第三章
变化率与导数
学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．
知识点一 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的________________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________________，即f′(x0)＝
＝________________________.
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处____________，在点P处的切线方程为________________________．
知识点二 导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为________，f′(x)＝li
，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为________．
知识点三 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c是常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为实数)
f′(x)＝________
f(x)＝sin
x
f′(x)＝________
f(x)＝cos
x
f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝________
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝________
f(x)＝ln
x
f′(x)＝________
f(x)＝tan
x
f′(x)＝________
f(x)＝cot
x
f′(x)＝________
知识点四 导数的运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝________________
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝________________
积的导数
[f(x)g(x)]′＝________________
商的导数
′＝
类型一 利用导数的定义解题
例1 利用导数的定义求函数y＝的导数．
反思与感悟 (1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx趋于0的方式，函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比趋于一个固定的值．
即＝
.
(2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．
跟踪训练1 已知s(t)＝t＋，求li
.
类型二 导数的几何意义
例2 函数y＝f(x)的图像如图，下列数值的排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0反思与感悟 导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，应注意：
(1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标；
(2)切点既在曲线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标；
(3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要方法．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.则a的值是________．
类型三 导数的计算
例3 求下列函数的导数：
(1)y＝x2－ln
x＋ax＋π；
(2)y＝3＋4；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点
(1)熟练掌握公式：
熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)注意灵活化简：
当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．
跟踪训练3 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝.
类型四 导数的综合应用
例4 设函数f(x)＝a2x2(a>0)，若函数y＝f(x)图像上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为，求a的值．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练4 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
1．自由落体的物体在t＝4
s时的瞬时速度是指( )
A．在第4秒末的速度
B．在第4秒始的速度
C．在第3秒至第4秒的平均速度
D．在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度
2．已知函数f(x)＝x22x，则f′(2)等于( )
A．16＋ln
2
B．16＋8ln
2
C．8＋16ln
2
D．16＋16ln
2
3．若函数y＝f(x)＝x3，且f′(a)＝3，则a等于( )
A．1
B．－1
C．±1
D．不存在
4．若直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
5．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用．
2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．
3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．瞬时变化率 f′(x0)
2．切线的斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
知识点二
f′(x) 导数
知识点三
αxα－1 cos
x －sin
x axln
a ex －
知识点四
f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
题型探究
例1 解 y′＝
＝
＝
＝
＝
＝.
跟踪训练1 解 ∵
＝s′(5)，
又s′(t)＝1－，
∴
＝s′(5)
＝1－＝.
例2 B [过点(2，f(2))和点(3，f(3))的割线的斜率k＝＝
＝f(3)－f(2)，
又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知0跟踪训练2 1 [∵f′(0)＝a，
∴y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为
y－2＝ax，
由题意知x＝－2时，y＝0，可得a＝1.]
例3 解 (1)y′＝(x2－ln
x＋ax＋π)′
＝(x2)′－(ln
x)′＋(ax)′＋π′
＝2x－＋axln
a.
(2)y′＝(3＋4)′
＝(3)′＋(4)′
＝(3·x)′＋(4·x)′
＝4x＋6x
＝4＋6.
(3)因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
所以y′＝3x2＋12x＋11.
(4)y′＝′
＝
＝
＝－.
跟踪训练3 解 (1)∵y＝3x－x＋5－9x－，
∴y′＝′－x′＋5′－′
＝x－1＋x－
＝－1.
(2)∵y＝＝＝cos
x－sin
x，
∴y′＝(cos
x－sin
x)′＝(cos
x)′－(sin
x)′＝－sin
x－cos
x.
例4 解 因为f(x)＝a2x2，
所以f′(x)＝2a2x，
令f′(x)＝2a2x＝1，
得x＝，此时y＝，
则点到直线x－y－3＝0的距离为，
即＝，
解得a＝或.
跟踪训练4 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，
由题意知kAB＝.
∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1)．
当堂训练
1．A 2.D 3.C 4.ln
2－1 5.－44.2 导数的乘法与除法法则
学习目标 1.理解导数的乘法与除法法则.2.将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．
知识点 导数的乘法与除法法则
思考 设函数y＝f(x)在x0处的导数为f′(x0)，g(x)＝x2，怎样用导数定义求y＝f(x)g(x)＝x2f(x)在x0处的导数？
梳理 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝________________________________________________________________________；
′＝________________________.
特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝________.
类型一 利用导数运算法则求导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝＋；
(3)y＝；(4)y＝xsin
x－.
反思与感悟 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝axsin
x，其中a>0且a≠1；(2)y＝.
类型二 导数运算法则的简单应用
例2 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．
引申探究
已知函数f(x)＝＋，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键．
跟踪训练2 若函数f(x)＝exsin
x，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A.
B．0
C．钝角
D．锐角
1．函数y＝的导数是( )
A.
B.
C.
D.
2．函数y＝x3cos
x的导数是( )
A．3x2cos
x＋x3sin
x
B．3x2cos
x－x3sin
x
C．3x2cos
x
D．－x3sin
x
3．曲线y＝f(x)＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为( )
A．x＋3y－3＝0
B．3x－y＋1＝0
C．3x＋y－1＝0
D．x－3y＋3＝0
4．设f(x)＝ax2－bsin
x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.
5．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a的值为________．
求函数的导数要准确把函数拆分为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式展开运算．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．
答案精析
问题导学
知识点
思考 经计算得：
y＝x2f(x)在x0处的导数为xf′(x0)＋2x0f(x0)．
梳理 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x)
题型探究
例1 解 (1)因为y＝x3＋x－＋＝x3＋x－＋sin
x·x－2，
所以y′＝(x3＋x－＋sin
x·x－2)′＝3x2－x－＋cos
x·x－2＋(－2x－3)sin
x＝3x2－＋－.
(2)因为y＝＋＝＝－2，
所以y′＝(－2)′＝＝.
(3)y′＝′＝′＋′＝＋
＝＝.
(4)y′＝(xsin
x)′－′＝sin
x＋xcos
x－.
跟踪训练1 解 (1)y′＝(axsin
x)′
＝(ax)′sin
x＋ax(sin
x)′＝axln
asin
x＋axcos
x＝ax(sin
xln
a＋cos
x)．
(2)y′＝′＝＝＝.
例2 解 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即
解得
所以a＝1，b＝1.
引申探究 解 f′(1)＝－，
又f(1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
跟踪训练2 C [f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)，
则f′(4)＝e4(sin
4＋cos
4)，
∵sin
4<0，cos
4<0，∴f′(4)<0.
故选C.]
当堂训练
1．B 2.B 3.B 4.0 1 5.－2第三章
变化率与导数
1 利用导数的几何意义解题
1．求参数
例1 设曲线y＝f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
解析 根据导数的定义，＝
＝＝2a＋aΔx，当Δx无限趋近于0时，2a＋aΔx无限趋近于2a，即f′(1)＝2a.又由曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，得2a＝2，即a＝1.
答案 1
2．求倾斜角
例2 求曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角．
分析 要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k，再根据斜率k＝tan
α，求出倾斜角α.
解 设曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为α.
＝
＝＝(Δx)2－1，
当Δx无限趋近于0时，(Δx)2－1无限趋近于－1，
即tan
α＝f′(1)＝－1.
因为α∈[0，π)，所以α＝.故切线的倾斜角为.
评注 切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围．
3．求曲线的切线
例3 求在点P处与曲线y＝x3相切的切线方程．
分析 要求直线在点P处的切线方程，需求得过点P的切线的斜率k，然后根据点斜式可求得切线方程．
解 因为点P在曲线y＝x3上，Δy＝(2＋Δx)3－×23＝4Δx＋2(Δx)2＋(Δx)3，
所以＝4＋2Δx＋(Δx)2，
当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于4，即k＝4.
故所求的切线方程为y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.
评注 求在点P处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程．
4．求切点的坐标
例4 若曲线y＝f(x)＝x3＋1在点P处的切线的斜率为3，求点P的坐标．
分析 要求点P的坐标，可设点P的坐标为(x0，x＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．
解 设点P的坐标为(x0，x＋1)，
因为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，上式无限趋近于3x，所以3x＝3.解得x0＝±1.
故点P的坐标是(1,2)或(－1,0)．
评注 值得注意的是切点P的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.
2 利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．
1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4
B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3
D．y＝4x－5
解析 由f′(x)＝3x2－6x，知在点(1，－1)处的斜率k＝f′(1)＝－3.所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B.
答案 B
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2 求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1，或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－(－＋1)＝(－2)(x＋)，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
点评 可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－，)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．
3．已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例3 求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
解 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，
得－＝－(2－x0)．
解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0.
点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．
4．求两条曲线的公切线
例4 已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
分析 设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．
解 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－x＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x，
则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，
则与C2相切于点Q的切线方程为
y＝－2(x2－2)x＋x－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)
且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.
3 导数运算中的常见错误
1．对f′(x0)与f′(x)理解有误
例1 已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为( )
A．0
B．－4
C．－2
D．2
错解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.
所以f′(0)＝0.故选A.
错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′(1)是常数．
正解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1)．
所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2.
从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.故选B.
2．切点位置的确定有误
例2 求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程．
错解 由题意知点P(1,0)在曲线上．
因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
错因分析 点P(1,0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P(1,0)当作切点显然是错误的．求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程(一定是以点P为切点)；(2)曲线过点P的切线方程(无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点)．
正解 设切点为(x0，x－x0)，
则过该点的切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)．
由切线过点P(1,0)得：0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，
整理得2x－3x＋1＝0.
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.
所以切线方程为2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
3．对切线定义的理解有误
例3 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y＝4x－4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．
错解 由于直线y＝4x－4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点．
错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．
正解 由消去y整理得：
x3－12x＋16＝0，即(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
所以(x－2)2(x＋4)＝0，解得x＝2或x＝－4.
所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，
所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．2
导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一 导数的概念
思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？
梳理
定义式
＝____________________
记法
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的________________
知识点二 导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
梳理 (1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为________的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________________________________________________________________.
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________________．
类型一 利用定义求导数
例1 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝
.
跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
类型二 求切线方程
命题角度1 求在某点处的切线方程
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
命题角度2 曲线过某点的切线方程
例3 求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．
反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)；
(2)建立方程f′(x0)＝；
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．
类型三 导数的几何意义的综合应用
例4 已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．
引申探究
若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？
反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．
跟踪训练4 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
2．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )
A．45°
B．60°
C．135°
D．120°
3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4
B．3
C．－2
D．1
4．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
5．求曲线y＝在点处的切线方程．
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
＝f′(x0)．
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
梳理
f′(x0)瞬时变化率
知识点二
思考1 割线PPn的斜率
kn＝.
思考2 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)点P处
(2)li
＝f′(x0)
(3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
题型探究
例1 解 ∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)
＝3(Δx)2＋4Δx，
∴＝＝3Δx＋4，
∴f′(1)＝
＝
(3Δx＋4)＝4.
跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝
，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝
＝
(－Δx－1)＝－1.
例2 解 (1)k＝li
＝
＝
＝
(4＋2Δx)＝4，
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
跟踪训练2 －3
解析
＝
＝
(4＋Δx)＝4，
曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，
∵
＝
(x0＋Δx)＝x0.
∴＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
即切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程．
跟踪训练3 解
＝
＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]
＝2－3x2.
设切点坐标为(x0,2x0－x)．
∴切线方程为y－2x0＋x
＝(2－3x)(x－x0)．
又∵切线过点(－1，－2)，
∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，
即2x＋3x＝0，
∴x0＝0或x0＝－.
∴切点坐标为(0,0)或.
当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2，
切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
当切点坐标为时，
切线斜率为－，
切线方程为y＋2＝－(x＋1)，
即19x＋4y＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为
2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.
例4 解 因为f′(x0)＝
＝
(Δx＋2x0)＝2x0，
g′(x0)＝
＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]
＝3x，
k1＝2x0，k2＝3x，
因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，
即6x＝－1，解得x0＝－.
引申探究 解 由例4知，f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝3x，
k1＝2x0，k2＝3x，由题意知2x0＝3x，得x0＝0或.
跟踪训练4 解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵
＝
＝3x2－4x，
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．
当切点为(－，)时，
有＝4×(－)＋a，a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
当堂训练
1．C 2.C 3.D 4.2
5．解 因为
＝
＝
＝－.
所以这条曲线在点处的切线斜率为－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，
即x＋4y－4＝0.3
计算导数
学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．
知识点一 导函数
思考 对于函数f(x)，如何求f′(1)、f′(x)？f′(x)与f′(1)有何关系？
梳理 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为________，f′(x)＝________________________________________________________________________，
则f′(x)是______________，称f′(x)为f(x)的________，通常也简称为________．
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点二 导数公式表
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝________
y＝xα
(α为实数)
y′＝________
y＝ax
(a>0，a≠1)
y′＝________
y＝ex
y′＝________
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝________
y＝ln
x
y′＝________
y＝sin
x
y′＝________
y＝cos
x
y′＝________
y＝tan
x
y′＝________
y＝cot
x
y′＝－
类型一 利用导函数求某点处的导数
例1 求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)．
反思与感悟 f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0)．
跟踪训练1 求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2)．
类型二 导数公式表的应用
例2 求下列函数的导数．
(1)y＝sin
；(2)y＝x；(3)y＝log3x；
(4)y＝；(5)y＝5x.
反思与感悟
对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)(1＋)＋；
(2)y＝2cos2－1.
类型三 导数公式的综合应用
命题角度1 利用导数公式求解切线方程
例3 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．
引申探究
若例3条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上；
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练3 过原点作曲线y＝ex的切线，那么切点的坐标为________，切线的斜率为________．
命题角度2 利用导数公式求参数
例4 已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的切线，则k的值等于( )
A．e
B．－e
C.
D．－
反思与感悟 解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝，g(x)＝aln
x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值．
1．下列结论：
①(sin
x)′＝cos
x；②(x)′＝x；
③(log3x)′＝；④(ln
x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．质点的运动方程是s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3
s时的速度为( )
A．－4×3－4
m/s
B．－3×3－4
m/s
C．－5×3－5
m/s
D．－4×3－5
m/s
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
4．在曲线y＝上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归．
2．有些函数可先化简再求导．
如求y＝1－2sin2的导数．
因为y＝1－2sin2＝cos
x，
所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 f′(1)＝
.
f′(x)＝
.
f′(1)可以认为把x＝1代入导数f′(x)得到的值．
梳理 f′(x)
关于x的函数 导函数 导数
知识点二
0 αxα－1 axln
a ex
cos
x －sin
x
题型探究
例1 解 ∵f′(x)
＝
＝
＝
(－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，
即f′(x)＝－2x＋3，
∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，
f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.
跟踪训练1 解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝＋5－
＝，
∴＝，
∴f′(x)＝
＝
＝－.
∴f′(2)＝－.
例2 解 (1)y′＝0.
(2)因为y＝x＝x，
所以y′＝(x)′＝x＝.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)因为y＝＝＝tan
x，
所以y′＝(tan
x)′＝.
(5)y′＝(5x)′＝5xln
5.
跟踪训练2 解 (1)∵y＝(1－)(1＋)＋
＝＋＝＝x－，
∴y′＝－x－.
(2)∵y＝2cos2－1＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
例3 解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点为(x0，y0)，
由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，
所以2x0＝－1，即x0＝－.
所以切点为(－，)．
所以所求切线方程为
y－＝(－1)(x＋)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究 解 因为y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，
由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，
所以2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M(，)．
所以所求切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
跟踪训练3 (1，e) e
解析 设切点坐标为(x0，ex0)．
∵(ex)′＝ex，
∴过该点的直线的斜率为ex0，
∴所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
∵切线过原点，
∴－ex0＝－x0ex0，解得x0＝1.
∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.
例4 C [y′＝(ln
x)′＝.
设切点坐标为(x0，y0)，
则切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y＝＋ln
x0－1.
∵直线y＝kx过原点，
∴ln
x0－1＝0，得x0＝e，∴k＝.]
跟踪训练4 设两曲线的交点为(x0，y0)，
由题意知，f′(x0)＝g′(x0)，
即x0－＝，
即a＝x0，①
∵点(x0，y0)为两曲线的交点，
∴＝aln
x0，②
由①②可得x0＝e2，
将x0＝e2代入①得a＝.
当堂训练
1．C 2.D 3.
4．(，2)或(－，－2) 5.e21
变化的快慢与变化率
学习目标 1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．
知识点一 函数的平均变化率
观察图形，回答下列问题：
思考1 函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？
思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
梳理 平均变化率
(1)定义式：＝________________.
(2)实质：___________________________________________之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的__________________________________________．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上的两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的________．
知识点二 瞬时变化率
思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？
思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
梳理 要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的平均速度＝________________，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的____________．
类型一 函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
命题角度2 平均变化率的几何意义
例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
反思与感悟 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝＝.
跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲>v乙
B．v甲C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
(2)过曲线y＝f(x)＝图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________．
类型二 求函数的瞬时变化率
例3 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤
①求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
②求平均速度v＝；
③当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度．
(2)求当Δx无限趋近于0时的值
①在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算；
②求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值．
1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( )
A．在x0处的变化率
B．在区间[x0，x1]上的平均变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
3．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )
A．t＝1
B．t＝2
C．t＝3
D．t＝4
4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
5．设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小．
1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．
2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 (1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然．
思考2 (1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增加量”．
(2)函数值的增量：用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”．
(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.
梳理 (1) (2)函数值的改变量与自变量的改变量 (3)快慢 (4)斜率
知识点二
思考1 不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．
思考2 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．
梳理 瞬时速度
题型探究
例1 解 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1跟踪训练1 (1)Δx (2)
解析 (1)＝
＝
＝Δx.
(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为
＝＝.
由函数f(x)的图像知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.
例2 解 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)
＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
跟踪训练2 (1)B (2)
解析 (1)设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.
因为kAC(2)当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，
故－2＋Δy＝＝－，
故kPQ＝＝.
例3 解 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
跟踪训练3 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝
＝＝4a＋aΔt，
当Δt趋于0时，趋于4a，
∴4a＝8，得a＝2.
当堂训练
1．B 2.B 3.B 4.
5．解 函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为
k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；
当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为
k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为
k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，
所以k1学习目标 1.理解导数的加法、减法法则.2.运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数．
知识点 导数的加法与减法法则
思考1 怎样求函数f(x)＝x＋x2的导函数？
思考2 将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，请写出来．
梳理 两个函数和(差)的导数等于________________的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝______________，[f(x)－g(x)]′＝______________.
类型一 利用导数的加法与减法法则求导
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝4cos
x－3sin
x；
(2)y＝x2＋tan
x；
(3)y＝.
反思与感悟 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
跟踪训练1 (1)求下列函数的导数：
①y＝2x＋；
②y＝(＋1)(－1)；
(2)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，求f′(0)．
类型二 求导法则的逆向应用
例2 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．
反思与感悟 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．
跟踪训练2 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．
类型三 导数的加法与减法法则的应用
例3 已知函数f(x)＝x3＋x－16.求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程．
引申探究
直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
反思与感悟 解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：
(1)切点坐标满足曲线方程；
(2)切点坐标满足对应切线的方程；
(3)切线的斜率是函数在此切点处的导数值．
跟踪训练3 已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
1．已知f(x)＝x－5＋3sin
x，则f′(x)等于( )
A．－5x－6－3cos
x
B．x－6＋3cos
x
C．－5x－6＋3cos
x
D．x－6－3cos
x
2．设f(x)＝sin
x－cos
x，则f(x)在x＝处的导数f′等于( )
A.
B．－
C．0
D.
3．设函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A.
B.
C.
D.
4．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________．
5．若函数f(x)＝e－x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
导数的加法与减法法则的应用
对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．
(1)对于有限个函数的和(差)进行求导，都可用求导法则．
(2)在求导之前，应对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量．
(3)对根式求导时，要先化成指数幂的形式．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 根据导数定义
Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－(x＋x2)
＝Δx＋2x·Δx＋(Δx)2.
∴＝1＋2x＋Δx，∴
＝1＋2x，
即f′(x)＝1＋2x，
可以看出(x＋x2)′＝x′＋(x2)′.
思考2 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
梳理 这两个函数导数 f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x)
题型探究
例1 解 (1)y′＝(4cos
x－3sin
x)′
＝(4cos
x)′－(3sin
x)′
＝－4sin
x－3cos
x.
(2)y′＝(x2＋tan
x)′＝(x2)′＋(tan
x)′＝2x＋.
(3)∵y＝
＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
跟踪训练1 解 (1)①y′＝(2x＋)′
＝2xln
2＋x－
＝2xln
2＋.
②∵y＝(＋1)＝－＋，
∴y′＝(－)′＋′
＝－x－－x－
＝－.
(2)∵f′(x)＝[2xf′(1)＋x2]′
＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，即f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，f′(x)＝－4＋2x，
∴f′(0)＝－4.
例2 解 由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，
f′(x)代入关于x的方程得
x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，
又该方程对一切x∈R恒成立，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
跟踪训练2 解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，
即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，
Δ＝12－4c＝0，即c＝，
∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.
例3 解 可判定点(2，－6)在曲线
y＝f(x)上．
因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即13x－y－32＝0.
引申探究 解 设切点(x0，x＋x0－16)，
∵f′(x0)＝3x＋1，
由题意可得3x＋1＝，
即x＝－8，
得x0＝－2，∴切点(－2，－26)，
f′(x0)＝f′(－2)＝13，
则直线l的方程为13x－y＝0.
跟踪训练3 解 因为f′(x)＝2x＋1，
f′(1)＝3，
所以l1的方程为y＝3x－3.
设l2与曲线的切点为(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
由l1⊥l2得2b＋1＝－，b＝－，
所以l2的方程为y＝－x－.
由得
所以直线l1与l2的交点为
A，
l1，l2与x轴交点的坐标分别为B(1,0)，C.
故所求三角形的面积为
S＝××＝.
当堂训练
1．C 2.A 3.D 4.14 5.(2，＋∞)
