1 从平面向量到空间向量
学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
知识点一 空间向量的概念
思考1 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
思考2 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？
梳理 空间向量的有关概念
(1)定义：在空间中，把既有______又有______的量，叫作空间向量.
(2)长度：空间向量的大小叫作向量的______或____.
(3)表示法
(4)自由向量：与向量的起点无关的向量.
知识点二 空间向量的夹角
思考 在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？
梳理 空间向量的夹角
(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则________叫作向量a与向量b的夹角，记作______________.
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝____
〈a，b〉是____
〈a，b〉是____
〈a，b〉是____
〈a，b〉＝____
(3)范围：____≤〈a，b〉≤____.
(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝______，那么称a与b互相垂直，记作________.
知识点三 向量与直线、平面
1.向量与直线
与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示.
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的______向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量______于该直线.
2.向量与平面
如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的________.
类型一 有关空间向量的概念的理解
例1 给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量；
③试写出与向量相等的所有向量；
④试写出向量的所有相反向量.
类型二 求空间向量的夹角
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：
(1)〈，〉；
(2)〈，〉；
(3)〈，〉.
引申探究
在本例中，求〈，〉.
反思与感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.
跟踪训练2 在正四面体ABCD中，〈，〉的大小为( )
A. B.
C. D.
类型三 直线的方向向量与平面法向量的理解
例3 已知正四面体A－BCD.
(1)过点A作出方向向量为的空间直线；
(2)过点A作出平面BCD的一个法向量.
反思与感悟 直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行.
给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.
跟踪训练3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.
1.下列命题中，正确的是( )
A.若|a|＝|b|，则a与b共线
B.若|a|＞|b|，则a＞b
C.若a＝b，则|a|＝|b|
D.若a≠b，则a与b不共线
2.以长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中，能作为直线BB1的方向向量的个数为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
3.若把空间中所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形为________.
4.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱的长分别为1,2,3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量个数为________.
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________.(填序号)
①；②；③；④.
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可.
给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.
提醒：完成作业 第二章 §1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
思考2 一定相同.因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同.
梳理 (1)大小 方向 (2)长度 模 (3)有向线段 || |a|
知识点二
思考 0或π.
梳理 (1)∠AOB 〈a，b〉 (2)0 锐角
直角 钝角 π (3)0 π (4) a⊥b
知识点三
1.方向 平行 2.法向量
题型探究
例1 B
跟踪训练1 B
(2)解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，，.
④向量的相反向量有，，，.
例2 解 (1)由题意知，＝，
∴〈，〉＝〈，〉.
又∵∠CAB＝，
故〈，〉＝.
(2)〈，〉＝π－〈，〉
＝π－＝.
(3)〈，〉＝〈，〉＝.
引申探究
解 如图，连接B1C，则B1C∥A1D，
且＝，连接AC，
在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C，
故∠AB1C＝，
〈，〉＝〈，〉＝.
跟踪训练2 C
例3 解 (1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线.
(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量.
跟踪训练3 解 取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PM綊DC綊AB.所以四边形APMB为平行四边形，所以AP綊BM.又在四边形BQC1M中，BQ綊C1M，
所以四边形BQC1M为平行四边形，
所以BM綊C1Q，
所以AP∥C1Q，故为直线AP的一个方向向量.
当堂训练
1.C 2.A 3.球面 4.8 5.②③
2 空间向量的运算（一）
学习目标 1.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.2.了解向量加法的交换律和结合律.
知识点 空间向量的加减运算及运算律
思考1 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量
的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？
梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b
(2)空间向量的加法交换律
a＋b＝________，
空间向量的加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
类型一 向量式的化简
例1 如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
(1)－；
(2)＋＋.
引申探究
利用例1题图，化简＋＋＋.
反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝0.
(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b).
跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
类型二 用已知向量表示未知向量
例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知＝a，＝b，＝c.用向量a，b，c表示以下向量.
(1)；(2).
反思与感悟 将一个向量表示成n个向量的和或差，关键是根据向量的加减运算将向量进行拆分，一般可考虑从起点到终点构成封闭的回路进行运算.
跟踪训练2 在例2中，若已知A1C1与B1D1的交点为M.请用a，b，c表示.
1.下列命题中，假命题是( )
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
2.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋B1C1；④(＋)＋.其中运算的结果为的有________个.
5.化简：2＋2＋3＋3＋＝________.
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
提醒：完成作业 第二章 §2(一)
答案精析
问题导学
知识点
思考1 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
思考2 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.
梳理 (2)b＋a
题型探究
例1 解 (1)－＝－
＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量、如图所示.
引申探究
解 ＋＝，＋
＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
跟踪训练1 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋).
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋
＝＋＝.
∴＋＋＝2.
例2 解 (1)＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
(2)＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
跟踪训练2 解 ∵＝＝－＝b－a.
又∵＝，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝c＋(b－a)
＝－a＋b＋c.
当堂训练
1.D 2.C 3.D 4.4 5.0
2 空间向量的运算（三）
学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 空间向量数量积的概念
思考1 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.
思考2 在等边△ABC中，与的夹角是多少？
梳理 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝____________
交换律
a·b＝________
分配律
a·(b＋c)＝________
知识点二 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b?____________
②若a与b同向，则a·b＝__________；若反向，则a·b＝__________.
特别地，a·a＝__________或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝________________
④|a·b|≤|a|·|b|
类型一 空间向量数量积的运算
命题角度1 空间向量数量积的基本运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.
(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).
反思与感悟 (1)如果已知a，b的模及a与b的夹角，则可直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A. B. C. D.4
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知在长方体ABCD—1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋ )·(＋)；(2)|＋＋|.
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的投影，l?α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示，在平行六面体ABCD—B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可.
跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.
1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于( )
A.14 B.
C.4 D.2
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.· B.·
C.· D.·
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
4.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.
1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，并结合运算律进行计算.
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.
2.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
提醒：完成作业 第二章 §2(三)
答案精析
§2 空间向量的运算(三)
问题导学
知识点一
思考1 ∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝24－16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.
思考2 120°.
梳理 (2)λ(a·b) b·a a·b＋a·c
知识点二
a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2
题型探究
例1 (1)解 ①此命题不正确.
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2
＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.
②此命题不正确.
∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|
＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，
|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.
③此命题正确.
∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]
＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b
＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，
且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直.
(2)解 ①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6.
②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2
＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2，
∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－)－4×16＝27－24－64＝－61.
跟踪训练1 C
例2 解 如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·
＝b·[(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
跟踪训练2 解 (1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－ 2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
(2)|＋＋|
＝ ＝
＝＝.
例3 解 如图所示，
∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2.
∴·＝－a2.
又·＝||·||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
又∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.
跟踪训练3
证明 如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.
因为l⊥OA，
所以a·＝0.
因为PO⊥α，且l?α，所以l⊥PO，
因此a·＝0.
又因为a·＝a·(＋)
＝a·＋a·＝0，
所以l⊥PA.
例4 解 因为＝＋＋，
所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·).
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
所以2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为2＝||2，
所以||2＝23，||＝，
即AC1＝.
跟踪训练4 解 ∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
例5 证明 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·
＝||·||cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
跟踪训练5 45°
当堂训练
1.B 2.D 3.B 4. 5.
2 空间向量的运算（二）
学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.
知识点一 空间向量的数乘运算
思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
梳理 (1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝__________.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向______；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律：
①λ(μa)＝______________；
②λ(a＋b)＝____________；
③(λ1＋λ2)a＝__________(拓展).
知识点二 共线向量与共面向量
思考1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.
思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？
梳理 (1)平行(共线)向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相__________
充要条件
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在实数λ，使__________
点P在直线l上的充要条件
存在实数t满足等式________________，在直线l上取向量＝a，则＝＋t______
向量a为直线l的____________
(2)共面向量
定义
平行于同一个______的向量
三个向量共面的充要条件
向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使__________
点P位于平面ABC内的充要条件
存在有序实数对(x，y)，使＝__________
对空间任一点O，有＝＋__________
类型一 向量共线问题
例1 如图所示，在正方体ABCD—B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线.
反思与感悟 判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
类型二 空间向量的数乘运算及应用
例2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
跟踪训练2 如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
类型三 空间向量共面问题
例3 如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.
反思与感悟 (1)利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.
(2)证明空间向量共面或四点共面的方法
①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.
③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
跟踪训练3 (1)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面.
(2)如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：①A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
②∥；
③＝k.
1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A.共面向量 .共线向量
C.不共面向量 .既不共线也不共面的向量
2.已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为( )
A.＝ .∥
C.||＝|| .||≠||
3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
4.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是________.
5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
1.四点P，A，B，C共面?对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.
2.＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
3.证明(或判断)三点A、B、C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A、B、C共线.
4.空间上一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.
提醒：完成作业 第二章 §2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考 当λ>0时，λa和a方向相同；当λ<0时，当λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
梳理 (1)①|λ||a| ②相反
(2)①(λμ)a ②λa＋λb ③λ1a＋λ2a
知识点二
思考1 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
思考2 正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.
梳理 (1)平行或重合 a＝λb
＝＋ta 方向向量
(2)平面 唯一 p＝xa＋yb
x＋y x＋y
题型探究
例1 证明 设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，
＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋
＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.∴E，F，B三点共线.
跟踪训练1 解 设AC中点为G，连接EG，FG.
∴＝，＝.
又∵，，共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)，
∴与 ＋共线.
例2 解 (1)＝＋
＝(＋)＋
＝a＋c＋b.
(2)＝＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
(3)＋＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＋＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
引申探究
解 ＝＋＝＋＋
＝a＋c＋b.
跟踪训练2 解 ＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝a＋[－a＋c＋(b－c)]
＝a＋b＋c.
例3 证明 因为＝＝＝＝k，
所以＝k，＝k，＝k，＝k.
由于四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋.
因此＝－＝k－k＝k＝k(＋)＝k(－＋－)
＝－＋－＝＋.
由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.
跟踪训练3 (1)解 ，，三个向量共面.
因为＝＋＋，
所以3＝＋＋，
化简，得(－)＋(－)＋(－)＝0，
即＋＋＝0，
即＝－－，
故，，共面.
(2)证明 ①∵＝＋m，
∴A、B、C、D四点共面.
∵＝＋m，∴E、F、G、H四点共面.
②∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)
＝k＋km＝k(＋m)
＝k，∴∥.
③＝＋＝k＋k＝k(＋)＝k.
当堂训练
1.A 2.B 3.－8 4.②④
5.解 (1)原式可变形为＝3－－.
∵3＋(－1)＋(－1)＝1，
∴点B与点P，A，M共面，
即点P与点A，B，M共面.
(2)原式为＝4－－.
∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，
∴点P与点A，B，M不共面.
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2 空间向量基本定理
学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.
知识点一 空间向量基本定理
思考1 平面向量基本定理的内容是什么？
思考2 平面向量的基底唯一确定吗？
梳理 (1)空间向量基本定理
条件
三个______的向量e1，e2，e3和空间______向量a
结论
存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得__________
(2)基底
条件：三个向量e1，e2，e3______.
结论：__________________叫作空间的一个基底.
基向量：基底中的向量e1，e2，e3都叫作基向量.
知识点二 空间向量的坐标表示
思考1 平面向量的坐标是如何表示的？
思考2 基底不同，向量的坐标相同吗？
梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正交基底
有公共起点O的三个两两______的______向量，记作e1，e2，e3
空间直角坐标系
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以__________________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
空间向量的坐标表示
在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间中任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的____________，把i，j，k叫作____________.(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示
类型一 基底的概念
例1 若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？
反思与感悟 基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.
跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A.2a B.2b
C.2a＋3b D.2a＋5c
(2)以下四个命题中正确的是________.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.
类型二 用基底表示向量
例2 如图所示，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
(1)；(2)；(3)；(4).
反思与感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
跟踪训练2 如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c.试用向量a，b，c表示向量.
类型三 空间向量的坐标表示
例3 在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标.
(1)，，；(2)，，.
引申探究
本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标.
反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________.
1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
3.若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为________.
4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________.
5.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______.(用a，b，c表示)
1.基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.
2.在空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.
3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.
提醒：完成作业 第二章 §3 3.1～3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
思考2 不唯一.
梳理 (1)不共面 任一 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 (2)不共面 e1，e2，e3
知识点二
思考1 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标.
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点).
思考2 不相同.
梳理 垂直 单位 e1，e2，e3 标准正交分解 标准正交基
题型探究
例1 解 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面，
∴此方程组无解.
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面.
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底.
跟踪训练1 (1)D (2)②③
例2 解 连接AC，AD′.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c).
(2)＝(＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋＝＋·(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c.
跟踪训练2 解 ∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，
∴＝(＋)，
＝＝×(＋)
＝(b＋c).
又＝＋＝＋，
＝－，
∴＝＋×(＋)－＝(＋＋)
＝(a＋b＋c).
∵＝－，
∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)
＝－a.
例3 解 (1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋
＝，
＝－＝(＋)－(＋)＝－－
＝，
＝－＝＋－
＝－＝(1，－，0).
引申探究
解 ＝＋＝－＋
＝(－1,0，)，
＝＋＝＋(－)
＝－＋＝(－，1,0)，
＝＋＝(0，，).
跟踪训练3
当堂训练
1.C 2.A 3.，－1，－
4.(0,2,1) (2,2,1)
5.a＋b＋c
3.3 空间向量运算的坐标表示
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.
知识点一 空间向量的坐标运算
思考 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？
梳理 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
减法
a－b
数乘
λa
数量积
a·b
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
模
|a|＝________
夹角
cos〈a，b〉＝
cos〈a，b〉＝
类型一 空间向量的坐标运算
例1 已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A.(2，－4,2) B.(－2,4，－2)
C.(－2,0，－2) D.(2,1，－3)
反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.
跟踪训练1 若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例2 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥.求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值.
反思与感悟 (1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程.
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
跟踪训练2 在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
类型三 空间向量的夹角与长度的计算
例3 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
反思与感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便在写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
(1)求证：EF⊥DC；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A.(16,0,4) B.(8，－16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
2.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为( )
A.4 B.15 C.3 D.7
3.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( )
A.(1,1,1) B.(－4,6，－2)
C.(2，－3,5) D.(－2，－3,5)
4.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A.1 B. C. D.
5.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________.
1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.
2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝ ＝.
3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.
提醒：完成作业 第二章 §3 3.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考 m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.
梳理 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点二
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a|＝
题型探究
例1 A
跟踪训练1 2
例2 解 (1)因为＝(－2，－1,2)，
且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝
＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).
(2)因为a＝＝(1,1,0)，
b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
引申探究
解 由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，
ka＋2b＝(k－2，k,4).
因为(ka－b)⊥(ka＋2b)，
所以(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，
故所求k的值为－2或.
跟踪训练2
证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，
B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，由中点性质得E，F，G，H.
(1)＝(1,0,1)，＝.
＝，
∵＝2， ·
＝1×＋0＋1×＝0，
∴∥，⊥，
即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)∵＝，
＝，＝，
∴·＝－＋0＝0，
·＝＋0－＝0，
∴⊥，⊥，
即A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.
例3 (1)证明
建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，E，
C(0,1,0)，
F，
G.
所以＝，
＝， ＝，
＝.
因为·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF.
(2)解 因为·＝×1＋×0＋(－)×＝，
||＝
＝，||＝ ＝，
所以cos〈，〉＝
＝＝.
(3)解 |CE|＝||
＝ ＝.
跟踪训练3 (1)证明 分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，，0)，F(，，)，P(0,0，a)，
∴·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.
(2)解 设点G(x,0，z)，
则G∈平面PAD，
且＝(x－，－，z－).
要使GF⊥平面PCB，只需GF⊥CB，GF⊥CP.
∵·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)＝a(x－)＝0，·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)
＝＋a(z－)＝0，∴x＝，z＝0.
故点G的坐标为(，0,0).
即点G为AD的中点.
当堂训练
1.D 2.C 3.B 4.D 5.
4 用向量讨论垂直与平行（一）
学习目标 1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
知识点一 空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?________?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α?a⊥μ?__________
面面平行
α∥β?μ∥v?____________
知识点二 利用空间向量处理平行问题
思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
引申探究
若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
(3)列方程组：由列出方程组.
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量.
类型二 利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.已知直线l1的方向向量为a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量为b＝(－4，x，y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( )
A.6和－10 B.－6和10
C.－6和－10 D.6和10
3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A.(0，－3,1) B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)
4.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为( )
A.－4 B.－6 C.－8 D.8
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________.
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
提醒：完成作业 第二章 §4(一)
答案精析
问题导学
知识点一
a∥b a·μ＝0 μ＝kv(k∈R)
知识点二
思考 (1)由直线方向向量的定义知，若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R).
(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.
(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.
题型探究
例1 解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则
D(0，，0)，E(0，，)，B(1,0,0)，
C(1，，0)，
于是＝(0，，)，＝(1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).
引申探究
解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，
即为直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1).
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0,1，).
跟踪训练1 解 因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).
由题意得F(0,0,0)，P(0,0，)，
D(－1，，0)，
C(0，，0)，E(0，，).
所以＝(0，，)，＝(－1，，0).
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z).
则即
所以令y＝2，则x＝，
z＝－2.
所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2).
例2 证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，
F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1).
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即
得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥，n2⊥，
得
得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
跟踪训练2 解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0).
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1).
∵∥，
∴y(－1)－2(z－1)＝0. ①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，
∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，
∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
当堂训练
1.A 2.A 3.D 4.C
5.(1,1,1)(答案不唯一)
4 用向量讨论垂直与平行（二）
学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.
知识点一 向量法判断线线垂直
思考 若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？
梳理 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______________?____________.
知识点二 向量法判断线面垂直
思考 若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？
梳理 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?__________________.
知识点三 向量法判断面面垂直
思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?____________.
类型一 证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
类型二 证明线面垂直
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.
反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
跟踪训练2 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.
类型三 证明面面垂直
例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
反思与感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
1.下列命题中，真命题的个数为( )
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( )
A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)
D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)
3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l?α D.l与α斜交
4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不能确定
5.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是_____________________________.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
提醒：完成作业 第二章 §4(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考 l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2.又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.
判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量与的坐标，若·＝0，则两直线垂直，否则不垂直.
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.
梳理 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
知识点二
思考 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内.
(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.
梳理 a＝kμ(k∈R)
知识点三
思考 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
题型探究
例1 证明 设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得A，B，C，N，B1.∵M为BC中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0，
∴⊥，∴AB1⊥MN.
跟踪训练1 证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，
A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，
∴·＝0，∴AC⊥BC1.
例2 证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0).
所以＝(1,2，－)，
＝(－1,2，)，
＝(－2,1,0).
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0，
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0，
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.
跟踪训练2 证明 如图建立空间直角坐标系，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，＝(1,0，－1)，
＝(0,1，－1)，＝(1,1,1).·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.
例3 证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0，0，)，
故＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，
＝(－2,2,1)，＝(－2,0，).
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0).
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
则即
令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1,4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
跟踪训练3 证明 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0,0，a)，则易得B(0,0，0)，C，D(0，a,0)，E，F(0，a，)，
故＝(0,0，－a)，＝.
设平面ABC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，
∴n1＝(1，－1,0)为平面ABC的一个法向量.
设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，
同理可得n2＝(1,1，－).
∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
当堂训练
1.C 2.B 3.B 4.C 5.α∥β
5 夹角的计算
学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.
知识点一 直线间的夹角
思考1 设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈a，b〉吗？
思考2 当两条直线平行时，它们的夹角是多少？
梳理 (1)共面直线的夹角
当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，]内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为__________.
(2)异面直线的夹角
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.
两条异面直线的夹角的范围为________，当夹角为时，称这两条直线异面______.
综上，空间两条直线的夹角的范围是____________.
(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系
空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于____________；
当＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于____________.
知识点二 平面间的夹角
思考 若平面π1与平面π2平行，则它们的夹角是多少？
梳理 (1)平面间夹角的概念
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.
由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是____________.
当夹角等于0时，两个平面______；当夹角等于时，两个平面互相______.
(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系
空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.
已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于__________________；当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于__________________.
事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
知识点三 直线与平面的夹角
思考 若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？
梳理 (1)直线与平面夹角的概念
平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.
(2)直线与平面夹角的范围
如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是____.
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是____________.
由此可得，直线与平面夹角的范围是____________.
(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法
空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定.
设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ.
当0≤〈n，a〉≤时，θ＝__________________；
当＜〈n，a〉≤π时，θ＝__________________.
即sin θ＝|cos〈n，a〉|.
类型一 直线间的夹角求解
例1 已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值.
反思与感悟 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是[0，]，所以这两者不一定相等，还可能互补.
由于任意两条直线的夹角θ∈[0，]，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|cos〈s1，s2〉|.
跟踪训练1 如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值.
类型二 求平面间的夹角
例2 如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值.
反思与感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)分别求出两平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)确定平面间夹角的大小.
跟踪训练2 如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：SE＝2EB；
(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小.
类型三 直线与平面的夹角
例3 已知直线l的一个方向向量为s＝(1,0,0)，平面π的一个法向量为n＝(2,1,1)，求直线与平面夹角的正弦值.
反思与感悟 注意公式sin θ＝|cos〈n，a〉|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错.
跟踪训练3 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.
1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为( )
A. B.－
C. D.或－
2.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值是( )
A. B. C. D.
3.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD的夹角大小为________.
4.已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1,2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2,0)，则两条直线夹角的余弦值为________.
5.已知平面π1的一个法向量为n1＝(1，－1,3)，平面π2的一个法向量为n2＝(－1,0，－1)，求这两个平面夹角的余弦值.
用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.
提醒：完成作业 第二章 §5
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不一定.若l1，l2的方向向量的夹角为[0，]内的角时，l1与l2的夹角为〈a，b〉，否则为π－〈a，b〉.
思考2 0.
梳理 (1) (2)(0，] 垂直
[0，] (3) 〈s1，s2〉 π－〈s1，s2〉
知识点二
思考 0.
梳理 (1)[0，] 重合 垂直
(2)〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉
知识点三
思考 不一定.
梳理 (2)0 [0，]
(3)－〈n，a〉 〈n，a〉－
题型探究
例1 解 ∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，
∴〈s1，s2〉＞90°，
∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，
∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为.
跟踪训练1 解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，
A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－).
∴|cos〈，〉|
＝
＝
＝.
∴异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为.
例2 解 如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则S(0,0,1)，D(，0,0)，C(1,1,0)，B(0,1,0)，
∴＝(，0，－1)，＝(1,1，－1).
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
令z＝1，得n＝(2，－1,1).
易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1,0,0)，
∴cos〈，n〉＝＝.
设平面SAB与平面SCD的夹角为θ，则cos θ＝.
跟踪训练2 (1)证明 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，
∴＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)，
＝(0,2,0).设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c).
由m⊥，m⊥，得
∴令b＝1，则m＝(1,1,1).
又设＝λ(λ＞0)，则E(，，)，
∴＝(，，).
设平面EDC的一个法向量为n＝(x，y，z).
由n⊥，n⊥，得
∴
令x＝2，则n＝(2,0，－λ).
由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，
∴m·n＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2，
∴SE＝2EB.
(2)解 由(1)，知E，
∴＝(，，)，＝(－，，－)，∴·＝0，∴EC⊥DE.
取线段DE的中点F，则F(，，)，
∴＝(，－，－)，
∴·＝0，∴FA⊥DE.
∴向量与的夹角或其补角等于平面ADE与平面CDE的夹角.
计算得cos〈，〉＝＝－，
故平面ADE与平面CDE夹角的大小为60°.
例3 解 ∵cos〈s，n〉＝＝
＝＞0，∴〈s，n〉＜，
∴直线l与平面π的夹角θ＝－〈s，n〉，
∴sin θ＝sin(－〈s，n〉)＝cos〈s，n〉＝.
即直线与平面夹角的正弦值为.
跟踪训练3 解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1).
∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1).
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角为β＝90°－θ，
故有sin θ＝cos β＝＝＝，
∵θ∈[0°，90°]，
∴cos θ＝＝.
当堂训练
1.A 2.A 3.30° 4.
5.解 ∵n1＝(1，－1,3)，n2＝(－1,0，－1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－＜0.
故这两个平面夹角的余弦值为|cos〈n1，n2〉|＝.
6 距离的计算
学习目标 1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.
知识点一 点到直线的距离
1.点到直线的距离
因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题.
如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点.
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小____________等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝__________________.
2.点到直线的距离的算法框图
空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图.
知识点二 点到平面的距离
1.求点到平面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点.
作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度.
而向量在n上的投影的大小__________________等于线段AA′的______，所以点A到平面π的距离d＝____________.
2.点到平面的距离的算法框图
空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示.
知识点三 直线到与它平行的平面的距离
如果一条直线平行于平面α，那么直线上的各点向平面α所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面α的距离均______.
一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离.
知识点四 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的________.公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的__________.
两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的______.
类型一 求点到直线的距离
例1 如图，在空间直角坐标系中有棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.
反思与感悟 已知一点P和一个向量s确定的直线l，那么空间一点A到直线l的距离的算法步骤
(1)计算斜向量；
(2)计算在向量s上的投影·s0；
(3)根据勾股定理，计算d＝ .
点A到直线l的距离公式也可以写成d＝ .
求平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1三点的平面和平面ABC的交线为l.
(1)判断直线A1C1和l的位置关系，并加以证明；
(2)如果AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点A1到直线l的距离.
类型二 求点到平面的距离
例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.
反思与感悟 利用向量求点到平面的距离的一般步骤
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
跟踪训练2 已知点A(－1,1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1,1)，求点A到平面α的距离.
类型三 求直线到与它平行的平面的距离
例3 在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，CC′的中点.
(1)求证：AD∥平面A′EFD′；
(2)求直线AD到平面A′EFD′的距离.
反思与感悟 求线面距离常转化为直线上的点到平面的距离.
跟踪训练3 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点.求直线A1B1与平面ABE的距离.
类型四 求两平行平面间的距离
例4 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离.
反思与感悟 求平行平面之间的距离常转化为求点到平面的距离.
跟踪训练4 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
1.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A.a B.a
C.a D.a
2.两平行平面α、β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A. B.
C. D.3
3.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________.
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________.
5.如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
1.由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离来求.
2.两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离求解.
提醒：完成作业 第二章 §6
答案精析
知识梳理
知识点一
1.|·s0|
知识点二
1.|·n0| 长度 |·n0|
知识点三
相等
知识点四
公垂线 公垂线段 距离
题型探究
例1 解 如图，连接AF.
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴A(2,0,0)，
E(0,2,1)，F(1,0,2).
∴直线EF的方向向量为＝(1，－2，1)，
取直线EF上一点F(1,0,2)，
∴点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量为＝(－1,0,2)，
∴在上的投影为·＝，
∴点A到直线EF的距离为
d＝ ＝.
跟踪训练1 解 (1)A1C1∥l.
证明如下：
∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC.
又∵平面A1C1B∩平面ABC＝l，
∴l∥A1C1.
(2)如图，建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，C(4,3,0)，A1(0,0,1)，
C1(4,3,1).
∴＝(4,0，－1)，＝(4,3,0).
过点B作BH⊥A1C1，垂足为点H.
由(1)知，l∥A1C1，∴BH即为点A1到直线l的距离.
∵·＝16，
∴||＝＝，
∴||＝ ＝.
即点A1到直线l的距离为.
例2 解 建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知G(0,0,2)，E(4，－2,0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，
＝(0，－2,0).
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z).
由得
∴
令y＝1，则n＝(－1,1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为
d＝＝＝.
跟踪训练2 解 ∵＝(－1,1，－1)，
n＝(1，－1,1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.
例3 (1)证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.
由题意得＝(a,0,0)，
＝(a,0,0)，
∴DA∥D′A′.
∵D′A′?平面A′EFD′，AD?平面A′EFD′，
∴AD∥平面A′EFD′.
(2)解 由题意得D′(0,0，a)，F(0，a，)，
∴＝，＝.
设平面A′EFD′的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨令z＝1，则n＝(0，，1).
∴在n上的投影的大小为
d＝＝a.
∴直线AD到平面A′EFD′的距离为a.
跟踪训练3 解 如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则
A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0).
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
∴B(1,2，0)，
∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1).
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴∴
∴令z＝1，得n＝(1,0,1).
∵＝(0,0,2)，
∴直线A1B1与平面ABE的距离为
d＝＝＝.
例4 解 如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M(2,0,4)，
A(4,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，
＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，
∴＝，＝，
∴EF∥MN，AM∥BF，
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
则
解得令z＝1，得x＝2，y＝－2，
则n＝(2，－2,1).又∵＝(0,4,0)，
∴在n上的投影为
＝＝－，
∴平面AMN与平面EFBD间的距离为d＝＝.
跟踪训练4 解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A1(1,0,1)，
B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0).
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1).
∴点D1到平面A1BD的距离为
d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
当堂训练
1.A 2.B 3. 4.
5.解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，
B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3).
设点F(0,0，z).
∵截面AEC1F为平行四边形，
∴＝，∴(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2，∴F(0,0,2)，
∴＝(－2，－4,2)，∴||＝2.
即BF的长为2.
(2)设平面AEC1F的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
由
得
即
∴∴n1＝(1，－，1).
又∵＝(0,0,3)，
∴点C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
第二章 空间向量与立体几何
1 空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算.
第1层 用已知向量表示未知向量
例1 如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.
解 ＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋(－)
＝＋×(＋)
＝＋＋；
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋(－)
＝＋×(＋)
＝＋＋.
点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.
第2层 化简向量
例2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.
(1)＋＋；
(2)＋(＋)；
(3)－(＋).
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(3)－(＋)
＝－＝.
、、如图所示.
点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则.
第3层 证明立体几何问题
例3 如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线.
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B、G、N三点共线.
2 空间向量易错点扫描
易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
错解 a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件.
错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.
剖析 当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件.
正解 必要不充分
总结 a·b<0?a与b的夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0?a与b夹角为锐角或a与b方向相同.
易错点2 忽略两向量的夹角的定义
例2 如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长.
错解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，∴〈，〉＝120°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD＝6.
错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量，的夹角与二面角α—AB—β的平面角互补，而不是相等.
正解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，
∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
易错点3 判断是否共面出错
例3 已知O、A、B、C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a、b不能构成空间的一个基底的是( )
A. B.
C. D.或
错解 a＝＋＋，b＝＋－，
相加得＋＝(a＋b)，
所以、都与a、b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.
剖析 ＋＝(a＋b)，说明＋与a、b共面，但不能认为、都与a、b共面.
对A、B：设＝xa＋yb，
因为a＝＋＋，b＝＋－，
代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O、A、B、C四点不共面，
所以、、不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x、y不存在，所以a、b与不共面，
故a、b与可构成空间的一个基底.
同理a、b与也可构成空间的一个基底.
对C：因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a、b共面，故不能构成空间的一个基底.
正解 C
易错点4 混淆向量运算和实数运算
例4 阅读下列各式，其中正确的是( )
A.a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
B.a·b＝0?a＝0或b＝0
C.(a·b)·c＝a·(b·c)
D.·＝||||cos(180°－∠AOB)
错解 A(或B或C)
剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错.向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故A、C错误；a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；·的夹角是180°－∠AOB.
正解 D
易错点5 忽略建系的前提
例5 四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试建立合理的坐标系，求、所成角的余弦值.
错解 以A为坐标原点，以、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.
剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直.
正解 设AC、BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点，所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，
所以cos〈，〉＝.
易错点6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例6 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面ABD1与平面BD1C的夹角的大小.
错解 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).
由题意知是平面ABD1的一个法向量，＝(－1,0，－1)，是平面BCD1的一个法向量，＝(0,1,1)，
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为120°.
剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围.
正解 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).
由题意知＝(－1,0，－1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量.
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为60°.
3 空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.
1.利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知在直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0).
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.
点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.
2.利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.
解 过B点作BP垂直于BB1交C1C于P点，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图.
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C(，－，0)，C1(，，0)，E(，，0)，A1(0,2，).
点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口.
3.利用面面垂直关系
例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点.将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.
解 取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量为＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.
点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
4 用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活.本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动.
1.求解、证明问题
例1 在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a).
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0).
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a).
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
2.定位问题
例2 如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
解题提示 假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在.
解 因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两互相垂直.如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).
因为点M在DG上，假设存在点
M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z).
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
则即令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量.
又＝(－1，－1，t)，直线BM与平面BEF所成的角为45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.又0≤t≤1，
所以t＝3－4.
故在DG上存在点M(0,0,3－4)，且当DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果.
5 向量与立体几何中的数学思想
1.数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想.向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起.
例1 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明：A1F∥平面B1CE；
(2)若E是棱AB的中点，求平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值；
(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值.
(1)证明 因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F?平面B1CE，
EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
(2)解 因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2).
设平面A1ECF的法向量为m＝(x，y，z)，
由·m＝0，·m＝0，
得
令z＝1，得m＝(2，－2,1).
又因为平面DEC的法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
所以平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值为.
(3)解 过点F作FM⊥A1B1于点M，
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，
FM?平面A1B1C1D1，
所以FM⊥平面A1ABB1，
所以VB1－A1EF＝VF－B1A1E＝×S△A1B1E×FM
＝××FM＝FM.
因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，
所以当F与点D1重合时，三棱锥B1－A1EF的体积的最大值为.
2.转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题.这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要.
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2)求平面ADF与平面DFC夹角的余弦值.
分析 求平面与平面的夹角最常用的办法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小，但要注意平面与平面之间的夹角为锐角.
(1)证明 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).
∵E为AB的中点，
∴E(1,1,0)，
∵D1F＝2FE，
∴＝＝(1,1，－2)＝(，，－)，
∴＝＋＝(0,0,2)＋(，，－)
＝(，，).
设n＝(x，y，z)是平面DFC的法向量，
则∴
取x＝1，得平面DFC的一个法向量为n＝(1,0，－1).
设p＝(x，y，z)是平面D1EC的法向量，
则∴
设平面ADF与平面DFC的夹角为0，取y＝1，得平面D1EC的一个法向量为p＝(1,1,1)，
∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，
∴平面DFC⊥平面D1EC.
(2)解 设q＝(x，y，z)是平面ADF的法向量，
则
∴
取y＝1，得平面ADF的一个法向量为q＝(0,1，－1)，
设平面ADF与平面DFC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴平面ADF与平面DFC的夹角的余弦值为.
3.函数思想
例3 已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2).问|c|能否取得最大值？若能，求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值；若不能，请说明理由.
分析 写出|c|关于t的函数关系式，再利用函数观点求解.
解 由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝
＝ .
当t∈时，f(t)＝52＋是单调递减函数，∴ymax＝f(－4)，即|c|的最大值存在，
此时c＝(－5,1,11).b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解.
4.分类讨论思想
例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
分析 由⊥，得PQ⊥QD，所以在平面ABCD内，点Q在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在.
解 假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连接AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，
∴·＝0，
即·＋·＝0.
又由·＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意.
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0
第二章 空间向量与立体几何
学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.
知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α?____________?____________
面面平行
α∥β?μ∥v?____________
线线垂直
l⊥m?______?______
线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?______
线线夹角
l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝______
线面夹角
l，α的夹角为θ(0≤θ≤)，sin θ＝______
面面夹角
α，β的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝______
知识点二 用坐标法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.
类型一 空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0.
其中正确结论的序号是________.
反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.
跟踪训练1 如图，在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示.
类型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思与感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法
①转化为线线平行、线面平行处理.
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.
(5)证明线面垂直的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法
①转化为证明线面垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
类型三 利用空间向量求角
例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
反思与感悟 用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；
(2)求平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值.
1.已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则＋(＋)等于( )
A. B. C. D.
2.若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.－2
3.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4,2－2m,2－2m)平行，则m＝________.
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________.
5.已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.
提醒：完成作业 第二章 章末复习课
答案精析
知识梳理
知识点一
a⊥μ a·μ＝0 μ＝kv，k∈R a⊥b
a·b＝0 μ·v＝0
题型探究
例1 ③④
跟踪训练1 解 连接AN，
则＝＋.
由已知ABCD是平行四边形，
故＝＋＝a＋b，
又M分成的比为，
故＝－＝－(a＋b).
由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b).
于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)
＝(－a＋b＋c).
例2 证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E(0，，).
(1)＝(0，，)，＝(a，a,0).
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1，－1，)，
因为·n＝(a,0，－b)·(1，－1，)＝0，
所以⊥n，故PC∥平面EBD.
(2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a,0)，
又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b).
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，
所以m＝(1,0，)，
因为·m＝(0，a,0)·(1,0，)＝0，
所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.
跟踪训练2 证明 如图，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则
E，
D1(0,0,1)，
A(1，0,0)，
F.
∴＝(1,0,0)＝，
＝，＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
由得
令y1＝1，得m＝(0,1，－2).
又由得
令z2＝1，得n＝(0,2,1).
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例3 解 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示，
(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，
所以AH＝10.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，＝(10,0,0)，
＝(0，－6，8).
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，
则即所以可取n＝(0,4,3).又＝(－10,4,8)，故|cos〈n，〉|＝＝.
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.
跟踪训练3
方法一 (1)证明 如图，取AE的中点H，连接HG，HD.
又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(2)解 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.
又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，
由得
取z＝2，得n＝(2，－1,2).
从而|cos〈n，〉|＝＝＝，所以平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值为.
方法二 (1)证明 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，
由M，F分别是AB，CD的中点，得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)同方法一.
当堂训练
1.A 2.D 3.1或3 4.x＋y＋z＝0
5.解 ∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
