C)＋P( B C)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
结合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大．
4 二项分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．21教育网
知识点 二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用X表示3次投篮投中的次数．2·1·c·n·j·y
思考1 若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？
思考2 X＝2表示何意义？求P(X＝2)．
梳理 二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有____________的结果，可以分别称为“成功”和“失败”．
(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为________．
(3)各次试验是________的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则
P(X＝k)＝________________________________.
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为___________．
类型一 利用二项分布求概率
例1 在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：www-2-1-cnjy-com
(1)全部活到70岁的概率；
(2)有2个活到70岁的概率；
(3)有1个活到70岁的概率．
反思与感悟 要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的．(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的．(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变．(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
跟踪训练1 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
类型二 求二项分布的分布列
例2 现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列．21cnjy.com
反思与感悟 求二项分布的分布列的一般步骤
(1)判断所述问题是否是相互独立试验．
(2)建立二项分布模型．
(3)求出相应概率．
(4)写出分布列．
跟踪训练2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
类型三 二项分布的综合应用
例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.21·世纪*教育网
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值．
1．下列随机变量X不服从二项分布的是( )
A．投掷一枚骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
2．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是( )
A. B.
C. D.
3．若随机变量X～B，则P(X＝2)等于( )
A.2×3 B.2×3
C．C23 D．C2×3
4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( )21*cnjy*com
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
5．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．【来源：21cnj*y.co*m】
1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第r＋1项Tr＋1＝C(1－p)n－rpr，可见P(X＝r)＝Cpr(1－p)n－r就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第r＋1项．21世纪教育网版权所有
答案精析
问题导学
知识点
思考1 有2种结果：投中(成功)与未投中(失败)．
思考2 X＝2表示3次投篮中有2次投中，有C种情况，每种情况发生的可能性为0.82×0.2，所以P(X＝2)＝C×0.82×0.2.【出处：21教育名师】
梳理 (1)两个相互对立 (2)1－p
(3)相互独立 Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) X～B(n，p)
题型探究
例1 解 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1，2,3)．www.21-cn-jy.com
(1)P(X＝3)＝C·0.63·(1－0.6)0＝0.216；
即全部活到70岁的概率为0.216.
(2)P(X＝2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432.
即有2个活到70岁的概率为0.432.
(3)P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288.
即有1个活到70岁的概率为0.288.
跟踪训练1 解 (1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2＋C3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．21·cn·jy·com
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C2·C3＋C3·C3
＝＋＝.
例2 解 (1)设事件A：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”．【版权所有：21教育】
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C×0×2×＝，
P(X＝1)＝C×1×1×＋C0×2×＝，
P(X＝2)＝C×2×0×＋C1×1×＝，
P(X＝3)＝C×2×0×＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
跟踪训练2 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.21教育名师原创作品
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C30＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝C03＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
例3 解 (1)由ξ～B，则
P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－5＝.
跟踪训练3 解 由题设知，Cp2(1－p)2>.
∵p(1－p)>0，∴不等式化为p(1－p)>，
解得又∵6p∈N，∴6p＝3，即p＝.由＝，得n＝6.
当堂训练
1．B 2.D 3.D 4.A
5．解 可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X～B.
则P(X＝0)＝C05＝，
P(X＝1)＝C14＝，
P(X＝2)＝C23＝，
P(X＝3)＝C32＝，
P(X＝4)＝C41＝，
P(X＝5)＝C5＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
第1课时 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一 离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
思考2 X取上述值时，对应的概率分别是多少？
思考3 如何求每个西瓜的平均重量？
梳理 随机变量X的均值
(1)均值的定义
设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为21·cn·jy·com
P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)，
则X的均值EX＝________________________.
(2)均值的意义
均值刻画的是随机变量X取值的“____________”．
知识点二 两种特殊随机变量的均值
1．当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其均值为________．
2．当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX＝________________.
类型一 离散型随机变量的均值
命题角度1 一般离散型随机变量的均值
例1 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的分布列和均值；
(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．
反思与感悟 求随机变量X的均值的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求EX.
跟踪训练1 在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？21·世纪*教育网
命题角度2 二项分布与超几何分布的均值
例2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．21世纪教育网版权所有
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
反思与感悟 如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝n，以上两个特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了烦琐的计算过程．21教育网
跟踪训练2 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的均值Eξ.21cnjy.com
类型二 均值的实际应用
例3 某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．2·1·c·n·j·y
(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？
反思与感悟 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练3 企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．21*cnjy*com
1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38
2．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p
则Eξ的最大值为( )
A．1 B.
C. D．2
3．设随机变量X～B(40，p)，且EX＝16，则p等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX＝________.【版权所有：21教育】
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．21教育名师原创作品
(1)求ξ的分布列、均值；
(2)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a的值．
1．求随机变量的均值的步骤
(1)写出随机变量所有可能的取值．
(2)计算随机变量取每一个值时对应的概率．
(3)写出分布列，求出均值．
2．离散型随机变量均值的性质
(1)E(cX)＝cEX(c为常数)．
(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)．
(3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 X＝5,6,7.
思考2 P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝.
思考3 ＝5×＋6×＋7×.
梳理 (1)a1p1＋a2p2＋…＋arpr
(2)“中心位置”
知识点二
1．np
2．n
题型探究
例1 解 (1)X的可能取值为－300，－100，100,300.
P(X＝－300)＝0.23＝0.008，
P(X＝－100)＝C×0.8×0.22＝0.096，
P(X＝100)＝C×0.82×0.21＝0.384，
P(X＝300)＝0.83＝0.512，
所以X的分布列为
X
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
所以EX＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180(分)．
(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)
＝P(X＝100)＋P(X＝300)＝0.384＋0.512＝0.896.
跟踪训练1 解 设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X的分布列为www.21-cn-jy.com
X
0
5
25
100
P
所以EX＝0×＋5×＋25×＋100×＝0.2，
所以一张彩票的合理价格是0.2元．
例2 解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，
∴EX＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
跟踪训练2 解 p＝，∴＝，
∴n＝5，∴5个球中有2个白球．
取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则Eξ＝＝＝.
例3 解 (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)＝1－＝.
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.
(2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X＝0,1,2,3，于是
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝.
P(X＝3)＝××＝，
∴顾客中奖的均值
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.
设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本．
跟踪训练3 解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．
由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．2-1-c-n-j-y
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，于是P()＝P()P()＝×＝，【出处：21教育名师】
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.
因为P(X＝0)＝P( )＝×＝，
P(X＝100)＝P( F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E )＝×＝，
P(X＝220)＝P(E F)＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
EX＝0×＋100×＋120×＋220×
＝＝＝140.
当堂训练
1．A 2.B 3.D 4.
5．解 (1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ的均值为Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
第2课时 离散型随机变量的方差
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点 离散型随机变量的方差
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
思考1 试求EX，EY.
思考2 能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？
思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？
梳理 (1)离散型随机变量的方差的含义
设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________．
(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系
方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周围．
(3)参数为n，p的二项分布的方差
当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)．
类型一 求离散型随机变量的方差
命题角度1 已知分布列求方差
例1 已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.21cnjy.com
跟踪训练1 已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P
(1)求方差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY.
命题角度2 未知分布列求方差
例2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．21*cnjy*com
反思与感悟 (1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤
①理解X的意义，写出X可能取的全部值．
②求X取每个值的概率．
③写X的分布列．
④求EX，DX.
(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
跟踪训练2 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．2-1-c-n-j-y
类型二 方差的实际应用
例3 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和.【来源：21cnj*y.co*m】
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.【出处：21教育名师】
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
反思与感悟 均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断．
跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．
1．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则下列式子：①EX＝－；②DX＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,3)，则D(3X＋5)等于( )
A．6 B．9 C．3 D．4
3．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.21教育网
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
4.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知EX＝EY，DX>DY，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)www.21-cn-jy.com
5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.21·世纪*教育网
1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．
2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．www-2-1-cnjy-com
答案精析
问题导学
思考1 EX＝0×＋1×＋2×＝，
EY＝0×＋1×＋2×＝.
思考2 不能，因为EX＝EY.
思考3 方差．
梳理(1)平均偏离程度 均值 DX
(2)大 小
题型探究
例1 解 (1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)方法一 由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差DX＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.
方法二 由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
X2的均值EX2＝0×＋1×＝，
所以X的方差DX＝EX2－(EX)2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，
所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
跟踪训练1 解 (1)∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，21世纪教育网版权所有
(2)∵Y＝2η－Eη，
∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1 536.
例2 解 X可能的取值为0,1,2,3,4，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
DX＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.
跟踪训练2 解 X的可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定义知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.
DX＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.
例3 解 若按项目一投资，设获利X1万元，
则X1的分布列为
X1
300
－150
P
∴EX1＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
DX1＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
若按项目二投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P
∴EX2＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
DX2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
∴EX1＝EX2，DX1＜DX2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
跟踪训练3 解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a＋0.1＋0.6＝1，所以a＝0.3.
同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4.
(2)Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.
Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势．21·cn·jy·com
当堂训练
1．C 2.A 3. 4.乙
5．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，2·1·c·n·j·y
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
Eξ＝0×＋1×＋3×＝1.
Dξ＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
6 正态分布
学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题． 21世纪教育网版权所有
知识点 正态分布
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝·exp，x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝eg(x)，μ表示________，σ2(σ>0)表示________．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．21·cn·jy·com
2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线________对称．
(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的__________．
(3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有________．www.21-cn-jy.com
类型一 正态曲线的图像的应用
例1 如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差．【来源：21cnj*y.co*m】
反思与感悟 利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．21cnjy.com
跟踪训练1 设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的分布密度函数图像如图所示，则有( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
类型二 利用正态分布的对称性求概率
例2 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－15)．
引申探究
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法
(1)由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：21·世纪*教育网
①P(Xa)；
②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )【出处：21教育名师】
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)设X～N(6,1)，求P(4
类型三 正态分布的应用
例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．21教育名师原创作品
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．21*cnjy*com
跟踪训练3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是( )21*cnjy*com
A．甲科总体的方差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的方差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于( )【版权所有：21教育】
A．1 B．2
C．4 D．不能确定
3．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有( )
A．997人 B．972人
C．954人 D．683人
4．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5)内的概率是( )
A．95.4% B．99.7%
C．4.6% D．0.3%
5．设随机变量X～N(0,1)，求P(X<0)，P(－2
1．理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用分布密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①分布密度曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(Xa)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，
若b<μ，则P(X<μ－b)＝.
答案精析
知识梳理
知识点
1．均值 方差
2．(1)x＝μ (2)“胖”“瘦”(3)①68.3%
②95.4% ③99.7% 0.3%
题型探究
例1 解 从给出的分布密度曲线可知它关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20.由＝，解得σ＝.
于是该正态分布的分布密度函数的解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
跟踪训练1 A [分布密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线．当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.]21教育网
例2 解 因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＝P(μ－σ(2)因为P(3所以P(3＝[P(1－4＝[P(μ－2σ＝×(0.954－0.683)≈0.136.
(3)P(X>5)＝P(X<－3)＝[1－P(－3引申探究
解 因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的分布密度曲线关于x＝1对称．又P(X>c＋1)＝P(X跟踪训练2 (1)C
(2)解 由已知得μ＝6，σ＝1.
∵P(5P(4如图，由正态分布的对称性知，
P(4∴P(4＝×0.271≈0.136.
例3 解 由题可知μ＝110，σ＝20，
P(X>90)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ>－σ)，
∵P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)
＝2P(X－μ<－σ)＋0.683＝1，
∴P(X－μ<－σ)＝0.159，
∴P(X>90)＝1－P(X－μ<－σ)
＝1－0.159＝0.841.
∴54×0.841≈45(人)，
即及格人数约为45.
∵P(X>130)＝P(X－110>20)＝P(X－μ>σ)，
∴P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)＝0.683＋2P(X－μ>σ)＝1，
∴P(X－μ>σ)≈0.159，即P(X>130)≈0.159.
∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人数约为8.
跟踪训练3 解 (1)∵X～N(20,4)，
∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
∴尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%.2-1-c-n-j-y
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个)．
当堂训练
1．A 2.C 3.C 4.B
5．解 对称轴为X＝0，故P(X<0)＝0.5，
P(－2第二章 概率
1 离散型随机变量的分布列的求法
对离散型随机变量分布列的考查是概率考查的主要形式，那么准确写出分布列显得至关重要．下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的分布列．21教育网
一、弄清“随机变量的取值”
弄清“随机变量的取值”是第一步．确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能否取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．
例1 从4张编号1,2,3,4的卡片中任意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的可能取值及此时ξ表示的意义．
分析 从编号1,2,3,4的四张卡片中取两张，ξ表示和，则首先弄清共有几种情况，再分别求和．
解 ξ的可能取值为3,4,5,6,7，其中ξ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．
二、弄清事件类型
计算概率前要确定事件的类型，同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率．
例2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．
甲组 乙组
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
分析 由茎叶图可知两组同学的植树棵数，则可得分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，两同学的植树总棵数的所有可能取值，由古典概型可求概率．
解 由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，
因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，
P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
三、注意验证随机变量的概率之和是否为1
通过验证概率之和是否为1，可以检验所求概率是否正确，还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏．
例3 盒中装有大小相同的10个小球，编号分别为0,1,2，…，9，从中任取1个小球，规定一个随机变量X，用“X＝x1”表示小球的编号小于5；“X＝x2”表示小球的编号等于5；“X＝x3”表示小球的编号大于5，求X的分布列．2-1-c-n-j-y
解 随机变量X的可能取值为x1，x2，x3，且
P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，P(X＝x3)＝.
故X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
点评 概率分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的概率分布列是很重要的，为了保证它的准确性，我们可以利用i＝1进行检验．
2 独立事件与互斥事件辨析
相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念，但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念，而导致错误．下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念．
一、把握互斥事件中的“有一个发生”
求互斥事件有一个发生的概率，即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生，应用的是互斥事件概率加法公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
例1 李老师正在写文章的时候，身边的电话突然响了起来．若电话响第1声时被接听的概率为0.1，响第2声时被接听的概率为0.15，响第3声时被接听的概率为0.5，响第4声时被接听的概率为0.22，那么在电话响前4声内被接听的概率是多少？
分析 在电话响前4声内李老师接电话的事件包括：打进的电话“响第1声时被接听”，“响第2声时被接听”，“响第3声时被接听”，“响第4声时被接听”这4个事件，而且只要有一个事件发生，其余的事件就不可能发生，从而求电话在响前4声内李老师接听的概率问题即为互斥事件有一个发生的概率问题．【来源：21cnj*y.co*m】
解 李老师在电话响前4声内接听的概率P＝0.1＋0.15＋0.5＋0.22＝0.97.
二、把握相互独立事件中的“同时发生”
相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件．求相互独立事件同时发生的概率，应用的是相互独立事件的概率乘法公式【出处：21教育名师】
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
例2 甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中试跳成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
解 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，i＝1,2,3.
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai与Bi相互独立．
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件 A3，
所以P( A3)＝P()P()P(A3)
＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
P(C)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.
所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
点评 本题考查事件的独立性，以及互斥事件和对立事件等知识，关键在于理解事件的性质，然后正确运用相应的概率公式加以求解．【版权所有：21教育】
归纳总结
1．对于事件A、B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．
2．弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
3．理解并运用相互独立事件的性质．如果事件A与B相互独立，那么下列各对事件：A与，与B，与也都相互独立．
4．牢记公式的应用条件，准确、灵活地运用公式．
5．认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等.
3 概率易混点剖析
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：
一、“非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和2,3,4，…，12共11种基本事件，所以概率为P＝.
剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和为2只有(1，1)，而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P＝.
正解 掷两枚骰子共有36种基本事件，点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种，所以所求概率P＝.
二、“互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上均不对
错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C.
正解 C
三、“互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C×0.82×0.2＋C×0.72×0.3＝0.825.
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是
P(AB)＝P(A)×P(B)
＝C×0.82×0.2×C×0.72×0.3≈0.169.
点评 上述例题错误的原因在于把两事件互斥与两事件相互独立混同．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响．它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的．
四、“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(AB)”混同
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．【来源：21·世纪·教育·网】
错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，
所以P(C)＝P(B|A)＝＝.
剖析 本题错误在于P(AB)与P(B|A)的含义没有弄清，P(AB)表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
正解 P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)
＝×＝.
4 概率问题与其他知识的综合应用
由概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中，这类题目覆盖面广，综合性强，用到的数学思想和方法比较多，对能力要求较高，我们要给予充分关注，并注意总结解题方法．
一、概率与函数
例1 在多项飞碟运动中，允许运动员射击两次．运动员每一次射击命中碟靶的概率p与运动员离碟靶的距离s(米)成反比，且距离s(米)与碟靶飞行时间t(秒)满足s＝15(t＋1) (0≤t≤4)．现有一碟靶抛出后，某运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击命中的概率为0.8；如果他发现没有命中，则迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求此运动员命中碟靶的概率．
解 设p＝ (k为常数)，则p＝ (0≤t≤4)，
依题意当t＝0.5时，p1＝0.8，则k＝18，所以p＝，
当t＝1时，p2＝0.6.故此人命中碟靶的概率为
p＝p1＋(1－p1)p2＝0.8＋(1－0.8)×0.6＝0.92.
点评 此题为条件概率问题(要注意第二次射击的前提)，两次射击可以理解为(有条件的)互斥事件．
二、概率与不等式
例2 某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，球袋中装有10个球，号码为n(1≤n≤10，n∈N＋)的球的重量为f(n)＝n2－9n＋21，现有两种摸球方案：①摸球1个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖；②一次摸出两个球，若两球的重量相等，则中奖．试比较两种摸奖方案的中奖概率的大小．
解 方案①，球的重量小于号码数，即n2－9n＋21解得3中奖概率为p1＝0.3；
方案②，若第n号球与第m号球重量相等(n则有n2－9n＋21＝m2－9m＋21，
即(n－m)(m＋n－9)＝0，
故m＋n＝9 (n可取值1,2,3,4)，
中奖概率为p2＝＝.
显然p1>p2，即方案①的中奖概率大．
点评 解决此问题需要先求不等式的整数解(实际问题的要求)，再计算中奖概率．
三、概率与递推数列
例3 A、B两人拿两个骰子做抛掷游戏，规定：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原抛掷者继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数就由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为pn，求pn的表达式．
解 第n次由A掷有两种情况：
①第n－1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为pn－1；②第n－1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1－pn－1)．
故有pn＝pn－1＋(1－pn－1) (n≥2)，
即pn＝－pn－1＋ (n≥2)．
令pn＋x＝－(pn－1＋x)，整理可得x＝－，
故pn－＝－ (n≥2)，
又p1＝1，所以数列是以为首项，－为公比的等比数列，
于是pn－＝n－1，即pn＝＋n－1.
点评 弄清pn与pn－1的关系并建立递推关系式是问题获得解决的关键．
5 深析超几何分布与二项分布的关系
超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是次品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是次品，有返回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．www.21-cn-jy.com
超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过几个例子说明一下两者的区别．
例1 从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的分布．
解 由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
点评 这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看成是二项分布问题，把事件发生的概率看作是0.4.21*cnjy*com
例2 甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3则甲赢，若最后一位出现6,7,8,9则乙赢，若最后一位出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列．
解 由题意得：X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝C×0.63＝0.216，
P(X＝1)＝C×0.62×0.4＝0.432，
P(X＝2)＝C×0.6×0.42＝0.288，
P(X＝3)＝C×0.43＝0.064.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
点评 这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为X服从N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
二项分布应满足独立重复试验：
①每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生)．
②任何一次试验中发生的概率都一样．
③每次试验间是相互独立的互不影响的．
6 三法求均值
均值是离散型随机变量的一个重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值的求解策略也有多种，下面通过实例来阐述．
方法一 利用定义求均值
根据定义求离散型随机变量的均值，首先要求分布列，然后利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
例1 一接待中心有A，B，C，D四部热线电话．已知某一时刻电话A，B占线的概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的分布列和它的均值．
分析 先判断ξ的所有可能取值，再根据相应知识求概率．
解 由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P(ξ＝1)＝C×0.52×0.62＋C×0.4×0.6×0.52＝0.3，
P(ξ＝2)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×C×0.4×0.6＋C×0.42×0.52＝0.37，
P(ξ＝3)＝C×0.52×C×0.4×0.6＋C×0.52×C×0.42＝0.2，
P(ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以Eξ＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
点评 均值与分布列联系密切，正确地求出随机变量的分布列，是求均值的关键．解题时，确定随机变量ξ取哪些值及相应的概率，是利用定义求均值的重点．
方法二 利用公式求均值
有些离散型随机变量如果归结为超几何分布、二项分布等常见分布类型时就常使用公式法求均值：
(1)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np.
(2)若X服从超几何分布，则EX＝n.
例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的均值．
解 根据题目所含白球数X服从参数N＝10，M＝5，n＝4的超几何分布，则EX＝＝＝2.
所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球．
点评 此题判断随机变量服从哪种分布是关键，再者要弄清公式中参数的含义．
方法三 利用性质求均值
对于aX＋b型的随机变量一般用性质E(aX＋b)＝aEX＋b来求解．
例3 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为( )21·cn·jy·com
A．100 B．200
C．300 D．400
解析 记“不发芽的种子数为ξ”，
则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，
而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.
答案 B
点评 解决此类问题的关键是找出变量与变量的内在联系，并正确套用性质．
7 正态分布的实际应用
正态分布是实际生活中应用十分广泛的一种概率分布，因此，我们要熟练掌握这种概率模型，并能灵活地运用它分析解决实际问题，其中分布密度曲线、几个特殊概率P(μ－σ正态分布重点要掌握分布密度曲线的性质，会利用几个特殊概率解决简单的问题，特别要注意数形结合思想在求概率中的运用．www-2-1-cnjy-com
例1 已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度X服从N(200,182)．
(1)计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
(2)如果所用的材料在以98%的概率保证强度大于164，问这批材料是否符合这个要求？
分析 根据正态分布和正态曲线的性质分析求解．
解 (1)X～N(μ，σ2)，其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P(182又1＝P(X<182)＋P(182218)，
且由正态曲线的对称性可知，
P(X<182)＝P(X>218)，
∴P(X<182)＝(1－0.683)＝0.159.
∴P(X>182)＝1－P(X<182)
＝1－0.159＝0.841.
故所求的概率为0.841.
(2)由题意有P(X>164)＝0.98.
而164＝μ－2σ，
∴P(164又由正态曲线的对称性可知
P(X<164)＝P(X>236)，
且P(X<164)＋P(164236)＝1，
∴P(X>164)＝1－P(X<164)
＝0.977<0.98.
故这批材料不符合这个要求．
例2 已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45，0.052)，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：21世纪教育网版权所有
27．34 27.49 27.55 27.23 27.40
27．46 27.38 27.58 27.54 27.68
请帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的．
分析 正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，所以对落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说．
解 有两个零件不符合落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的．2·1·c·n·j·y
8 用独立事件同时发生的概率讲“道理”
概率本身就来源于生活，又服务于生活．在日常生活中，我们经常会遇到有理说不清的情况，如果我们有时能准确合理的运用概率知识进行分析，通过严密的分析和详实准确的数据，往往不仅能把道理讲清，而且能把道理讲透，讲得让人“心服口服”．如果不信，我们下面就不妨用独立事件同时发生的概率来讲两个道理．21·世纪*教育网
道理1：我国的大教育家孔子曰：“三人行，必有我师焉”．能用概率知识诠释孔子的这句名言吗？
诠释：俗话说：“三百六十行，行行出状元．”我们不妨把一个人的才能分成360个方面．因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%，即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99%.另外两个人在任何一方面的才能不如孔子分别看作两个独立事件，则在任一行中，这两个人的才能均不超过孔子就成了概率中两个独立事件同时发生的模型，所以可能性是99%×99%＝98.01%.而在360行中，另外两人的才能均不超过孔子的可能性即为独立事件重复发生的概率，所以为(98.01%)360≈0.07%.反过来说，另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为1－(98.01%)360≈99.93%.也就是说，两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为99.93%.21*cnjy*com
从上面的分析可知，“三人行，必有我师”虽然是孔子自谦的话，但从实际情况来看，这句话是很有道理的．
道理2：小强和小明的家都在同一栋10层的小高层里，小强家在顶层，小强坚持认为由于小高层有底层到顶层的电梯，所以自己从电梯上楼到家的速度应该是相当快的．可是小明并不这样认为，但是又无法说服小强，只是一味地强调如果考虑每层都有人要上电梯，那么也要耽误很多时间，所以乘电梯也不一定很快．我们如何来帮助小明通过准确的数据来说服小强呢？
我们不妨设计这样一个问题：十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解 依题意，从底层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次．这些情况都是互斥关系，电梯每一层停的概率为，每种具体的情况实际上是独立事件重复发生的概率问题．
∴从底层到顶层停不少于3次的概率
P＝C36＋C45＋C54＋…＋C9＝(C＋C＋C＋…＋C)9
＝[29－(C＋C＋C)] 9＝(29－46)9＝.
设从底层到顶层停k次，则其概率为Ck9－k＝C9，
∴当k＝4或k＝5时，C最大，即C9最大，∴从底层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．
通过上面的详实分析和准确数据，我们发现由于电梯至少停三次的概率较大，而且停4次或5次的可能性最大，因为每次电梯停下来开门、关门等都要耽误一定的时间，累计起来耽误的时间却是不少，所以小明的观念还是有一定的道理的．
生活中像这样的现象很多，表明上看起来都与概率无关，但是对于“数学人”来说，生活中的概率无处不在，关键就在于要善于将这些现象转化为概率模型，通过数学知识来进行定性和定量分析，达到“以理服人”的效果．
9 生活中的概率问题
在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力．在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等，我们常遇见一些概率问题．下面就我们现实生活中常见的一些概率问题进行一些简单的分析：21教育名师原创作品
一、谁先谁后的问题
单位有六台旧麻将机将处理给单位员工，定价300元一台．结果有12位希望买一台．于是单位领导就写了十二张小纸条，其中有六张写着“恭喜购买成功”，另六张写着“谢谢你的配合，你购买不成功！”．再把纸条折好．然后叫十二位员工按先后顺序来抓．请问：这十二位员工拿中的概率是一样的吗？也就是说这种方法公平吗？最后一位员工是不是最划不来？
显然，对于第一个抓纸条的人来说，他从12张纸条中选一张，抽到“恭喜购买成功”的概率为.对于第二个抓纸条的人来说，可以分两种情况考虑：①第一个人抽中，他抽中的概率，②第一个人没有抽中，他抽中的概率，这两种情况是等概率事件，所以不管第一个人抽中还是没抽中，不影响第二个人抽中的概率．同样对于第三个人来说，他抽中的概率可以分成四种情况考虑：①一中，二中，他抽中的概率，②一中，二不中，他抽中的概率，③一不中，二中，他抽中的概率，④一不中，二不中，他抽中的概率，这四种情况是等概率事件，所以也不影响第三个人抽中的概率．由此可以类推，第四个人，第五个人等，抽中的概率都不受影响，所以这种方法是公平的，哪个人先抽，哪个人后抽，对个人来说，没有影响．
二、性别问题
你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚的听到有3个小孩的声音，但是，因为这3个小孩，年龄都很小，所以你不确定他们是男是女．
1．基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？
2．当然，你还是没有足够的讯息，确定所有3个小孩的性别．所以，你决定再找个理由，到隔壁敲了第二次门，很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？
3．如果，你第三次去敲了隔壁邻居的门，请问，你可以百分之百确定这3个性别的概率是多少？
对于这种问题，我们在平时的言谈中经常会遇到，一下子接触，感觉有点懵．其实这种问题认真分析的话也会感觉其中的乐趣.1.一个男孩开门，那么就会有两个小孩不知道性别，有四种可能，所以全是男孩的概率为.2.第二次敲门，
又有一个男孩开门，就只有一个小孩不知道性别，有两种可能，所以全是男孩的概率为.3.第三次敲门，三个小孩都有可能开门，所以全是男孩的概率为.这种问题其实和抛硬币，掷骰子的问题大致相同，只是情境不同．
三、玩扑克牌中的出牌问题
在玩扑克牌中，我们经常会懊悔出错了牌，一手好牌就此浪费了．比如斗地主中，炸弹(四个相同的点数或双王)，三带一，连子，出现的概率很低，对子，单的概率很高，所以合理的安排出牌，胜利的次数就比较多．如果一个玩牌者经过计算，认定出牌A比出牌B获胜的概率大，那么它会出牌A，尽管出牌A也有招致失败的风险．
可见，在生活中，我们会遇到很多难题，当我们从概率的角度进行判断，然后作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确．只是，我们总希望犯错误的概率小一些，能够使自己获得最高的成功率．把握住事件出现的概率，我们就很容易的做出判断解决问题．
四、生日相同的问题
如果一个班级有50位学生，那么其中至少有两位学生生日相同的概率是多少？
要直接计算50人中有至少2人生日相同比较困难．我们就先算出全部不同的概率．然后用1减去它就是至少有2人相同的概率了．我们可以这样考虑：随意找一位学生甲，他的生日可以是365(不考虑闰年)天中的任意一天，所以有365种可能，对于学生乙同样有365种可能，所以50位学生生日的情况就有36550种，生日不相同的情况，对于甲有365种可能，乙和甲不同就有364种，所以50位学生生日不同的情况有A种，所以生日不同的概率为，所以至少有两位学生生日相同的概率为1－.
该问题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象其实极为平凡，这也有助于我们破除迷信，树立唯物主义的世界观．
第二章 概率
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项分布，并能进行简单的应用，了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并能利用均值和方差解决一些实际问题． 【来源：21·世纪·教育·网】
一、离散型随机变量的分布列
1．定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
________________________①或把上式列成下表
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
2．求随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量X的取值．
(2)准确求出X取每一个值时的概率．
(3)列成表格的形式．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)________，i＝1,2，….
(2)________________．
二、条件概率与独立事件
1．A发生时B发生的条件概率为
P(B|A)＝.
2．对于两个事件A，B，如果________________，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．www.21-cn-jy.com
3．求条件概率的常用方法
(1)定义：即P(B|A)＝________.
(2)借助古典概型公式P(B|A)＝________.
三、离散型随机变量的均值与方差
1．定义：一般地，设随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则EX＝________________叫作这个离散型随机变量X的均值．E(X－EX)2是(X－EX)2的均值，并称之为随机变量X的方差，记为________．21cnjy.com
2．意义：均值刻画的是X取值的“中心位置”，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的____________．www-2-1-cnjy-com
四、超几何分布与二项分布
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．21*cnjy*com
那么P(X＝k)＝________________(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布，其均值EX＝________.
2．二项分布
在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次独立重复试验中成功的次数，
则P(X＝k)＝____________(k＝0,1,2，…，n)．
称为X服从参数为n，p的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．
五、正态分布
1．正态分布的分布密度函数为
f(x)＝exp{－}，－∞2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ类型一 条件概率的求法
例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：
(1)第一次取出的是红球的概率是多少？
(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？
(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？
反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P(B|A)＝；(2)P(B|A)＝.在古典概型中，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．
类型二 互斥、对立、独立事件的概率
例2 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词，每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)．
(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；
(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和均值．
反思与感悟 (1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A＋B)＝1－P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
跟踪训练2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．21·世纪*教育网
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．
类型三 离散型随机变量的分布列、均值和方差
例3 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．【出处：21教育名师】
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．
反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤
跟踪训练3 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的均值与方差．
类型四 正态分布
例4 某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．2·1·c·n·j·y
反思与感悟 (1)记住正态总体在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
跟踪训练4 已知X～N(－1，σ2)，若P(－3≤X≤－1)＝0.4，则P(－3≤X≤1)的值是________．
类型五 分类讨论数学思想方法的应用
例5 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．
反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．
跟踪训练5 某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)．
1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
2．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )21·cn·jy·com
A. B. C. D.
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )【来源：21cnj*y.co*m】
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%)【版权所有：21教育】
A．4.6% B．13.6%
C．27.2% D．31.7%
4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
5．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小正方体抛掷2次，求向上的数之积的分布列和均值．
1．条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．21教育名师原创作品
(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A∪B)＝1－P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用超几何分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．21*cnjy*com
对于正态分布问题，新课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布的分布密度函数．(2)理解分布密度曲线的性质．(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图像求相应的概率．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．P(x＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，
3．(1)pi>0 (2)p1＋p2＋…＝1
知识点二
2．P(AB)＝P(A)P(B)
3．(1)
(2)
知识点三
1．a1p1＋a2p2＋…＋arpr DX
2．平均程度越小
知识点四
1. n
2．Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
题型探究
例1 解 记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．
(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个，
所以P(A)＝＝.
(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个，
所以P(AB)＝＝.
(3)利用条件概率的计算公式，
可得P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1 解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.
方法一 P(A|B)＝＝＝.
方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，∴n(B)＝6.
“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n(AB)＝3.
∴P(A|B)＝＝＝.
例2 解 (1)设“英语老师抽到的4个单词中，至少有3个是后两天学习过的”为事件A，
由题意可得P(A)＝＝.
(2)由题意可得ξ可取0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝2×＝，
P(ξ＝1)＝C×××＋2×＝，
P(ξ＝2)＝2×＋C×××＝，
P(ξ＝3)＝2×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
故Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝2.2.
跟踪训练2 解 (1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.由对立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.21教育网
(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，2-1-c-n-j-y
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.
例3 解 (1)从10人中选出2人的选法共有C＝45(种)，
事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；
共有CC＋C＝15(种)，
∴事件A发生的概率P＝＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＝1.
跟踪训练3 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.
(2)X的可能取值是1,2,3，
则P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
EX＝1×＋2×＋3×＝，DX＝E(X－EX)2＝×2＋
×2＋×2＝.
例4 解 ∵考生成绩X～N(500,502 )，
∴μ＝500，σ＝50，
∴P(550＝(0.954－0.683)＝0.136，
∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.136＝340.
跟踪训练4 0.8
解析 由于X～N(－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x＝－1对称，所以
P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.8.
例5 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)．
三个问题均答对，
得10＋10＋20＝40(分)．
三个问题一对两错，包括两种情况：
①前两个问题一对一错，第三个问题错，
得10＋0＋(－10)＝0(分)；
②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)．
三个问题两对一错，也包括两种情况：
①前两个问题对，第三个问题错，
得10＋10＋(－10)＝10(分)；
②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分)．
故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.
P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016，
P(ξ＝0)＝C×0.2×0.8×0.4＝0.128，
P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256，
P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024，
P(ξ＝30)＝C×0.8×0.2×0.6
＝0.192，
P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.
所以ξ的分布列为
ξ
－10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
所以Eξ＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24.
(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为
P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016＝0.984.
跟踪训练5 解 (1)A直接感染一个人有2种情况，分别是A－B－C－D和A－B－，
概率是×＋×＝；
(2)A直接感染二个人有3种情况，分别是A－，A—，A—，概率是×＋×＋×＝；
(3)A直接感染三个人只有一种情况，概率是×＝.
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
当堂训练
1．D [设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P(B|A)＝＝＝.故选D.]21世纪教育网版权所有
2．B [设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P( )＝1－P()·P()·P()＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝1－＝，故选B.]
3．B [由正态分布的概率公式，知P(－3<ξ<3)＝0.683，P(－6<ξ<6)＝0.954，
故P(3<ξ<6)＝＝≈0.136＝13.6%，故选B.]
4.
解析 每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，所以恰有2人申请A片区房源的概率为C·2·2＝.
5．解 设所得两数之和为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,4，
P(ξ＝0)＝2××＋2××＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝2××＝，
P(ξ＝4)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
4
P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋4×＝.
