1．1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．21cnjy.com
知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？
思考2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？
梳理 把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
知识点二 椭圆的标准方程
思考1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
思考2 椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?
梳理
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
a，b，c的关系
类型一 求椭圆的标准方程
命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；
(2)焦点在x轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．
命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程
例2 求经过(2，－)和两点的椭圆的标准方程．
反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，再解答．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 求经过A(0,2)和B(，)两点的椭圆的标准方程．
类型二 椭圆方程中参数的取值范围
例3 “方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )
A．1
C．2反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
(2)＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练3 已知x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围．21世纪教育网版权所有
类型三 椭圆定义的应用
例4 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．21教育网
引申探究
在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．
跟踪训练4
已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．【来源：21·世纪·教育·网】
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.21·世纪*教育网
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．www-2-1-cnjy-com
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．
思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．
梳理 常数(大于|F1F2|)
知识点二
思考1 椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
思考2 只有当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在．2-1-c-n-j-y
梳理 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2－b2
题型探究
例1 解 (1)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，
代入①，得4b2－b2＝6，解得b2＝2，
∴a2＝8.
又∵焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)方法一 椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
由椭圆的定义可得
2a＝＋
，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1，
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋
＝2，
即a＝.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
∴
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
例2 解 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将点(2，－)，代入，
得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练2 解 当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
这与a>b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1，
综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.
例3 A [要使方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
则m应满足
解得1∵A选项中{m|1故选A.]
跟踪训练3 解 x2sin α＋y2cos α＝1，
可化为＋＝1，
由题意知
解得0<α<.
∴α的取值范围是.
例4 解 在椭圆＋＝1中，a＝，
b＝2，
∴c＝＝1.
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，①
由余弦定理知，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4，②21·cn·jy·com
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|
＝20，③
③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4－12.
引申探究 解 由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为|PB|＋|PF2|＋|BF2|
＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝4a＝4.
跟踪训练4 解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1.
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|
＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.
解得|PF1|＝.
所以△PF1F2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××2＝，
即△PF1F2的面积是.
当堂训练
1．D 2.B 3.C 4.＋x2＝1 5.48
1.2 椭圆的简单性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．21世纪教育网版权所有
知识点一 椭圆的简单性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，
C2：＋＝1.
思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
思考2 椭圆具有对称性吗？
思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？
梳理
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
焦点
焦距
|F1F2|＝2c(c＝)
|F1F2|＝2c(c＝)
范围
对称性
关于____________________对称
顶点
轴
长轴长________，短轴长________
知识点二 椭圆的离心率
思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．
(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．21cnjy.com
类型一 椭圆的简单性质
引申探究
已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．21·cn·jy·com
类型二 求椭圆的离心率
命题角度1 与焦点三角形有关的离心率问题
例2 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1 (a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.www.21-cn-jy.com
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解．
跟踪训练2 椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．21教育网
命题角度2 利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例3 (1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．2·1·c·n·j·y
反思与感悟 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
类型三 利用椭圆的简单性质求方程
例4 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为(0，－)，该点与最近的焦点的距离为－；21·世纪*教育网
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4 椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )2-1-c-n-j-y
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
2.如图，已知直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是( )
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
4．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．
5. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．21*cnjy*com
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0)．【来源：21cnj*y.co*m】
思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
思考3 C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；
C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
梳理 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a x轴、y轴和原点 (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) 2a 2b
知识点二
思考 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0
题型探究
例1 解 已知方程化成标准方程为
＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，
四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．
引申探究 解 把椭圆的方程化为标准方程＋＝1，
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，
短半轴长b＝2.
又得半焦距c＝＝＝.
所以椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－，0)，(，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝＝.
跟踪训练1 解 椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，
B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m>4时，长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，
顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2,0)，B2(2,0)．
例2 解 (1)由|AF1|＝3|F1B|，
|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·
|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2
＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，
所以椭圆E的离心率e＝＝.
跟踪训练2 －1
例3 (1)
解析 直线AB：x＝c，代入＋＝1，
得y＝±，
∴A(c，)，B(c，－)．
∴kBF1＝＝＝－，
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，
∴D(0，－)，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝
＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)[，1)
解析 椭圆＋＝1(a>b>0)，
－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，
则c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0所以e的取值范围是[，1)．
跟踪训练3
解析 由题意知2a＋2c＝2(2b)，
即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得
5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
例4 解 (1)由题意知a＝，
a－c＝－，
则c＝.
所以b2＝a2－c2＝5，
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由e＝＝，得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2，
所以a2＝144，b2＝80，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
跟踪训练4 解 ∵椭圆过点(3,0)，
∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
当堂训练
1．D 2.D 3.B 4.[4－2，4＋2]
5．解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∵e＝＝＝，∴a＝12，
从而b2＝a2－c2＝128，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
1.2 椭圆的简单性质(二)
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．
思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？21教育网
知识点二 直线与椭圆的位置关系
思考1 直线与椭圆有几种位置关系？
思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
知识点三 直线与椭圆的相交弦
思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
梳理 弦长公式：(1)|AB|＝＝|x1－x2|＝；
(2)|AB|＝ |y1－y2|＝ .
注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．【来源：21·世纪·教育·网】
类型一 直线与椭圆的位置关系
命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断
例1 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点．
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点．
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．21·世纪*教育网
命题角度2 距离的最值问题
例2 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
反思与感悟 此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．21·cn·jy·com
跟踪训练2 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．www-2-1-cnjy-com
类型二 弦长及中点弦问题
例3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练3 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．2-1-c-n-j-y
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
引申探究
在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．21cnjy.com
反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练4 椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.www.21-cn-jy.com
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．21*cnjy*com
1．经过椭圆＋＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为( )
A．6 B．8 C．10 D．16
2．经过椭圆＋＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．【来源：21cnj*y.co*m】
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，
且|MN|＝，求直线l的方程．
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．
思考2 当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
知识点二
思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．
思考2 联立消去y得关于x的一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三
思考 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．21世纪教育网版权所有
题型探究
例1 A [直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]2·1·c·n·j·y
跟踪训练1 解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.
整理得x2＋2kx＋1＝0.
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围为
∪.
例2 解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4距l最近，
d＝＝＝，
切点为P.
跟踪训练2 解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
联立方程
得9y2－2ay＋a2－8＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线方程为
x－y＋3＝0，
最小距离为d＝＝.
由得
即P点坐标为(－，)．
例3 解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.
(2)当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为
y－2＝k(x－4)．
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
跟踪训练3 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，
∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，
代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|
＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，
可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，
∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
例4 解 (1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝＝＝
＝ ＝.
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究 解 可求得O到AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝··＝ ≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，等号成立，
此时m＝±∈[－，]．
∴所求直线的方程为x－y±＝0.
跟踪训练4 解 (1)已知椭圆的离心率为，不妨设c＝t，a＝2t，
即b＝t，其中t>0，
又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，
因此·2t·t＝，
解得t＝1，则椭圆的方程为＋＝1.
(2)联立
整理得(4k2＋3)x2＋8kx＝0.
解得x1＝0或x2＝－.
∵k>0，
∴|AB|＝|x1－x2|＝|－|＝·，
原点O到直线l的距离为d＝.
∴S△OAB＝··＝＝≤＝，
当且仅当4k＝，即k＝时，
△OAB面积的最大值为.
当堂训练
1．B 2.D 3.B 4.x－2y＋3＝0
5．解 设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得
(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)(－)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
2.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一 抛物线的定义
思考1 如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？21教育名师原创作品
思考2 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
梳理 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫作抛物线．21*cnjy*com
(2)焦点：________.
(3)准线：________.
知识点二 抛物线的标准方程
思考1 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
思考2 抛物线标准方程的特点？
思考3 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
梳理 抛物线的标准方程有四种类型
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
类型一 抛物线定义的解读
例1 方程＝表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．抛物线
反思与感悟 根据式子的几何意义 ，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是________．21·世纪*教育网
类型二 抛物线的标准方程及求解
命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；(4)y＝ax2(a≠0)．
引申探究
1．将例2(4)的方程改为y2＝ax(a≠0)结果如何？
2．将例2(4)的方程改为x2＝ay(a≠0)，结果如何？
反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．21·cn·jy·com
跟踪训练2 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p为( )
A．2 B．1
C. D.
命题角度2 求抛物线的标准方程
例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．21教育网
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．www.21-cn-jy.com
跟踪训练3 根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)焦点为(－2,0)；
(2)焦点到准线的距离是4；
(3)过点(1,2)．
类型三 抛物线在实际生活中的应用
例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？21世纪教育网版权所有
反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练4 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．2·1·c·n·j·y
1．抛物线y2＋x＝0的开口( )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为( )
A．(1,0)，x＝－1 B．(2,0)，x＝－2
C．(3,0)，x＝－3 D．(4,0)，x＝－4
3．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．x2＝－3y D．x2＝－6y
4．抛物线x2＝8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为________．
5．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝－3；
(2)抛物线与椭圆＋＝1的一个焦点相同．
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点坐标为F(，0)，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y＝－.21cnjy.com
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.www-2-1-cnjy-com
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．2-1-c-n-j-y
思考2 不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线．
梳理 (1)相等 (2)点F (3)直线l
知识点二
思考1 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．
思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.21*cnjy*com
思考3 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
题型探究
例1 D [
＝，
它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离，且点F(－3,1)不在直线上．【来源：21cnj*y.co*m】
根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．]
跟踪训练1 抛物线
解析 由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.【版权所有：21教育】
例2 解 (1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为(－，0)，
准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0化为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为(0，－)，
准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2化为x2＝y，
知抛物线开口向上，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为(0，)，
准线方程为y＝－.
(4)抛物线方程y＝ax2可化为x2＝y，
当a>0时，2p＝，p＝，
故焦点坐标是(0，)，
准线方程是y＝－.
当a<0时，2p＝－，p＝－，
故焦点坐标是(0，)，
准线方程是y＝－.
综上，抛物线y＝ax2的焦点坐标(0，)，
准线方程为y＝－.
引申探究
1．焦点是(，0)，准线方程是x＝－.
2．焦点是(0，)，准线方程是y＝－.
跟踪训练2 A [注意到抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
曲线x2＋y2－6x－7＝0，
即(x－3)2＋y2＝16，
它表示圆心为(3,0)，半径为4的圆．
由题意得＝4.
又p>0，因此有＋3＝4，
解得p＝2，故选A.]
例3 解 (1)当抛物线的焦点在x轴上且过点(－3,2)时，
可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
把(－3,2)代入得22＝－2p×(－3)，
∴p＝，
∴所求抛物线方程为y2＝－x.
当抛物线的焦点在y轴上且过点(－3,2)时，
可设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，
把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，
∴p＝，
∴所求抛物线方程为x2＝y.
综上，所求抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，－2)，
故抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)，
当抛物线的焦点为(4,0)时，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∵＝4，∴p＝8，
∴抛物线方程为y2＝16x.
当抛物线的焦点为(0，－2)时，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵－＝－2，∴p＝4，
∴抛物线方程为x2＝－8y.
综上，所求抛物线方程为y2＝16x或
x2＝－8y.
(3)设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．
则由抛物线的定义得
|AF|＝＝5，
∵点A在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm，
从而可得p＝±1或p＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
跟踪训练3 解 (1)焦点在x轴的负半轴上，
＝2，即p＝4.
所以抛物线的方程是y2＝－8x.
(2)p＝4，抛物线的方程有四种形式：
y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
(3)方法一 点(1,2)在第一象限，要分两种情形讨论：
当抛物线的焦点在x轴上时，
设抛物线的方程为y2＝2px (p>0)，
则22＝2p·1，解得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，
则12＝2p·2，解得p＝，
∴抛物线方程为x2＝y.
方法二 设所求抛物线的标准方程为
y2＝mx或x2＝ny，
将点(1,2)代入，得m＝4，n＝，
故所求的方程为y2＝4x或x2＝y.
例4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故【出处：21教育名师】
p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
跟踪训练4 解 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一．
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84，
即最长支柱的长为3.84米．
当堂训练
1．C 2.B 3.D 4.8
5．解 (1)准线方程为y＝－3，
则＝3，p＝6，
所以抛物线的标准方程为x2＝12y.
(2)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(1,0)，
F2(－1,0)，
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
2.2 抛物线的简单性质(一)
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．21·世纪*教育网
知识点一 抛物线的简单性质
思考1 类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？【来源：21cnj*y.co*m】
思考2 参数p对抛物线开口大小有何影响？
梳理
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
离心率
e＝______
知识点二 焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
类型一 抛物线简单性质的应用
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．21教育网
引申探究
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是_____________________________________________________．
反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．21·cn·jy·com
类型二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
反思与感悟 (1)抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．
①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋；
②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0；
③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋；
④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
跟踪训练2 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为_____________________________________________________．
类型三 与抛物线有关的最值问题
例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)．求|PB|＋|PF|的最小值．
反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．21cnjy.com
跟踪训练3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )www.21-cn-jy.com
A. B．2
C. D.
1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A. B．p C．2p D．无法确定
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
3．已知抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16 C．32 D．61
5．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．2·1·c·n·j·y
1．讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．www-2-1-cnjy-com
2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．2-1-c-n-j-y
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．
思考2 因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
梳理 (0,0) 1
题型探究
例1 解 由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F(，0)．直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为
(，m)，(，－m)，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究 4p2
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，
所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
跟踪训练1 解 设抛物线的方程为
y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．
因为点P到对称轴距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线距离为10，
所以|x0＋|＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②
由①②，得或
或或
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
例2 解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为
y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，21世纪教育网版权所有
所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
跟踪训练2 x＋y－1＝0或x－y－1＝0
解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意．
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得
x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
即＝6，解得k＝±1.
所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
例3 解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.21*cnjy*com
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|
＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
跟踪训练3 A [如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|
＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．
又A(0,2)，F(，0)，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|
＝ ＝.]
当堂训练
1．C 2.B 3.B 4.B
5．解 如图OAB为正三角形，设|AB|＝a，则OD＝a，
∴A(a，)代入y2＝2px，
即＝2p×a，
解得a＝4p.
∴正三角形的边长为4p.
2.2 抛物线的简单性质(二)
学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点 直线与抛物线的位置关系
思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系？
思考2 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
梳理 直线与抛物线的位置关系与公共点个数．
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴____________，此时直线与抛物线有________个公共点．
类型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？21世纪教育网版权所有
反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )21教育网
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
类型二 弦长与中点弦问题
例2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.21cnjy.com
反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练2 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．www.21-cn-jy.com
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
类型三 抛物线中的定点(定值)问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．2·1·c·n·j·y
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B.
C. D.
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )21·世纪*教育网
A．4 B．8
C．16 D．32
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若·＝－4，则点A的坐标为________．www-2-1-cnjy-com
5．已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．2-1-c-n-j-y
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程；
(3)求弦AB的长．
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．21·cn·jy·com
答案精析
问题导学
知识点
思考1 三种：相离、相切、相交．
思考2 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
梳理 两 一 没有 平行或重合 一
题型探究
例1 解 由方程组
消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)．
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
跟踪训练1 C [准线方程为x＝－2，
Q(－2,0)．
设l：y＝k(x＋2)，
由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1,1]．]
例2 解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝ ＝.
方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
故所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝ ·
＝.
跟踪训练2 解 (1)由C1方程可知
F(0,1)，
∵F也是椭圆C2的一个焦点，
∴a2－b2＝1，
又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图像都关于y轴对称，
∴易得C1与C2的公共点的坐标为
(±，)，
∴＋＝1，
又∵a2－b2＝1，∴a2＝9，b2＝8，
∴C2的方程为＋＝1；
(2)如图，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
D(x4，y4)，
∵与同向，
且|AC|＝|BD|，
∴＝，∴x1－x2＝x3－x4，
∴(x1＋x2)2－4x1x2
＝(x3＋x4)2－4x3x4，
设直线l的斜率为k，则l的方程：
y＝kx＋1，
由可得x2－4kx－4＝0，
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
由
得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
由根与系数的关系可得
x3＋x4＝－，x3x4＝－，
又∵(x1＋x2)2－4x1x2
＝(x3＋x4)2－4x3x4，
∴16(k2＋1)＝＋，
化简得16(k2＋1)＝，
∴(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，
即直线l的斜率为±.
例3 解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
因为·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2,0)．
跟踪训练3 证明 方法一 设kAB＝k(k≠0)．
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得
xC＝.
∴kBC＝
＝
＝
＝
＝－.
∴直线BC的斜率为定值．
方法二 设B(y，y1)，C(y，y2)，
则kBC＝＝.
∵kAB＝＝，
kAC＝＝，
由题意得kAB＝－kAC，
∴＝－，则y1＋y2＝－4，
则kBC＝－，为定值．
当堂训练
1．B 2.A 3.B 4.(1，±2)
5．解 (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，
所以＝1，p＝2，
所以所求抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)
＝4(x2－x1)，
所以＝2.
所以所求直线AB的方程为
y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
(3)
得y2－2y－6＝0，y1＋y2＝2，
y1y2＝－6，
|AB|＝
＝×＝.
3．1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．21世纪教育网版权所有
知识点一 双曲线的定义
思考1 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？21教育网
思考2 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
(1)|－|＝6；
(2)－＝6.
梳理 把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作________________，两个焦点之间的距离叫作________________．www.21-cn-jy.com
知识点二 双曲线的标准方程
思考1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
思考2 如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？
类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题
例1 (1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
引申探究
本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
跟踪训练1 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于( )21·世纪*教育网
A. B. C. D.
命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程
例2 已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，B(－1,0)，C(1,0)，求满足sin C－sin B＝sin A的顶点A的轨迹．www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练2 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )21*cnjy*com
A.－＝1(x≥) B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
类型二 求双曲线的标准方程
例3 求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上．
反思与感悟 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．21·cn·jy·com
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．
类型三 由双曲线标准方程求参数
例4 已知曲线－＝1.
(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标．
反思与感悟 (1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线．进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，则当mn>0时表示双曲线．且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．2·1·c·n·j·y
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
跟踪训练4 已知方程－＝1表示双曲线，并且焦距为10，求实数m的值．
1．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )2-1-c-n-j-y
A．4 B．8 C．24 D．48
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．m>－1 B．m<－1
C．m>3 D．－15．与椭圆x2＋5y2＝5共焦点且过点(，1)的双曲线的方程为________．
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．【来源：21cnj*y.co*m】
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.【出处：21教育名师】
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．【版权所有：21教育】
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．21cnjy.com
思考2 (1)∵|－|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，21教育名师原创作品
故点P的轨迹是双曲线．
(2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|＝8，21*cnjy*com
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线的右支．
梳理 双曲线的焦点 双曲线的焦距
知识点二
思考1 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
思考2 以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.
题型探究
例1 (1)4a＋2m (2)16
解析 (1)由双曲线的定义，
知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为
|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理，得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究解 由双曲线方程知
a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
＝(2c)2＝100.②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.
跟踪训练1 C [由双曲线的定义得
|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，
|F1F2|＝4，
在△F1PF2中由余弦定理：
cos ∠F1PF2＝
＝＝.]
例2 解 如图所示，
∵sin C－sin B
＝sin A，
∴根据正弦定理
＝
＝，
得c－b＝a＝×2＝1，
即|AB|－|AC|＝1<|BC|.
∴点A的轨迹符合双曲线的定义．
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(不包括点A在BC上的情况)．
跟踪训练2 A [设动圆M的半径为r，则由已知得
|MC1|＝r＋，
|MC2|＝r－，
所以|MC1|－
|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
所以|C1C2|＝8，所以2<|C1C2|，
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支，
因为a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
所以点M的轨迹方程是
－＝1(x≥)．]
例3 解 (1)方法一 椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法二 由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．
因为双曲线过点(－2，)，
所以－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为点P(3，)，Q(－，5)在双曲线上，
所以
解得
故所求双曲线方程为－＝1.
跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．
∴b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为
F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为－＝1.
例4 解 (1)当曲线为椭圆时，
依题意得
解得m<0，即m的取值范围为(－∞，0)．
此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．
(2)当曲线为双曲线时，
依题意得(16－m)m>0，
解得0此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．
跟踪训练4 解 ∵2c＝10，∴c＝5.
当m>0时，
方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
a2＝16m，b2＝9m，
由c2＝a2＋b2，得25＝16m＋9m，
故m＝1；
当m<0时，方程－＝1可化为－＝1，
表示焦点在y轴上的双曲线，
∴a2＝－9m，b2＝－16m，由c2＝a2＋b2，
得25＝－16m－9m，∴m＝－1.
故实数m的值为1或－1.
当堂训练
1．B 2.C 3.D 4.A 5.－y2＝1
3.2 双曲线的简单性质
学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．21教育网
知识点一 双曲线的简单性质
思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线
－＝1(a>0，b>0)的哪些性质？
梳理
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
对称性
对称轴：________
对称中心：______
对称轴：________
对称中心：______
顶点坐标
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二 双曲线的离心率
思考1 如何求双曲线的渐近线方程？
思考2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？21cnjy.com
梳理 双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的 ，其取值范围是________．e越大，双曲线的张口________．www.21-cn-jy.com
知识点三 双曲线的相关概念
1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
类型一 由双曲线方程研究其性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
类型二 由双曲线的简单性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤
①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；
②设双曲线的标准方程；
③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；
④求出a，b，写出方程．
(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
类型三 与双曲线有关的离心率问题
命题角度1 求双曲线离心率的值
例3 设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．3
引申探究
例3条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？21·cn·jy·com
反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a，c，再计算e＝.
(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝ 求解．
跟踪训练3 双曲线－＝1(0
命题角度2 求双曲线离心率的取值范围
例4 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 求离心率的取值范围技巧
(1)根据条件建立a，b，c的不等式．
(2)通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围．
跟踪训练4 已知F1，F2是双曲线－＝1(a，b>0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )21·世纪*教育网
A．(1，＋∞) B．(＋1，＋∞)
C．(1，＋1) D．(1，)
1．双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的( )
A．焦点相同 B．顶点相同
C．实轴与长轴相同 D．短轴与虚轴相同
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．－4 B．－3
C．2 D．1
3．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )www-2-1-cnjy-com
A. B．2
C. D．3
4．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．2-1-c-n-j-y
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．21*cnjy*com
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．【来源：21cnj*y.co*m】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
梳理 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 坐标轴 原点 坐标轴 原点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
知识点二
思考1 将方程－＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线．【出处：21教育名师】
思考2 双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.【版权所有：21教育】
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
梳理 离心率 (1，＋∞) 越大
题型探究
例1 解 将9y2－4x2＝－36变形为
－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－，0)，(，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
跟踪训练1 解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x.
例2 解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝，
且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
将点(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练2 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故所求双曲线的标准方程为
－＝1.
(2)由e2＝，得＝，
设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1.②
将(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将(3,9)代入②，得k＝9.
故所求双曲线方程为－＝1.
(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
例3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a，
而|PF1|＋|PF2|＝3b，
两式等号左右两边平方后相减，
得|PF1|·|PF2|＝.
又已知|PF1|·|PF2|＝ab，
∴ab＝，得＝(负值舍去)．
∴该双曲线的离心率e＝＝ ＝ ＝.]
引申探究 解 作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF1⊥PF2及∠PF1F2＝30°，求出a，c的关系式．21世纪教育网版权所有
设点P在双曲线右支上．
∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，
且∠PF1F2＝30°，
∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.
又点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
跟踪训练3 解 依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，
得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0，
解得＝或＝3.
又∵0∴e＝ ＝2.
例4 解 由C与l相交于两个不同点，
知方程组
有两组不同的实根，
消去y并整理得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
所以
解得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
所以e>且e≠.
即离心率e的取值范围为
(，)∪(，＋∞)．
跟踪训练4 B [由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，
又直线AB与x轴垂直，
所以|AF2|＝|BF2|，
故∠AF2B为钝角．
所以有>2c，即2ac解得e∈(1＋，＋∞)．
故选B.]
当堂训练
1．A 2.A 3.B 4.D 5.y＝±x
第二章 圆锥曲线与方程
1 椭圆的定义在解题中的妙用
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1 线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是( )
A．2 B.
C. D．5
解析 由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案 C
2．求动点坐标
例2 椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．
解析 设椭圆上的动点为P，
由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由
解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为P(±3,0)．
答案 (±3,0)
点评 由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．21·世纪*教育网
解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，
由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
点评 在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.www.21-cn-jy.com
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.
2 解抛物线问题的五个技巧
1．设而不求，整体处理
例1 已知抛物线y2＝－8x的弦PQ被点A(－1,1)平分，求弦PQ所在的直线方程．
解 设弦PQ的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有y＝－8x1，y＝－8x2.
两式相减，
得y－y＝－8(x1－x2)，
即(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)．
∵A是PQ的中点，
∴y1＋y2＝2，
即y1－y2＝－4(x1－x2)．
∴＝－4，kPQ＝＝－4.
故弦PQ所在的直线的方程为y－1＝－4(x＋1)，
即4x＋y＋3＝0.
2．巧用定义求最值
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，记AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离．【来源：21·世纪·教育·网】
解 如图，AA′⊥l，MN⊥l，BB′⊥l，
l为抛物线y2＝x的准线，
由抛物线方程y2＝x，
知2p＝1，＝.
设点M到y轴的距离为d，
d＝|MN|－.
由抛物线的定义，知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|.
因为AA′，BB′，MN都垂直于准线，
所以AA′∥MN∥BB′，
所以MN是梯形AA′B′B的中位线．
于是|MN|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)．
若AB不过焦点，则由三角形的性质，
得|AF|＋|BF|>|AB|；
若AB过焦点F，
则|MN|＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝.
所以当AB过F时|MN|最小，此时d也最小，
d＝|MN|－＝－＝.
故点M到y轴的最短距离为.
3．巧设抛物线的方程
例3 抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且被直线y＝x＋1所截得的弦长为，求此抛物线的方程．
解 设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，则有
消去y，整理得x2＋(2－a)x＋1＝0.
设所截得的弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个实根．
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝a－2，x1x2＝1.
由弦长公式，知·＝，
即＝，
解得a＝－1或a＝5.
所以所求抛物线的方程为y2＝－x或y2＝5x.
4．巧设弦所在的直线的方程
例4 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2.21·cn·jy·com
证明 当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点．
因为抛物线的焦点为，
所以可设过焦点的直线方程为x－＝my，
即x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.
5．巧设抛物线上的点的坐标
例5 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(P在x轴上方)作两条直线分别交抛物线于A，B两点．当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率是非零常数．
证明 设P，A，B，
由kPA＝－kPB，得＝－.
整理，得y1＋y2＝－2y0.
kAB＝＝＝－(y0≠0)．
所以直线AB的斜率是非零常数．
3 巧用抛物线的焦点弦
如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过A、M、B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则有以下重要结论：21教育网
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB|＝2(x0＋)(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p；
(4)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，
即x1x2＝，y1y2＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A、O、B1三点共线；
(7)＋＝.
证明 当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，|FA|＝|FB|＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为
y＝k，并代入y2＝2px，
∴2＝2px，即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
设A(xA，yA)、B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，
∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，
|FA|·|FB|＝
＝xAxB＋(xA＋xB)＋
＝(xA＋xB＋p)．
∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，
即＋＝.
点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．
例 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.2·1·c·n·j·y
解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，
又F(1,0)．
由＋＋＝0知
(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||
＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案 6
4 解析几何中的定值与最值问题解法辨析
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．www-2-1-cnjy-com
例1 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．【版权所有：21教育】
证明 ∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，
∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，
∴＝.
∵a2＝3b2，
∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立
得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，
则由＝λ＋μ，
得
代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2 已知抛物线y2＝2px (p>0)上有两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列．求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0＋p,0)．
证明 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由抛物线定义，知
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋.
因为|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，
所以2|MF|＝|AF|＋|BF|，
即x0＝.
设AB的中点为(x0，t)，t＝.
则kAB＝＝＝＝.
所以线段AB的垂直平分线方程为
y－t＝－(x－x0)，
即t[x－(x0＋p)]＋py＝0.
所以线段AB的垂直平分线过定点(x0＋p,0)．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．【来源：21cnj*y.co*m】
例3 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(2,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．21教育名师原创作品
解析 设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(5,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝6，
∴|PF|＋|PA|＝6＋|PF′|＋|PA|，
∴要使|PF|＋|PA|最小，
只需|PF′|＋|PA|最小即可，
|PF′|＋|PA|最小需P、F′、A三点共线，
最小值即6＋|F′A|＝6＋＝11.
答案 11
点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．21cnjy.com
例4 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．21*cnjy*com
解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为
(2)如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，
即k＝±1时，·取得最小值16.
5 圆锥曲线中存在探索型问题的解法
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助同学们复习．
1．常数存在型问题
例1 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称？请说明理由．2-1-c-n-j-y
分析 先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解 设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，
即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，
∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立
得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，解得a＝，
∴kAB＝，而kl＝2，
∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解 (1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p) (p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，
∴p2＋p2＝8，
解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，
由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)
使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3 试问是否能找到一条斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解 设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由
得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.
∵AP⊥MN，
∴＝－ (k≠0)，
故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，
得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
6 圆锥曲线中的易错点剖析
1．忽视定义中的条件而致误
例1 平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为( )
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
错解 根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故选A.
错因分析 在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF1|＋|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本题中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.21世纪教育网版权所有
正解 因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案 D
2．忽视标准方程的特征而致误
例2 设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解 抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.
∴m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为
y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解．21*cnjy*com
正解 由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
3．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而失分
例3 正方形ABCD的A，B两点在抛物线y＝x2上，另两点C，D在直线y＝x－4上，求正方形的边长．【出处：21教育名师】
错解 ∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
错因分析 在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2－x－b＝0的判别式Δ>0，以此来限制b的取舍．
正解 ∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，
∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－.
∴b＝2或b＝6都满足Δ>0，
∴b＝2或b＝6.
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
第二章 圆锥曲线与方程
学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的集合
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
知识点二 椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．21教育网
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan .
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧
1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝______________；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝__________.21·cn·jy·com
2．如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为__________________．
知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．2·1·c·n·j·y
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
知识点五 三法求解离心率
1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．【来源：21·世纪·教育·网】
2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．21·世纪*教育网
知识点六 直线与圆锥曲线位置关系
1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．【出处：21教育名师】
2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
类型一 圆锥曲线定义的应用
例1 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．【版权所有：21教育】
引申探究
将本例的条件|PF1|·|PF2|＝32改为|PF1|∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面积．
反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1 已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是( )21*cnjy*com
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化
类型二 圆锥曲线的性质及其应用
例2 (1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．21cnjy.com
反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决．21教育名师原创作品
跟踪训练2 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B. C. D.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.21世纪教育网版权所有
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3 如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．www.21-cn-jy.com
1．双曲线x2－＝1的离心率大于的充要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )21*cnjy*com
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B.
C. D.
5．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．2-1-c-n-j-y
答案精析
问题导学
知识点三
1．±x ±x
2.－＝λ(λ≠0)
题型探究
例1 解 由双曲线方程－＝1，
可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得
||PF1|－|PF2||＝6，
将此式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×32×1＝16.
引申探究 解 由条件知
所以
所以cos ∠F1PF2＝
＝＝－.
所以sin ∠F1PF2＝，
所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2
＝×3×9×＝4.
即△F1PF2的面积为4.
跟踪训练1 B [设P为双曲线右支上的一点．
对椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
|PF1|＋|PF2|＝2，
对双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)，
而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，故选B.]
例2 (1)A (2)
解析 (1)a＞b＞0，
椭圆C1的方程为＋＝1，
C1的离心率为，
双曲线C2的方程为－＝1，
C2的离心率为.
∵C1与C2的离心率之积为，
∴·＝，
∴2＝，＝，
∴C2的渐近线方程为y＝±x，
即x±y＝0.
(2)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，
则只有∠AFB＝90°，如图，
则A(－1,2)应在双曲线上，
代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
跟踪训练2 D [由椭圆可知
|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
∵四边形AF1BF2为矩形，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
∴2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，www-2-1-cnjy-com
∴(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|＝12－4＝8，
∴|AF2|－|AF1|＝2.
因此对于双曲线C2有a＝，c＝，
∴C2的离心率e＝＝.]
例3 解 (1)由题意知，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为
(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为
y－＝－(x－)，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
跟踪训练3 解 (1)因为2c＝2，
所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，
所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得
(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，
即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由＋<0，
得m2依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是(－，)．
当堂训练
1．C 2.A 3.B 4.D 5.2x－y－15＝0
